Corrigé du BTS IRIS

Corrigé du BTS IRIS
Session 2006.
Partie 1: Étude de la fonction F1: détecteur optique.
a)
Nous avons une période T 0 =0,005 s
1
1
=200 Hz
La fréquence est donc: F 0 = =
T 0 5 ⋅10−3
b)
  1 sin 2 ⋅⋅F ⋅t 
La loi d'Ohm permet d'écrire u 1 t =R1⋅i R t =R1⋅⋅t =R1⋅⋅⋅
0
 ⋅sin 2⋅⋅F ⋅t


⋅⋅
⋅sin
2⋅⋅F
⋅t
=<
u
>
U
Nous avons alors u 1 t=R1⋅⋅R
1
0
1
1
0
 et U =R ⋅⋅

avec < u1 >=R1 ⋅⋅
1
1
c)
Applications numériques:

W , nous avons < u1 >=U 1=200⋅103×0,1×1,5⋅10−6 =30 mV
✗ Pour =1,5

W , nous avons < u1 >=U 1=200⋅103×0,1×5⋅10−6 =100 mV
✗ Pour =5,0
Partie 2: Étude de la fonction F2: amplification et filtrage.
a)
Nous avons un filtre passe-bande. En effet, les basses fréquences (et le continu) sont coupés,
tout comme les hautes fréquences, et le filtre laisse passer une bande médiane de fréquences.
b)
Pour trouver les amplitudes en sortie d'un filtre lorsque nous lui appliquons un signal
comprenant plusieurs fréquences, il faut regarder l'influence du filtre pour chacune de ces
fréquences:
✗ Pour le continu (<u1>), nous avons T2 = 0, donc le filtre supprime la composante
continue du signal (déjà évoqué dans la question a). Nous avons < u 2 >=0
✗ Pour le 200 Hz, seconde fréquence du signal en entrée, nous avons le filtre qui amplifie
cette composante.
Il ne restera donc plus que la composante à 200 Hz, d'où la forme du signal de sortie:
u 2 t=< u 2 >U 2⋅sin 2⋅⋅200⋅t =U 2⋅sin2⋅⋅200⋅t 
Remarque: un filtre ne modifie que les amplitudes des signaux, et non leurs fréquences.
4

 où
L'amplitude du fondamental est alors
U 2=T 2 200⋅U 1=2⋅10 ⋅T 2 200⋅=⋅

T2 (200) est l'atténuation (ici plutôt l'amplification) du filtre F2 à la fréquence de 200 Hz.
Nous avons =2 ⋅10 4⋅T 2 200 
c)
Application numérique:
✗ Pour R2 =0  nous avons T 2 ≃106 (lecture graphique)
d'où =2 ⋅10 4 ×106 ≃2,1 ⋅10 6 A−1
4
6
−1
✗ Pour R2 =10 k  nous avons T 2 =25 d'où =2 ⋅10 ×25 =1,0 ⋅10 A
[U ] V
V
−1
=A
Remarque: l'unité de β est []=  = =
[  ] W V⋅A
Corrigé du BTS IRIS 2006 – N. Lardenois – www.lardenois.com – BTS IRIS– Page 1 / 6.
Partie 3: Étude de la fonction F3: démodulateur synchrone.
1)
Principe du démodulateur.
a)
Voir le document réponse n°1 en fin de sujet.
b)
Nous voyons sur le graphique que la nouvelle période est la moitié de la période T 0, donc
T
1
2
nous avons T = 0 et la fréquence est alors f = = =2 ⋅F 0
T T0
2
c)
La valeur moyenne est égale à l'aire divisée par la période, donc nous avons
T0
t D⋅−U 2 
−t D ⋅U 2
T 0−4⋅t D ⋅U 2
tD
2
< u 21 >=
=
= 1−4⋅ ⋅U 2
T0
T0
T0
2

