PRIMITIVES

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Montrer qu'une fonction est une primitive d'une autre
Définition : Une fonction
Pour montrer que
bien v.
u est une primitive d’une fonction v si et seulement si u’= v.
u est une primitive de v il suffit donc de dériver u et de vérifier qu’on obtient
Exemple :
Montrer que la fonction F définie sur ]1/2 ; +∞[ par F(x) = ln(2x – 1) + 4 est une primitive de
2
la fonction f définie sur ]1/2 ; +∞[ par f(x) =
.
2x – 1
On dérive F en reconnaissant la forme ln(u) dont la dérivée est u’/u
2
On obtient : F’(x) =
2x – 1
On conclu : « donc F est une primitive de la fonction f »
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Montrer qu'une fonction est une primitive d'une autre
Exercice 1 d’après France métropolitaine 2011
Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé en vendant x
centaines d’objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l’intervalle
[0,1 ; 10] par :
1+lnx
B(x) = 10×
x
Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction F définie
sur [0,1 ; 10] par F(x) = 5lnx(lnx +2)
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Exercice 2 d’après Polynésie 2011
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]2 ; +∞ [ par g(x) = ln(x – 2).
Soit G la fonction définie sur l’intervalle ]2 ; +∞ [ par : G(x) = (x – 2)ln(x – 2) –
Montrer que G est une primitive de g sur l’intervalle ]2 ; +∞ [.
x
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Corrigé 1
F est de la forme u×v
avec u(x) = 5lnx et v(x) = lnx +2
5
1
donc u’(x) = et v’(x) =
x
On a donc
F’(x) =
5
x
x
1
(lnx +2) + 5lnx×
x
5lnx
+
x
x
5lnx + 10 + 5lnx
F’(x) =
x
F’(x) =
F’(x) =
5(lnx +2)
10 + 10lnx
x
F’(x) = B(x)
donc F est une primitive de la fonction B.
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Corrigé 2
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]2 ; +∞ [ par g(x) = ln(x – 2).
Soit G la fonction définie sur l’intervalle ]2 ; +∞ [ par : G( x) = (x – 2)ln(x – 2) –
Montrer que G est une primitive de g sur l’intervalle ]2 ; +∞ [.
G est de la forme u×v +
w
avec u(x) =
donc
On a donc
G’(x) =
1×ln(x – 2) + (x – 2)×
G’(x) = ln(x – 2) + 1
G’(x) = ln(x – 2)
G’(x) = g(x)
x – 2, v(x) = ln(x – 2) et w(x) = x
u’(x) = 1 , v’(x) =
1
x–2
x
x
1
et
–2
w’(x) = 1
–1
–1
donc G est une primitive de la fonction g.
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