Échantillonnage des signaux périodiques

TP MP
Licence Creative Commons
1
Échantillonnage des signaux périodiques
1.
Introduction
Un signal analogique u(t) est une grandeur physique, par exemple une tension électrique, qui varie au cours du temps. Lors de la numérisation d'un signal, on eectue un
échantillonnage, consistant à prélever des valeurs à intervalle de temps régulier. L'intervalle de temps entre deux échantillons est la période d'échantillonnage Te . Les échantillons
obtenus forment une suite de nombres uk = u(kTe ), qui constitue un signal numérique.
Un signal numérique ore trois avantages comparé au signal analogique :
. Il peut être traité, c'est-à-dire transformé, par un calculateur, qui eectue des
opérations sur la suite de nombres. On parle de traitement numérique du signal.
. Le stockage sous forme numérique (par exemple le son sur un CD audio) est plus
able que le stockage analogique. D'autre part, un signal numérique peut être
stocké dans un chier informatique.
. La transmission (par exemple par onde radio) est plus able sous forme numérique.
La numérisation des signaux, et donc l'échantillonnage, intervient dans de très nombreux
appareils. On peut citer :
. Oscilloscope numérique.
. Carte d'acquisition pour ordinateur.
. Enregistrement et transmission du son, de l'image (téléphonie, télévision, etc).
. Capteurs pour l'aviation, l'automobile, l'industrie, la robotique, etc.
L'objectif des ces travaux pratiques est d'apprendre à utiliser un oscilloscope numérique
et une carte d'acquisition. Ces deux appareils nous permettront d'eectuer une étude
approfondie de l'échantillonnage des signaux périodiques, et d'aborder le domaine du
traitement numérique du signal. On abordera aussi la condition de Nyquist-Shannon et
la synthèse harmonique des signaux périodiques.
2.
2.a.
Oscilloscope numérique
Principe de fonctionnement
On utilise le modèle Agilent DSO-1002 à deux voies dont le panneau est reproduit
ci-dessous. Le modèle DSO-1004 fonctionne de manière identique, mais il comporte 4
voies.
TP MP
Licence Creative Commons
2
L'oscilloscope numérique est principalement constitué d'un amplicateur analogique,
d'un convertisseur analogique-numérique (CAN), d'une mémoire RAM, et d'un microprocesseur.
L'amplicateur sert à augmenter ou à réduire l'amplitude du signal analogique, an
de l'adapter à l'amplitude de fonctionnement du CAN. Chaque voie comporte son propre
amplicateur. Le gain de l'amplicateur se modie avec le bouton de réglage de l'échelle
verticale (bouton G1 pour la voie 1, G2 pour la voie 2). On peut aussi décaler le signal,
c'est-à-dire ajouter une tension constante, avec le bouton situé juste au dessus de la
borne d'entrée (D1 et D2).
Le convertisseur analogique-numérique eectue les conversions à la fréquence d'échantillonnage. Il est précédé d'un circuit appelé échantillonneur-bloqueur, qui se charge de
maintenir constante la tension pendant le temps de conversion. Le résultat est une suite
de nombres stockée dans la mémoire RAM (dans une le), l'intervalle de temps entre
deux nombres étant la période d'échantillonnage. Ces nombres sont des entiers codés sur
8 bits, c'est-à-dire compris entre 0 et 255. Si on note [V1 , V2 ] la plage de tension obtenue
par le réglage vertical, la valeur 0 correspond à V1 , la valeur 255 correspond à V2 . La
résolution en tension est donc (V2 − V1 )/256.
Le microprocesseur se charge de traiter en temps réel le signal numérique enregistré
en mémoire, et d'eectuer le tracé de la courbe. Les nombres entiers du signal numérique
sont convertis en valeurs de tension, en utilisant l'échelle [V1 , V2 ] du réglage vertical.
2.b.
Acquisition
Pour tracer la courbe, le processeur eectue une acquisition du signal numérique (en
lisant les données en mémoire) pendant une durée T = N Te , comportant N échantillons.
Le nombre d'échantillons est xe, et la période d'échantillonnage se règle avec le bouton
VB de vitesse de balayage, qui ajuste l'échelle horizontale en s/div.
