Exemples d´équations aux dérivées partielles (EDP)

Etapes d’un calcul scientifique
Démarche d’un ingénieur mathématicien
Généralités sur la résolution numérique d’équations aux
dérivées partielles
2
Modélisation / mise en équation (admise)
Analyse mathématique du problème
3
Conception d’une méthode numérique
4
Analyse numérique
5
Algorithmique (admise)
1
Cours : Existence, unicité, stabilité des solutions
Houssem Haddar
Cours : méthode des éléments finis
ENSTA 2006
Cours : convergence, précision, stabilité de la méthode des E.F.
Cours Eléments Finis
(méthode de résolution d’un système linéaire de grande taille)
6
Mise en œuvre sur ordinateur
7
Pré et Post traitement (maillage / visualisation)
Cours : programmation de la méthode en 2-D (TP matlab)
H. Haddar (ENSTA)
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Pour commencer
H. Haddar (ENSTA)
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Conduction thermique
Chauffage, Météo, · · ·
L’inconnue est la température θ(x, t) (champ scalaire)
∂θ
− div k(x)∇θ = s(x, t)
∂t
Exemples d´équations
aux dérivées partielles (EDP)
k(x) : conductivité thermique
s(x, t) : source de chaleur
Rappel : x ∈ Rn
 ∂θ 
∂x1
n

∇θ = 
ds
..
.
∂θ
∂xn


u(x) ∈ Rn
k(∇θ · n) ds : flux de chaleur à travers
l’élément de surface ds.
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div u =
∂u1
∂x1
+ ··· +
∂un
∂xn
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Equations de convection-diffusion
Elastodynamique
Conduction thermique, Finance, Propagation des polluants, · · ·
Ondes sismiques, Vibration des structures, Génie civil, · · ·
Equation de diffusion, θ(x, t) (champ scalaire)
L’inconnue est le champ de déplacement u(x, t) (inconnue vectorielle).
∂θ
− div k(x)∇θ = s(x, t)
∂t
ρ(x)
Diffusion de la chaleur dans un fluide convecté à la vitesse V (x)
∂2u
− div σ(u) = f (x, t)
∂t2
ρ(x) : densité de masse
f (x, t) : force extérieure
σ(u) : tenseur des contraintes, liée à u par la loi de Hooke
∂θ
+ V (x) · ∇θ − div k(x)∇θ = s(x, t)
∂t
Même structure que l’équation de Black and Sholes (finance)
σ(u)i,j = λ tr()δi,j + 2µ i,j
1
∂θ
1
∂θ
∂2θ
+ rθ− rx
− σ 2 x2
=0
∂t
2
∂x
2
∂x2
i,j =
θ : prix de l’option d’achat (call) d’une action
x : prix de l’action
(r, σ) : taux d’intérêt et volatilité.
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1
2
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
λ, µ : coefficients de Lamé.
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Acoustique
Electromagnétisme
propagation du son, appareils musicaux, sonar, échographie, · · ·
ondes radio, télécommunication, micro-ondes, · · ·
L’inconnue est la variation de pression : p(x, t).
ε(x)
∂2p
1
− c(x)2 ρ(x) div
∇p = s(x, t)
∂t2
ρ(x)
: on obtient la même équation pour p = div u
en élastodynamique !
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∂2E
∂E
1
+ σ(x)
+ rot
rot E = J(x, t)
∂t2
∂t
µ(x)
ε(x) : permittivité électrique
µ(x) : perméabilité magnétique
σ(x) : conductivité électrique
J(x, t) : source (densité de courant)
c(x) : vitesse de propagation du son
ρ(x) : densité de masse
s(x, t) : un terme source (sonore !)
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L’inconnue est le champ électrique (inconnue vectorielle) E(x, t)
En linéarisant les équations d’Euler on obtient
Remarque
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Rappel : E(x, t) ∈ R3


rot E = 

∂E 3
∂x2
∂E 1
∂x3
∂E 2
∂x1
−
−
−
∂E 2
∂x3
∂E 3
∂x1
∂E 1
∂x2
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



