Cours de Calcul Intégral. Licence 3. Année 2009/2010.

Cours de Calcul Intégral. Licence 3. Année 2009/2010.
Richard Zekri.
11 janvier 2010
2
Table des matières
1 Tribus et mesures.
5
1.1
Tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Applications mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Intégrale de Lebesgue.
9
2.1
Approximation des fonctions mesurables par des fonctions étagées. . . . .
9
2.2
Intégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Théorème de convergence dominée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Mesure produit et théorème de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Espaces Lp .
19
3.1
Inégalités et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Les semi-normes k.kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3
Les espaces Lp (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4 Convolution et séries de Fourier.
25
4.1
Les espaces Lp (T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2
Convolution et approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3
Noyaux de Dirichlet et séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5 Changements de variables dans Rn .
31
5.1
Diffeomorphismes et Jacobien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Formule de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.3
Quelques exemples de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . .
32
6 Exercices supplémentaires.
35
3
4
Chapitre 1
Tribus et mesures.
1.1
Tribus.
Définition 1.1.1 Soit X un ensemble. Un clan (ou algébre de Boole), C, sur X, est
une famille de parties de X, telle que
1. φ ∈ C, X ∈ C.
2. C est stable par passage au complémentaire.
3. C est stable par réunions finies.
Définition 1.1.2 Une tribu τ , sur un ensemble X, est un clan sur X, qui est stable
par réunion dénombrable. Les éléments de τ sont appelés des parties τ -mesurables de
X (ou simplement des parties mesurables de X). Le couple (X, τ ) est appelé un espace
mesurable.
Remarque 1.1.3 Par passage au complémentaire, on voit que τ est également stable
par intersections dénombrables (∩n Pn = X − (∪n Pn )), et par différences symétriques
(P1 4 P2 = P1 ∪ P2 − P1 ∩ P2 = P1 ∪ P2 ∩ (X − P1 ∩ P2 )).
Exemple 1.1.4 1- τ = {φ, X} est une tribu sur X (appelée tribu grossiére de X.) De
même, l’ensemble des parties de X est une tribu de X (appelée tribu triviale ou tribu
discrète de X.)
2-Si X est une espace topologique, la tribu borélienne, B(X), de X est la plus petite tribu
contenant les ouverts de X (on dit aussi la tribu engendrée par les ouverts de X). Les
éléments de B(X) sont appelés les sous-ensembles boréliens de X.
3- Tout intervalle ouvert est un borélien de R (par définition), tout intervalle fermé est
un borélien de R, car [a, b] = ∩n>0 ]a − 1/n, b + 1/n[. En particulier, chaque singleton
est un borélien de R. L’ensemble Q, des nombre rationnels, et un borélien de R. Tout
intervalle semi-ouvert est également un borélien de R (par exemple, [a, b[= [a, b] ∩ (R −
{b}).) On peut montrer que la tribu borélienne de R est engendrée par les intervalles
] − ∞, a[, avec a ∈ R.
Définition 1.1.5 Soient (X, τ ) un espace mesurable, et Y ⊂ X une partie quelconque
de X. Alors τ|Y = {T ∩ Y, / T ∈ τ } est une tribu sur Y , appelée tribu trace de τ , sur Y .
5
1.2
Applications mesurables.
Définition 1.2.1 Soient (X, τ ) et (Y, V) deux espace mesurables. Une application f :
X → Y est dite mesurable, si ∀V ∈ V, f −1 (V ) ∈ τ . Si X et Y sont deux espaces
topologiques, et si τ et V sont les tribus boréliennes de X et Y , une application mesurable
de X dans Y est appelée aussi application borélienne.
Proposition 1.2.2 La composée de deux applications mesurables est mesurable. Si f :
X → Y est mesurable, et X 0 ⊂ X est une partie de X, la restriction de f à X 0 est
également mesurable (pour la tribu trace sur X 0 .)
Théorème 1.2.3 Soient (X, τ ) et (Y, V) deux espaces mesurables. Soit F ⊂ V une
famille de parties de Y engendrant V. Une application f : X → Y est mesurable si et
seulement si pour tout P ∈ F, f −1 (P ) ∈ τ .
Démonstration: Si f est mesurable, il est clair que la préimage de toute partie P ∈ F
est mesurable. Inversement, supposons que pour tout P ∈ F, f −1 (P ) ∈ τ . Toute
partie mesurable, C, de Y est obtenue par réunion dénombrable et/ou passage au
complémentaire d’élements de F. La préimage f −1 (C) est donc obtenue par réunion
dénombrable et/ou passage au complémentaire de préimages d’éléménts de F. Comme
τ est stable par ces opérations, f −1 (C) est mesurable, f est donc mesurable.
•
Corollaire 1.2.4 Si X et Y sont deux espaces topologiques, toute application continue,
f : X → Y est borélienne.
Démonstration: Comme f est continue, la préimage par f d’un ouvert de Y est un
ouvert de X, donc une partie mesurable de X. Il suffit alors d’appliquer le théorème
précédent.
•
Remarque 1.2.5 La réciproque de ce corollaire est en général fausse. Dans la suite du
cours, on s’intéressera principalement aux espaces Rn . Dans la pratique, toutes les applications rencontrées seront mesurables. (La construction d’applications non mesurables,
dans ce cas-là est complexe, et nécessite l’utilisation de l’axiome du choix.)
Proposition 1.2.6 Soit (X, τ ) un espace mesurable. Soit X = ∪i∈N Ei une partition de
X en sous-ensembles mesurables. Une application f : (X, τ ) → (Y, V) est mesurable si
et seulement si chacune des restrictions f |Ei : (Ei , τ |Ei ) → (Y, V) est mesurable.
Démonstration: Notons τi la restriction de la tribu τ à chacune des Ei . Si P est
−1
une partie V-mesurable de Y , f |−1
(P ) ∩ Ei est τi -mesurable, car f −1 (P )
Ei (P ) = f
est une partie mesurable de X. Inversement, Soit P une partie mesurable de Y . On
a f −1 (P ) = ∪i (f −1 (P ) ∩ Ei ). Par hypothése, chacune des parties f −1 (P ) ∩ Ei est τi mesurable. On peut donc trouver, pour chacun des i, une partie τ -mesurable Ai , de
X, telle que f −1 (P ) ∩ Ei = Ai ∩ Ei . Pour chaque i, Ai ∩ Ei est τ -mesurable. Alors
f −1 (P ) = ∪i (Ai ∩ Ei ) est une réunion dénombrable de parties τ -mesurables, elle est
donc τ -mesurable..
6
1.3
Mesures.
Définition 1.3.1 Soit (X, τ ) un espace mesurable. On appelle mesure sur (X, τ ) toute
application :

 µ : τ → R+ ∪ {+∞}

T → µ(T )
telle que :
1. µ(φ) = 0
2. Si (Tn )n∈N
S est une famille
P dénombrable de parties mesurables deux à deux disjointes
de X, µ( n∈N Tn ) = n∈N µ(Tn ).
Un espace mesurable (X, τ ), muni d’une mesure µ, est appelé un espace mesuré, et noté
(X, τ, µ).
Le seconde propriété est aussi appelée σ-additivité de µ.
Exemples 1.3.2
1. La mesure de Dirac, δ, sur R, définie par δ(P ) = 1 si 0 ∈ P ,
δ(P ) = 0, si 0 ∈
/ P , pour tout borélien, P , de R.
2. Mesure de comptage sur N. Ici, N est muni de la tribu discréte, et µ(P ) = card(P ),
pour toute partie P ⊂ N.
3. La mesure de Borel sur R, muni de la tribu borélienne, est l’unique mesure λ, telle
que λ([a, b[) = b − a, pour tous a ≤ b, a, b ∈ R.
Définition 1.3.3 Soit (X, τ, µ) un espace mesuré. Soit P une partie mesurable de X.
On dira que P est µ-négligeable (ou simplement négligeable), si µ(P ) = 0.
Exemple 1.3.4 Chaque singleton {x} ⊂ R est λ- négligeable. En effet, {x} = ∩n≥1 [x, x+
1/n[. On a donc λ({x}) = limn λ([x, x + 1/n[) = limn (1/n) = 0. Par σ-additivité,
toute partie dénombrable de R est également λ-négligeable. En particulier, l’ensemble
des nombres rationnels est une partie dense de R, de mesure nulle.
7
Tribus et mesures - Exercices
Exercice 1 Soit X = {a, b, c, d}. Soit F = {φ, {b, c, d}}. Décrire explicitement la tribu
τ (F), engendrée par F.
Exercice 2 Soit X un ensemble. Vérifier que l’ensemble τ , des parties de X, qui sont
dénombrables, ou dont le complémentaire est dénombrable, est bien une tribu sur X.
