Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles

Transcription

EDP - Cours de Maı̂trise LBdM
1
INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
Cours de maı̂trise, L. Boutet de Monvel
Ce polycopié regroupe les notes du cours d’Équations aux dérivées partielle
de la Maı̂trise de Mathématiques.
La principale référence pour le cours est :
• L. Schwartz - Méthodes Mathématiques de la Physique. Hermann, Paris
1961 (plusieurs reéditions).
On pourra aussi utilement consulter :
• L. Schwartz - Théorie des Distributions. Hermann, Paris 1950.
• L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operators I-IV.
Grundlehren der Math.Wiss. 256, 257, 274, 275, Springer-Verlag, 1985.
• I. Gelfand, G. Shilov - Generalized functions vol.1,2. Acad. Press, New
York & London, 1964, 1968.
• R. Courant, D. Hilbert - Methods of mathematical physics, vol. I (1953),
vol. II (1962). Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y.
• L. Boutet de Monvel - Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles
(cours de maı̂trise, Paris 7, 1974, rédigé par Ch. Bercoff)
• C. Zuily - Problèmes sur les distributions et les EDP. Hermann, Paris,
1988.
TABLE DES MATIÈRES
2
Table des Matières
1 INTRODUCTION
1.1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et E.D.P. . . . . . .
1.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . .
1.2 E.D.P. LINÉAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Calcul d’erreurs ou de perturbations . . . . . . .
1.2.2 Équations axiomatiquement linéaires. . . . . . . .
1.3 EXEMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Équation de la chaleur, équation Schrödinger . . .
1.3.5 Équations de Cauchy Riemann, analyse complexe.
1.4 MÉTHODES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Problèmes bien posés . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . .
2 DISTRIBUTIONS
2.1 FONCTIONS TEST . . . . . . . . .
2.1.1 Fonctions test . . . . . . . . .
2.1.2 Topologies, limites . . . . . .
2.1.3 Régularisation, densité . . . .
2.2 DISTRIBUTIONS . . . . . . . . . .
2.2.1 Définition des Distributions .
2.2.2 Opérations élémentaires . . .
2.2.3 Topologies . . . . . . . . . . .
2.2.4 Exemples . . . . . . . . . . .
2.2.5 Support . . . . . . . . . . . .
2.3 CONVOLUTION . . . . . . . . . . .
2.3.1 Produit externe . . . . . . . .
2.3.2 Convolution . . . . . . . . . .
2.3.3 Régularisation . . . . . . . . .
2.4 COMPLÉMENTS, EXEMPLES . . .
2.4.1 “Structure” des distributions .
2.4.2 famille holomorphe: pf xs+ .
2.4.3 Passages à la limite . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
4
6
6
6
9
9
9
10
11
11
13
13
13
14
15
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
16
17
17
19
19
19
20
21
23
25
25
26
27
28
28
29
31
3
3 TRANSFORMATION de FOURIER
3.1 DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES . . . . . .
3.2 FORMULE de RÉCIPROCITÉ . . . . . . .
3.3 POLYNÔMES de HERMITE . . . . . . . .
3.3.1 Annihilateurs et Créateurs . . . . . .
3.3.2 Fonctions de Hermite . . . . . . . . .
3.3.3 Oscillateur Harmonique, Base de S et
4 ÉQUATION DE LAPLACE
4.1 ∆ en COORDONNÉES POLAIRES . .
4.2 SOLUTION ÉLÉMENTAIRE . . . . . .
4.2.1 Cas n = 1 : . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Cas n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . .
4.3 RÉGULARITÉ . . . . . . . . . . . . . .
4.4 PROBLÈME de DIRICHLET . . . . . .
4.4.1 Principe du Maximum . . . . . .
4.4.2 Problème de Dirichlet . . . . . .
4.4.3 Noyau de Poisson de la boule . .
4.4.4 Noyau de Poisson du demi-espace
4.4.5 Formule de la moyenne . . . . . .
4.5 HARMONIQUES SPHÉRIQUES . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
S0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 ÉQUATION des ONDES
5.1 CORDES VIBRANTES (ondes en dimension 1+1)
5.1.1 Primitives dans C −∞ (R) . . . . . . . . . . .
∂2
. . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Opérateur ∂x∂y
5.1.3 Corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE,
PROBLÈME de CAUCHY . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Solution élémentaire avancée . . . . . . . . .
5.3 SOLUTION ÉLÉMENTAIRE . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Cas de la Dimension 3+1 . . . . . . . . . . .
5.3.2 Théorème de Paley-Wiener . . . . . . . . . .
5.4 APPENDICE - ÉQUATIONS de MAXWELL . . .
5.4.1 Formulation usuelle . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Formulation intrinsèque . . . . . . . . . . .
5.4.3 Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
32
34
36
36
37
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
39
39
40
41
42
42
42
43
44
44
46
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
48
48
48
49
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50
50
50
52
52
52
55
55
56
57
4
6 ÉQUATION de la CHALEUR,
ÉQUATION de SCHRÖDINGER
6.1 TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE .
6.2 SOLUTION ÉLÉMENTAIRE . . . . . . . . . . . .
6.3 DIVERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 ÉQUATION de SCHRÖDINGER . . . . . . . . . .
7 ÉQUATIONS de l’ANALYSE COMPLEXE
7.1 ÉQUATIONS de CAUCHY-RIEMANN . . . . .
7.1.1 Fonctions d’une Variable Complexe . . .
7.1.2 Solution Élémentaire . . . . . . . . . . .
7.1.3 Système de Cauchy-Riemann sur Cn . .
7.2 ÉQUATIONS de H. LEWY et S. MIZOHATA .
7.2.1 Équations de H. Lewy, ∂ b . . . . . . . .
7.2.2 Équation de Mizohata . . . . . . . . . .
7.2.3 Transformation de Fourier Partielle,
Développements en Fonctions de Hermite
7.2.4 Opérateur de Hermite . . . . . . . . . .
8 PROBLÈME DE CAUCHY
ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE
8.1 THÉORÈME de CAUCHY-KOWALEWSKI
8.1.1 Problème de Cauchy. . . . . . . . . .
8.1.2 Solution formelle . . . . . . . . . . .
8.1.3 Séries majorantes . . . . . . . . . . .
8.2 Équations différentielles d’ordre 1 . . . . . .
8.2.1 Équation linéaire d’ordre 1 . . . . . .
8.2.2 Crochet de Poisson . . . . . . . . . .
8.2.3 Équations d’ordre 1 . . . . . . . . . .
8.2.4 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Appendice . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
58
59
59
60
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
61
61
62
63
63
64
. . . . . . . . . 64
. . . . . . . . . 64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
66
66
67
69
71
71
71
74
75
76
9 APPENDICE
79
9.1 La Fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 INTRODUCTION
1
1.1
1.1.1
5
INTRODUCTION
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et E.D.P.
Notations
Soit U un domaine (ouvert) de Rn . On appelle multi-indice (ou n-multi-indice)
une suite d’entiers positifs (≥ 0) : α = (α1 , . . . αn ). On pose
|α| = α1 + . . . αn ,
α! = α1 ! . . . αn !, . . . αn !
α1
αn
∂
∂
α
∂ =
...
∂x1
∂xn
f (α) = ∂ αf
aussi noté
∂ |α| f
∂xα
et, si x = (x1 , . . . , xn ) est un vecteur de Rn ,
xα = xα1 1 . . . xαnn
de sorte que, pour une fonction f assez différentiable, la formule de Taylor
s’écrit
X
hα
f (x + h) =
f (α) (x) + O(khkN )
α!
|α|<N
1.1.2
Équations différentielles
Le problème est de trouver et d’étudier les fonctions dérivables y(t) d’une
variable t qui sont liées à leur dérivée par une relation Φ(t, y, dy
) = 0, souvent
dt
dy
“sous forme résolue” en dt :
dy
= F (t, y)
dt
Les équations différentielles et le calcul infinitésimal sont apparus au 17ème
siècle, avec Newton et Leibniz. Elles ont inspiré Newton pour son explication spectaculaire du mouvement des planètes sous l’influence de la force de
gravitation universelle. Nous utilisons toujours aujourd’hui les notations de
Leibniz. Leur puissance s’est affirmé au 18ème pour l’étude de nombreux
problèmes géométriques ou mécaniques, et leur importance en mathématiques
et en physique n’a cessé de croı̂tre depuis.
Les équations de Newton comportent deux aspects :
→
−
−
1) l’équations générale des mouvements ( F = m→
γ ) dit que c’est la dérivée
→
−
du moment cinétique m v d’un corps ponctuel de masse m, dont la position
1 INTRODUCTION
6
→
−
−
est →
x (fonction du temps) qui égale la force F à laquelle ce corps est soumis,
autrement dit la position obéit à l’équation différentielle
−
→
−
d2 →
x
m 2 = F,
dt
→
−
où la force F est en principe connue indépendamment en fonction de la position
et du temps (dans certains cas, par exemple s’il y a des frottements, elle dépend
aussi de la vitesse). La loi n’est pas du tout vide ou insignifiante: elle dit que
c’est la variation de la vitesse (accélération) plutôt que la vitesse elle-même
(variation de la position) qui est liée à la force, comme l’avait déjà dit Galilée.
Elle a pour conséquence que, si la force est connue par ailleurs, le mouvement
est complètement déterminé par la position et la vitesse à un instant initial.
C’est la partie “mathématique” des lois de Newton.
2) La loi de la gravitation universelle (partie “physique” des lois de Newton):
si des mobile de masse mi et de position xi sont soumis aux seules forces de la
gravitation, la force exercée sur le i-ème mobile par les autres est:
Fi =
X
Fij
avec Fij = f mi mj
−f mi mj (xj − xi )
=
∇
x
i
|xj − xi k3
kxi − xj k
où f est une constante universelle.
Lorsqu’on étudie le mouvement d’un solide indéformable ou d’un nombre fini
de tels solides, on tombe encore sur un système fini d’équations différentielles
du second ordre, parce que la position du solide est complètement déterminée
par celle d’un repère lié de façon fixe à ce solide, i.e. par un déplacement
de l’espace à 3 dimensions; or un repère orthonormé est déterminé par 6
paramètres (3 coordonnées pour déterminer l’origine du repère, et trois angles pour déterminer les trois vecteurs de sa base orthonormale - en tout cas
un nombre fini de paramètres réels).
1.1.3
Équations aux dérivées partielles
Il en va tout autrement lorsqu’on étudie le mouvement d’un corps déformable
(solide élastique, liquide, gaz ou plasma), par exemple un pont suspendu, le
mouvement de l’eau dans un torrent, des vagues ou des courants dans la mer,
ou de l’écoulement de l’air autour d’une aile d’avion. Un fluide est composé
d’un très grand nombre de particules massives (atomes ou molécules), et il est
raisonnable de l’idéaliser en un milieu continu, paramétré par les points d’un
domaine de Rn .
Une première idée serait de repérer point par point les éléments du fluide,
par exemple par leur position initiale: l’inconnue est alors la collection des
1 INTRODUCTION
7
mouvements de chaque point et est décrite par une fonction vectorielle de 4
variables x(t, ξ) où ξ désigne la position initiale. La collection des masses
apparaı̂t alors comme une densité ρ(ξ)dξ (ou une mesure), indépendante du
temps si la loi de conservation de la masse est respectée. La force apparaı̂t
comme une champ de vecteurs F (t, x) et l’équation du mouvement est
d
dx
(ρv(ξ, t) = F (x, t) avec v =
dt
dt
Le champ de forces F se compose de forces externes, comme la force de gravitation, et de force internes parfois compliquées á décrire, qui font le plus souvent
intervenir des dérivées de x par rapport aux variables d’identification ξ (ou de
position x) - nous n’en donnons pas de description ici.
Cette façon de décrire le mouvement peut être raisonnable pour l’étude d’un
solide presque indéformable, mais pour un fluide elle ne fournit pas directement
les renseignement les plus utiles : le plus intéressant est plutôt l’état du fluide
dans un repère fixé à l’observateur (nous même) - par exemple pour améliorer
la forme d’une aile d’avion, nous devons étudier la répartition des vitesses et
des contraintes près de l’aile, et en se repérant par rapport à l’aile, et pas ce qui
s’évanouit 10m plus loin! Aussi depuis Euler on repère plutôt l’état du fluide
par le champ de vitesses V (t, x), vitesse de la particule de fluide qui occupe la
position x (de notre repère) à l’instant t. De nouveau la masse est décrite par
une densité (mesure) ρ(t, x), qui dépend maintenant du temps, puisqu’elle est
liée à x et plus au repère ξ fixé dans le fluide).
Le champ de moments cinétiques est toujours ρV , mais dans ce nouveau
repère, le champ des moments cinétiques, dérivée ”absolue” par rapport au
temps de ρV , est
X
∂
∂
d
(ρV (t, x(t, ξ)) = ( +
Vi
)(ρV )
dt
∂t
∂xi
.
Dans cette façon de repérer, cette expression est quadratique et non linéaire
par rapport à V , de sorte que (sauf miracle exceptionnel) les équations de la
mécanique des fluides ne sont jamais linéaires.