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Problèmes stationnaires
Problème modèle (du cours)
Inconnue scalaire u(x),
Calcul de l’état d’équilibre d’un système physique.
⇒ Solution indépendante du temps.
−div a(x)∇u + V (x) · ∇u + b(x) u = f (x)
|
{z
}
| {z }
| {z }
Equilibre thermique
convection
diffusion
absorption
− div k(x)∇θ = s(x)
a(x) > 0 et b(x) ≥ 0.
Déformation d’un solide
⇒ prototype d’équations elliptiques.
− div σ(u) = f (x)
Champ électrostatique
u(x) joue le rôle de
rot
température, pris d’option d’achat,
1
rot E = J(x)
µ(x)
pression, ou p = div u,
une composante du champ électrostatique en 2-D,
···
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Problème modèle simplifié : le laplacien
Problème modèle (du cours)
EDP sur un domaine borné Ω ⊂ Rn ,
−div a(x)∇u + V (x) · ∇u + b(x) u = f (x),
a(x) = 1, V (x) = 0 et b(x) = α ≥ 0
(
−∆u + α u = f,
x ∈ Ω,
dans Ω
+ conditions aux limites sur ∂Ω
n
Ω
∂Ω
n
Ω
On doit préciser les conditions aux limites sur la frontière ∂Ω.
∂Ω
Conditions aux limites les plus fréquentes : on impose
la valeur de u : condition de Dirichlet
le flux, c.à.d. a(∇u · n)
notation
=
∂u
a ∂n
: condition de Neumann
∆u = div ∇u =
∂u
la valeur de a ∂n
+ λu : condition d’impédance (λ = impédance)
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∂2u
∂x21
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+ ··· +
∂2u
∂x2n
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Place des éléments finis
Principe d’une méthode de discrétisation
Problème continue : on note A l’application
A : X 7−→ Y
u 7−→ Au = f
Problème :
Quelques méthodes de
discrétisation
absence (en général) d’une expression explicite de
l’inverse de A.
Méthode de discrétisation : ramener la résolution du problème continue à
la résolution d’un problème dans RN (N grand en général)
AU = F
dans RN .
Différence entre les méthodes numériques : réside dans
la construction de A
la signification de U (lien avec la solution du problème continue u)
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Méthode des différences finis
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Méthode des différences finis
Exemple du Laplacien en dimension 1 :

2

 − ∂ u = f,
x ∈ (a, b)
∂x2

 u(a) = u(b) = 0
On approche une dérivée par l’opérateur des différences
Par exemple, (en utilisant un développement de Taylor)
Si u ∈ C 2 (R),
h
∂u
u(x0 + h) − u(x0 )
(x0 ) '
+ O(h)
∂x
h
x0 = a
Si u ∈ C 4 (R),
∂2u
u(x0 + h) − 2u(x0 ) + u(x0 − h)
+ O(h2 )
(x0 ) '
∂x2
h2
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xi
xi+1
xN = b
On écrit l’équivalent discret de cette équation vérifié par les ui ' u(xi )

 − ui+1 − 2ui + ui−1 = f (xi ),
i = 1, . . . , N − 1
h2

u0 = uN = 0.
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Méthode des différences finis
Méthode des différences finis
Exemple du Laplacien en dimension 1
Avantages et limitations
• Méthode très rapide et facile à programmer

 − ui+1 − 2ui + ui−1 = f (xi ),
h2

u0 = uN = 0.
=⇒
i = 1, . . . , N − 1
• Nécessite un maillage cartésien, ⇒ mauvaise approximation
géométrique en dimensions > 1.
AU = F
Ω



U =



u1
..
.
..
.

−1 0
0

 −1 . . . . . . 0
A=

..
..
 0
.
. −1
0
0 −1 2





uN −1
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2









F =


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f (x1 )
..
.
..
.
f (xN −1 )
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





• Bien adaptée aux solutions régulières u ∈ C 2 (Ω)... Converge mal
lorsque les coefficients (a, V , b ou f ) sont discontinus
−div a(x)∇u + V (x) · ∇u + b(x)u = f (x)
Il n’existe pas de solutions u ∈ C 2 (Ω) dans ce cas.
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Méthode des éléments finis
Méthode des éléments finis
Principe de base
Principe de base
Etape 1. On transforme les équations en les écrivant de manière
variationnelle. Principe (formel) de la formulation variationnelle :
Programme des séances 1-2
−
Z
⇒ −
a
b
∂2u
=f
∂x2
a
b
Choix du bon cadre fonctionnel (espaces de Sobolev)
Application du Théorème de Lax-Milgram
Lien entre la formulation variationnelle et l’EDP de départ
∂2u
(x) v(x) dx =
∂x2
∂u
∂v
(x)
(x) dx =
∂x
∂x
Z
Interprétation au sens des distributions
b
f (x) v(x) dx
∀ v.
a
Pour notre exemple : espace des fonctions
∂v
V := v ∈ L2 (a, b) tq.
∈ L2 (a, b) et v(a) = v(b) = 0 = H01 (a, b)
∂x

Trouver u ∈ V tq.