Montrer que τ est la tribu engendrée par les singletons de X.
Exercice 3 Montrer que les applications, de R dans R sont boréliennes :
1. E(x) = max{m ∈ Z / m ≤ x}.
2. f (x) = ex si x ∈ Q, f (x) = x si x ∈
/Q
Exercice 4 Soient X un ensemble non dénombrable, et τ la famille des parties de X qui
sont dénombrables, ou dont le complémentaire est dénombrable. Montrer que l’application
µ(P ) = 0 si P ∈ τ est dénombrable, µ(P ) = 1 si P ∈ τ est non dénombrable est une
mesure sur X.
Exercice 5 Montrer qu’il n’existe pas de mesure non nulle sur Z, finie, et invariante
par translation. (Z est muni de la tribu discréte.)
Exercice 6 Soit (X, τ, µ) un espace mesuré. Soient A et B deux parties mesurables de
X. Montrer que l’on a µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B),avec égalité si et seulement si A ∩ B
est négligeable.
Exercice 7 Soient A1 , A2 , . . . Ap ⊂ [0, 1] des parties boréliennes de R, dont la réunion
est l’intervalle [0, 1]. Montrer qu’il existe i ∈ {1, 2, . . . p}, tel que µ(Ai ) ≥ 1/p.
Exercice 8 Soit (xn )n∈N une suite dense de points de R (par exemple, les nombres
rationnels). On définit U = ∪n ]xn − 1/2n , xn + 1/2n [. Montrer que U est un ouvert de
R, de mesure de Lebesgue finie. En déduire que R − U est un fermé de R, d’intérieur
vide, mais de mesure non nulle.
8
Chapitre 2
Intégrale de Lebesgue.
2.1
Approximation des fonctions mesurables par des
fonctions étagées.
Définition 2.1.1 Soient X un ensemble, et f : X → R une fonction à valeurs réelles
sur X. On dit que f est une fonction étagée (ou fonction simple) si f (X) est un sousensemble fini de R.
Définition 2.1.2 Si E ⊂ X est un sous-ensemble quelconque de X, on notera χE la
fonction indicatrice (ou fonction caractéristique) de E, définie par :

χE : X → R





χE (x) = 1 si x ∈ E





χE (x) = 0 si x ∈
/E
Remarque 2.1.3 Si f est une fonction étagée sur X, et
Pnsi f (x) = {a1 , a2 , . . . , an }, on
−1
pose Ei = f (ai ), pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}. Alors f = i=1 ai χEi . Cette décomposition
de f sera appelée la décomposition canonique de f . Autrement dit, une fonction étagée
sur X est une combinaison linéaire finie de fonction indicatrices de sous-ensembles de X.
Si X est mesurable, et R est muni de la tribu borélienne, il est facile de voir qu’une telle
fonction f est mesurable si et seulement si chacun des Ei est mesurable. (Le vérifier !)
Théorème 2.1.4 [Approximation par des fonctions étagées.] Soient f une fonction
réelle positive sur un espace mesuré (X, τ ). Alors f est limite simple d’une suite croissante (fn )n∈N de fonction étagées positives. Si f est mesurable, les fonctions (fn )n∈N
peuvent être choisies mesurables.
n
Démonstration: Soit n ∈ N. On définit, pour tout i ∈ {1,
P2,n2.n. . , n2 }, nE(n, i) =
−1
n
n
−1
f ([(i − 1)/2 , i/2 [), et : Fn = f ([n, +∞[). On pose= fn = i=1 (i − 1)/2 .χE(n,i) +
n.χFn .
•
On remarque que si f est bornée, la convergence est uniforme.
9
Note 2.1.5 On rappelle qu’une fonction f , définie sur un ensemble X, est dite limite
simple d’une suite de fonctions (fn )n∈N , définies sur X, si pour tout point x ∈ X,
fn (x) → f (x), n tendant vers l’infini.
2.2
Intégration.
2.2.1
Intégration des fonctions étagées positives.
Définition 2.2.1
1. Soient (X, µ) un espace mesuré, etP
soit f une fonction étagée,
mesurable, à valeurs réelles positives sur X. Soit f = ni=1 ai χEi la décomposition
de f en combinaison linéaire de fonctions caractéristiques. On suppose ai ≥ 0, ∀i ∈
{1, 2, . . . , n}. On définit l’intégrale de f sur X, relativement à la mesure µ par :
Z
f dµ =
X
Si
R
X
n
X
ai µ(Ei ) ∈ R ∪ {+∞}.
i=1
f dµ est finie, on dira que f est intégrable sur X.
2. Plus généralement, si P ⊂ X est une partie mesurable de X, et f est comme au
(1), on définit :
Z
n
X
f dµ =
ai µ(P ∩ Ei ) ∈ R ∪ {+∞}.
P
i=1
Remarque 2.2.2 Si f est comme ci-dessus, et si (Fi )1≤i≤m est une autre partition de X
en parties mesurables, telle que la restriction de f Rà chacuneP
de Fi est constante (f (x) =
bi , ∀x ∈ Fi , i ∈ {1, 2, . . . , m}), alors on a aussi X f dµ = m
i=1 bi µ(Fi ) ∈ R ∪ {+∞}.
Cela provient de la propriété d’additivité de la mesure µ.
Proposition 2.2.3 Soient f et g deux fonctions étagées, mesurables, à valeurs positives
sur X.
R
R
1. Si f ≤ g, alors, X f dµ ≤ X gdµ.
R
R
2. Si λ est un réel positif ou nul, alors X λf dµ = λ X f dµ (avec la convention
0.∞ = 0).
R
R
R
3. X (f + g)dµ = X f dµ + X gdµ.
Démonstration: (1) provient
g = f + (g − f ) ; (2) est évident.
P de (3), en écrivant
P
Montrons (3). Soient f =
ai χEi , et g =
bj χFj les décompositions canoniques de
f et g respectivement. Pour chaque couple (i, j), posons Gi,j = Ei ∩ Fj . Alors {Gi,j }
est une partition de X,R en sous ensembles
chacun desquels
P mesurables, sur P
P f + g est
constante. On a donc X (f + g)dµ =
(f
+
g)
=
f
+
i,j +g|Gi,j =
R|Gi,j
Ri,j |Gi,j
P P
P P
P
Pi,j
i(
j f|Gi,j ) +
j(
i g|Gi,j ) =
i f|Ei +
j g|Fj ) = X f dµ + X gdµ.
•
10
2.2.2
Intégration des fonctions mesurables positives.
Définition 2.2.4 [Intégrale de Lebesgue.] Soit f une fonction mesurable à valeurs réelles
positives sur l’espace mesuré (X, µ). On définit :
Z
Z
f dµ = Sup{ gdµ},
X
X
le Sup étant pris sur l’ensemble des fonctions mesurables,
R étagées, positives g, qui sont
majorées par f . On dira que f est intégrable (sur X) si X f dµ < ∞.
Théorème 2.2.5 [Théorème de convergence monotone de Lebesgue, ou de Beppo-Levi.]
Soit (fn )n∈N une suite croissante de fonctions mesurables, positives sur (X, µ), convergeant simplement vers une fonction f . On a :
Z
Z
f dµ = Supn { fn dµ}.
X
X
Démonstration: Soit n ∈RN. Toute Rfonction étagée majorée par fn est aussiR majorée
par f ,Rce qui montre que X f dµ ≥ X fn dµ. Par passage au Supn , on a : X f dµ ≥
Supn { X fn dµ}. Il suffit donc de montrer l’inégalité inverse. Soit s une fonction étagée,
mesurable, positive, majorée par f . Soit 0 < c < 1 un réel quelconque. Pour chaque
n ∈ N, définissons En = {x ∈ X/fn (x) ≥ c.s(x)}. Comme (fn )n∈N est une suite
croissante,
qui
vers f , on a :REn ⊂ En+1 , et : ∪Rn∈N En = X. De
R
R converge simplement
R
R plus,
f
dµ
≥
f
dµ
≥
c.sdµ.
D’où
:
Sup
f
dµ
≥
Sup
c.sdµ
=
c
sdµ.
n X n
n En
X n
En n
En
R
RX
Comme cette inégalité est vraie pour tout réel 0 < c < 1, on a : Supn X fn dµ ≥ X sdµ.
Enfin, en passant au Sup sur les fonctions étagées s, majorées par f , on obtient le
résultat.
•
Corollaire 2.2.6 On a :
Z
Z
f dµ = Sup{
X
fn dµ},
X
les (fn )n∈N étant une suite croissante quelconque de fonctions étagées, mesurables, positives, convergeant simplement vers f . (On peut, par exemple, utiliser la suite construite
dans la démonstration du théorème 2.1.4.)