1 INTRODUCTION
1.2
8
E.D.P. LINÉAIRES
Les équations de la mécanique des fluides sont souvent difficiles à résoudre,
d’autant plus qu’elles donnent très souvent lieu au phénomène appelé “chaos”
(c’est typiquement le cas pour la météorologie): même si en principe la solution
dépend continûment des données initiales, l’erreur devient vite trop grande
pour qu’on puisse calculer utilement. Elles ne font pas l’objet de ce cours, qui
s’occupe des équations linéaires, mais elles sont très importantes.
Les équations linéaires sont également importantes. Il y a à cela plusieurs
raisons, décrites ci-dessous.
1.2.1
Calcul d’erreurs ou de perturbations
Le principe de base du calcul infinitésimal - calcul d’erreurs ou calcul différentiel, est qu’il conduit toujours à des équations linéaires : si le vecteur h est
très petit et la fonction F est différentiable, l’accroissement F (x + h) − F (x) ∼
F 0 (x) · h est presque linéaire en h (l’erreur est de l’ordre de khk2 si F est deux
fois différentiable)
Selon ce principe si f (x) est solution d’une équation différentielle
Φ(x, f (α) ) = g
dans un domaine Ω de Rn
soumis à des condition limites supplémentaires
Φj (x, f (β) ) = gj
sur le bord ∂Ω
et si ce problème est “bien posé”, i.e. que la solution f dépend continûment
et différentiablement des données g, gj , et si f + u est la solution du même
problème correspondant à des données voisines g + v, gj + vj , alors la variation
u de la solution doit être (approximativement) solution du système linéaire
X ∂Φ
∂ α u = v dans Ω
∂f (α)
X ∂Φj
∂ (β) u = vj sur ∂Ω
∂f (β)
(cette discussion a tout de même des limites : il est souvent beaucoup plus
difficile de montrer pour des EDP que pour des équations différentielles qu’un
problème est bien posé).
1.2.2
Équations axiomatiquement linéaires.
Certains objets utilisés en physique sont linéaires par définition, aussi les équations qui gouvernent leur évolution doivent être linéaires pour respecter cete
structure.
1 INTRODUCTION
9
Par exemple les “champs” en physique sont des fonctions à valeurs vectorielle, ils forment un espace vectoriel, et cette structure vectorielle fait partie de leur définition, aussi les équations concernant les champs doivent être
linéaires. Par exemple le équations de Maxwell, qui gouvernent le champ
électromagnétique, sont linéaires (nous en reparlerons à propos de l’équation
des ondes).
En mécanique classique, un système est déterminé par son état, qui est
un point d’un ensemble - de préférence un ouvert d’un espace numérique Rn
ou d’une variété X. L’évolution du système est gouvernée par une équation
différentielle, indépendante du temps dans le cas d’un système autonome:
dx
= V (x)
dt
où V est un champ de vecteurs sur X (le champ des vitesses). dont la solution,
idéalement, est donnée par un groupe à un paramètre:
x(t) = Φt (x0 )
Comme nos mesures sont toujours imprécises, il est tout à fait raisonnable
d’étudier comment évolue un loi de probabilité (c’est à dire une mesure positive
de masse 1, mesurant la probabilité de présence du mobile dans une région
donnée) plutôt qu’un point isolé. On peut plus généralement étudier comment
évoluent les fonctions intégrables, ou les fonctions de carré intégrable. Une
fonction f sur X évolue selon la loi
ft (x) = f (t, x) = f (Φ−t (x))
et est donc gouvernée par l’équation différentielle
X
∂f
∂f
=−
Vj (x)
∂t
∂xj
Cette équation est automatiquement linéaire, parce que notre espace de fonctions (et de même L1 ou L2 ) est un espace vectoriel, et que la loi d’évolution
respecte la structure linéaire. L’espace L2 est particulièrement commode parce
que c’est un espace de Hilbert, qui a une bonne géométrie avec laquelle il est
plus agréable de travailler.
Toujours dans ce cadre, les fonction continues à valeurs complexes forment
une algèbre involutive A (on peut les ajouter et les multiplier ; l’involution est
la conjugaison complexe). On l’appelle algèbre des observables du système.
Une observable (ou mesure) est une procédé qui à un ”phnomne observable”
état associe un nombre dtermin par son tat, c’est à dire une fonction sur
1 INTRODUCTION
10
l’ensemble X des tats (celle-ci doit être continue pour avoir une signification
physique, i.e. une petite erreur - inévitable - sur l’état du système produit une
petite erreur sur la mesure). Deux observables sont identiques si elles donnent
le mme rsultat sur tous les ”phnomnes” possibles; deux ”phnomnes” sont ”dans
le mme tat” si toutes les mesures possibles rendent sur eux le mme rsultat.
L’ensemble des états est donc complètement déterminé par l’algèbre A: c’est
le spectre X = spec A, ensemble des caractères de A, i.e. des applications
χ : A → C telles que χ(f + g) = χ(f ) + χ(g), χ(f g) = χ(f )χ(g).
En physique quantique, il y a toujours une algèbre des observables (involutive), mais ce n’est plus une algèbre commutative, de sorte qu’il n’y a plus
“d’ensemble des états” comme ci-dessus (il n’y a pas assez de caractères). Il
reste tout de même un espace de Hilbert H, qui est l’analogue de l’espace
L2 des demi-densités ci-dessus, qui est par définition un espace vectoriel, avec
en plus une métrique hilbertienne respectée par l’évolution. A opère sur H,
de même que ci-dessus l’algèbre des fonctions continues opère, par multiplications, sur L1 ou L2 . Une loi d’évolution en physique quantique correspond
alors à un groupe d’isométries linéaires Ut sur H et se traduit par une équation
différentielle linéaire “de Schrödinger” de la forme
~ dx
= Ax avec A = A∗ .
i dt
La mécanique quantique est en réalité un peu plus compliquée que cela car H
n’est pas de dimension finie, et l’opérateur A, limite d’éléments de A, est en
général non borné (exemple type: H = L2 (R3 ), A = ∆, voir ci-dessous). La
constante de Planck ~ est un nombre, qu’on aurait aussi bien pu incorporer
dans A; mais en pratique il est utile de regarder le problème à des échelles de
plus en plus grandes ce qui conduit à étudier le comportement asymptotique
des solutions de l’équation de Schrödinger pour ~ → 0.
1 INTRODUCTION
1.3
1.3.1
11
EXEMPLES
Équations différentielles.
Une équation différentielle linéaire d’ordre n, pour une fonction numérique
y(t), est une équation de la forme
X
(1)
y (n) +
aj (t)y (n−j) = 0
où les aj sont des fonctions continues sur un intervalle I ⊂ R. Si les aj
sont de fonctions constantes on ditqu’il s’agit d’une équation à coefficients
constants. On sait (cours de DEUG) que les solutions d’une équation d’ordre
n à coefficients constants sont sommes d’exponentielles polynômes
X
y=
Pk (t)etλk
où les λk sont les racines du polynôme caractéristique
X
λn +
aj λn−j = 0
et Pk est un polynôme de degré inférieur (<) à la multiplicité de la racine λk .
On étudie aussi dans le domaine complexe des équations á coefficients rationnels, comme l’équation de Bessel:
(2)
y” +
ν2
1 0
y + (1 − 2 )y = 0
z
z
qui intervient dans beaucoup de problèmes, par exemple pour la transformation
de Fourier des fonctions radiales (chap. 4).
Rappelons que les solutions d’une telle équation se prolongent holomorphiquement en dehors des points singuliers, de façon plus compliquée (ramifiée), mais plus significative, que dans le domaine réel.
1.3.2
Équation de Laplace
Le Laplacien est l’opérateur du second ordre sur Rn
(3)
n
X
∂2
∆=
∂x2j
1
Le cas usuel est le cas n = 3. Cet opérateur apparaı̂t dans un très grand nombre d’équations provenant de la physique, de la mécanique, ou de problèmes
géométriques. Une raison de son unversalité est la suivante: de nombreuses
lois de la physique ont tendance à se traduire par des EDP du second ordre,
1 INTRODUCTION
12
invariantes par déplacement (translations et rotations). Or les seuls opérateurs
linéaires du second ordre invariants par déplacement sont les a∆ + b, a, b constants, de sorte que ∆ doit apparaı̂tre dans la plupart les problèmes linéaires,
en particulier de perturbation, provenant de la physique.
L’équation ∆f = g apparaı̂t en particulier en électrostatique, où c’est
l’équation qui lie un potentiel f à la densité de charges électriques g (dans
l’équation de électrostatique figure aussi la constante diélectrique ε0 , qui vaut
1 dans un système d’unités convenable). Le potentiel engendré par une charge
1 placée au point y ∈ R3 est
V (x, y) =
1
4π|x − y|
Comme l’équation de Laplace est linéaire, le potentiel engendré par la densité
g est (principe de superposition).
Z
g(y)
(4)
f (x) =
4π|x − y|
(pourvu que g ne soit pas trop grand de sorte que l’intégrale converge). Cette
formule sert à résoudre l’équation de Laplace dans de nombreux cas (chap. 5).
Un autre problème classique provenant de la physique est le problème de
Dirichlet: trouver le potentiel f dans un domaine Ω ⊂ R3 vérifiant ∆f = 0
lorsque f est connue sur le bord ∂Ω. Plus généralement on étudie le problème
aux limites
(5)
∆f = g
dans Ω
f = f0
sur ∂Ω
On verra (chap. 5) que ce problème est bien posé (voir ci-dessous), comme le
suggère l’intuition physique.
1.3.3
Équation des ondes
2
∂
L’opérateur des ondes (D’Alembertien) sur Rn+1 est ∂t
2 − ∆.
Le problème bien posé associé le plus souvent à l’équation des ondes est le
problème initial, avec donnée de Cauchy:
∂ 2f
− ∆)f = g
∂t2
∂f
= f1 (x) pour t = 0
f = f0 (x),
∂t
La solution de l’équation des ondes est donnée par une formule intégrable
remarquable (chap. 6).
(6)
(
1 INTRODUCTION
1.3.4
13
Équation de la chaleur, équation Schrödinger
L’opérateur de la chaleur, resp. de Schrödinger est Rn+1 est
(7)
C=
∂
∂
− ∆ resp. S =
− i∆.
∂t
∂t
Un problème bien posé souvent associé est le problème initial:
Pf = g
(P = C ou H), f = f0 (x) pour t = 0.
La solution de l’équation de la chaleur, et celle de l’équation de Schrödinger,
sont données par des formules intégrables remarquables (chap. 7). Bien qu’il
y ait des ressemblances formelles, les deux problèmes pour C et S sont profondément différents, en particulier l’équation de Schrödinger est réversible et
le problème initial a une solution définie pour toutes les valeurs de t; l’équation
de la chaleur ne l’est pas, et le problème initial n’est résoluble que pour t ≥ 0.
1.3.5
Équations de Cauchy Riemann, analyse complexe.
L’équation de Cauchy-Riemann est celle que vérifient les fonctions holomorphes
de z = x + iy:
1 ∂
∂
∂f
=
+i
f =0
(8)
∂z
2 ∂x
∂y
Les fonctions holomorphes sur Cn vérifient le systèmes des équations de
∂f
) = 0 (k = 1, . . . , n). Il n’y a pas de conditions
Cauchy-Riemann ∂f = ( ∂z
k
limites bien posées du type ci-contre associé à ce système d’équations.
Si f est holomorphe dans un domaine Ω de Cn , de frontière régulière ∂Ω, la
restriction f|Ω vérifie un système de n − 1 équations différentielles (système ∂ b des
équations de Cauchy-Riemann tangentes, chap. 8). L’équation de H. Lewy sur R3
(variables z = x + iy, t) est :
(9)
Lf =
∂f
∂f
+ iz
=0
∂z
∂t
c’est un cas particulier du système tangent ∂ b (n = 2, Ω =la boule unité, ∂Ω =la
sphère unité, après choix d’un système de coordonnées convenable sur la sphère).
L’équation de Mizohata que nous étudierons à la fin du cours est
(10)
Mf =
∂f
∂f
− it
=0
∂t
∂x
Ses solutions sont les fonctions f (z), z = x + 2i t2 où f est holomorphe dans le demiplan de Poincaré Im z ≥ 0. Elle est apparentée á l’équation de H. Lewy en ce sens
1 INTRODUCTION
14
que l’une se ramène en gros à l’autre après une “transformation canonique” (nous
en parlerons un peu à la fin du cours). Les équations Lf = g ou M f = g ont la
propriété remarquable suivante : non seulement il n’y a pas de conditions limites
bien posées au sens usuel, mais elles n’ont a en général pas de solution du tout au
voisinage d’un point donné (avec t = 0 pour la seconde) si le second membre g est
mal choisi. Elles ne se comportent donc pas du tout comme devraient se comporter
intuitivement les équations associées à un phénomène physique - mais elles ont leur
origine dans des problèmes de géométrie analytique complexe tout à fait naturels.
1 INTRODUCTION
1.4
1.4.1
15
MÉTHODES
Problèmes bien posés
Les premières préoccupations des mathématiciens ont été l’étude et la description de “la solution générale” d’une équation ou d’un système d’équations
aux dérivées partielles. Mais il est important, surtout quand nos équations
doivent servir à décrire et modéliser des phénomènes physiques, de savoir
quelles données supplémentaires il faut prescrire pour que la solution soit
déterminée de façon unique, et surtout qu’elle dépende “continûment” des
données (en un sens intuitif, qu’il faudra préciser). Lorsqu’il en est ainsi on
dit, avec J. Hadamard, que le problème est bien posé.
