Coloriages d`arêtes

Coloriages
d’arêtes
Coloriages d’arêtes
Coloriages
d’arêtes
Le casse-tête des horaires
C’est la rentrée! Chaque professeur doit enseigner à un certain
nombre de classes, pendant un certain nombre d’heures.
Contraintes: un professeur ne peut pas enseigner deux cours au
même moment, une classe ne peut pas recevoir deux cours en
même temps.
Si on s’autorise samedis, dimanches, soirées, la confection de
l’horaire est facile.
On veut ramasser l’horaire hebdomadaire sur le plus petit nombre
de périodes possible.
Comment faire?
Coloriages
d’arêtes
Coloriage d’arêtes
Un coloriage des arêtes d’un graphe en k couleurs est
l’assignation à chaque arête d’une couleur 1, 2, . . . , ou k.
Ce coloriage est dit propre si deux arêtes adjacentes sont toujours
de couleurs différentes.
On suppose dans ce thème des graphes sans boucle.
Trouver un coloriage propre en k couleurs consiste à séparer les
arêtes en k couplages distincts.
L’indice chromatique d’un graphe G, noté χ′ (G) est le nombre
minimal de couleurs nécessaire pour obtenir un coloriage propre
des arêtes de G.
Coloriages
d’arêtes
Indice chromatique et degré maximum
Clairement, χ′ ≥ degré max.
Théorème (König): Pour un graphe biparti, χ′ = degré max.
Coloriages
d’arêtes
Indice chromatique et degré maximum
Pour les graphes simples:
Théorème de Vizing (1964): Pour un graphe simple,
χ′ = degré max ou χ′ = degré max + 1.
Il n’y pas d’algorithme efficace connu pour décider si pour graphe
donné, χ′ = degré max. Encore un problème à un million de dollars.
En général:
Théorème de Vizing (1964): S’il y a au plus m arêtes entre deux
noeuds, degré max. ≤ χ′ ≤ degré max. + m
Coloriages
d’arêtes
Confection d’horaires
Le problème de confection d’horaires est modélisé par la
recherche d’un coloriage propre sur un graphe biparti reliant
professeurs et cours.
Par le théorème de König, si tous les professeurs enseignent
pendant au plus k périodes hebdomadaires et que toutes les
classes ont au plus k périodes, il y a un horaire sur k périodes qui
évite tout conflit.
De plus, on connaît un algorithme efficace pour le trouver.