On vérifie alors facilement :
Corollaire 2.2.7 Les propriétés de l’intégrale énumérées dans la proposition 2.2.3 restent vraies pour des fonctions f et g, mesurables, à valeurs positives.
2.2.3
Intégration des fonctions mesurables à valeurs complexes.
Définition 2.2.8 Soient (X, µ) un espace mesuré. Soit f une fonction mesurable sur
X, à valeurs réelles (pas nécessairement positives.) On définit :
∀ x ∈ X,
f+ (x) = max{f (x), 0},
11
f− (x) = −min{f (x), 0}.
Les fonctions f+ et f− sont mesurables, à valeurs positives (voir exercices). On les appelle
respectivement partie positive et partie négative de f . On a : ∀x ∈ X, f (x) = f+ (x) −
f− (x).
Théorème 2.2.9 Soit f une fonction mesurable sur (X, µ), à valeurs réelles. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. La fonction |f | : x → |f (x)| est intégrable sur X.
2. Les fonctions f+ et f− sont intégrables sur X
Démonstration: On remarque que |f | = f+ + f− .
Définition 2.2.10 Si f est une fonction mesurable sur (X, µ), on dit que f est intégrable
sur X, et l’on définit :
Z
Z
Z
f dµ =
f+ dµ −
f− dµ.
X
X
X
Définition 2.2.11 Plus généralement, si f est une fonction sur X à valeurs complexes,
on décompose f en parties réelle et imaginaire : f = Re(f ) + i.Im(f ). On dit que f est
mesurable (resp. intégrable) si Re(f ) et Im(f ) sont mesurables (resp. intégrables.) Si f
est intégrable, on pose :
Z
Z
Z
Im(f )dµ.
Re(f )dµ + i.
f dµ =
X
X
X
Remarque 2.2.12 On vérifie facilement qu’une fonction à valeurs complexes est intégrable
si et seulement si |f | est intégrable (le faire !).
2.3
2.3.1
Théorème de convergence dominée.
Rappels sur limite sup.
Définition 2.3.1 Soit (an )n∈N une suite de nombres réels.
1. On appelle limite supèrieure de la suite (an )n∈N , la quantité :
lim sup(an ) = limn→∞ (Sup{am /m ≥ n}) = Infn≥0 (Sup{am /m ≥ n}).
2. On appelle limite infèrieure de la suite (an )n∈N , la quantité :
lim inf (an ) = limn→∞ (Inf {am /m ≥ n}) = Supn≥0 (Inf {am /m ≥ n}).
Si la suite (an )n∈N converge vers a ∈ R ∪ {+∞, −∞}, on a lim sup(an ) = lim inf (an ) =
a. On remarque également que lim sup(an ) = −lim inf (−an ). Enfin, si les an sont tous
positifs, et lim sup(an ) ≤ 0, alors lim sup(an ) = 0, ce qui implique an → 0, pour n → ∞.
Exemple 2.3.2 Si an = (−1)n , lim sup(an ) = 1, et lim inf (an ) = −1.
12
2.3.2
Lemme de Fatou.
Lemme 2.3.3 [Lemme de Fatou.] Soit (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables à
valeurs réelles, positives, sur un espace mesuré (X, µ). On a :
Z
Z
(lim inf (fn ))dµ ≤ lim inf ( fn dµ)
X
X
Démonstration: Pour chaque entier k ≥ 1, définissons gk (x) = Inf{i≥k} fi (x), x ∈ X.
La suite (gk )k est une suite croissante, convergeant vers
R lim infR(fn ). En appliquant le
théorème de convergence
monotone,
on
obtient
lim
R
R
R k X gk dµ = X (lim
R inf (fn ))dµ. On
a, pour tout i ≥ k : X gk dµ ≤ X fi dµ, et donc : X gk dµ ≤ Infi≥k X fi dµ. On obtient
le résultat en passant à la limite sur k.
•
Théorème 2.3.4 [Théorème de convergence dominée de Lebesgue.] Soit (fn )n∈N une
suite de fonctions mesurables à valeurs complexes sur un espace mesuré (X, µ). On
suppose :
1. La suite (fn )n converge simplement vers une fonction f .
2. Il existe une fonction g, intégrable, sur X, telle que ∀ n ∈ N, ∀x ∈ X, |fn (x)| ≤
g(x).
Alors, f est intégrable, et :
Z
Z
f dµ = limn→∞
X
fn dµ.
X
Démonstration: Comme |f | ≤ g, et que g est intégrable, |f | est intégrable, donc f est
intégrable. Posons hn = 2g − |fn − f |. La suite hn est une suite de fonctions à valeurs
positives, qui converge
simplementRvers 2g. On peut doncRappliquer le lemmeRde Fatou,
R
pour obtenir
R : X 2gdµ ≤ limRinfn X (2g − |fn − f |)dµ = X 2gdµ + lim infn X (−|fn −
f |)dµ = X 2gdµ
− lim supn X (|fn − f |)dµ. Comme g est intégrable,
R
R on en déduit, en
retranchant
2gdµ
de
chacun
des
membres
de
l’inégalité
:
lim
sup
n RX (|fn − f |)dµ ≤ 0.
X
R
Comme X (|fRn −f |)dµ est positif pour tout n, il s’ensuit
que Rlim supn XR(|fn −f |)dµ = 0,
R
et donc limn X (|fn − f |)dµ = 0. Enfin, comme | X fn dµ − X f dµ| ≤ X |fn − f |dµ, on
a le résultat.
•
Remarque 2.3.5 [Propriétés vraies presque partout.] Soient (X, µ) un espace mesuré,
et f une fonction sur X. Soit P (x) une propriété, définie pour chaque x ∈ X. On dit
que f satisfait P µ−presque partout si l’ensemble E = {x ∈ X/f ne vérifie pas P (x)}
est de mesure nulle. (On dit alors que P (x) est vérifiée presque pour tout x ∈ X.) Par
exemple, on dira qu’une suite (fn )n converge simplement vers f , µ− presque partout,
si {x ∈ X/fn (x) ne converge pas vers f (x)} est de mesure nulle. On peut formuler le
théorème de convergence dominée de maniére un peu plus générale :
Théorème 2.3.6 [Théorème de convergence presque partout dominée de Lebesgue.] Soit
(fn )n∈N une suite de fonctions mesurables à valeurs complexes sur un espace mesuré
(X, µ). On suppose :
13
1. La suite (fn )n converge simplement presque partout vers une fonction f .
2. Il existe une fonction g, intégrable, sur X, telle que, presque pour tout x ∈ X,
∀ n ∈ N, |fn (x)| ≤ g(x).
Alors, f est intégrable, et :
Z
Z
f dµ = limn→∞
fn dµ.
X
X
Démonstration: Soit E l’ensemble des x ∈ X tels que les hypothéses 1 ou 2 ne
sont pas vérifiées. C’est un ensemble de mesure nulle. Soit χ la fonction indicatrice du
complémentaire de E. Il suffit de remplacer chacune des fonctions fn et f par ϕn = fn .χ,
et ϕ = f.χ, respectivement. Les hypothéses du théoréme sont verifiées par ϕn , et ϕ,
pour
tout xR ∈ X. On est alors ramenés à la
précédente. De plus, on a
R
R démonstration
R
ϕ dµ = X fn dµ, pour tout entier n, et X ϕdµ = X f dµ. La conclusion reste donc
X n
identique.
•
2.4
2.4.1
Mesure produit et théorème de Fubini.
Tribu produit et mesure produit.
Définition 2.4.1 Soient (X, τ ) et (Y, V) deux espaces mesurables.
1. On appelle rectangle mesurable dans X × Y tout ensemble de la forme A × B, avec
A ∈ τ , et B ∈ V.
2. On appelle tribu produit, et l’on note τ ⊗ V, la tribu sur X × Y engendrée par les
rectangles mesurables.
Définition 2.4.2 Soit (X, τ, µ) un espace mesuré. On dit que la mesure τ est σ−finie
si X est réunion d’une suite croissante de sous ensembles mesurables, de mesure finie.
Théorème 2.4.3 Soient (X, τ, µ) et (Y, V, ν) deux espaces mesurés. Supposons que les
mesures µ et ν sont σ−finies. Il existe alors sur (X × Y, τ ⊗ V) une unique mesure, notée
µ ⊗ ν, telles que (µ ⊗ ν)(A × B) = µ(A)ν(B), pout tout rectangle mesurable A × B, de
X ×Y.