Pour une équation P (x, ∂ α f ) = g dans Ω, où Ω est un domaine de Rn de
frontière ∂Ω régulière ou réguliére par morceaux, les données supplémentaires
sont le plus souvent des conditions aux limites sur la frontière ∂Ω, de la forme
Qk (x, ∂ αf )|∂Ω = gk
où les Qk sont aussi des opérateurs différentiels (donc locaux). Il est parfois
utile d’utiliser d’autres types de conditions supplémentaires, par exemple des
conditions intégrales (non locales).
Un exemple typique est la “donnée de Cauchy” d’ordre k, qu’on adjoint à
une équation d’ordre k pour définir le problème de Cauchy:
∂tk f (t, x) + F (t, x, ∂ α f ) = g
∂ jf
= gj (x), pour t = 0, j = 0, . . . , k − 1
∂tj
où dans l’équation principale F ne dépend que des dérivées ∂ α f d’ordre |α| ≤ k,
et αt < k (ordre en t).
Le problème de Cauchy est bien posé pour certaines équations, appelées
hyperboliques, par exemple pour l’équation des ondes (chap. 6). Mais il ne
l’est pas pour les autres exemples ci-dessus. Pour le Laplacien c’est le problème
de Dirichlet (5) qui est bien posé. En général le problème de trouver des
conditions limites pour lequel un problème est bien posé (et montrer qu’elles
le sont) est difficile.
1.4.2
Analyse fonctionnelle
La notion de problème bien posé demande qu’on définisse une topologie (notion
de limite) sur l’ensemble de fonctions avec lequel on travaille. Par exemple si
on travaille avec des fonctions de classe C k , il est raisonnable de travailler avec
1 INTRODUCTION
16
la topologie de la convergence C k , définie par la famille de semi-normes NK,k
(k ∈ N, K compact) :
NK,k (f ) =
|∂ α f (x)|
sup
x∈K,|α|≤k
Ces topologies, liées à la convergence uniforme de f et de certaines de ses
dérivées, sont bien adaptées et adéquates pour beaucoup de problèmes à une
variable (équations différentielles). Mais elles ne suffisent absolument plus
pour les problèmes à plusieurs variables (n ≥ 2), et on a été obligé, dans
la théorie des EDP, pour exprimer que la solution dépend continûment des
données (ou simplement démontrer qu’elle existe), d’introduire un grand nombre de topologies et de semi-normes plus élaborées. Parmi les plus usuelles
sont les semi-normes du type Sobolev:
XZ
1/p
p,k
N (f ) =
|∂ α f |p
|α|≤k
qui marchent mieux que les normes uniformes.
1.4.3
Distributions
Il est souvent commode de remplacer le problème d’évolution
dy
= F (t, y),
dt
y(0) = 0
par l’équation intégrale
Z
t
y(t) = y0 +
F (s, y(s))ds (pout tout t)
t0
Les deux problèmes sont équivalents et ont les mêmes solutions, bien que dans
le second l’intégrale ait un sens pour une classe plus large de fonction (si F est
continue, il suffit que y soit mesurable bornée).
On peut souvent de même remplacer une EDP (avec conditions limites) par
une équation intégrale en gros équivalente, en particulier pour les problèmes
dits “variationnels”. Les solutions de l’équation intégrale sont appelées solutions faibles. Si n ≥ 2 il arrive qu’il existe des solutions faibles qui ne sont pas
assez différentiables pour que l’équation différentielle ait pour elles un sens.
L’intérêt des solutions faibles a été mis en valeur en particulier par J. Leray,
qui a montré que des solutions faibles des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes) existent pour toutes les valeurs du temps, alors que les
solutions au sens normal semblent disparaı̂tre ou se brouiller.
1 INTRODUCTION
17
La théorie des distribution (chap. 3) est un outil de la théorie des EDP,
plus spécifiquement des EDP linéaires, qui rend compte des solutions faibles
ci-dessus, mais aussi de beaucoup de formules de la théorie des EDP analogues
à la formule du potentiel (4), qui contiennent des intégrales singulières, i.e. des
procédés de calcul qui sont des limites d’intégrales et se comportent comme des
intégrales, mais ne sont pas des intégrales convergentes. Les distributions ont
été pressenties par P. Dirac, de façon un peu heuristique pour les besoins de la
physique théorique, et beaucoup d’idées de la théorie viennent de S.L. Sobolev.
La mise en forme finale est due de L. Schwartz (Théorie des distributions,
Hermann Paris 1950) et est présentées de façon très élémentaire dans son
manuel de Méthodes Mathématiques de la Physique.
1.4.4
Transformation de Fourier
On a vu dans (1.2.1) que les exponentielles eλx jouent un rôle privilégié dans
l’analyse des équations différentielles (1 variable) z̀ coefficients constants.
P
Pour un opérateur différentiel à coefficients constants P (D) = aα Dα sur
Rn , avec D, = 1i ∂ (Dα = ( ∂i )α ), on a
P (D)(eix.ξ ) = P (ξ)(eix.ξ )
de sorte que l’équation P (D)f = g se ramènera à un problème de division par
P (ξ) si on arrive à écrire g comme superposition d’exponentielles:
Z
g(x) = eix.ξ ĝ(ξ) dξ
La transformation de Fourier réalise exactement cela. Les séries trigonométriques ont été d’abord introduites par Fourier pour étudier l’équation de la
chaleur. Il est naturel de privilégier les exponentielles à exposant imaginaire,
qui sont les exponentielles bornées. Dans la théorie actuelle décrite ci-dessous
(chap. 4), le facteur ĝ n’est pas une fonction, ni même une mesure, mais une
distribution (tempérée), et il ne s’agit pas d’une vraie intégrale mais d’une
intégrale généralisée au sens des distributions, mais l’idée de base reste la
même.
2 DISTRIBUTIONS
2
18
DISTRIBUTIONS
Une fonction numérique (sur un ouvert X de Rn , ou une variété, etc.) est
définie par sa valeur f (x) en chaque point x. Dans un processus de mesure
où il y a des erreurs sur la position des points et sur les valeurs de f , il est
souvent plus significatif de repérer des moyennes de valeurs dans des parties
de X. La fonction apparaı̂t ainsi alors par ses moyennes (ou épreuves) contre
des fonctions test convenablement choisies. C’est ainsi aussi qu’apparaissent
les distributions, mais au lieu de calculer des moyennes dans des ensembles,
on les éprouve contre des fonctions très régulières : les “fonctions test”. Une
fonction f , et plus généralement une distribution n’apparaı̂t alors qu’à travers
les moyennes :
Z
hf, ϕi = f ϕ
Plus la définition des fonctions test est exigeante, mieux elle absorbe (et permet) d’éventuelles irrégularités de f .
2.1
2.1.1
FONCTIONS TEST
Fonctions test
Définition 1 Soit X un ouvert de Rn . On note C0∞ (X) l’ensemble des fonctions C ∞ à support compact sur X
Exemple: la fonction
ϕ(x) =

−1
 exp 1−|x|2 si |x| < 1

0
si |x| ≥ 1
est de classe C ∞ , à support dans la boule de rayon 1.
À partir de cet exemple on voit qu’il y a beaucoup de fonctions test. En
particulier
Proposition 1 pour tout compact K ⊂ Rn et tout ε > 0 il existe une fonction
test ϕ ∈ C0∞ telle que
(11) 0 ≤ ϕ ≤ 1,
ϕ = 1 au voisinage de K,
ϕ = 0 en dehors de Kε
où Kε est l’ensemble (compact) des x ∈ Rn tels que d(x, K) ≤ ε.
Démonstration: exercice (ou voir le no 3.1.3).
2 DISTRIBUTIONS
2.1.2
19
Topologies, limites
Pour K compact, k entier positif, on introduit la semi-norme
(12)
NK,k (f ) =
sup
f (α) (x)
|α|≤k,x∈K
k
L’espace des fonctions de classe C k à support dans K est noté CK
; c’est un
espace de Banach pour la norme: NK,k .
Les espaces C k resp. C ∞ sont munis de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact des dérivées d’ordre ≤ k (resp. de toutes les dérivées),
autrement dit de la topologie définie par les semi-normes NK,k , K compact
(resp. toutes les semi-normes NK,k , K compact, k ≥ 0).
Ce sont des espaces de Fréchet: métrisables car la topologie est déjà définie
par la famille dénombrable de semi-normes NBN ,k , BN la boule de rayon N
entier > 0 (resp. N, k ∈ N); le fait qu’il soient complets résulte du théorème
usuel sur la dérivée d’une limite: si fk converge vers une limite et fk0 converge
uniformément sur tout compact vers une limite, alors f = lim fk est dérivable
et (lim fk )0 = lim(fk0 ).
[Remarque: si E est un espace vectoriel topologique dont la topologie est
définie par une suite (dénombrable) Np de semi-normes, la topologie de E
peut toujours être définie par un seul écart (= distance, sans l’axiome de
séparation): par exemple d(x, y) = sup(min(2−p , Np (x − y)) : il est immédiat
que d(x, y) → 0 ⇐⇒ Np (x − y) → 0 pour tout p).]
Topologie sur C0∞ (X): par définition, une application f sur C0∞ est continue
∞
si et seulement si sa restriction à CK
est continue pour tout compact K (nous
n’aurons besoin de cette définition que dans le cas où f est linéaire, mais elle
vaut pour toutes les applications, linéaires ou non). La topologie peut aussi
être définie par une famille non dénombrable de semi-normes, que nous ne
décrirons pas car la seule propriété utile est la définition ci-dessus.
2.1.3
Régularisation, densité
R
Choisissons ϕ ∈ C0∞ (Rn ) telle que ϕ ≥ 0, ϕ = 0 pour kxk > 1 et ϕ = 1 (il en
existe). On pose ϕε = ε−n ϕ( xε ), et, si f est une fonction localement intégrable
on note fε le produit de convolution:
Z
Z
(13)
fε = f ∗ ϕε = f (x − y)ϕε (y)dy = f (y)ϕε (x − y)
(le produit de convolution est généralisé à des objets plus généraux plus loin).
2 DISTRIBUTIONS
20
(α)
fε est de classe C ∞ . Si f est de classe C k , fε = (f (α) )ε → f (α) pour
|α| ≤ k, uniformément sur tout compact, parce que
Z
f (x) − fε (x) =
ϕε (y)(f (x) − f (x − y))dy → 0
|x|≤ε
uniformément sur tout compact si f est continue, et de même pour lesRdérivées
car on a (fε )(α) = (f (α) )ε , comme on voit en dérivant sous le signe . Donc
C ∞ est dense dans C k .
Si f est à support dans K on a supp fε ⊂ Kε , et Kε est compact si K est
compact. Donc C0∞ est dense dans C0k .
Si χ ∈ C0∞ , χ = 1 pour kxk ≤ 1, fn = χ( nx f est à support compact et tend
vers f dans C ∞ (resp. C k ) pour k → ∞ si f ∈ C ∞ (resp. C k . Donc C0∞ est
dense dans tous les espaces ci-dessus.
Remarque: si on pose ϕ = ϕ 3ε ∗χ où χ est la fonction caractéristique de K 2 ε , K
3
compact (avec la notation de la prop.1, i.e. χ(x) = 1 si d(x, K) ≤ 23 ε, 0 sinon).
Alors ϕ = 1 sur K 3ε et ϕ = 0 en dehors de Kε , ce qui donne un exemple pour
la prop.1.
2 DISTRIBUTIONS
21
2.2
DISTRIBUTIONS
2.2.1
Définition des Distributions
Définition 2 Une distribution (”fonction généralisée”) est une forme linéaire
continue sur C0∞ . Les distributions forment un espace vectoriel C −∞ (noté D0
dans le livre de L. Schwartz).
Ainsi une distribution T est une forme linéaire sur C0∞ :
ϕ 7→ hT, ϕi = T (ϕ)
La continuité signifie que pour tout compact K in existe une constante c et un
entier k (”ordre de la distribution” sur K) tels que
∞
|hT, ϕi| ≤ c NK,k (ϕ) pour ϕ ∈ CK
Exemples 1) Si f est une fonction continue, elle définit une distribution
Z
hTf , ϕi = f ϕ
Tf est nulle si et seulement si f est nulle, on a f = lim fε et fε (a) = hf (x), ϕ(a−
x)i = 0 si Tf = 0.
Dans toute la suite nous identifierons une fonction continue f a la distribution qu’elle définit, de même si f est une fonction localement intégrable (si f
est localement intégrable, Tf est bien définie; on a Tf = 0 si et seulement si f
est nulle presque partout).
2) La masse de Dirac est la distribution hδ, ϕi = ϕ(0) (”d’ordre” 0).
2.2.2
Opérations élémentaires
P
Soit P (x, D) =
aα (x)Dα est un opérateur différentiel à coefficients C ∞ . Le
t
transposé P est l’opérateur différentiel:
X
t
P (x, D) =
(−1)α Dα aα (x)
(où dans le deuxième membre on compose les opérateurs dans l’ordre écrit:
Dα aα (f ) = Dα (aα f )).
Si T est une distribution, on définit P (x, D)T par la formule
(14)
hP (x, D)T, ϕi = hT,t P (x, D), ϕi
2 DISTRIBUTIONS
22
Cette formule est justifiée parce qu’elle est vraie si T est une fonction C ∞
(intégration par parties).
