statique 1 - Passeport

Statique 1
• Introduction :
La statique est l’étude des équilibres. Si un solide est en équilibre dans un repère
lié à un référentiel donné, la vitesse de son centre d’inertie est nulle dans ce repère : vG =
0 = constante. D’après le principe de l’inertie, la somme des forces appliquée à ce solide
est donc nulle.
vG = 0 (= constante) ⇒
→
ΣF = 0
Dans un repère en translation par rapport au précédent, tous les points du solide seraient animés de la même vitesse :
→
→
→
v = v G = cste
D’autre part, le solide, s’il est en équilibre, ne tourne pas non plus autour de son
centre d’inertie, ce qui va nous amener, dans le chapitre suivant, à définir la notion de
moment d’une force par rapport à un axe. L’étude sera limitée aux cas où les forces extérieures appliquées au système peuvent être regroupées et ramenées à 2 ou 3.
• 1. Équilibre « de translation »
–1.1-
équilibre sous l’action de deux forces
Exemple 1 :
En général, une des deux forces est le poids de l’objet. Ici, le sys-
tème étudié est l’enclume. Elle subit deux forces, son poids P, vertical,
dirigé vers le bas, et la force F exercée par le câble fixé au ballon. S’il y a
→
→
→
équilibre, c’est que la condition P+ F = 0 est remplie. La seconde force
est donc :
→
F
→
F = − P , force verticale ascendante opposée à P.
P
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Exemple 2 :
R
Un anneau de poids négligeable est fixé dans un
T
mur. Un fil tire sur cet anneau, qui reste immobile.
L’anneau est donc en équilibre sous l’action de deux
forces opposées : la tension T du fil et la réaction R du
→
→
mur ; la condition d’équilibre s’écrit : R = − T
• 1.2- équilibre sous l’action de trois forces
-1.2.1- observation :
Une plaque rectangulaire homogène (tôle ou contreplaqué, par
exemple) est accrochée à deux fils.
Quand
elle
est
en
F1
position
F2
d’équilibre, on constate :
que la plaque et les deux fils
sont dans le même plan vertical, qui
contient aussi le vecteur représen-
P
tant le poids de la plaque
que les droites d’action des 3
forces (tensions des deux fils et poids) sont concourantes
-1.2.2- interprétation :
l’équilibre suppose que la somme des forces est nulle :
→
→
→
→
→
→
→
F1 + F 2 + P = 0 ⇔ P = −(F1 + F 2 )
F
1
P
-P
F
1
F2
• la première écriture indique que les 3
vecteurs mis bout à bout forment un triangle
P
fermé ; la deuxième écriture implique que le
→
F2
vecteur P est une combinaison linéaire des vec→
→
teurs F1 et F 2 , donc qu’il appartient au plan défini par ces deux vec-
teurs : les trois forces sont donc coplanaires.
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-1.2.3- méthodologie :
–
définir le système dont on veut étudier l’équilibre
exemple : une balançoire est formée d’une planche posée sur un cylindre ; l’ensemble est posé sur
le sol, et immobile. Chaque partie de la balançoire est donc en équilibre, de même que la balançoire
prise dans son ensemble. Le système étudié peut être chaque pièce de la balançoire prise séparément, ou l’ensemble.
–
recenser les forces extérieures appliquées au système
exemple :
Si le système choisi est la planche, les actions extérieures sont celle de la pesanteur (force à
distance) et celle du cylindre (force de contact).
Si le système choisi est le cylindre, il subit l’action de la planche (force de contact), du sol
(force de contact), et de la pesanteur (force à distance).
Si le système choisi est la balançoire, l’action de la planche sur le cylindre et du cylindre sur
la planche sont des forces intérieures au système, et n’interviennent pas dans l’étude de l’équilibre ;
les actions extérieures sont seulement celles de la pesanteur (force à distance) sur l’ensemble planche-cylindre et du sol sur le cylindre (force de contact).
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Le seul système soumis à 3 forces est donc le cylindre.
–
pour chaque force, recenser les caractéristiques connues :
–
–
–
Point d’application
Direction et sens
Valeur
exemple :
les 3 forces s’exerçant sur le cylindre sont :
1. l’action de la planche, répartie le long de la droite de contact entre la cylindre et la planche, et que l’on peut représenter par une force unique, appliquée au point de contact dans
le plan de la figure, et dirigée de la planche vers le cylindre, donc vers le bas.
2. l’action du sol, répartie le long de la droite de contact entre la cylindre et le sol, et que
l’on peut représenter par une force unique, appliquée au point de contact dans le plan de
la figure, et dirigée du sol vers le cylindre, donc vers le haut.
3. l’action de la pesanteur, que l’on peut représenter par une force unique, appliquée au
centre de masse du cylindre (dont la trace sur la figure est le centre du cercle), verticale,
vers le bas, ayant pour valeur le poids du cylindre.
vérifier que les droites d’application des 3 forces sont concourantes
exemple :
–
les 3 forces ne peuvent être concourantes que si elles s’exercent toutes les 3 sur la même verticale,
celle qui passe par les centres de masse de la planche et du cylindre
–
utiliser, graphiquement ou en projetant sur 2 axes, la relation :
→
→
∑F = 0
les 3 forces sont verticales, un seul axe suffit : Fpl + Fsol + P = 0
La force exercée par la planche se déduit de l’équilibre de la planche : elle est soumise à son poids
Ppl et à la réaction du cylindre Rcyl, donc :
Rcyl = - Ppl , et, d’après le principe d’interaction, la
force exercée par la planche sur le cylindre est : Fpl = -Rcyl = Ppl , d’où : Ppl + Fsol + P = 0,
qui est la condition d’équilibre entre la balançoire et le sol.