Démonstration: Soit E ∈ τ ⊗ V. Pour tout
R y élément de Y , notons Ey = {x ∈
X / (x, y) ∈ E}. On définit alors (µ ⊗ ν)(E) = Y µ(Ey )dν. Montrons que µ ⊗ ν est bien
une mesure : On a (µ ⊗ ν)(φ) = 0. Si (En )n∈N est une suite de parties mesurables de
X × Y , deux à deux disjointes, alors pour chaque
S y ∈ Y , les parties {(En )yR, n ∈ N} sont
deux à deux
Soit E =P n∈N . On a (µ ⊗ ν)(E) = Y µ(Ey )dν =
Régalement
R
P
Pdisjointes.
µ((E
)
)dν
=
µ((E
)
n y
n y )dν =
n
n Y
n (µ ⊗ ν)(En ). (la derniére égalité étant
Y
obtenue par le théorème de convergence monotone.) On vérifie facilement la propriété
(µ ⊗ ν)(A × B) = µ(A)ν(B). Enfin, si β est une mesure sur X × Y vérifiant également
cette propriété, β coincide avec µ ⊗ ν sur les rectangles mesurables de X × Y , donc
également sur les parties de mesure finie de X × Y . Comme µ ⊗ ν est σ−finie, β = µ ⊗ ν.
•
14
2.4.2
Intégration dans un espace produit.
Soient (X, τ, µ) et (Y, V, ν) deux espaces mesurés. On suppose dans ce numéro, que les
mesures µ et τ sont σ−finies.
Théorème 2.4.4 [Théorème de Fubini.]
1. Soit f : X × Y → R une fonction mesurable. Soit y ∈ Y . On définit l’application partielle fy , sur X, par fy (x) = f (x, y), pour tout x ∈ X. Alors fy est
τ −mesurable.
2. Soit Rf une fonction mesurable sur X × Y , à valeurs positives. Alors la fonction
y → X fy (x)dµ est V−mesurable, et l’on a :
Z Z
Z
( fy dµ)dν =
f d(µ ⊗ ν).
Y
X
X×Y
Démonstration: 1- Soit P une partie mesurable de R. Alors f −1 (P ) est une partie
mesurable de X × Y . Si y ∈ Y est fixé, on a fy−1 (P ) = (f −1 (P ))y , qui est également
mesurable.
2- SupposonsR d’abord que
R f = χE , avec E partie mesurable de X × Y . Soit y ∈ Y ,
fixé. On a : X fy dµ = X χEy dµ = µ(Ey ). En intégrant cette égalité sur Y , on obtient
le résultat. Par linéarité, le résultat est également vrai pour les fonctions étagées. Le
théorème d’approximation par des fonctions étagées, et le théorème de convergence monotone donnent le résultat pour une fonction mesurable sur X × Y , à valeurs positives,
quelconque.
•
Corollaire 2.4.5 Soit f une fonction intégrable sur X × Y , à valeurs réelles. On a :
Z
Z Z
f d(µ ⊗ ν).
( fy dµ)dν =
Y
X×Y
X
Démonstration: On écrit f = f+ − f− , où f+ et f− sont les parties
R respectivement
positive et négative de f . Comme ces fonctions sont intégrables, on a : X×Y f d(µ ⊗ ν) =
R
R
f
d(µ
⊗
ν)
−
f d(µ ⊗ ν). Le théorème de Fubini s’applique à f+ et f− , et
+
X×Y
X×Y −
donne le résultat.
•
Remarque 2.4.6 On peut intervertir les espaces X et Y dans ces deux résultats. On
obtient alors des égalités permettant d’intervertir l’ordre d’intégration de la fonction f ,
sous les hypothéses correctes.
15
Intégrale de Lebesgue - Exercices
Exercice 9 Soient f1 et f2 deux fonctions mesurables à valeurs réelles sur X. On pose
M (x) = max{f1 (x), f2 (x)}, et m(x) = min{f1 (x), f2 (x)}pour tout point x ∈ X.
1. Soit a ∈ R. Exprimer M −1 (] − ∞, a[) et m−1 (] − ∞, a[) au moyen de f1 et f2 .
2. En déduire que M et m sont mesurables.
3. Montrer que si f est une fonction mesurable à valeurs réelles sur (X, µ), alors f+
et f− sont également mesurables.
Exercice 10 Soit f : R → R la fonction définie par : f (x) = 1, si x ≥ 0, f (x) =
−1 si x R< 0. Soient a, r ∈ R. Calculer (au moyen d’une primitive de f ) l’intégrale
a+r
Ia (r) = −a f (x)dx, puis lima→∞ Ia (r). Peut-on, dans ces conditions, donner un sens
R∞
non ambigu à l’expression −∞ f (x)dx ?
ExerciceR 11 Soit f : R → R la fonction caractéristique de l’ensemble des rationnels.
Calculer R f dλ. (où λ est la mesure de Lebesgue sur R.)
Exercice 12 On munit R+ de la tribu borélienne, et on note λ la mesure de Lebesgue.
On definit, pour tout entier n > 0, fn (x) = 1/n, si x ∈ [n, 2n], et fn (x) = 0 si x ∈
/ [n, 2n].
1. Montrer que chacune des fonctions fn est intégrable, et calculer sont intégrale.
2. Montrer que
R la suite de fonctions (fn )n>1 converge vers 0 uniformément, mais que
la suite ( R+ fn dλ)n>0 ne converge pas vers 0
Exercice 13 Soit X = [0, 1], muni de la mesure de Lebesgue. On definit, pour tout
entier n > 0, fn (x) = n, si x ∈ [1/n, 2/n], et fn (x) = 0 si x ∈
/ [1/n, 2/n].
1. Vérifier que chacune des fonctions fn est intégrable.
2. Montrer
R que la suite de fonctions (fn )n>1 converge simplement vers 0, mais que la
suite ( X fn dλ)n>0 ne converge pas vers 0
Exercice 14 Calculer, de deux maniéres différentes, l’intégrale I =
(Utiliser une primitive de ex , puis le théorème de Beppo-Levi.)
R 1 P∞ n
( n=0 x /n!) dx.
0
Exercice 15 Soit (fn )n∈N une suite décroissante de fonctions continues, Rà valeurs po1
sitives, définies sur [0, 1], convergeant simplement vers 0. Calculer limn→∞ 0 e−fn (x) dx.
Justifier votre réponse.
Exercice 16 Vérifier le lemme de Fatou avec les suites des exercices 12 et 13.
Exercice 17 Calculer limn→∞
R1
0
(1 − x/n)n dx.
16
Exercice 18 Soient (X, µ) un espace mesuré, f une fonction mesurable sur X, à valeurs
réelles, et (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables, à valeurs réelles positives sur X,
convergeant simplement vers f .
1. Vérifier l’égalité, pour n quelconque : |fn − f | = fn + f − 2.min(fn , f ).
2. REn déduire Rque si f est intégrable,
ainsi que toutes les fonctions (fn )n∈N , et si
R
f dµ → X f dµ, alors X |fn − f |dµ → 0.
X n
Exercice 19 Soit X =]0, 1], muni de la mesure de Lebesgue λ. Soit f la fonction définie
sur X, par f (x) = 1/x. Soit (fn )n>0 la suite :

 fn (x) = n si x ∈]0, 1/n]

fn (x) = f (x) si x ∈ [1/n, 1]
1. Montrer que la suite (fn )n converge simplement vers f .
R
R
2. Montrer que limn ( X fn dλ) = X f dλ.
R
3. Montrer que l’on n’a cependant pas X |fn − f |dλ → 0. Pourquoi le résultat de
l’exercice précédent ne s’applique-t-il pas ici ?
Exercice 20 Soit f la fonction
R Rdéfinie sur [0,
R R1] × [0, 1] par f (0, 0) = 0, et f (x, y) =
2
2
2
2 2
(x − y )/(x + y ) . Calculer ( f dx)dy, et ( f dy)dx. Ces deux intégrales sont-elles
égales ?
Indication : on pourra remarquer que (x2 − y 2 )/(x2 + y 2 )2 = Re(1/(x + iy)2 ).
Exercice 21 En utilisant le théorème de Fubini, calculer l’aire du disque Dr , de rayon
r, centré en l’origine. (Utiliser les coordonnées cartésiennes.)
Exercice 22 Soit µ la mesure sur R2 , produit de la mesure de Lebesgue par la mesure
δ = δ1 + 2δ2 . Explicitement, dµ(x, y) = dλ(x)(δ1 (y) + 2δ2 (y)).
1. Calculer la mesure du disque fermé, centré en l’origine, de rayon 2.
R
2. Soit f (x, y) = y/(1 + x2 + y 2 ). Calculer R2 f dµ.
Exercice 23 Soient a >R 0, et f : [0, a] → R une fonction
intégrable. ROn définit, pour
R
a
tout 0 < x < a : g(x) = x f (t)/tdλ(t). Montrer que ]0,a] g(x)dλ(x) = [0,a] f (x)dλ(x).