2)
Application du démodulateur.
a)
Application numérique:
✗
✗
✗



2⋅U 2 2×2,60
Valeur moyenne: < u 21 >=
 =  ≃1,66 V
4⋅U 2 4×2,60
Amplitude du fondamental: U 21f =
=
≃1,10 V
3⋅
3⋅
4⋅U 2 4×2,60
Amplitude de l'harmonique 2: U 21h2 =
=
≃221 mV
15⋅
15⋅
b)
Voir le document-réponse n°2 en fin de corrigé.
c)
Nous avons une pente de -20 dB/décade (G = -7,5 dB pour 1 Hz et G = -27,5 dB pour 10 Hz)
donc nous avons un filtre du 1° ordre.
d)
Le gain en continu est G 0 =0 dB donc nous avons T 0 =1
Nous pouvons donc écrire < u3 >=T 0⋅< u 21 >=< u21 >=1,66 V
e)
Par lecture graphique, nous trouvons le gain pour 400 Hz qui est G 400 ≃−60 dB
L'amplitude du fondamental est U =U ⋅10
3f
21f
G 400
20
−60
=1,10×10 20 =1,10×10 =1,10 mV
−3
−3
U 3f
1,10⋅10
−4
f)
Ondulation relative: =
≃
≃6,67⋅10
< u3 >
1,66
Nous pouvons en déduire que la tension u3 (t) peut se réduire à sa valeur moyenne, et donc
que c'est une tension continue.
Corrigé du BTS IRIS 2006 – N. Lardenois – www.lardenois.com – BTS IRIS– Page 2 / 6.
Partie 4: Étude de la fonction F4: décalage, mise à niveau.
a)
Expression de la tension u4 (t):
12
12
u R t
−2
−2
u 4 t =
×uref t=
×18 × u 3 t −
NC
Nc
2


210−1 =1023 car le premier état
b)
La valeur maximale que peut coder un CAN 10 bits est
est le zéro.
c)
Expression du nombre ND (il suffit de remplacer l'expression de u4 (t) de la question a dans
l'expression de ND donnée):
22
u 4 t  10 −212
u3 t 1
u 3 t
18 ×2
1 u3 t
A
10
N D=
⋅2 =
×18 ×2 ×
− =
⋅ −
= ⋅ B−
u R t
NC
u R t 2
NC
2 u R t 
NC
u R t
Par identification, nous trouvons:
✗
A=18 ×2 22≃75,5 ⋅106
✗
B=0,5



 

Partie 5: Algorithme de traitement numérique.
a)
Le tableau réponse est reproduit ci-dessous:
n
-3
-2
-1
0
1
en
0
0
0
1000 1020 1000 980 1020 990 1000 990
sn
0
0
0
250
505
2
3
4
5
755 1000 1005 997
6
7
8
9
10
980 1010 1000
997 1000 990
995
995
Remarque: la seule difficulté est liée aux échantillons n = 5 et n = 6, car il ne faut pas oublier que
en est un entier !!
b)
Nous pouvons transformer l'équation de récurrence en z, ce qui nous donne:
−1
−2
−3
−1
−2
−3
S  z =0,25 ×  E  z z ⋅E  z z ⋅E  z  z ⋅E  z   =0,25 ⋅E  z ⋅ 1  z z z 
Remarque: la transformée en z de l'échantillon antérieur en-k est z −k⋅E  z 
La fonction de transfert en z est alors:
S z
−1
−2
−3
T  z =
=0,25 ×  1 z z z 
Ez
Corrigé du BTS IRIS 2006 – N. Lardenois – www.lardenois.com – BTS IRIS– Page 3 / 6.
Partie 6: Étude de la fonction F5: contrôle de la vitesse de rotation.
La vitesse de rotation en régime permanent est ∞=120 rad⋅s −1
Le temps de réponse à 5 % est obtenu en cherchant le temps auquel la vitesse est de 95 % de
la valeur finale, soit tr 5 % =0,95 ⋅∞=0,95 ×120 =114 rad⋅s−1 (vert foncé)
Nous trouvons donc tr 5 %=0,15 s (construction en bleu)
a)
La construction graphique est reproduite ci-dessous:
114