L'acquisition est répétée périodiquement pour qu'une modication du signal (fréquence ou amplitude) soit visible en temps réel sur l'écran. Pour obtenir une représenta-
TP MP
Licence Creative Commons
3
tion du signal stable, il faut que le déclenchement de l'acquisition soit synchronisé avec
le signal. La gure suivante permet de comprendre cela, dans le cas d'une sinusoïde.
u
D1
T
D2
us
t
Considérons un déclenchement D1. La durée T de l'acquisition est un multiple de
la période d'échantillonnage ; elle n'est donc pas en général multiple de la période du
signal. On voit que le déclenchement de l'acquisition suivante ne peut se faire juste après
la n de cette durée. L'instant correct pour le déclenchement suivant est D2. La phase du
signal en D2 est la même qu'en D1. Pour obtenir cela, on eectue un déclenchement par
seuil. La tension seuil étant us , le déclenchement a lieu (une fois l'acquisition terminée)
lorsque le signal franchit le seuil par valeur croissante. Le signal utilisé est appelé la
source du déclenchement : ce peut être le signal de la voie 1, de la voie 2 ou un signal
externe (entrée déclenchement externe).
TP MP
Licence Creative Commons
4
Utiliser le générateur de signaux basses fréquences (GBF) pour générer un signal
sinusoïdal d'environ 1 kHz, à observer avec la voie 1 de l'oscilloscope.
Activer la voie 1 en appuyant sur la touche 1. Sélectionner dans le menu le
couplage DC et vérier que le réglage "Sonde" est sur 1x, qui signie que l'on
n'utilise pas de sonde.
Ajuster l'échelle verticale et l'échelle horizontale pour les adapter à l'amplitude
et à la fréquence du signal.
Entrer dans le menu du déclenchement. Choisir le mode Front (déclenchement
par front), choisir la source du déclenchement, la pente (front montant ou descendant) et le mode Normal.
Observer l'eet d'un changement du seuil (bouton SD). Où se trouve le point
de déclenchement sur l'écran ? Ce point peut être déplacé avec le bouton DH
(décalage horizontal).
Que se passe-t-il lorsque le seuil ne se trouve pas dans la plage de tension du
signal ? Essayer avec le mode de déclenchement Auto.
2.c.
Couplage d'entrée
Il y a deux modes de couplage pour l'entrée : le mode DC et le mode AC. En mode
DC, le signal d'entrée est traité directement. En mode AC, il subit un ltrage passe-haut
en entrée. Il s'agit d'un simple ltre RC, dont la fréquence de coupure est d'environ 10
Hz. Il sert à éliminer une éventuelle composante continue (la partie constante) du signal.
Proposer un schéma pour le ltre RC. Sachant que la résistance est de 1 M Ω,
calculer la capacité du condensateur.
Pour voir l'eet du couplage AC, modier le réglage du GBF an d'ajouter un
décalage (Oset) au signal sinusoïdal et réduire l'amplitude de la sinusoïde à
quelques dizaines de millivolts.
Comparer le mode AC et le mode DC. Quel est l'intérêt du mode AC dans ce
cas ?
2.d.
Fréquence d'échantillonnage
Pour connaître la fréquence d'échantillonnage, appuyer sur la touche Menu/Zoom
dans la zone de réglage horizontal. Celle-ci apparaît en bas du menu.
Observer l'inuence de la vitesse de balayage (bouton VB) sur la fréquence
d'échantillonnage.
Calculer le nombre de points visibles sur l'écran. Calculer aussi le nombre de
points par période.
Changer la vitesse de balayage et calculer à nouveau le nombre de points.
Conclure.
La fréquence d'échantillonnage maximale est de 2 GHz alors que la bande passante est
de 60 M Hz (ces valeurs sont écrites au dessus à droite de l'écran). La bande passante est
la fréquence à laquelle le signal subit une atténuation de −3 décibel, à cause de la partie
analogique du traitement, principalement l'amplicateur. Au delà de cette fréquence,
l'atténuation est de plus en plus forte.
TP MP
Licence Creative Commons
5
Calculer le nombre de points par période pour un signal de 60 M Hz échantillonné à 2 GHz .
On voit qu'un signal à 60 M Hz , qui est déjà une fréquence très élevée, peut être
échantillonné avec un grand nombre de points par période. Une telle situation est appelée
sur-échantillonnage.
3.
Carte d'acquisition
3.a.
Fonctionnement et caractéristiques
On utilise la carte d'acquisition SYSAM-SP5, reliée à l'ordinateur par USB.