En particulier les dérivées D(α) T sont bien définies, ainsi que le produit f T
si f ∈ C ∞ :
(15)
hD(α) T, ϕi = (−1)(α) hT, D(α) ϕi
hf T, ϕi = hT, f ϕi
Attention que si f n’est pas C ∞ , le produit f T n’est pas toujours bien défini
pour toute distribution T .
2.2.3
Topologies
Sur l’espace C −∞ des distributions, on dispose de plusieurs topologies:
- la topologie faible, qui est la topologie de la convergence simple sur C0∞ : une
”famille” Ti converge faiblement vers T si pour toute ϕ ∈ C0∞ hTi , ϕi → hT, ϕi.
- la topologie forte, qui est la topologie de la convergence uniforme sur les
parties bornées de C0∞ .
Par définition une partie B de C0∞ est bornée s’il existe un compact K tel
∞
que b ⊂ CK
et pour tout k, NK,k (B) = supϕ∈B NK,k (ϕ) < ∞.
La topologie faible, resp. forte, est définie par la famille de semi-normes
pF (T ) = supϕ∈F |hT, ϕi| où F parcourt l’ensemble des parties finies, resp. des
parties bornées, de C0∞ .
Remarques:
∞
; alors ϕi → 0 si pour tout k, NK,k (ϕi ) → 0.
- Soit ϕi une suite d’éléments de CK
S’il en est ainsi la suite (ϕi ) est bornée; mieux : il existe une suite λi → ∞
telle qu’on ait encore λi ϕi → 0 (par exemple il existe une suite i1 < i2 < . . .
telle que NK,k (ϕi ) ≤ 4−k si i ≥ ik ; on choisit λi = 2k si ik ≤ i < ik+1 ). Par
suite si T est une forme linéaire bornée sur les parties bornées de C0∞ , elle est
∞
), et C −∞ est complet pour la
continue (hT, ϕi i → 0 si ϕi → 0 dans un CK
topologie forte.
- La topologie forte est, comme son nom l’indique, plus fine que la topologie
faible. Elle est vraiment plus fine, i.e. une famille qui converge faiblement ne
converge pas toujours fortement. Cependant
Théorème 1 Si Tn est une suite de distributions qui converge simplement
vers une limite T , i.e. Tn (ϕ) → T (ϕ) pour toute ϕ ∈ C0∞ , alors T est une
distribution (i.e. est linéaire et continue), et Tn tend fortement vers T .
2 DISTRIBUTIONS
23
Nous ne démontrons pas ce théorème, qui a l’air miraculeux. Voici tout
de même une indication: si Tn est une suite simplement convergente de distributions, la limite T est évidemment linéaire. On montre qu’elle converge
en fait uniformément sur les parties bornées : pour tout compact K soit B
l’ensemble des ϕ ∈ CK,k telles que |Tn (ϕ)| ≤ 1 pour n ≥ 0 (on a aussi à la
limite |T (ϕ)| ≤ 1 pour ϕ ∈ B). Alors B est convexe, ferméSet puisque Tn (ϕ)
∞
∞
converge donc est bornée pour toute ϕ ∈ CK
, on a CK
= k>0 kB (réunion
∞
dénombrable). Or CK est un espace de Fréchet, i.e. métrique complet, et le
théorème de Baire affirme que dans ces conditions un des ensembles kB est
d’intérieur non vide. Alors kB − kB = 2kB est un voisinage de 0, et aussi B;
∞
finalement comme |T | ≤ 1 sur B, T est continue sur CK
(et la suite Tn est
”équicontinue”).
L’autre assertion résulte du théorème d’Ascoli, qui montre d’une part que
les parties bornées de C0∞ sont compactes, et d’autre part que puisque la suite
Tn est équicontinue et converge simplement vers T , elle converge uniformément
sur tout compact.
En pratique il est impossible de démontrer qu’une suite Tn est convergente
sans trouver en même temps pour quelles semi-normes la limite est continue,
mais le théorème ci-dessus dit qu’on n’a même pas besoin de s’en préoccuper!
2.2.4
Exemples
1) La dérivée δ (α) est définie par hδ (α) , ϕi = (−1)|α| ϕ(α) (0)
1
(δε −δ−ε ) où δa est la masse de Dirac
On a en particulier (n = 1) δ 0 = − lim 2ε
0
au point a (hδa , ϕi = ϕ(a)). La dérivée δ modélise bien le dipôle électrique.
2) Valeurs Principales et Parties Finies
La distribution vp x1 est définie par
1
hvp , ϕi = lim
x
Z
ϕ
|x|>ε
dx
,
x
R
valeur principale de l’intégrale divergente ϕ(x) dx
. La limite existe car ces
x
intégrales sont toutes nulles si ϕ est paire, et si ϕ(0) = 0, ϕ(x)
est continue de
x
sorte que l’intégrale est convergente.
Plus généralement on définit la distribution pf xs+ (partie finie, ou pseudofonction xs+ , s ∈ C) par :
Z ∞
s
hpf x+ , ϕi = pf
xs ϕ(x)dx
0
2 DISTRIBUTIONS
24
où, suivant J. Hadamard, on définit la partie finie de l’intégrale comme suit :
P
xk
(k)
Écrivons ϕ =
k<N ϕ (0) k! + ϕN où ϕN est le reste de la formule de
Taylor à l’ordre N .
s+k+1
Comme xs+k a pour primitive xs+k+1 +cste, resp. Log x+cste si s+k+1 = 0,
R1
l’intégrale ε xs ϕ(x) (primitive nulle à l’infini de −xs ϕ(x)) admet, pour ε → 0
(et pour N assez grand: Re s + N > 0), un développement asymptotique :
Z 1
xs ϕ(x) = C + IN (ε) + 0(εs+N )
ε
où C est une constante et
IN (ε) = −
X
ϕ(k) (0)
ϕ(k) (0) εs+k+1
−
Log ε
k! s + k + 1 k<N,s+k+1=0 k!
k<N,s+k+16=0
X
La partie finie de l’intégrale est la constante qui apparaı̂t dans cette formule:
Z ∞
Z 1
s
pf
x ϕ(x)dx = lim [
xs ϕ(x) − IN (ε)
0
ε→0
ε
Cette limite ne dépend pas de N (Re s + N > 0) puisque εs+k+1 → 0 si
Re s + k + 1 > 0. Noter que le terme logarithmique n’apparaı̂t que si s est
entier. La loi d’em.. maximum fait que c’est bien sûr ce cas qui est le plus
utile.
3) Valeur au Bord de Fonction Holomorphe
Notons z = x + iy la variable dans C. Soit f une fonction holomorphe
dans le demi-plan Im z > 0. Nous dirons que f est modérée (ou à croissance
modérée le long de l’axe réel) si pour tout R il existe un exposant N et une
contante C tels que
f (z) ≤ Cy −N pour |z| ≤ R
Proposition 2 Si f est modérée, la fonction fy (x) = f (x + iy) a une limite
distribution pour y → +0.
On note parfois cette limite f (x + i0)
Preuve: ceci est évident si f se prolonge continûment au demi-plan fermé
y ≥ 0. DansR le cas général, soit fk une primitive k-ième de f (par exemple
z
f0 = f, fk = i fk−1 (u)du). Alors on a dans le demi-disque de rayon R:
fk ≤ cste y −N +k
si − N + k < 0 resp. cste Log y
si − N + k = 0)
2 DISTRIBUTIONS
25
de sorte que fk est continue (dans le même demi-disque) pour k assez grand
(−N + k > 0). On a donc (dans l’intervalle [−R, R])
∂k
∂k
f
(x
+
iy)
=
fk (x + i0)
k
y→0 ∂xk
∂xk
f (x + i0) = lim f (x + iy) = lim
y→0
(limite et dérivée au sens des distributions).
On définit de même la valeur au bord d’une fonction holomorphe modérée
dans le demi-plan y < 0.
Exercices :
1
1
− x−i0
= 2πiδ
1) montrer qu’on a x+i0
2) Montrer que toute distribution T à support dans un intervalle compact
I ⊂ R est de la forme T = f (x + i0) − f (x − i0) où f est une fonction
holomorphe dans C − I.
2.2.5
Support
Support d’une fonction.
On rappelle que si f est une fonction, son support est le plus petit ensemble
fermé dans le complémentaire duquel f est nulle (x ∈
/ supp f si et seulement
si f est nulle dans un voisinage de x).
Définition 3 (et théorème) Soit T une distribution. Il y a un plus grand
ouvert U tel que T |U = 0. Le support de T est le complémentaire de cet
ouvert.
∞
T |U = 0 signifie T (ϕ) = 0 pour
S toute ϕ ∈ C0 (U ). Il faut montrer que si Ui
est une famille d’ouverts, U = Ui , T est nulle dans U si elle l’est dans tous
les Ui
Soit ϕ ∈ C0∞ (U ), et K = supp ϕ. Pour chaque x ∈ K, choisissons une
fonction χx de classe C ∞ , de sorte que
- χx ≥ 0, χx (x) > 0
- supp χ est contenu dans un des
S Ui
(c’est possible puisque K ⊂ Ui ); notons Vx l’ensemble ouvertSoù χx > 0.
Comme
Vxk . Alors
P K est compact, il est contenu dans une réunion finie
χ ϕ
χ=
χxk est > 0 au voisinage de K, de sorte que ϕk = Pxχkx est de classe
k
C ∞ (elle l’est au voisinageP
de K où χ > 0, et elle est nulle en dehors de K.
On a évidemment ϕ = ϕkP
, et comme pour chaque k, supp fk est contenu
dans un des Ui , on a hT, ϕi = hT, ϕk i = 0. CQFD
Remarque: la construction ci-dessus utilise est un cas particulier d’un résultat
général sur les partition de l’unité: si X est un ouvert de Rn (plus généralement
2 DISTRIBUTIONS
26
une variété métrisable), Ui un recouvrement ouvert de X, il existe une famille
χα ∈ C0∞ (X) telle que (i) pour chaque α, supp χα est contenu dans un des Ui ,
(ii) la famille est localement finie i.e. au
P voisinage de tout point les χα sont
toutes nulles, sauf un nombre fini, (iii)
χα = 1.
Proposition 3 L’espace C0−∞ des distributions à support compact est le dual
(topologique) de C ∞
On a bien sûr Co−∞ ⊂ C −∞ , et si T est à support compact, elle se prolonge
continûment en une forme linéaire continue sur C ∞ (de façon unique puisque
C0∞ est dense dans C ∞ ; par exemple hT, f i = hT, χf i avec χ ∈ C0∞ , χ = 1 au
voisinage de supp T ).
Inversement si T est une forme linéaire continue sur C ∞ c’est aussi une
distribution (sa restriction à C0∞ est linéaire continue), et il existe une seminorme NK,k (K compact) telle que hT, ϕ|ra ≤ cNK,k : ceci implique hT, ϕi = 0
si ϕ est nulle au voisinage de K, autrement dit supp T ⊂ K. CQFD
2 DISTRIBUTIONS
2.3
2.3.1
27
CONVOLUTION
Produit externe
Si f resp. g sont des fonctions intégrables sur Rm resp. Rn , leur produit
externe est la fonction f ⊗ g = f (x)g(y) sur Rm+n . Si alors h est une fonction
continue (ou mesurable) bornée sur Rm+n , on a d’après le théorème de Fubini
ZZ
f (x)g(y)h(x, y) dxdy =
hf ⊗ g, hi =
Rm+n
Z
Z
Z
Z
f (x)dx
g(y)h(x, y)dy =
g(y)dy
f (x)h(x, y)dx
Rm
Rn
Rn
Rm
En particulier si ϕ(x) et ψ(y) sont bornées sur Rm resp. Rn on a
hf ⊗ g, ϕ(x)ψ(y) = hf, ϕi hg, ψi
et ceci caractérise f ⊗ g
Ceci se généralise aux distributions:
Proposition 4 et Définition Soient S resp. T des distributions sur Rm
resp. Il existe une unique distribution S ⊗ T sur Rm+n (le produit externe)
telle que
(16)
hS ⊗ T, ϕ(x)ψ(y)i = hS, ϕi hT, ψi
pour toutes ϕ ∈ C0∞ (Rm , ψ ∈ C0∞ (Rn )
Preuve: 1) existence
Lemme 1 Soit ψ = ψ(x, y) ∈ C0∞ (Rm+n . Alors la fonction Φ : x 7→ ψx ∈
C0∞ (Rn ) est C ∞ à support compact, à valeurs dans C0∞ (Rn ) (ψx désigne la
fonction partielle y 7→ ψ(x, y)).
En effet Φ est évidemment à support compact (nulle pour |x| assez grand) si ψ
est à support compact. Comme ψ est à support compact, elle est uniformément
continu. Le théorème des accroissements finis montre alors que pour tout α
(α)
la fonction Φα : x 7→ ψx est continue et dérivable pour la norme uniforme
∂ψ
∂Φ
(N∞ (f ) = sup |f |), de dérivée ∂x
= ( ∂x
, donc par récurrence Φ est C ∞ .
j
j
x
On définit alors S ⊗ T par
hS ⊗ T, ψi = hS(x), ϕi
où ϕ ∈ C0∞ (Rm est la fonction ϕ(x) = hT (y), ψx i. Cette distribution vérifie
évidemment (16).