17
18
Chapitre 3
Espaces Lp.
3.1
3.1.1
Inégalités et convexité.
Inégalité de Holder.
Définition 3.1.1 Une fonction ϕ, à valeurs réelles, définie sur un intervalle ]a, b[⊆ R
est dite convexe, si pour tout x ∈]a, b[, et pour tout 0 ≤ t ≤ 1, on a :
ϕ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)ϕ(a) + tϕ(b).
Une fonction ϕ, réelle et différentiable est convexe, si et seulement si la dérivée de ϕ est
monotone croissante.
Définition 3.1.2 Soient p et q deux nombres réels strictement positifs. On dit que (p, q)
est un couple d’exposants conjugués si 1/p + 1/q = 1. On étend cette définition au cas
où l’un des deux nombres p ou q vaut 1, en posant l’autre égal à +∞. Ainsi, (1, +∞)
est également un couple d’exposants conjugués.
Théorème 3.1.3 [Inégalité de Holder.] Soient p et q deux exposants conjugués, avec
1 < p < ∞. Soit (Xµ) un espace mesuré. Soient f et g deux fonctions mesurables sur
X, à valeurs réelles positives. On a :
Z
Z
Z
p
1/p
f g dµ ≤ ( f dµ) ( g q dµ)1/q
X
X
X
R
R
Démonstration: Posons A = ( X f p dµ)1/p , et B = ( X g q dµ)1/q . On peut supposer
les autres cas étant évidents. Soient F = f /A, et G = g/B. On a :
Rque 0p < A, BR < ∞,
q
F dµ = X G dµ = 1. Soit x ∈ X, tel que f (x) 6= 0, et g(x) 6= 0. On peut trouver
X
deux réels s, et t, tels que F (x) = es/p , et G(x) = et/q . Comme la fonction exponentielle
est convexe, on a : es/p+t/q ≤ es /pR + et /q, c’est à dire : F (x)G(x) ≤ F (x)p /p + G(x)q /q.
En intégrant sur X, on obtient : X F G dµ ≤ 1/p + 1/q = 1, ce qui implique le résultat.
•
19
3.1.2
Inégalité de Minkowski.
Théorème 3.1.4 [Inégalité de Holder.] Soit p tel que 1 ≤ p < ∞. Soit (X, µ) un espace
mesuré. Soient f et g deux fonctions mesurables sur X, à valeurs réelles positives. On
a:
Z
Z
Z
p
1/p
p
1/p
( (f + g) dµ) ≤ ( f dµ) + ( g p dµ)1/p
X
X
X
Pour p = q = 2, cette inégalité est également appelée inégalité de Schwarz.
Démonstration: Si p = 1, le résultat est évident.
Supposons p > R1. Soit q l’exposant
R
R
p−1
p
1/p
conjugué de p. L’inégalité
de
Holder
donne
:
f
(f
+
g)
dµ
≤
(
f
dµ)
(
(f +
X
X
X
R
R p
R
(p−1)q
1/q
p−1
1/p
(p−1)q
1/q
g)
dµ) , et : X g(f + g) dµR≤ ( X g dµ) ( RX (f + g)
dµ)
R p . En1/padditionR
p
p
1/p
nant ces deux inégalités, on obtient : X (f +g) dµ ≤ [( X f dµ) +( X gR dµ) ]( X (f +
g)R(p−1)q dµ)1/q . Comme
− 1)q
derniére inégalité devient : X (f + g)p dµ ≤
R p (p 1/p
R = p, cette
p
1/p
p
[( X f dµ) + ( X g dµ) ]( X (f + g) dµ)1/q . Enfin, comme
R 1/p + 1/q = 1, on obtient
le résultat en divisant les deux membres de l’inégalité par ( X (f + g)p dµ)1/q .
•
3.2
3.2.1
Les semi-normes k.kp.
Le cas 1 ≤ p < ∞.
Définition 3.2.1 Soit 1 ≤ p < ∞. Soit (X, µ) un espace mesuré. Pour toute fonction
f , mesurable sur X, à valeurs complexes, on pose :
Z
kf kp = ( |f |p dµ)1/p
X
Définition 3.2.2 On notera Lp (X) l’ensemble des fonctions mesurables f , sur X, telles
que kf kp < ∞. (On dit qu’une telle fonction est de puissance p intégrable.)
Proposition 3.2.3 Soient 1 < p, q < ∞ deux exposants conjugués. Soit (X, µ) un
espace mesuré. Soient f et g deux fonctions mesurables sur X. On a :
1. Si f ∈ Lp (X), et g ∈ Lq (X), alors f g ∈ L1 (X), et : kf gk1 ≤ kf kp kgkq .
2. Si f ∈ Lp (X), et g ∈ Lp (X), alors f + g ∈ Lp (X), et : kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Démonstration: (1) est une réécriture de l’inégalité de Holder pour |f | et |g|. (2)
Provient, de la même maniére, de l’inégalité de Minkowski, et de |f + g| ≤ |f | + |g|.
On remarque, d’aprés (2) de cette proposition, que Lp (X) est un espace vectoriel. (La
stabilité de Lp (X) par multiplication par un scalaire est évidente.) De plus, k.kp vérifie
les propriétés définissant une norme, sauf kf kp = 0 ⇒ f = 0 (on a seulement f = 0
presque partout). On définira par la suite des espaces Lp (X), quotients de Lp (X), sur
lesquels k.kp est bien une norme.
20
3.2.2
L’espace L∞ (X)
Définition 3.2.4 Soit f ne fonction mesurable sur (X, µ). On appelle supremum essentiel de f le réel :
Supp − ess(f ) = Inf {C/|f (x)| < C, pour presque tout x ∈ X}.
On note également kf k∞ le supremum essentiel de f . On définit L∞ (X) = {f, mesurable sur X /kf k∞ <
∞}.
Les inégalités de Holder et de Minkowski se généralisent au cas p = ∞ :
Proposition 3.2.5 Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ deux exposants conjugués. Soit (X, µ) un
espace mesuré. Soient f et g deux fonctions mesurables sur X. On a :
1. Si f ∈ Lp (X), et g ∈ Lq (X), alors f g ∈ L1 (X), et : kf gk1 ≤ kf kp kgkq .
2. Si f ∈ Lp (X), et g ∈ Lp (X), alors f + g ∈ Lp (X), et : kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Démonstration: 1) Il reste à considérer le cas p = 1, q = ∞. Par définition du supremum essentiel, |f g(x)| ≤ kgk∞ .|f (x)|, pour presque tout x ∈ X. Le résultat s’ensuit.
2) Supposons p = ∞. Soit E1 = {x ∈ X/|f (x) > kf k∞ }, et E2 = {x ∈ X/|g(x) >
kf k∞ }. Soit x ∈ X − (E1 ∪ E2 ). On a |f + g(x)| ≤ |f (x) + |g(x)| ≤ kf k∞ + kgk∞ .
Comme E1 et E2 sont de mesure nulle, E1 ∪ E2 est également de mesure nulle. On a
bien kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞ .
•
3.3
Les espaces Lp(X).
Définition 3.3.1 Soient f et g deux fonctions mesurables sur un espace mesuré (X, µ).
On définit la relation R par : f Rg si f et g sont presque partout égales.
Proposition 3.3.2 La relation R est une relation d’équivalence.
Démonstration: La réflexivité et la symétrie sont évidente. Montrons que R est transitive. Soient f , g, h trois fonctions mesurables sur (X, µ). Supposons que f Rg, et gRh.
Soient E1 = {x ∈ X/f (x) 6= g(x)}, et E2 = {x ∈ X/g(x) 6= h(x)}. Soit x ∈ X−(E1 ∪E2 ).
On a f (x) = g(x) = h(x). Comme E1 ∪ E2 est de mesure nulle, la transitivité de R est
démontrée.
•
Définition 3.3.3 Soit 1 ≤ p ≤ ∞. L’espace Lp (X) est le quotient de Lp (X) par la
relation d’équivalence R. Si f ∈ Lp (X), on notera [f ] sa classe d’équivalence dans
Lp (X).
On rappelle que [f ] = {f + g / g(x) = 0 pour presque tout x ∈ X}. Si aucune confusion
n’est à craindre, on fera souvent l’abus de notation consistant à noter de la même maniére
une fonction f ∈ Lp (X), et sa classe d’équivalence dans Lp (X).
21
Théorème 3.3.4 Soit 1 ≤ p ≤ ∞. La semi-norme k.kp , définie sur Lp (X) passe au
quotient, et définit une norme sur Lp (X).
La démonstration de ce théorème est laissée en exercice. Les espace Lp (X) sont des
espaces vectoriels normés, complets. De tels espaces sont appelés des espaces de Banach.