Elle comporte 4 canaux, chacun étant pourvu d'un amplicateur et d'un convertisseur analogique-numérique (CAN). Les amplicateurs ont 4 gains programmables, qui
donnent les calibres suivants : ±10 V , ±5 V , ±1 V et ±0.2 V . Les CAN ont une résolution de 12 bits, et fournissent donc des entiers compris entre 0 et 4095. Dans le cas du
calibre ±10 V , la résolution est donc 20/4096 = 4.9 mV . Pour le calibre le plus petit
±0.2 V , la résolution est 0.4/4096 = 10 µV .
La fréquence d'échantillonnage maximale des CAN est de 10 M Hz . Pour bénécier
de cette fréquence, il faut néanmoins n'utiliser qu'une entrée par canal. En utilisera donc
les entrées de préférence dans l'ordre EA0, EA1, EA2, EA3.
La carte possède une mémoire RAM pouvant stocker 262142 points. Elle est remplie
en temps réel pendant l'acquisition. Le signal numérique contenu dans cette mémoire est
ensuite transféré à l'ordinateur via la liaison série USB. Il est important de savoir que
l'ordinateur ne peut traiter ces données en temps réel.
Comparer les caractéristiques des CAN de cette carte à celui de l'oscilloscope.
Dans quel cas est-il préférable d'utiliser la carte ?
TP MP
Licence Creative Commons
6
L'autre avantage de la carte est de fournir directement des données numériques, qui
peuvent être facilement traitées, par exemple avec le langage python.
3.b.
Utilisation de python
Nous allons eectuer l'acquisition en python, ce qui nous permettra d'eectuer plus
tard des traitements du signal complexes. Pour le cela, on utilise le module pycan, que
l'on importe de la manière suivante :
import pycanum.main as pycan
On doit commencer par établir une liaison avec la carte d'acquisition, en déclarant
un objet de la classe Sysam :
can = pycan.Sysam("SP5")
On doit ensuite congurer les entrées que l'on veut utiliser, en précisant la valeur de la
tension maximale que l'on va appliquer sur chaque voie (celle-ci ne peut dépasser 10 V ).
Par exemple, pour congurer l'entrée EA0 avec un maximum de 10 V , on exécute :
can.config_entrees([0],[10.0])
La fonction congure le CAN avec le plus grand calibre pour le maximum spécié.
Dans le cas présent, ce sera le calibre ±10 V .
Il faut choisir la période d'échantillonnage et le nombre de points à acquérir. On peut
par exemple xer d'abord la fréquence d'échantillonnage et la durée T de l'acquisition,
puis calculer le nombre de points :
fe=5000.0
T=2.0
te=1.0/fe
N = int(T/te)
print(N)
Il faut vérier que la période d'échantillonnage ne soit pas inférieure à 0.1 µs et que
le nombre de points n'excède pas 262142, le maximum possible lorsqu'on utilise une voie
(deux fois moins pour deux voies, etc).
La conguration de l'échantillonnage se fait alors :
can.config_echantillon(te*10**6,N)
On remarque que la période d'échantillonnage doit être donnée en microsecondes.
On doit enn déclencher l'acquisition. Il est possible d'eectuer un déclenchement
par seuil, comme avec l'oscilloscope. On se contente pour l'instant d'un déclenchement
logiciel :
can.acquerir()
Pour récupérer les instants et les tensions sous forme de tableaux numpy, on exécute :
TP MP
Licence Creative Commons
7
t0=can.temps()[0]
u0=can.entrees()[0]
Les valeurs de tensions obtenues sont exprimées en volts. Les nombres entiers fournis
par le CAN ont donc été convertis en nombres à virgule ottante.
Pour nir, il est bon de fermer la liaison avec la carte :
can.fermer()
Une bonne habitude à prendre est de sauvegarder les données obtenues dans un
chier, de la manière suivante :
numpy.savetxt('nom_fichier',[t0,u0])
Pour les relire, il sura d'exécuter
[t0,u0]=numpy.loadtxt('nom_fichier')
3.c.
Exemple d'acquisition
On eectue l'acquisition d'un signal sinusoïdal, que l'on contrôlera en parallèle avec
l'oscilloscope. On xe la fréquence du signal à environ 1000 Hz et on fait varier la
fréquence d'échantillonnage. On commence par une fréquence telle que le nombre de
points par période soit supérieur à 10.
Eectuer l'acquisition d'une dizaine de périodes et tracer la tension en fonction
du temps, en utilisant la fonction matplotlib.pylab.plot. Pour cela, écrire
toutes les instructions dans un script et l'exécuter entièrement.
Eectuer plusieurs fois l'acquisition et le tracé pour vérier que le déclenchement
n'est évidemment pas synchrone avec le signal.