Z b
Z b
∂u
∂v



(x)
(x) dx =
f (x) v(x) dx
∀ v ∈ V.
∂x
a ∂x
a
Z
b
f (x) v(x) dx
∀ v.
a
Cette équation requiert moins de régularité pour u.
Même régularité est requise pour u que pour la fonction test v.
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Existence unicité et stabilité des solutions
x ∈ (a, b)
En intégrant par parties, et en utilisant u(a) = u(b) = 0 ;
Z
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ENSTA 2006
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Méthode des éléments finis
Méthode des éléments finis
Principe de base
Principe de base
Etape 2. Principe de discrétisation (approximation de type Galerkin)
Programme des séances 3 et 4
⇒ On remplace dans la formulation variationnelle l’espace V par un sous
espace de dimension finie noté Vh : Vh −→ V.
h→0
On note Nh = dim Vh
Vh ↔ RNh
=⇒
Problème discrétisé

Trouver uh ∈ Vh tq.



Z b
Z b
∂uh
∂v h



f (x) v h (x) dx,
(x)
(x) dx =
∂x
a ∂x
a
?
⇐⇒
Ah U h = Fh dans
H. Haddar (ENSTA)
Construction des espaces d’éléments finis Vh (sur des maillages
triangulaires), de Ah , Fh ,
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Ω
Exemple de triangulation
∀ v h ∈ Vh .
RNh
Etude de l’erreur ku − uh kV en fonction de h (erreur d’interpolation)
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Méthode des éléments finis
Méthode des éléments finis
Principe de base
Principe de base
Espaces d’éléments finis (de Lagrange) en 1-D
Programme de la séance 5 (cours + TP)
création de maillages, numérotation des degrés de libertés,
P k : ensemble des polynômes de degrés ≤ k.
Exemple :
assemblage de la matrice Ah et de Fh ,
vh ∈
xi
xi+1
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Etape 3. Aspects pratiques de la mise en œuvre de la méthode des EF
Vhk (a, b) = {v h ∈ C 0 (a, b), tq. v h [xi ,xi+1 ] ∈ P k }
x0 = a
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h
Vh1
visualisation de la solution, . . .
Programme de la séance 6
xN = b
Discrétisation des problèmes d’évolution
A noter la différence de philosophie
principe du couplge d’éléments finis en espace et différences finis en
temps
stabilité et convergence
Différences finis : approche l’opérateur intervenant dans l’EDP
Eléments finis : approche l’espace des solutions
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Un peu de culture... Autres méthodes de discrétisation
C’est parti. . . Quelques rappels
Méthode des volumes finis : populaire chez les physiciens
Principe : écrire les lois de conservation (qui sont à la base de la
dérivation des EDP) sur chaque maille . . .
Peu précise en général, mais bien adapté aux problèmes de convection.
Outils de base
Méthodes intégrales : milieux constants par morceaux
Principe : reformuler le problème en terme d’équations posées sur le
bord du domaine (à l’aide de la solution fondamentale)
Résoudre les équations sur le bord (par exemple) en suivant une
approche de type éléments finis.
Variantes de la méthode d’éléments finis
Méthodes spectrales : au lieu de faire tendre h → 0 on fait tendre
k → +∞ (k = degré du polynôme)
Méthode de Galerkin discontinu : écrire la formulation variationnelle
sur chaque maille + raccord adéquat des flux (combine les idées des
éléments finis et des volumes finis)
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pour comprendre le fondement
mathématique de la méthode des
E.F.
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Distributions : définition
