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CE2 – ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II LISTA DE EXERCÍCIOS - FLAMBAGEM FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. SOLUÇÃO 13.3 ÁREA 𝐴 = 4 ∗ (10 ∗ 25) + 10 ∗ 10 = 1100 𝑚𝑚² MOMENTOS DE INÉRCIA 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 𝐴 𝑟 distância entre cento de gravidade do diferencial da área e eixo de referência 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 𝐴 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 𝐴 CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 1 Os momentos de inércia em x e em y são iguais já que seção x-x é igual seção y-y 𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 𝑑𝐴 = 10 ∗ 𝑑𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 + 5,0 𝑚𝑚 𝑒 + 30,0 𝑚𝑚 𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 30,0 𝑚𝑚 𝑒 − 5,0 𝑚𝑚 𝑑𝐴 = 60 ∗ 𝑑𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 5,0 𝑚𝑚 𝑒 + 5,0 𝑚𝑚 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 = 2 ∗ ∫ 𝐴 +5 𝑦 2 (10 ∗ 𝑑𝑦) + ∫ 𝑦 2 (60 ∗ 𝑑𝑦) +5 +30 𝐼𝑥 = 2 ∗ 10 ∗ +30 −5 +5 𝑦3 𝑦3 303 53 53 (−5)3 | + 60 ∗ | = 20 ∗ ( − ) + 60 ∗ ( − ) = 184167 𝑚𝑚4 3 +5 3 −5 3 3 3 3 RAIO DE GIRAÇÃO 𝑟𝑥 = √ 𝐼𝑥 184167 =√ = 12,94 𝑚𝑚 𝐴 1100 COMPRIMENTO EFETIVO 𝐾𝑥 = 1,0 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑝𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠") 𝐿𝑒,𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝐿𝑥 = 1,0 ∗ 4,0 = 4,0 𝑚 ÍNDICE DE ESBELTEZ 𝜆𝑥 = 𝐿𝑒,𝑥 4000 = = 309,12 𝑟𝑥 12,94 RIGIDEZ FLEXIONAL EM x 𝐸𝐼𝑥 = (200000 ∗ 103 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (184167 ∗ 10−12 𝑚4 ) = 36,83 𝑘𝑁𝑚² CARGA CRÍTICA 𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 𝜋 2 ∗ 𝐸𝐼𝑥 𝜋 2 ∗ 36,83 = = 22,72 𝑘𝑁 𝐿𝑒,𝑥 ² 4,0² CARGA LIMITE DE ESCOAMENTO Aço A-36: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 𝑃𝑒 = 𝜎𝑒 ∗ 𝐴 = (250000 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (1100 ∗ 10−6 𝑚2 ) = 275 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 22,72 𝑘𝑁 < 𝑃𝑒 = 275 𝑘𝑁 Portanto a coluna sofrerá flambagem antes do escoamento (validando a fórmula de Euler para regime elástico), assim sua carga de trabalho máxima é 22,75 kN. Com cargas de trabalho superiores a 22,75 kN, a coluna se torna instável devido à flambagem. CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 2 SOLUÇÃO 13.4 Dados do exercício 13.3: 𝐴 = 1100 𝑚𝑚² 𝐼𝑥 = 184167 𝑚𝑚4 𝑟𝑥 = 12,94 𝑚𝑚 𝐸𝐼𝑥 = 36,83 𝑘𝑁𝑚² COMPRIMENTO EFETIVO 𝐾𝑥 = 0,7 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑛𝑜𝑠") 𝐿𝑒,𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝐿𝑥 = 0,7 ∗ 4,0 = 2,80 𝑚 ÍNDICE DE ESBELTEZ 𝜆𝑥 = 𝐿𝑒,𝑥 2800 = = 216,38 𝑟𝑥 12,94 CARGA CRÍTICA 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋 2 ∗ 𝐸𝐼𝑥 𝜋 2 ∗ 36,83 = = 46,37 𝑘𝑁 𝐿𝑒,𝑥 ² 2,8² O engastamento da base aumentou em 104,09% o valor da carga crítica ( 46,37 22,72 − 1 = 1,0409), ou seja, praticamente dobrou a capacidade da coluna. O aumento pode ser calculado diretamente com o resultado obtido