Si on souhaite un déclenchement par seuil, avec pour source la voie EA0, on doit
ajouter l'instruction suivante :
voie = 0
seuil = 0.0
can.config_trigger(voie,seuil)
3.d.
Condition de Nyquist-Shannon
Cette condition xe la fréquence d'échantillonnage minimale pour une sinusoïde : elle
est égale au double de la fréquence de la sinusoïde. Lorsque cette condition n'est pas
vériée, il y a sous-échantillonnage. Lorsque la condition est très largement vériée, il y
a sur-échantillonnage.
Si la condition est remplie, il est théoriquement possible de reconstituer complètement
la sinusoïde à partir des échantillons, une opération appelée reconstruction du signal.
Dans cette partie, on xe la fréquence de la sinusoïde à environ 1000 Hz et on fait varier
la fréquence d'échantillonnage.
TP MP
Licence Creative Commons
8
Faire une acquisition en sur-échantillonnant et tracer la tension en fonction du
temps sous forme de points (non reliés).
Faire une acquisition avec une fréquence d'échantillonnage vériant la condition de Nyquist-Shannon, mais seulement légèrement au dessus de la fréquence
minimale (quelques dizaines d'Hertz). Tracer les points. Peut-on dans ce cas
reconstituer la sinusoïde en reliant les points par des segments ?
Faire une acquisition ne respectant par la condition de Nyquist-Shannon. Commenter le résultat.
Comme on le voit sur l'exemple précédent, le respect de la condition de NyquistShannon ne garantit pas une reconstruction facile du signal. Pour cela, il faut réaliser un
sur-échantillonnage. C'est ce que fait l'oscilloscope, avec sa fréquence d'échantillonnage
de 2 GHz . Lorsqu'il y a sur-échantillonnage, la reconstruction se fait en reliant les points
par des segments rectilignes. Lorsque le nombre d'échantillons par période est supérieur
à 2 mais pas très grand, la reconstruction est théoriquement possible mais dicile à
réaliser, car elle recquiert un traitement numérique beaucoup plus lourd.
3.e.
Acquisition d'un signal périodique
Un signal périodique non sinusoïdal peut être obtenu par synthèse harmonique. Cette
méthode consiste à ajouter des sinusoïdes de diérentes fréquences. Soit T la période du
signal à synthétiser. La fréquence fondamentale est f = 1/T . On eectue la somme d'une
sinusoïde de fréquence f et de sinusoïdes de fréquences multiples de f . Par exemple :
u(t) =A1 cos(2πf t)
+A2 cos(4πf t + φ2 )
+A3 cos(6πf t + φ3 )
Le premier terme est le fondamental. Les deux suivants sont respectivement les harmoniques de rang 2 et 3. On peut bien sûr ajouter des harmoniques de rang plus élevé.
Chacune a sa propre amplitude, éventuellement nulle, et son propre déphasage.
Pour eectuer une synthèse harmonique, nous allons utiliser Pure Data, un logiciel de
synthèse et de traitement du son. Le signal sera récupéré par la sortie son de l'ordinateur.
Télécharger le chier syntheseHarmonique.pd et l'ouvrir avec Pure Data (PdExtended).
Brancher la sortie son de l'ordinateur sur la voie 1 de l'oscilloscope, avec le câble
fourni à cet eet.
Cliquer sur DSP (en haut à droite) pour déclencher la synthèse. Ajuster la
fréquence et les amplitudes du fondamental et des harmoniques.
Observer la forme du signal sur l'oscilloscope. Faire varier les amplitudes des
harmoniques et leur phase.
Pour choisir la fréquence d'échantillonnage, il faut considérer la version complète
de la condition de Nyquist-Shannon appliquée aux signaux périodiques : la fréquence
d'échantillonnage doit être strictement supérieure au double de la plus grande fréquence
contenue dans le signal. Dans l'exemple ci-dessus, la plus grande fréquence est celle de
l'harmonique de rang 3, c'est-à-dire 3f . La condition s'écrit donc fe > 6f .
TP MP
Licence Creative Commons
Noter la valeur de f choisie. En déduire la fréquence d'échantillonnage minimale.
Faire une acquisition avec la carte Sysam-SP5 en respectant le critère largement
(sur-échantillonnage).
Comparer la courbe obtenue à celle de l'oscilloscope.
Faire une acquisition pour laquelle la dernière harmonique (celle de plus grande
fréquence) est sous-échantillonnée.
9