2) Unicité - On va montrer que l’ensemble des combinaisons linéaires de
fonctions décomposées ϕ(x)ψ(y) est dense dans C0∞ (Rm+n ).
2 DISTRIBUTIONS
28
Lemme 2 Si ϕ ∈ C0∞ (Rk ), ϕ est limite dans C ∞ de polynômes.
R
Preuve: régularisons ϕ, en posant ϕε = ϕ ∗ aε = aε (x − y)ϕ(y)dy avec
aε = ε−k a1 ( xε ), mais on choisit maintenant :
k
1
a1 (x) = (2π)− 2 e− 2 |x|
2
comme dans le no 3.1.2, ϕε tend vers ϕ dans C ∞ (pas C0∞ ). Mais ϕε est une
fonction holomorphe entière (l’intégrale converge pour tout x ∈ Ck ); elle est
donc somme de sa série de Taylor, et celle-ci est une série de polynômes, qui
converge au sens C ∞ (en fait dans Ck tout entier).
Pour conclure: soit ϕ(x, y) ∈ C0∞ (Rm+n . Alors ϕ est limite dans C ∞ d’une
suite de polynômes Pj , qui sont somme de monômes décomposés. Choisissons des fonctions ϕ0 ∈ C0∞ (Rm ), ψ0 ∈ C0∞ (Rn ) telles que ϕ0 (x)ψ0 (y) = 1
au voisinage de supp ϕ: on a ϕ = lim ϕ0 (x)ψ0 (y)Pj , cette fois dans C0∞ , et
ϕ0 (x)ψ0 (y)Pj est somme de fonctions décomposées.
2.3.2
Convolution
Si f, g sont deux fonctions intégrables sur Rn , leur produit de convolution est
la fonction
Z
Z
f ∗ g(x) = f (y)g(x − y) dy =
f (x − y)g(y) dy
Rn
Si h est une fonction bornée, on a alors, d’après le théorème de Fubini
Z
hf ∗ g, hi =
h(x + y) f (x) g(y) dxdy
R2n
On définit alors le produit de convolution de deux distributions á support
compact S et T par
(17)
hS ∗ T, ϕi = hS ⊗ T, ϕ(x + y)i
pour ϕ ∈ C ∞ . (ceci a bien un sens car S ⊗ T est à support compact). Plus
généralement le produit de convolution est défini si les supports de S et T sont
adaptés au sens de la définition suivante:
Définition 4 On dit que deux ensembles fermés F, G ⊂ Rn sont adaptés si
pour tout compact K ⊂ Rn , l’ensemble F × G ∩ s−1 K est compact, où s :
R2n 7→ Rn est l’application somme x, y 7→ x + y
2 DISTRIBUTIONS
29
De façon équivalente: pour tout r > 0 il existe R > 0 tel que x ∈ F, y ∈
G, kx + yk ≤ r implique kxk ≤ R et kyk ≤ R.
Par exemple la demi-droite positive R+ dans R est adaptée à elle même, et
le produit de convolution de deux distributionsR à support positif est toujours
x
défini (comme celui des fonctions : f ∗ g(x) = 0 f (t)g(x − t)dt).
De même si F est une cône fermé convexe saillant (i.e. qui ne contient pas
de droite) dans Rn , F est adapté à lui-même.
Il y a beaucoup d’autres cas où le produit de convolution de deux distributions peut être défini raisonnablement. Mais comme le produit usuel, il n’y a
pas de définition raisonnable qui marche pour toutes les distributions.
2.3.3
Régularisation
Proposition 5 Si T est une distribution, f une fonction C ∞ , et un des deux
est à support compact, alors T ∗ f est de classe C ∞ et
T ∗ f (x) = hT (y), f (x − y)i
Le résultat est également valable si les supports de f et T sont adaptés.
Preuve: la fonction hT (y), f (x − yi est C ∞ (preuve: voir le lemme 1), et on a
pour ϕ ∈ C0∞ :
hT ∗ f, ϕi = hT (x)f (y), ϕ(x + y)i = hT (u − y)f (y), ϕ(u)i =
= hhT (u − y)f (y)iy , ϕ(u)i
(la formule de changement de variable (x, y) 7→ (u = x + y, y) marche pour les
distributions comme pour les fonctions).
Corollaire 1 L’espace C0∞ est dense dans l’espace des distributions (et dans
l’espace des distributions à support compact).
Preuve: il suffit de régulariser: si ϕε est comme au no 3.1.2, T est limite des
fonctions C ∞ Tε = T ∗ ϕε .
Remarque : on peut montrer que le dual de C0−∞ (resp. C −∞ ) est C ∞ (resp.
C0∞ ); cela résulte de théorèmes généraux sur les espaces vectoriels topologiques
(voir appendice). En fait si F est une forme linéaire continue sur C0−∞ la
fonction f (x) = hF, δx i est C ∞ , et F − f (x) annule toutes les masses de Dirac
δX . Elle annule aussi toutes les limites de combinaisons linéaires des δx , donc
est nulle parce que l’espace vectoriel engendré par les δx est dense dans C0−∞
(ou C −∞ ) comme il résulte des no précédents.
2 DISTRIBUTIONS
2.4
2.4.1
30
COMPLÉMENTS, EXEMPLES
“Structure” des distributions
Théorème 2 Toute distribution T est localement une somme finie de dérivées
de fonctions continues.
Localement signifie que pour tout compact K il existe une famille finie de
P (αj )
fonctions continues fj et de multiindices αj tels que T =
fj
au voisinage
de K.
P Il(n)s’agit d’un résultat local, pas global. Par exemple la distribution T =
δn n’est pas d’ordre fini globalement; aucune de ses primitives successives
n’est continue.
Preuve du théorème: Comme pour toute distribution il existe C, m tels que
pour u de support ⊂ K on ait
| < T, u > | ≤ C sup ku(α) k
|α|≤m
T définit alors une forme linéaire continue sur le sous espace V de W = C(K)J
constitué des familles u(α) , |α| ≤ m (J désigne l’ensemble des multiindices de
longueur ≤ m).
Le théorème de Hahn-Banach dit qu’une telle forme linéaire se prolonge
en une forme linéaire continue sur W : autrement dit il existe une famille de
mesures µα sur K telles que
X
< T, u >=
< µα , u(α) >
Ceci implique qu’on a, à l’intrieur de K T =
P
(|alpha)
(−1)|α| µα
.
Ainsi T est, localement, somme finie de dérivées de mesures.
Proposition 6 Une mesure est somme de dérivées de fonctions continues.
(i) sur R
Soit µ une mesure. Alors µ a une primitive; par exemple si µ est à support
limité à gauche la primitive est la fonction
Z
F (x) = µ(] − ∞
dµ(t)
t≤x
F est une fonctions à variation bornée (µ est diffrence de deux mesures positives
donc F est différence de deux fonctions croissantes).
2 DISTRIBUTIONS
31
µ est la mesure de Stieltjes définie par F c’est à dire:
pour toute foncR
tion continue φ de support compact ⊂ [a, b], l’intégrale φdµ est la limite de
sommes de Riemann
X
φ(ξk )(F (xk+1 ) − F xk )
lorsque le pas de la subdivision a = x0 ≤ x1 · · · ≤ xN = b tend vers 0 (ξk ∈
[xk , xk+1 ]).
µ est aussi la dérivée de F au sens des distributions (exercice).
Un théorème de Lebesgue dit que si F est croissante, ou à variation bornée,
elle est dérivable presque partout. En fait, comme toute mesure, la dérivée au
sens des distributions
se décompose µ = µa +P
µs + µcc où µa est une mesure
P
atomique (µa = λk δak où pour tout R on a |ak |≤R |λk | < ∞, µcc est absolument continue, de la forme f dx où f est une fonction localement intégrable,
et µs est une mesure singulière, i.e. portée par une ensemble de mesure nulle.
La dérivée presque partout fournie par le thórème de Lesbesgue est la partie
absolument continue µs .
Le théorème de Lebesgue est très fin et difficile (beaucoup plus difficile que
ce qui précède), et de notre point de vue insuffisant car il ne fournit pas la
dérivée au sens des distributions: il ne permet pas de pas faire des inégrations
par parties.
La primitive de F est une fonction continue, donc µ est en tout cas la
dériv’ee seconde d’une fonction continue.
Sur Rn : exercice - montrer qu’ une mesure est toujours dérivée d’ordre n+1
de fonction continue.
On rappelle qu’une fonction f est lipschitzienne s’il existe un nombre M ≥ 0
tel que kf (x)−f (y)| ≤ M |x−y|. Par exemple, sur R la primitive d’une fonction
mesurable bornée est Lipschitzienne.
Exercice: une fonction f sur Rn est lipschitzienne si et seulement si ses
dérivées (au sens des distributions) sont des fonctions mesurables bornées.
Remarque: dans le cas d’une fonction lipschitzienne, la dérivée presque
partout donnée par le théorème de Lebesgue est la dérivée distribution. Mais
le théorème de Lebesgue (convergence presque partout de 1 (f (x + ) − f (x)
reste plus dur et plus difficile que l’assertion plus simple ci-dessus qui dit que
la dérivée distribution est une fonction mesurable bornée)
2.4.2
famille holomorphe: pf xs+
On rappelle qu’une fonction f est méromorphe dans le plan complexe C si elle
est holomorphe, sauf sur un ensemble discrèt {a1 , . . . , an , .. → ∞} en chaque
2 DISTRIBUTIONS
32
point duquel elle a un pôle d’ordre fini (i.e. pour tout n, il existe N tel que
(z − an )N f soit holomorphe au voisinage de an . Par exemple la fonction
Z ∞
e−t ts−1 dt
Γ(s) =
0
est bien définie et holomorphe pour Re s 0 (l’intégrant est fonction holomorphe
de s et l’intégrale converge localement uniformément). Elle se prolonge en une
fonction méromorphe dans C avec des pôles aux points entières −k ≤ 0, le
k
résidu au point −k estR(−1)
.
k!
∞
Preuve: l’intégrale 1 .. est évidemment holomorphe dans C tout entier.
P (−1)k k
x (série uniformément convergente dans
Pour le reste: on a e−t = ∞
0
R1
Pk!∞ (−1)k 1
l’intervalle [0, 1]), d’où 0 .. = 0 k! s+k (pour Re s > 0, et il est évident
que le résultat se prolonge comme indiqué.
L’application qui à s associe la distribution (fonction localement intégrable)
Ts = xs+ est bien définie, et holomorphe dans le demi-plan Re s − 1
(rappel: une application s ∈ U 7→ Ts ∈ C − ∞ est holomorphe si pour
toute fonction test φ l’application s 7→< Ts , φ > est holomorphe. De façon
équivalente (exercice: pourquoi?): au voisinage de tout point de U on a un
développement en série de Taylor convergent
X
Ts+t =
Ts,j t − j
où (Ts,j ) est une suite convenable de distributions).
Si φ est une fonction test est qu’on fait le développement de Taylor à l’ordre
P
(k)
N : φ(x) = k<N φ k!(0) xk , on obtient
Z
< Ts , φ >=
1
∞
xs φ(x) dx +
X φ(k) (0)
1
k! s + k + 1
k<N
Ceci montre que s 7→ Ts se prolonge en une fonction mèromorphe sur le
demi-plan Re s > −N − 1 (donc dans C tout entier), avec des pôles simples
m−1
δ (m−1) . (k = m + 1;
aux entiers < 0. Le résidu au point −m est (−1)
(m−1)!
le signe est celui de l’intégration par parties dans la définition de la dérivée:
< φ(m−1) (0) = (−1)m−1 ) < δ (m−1) , φ >).
Remarque: l’application s 7→ (x ± i0)s est bien définie et holomorphe (sans
pôle) dans tout le plan complexe (comme l’application x 7→ z s à valeur dans
l’espace des fonctions holomorphes dans le demi-espace ±Im z > 0, ”à croissance modérée au bord)
2 DISTRIBUTIONS
2.4.3
33
Passages à la limite
Produits
de convolution. Le produit de convolution f ∗g est défini par f ∗g(x) =
R
f (y)g(x − y)dy. Si f, g sont des fonctions intégrables, on a
ZZ
< f ∗ g, φ >=
f (x)g(y)φ(x + y)
R
le théorème de Fubini montre que l’intégrale f (y) g(x−y)dy converge presque
partout, que sa somme f ∗ g est intégrable, et que c’est le produit au sens des
distributions).
Notons τy g = g(x − y) la translatée
de g: la définition du produit de conR
volution s’écrit aussi bien f ∗ g = f (y)τy g. Si E ⊂ C −∞ est une espace de
Banach de distributions (normé, complet), stable par translations, dans lequel
l’ensemble des translations τy est borné, et pour tout g ∈ E l’application
y 7→ τy g est continue (ou seulement mesurable), alors si f ∈ L1 , g ∈ E, on a
f ∗ g ∈ E (aussi bien si f est une mesure bornée (=de masse totale fini).
Exemples: E = Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞.
N.B. Pour g ∈ Lp , p < ∞ l’application y 7→ τy g est continue: c’est évident
si g est continue à support compact; en général g est limite dans Lp d’une suite
de fonctions test gn ; comme τy est de norme 1 (c’est une isométrie), τy g est
limite uniforme des τy gn donc continue.