Distributions : Notation et exemples
Soit Ω un ouvert de Rn .
Crochet de dualité : pour T ∈ D0 (Ω) et ϕ ∈ D(Ω)
1
Espace des fonctions tests D(Ω)
hT, ϕi
D(Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω); tq. Support de ϕ compact dans Ω}
2
hδx0 , ϕi = ϕ(x0 ) ∀ ϕ ∈ D(Ω).
Distribution associée à une fonction localement intégrable.
|T (ϕ)| ≤ C sup sup |∂ α ϕ(x)|, ∀ ϕ ∈ DK (Ω)
L1loc (Ω) = {fonctions f ∈ L1 (K), ∀ K, compact de Ω}
|α|≤p x∈K
DK (Ω) : ensemble des fonctions ϕ ∈ D(Ω) à support dans K.
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T (ϕ)
Masse de Dirac en x0 , notée δx0
Continuité ⇔ pour tout compact K ⊂ Ω, ∃ p entier et ∃ C constante tels que
α = (α1 , · · · , αn ), |α| = α1 + · · · + αn , ∂ α ϕ =
=
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Exemples de distributions :
Espace des distributions D0 (Ω) : une distribution T sur Ω est une
application linéaire, continue, T : D(Ω) −→ R.
Notation :
notation
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Toute fonction bornée ∈ L1loc (Ω),
∂ |α| ϕ
α
∂x1 1 ···∂xαn
n
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1
x
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∈
/ L1loc (R) (car
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1
x
L1 (Ω) ⊂ L1loc (Ω), · · ·
∈
/ L1 ([0, 1]))
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Distribution associée à une fonction L1loc
Dérivation au sens des distributions
A toute fonction f ∈ L1loc (Ω) on peut associer une distribution Tf ∈ D0 (Ω)
définie par
Z
hTf , ϕi =
f (x) ϕ(x) dx
Ω
∂T
Définition : Soit T ∈ D0 (Ω). On définit ∂x
∈ D0 (Ω) par
i
∂ϕ
∂T
, ϕ = − T,
∀ ϕ ∈ D(Ω).
∂xi
∂xi
Pour α = (α1 , · · · , αn ) un multi-indice, ∂ α T est défini par
h∂ α T, ϕi = (−1)|α| hT, ∂ α ϕi
Lemme de Lebesgue : pour tout f et g ∈ L1loc (Ω)
∀ ϕ ∈ D(Ω).
=⇒ Une distribution est indéfiniment dérivable !
Tf = Tg ⇐⇒ f (x) = g(x), p.p.x ∈ Ω.
C’est une généralisation de la dérivée au sens des fonctions :
=⇒ On peut identifier la fonction f à la distribution Tf qui lui est
associée !
si f ∈ C 1 (Ω) alors
Abus de notation : on notera Tf par f
=⇒ f ∈ L1loc (Ω) peut être vue comme une fonction mais aussi comme une
distribution de D0 (Ω)
∂Tf
∂xi
= T ∂f
∂xi
En d’autres termes, et avec l’abus de notation,
∂f
si f ∈ C 1 (Ω) alors
=
∂x
| {zi }
au sens des distributions
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Dérivation au sens des distributions : Formule des sauts
Soit f la fonction C 1 par morceaux
ci-contre. On pose :
30 / 38
Définition : On dit qu’une suite de distributions (Tj )j∈N de D0 (Ω)
converge vers T dans D0 (Ω) ssi
x0
b
∀ϕ ∈ D(Ω), hTj , ϕi −→ hT, ϕi dans R
j→∞
Propriété :
Alors la dérivée f 0 de f au sens des distributions est donnée par
Si
−
f 0 = {f }0 + (f (x+
0 ) − f (x0 )) δx0
Tj
alors ∂ α Tj
Généralisation : si f admet L points de discontinuités xi , i = 1, · · · L
−
(f (x+
i ) − f (xi )) δxi
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Convergence au sens des distributions
f (x−
0 )
a
(f 0 (x) désigne ici la dérivée au sens des fonctions.)
L
X
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f (x+
0)
{f }0 (x) = f 0 (x) sur ]a, b[\{x0 }
f 0 = {f }0 +
H. Haddar (ENSTA)
∂f
∂x
| {zi }
au sens des fonctions
−→
T
dans D0 (Ω)
−→
∂αT
dans D0 (Ω),
j→∞
j→∞
pour tout multi-indice α.
dans D0 (a, b)
i=1
{f }0 (x) = f 0 (x) sur ]a, b[\{x1 , · · · , xL }
H. Haddar (ENSTA)