no Exercício 13.3, já que a única alteração na Fórmula da Carga Crítica ocorreu em 𝐾𝑥 , que alterou de 1,0 para 0,7. 𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 1 𝐾𝑥 2 −1= 22,72 = 46,37 𝑘𝑁 0,7² 1 − 1 = 104,09 % 0,72 CARGA LIMITE DE ESCOAMENTO Aço A-36: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 𝑃𝑒 = 𝜎𝑒 ∗ 𝐴 = (250000 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (1100 ∗ 10−6 𝑚2 ) = 275 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 46,37 𝑘𝑁 < 𝑃𝑒 = 275 𝑘𝑁 Portanto a coluna sofrerá flambagem antes do escoamento (validando a fórmula de Euler para regime elástico), assim sua carga de trabalho máxima é 46,37 kN. Com cargas de trabalho superiores a 46,37 kN, a coluna se torna instável devido à flambagem. CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 3 FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. SOLUÇÃO 13.5 ÁREA 𝐴 = 𝑎² MOMENTO DE INÉRCIA 𝐼= 𝑎4 12 RAIO DE GIRAÇÃO 𝑎4 𝐼 √ 12 𝑎 𝑟=√ = = 𝐴 𝑎² √12 TENSÃO DE ESCOAMENTO 𝜎𝑒 = 𝜖𝑒 ∗ 𝐸 = 0,001 ∗ 9000 𝑀𝑃𝑎 = 9 𝑀𝑃𝑎 Para determinar o menor valor de 𝑎 de modo que a barra não falhe por flambagem, a tensão crítica de flambagem deve ser igualada à tensão de escoamento, pois desta forma a estrutura irá falhar por resistência. TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM 𝜎𝑐𝑟 = 𝜋2 ∗ 𝐸 𝐾𝐿 ( )² 𝑟 MENOR DIMENSÃO DE 𝑎 9000 = 𝜋 2 ∗ 9000000 ( 1,0 ∗ 1,25 )² 𝑎 √12 𝑎 = ± 4,359 ∗ 10−2 𝑚 A solução negativa da equação de segundo grau não tem significado físico. Portanto a menor seção da barra para que a estrutura não falhe por flambagem, e sim, por resistência é 43,59 x 43,59 mm². CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 4 FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. SOLUÇÃO 13.6 MOMENTO DE INÉRCIA 𝐼= 𝜋 ∗ 𝑑4 64 CARGA CRÍTICA 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋 2 ∗ 𝐸𝐼 𝐿𝑒 ² DIÂMETRO NECESSÁRIO 𝜋 ∗ 𝑑4 𝜋 2 ∗ 200 ∗ ( ) 64 25 = 2 (1,0 ∗ 500) 4 𝑑 = √64503 = 15,937 𝑚𝑚 = 16 𝑚𝑚 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 1 𝑚𝑚) TENSÃO DE TRABALHO MÁXIMA 𝜎= 𝑃 25 = = 124340 𝑘𝑁/𝑚² 𝐴 𝜋 ∗ (16 ∗ 10−3 )² 4 𝜎𝑐𝑟 = 124,34 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 A tensão a qual a haste irá flambar é inferior a tensão de escoamento do aço A-36 (𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎), portanto a flambagem ocorre no regime elástico e a fórmula de Euler é válida. CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 5 SOLUÇÃO 13.7 ÁREA 𝐴= 𝜋 ∗ 𝑑 2 𝜋 ∗ 252 = = 490,87 𝑚𝑚² 4 4 𝐼= 𝜋 ∗ 𝑑 4 𝜋 ∗ 254 = = 19175 𝑚𝑚4 64 64 MOMENTO DE INÉRCIA RAIO DE GIRAÇÃO 𝐼 19175 𝑟=√ =√ = 6,25 𝑚𝑚 𝐴 490,87 O raio de giração de seções circulares pode ser calculado de forma mais direta, dividindo o diâmetro por 4. 