22
Espaces Lp - Exercices
R
Exercice 24 En calculant de deux façons l’intégrale : I = R+ ×R+ 1/(1+x)(1+xy 2 ) dλ(x, y),
R∞
trouver la valeur de l’intégrale 0 ln(t)/(t2 − 1) dt. (On pourra utiliser la décomposition
en éléments simples : 1/(1 + x)(1 + xy 2 ) = (1/(1 + x) − y 2 /(1 + xy 2 ))/(1 − y 2 ).)
Ra
Exercice 25 Montrer que pour tout a > 0, on a : 0 x−1/2 e2x dx ≤ 3a1/6 e2a /2. (Utiliser
l’inégalité de Holder pour p = 3/2, et q correctement choisi.)
Exercice 26 Soit f une fonction
de carré intégrable sur
R1
R 1 [0, 1]. Montrer que l’on ne peut
pas avoir en même temps : 0 (f (x)−ex )2 dx ≤ 1/4, et : 0 (f (x)−e−x )2 dx ≤ 1/4 (Utiliser
R1
l’inégalité de Holder pour montrer que sous ces hypothéses, on a 0 |f (x) − ex |dx ≤
R1
1/2, et : 0 |f (x) − e−x |dx ≤ 1/2. Puis, l’inégalité triangulaire pour montrer qu’alors :
R1 x
|e − e−x |dx ≤ 1. Conclure à une contradiction.
0
Exercice 27 Soit (X, µ) un espace mesuré. On suppose que µ(X) < ∞. Soient p et q
deux réels, avec 1 ≤ q ≤ p. Montrer que Lp (X) ⊂ Lq (X). (On pourra distinguer les cas
p = ∞, et p < ∞.)
Exercice 28
1. Soit (X, µ) un espace mesuré. On suppose q ≤ p. Montrer que
q
∞
L (X) ∩ L (X) ⊂ Lp (X).
2. On munit N de la mesure de comptage. Déduire de la question précédente que
Lq (N) ⊂ Lp (N), si 1 ≤ q ≤ p.
Exercice 29 Trouver une fonction f , qui soit intégrable sur R, mais pas de carré
intégrable. Trouver une fonction g, qui soit de carré intégrable sur R, mais pas intégrable.
√
Exercice 30 Soient f1 (t) = e−t , et f2 (t) = 1/ t(1+|ln(t)|), définies sur R+ . Dire pour
quelles valeurs de p ∈ [1, ∞], f1 , respectivement f2 sont dans Lp (R+ ).
Exercice 31 Soit (X, µ) un espace mesuré. On suppose que µ(X) = 1. Soit Rf une foncR
tion mesurable sur X, à valeurs réelles et strictement positives. Montrer que ( X f dµ)( X (1/f )dµ) ≥
1. La valeur 1 peut-elle être atteinte ?
Exercice 32 RSoient f et g deux fonctions intégrables sur R. On définit, pour tout t ∈
R : f ? g(t) = R f (s)g(t − s)ds. Montrer que f ? g est intégrable sur R, et que kf ? gk1 ≤
kf k1 kgk1 .
23
24
Chapitre 4
Convolution et séries de Fourier.
4.1
4.1.1
Les espaces Lp(T).
Définition et propriétés élémentaires.
Définition 4.1.1 On notera TR le cercle unité dans R2 , et θ la mesure de Lebesgue
normalisée sur T. On a alors : T dθ = 1.
Soit 1 ≤ p ≤ ∞ on note Lp (T) l’espace des (classes de) fonctions mesurables, f , sur T,
telles que kf kp < ∞.
Proposition 4.1.2
1. Soit p un réelR quelconque, 1 ≤ p < ∞ ; Lp (T) est le complété
de C(T) pour la norme : kf kpp = T |f (θ)|p dθ.
2. Pour tous p, q, tels que 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. Pour toute fonction f ∈ C(T), kf k∞ ≥
kf kp ≥ kf kq .
3. Pour tous réels p, q, tels que 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, C(T) ⊂ Lp (T) ⊂ Lq (T) ⊂ L1 (T).
Les inclusions sont continues.
Démonstration: (1) sera démontré dans la suite du chapitre.
(2) Si p = ∞, le résultat est évident. Supposons donc p < ∞. Soient F = |f |q , et 1
la fonction constante sur le cercle, partout égale
R à 1. SoientRP =P p/q,1/Pet Q l’exposant
conjugué
de
P
.
L’inégalité
de
Holder
donne
:
F.1dθ ≤ ( T F dθ) , c’est à dire :
T
R
R
q
p
q/p
|f | dθ ≤ ( T |f | dθ) , d’où le résultat.
T
(3) est une conséquence de (2).
•
4.2
Convolution et approximation.
Définition 4.2.1 Soient f et g deux fonctions dans L1 (T). On définit le produit de
convolution de f et g par :
Z
f ? g(θ) =
f (θ0 )g(θ − θ0 )dθ0 .
T
25
Proposition 4.2.2
1. On a : kf ? gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
2. Si g ∈ C(T), alors f ? g ∈ C(T), et : kf ? gk1 ≤ kf k1 kgk∞ .
R
R
RR
Démonstration: 1- On calcule : kf ? gk1 = dθ| dθ0 f (θ)g(θ0 − θ)| ≤
|f (θ)g(θ0 −
θ)|dθ0 dθ = kf k1 kgk1 .
2- Montrons d’abord que
R f ? g est continue : Soient θ1 , et θ2 deux points du cercle. On a :
|f ?g(θ1 )−f ?g(θ2 )| ≤ |f (θ)||g(θ1 −θ)−g(θ2 −θ)|dθ ≤ kf k1 M axθ (|g(θ1 −θ)−g(θ2 −θ)|.
Cette derniére quantité tend vers 0 quand θ1 − θ2 tend
R vers 0, car g est uniformément
continue. Enfin, pour tout point θ ∈ T, |f ? g(θ)| ≤ |f (θ − θ0 )g(θ0 )|dθ0 ≤ kf k1 kgk∞ .
•
Remarque 4.2.3 Le (1) de la proposition ci-dessus montre que L1 (T), munie du produit de convolution, est une algèbre de Banach.
Proposition 4.2.4 Soit (φn )n∈N une suite de fonctions dans L1 (T), telle que :
R
1. ∀n ∈ N, φn ≥ 0 et φn (θ)dθ = 1.
R
2. ∀ > 0, limn→∞ θ∈[−π,π]/|θ|> φn (θ)dθ = 0.
Alors : ∀g ∈ C(T), φn ? g converge uniformément vers g
Démonstration: Soit g ∈ C(T), soit α > 0. Soit R> 0, tel que |g(θ1 ) − g(θ2 )| < α,
π
dés que |θ1 − θ2 | < . On a : |φn ? g(θ) − g(θ)| ≤ −π φn (θ0 )|g(θ − θ0 ) − g(θ)|dθ0 =
R
R
φ (θ0 )|g(θ−θ0 )−g(θ)|dθ0 + − φn (θ0 )|g(θ−θ0 )−g(θ)|dθ0 = I1 (n, )+I2 (n, ).
θ0 ∈[−π,π]/|θ0 |> n
R
L’intégrale I1 (n, ) est majorée par 2kgk∞ θ0 ∈[−π,π]/|θ0 |> φn (θ0 )dθ0 , qui tend vers 0 quand
n tend vers l’infini. L’intégrale I2 (n, ) est plus petite que α.
•
Définition 4.2.5 Une telle suite de fonctions (φn )n∈N sera appelée une unité approchée
de convolution.
4.3
Noyaux de Dirichlet et séries de Fourier.
Définition 4.3.1
1. Pour tout entier n ∈ Z, on note en la fonction continue sur le
cercle définie par : en (θ) = einθ , θ ∈ [−π, π].
2. Pour tout entier n ∈ Z, on définit l’opérateur Pn : L1 (T) → L1 (T), par : Pn (f ) =
f ? en , f ∈ L1 (T).
Proposition 4.3.2
1. Pour tous m, n ∈ Z, em ? en = en δm,n .
2. Pour tous m, n ∈ Z, Pn est une application continue, de L1 (T) dans L1 (T),
kPn k = 1, et Pm ◦ Pn = Pn δm,n .
3. Soient f, g ∈ L1 (T), et n ∈ Z. On a : Pn (f ? g) = Pn (f ) ? Pn (g).
R
4. Pour tout f ∈ L1 (T), Pn (f ) = cn (f )en , avec cn (f ) = f (θ)e−inθ dθ. Le coefficient
cn (f ) est appelé le n-iéme coefficient de Fourier de la fonction f .