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Exemple d’étude complète :
T1
T2
P
système étudié : hamac
–
forces extérieures :
tensions T1 et T2 des cordes, point d’application, direction, sens connus, valeurs à
déterminer
poids P du dormeur, entièrement connu
T2
en construisant le triangle, on détermine les tensions :
→
→
→
→
T1
T1 + T 2 + P = 0
T1
α
T2
β
P
P
en projetant cette équation sur un axe vertical, on obtient :
T1.sinα + T2.sinβ - P = 0 ⇔
T1.sinα + T2.sinβ = P
en la projetant sur un axe horizontal, on obtient :
-T1.cosα + T2.cosβ = 0
⇔
T1.cosα = T2.cosβ
⇔
T2 = T1.cosα/ cosβ
⇔
en remplaçant T2 par son expression dans la première équation, on a :
T1.sinα + (T1.cosα/ cosβ).sinβ = P ⇒ T1 =
P
P
; T2 =
sin α + cos α.tgβ
tgα. cos β + sin β
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Exercice résolu n°1
Énoncé : Un solide S de masse m peut glisser sans frottement sur un plan faisant un
angle α avec l'horizontale . Ce solide est retenu par un fil de masse négligeable, parallèle à la ligne de plus grande pente du plan
(voir figure ci-contre). Faire le bilan des
forces agissant sur le solide à l'équilibre, et
déterminer leurs valeurs.
Application numérique :
m1 = 0,5 kg ; g = 10 U.S.I. ; α = 30°
Solution :
Le système étudié est le solide S.
bilan des forces extérieures agissant sur le
solide :
1. action de la pesanteur, verticale, dirigée
vers le bas, de valeur P = m.g
2. action du fil, ayant la direction du fil,
orientée vers le haut (T)
3. action du plan, normale au plan puisqu'il n'y a pas de frottement, vers le haut
(N)
conditions d'équilibre :
1. les droites d'action des 3 forces sont concourantes en G
2. la somme vectorielle des forces est nulle :
→
→
→
→
→
→
∑ F = 0 : P + N + T = 0 . Pour exprimer cette
relation, il y a deux possibilités :
construire le triangle des forces à l'échelle, ce qui est facile puisque P est entièrement connu et que les directions de T et N le sont aussi, et mesurer les valeurs
sur la figure, ou mieux, utiliser les relations entre les côtés du triangle pour calculer les longueurs des côtés inconnus.
projeter la relation sur deux axes perpendiculaires. Le choix qui simplifie le calcul est de prendre un axe parallèle au plan et l'autre normal ; ainsi, deux des
projections sur les axes seront nulles. En orientant les axes positivement vers le haut, il vient
:
parallèlement au plan incliné :
T - Psinα = 0, d'où T = Psinα = M.g. sinα = 1.10.0,5 = 5N
normalement au plan incliné :
N - Pcosα = 0, d'où : N = Pcosα = M.G.cosα = 1.10.0,866 = 8,66N.
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Exercice résolu n°2
B
Énoncé : Une tige homogène OA, mobile autour d'un axe passant
par O et perpendiculaire au plan de la figure, est maintenue en
équilibre par un fil horizontal AB. Le poids de cette tige vaut P =
100 N, sa longueur est de 1,2 m, elle fait avec le mur un angle α =
60°.
A
α
O
1 - Faire le bilan des forces appliquées à la tige.
2 - déterminer leur direction, leur sens et leur valeur
Solution :
• Le système étudié est la tige OA
• Les forces extérieures agissant sur le système sont :
1. l'action P de la pesanteur, verticale, vers le bas, agissant au
centre de masse de la tige, qui est son milieu M, et de valeur
B H
connue
A
2. l'action T du fil au point A, dans la direction du fil, de A vers
B, de valeur inconnue
α
M
3. l'action R du mur en O, de direction et de valeur inconnues
Conditions d'équilibre :
P
O
1. les droites d'action des 3 forces sont concourantes ; comme le
poids P s'exerce à la verticale du milieu M de OA, et que T a la
direction du fil, la droite d'action de R passe par le point d'intersection H de ces deux droites. La détermination de l'angle β de R avec la verticale peut se
faire par mesure sur la figure, ou mieux en utilisant les relations entre angles et côtés dans le
triangle OHB : tgβ = HB/OB ; comme HB = AB/2, et que tgα = AB/OB, alors tgβ = (tgα)/2 =
0,866, d'où β = 40,89°.
3. la somme vectorielle des forces est nulle :
→
→
→
→
→
→
∑ F = 0 : P + R + T = 0 . Pour exprimer cette
relation, il y a deux possibilités :
a) construire le triangle des forces à l'échelle, ce qui est facile puisque P est entièrement connu
et que les directions de T et R le sont aussi, et mesurer les valeurs sur la figure, ou mieux, utiliser les relations entre les côtés du triangle pour calculer les longueurs des côtés inconnus.
b) projeter la relation sur deux axes perpendiculaires. Comme T⊥P, en choisissant deux axes
qui leur sont parallèles, on simplifie les équations. En orientant les axes positivement vers le
haut et vers la droite,
→
→
→
→
la projection verticale de P + R + T = 0 donne :
→
→
→
→
la projection horizontale de P + R + T = 0 donne :
(1) ⇒ P = R.cosβ =132,2N
(2) ⇒ T = R.sinβ = P.tgβ = 86,6N
- P + R.cosβ = 0
(1)
- T + R.sinβ = 0
(2)
T
P
la construction du triangle des forces donnerait les mêmes résultats, mais avec moins de précision.
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R