𝜋 ∗ 𝑑4 𝐼 𝑑 𝑟 = √ = √ 64 2 = 𝜋∗𝑑 𝐴 4 4 𝑟= 𝑑 25 = = 6,25 𝑚𝑚 4 4 COMPRIMENTO EFETIVO 𝐾 = 1,0 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑎𝑝𝑜𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑜𝑙𝑒𝑡𝑒𝑠") 𝐿𝑒 = 𝐾 ∗ 𝐿 = 1,0 ∗ 500 = 500 𝑚𝑚 ÍNDICE DE ESBELTEZ 𝜆= 𝐿𝑒 500 = = 80 𝑟 6,25 RIGIDEZ FLEXIONAL 𝐸𝐼𝑥 = (200000 ∗ 103 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (19175 ∗ 10−12 𝑚4 ) = 3,835 𝑘𝑁𝑚² CARGA CRÍTICA 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋 2 ∗ 𝐸𝐼 𝜋 2 ∗ 3,835 = = 151,40 𝑘𝑁 𝐿𝑒 ² 0,5² CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 6 TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM 𝜎𝑐𝑟 = 𝜋 2 ∗ 𝐸 𝜋 2 ∗ 200000 = = 308,43 𝑀𝑃𝑎 𝜆² 80² A tensão crítica de flambagem é inferior a tensão de escoamento (350 MPa), assim a flambagem ocorre no regime elástico, portanto a carga máxima que a haste suporta sem sofrer flambagem é 151,40 kN. FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. SOLUÇÃO 13.8 ÁREA 𝐴 = 100 ∗ 50 − 80 ∗ 30 = 2600 𝑚𝑚² MOMENTOS DE INÉRCIA (referência em relação à figura: horizontal eixo x; vertical eixo y) 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 𝐴 𝑟 distância entre cento de gravidade do diferencial da área e eixo de referência 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 = 100 ∗ 50³ 80 ∗ 303 − = 861667 𝑚𝑚4 12 12 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 = 50 ∗ 100³ 30 ∗ 803 − = 2886667 𝑚𝑚4 12 12 𝐴 𝐴 A coluna possui menor momento de inércia em torno do eixo x (𝐼𝑥 ), portanto irá sofrer flambagem em torno do eixo x, desta forma, todas as demais propriedades mecânicas e geométricas da coluna devem ser calculadas em torno do eixo x, já que a coluna apresenta o mesmo comprimento efetivo em x e em y. O raio de giração em x (𝑟𝑥 ), o índice de esbeltez em x (𝜆𝑥 ), a flambagem em x, a carga crítica de flambagem em x (𝑃𝑐𝑟,𝑥 ), a tensão crítica de flambagem em x (𝜎𝑐𝑟,𝑥 ), devem ser calculados sempre a partir das propriedades em x (𝐼𝑥 , 𝑟𝑥 , 𝜆𝑥 , 𝐿𝑥 , 𝐾𝑥 , 𝐿𝑒,𝑥 , 𝑃𝑐𝑟,𝑥 , 𝜎𝑐𝑟,𝑥 ). CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 7 Portanto, se o comprimento efetivo em y (𝐿𝑒,𝑦 ) fosse menor por apresentar algum travamento na coluna paralelo ao plano x-z, a flambagem em y (𝐼𝑦 , 𝑟𝑦 , 𝜆𝑦 , 𝐿𝑦 , 𝐾𝑦 , 𝐿𝑒,𝑦 , 𝑃𝑐𝑟,𝑦 , 𝜎𝑐𝑟,𝑦 ) também deveria ser verificada. RAIO DE GIRAÇÃO EM x 𝑟𝑥 = √ 𝐼𝑥 861667 =√ = 18,20 𝑚𝑚 𝐴 2600 COMPRIMENTO EFETIVO EM x 𝐾𝑥 = 0,5 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜: "𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠") 𝐿𝑒,𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝐿𝑥 = 0,5 ∗ 5,0 = 2,5 𝑚 ÍNDICE DE ESBELTEZ 𝜆𝑥 = 𝐿𝑒,𝑥 2500 = = 137,36 𝑟𝑥 18,20 RIGIDEZ FLEXIONAL EM x 𝐸𝐼𝑥 = (200000 ∗ 103 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (861667 ∗ 10−12 𝑚4 ) = 172,33 𝑘𝑁𝑚² CARGA CRÍTICA 𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 𝜋 2 ∗ 𝐸𝐼𝑥 𝜋 2 ∗ 172,33 = = 272,13 𝑘𝑁 𝐿𝑒,𝑥 ² 2,5² CARGA LIMITE DE ESCOAMENTO Aço A-36: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 𝑃𝑒 = 𝜎𝑒 ∗ 𝐴 = (250000 𝑘𝑁/𝑚²) ∗ (2600 ∗ 10−6 𝑚2 ) = 650 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑟,𝑥 = 272,13 𝑘𝑁 < 𝑃𝑒 = 650 𝑘𝑁 Portanto a coluna sofrerá flambagem em regime elástico, assim sua carga de trabalho máxima é 272,13 kN. CE2 - Estabilidade das Construções II Setembro/2014 Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Junior 8