Ici, δm,n = 1 si m = n, δm,n = 0 si m 6= n.
26
Démonstration: 1 et 4- Il suffit d’effectuer les calculs.
2- On a, pour tout f ∈ L1 (T), kPn (f )k1 ≤ ken k∞ kf k1 = kf k1 . L’opérateur Pn est donc
bien continu, et de norme plus petite ou égale à 1. Comme Pn (en ) = en , on a kPn k = 1.
Enfin, Pm ◦ Pn (f ) = em ? (en ? f ) = (em ? en ) ? f = en ? f δm,n = Pn (f )δm,n .
3- Pn (f ? g) = f ? g ? en = f ? g ? en ? en = (f ? en ) ? (g ? en ) = Pn (f ) ? Pn (g).
•
Corollaire 4.3.3 Soient f, g éléments de L1 (T).
1. On a, pour tout n ∈ Z : cn (f ? g) = cn (f )cn (g).
2. cn (f ) → 0 quand |n| → ∞.
Démonstration: 1- On a cn (f ? g)en = Pn (f ? g) = Pn (f ) ? Pn (g) = cn (f )cn (g)en ? en =
cn (f )cn (g)en , d’où le résultat.
2-Posons fk (x) = f (x+ πk ). On remarque, en utilisant un changement de variables simple,
que ck (fk ) = −ck (f ). On en déduit : 2|ck (f )| = |ck (f ) − ck (fk )| ≤ kf − fk k1 → 0 (k →
∞) (Utiliser encore la convergence dominée.)
•
Le (2) du corollaire ci-dessus est appelé le lemme de Riemann-Lebesgue.
Définition 4.3.4 Soit n ∈ N.
1. On appelle noyau de Dirichlet d’ordre n la fonction :
Dn =
n
X
ek .
k=−n
2. On note Dn ? l’opérateur défini sur L1 (T), par Dn ? (f ) = Dn ? f.
3. On appelle la fonction Dn ? f la somme partielle d’ordre n de la série de Fourier
de f .
Proposition 4.3.5
1. Pour tout entier positif n,
2. Pour tout entier positif n, et θ ∈ T, Dn (θ) =
R
Dn (θ)dθ = 1.
sin((n+1/2)θ)
.
sin(θ/2)
3. Pour tous m ≥ n ≥ 0, Dm ? Dn = Dn .
R
Démonstration: 1- Provient de l’égalité en (θ)dθ = δn (Où δ est le symbole de Kronecker.)
P
e2n+1 (θ)−1
sin((n+1/2)θ)
2- On a Dn (θ) = e−n (θ) 2n
. (Diviser numérateur
k=0 ek (θ) = e−n (θ) e1 (θ)−1 =
sin(θ/2)
iθ/2
et dénominateur par e .)
3- S’établit en utilisant (2) de la proposition précédente.
Proposition 4.3.6 Soit f ∈ C 1 (T). Alors Dn ? f → f , uniformément, quand n tend
vers l’infini.
27
R
Démonstration: Soit θ ∈ T. On a Dn ? f (θ) − f (θ) = (f (θ − θ0 ) − f (θ))Dn (θ0 )dθ0 =
R f (θ−θ0 )−f (θ)
0 )−f (θ)
(sin(nθ0 )cos(θ0 /2)+cos(nθ0 )sin(θ0 /2))dθ0 . Posons gθ (θ0 ) = f (θ−θ
cos(θ0 /2),
sin(θ0 /2)
sin(θ0 /2)
et hθ (θ0 ) = (f (θ − θ0 ) − f (θ)). On a : |f (θ) − Dn ? f (θ)| ≤ |cn (gθ )| + |c−n (gθ )| + |cn (hθ )| +
|c−n (hθ )|. La fonction hθ est continue, donc intégrable. Comme f est C 1 , la fonction
gθ est également continue, donc intégrable. Le lemme de Riemann-Lebesgue permet de
conclure pour la convergence simple. Montrons maintenant que la suite (Dn ? f )n∈N
est
Posons chn (θ) = cn (hθ ). Soit α ≥ 0. On a : |chn (θ + α) − chn (θ)| ≤
R équicontinue.
(|f (θ − θ0 ) − f (θ + α − θ0 )| + |f (θ + α) − f (θ)|)dθ0 . Cette quantité est indépendante
de n, et tend vers 0, uniformément par rapport à θ, quand α tend vers 0 (car f est
uniformément
continue.) Posons de même cgn (θ) = cn (gθ ). On a : |cgn (θ + α) − cgn (θ)| ≤
R
1
2 | sin(θ0 /2) [(f (θ −θ0 )−f (θ))−(f (θ +α −θ0 )−f (θ +α))]|dθ0 . Comme f est C 1 , l’intégrale
est une fonction continue de θ, donc uniformément continue. Comme l’intégrale est
indépendante de n, on conclut à l’équicontuinité de la suite (Dn ? f )n∈N .
•
La première partie de la démonstration ci-dessus permet également d’énoncer :
Proposition 4.3.7 Soit f une fonction continue sur T. Si f est dérivable en θ0 ∈ T,
alors, (Dn ? f )(θ0 ) → f (θ0 ), quand n tend vers l’infini.
Une autre variante est le théorème de Dirichlet, dont la démonstration sera traitée en
exercices :
Théorème 4.3.8 [Théorème de Dirichlet.] Soit f une fonction continue par morceaux
sur T. Soit θ0 un point du cercle, en lequel f admet une dérivée à droite et une dérivée
à gauche. Alors (Dn ? f )(θ0 ) → (f (θ0 +) + f (θ0 −))/2, quand n tend vers l’infini.
28
Convolution et séries de Fourier - Exercices
d
Exercice 33 Soit f ∈ C 1 (T). Soit n ∈ Z. Calculer cn ( dθ
f ) en fonction de cn (f ).
Exercice 34 Soient f, g ∈ L2 (T). On note (•|•) Rle produit scalaire dans L2 (T). Explicitement, pour toutes f, g ∈ L2 (T), on a (f |g) = T f (θ)g(θ)dθ.
1. Montrer que les fonctions (en )n∈N constituent un systéme ortho-normé, c’est à
dire : (en |em ) = δm,n .
2. Soit k ∈ Z. Montrer que (Pk f |g) = (f |Pk g) = (Pk f |Pk g).
3. En déduire |ck |2 = (Pk f |Pk f ) = (Pk f |f ), pour tout k ∈ Z.
P
4. Soit n ∈ N. Montrer que kDn ? f k22 = nk=−n kPk f k2 .
5. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la question précédente, montrer que
kDn ? f k22 ≤ kDn ? f k2 kf k2 .
6. En déduire kDn ? f k2 ≤ kf k2 ., pour tout entier naturel n.
7. En déduire que si f ∈ L2 (T), la suite (ck (f ))k∈Z est de carré sommable.
P
Note : On verra par la suite que kf k22 = k |ck |2 .
Exercice 35 Soit k un entier naturel. En utilisant les deux exercices précédents, montrer que si f ∈ C k (T), la suite (nk cn )n∈Z est de carré sommable.
Exercice 36 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions convergeant vers f dans L1 (T). Montrer que ck (fn ) tend vers ck (f ), quand n tend vers l’infini, et que la convergence est
uniforme par rapport à k. En déduire que (φn )n∈N est une unité approchée de convolution, et k ∈ Z est fixé, alors ck (φn ) → 1, quand n tend vers l’infini.
Exercice 37 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions sur le cercle, convergeant simplement
vers une fonction f . On suppose que {kfn k∞ , n ∈ N} est borné. Montrer que ck (fn )
tend vers ck (f ), quand n tend vers l’infini.
Exercice 38
1. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f , définie par :

f (θ) = 0 si x ∈ {−π, 0}





f (θ) = −1 si x ∈] − π, 0[





f (θ) = 1 si x ∈]0, π[
2. En déduire :
(−1)n
n=0 2n+1
P∞
= π4 .
Exercice 39 Soit f (θ) = π 2 − θ2 , θ ∈] − π, π].
1. Calculer les coefficients de Fourier de f .
P
P∞
1
2. En déduire les valeurs de ∞
,
2
n=1 n
n=0
Exercice 40 Soit f (θ) = π − |θ|, θ ∈] − π, π].
29
1
,
(2n+1)2
P∞
1
n=1 n4 .
1. Calculer les coefficients de Fourier de f .
P
1
2. En déduire la valeur de ∞
n=0 (2n+1)2 .
Exercice 41 Soient f une fonction continue par morceaux sur T, et τ un point du
cercle, en lequel f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche.
1. On pose, pour tout θ ∈ T :
f (τ + θ) − f (τ+ )
,
2sin(θ/2)
f (τ − θ) − f (τ− )
.