Ceci ne marche pas pour p = ∞ mais dans ce cas l’assertion est évidente.
y 7→ τy g est quand même mesurable (en un sens faible, mais suffisant). Exercice: si f ∈ L1 , g ∈ L∞ , f ∗ g est continue.
3 TRANSFORMATION DE FOURIER
3
34
TRANSFORMATION de FOURIER
La transformée de Fourier d’une fonction f est définie par
Z
Ff = fˆ(ξ) = e−ix.ξ f (x)dx
A priori fˆ est bien définie si f est intégrable, c’est alors une fonction continue
de la variable ξ ∈ Rn . (Exercice: si f est intégrable, fˆ(ξ) → 0 pour ξ → ∞).
Nous allons étendre la définition de la transformation de Fourier à une classe
plus large de distributions.
Notons déjà que si f et xj f , resp. Dj f sont intégrables, on a
(18)
F(xj f ) = −Dj Ff
resp.
F(Dj f ) = ξj Ff
comme on voit en dérivant sous le signe somme, resp. en intégrant par parties,
ce qui est justifié quand toutes les intégrales qui interviennent sont convergentes.
On a aussi le résultat suivant:
Proposition 7 La transformée de Fourier du produit de convolution de deux
fonctions intégrables est le produit des transformées de Fourier:
ZZ
(19)
F(f ∗ g) =
e−(x+y).ξ f (x)g(y) = Ff Fg
3.1
DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Définition 5 On note S l’espace des fonctions C ∞ à décroissance rapide sur
Rn : f ∈ S si et seulement si pour tout N et tout indice de dérivation α,
(1 + |x|)−N f (α) est bornée
S est muni d’une topologie naturelle qui en fait un espace de Fréchet: on
peut prendre comme famille fondamentale de semi-normes
pN (f ) =
sup
(1 + |x|)N |f (α) (x)|
|α|≤N,x∈Rn
Cette topologie est métrisable puisque définie par une famille dénombrable de
semi-normes. En outre S est complet (c’est donc un espace de Fréchet): cela
résulte du théorème sur la dérivée d’une limite.
L’espace C0∞ est dense dans S (preuve - exercice: soit χ ∈ C0∞ telle que
χ = 1 au voisinage de 0 ; alors si f ∈ S on a χ( nx f → f dans S pour n → ∞).
35
Proposition 8 La transformation de Fourier induit une application linéaire
continue: S → S.
Preuve: si (1+|x|)−N −n−1 f (α) est bornée, (1+|x|)−N f (α) est intégrable, comme
(1 + |x|)−n−1 . Ainsi si f ∈ S, Dα xβ f est intégrable, donc ξ α Dβ Ff est borné
pour tous indices α, β; ceci implique Ff ∈ S (et que F est continue: vérifier
par exemple par exemple qu’on a pN (Ff ) ≤ C ste pN +n+1 (f )).
Définition 6 Une distribution tempérée est une forme linéaire continue sur
S. On note S 0 l’ensemble des distributions tempérées.
Si T est une distribution tempérée, la forme linéaire ϕ ∈ C0∞ 7→ hT, ϕi
est une distribution. T est complètement déterminé par cette distribution
puisque C0∞ est dense dans S. On identifie ainsi S 0 à un sous espace de D0 :
une distribution est tempérée si elle se prolonge continûment à S. De même
que C0∞ est dense dans C −∞ = D0 , il est dense dans S 0 .
R
R
R
Si f, g ∈ S on a Ff g = e−ix.y f (x)g(y) = f Fg; par conséquent
Proposition 9 La transformation de Fourier se prolonge en une application
linéaire continue S → S. On a, pour T ∈ S 0 , f ∈ S:
hFT, f i = hT, Ff i
3.2
36
FORMULE de RÉCIPROCITÉ
On définit de même la transformation conjuguée Fg(x) =
R
eix.ξ g(ξ)dξ
Théorème 3 1) La transformation de Fourrier est un isomorphisme S → S
2) L’isomorphisme inverse est (2π)−n F.
n
3) L’application 2π)− 2 F induit une isométrie bijective sur l’espace de Hilbert
L2 (Rn )
Preuve : on a (en changeant de signes)
F(Dξj )g = −xj Fg ,
Fξj g = Dj Fg
d’où en composant
FFDj f = Dj FFf,
FFxj f = xj FFf
autrement dit FF commute avec tous les opérateurs différentiels à coefficients
polynomiaux. Montrons que ceci implique qu’on a FF = C Id où C est une
constante.
- Observons d’abordP
qu’une fonction f ∈ S est nulle en un point a ∈ Rn si
et seulement si f =
fk (xk − ak ) avec des fk ∈ S convenables (cela résulte
de la formule de Taylor avec expression intégrale du reste). Donc f (a) =
0 ⇒ FF(a) = 0 de sorte qu’il existe une constante C(a) telle que FFf (a) =
C(a)f (a)
- La fonction C : a 7→ C(a) est de classe C ∞ (elle l’est au voisinage de tout
point a tel qu’il existe une fonction f ∈ S non nulle en a). Pour toute f ∈ S ,
on a
FF(Dk f ) = Dk (FFf ) = Dk (Cf ) = Dk C f + C Dk f
Ceci implique Dk C = 0 pour k = 1, . . . n, donc C est constante.
Pour calculer la constante C, on calcule une transformée de Fourier particulière.
1
2
Lemme
f la fonction (gaussienne) f = e− 2 kxk : on a Ff = cn f avec
R − 13kxkSoit
n
2
e 2
= (2π) 2
n =
Preuve: on a
Z
−ix.ξ− 21 kxk2
e
=e
− 21 kξk2
Z
1
2
e− 2 (x+iξ) ,
où pour un vecteur complexe z = (zj ) on a posé z 2 =
P
zj2 .
37
L’intégrale du deuxième membre est constante, indépendante de ξ, car elle
se prolonge en une fonction holomorphe entière de ξ ∈ Cn , constante pour ξ
réel (de façon équivalente, on peut dans cette intégrale, grâce à la formule de
1
2
Cauchy et au fait que e− 2 (x+iξ) tend très vite vers 0 pour x → ∞, translater
le domaine d’intégration Rn et le remplacer par Rn + iξ).
La constante cn est
Z
1
n
2
cn = e− 2 kxk = cn1 = (2π) 2
(la dernière égalité
voit en faisant
2: en passant en coordonnées polaires
R se −
R 2π nR=
1
1 2
2
∞
kxk
on obtient c2 = R2 e 2
= 0 dθ −∞ e− 2 r = 2π
Ceci termine la démonstration de 1) et 2). La troisième assertion résulte du
fait qu’on a
Z
Z
Z
(FFf ) g =
n
(Ff )(Fg) = (2π)n
fg
Ainsi F = (2π)− 2 F est isométrique sur S pour la norme L2 , donc se prolonge
isométriquement à L2 . CQFD
3.3
38
POLYNÔMES de HERMITE
n
Si F est la transformation (isométrique) F = (2π)− 2 F, on a F 4 = Id (F 2
est la symétrie f → f (−x)). Par suite F a pour valeurs propres les quatre
nombres ±1, ±i et L2 , S, S 0 (et plus généralement tout espace de distributions
stable par F) est somme de ses quatre sous espaces propres : si f est une
distribution tempérée, on a
X
f=
fζ avec F fζ = ζf (ζ = ±1, ±i)
avec
1
fζ = (f + ζ −1 F f + ζ −2 F 2 f + ζ −3 F 3 f )
4
Les fonctions de Hermite décrite ci-dessous fournissent une famille complète
particulièrement commode de fonctions propres (pour S ou S 0 ). L’analyse
ci-dessous est pour n = 1; le cas général s’en déduit aussitôt (par produit
externe).
3.3.1
Annihilateurs et Créateurs
1 2
On a vu que la fonction e0 = e− 2 x est fonction propre:
√
F e0 = e0
Fe0 = 2πe0
On pose
∂
∂ t
A=x+
= C
∂x
∂x
opérateur de création resp. d’annihilation. On a
C =x−
Ae0 = 0
1 2
1 2
e 2 x Ae− 2 x =
∂
∂x
Par suite
1 2
1 2
e 2 x Ce− 2 x = 2x −
∂
∂x
1 2
ek = C k e0 = P k e− 2 x
où Pk = (2x − ∂x )k (1) est un polynôme de degré k, de terme dominant 2k xk
(k-ième polynôme de Hermite). On a
1 2
Ap eq = e− 2 x (
∂ p
) Pq = 0 si p > q
∂x
3.3.2
39
Fonctions de Hermite
Proposition
10 1) On a F ep =√i−p ep .
R
2)
ep eq = δpq cp avec cp = 2p p! π
3)
−1
Les fonctions hp = cp 2 ep forment une base orthonormale de L2 .
Preuve : On a F ◦ C = F ◦ (x − ∂x ) = (iξ − i∂ξ ) = −iCF donc
F ek = F C k e0 = i−k F e0 = i−k e0
d’où la première assertion. On a par ailleurs
Z
Z
Z
p
q
ep eq = C e0 C e0 = e0 Ap C q e0 = 0 si p > q ,
(donc aussi, symétriquement, si p < q). Si p = q on a
Z
Z
Z
√
2
p p
ep = e0 A C e0 = 2p p! e20 = 2p p! π
d’où la deuxième assertion, et le fait que les fonctions hp forment un système
orthonormal.
La dernière assertion est plus subtile. Comme les polynômes Pk forment
clairement une base de l’espace des polynômes, elle signifie que l’ensemble des
2
polynômes est dense dans L2 (R, µ), si µ désigne la mesure e−x dx. De façon
équivalente : qu’une fonction f ∈ L2 (R, µ) est nulle si elle est orthogonale à
tous les polynômes.
1 2
1 2
Soit donc f ∈ L2 (R, µ). Posons f0 = e− 2 x f et g = e− 2 x f0 . f0 est
1
1 2
tempérée (f0 ∈ L2 (R)), et Fg = (2π)− 2 e− 2 ξ ∗ Ff0 est analytique
R n dans tout le
plan complexe. Si f est orthogonale aux polynômes on a gx = 0 pour tout
n, donc Fg (n) (0) = 0 pour tout n.
Comme Fg est analytique, ceci implique bine g = 0, donc f = 0.
3.3.3
Oscillateur Harmonique, Base de S et S 0
L’oscillateur harmonique est l’opérateur du second ordre
H = x2 − ∂x2
Lemme 4 1) On a H = 21 (AC + CA)
2) Pour tout k On a Hek = (2k + 1)ek
40
Preuve 1) est immédiat
2) On a He0 = 12 (AC + CA)e0 = 12 ACe0 = e0 ∂x (2x − ∂x)(1) = e0 .
Si u, v sont deux opérateurs, on note le commutateur [u, v] = uv − vu. On
ici [A, C] = 2, d’où
[AC, C] = [A, C]C = 2C = [CA, C] = [H, C]
de même [H, A] = −2A, autrement dit pour toute f, HCf = C(H + 2)f .
Par récurrence ceci donne Hek+1 = HCek = C(H + 2)ek = (2k + 2)ek + 1 ,
d’où 2.
Si f est une distribution
tempérée, on pose fk = hhk , f i (k-ième coefficient
P
de Hermite), et fk hk sa ”série de Hermite”. En utilisant ce qui précède nous
laissons le lecteur montrer en exercice:
Proposition 11 1) On a f ∈ L2 si et seulement si (fk ) est de carré sommable;
alors la série converge vers f dans L2
2) On a f ∈ S si et seulement si la suite fk est à décroissance rapide; alors la
série converge vers f dans S.
3) En général si f ∈ S 0 la suite (fk ) est ”à croissance polynomiale” (ou ”lente”
ou ”tempérée”); alors la série converge vers f dans S 0 .
La série de Hermite produit donc un isomorphisme de L2 resp. S, S 0 avec
l’espace `2 des suites de carré sommable (resp. l’espace mathcals des suites à
décroissance rapide, ∫ 0 des suite à croissance lente).
Ceci se généralise sans peine à Rn : il y a n opérateurs de création ou
d’annihilation
C j = xj −
∂j
∂xj
Aj = xj +
∂j
∂xj
(j = 1 . . . n)
Les fonctions de Hermite de base sont les
hα = hα1 (x1 )...hαn (xn )
indexées par les multi-indices α = (α1 , ..., αn ).
L’oscillateur harmonique est
H = x2 − ∆
(on a Hhα = (2|α| + n)hα ).
4
4.1
41
ÉQUATION DE LAPLACE
∆ en COORDONNÉES POLAIRES
Proposition 12 On a
kxk2 ∆ = ∆0 + θ(θ + n − 2)
(20)
(21)
avec
θ=
X
xi d i ,
∆0 =
1 X
(xi dj − xj di )2
2 1≤i,j≤n
En particulier si ϕ = ϕ(r) est invariante par rotation on a ∆0 ϕ = 0 et
∆ϕ =
4.2
1 d
d
n−1 0
(r + n − 2) ϕ = ϕ” +
ϕ
r dr dr
r
SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
Une solution élémentaire de ∆ est une distribution E telle que ∆E = δ. On
cherche E invariante par rotation: alors en dehors de l’origine E est une fonction (généralisée) de r = |x| qui vérifie
r
∂
∂
(r + n − 2)E = 0
∂r ∂r
Ceci implique que, pour |x| =
6 0 E est de la forme
a
E = n−2 + b si n 6= 2, resp. aLog r + b si n = 2
r
où a, b sont des constantes.