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H. Haddar (ENSTA)
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Espaces de Sobolev : Espace L2 (Ω)
Espaces de Sobolev : Espace H 1 (Ω)
Espace des fonctions de carré intégrable sur Ω :
Z
L2 (Ω) = fonctions f sur Ω tq.
|f (x)|2 dx < ∞
H 1 (Ω) =
f ∈ L2 (Ω)
Ω
Z
(f, g)H 1 (Ω) =
L2 (Ω) muni du produit scalaire (·, ·)L2 (Ω) est un espace de Hilbert
f (x) ḡ(x) dx +
Ω
=
Z
f (x) ḡ(x) dx
1
Z
2
(f, f )L2 (Ω) =
|f (x)|2 dx
kf kL2 (Ω) =
Ω
Ω
Ω
Ω
= kf k2L2 (Ω) + k∇f k2L2 (Ω)
On notera que : H 1 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ D0 (Ω)
⇒ L2 (Ω) ⊂ L1loc (Ω) ⇒ L2 (Ω) ⊂ D0 (Ω)
Cours MA201, Séance 1
∂f
∂ḡ
(x)
(x) dx
∂xi
∂xi
H 1 (Ω) muni du produit scalaire (·, ·)H 1 (Ω) est un espace de Hilbert
Z
Z
kf k2H 1 (Ω) =
|f (x)|2 dx +
|∇f (x)|2 dx
q
Inégalité de Cauchy-Schwarz : (f, g)L2 (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) kgkL2 (Ω)
H. Haddar (ENSTA)
Ω
∇f (x) · ∇ḡ(x) dx
f (x) ḡ(x) dx +
Ω
Ω
n Z
X
Zi=1
Z
(f, g)L2 (Ω) =
∂f
∈ L2 (Ω), pour tout i
∂xi
tq. ses dérivées
au sens des distributions
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33 / 38
Espaces de Sobolev H m (Ω)
H. Haddar (ENSTA)
Cours MA201, Séance 1
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Application trace
Soit m un entier,
Définition de l’application trace (Ω un ouvert de frontière Lipschitzienne) :
H m (Ω) = f ∈ L2 (Ω) tq. ∂ α f ∈ L2 (Ω), pour tout |α| ≤ m
Z
n Z
X
α
α
(f, g)H m (Ω) =
f (x) ḡ(x) dx +
∂ f (x) ∂ ḡ(x) dx
Ω
γ0 : D(Ω) −→
L2 (∂Ω)
u
7−→ γ0 (u) = u|∂Ω
|α|=1 Ω
Théorème :
H m (Ω) muni du produit scalaire (·, ·)H m (Ω) est un espace de Hilbert
Signification :
On notera que :
pour toute fonction u ∈ H 1 (Ω) on peut définir sa trace sur ∂Ω
comme étant égale à γ0 (u).
· · · ⊂ H m+1 (Ω) ⊂ H m (Ω) ⊂ · · · ⊂ H 0 (Ω) = L2 (Ω) ⊂ D0 (Ω)
de plus il existe une constante C > 0 tq
Remarques :
Une fonction de H m (Ω) n’est en général pas dérivable au sens
classique (Voir TD)
Si la frontière de Ω est régulière alors C ∞ (Ω) est dense dans H m (Ω).
H. Haddar (ENSTA)
γ0 s’étend par continuité en une application
linéaire de H 1 (Ω) dans L2 (Ω).
Cours MA201, Séance 1
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35 / 38
kγ0 (u)kL2 (∂Ω) ≤ CkukH 1 (Ω)
H. Haddar (ENSTA)
Cours MA201, Séance 1
∀u ∈ H 1 (Ω).
ENSTA 2006
36 / 38
Application trace et H01 (Ω)
Formules de Green
C’est la généralisation de la formule d’intégration par parties !
Abus de notation : pour u ∈ H 1 (Ω) on notera γ0 (u) par u|∂Ω , ou tout
simplement par u s’il n’y a pas d’ambiguı̈té.
Remarque : Im γ0 est plus petit que
L2 (∂Ω),
n
Ω
∂Ω
Soit Ω un ouvert Lipschitzien
en fait
H 1 (∂Ω) ( Im γ0 = H 1/2 (∂Ω) ( L2 (∂Ω)
Première formule : ∀ u ∈ H 1 (Ω), v ∈ H 1 (Ω)
Z
Z
Z
∂u
∂v
v dx = − u
dx +
u v ni ds
Ω ∂xi
Ω ∂xi
∂Ω
Définition de H01 (Ω) :
H01 (Ω) = Ker γ0 = {u ∈ H 1 (Ω), tq. γ0 (u) = 0}
ni est la i ème composante de la normale sortante n à ∂Ω.
Avec l’abus de notation :
Deuxième formule (conséquence) : ∀ u ∈ H 2 (Ω), v ∈ H 1 (Ω)
Z
Z
Z
∂u
v ds
∆u v dx = − ∇u · ∇v dx +
Ω
Ω
∂Ω ∂n
H01 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω), tq. u = 0 sur ∂Ω}
H01 (Ω) muni du produit scalaire (·, ·)H 1 (Ω) est un espace de Hilbert.
H. Haddar (ENSTA)
Cours MA201, Séance 1
ENSTA 2006
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H. Haddar (ENSTA)
Cours MA201, Séance 1
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