2sin(θ/2)
Rπ
1
Soit n ∈ N. Montrer que i[(Dn ? f )(τ ) − 12 (f (τ+ ) + f (τ− ))] = [ 0 ϕ+ (θ)ei(n+ 2 )θ dθ −
Rπ
Rπ
Rπ
1
1
1
ϕ+ (θ)e−i(n+ 2 )θ dθ] + [ 0 ϕ− (θ)ei(n+ 2 )θ dθ − 0 ϕ− (θ)e−i(n+ 2 )θ dθ].
0
ϕ+ (θ) =
ϕ− (θ) =
2. Conclure en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue.
Exercice 42 Soit f (θ) = π 2 − θ2 , θ ∈] − π, π].
R π/2
P
(−1)n
En calculant −π/2 f (t)dt, trouver la somme de la série n≥0 (2n+1)
3 . (Justifier la méthode
P
employée.) Peut-on, en intégrant 2 fois la fonction f , calculer n>0 n14 ? (Faire le calcul,
et comparer aux résultats des exercices précédents.) Pourquoi ?
30
Chapitre 5
Changements de variables dans Rn.
Dans ce chapitre, on travaillera avec l’espace Rn (n entier positif quelconque, non nul).
On suppose choisi un repére orthonormé R, de Rn , et l’on notera x = (x1 , x2 , . . . , xn )
les coordonnées d’un point x ∈ Rn , dans ce repère. L’espace Rn sera muni de la mesure
borélienne, notée λ.
5.1
Diffeomorphismes et Jacobien.
Définition 5.1.1 Soient U et V deux ouverts de Rn . Soit ϕ une application de U dans
V . On notera ϕ(x) = (ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x)) l’image d’un point x ∈ Rn . On dit que :
1. ϕ est un homéomorphisme, si ϕ est bijective, continue, et si ϕ−1 est également
continue.
2. ϕ est de classe C 1 , si les dérivées partielles ∂ϕi /∂xj , i, j ∈ {1, 2, . . . n} existent et
sont continues sur U . (Noter que ϕ est alors différentiable sur U .)
3. ϕ est un difféomorphisme, si ϕ est bijective de classe C 1 , et son inverse est
également de classe C 1
Exemples 5.1.2 Les translations sont des difféormorphisme de classe C 1 . L’application
ϕ(x) = x2 , x ∈ R, n’est pas un difféomorphisme de R sur R (elle n’est pas bijective),
mais est un difféomorphisme, de ]0, 1[, sur ]0, 1[, ou de R∗+ sur mui-même, par exemple.
Définition 5.1.3 Soit ϕ une application de classe C 1 sur un ouvert U , de Rn . On
appelle Jacobien de ϕ, et l’on note Jϕ la matrice de fonctions :
(Jϕ)i,j (x) =
5.2
∂ϕi
(x), pour tout x ∈ Rn .
∂xj
Formule de changement de variables.
Théorème 5.2.1 Soient U et V deux ouverts de Rn . Soit ϕ un difféomorphisme, de U
sur V . Soit f une fonction mesurable, définie sur V .
31
1. Si f est à valeurs positives, on a :
Z
Z
f (v)dλ(v) =
f ◦ ϕ(u) |Jϕ(u)|dλ(u).
V
U
2. Si f est de signe quelconque, et absolument intégrable sur V , la formule du (1)
rest vraie.
Démonstration: (Idée générale.) On démontre d’abord le théorème dans le cas où f est
la fonction indicatrice d’un pavé de Rn , puis, par additivité, pour les fonctions étagées
positives. On utilise ensuite le théorème d’approximation vu dans le chapitre 2. Pour f
de signe quelconque, on applique (1) aus parties positive et négative de f , puis on utilise
à nouveau l’additivité de l’intégrale. L’hypothèse ”f est absolument intégrable” assure
que l’on aboutira à la différence de deux quantités finies.
•
Remarque 5.2.2 On utilise en général les notations mémotechniques suivantes : v =
ϕ(u), dv = dv1 dv2 . . . dvn = |Jϕ(u)|du1 du2 . . . dun = |Jϕ(u)|du. Ces notations se justifient par les hypothèses faites pour la formule de changement de variables. Celles-ci
permettent en effet, d’appliquer le lemme de Fubini, et donc de décomposer l’intégrale
sur V en une intégrale multiple, par rapport aux variables ui et vi .
5.3
5.3.1
Quelques exemples de changement de variables.
Coordonnées polaires dans le plan.
Ici, U = V = R2 . On utilise habituellement les notations u1 = r, u2 = θ, et v1 = x, v2 =
y. L’application ϕ est définie par x = ϕ1 (r, θ) = r cos(θ), y = ϕ1 (r, θ) = r sin(θ). Le
jacobien est donné par
cos(θ) −rsin(θ)
Jϕ(r, θ) =
.
sin(θ) rcos(θ)
On retrouve la formule connue dxdy = rdrdθ.
5.3.2
Coordonnées sphériques.
Le changement de variables est : x = rcos(θ)sin(φ), y = rsin(θ)sin(φ), z = rcos(φ). On
a : dxdydz = r2 sin(φ)drdθdφ. (Ici, ϕ est la colatitude, variant de 0 à π.) Vérifier cela en
exercice !
32
Changements de variables dans Rn - Exercices
Exercice 43 Calculer l’aire circonscrite par l’ellipse d’équation
sont deux réels non nuls quelconques.
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Ici, a, b
Exercice 44 Soit f une fonction absolument intégrable sur l’intervalle [−1, 1]. Montrer
R
R
(t)
que [−π/2,π/2] f (sinx)dx = ]−1,1[ √f1−t
2 dt. Le changement de variable utilisé est-il valable
pour x ∈ [0, 2π] ? Pourquoi ? Contre-exemple ?
Exercice 45 Soient a, b, α, β quatre réels, avec a et b strictement positifs, et β > α ≥ 0.
On considére le domaine D, du plan, défini par les inégalités :
x > 0, y > 0,
x2 y 2
y
1
< 2 + 2 < 1, α < < β.
4
a
b
x
R 2 2 2 y2
Faire un dessin représentant D. Calculer I = D b x x−a
dxdy. (On pourra utiliser,
2
aprés l’avoir justifié, le changement de variables en coordonnées polaires (ρ, θ) : (x, y) =
(aρcosθ, bρsinθ).
33
34
Chapitre 6
Exercices supplémentaires.
Exercice 46 Soient (X, µ) et (Y, ν) deux espace mesurés. Soit f une fonction mesurable
sur X × Y .
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est intégrable sur X × Y .
R R
2. X ( Y |f |dν)dµ < ∞
R R
3. Y ( X |f |dµ)dν < ∞
R R
R R
Montrer qu’alors : X ( Y f dν)dµ = Y ( X f dµ)dν.
Exercice 47 Calculer et justifier : limn→∞
R1
1
0 1+x+x2 +...+xn
Exercice 48 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions, définies sur un intervalle [a, b] ⊂ R,
Rb
Rb
convergeant uniformément vers une fonction f . Montrer que : a f (x)dx = limn→∞ a fn (x)dx.
Exercice 49 Soit Ω un ouvert de R. Soient t1 , t2 deux
R t2 réels quelconques. Soit f une
fonction continue sur Ω × [t1 , t2 ]. On définit F (x) = t1 f (x, t)dt, x ∈ Ω. Montrer que
F est continue sur Ω.
Exercice 50 Soit Ω un ouvert de R. Soit f une fonction continue sur Ω×R. On suppose
qu’il existe g, intégrable
sur R, telle que |f (x, t)| ≤ g(t), pour tout (x, t) ∈ Ω × R. On
R
définit F (x) = R f (x, t)dt. Montrer que F est continue sur Ω.
Exercice 51 Soit Ω un ouvert de R. Soient t1 , t2 deux réels quelconques. Soit f une
fonction continue sur Ω × [t1 , t2 ]. On suppose que Rla dérivée partielle ∂f /∂x existe,
t
et est continue sur Ω × [t1 , t2 ]. On pose F (x) = t12 f (x, t)dt, x ∈ Ω. Montrer que
R
t
∂F
(x) = t12 ∂f
(x, t)dt.
∂x
∂x
Exercice 52 Soit Ω un ouvert de R. Soit f une fonction continue intégrable sur Ω × R.
On suppose que la dérivée partielle ∂f /∂x existe, est continue sur Ω × R, et qu’il existe
une fonction intégrable g, sur R, telle que | ∂f
(x, t)| ≤ g(t), pour tout (x, t) ∈ Ω × R.
∂x
R
R
∂F
On définit F (x) = R f (x, t)dt. Montrer que ∂x (x) = R ∂f
(x, t)dt.
∂x
35