1
On a bien sûr ∆(1) = 0, et la fonction rn−2
(resp. rLog r) est localement
−n+2
intégrable: on cherche E = cr
(resp. E = cLog r).
4.2.1
Cas n = 1 :
Pour n = 1 l’opérateur ∆ =
∂2
∂x2
admet pour solution élémentaire la fonction
E=
|x|
2
(la dérivée seconde est nulle pour x 6= 0, le saut à l’origine est 0 (|x| est
continue), et le saut de la dérivée est 1, d’où ∆E = δ.
4.2.2
42
Cas n ≥ 2
Proposition 13 Pour n ≥ 2 le Laplacien a pour solution élémentaire la fonction localement intégrable :
(
1
Log r si n = 2
2π
n/2
E=
c
si n ≥ 3 (avec 1c = −(n − 2) 2π
)
rn−2
Γ( n )
2
Remarque: vn−1 =
2π n/2
)
Γ( n
2
est le (n − 1)-volume de la sphère unité de Rn ), qu’on
2
l’évalue en calculant de deux façons l’intégrale de e−kxk sur Rn :
Z
n
Z
Z ∞
1 n
−kxk2
−t2
n/2
−r2 n−1
e
=
e
dt
=
π
=
v
Γ( )
e
r
dr
=
n−1
2 2
Rn
R
0
Preuve de la proposition: on teste contre une fonction test ϕ. Comme E est
invariante par rotation, il suffit de tester contre ϕ invariante par rotation (on
peut remplacer ϕ par la moyenne ϕ̃ de ses transformées par rotation (ϕ̃(x) =
moyenne de ϕ sur la sphère de rayon |x|, qui ne dépend que de r = |x|). On a
alors, pour n ≥ 3, en coordonnées polaires:
∂
∂
h∆r2−n , ϕi = hr2−n , ∆ϕi = hrn−2 , r−1 (r + n − 2)ϕi =
∂r ∂r
Z ∞
∂
∂
= vn−1
r2−n r−1 [ (r + n − 2)ϕ] rn−1 dr =
∂r ∂r
0
= (r
∂ϕ
+ (n − 2)ϕ)|∞
O = −(n − 2)ϕ(0)
∂r
Le cas (n=2) se traite de façon analogue.
4.3
43
RÉGULARITÉ
Si T est une distribution à support compact on a T = ∆(E ∗ T ). On observe
que E est de classe C ∞ en dehors de 0 (en fait analytique):
Proposition 14 Si T est une distribution et ∆T est C ∞ dans un ouvert U
de Rn alors T l’est aussi.
Ceci résulte du résultat suivant sur le support ou le support singulier d’un
produit de convolution:
Proposition 15 Si f, g sont des distributions, f ou g à support compact, on
a supp (f ∗ g) ⊂ supp f + supp g , et suppsing (f ∗ g) ⊂ suppsing f + suppsing g
La première assertion résulte immédiatement de la définition du produit de
convolution.
Démontrons la seconde; par définition le support singulier suppsing f est
le plus petit fermé en dehors duquel f est une fonction C ∞ . Posons F =
suppsing f, G = suppsing g. Pour tout ε on peut écrire f = f0 + f1 où f1 est
C ∞ et supp f0 est contenu dans l’ensemble Fε des points dont la distance à F
est ≤ ε, et de même pour g. On a alors
f ∗ g = f0 ∗ g0 + f1 ∗ g0 + f0 ∗ g1 + f1 ∗ g1
Dans cette somme les trois derniers termes sont C ∞ (un des facteurs f1 ou
g1 l’est), et on a supp (f0 g0 ) ⊂ Fε + Gε ⊂ (F + G)2ε . Ainsi un point de
suppsing (f ∗ g) est distant de F + G de moins de 2ε pour tout ε > 0, d’où
l’assertion.
Définition 7 Une fonction harmonique est une fonction f telle que ∆f = 0
Une distribution harmonique T (∆T = 0) est automatiquement une fonction
C ∞ , harmonique.
Remarque: pour n ≥ 2 les dérivées secondes de la solution élémentaire E ne
sont pas des mesures (en dehors de l’origine ce sont des fonctions homogènes
de degré −n, non nulles si n > 1). Alors si f est une distribution telle que ∆f
soit continue, f n’est pas forcément de classe C 2 (sinon l’application linéaire
f 7→ Dn2 E ∗ f serait continue: C00 → C 0 à cause du théorème du graphe fermé;
en particulier l’application linéaire f 7→ hDn2 E, f i = Dn2 E∗f (0) serait continue,
ce qui voudrait dire exactement que Dn2 E est une mesure). C’est le premier
problème des EDP: en dimension ≥ 2 ça ne marche pas bien avec les espaces
C k - les premiers auxquels on pense!
4.4
4.4.1
44
PROBLÈME de DIRICHLET
Principe du Maximum
Lemme 5 On dit qu’une distribution T est positive si hT, ϕi ≥ 0 pour ϕ ∈
C0∞ , ϕ ≥. Les distributions positives sont les mesures positives (au sens de la
théorie de la mesure).
Montrons qu’une telle distribution est une mesure: soit K un compact; choisissons une fonction χ ∈ C0∞ positive, égale à 1 au voisinage de K (il en existe),
et soit C = hT, χi. Si supp ϕ ⊂ K et m = sup |ϕ| on a −mχ ≤ ϕ ≤ mχ donc
hT, ϕi ≤ Cm. Or ceci caractérise les mesures. CQFD
Définition 8 On dit qu’une fonction f de classe C 2 (resp. une distribution)
est sous-harmonique si ∆f ≥ 0 (resp. ∆f est une distribution positive).
Théorème 4 (Principe du maximum) Soit f une fonction continue sur un
compact K ⊂ Rn . On suppose f sous-harmonique (au sens des distributions)
dans l’intérieur K. Alors f atteint sa borne supérieure sur la frontière ∂K.
Preuve: supposons d’abord f de classe C 2 dans l’intérieur de K, et posons
fε = f + εkxk2 ; on a donc ∆fε ≥ ∆εkxk2 = 2nε > 0. La fonction fε atteint sa
borne supérieure en un point xε ∈ K; xε ne peut pas être intérieur, sinon on
aurait en ce point ∆fε (≤ 0, donc xε ∈ ∂K.
Comme K est compact, il existe une suite εk → 0 telle que xεk converge
vers une limite x ∈ ∂K: alors (à la limite) f atteint sa borne supérieure en x.
Cas général: on régularise f : choisissons ϕI ∈ C0∞ positive, nulle pour
kxk > 1, d’intégrale 1, et posons fε = ϕε ∗ f avec ϕe = ε1n ϕ1 ( xε . La fonction
fε est bien définie dans le compact Kε , ensemble des points de K dont la
distance à ∂K est ≥ ε, elle est C ∞ dans l’intérieur de Kε et ∆fε = ϕε ∗ ∆f
y est positive parce que ϕε ≥ 0. Donc fε atteint sa borne supérieure en un
point xε ∈ ∂Kε . A la limite (choisir une suite εk telle que xεk converge vers
une limite x (x ∈ ∂K car la distance à ∂K est ≤ εk pour tout k), on voit de
nouveau que f atteint sa borne supérieure sur ∂K. CQFD
4.4.2
Problème de Dirichlet
C’est le problème suivant: on se donne un compact K ⊂ Rn ), de frontière ∂K,
et une fonction continue f0 sut ∂K. Trouver f continue sur K telle que
(22)
∆f = 0 dans l’intérieur de K,
f = f0
sur ∂K
45
Nous ne ferons pas ici l’étude du problème de Dirichlet en général, et nous
contenterons des deux remarque suivantes:
- Si f est continue sur K, harmonique à l’intérieur, elle est de toute façon de
classe C ∞ à l’intérieur de K, et le principe du maximum montre qu’elle atteint
ses bornes (sup et inf) sur la frontière ∂K. Donc la solution du problème de
Dirichlet, si elle existe, est unique.
- En outre si la solution f existe toujours, elle dépend linéairement de f0 ,
et, toujours à cause du principe du maximum, est donnée par une formule
intégrale de la forme
Z
f (x) =
f0 (y) dµx (y)
∂K
où le ”noyau de Poisson”
dµx (y) est une mesure sur ∂K, dépendant de x,
R
positive de masse 1 ( ∂K dµx (y) = 1 car 1 est la seule fonction harmonique
égale à 1 sur ∂K).
En fait le problème de Dirichlet est en général bien posé, i.e. a une solution
unique, du moins si la frontière ∂K n’est pas trop irrégulière. Dans le no
suivant nous étudions le problème de Dirichlet lorsque K est la boule unité.
4.4.3
Noyau de Poisson de la boule
On note B = {kxk ≤ 1} la boule unité de Rn ; son bord est la sphère unité
S = {kxk = 1}. Le noyau de Poisson de la boule est la fonction
(23)
K(x, y) =
1 1 − |x|2
vn−1 |x − y|n
Théorème 5 La solution du problème de Dirichlet sur la boule
(24)
∆f = 0 pour kxk < 1,
f = f0
pour kxk = 1
(f , f0 continues) est donnée par la formule de Poisson:
Z
(25)
f (x) =
K(x, y)f0 (y) dσ(y)
ky=1k
Preuve: 1) tout d’abord K(x, y) est harmonique en x (preuve: calcul direct,
yi −xi
y
ou observer que, avec Ey = |x−y|1 n−2 , ∂E
= (n − 2) |x−y|
n , est harmonique pour
∂xi
x 6= y, ainsi que
vn−1 K =
2 X ∂Ey
1
yi
+
).
n−2
∂xi
|x − y|n−2
2) K est évidemment positif, et on a
R
S
K(x, y)dσ(y) = 1.
46
R
En effet la fonction f (x) = S K(x, y)dσ(y) est harmonique en x (y compris
à l’origine où elle est évidemment C ∞ ); elle est invariante par rotation (si u est
une rotation on a K(ux, uy = K(x, y)), donc elle est constante. Pour x = 0
1
donc la constante vaut 1.
on a K = vn−1
3) si x → x0 ∈ S, alors K(x, y) → 0, uniformément pour ky − x0 k ≥ ε (pour
tout ε > 0).
Plus précisément si kx − x0 k ≤ 2ε et ky − x0 k ≥ ε donc ky − xk ≥ 2ε , on a
K ≤ (1 − kxk2 )( 2ε )n−2 et cette quantité tend vers 0 si x → x0 .
R
Alors si f0 est continue sur S et f = S K(x, y)f (y)dσ(y), f est harmonique
dans la boule ouverte, et pour x → x0 ∈ S on a
Z
f (x) − f (x0 ) = K(x, y)(f0 (y) − f0 (x0 )) dσ(y) → 0
de sorte que f est continue sur la boule fermée, et prolonge continûment f0 .
4.4.4
Noyau de Poisson du demi-espace
On dispose d’une formule analogue pour la solution du problème de Dirichlet
(tempérée) dans un demi-espace: si P est le demi-espace kxn k ≥ 0 de Rn , et
f une fonction continue bornée sur le bord (l’hyperplan H = {xn = 0}, le
problème de Dirichlet
∆f = 0 dans P,
f = f0
sur H
admet pour unique solution continue bornée la fonction
Z
f (x) =
KP (x, y)f (y)dy
H
avec
xn
,
KP = C
kx − ykn
1
avec
=
C
Z
H
dy
vn−1
n =
2
(1 + y 2 ) 2
exercice: démontrer la dernière égalité (ou voir appendice).
4.4.5
Formule de la moyenne
La formule de Poisson (ou la formule de la solution élémentaire) montre qu’une
fonction harmonique est analytique (de même que la formule de Cauchy montre
qu’une fonction holomorphe est analytique). Elle montre aussi que si une suite
fn de fonctions harmoniques converge en un sens assez faible (par exemple
au sens de L1loc ou au sens des distributions) elle converge au sens de C ∞
47
(uniformément sur tout compact, et de même pour toutes les dérivées). (N.B.
convergence simple ne suffit pas, pas plus que pour les fonctions holomorphes).
Une autre conséquence remarquable de la formule de Poisson est:
Proposition 16 Si f est harmonique dans un ouvert U , et x ∈ U , f (x) est
égal à la moyenne de f sur la sphère Sx,r (ou sur la boule Bx,r ) si Bx,r ⊂ U .
De même si f est sous harmonique dans U , f (x) est intérieur à la moyenne
de f sur la sphère ou la boule de centre x et de rayon r si Bx,r ⊂ U .
La propriété de la moyenne implique facilement le principe du maximum (il
n’y a pas de réciproque).
4.5
48
HARMONIQUES SPHÉRIQUES
Notons Pk l’espace des polynômes homogènes de degré k sur Rn , et Hk ⊂ Pk
l’espace des polynômes harmoniques (∆P = 0) homogènes de degré k.