tr5%
∞ 120
−1 −1
=
=10 V ⋅s
U
12
La constante de temps d'un système du premier ordre est égale au tiers du temps
tr
0,15
d'établissement à 5 %, d'où = 5 % =
=50 ms
3
3
b)
En régime permanent, nous avons
K 0⋅U =∞ d'où
K0=
Remarque: nous pouvons également retrouver la constante de temps avec la construction graphique
suivante: la tangente à l'origine coupe l'asymptote à la valeur finale au temps t= (Construction en
rouge sur le graphique précédent).
c)
Le passage de l'équation différentielle en Laplace nous donne:
K 0⋅U  p=⋅p⋅ p p=  1 ⋅p ⋅ p
K0
 p
=
La transmittance isomorphe est alors T M  p=
U  p 1⋅p
d)
Nous avons en entrée un échelon de hauteur U, donc U  p=
e)
L'expression temporelle de la vitesse de rotation est alors t=K ⋅U⋅ 1 −e 
0
U
.
p
K0
K 0⋅U
U
× =
L'expression de la vitesse de rotation est alors  p=
1 ⋅p p p⋅1 ⋅p

−t

Corrigé du BTS IRIS 2006 – N. Lardenois – www.lardenois.com – BTS IRIS– Page 4 / 6.
f)
Pour trouver la vitesse de rotation finale, nous pouvons utiliser le théorème de la valeur finale,
K 0⋅U
=K 0⋅U
donc nous avons ∞=lim t=lim p⋅ p=lim
t ∞
p0
p 0 1 ⋅p
Application numérique: ∞=10 ×10 =100 rad⋅s−1
Remarque: avec l'expression temporelle établie à la question précédente, nous aurions pu trouver
également le même résultat, mais plus rapidement !
g)
Pour cet asservissement, nous avons les équations suivantes:
AD⋅K
⋅ p 
✗ Chaîne directe:  p=
1 ⋅p
✗ Chaîne de retour: U M  p =K R⋅ p
✗ Soustracteur:   p=U C  p−U M  p 
AD⋅K
AD⋅K
⋅ U C  p −U M  p =
⋅ U C  p− K R⋅ p  
Nous avons alors  p =
1 ⋅p
1 ⋅p
AD⋅K⋅K R
A D⋅K
⋅ p=
⋅U  p
d'où 1 
1 ⋅p
1 ⋅p C
AD⋅K
 p
1 ⋅p
=
La transmittance en boucle fermée est alors T BF  p=
U C  p
AD⋅K⋅K R
1
1 ⋅p
AD⋅K
Nous pouvons simplifier cette expression: T BF  p=
1  AD⋅K⋅K R⋅p
[
h)
]
Nous pouvons mettre l'expression précédente sous la forme normalisée T BF  p=
T0
1  '⋅p
A D⋅K

et  '=
1  AD⋅K⋅K R
1 A D⋅K⋅K R
Nous voyons alors que la constante de temps est plus faible, donc l'asservissement permet de
diminuer le temps d'établissement (augmente la rapidité du système).
Un asservissement permet également de diminuer l'influence des perturbations sur la sortie.
avec T 0 =
Partie 7: Étude d'une mesure.
✗
✗
Calcul de la concentration en ozone:
1,22 ⋅10−8⋅N C⋅ N DM −N D0  1,22 ⋅10−8×33 ×500 −100
−1
C=
=
≃0,107  g⋅L
K⋅D
60 ×25
Nous sommes en dessous du seuil de pollution urbaine, donc cette valeur est
acceptable.
Corrigé du BTS IRIS 2006 – N. Lardenois – www.lardenois.com – BTS IRIS– Page 5 / 6.
Le document-réponse n°3 a été directement intégré dans la partie 5.
Nicolas Lardenois,
Mercredi 7 juin 2006.
Corrigé du BTS IRIS 2006 – N. Lardenois – www.lardenois.com – BTS IRIS– Page 6 / 6.