Lemme 6 ∆ est une surjection Pk → Pk−2 . On a
dim Hk = n+k−1
− n+k−3
n−1
n−1
P
Preuve: le dual de Pk s’identifie à l’espace des combinaisons linéaires
aα δ (α)
(|α| ≤ k) ou après transformation de Fourier, à l’espace des polynômes P (ξ) de
degré ≤ k. Moyennant ceci le transposé de ∆ est l’opérateur de multiplication
P 7→ ξ 2 P : cette application linéaire est injective, donc ∆ est surjective (les
espaces Pk sont
de dimension finie). La dimension de Pk est le coefficient du
n+k−1
binôme n−1
P
Proposition 17 Soit K =P Kp (x, y) la série de Taylor en x du noyau de
Poisson K. Alors la série
Kp converge, uniformément dans chaque boule
réelle {|x| ≤ r < 1}
Preuve: Il est clair que, pour x assez petit, K est analytique en x, somme de
sa série de Taylor. On a, pour u ∈ C petit
Z
1
e−ipθ K(eiθ ux, y)dθ
(26)
Kp (ux, y) =
2π
Soient y ∈ S, x ∈ B réels. Posons x = ty + x0 , avec t = x.y, x0 ⊥ y. Pour u ∈ C
assez petit, posons F (u) = K(ux, y).
Remarquons que si z ∈ C on a (zy − x)2 = (u − t)2 + |x0 |2 = 0 ⇔ z = t ± i|x0 |
(donc |z| = |x|). Par suite on a (y − ux)2 6= 0 dans le disque {|u| < |x0 |−1 }:
n
le dénominateur ((y − ux)2 ) 2 de F se prolonge en une fonction holomorphe
non nulle, et F elle-même se prolonge en une fonction holomorphe de u dans
ce disque, de sorte que l’intégrale (26) converge pour kuxk < 1, en particulier
pour u = 1, kxk < 1, ce qui démontre la proposition (l’assertion d’uniformité
est laissée en exercice).
P
N.B. nous avons montré que le domaine de convergence de la série
Kp
(y réel, kyk = 1) contient les vecteurs complexes de la forme ux, x réel, u ∈
C, kuxk < 1. En fait ce domaine est contenu strictement dans la boule unité
de Cn , par exemple le dénominateur est singulier en un point z = 21 (x + iy)
si x ⊥ y, kx = kyk = 1 (z.z = 12 ) (mais un tel z n’est pas proportionnel à un
vecteur réel).
49
Remarque - Kp est le terme de degré p en x du développement de Taylor de
K. Il est commode de le prolonger de façon symétrique en, y comme terme de
degré p en x et y de la série de Taylor de la fonction
K 0 (x, y) =
2−n
1
(1 − x2 y 2 )(1 − 2x.y + x2 y 2 ) 2
vn
(cette fonction est harmonique en y, égale á K pour kyk = 1).
Pour tout y, Kp (x, y) est un polynôme harmonique de degré p. Si P est un
polynôme harmonique de degré p, on a
Z
Z
P (x) = K(x, y)P (y)dσ(t) = Kp (x, y)P (y)dσ(y)
parce que c’est le p-ième terme de son développement de Taylor. Donc tout
polynôme P ∈ Hp est combinaison linéaire
de polynômes Kp (x, yj ), et est
R
orthogonal, sur la sphère, à Hq si q 6= p ( Kq (x, y)P (y)dσ(y) = 0 si p 6= q).
La formule de Poisson (théorème 5) montre que toute fonction continue,
donc aussi toute fonction de carré sommable, est limite sur la sphère de
polynômes harmoniques. On a ainsi obtenu une décomposition orthogonale
M
L2 (Sn−1 ) =
Hp|Sn−1
qui généralise la décomposition en séries trigonométriques dans le cas n = 2
(le cas du cercle), et est très utile dans les problèmes invariants par rotation.
5 ÉQUATION DES ONDES
5
50
ÉQUATION des ONDES
L’opérateur des ondes (D’Alembertien) sur Rn est l’opérateur
(27)
=
∂2
− ∆x
∂t2
On a noté t = x1 la première variable, x = (x2 , . . . , xn ) le reste.
5.1
5.1.1
CORDES VIBRANTES (ondes en dimension 1+1)
Primitives dans C −∞ (R)
R
Une fonction test ϕ ∈ C0∞ (R) est une
R x dérivée si et seulement si ϕ = 0 (c’est
la condition pour que la primitive −∞ ϕ(s)ds soit à support compact).
Proposition 18 Si T ∈ C −∞ (R) il existe S ∈ C −∞ (R) telle que
(primitive de T ). Deux primitives diffèrent par une constante.
∂S
∂x
= T
R
En effet 1) si ∂T
= 0, T est nulle sur le noyau de la distribution 1 : ϕ 7→ ϕ
∂x
donc (proportionnelle à la distribution 1 (constante).
R
2) Notons H ⊂ C0∞ Rl’hyperplan des ϕ telles que ϕ = h1, ϕi = 0; l’application
x
ϕ ∈ H 7→ P (ϕ) = −∞ ϕ(s)ds est évidemment linéaire continue : H → C0∞ .
Alors si S est n’importe quelle forme linéaire sur C0∞ prolongeant la forme
linéaire (continue sur H) : ϕ 7→ −hT, P (ϕ)i, S est une primitive de T .
5.1.2
Opérateur
∂2
∂x∂y
Notons D2 l’opérateur D2 =
∂2
∂x∂y
sur R2
Proposition 19 1) Les distributions telles que D2 (T ) = 0 sont les distributions de la forme T = T1 (x) + T2 (y) (ou T = T1 ⊗ 1 + 1 ⊗ T2 )
2) D2 a pour solution élémentaire la distribution (fonction bornée) E =
Y (x)Y (y)
Preuve: Si T est une distribution telle que ∂T
= 0, elle est de la forme T1 (y)
∂x
(produit externe T1 ⊗ 1) (c’est la prop18 avec paramètre):
= 0 signifie hT, ∂ϕ
= 0 pour toute fonction test ϕ ∈ C0∞ , et les fonc∂y
tions
test ϕ qui sont des dérivées ϕ = ∂ψ
sont exactement les ϕ telles que
∂x
R
ϕ(x, y)dx = 0 pour tout y
R
∂T
∂x
51
R
Choisissons une fonction fixe ψ0 (x) ∈ C0∞ (R) telle que ψ0 (x)dx = 1, et
soit S ∈ C −∞ (R) la distribution telle que hS, ui = hT, ψ0 (x)u(y)i. D’après ce
qui précède, toute ϕ ∈ C0∞ (R2 s’écrit
Z
∂ψ
avec ϕ0 (x) =
ϕ(x, y)dy, ψ ∈ C0∞ (R2 ).
ϕ = ψ0 (x)ϕ0 (y) +
∂y
R
Donc on a hT, ϕi = hS, ϕo i c’est à dire T = 1 ⊗ S.
2
∂ T
Ceci étant, si ∂x∂y
= 0, on a ∂T
x) = 1⊗T20 pour une distribution T20 ∈ C−R
∂
convenable, d’où, par le raisonnement ci-dessus, T = T1 ⊗ 1 + 1 ⊗ T2 si T1 est
une primitive de T10
On a
5.1.3
∂2
(Y
∂x∂y
⊗ Y ) = δ(x) ⊗ δ(y) = δ.
Corde vibrante
L’équation des cordes vibrantes (dimension 1+1) est
(28)
1 ∂2
∂2
f = ( 2 2 − 2 )f = g
v ∂t
∂x
(dans (27) la vitesse de propagation v est égale à 1). On se ramène à l’opérateur
∂2
par le changement de variables X = x − tv, Y = x + tv. Tenant
D2 = ∂x∂y
compte du déterminant jacobien dans la formule de changement de variables,
on obtient:
Proposition 20 1) Les solutions de l’équation des cordes vibrantes (T ) = 0
sont les distributions de la forme T = T+ (x − vt) + T− (x + vt)
2) L’opérateur des ondes a pour solution élémentaire la distribution (localement intégrable)
v
E = Y|x|≤vt (t, x)
2
où Y|x|≤t est la fonction caractéristique du secteur angulaire {|x| ≤ vt}.
5.2
5.2.1
52
TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE,
PROBLÈME de CAUCHY
Problème de Cauchy
Si f = f (t, x) est une distribution tempérée, notons Fx f sa transformée de
Fourier partielle en x : pour une fonction test
Z
e−ix.ξ f (t, x) dx .
Fx f (t, ξ) =
n−1
R
La transformation de Fourier partielle marche comme la transformation de
Fourier (il suffirait que f soit ”tempérée en x”, en un sens évident).
Si f est tempérée et vérifie l’équation des ondes (f ) = 0, sa transformée
de Fourier partielle vérifie
∂2
Fx f = −ξ 2 fˆ
2
∂t
(29)
de sorte que le problème de Cauchy
f = 0,
f = f0 ;
∂f
= f1
∂t
pour t = 0
admet, pour unique solution (sous réserve, provisoirement, que f, f0 , f1 soient
tempérés) la distribution telle que :
Fx f = cos t|ξ| Fx f0 (ξ) +
(30)
5.2.2
sin t|ξ|
Fx f1 (ξ)
|ξ|
Solution élémentaire avancée
Soit E+ la distribution tempérée dont la transformée de Fourier partielle est
Fx E+ (t, ξ) = Y (t)
(31)
sin t|ξ|
|ξ|
2
∂
2
On a ( ∂t
2 + ξ )Fx E+ = δ(t) (”formule des sauts” avec paramètre ξ).
Donc E+ est une solution élémentaire de l’opérateur des ondes, portée par
le demi-espace t ≥ 0 (la solution ”avancée”).
Dans les numéros suivants nous étudions plus précisément cette solution
avancée.
Observons dès maintenant le résultat suivant :
Lemme 7 1) La fonction
morphe sur Cn−1 .
sin t|ξ|
|ξ|
53
se prolonge en une fonction entière holo-
2) Pour tout ζ = ξ + iη ∈ Cn−1 , t > 0 on a
p
sin t ζ 2 ≤ etkIm ζk
p
(32)
2
ζ
Preuve: 1)
sin t|ξ|
|ξ|
est somme de la série entière
X
sin t|ξ| X (−1)k
ξj2 )k
=
(t2
|ξ|
(2k + 1)!
qui converge dans tout Cn−1 .
iz +e−iz
2) Pour z = x + iy ∈ C on a | cos z| = | e
sin z
|=|
|
z
Z
2
≤ e|y| donc aussi
1
cos sz ds| ≤ e|y|
0
p
Soit u = a + ib = ζ 2 (u est défini au signe près). On a donc
a2 − b 2 = ξ 2 − η 2
(et ab = ξ · η)
et aussi
|u|2 = a2 + b2 ≤ kζk2 = kξk2 + kηk2 .
Donc par différence
2b2 ≤ (kξk2 + kηk2 ) − (kξk2 − kηk2 ) = 2kηk2
Ceci démontre (32).
i.e. |b| ≤ kηk .
5.3
5.3.1
54
Cas de la Dimension 3+1
C’est le cas le plus utile puisque notre espace est à trois dimensions.
Proposition 21 Sur R3 la fonction
distribution E1 telle que
1
hE1 , f i =
4π
sin |ξ|
|ξ|
est la transformée de Fourier de la
Z
f (x)dσ(x)
kxk=1
(moyenne de f sur la sphère unité.)
Preuve: E1 est invariante par rotation, donc aussi sa transformée de Fourier.
Nous calculons celle-ci en coordonnées cylindriques, tenant compte que l’aire
infinitésimale
p de la couronne sphérique d’abscisse x1dxde basedxdx1 est 2πdx1 (le
rayon est 1 − x21 , la longueur de l’arc de cercle est sin1θ = √ 1 2 ). On obtient
1−x1
c1 (ξ) = E
c1 (|ξ|e1 ) = 1
E
4π
Z
1
eix1 |ξ| 2πdx1 =
−1
ei|ξ| − e−i|ξ|
sin |ξ|
=
2i|ξ|
|ξ|
Corollaire 2 La solution élémentaire (avancée) de l’équation des ondes est la
distribution E+ telle que
Z ∞
Z
1
hE+ , ϕi =
t dt [
ϕ(x, t)]
4πt2 kxk=t
0
(la deuxième intégrale qui figure dans le second membre les la moyenne de ϕ
sur la sphère de rayon t).
5.3.2
Théorème de Paley-Wiener
La fonction sin|ξ||ξ| est la transformée de Fourier d’une distribution à support
compact si n = 1+1 ou 3+1 et ceci assure l’existence d’une solution élémentaire
”avancée”, à support dans le cône d’onde d’avenir {t ≥ 0, kxk ≤ t}. En fait
ceci est vrai pour tout n. Le théorème de Paley-Wiener permet de reconnaı̂tre
qu’une fonction est la transformée de Fourier d’une distribution à support
compact.
Théorème 6 Soit f une distribution tempérée, fˆ sa transformée de Fourier.
Alors f est une distribution (resp. une fonction test) à support dans la boule
de rayon R si et seulement si
(i) fˆ se prolonge en une fonction holomorphe de ζ = ξ + iη, dans Cn tout
entier.
(ii) Il existe N tel que |fˆ(ζ)| ≤ cste (1 + |ζ|)N eR|η| , resp.
(ii)bis Pour tout N on a |fˆ(ζ)| ≤ cste (1 + |ζ|)−N eR|η|
55
Preuve: La condition (i) est évidemment nécessaire. Si T est une distribution
à support ⊂ BR il existe un nombre N (l’ordre de la distribution) tel que
|T (ϕ)| ≤ C supα≤N,kxk≤R |ϕ(α) (x)|. En particulier on a, pour ζ complexe:
|Tb(ξ)| = |T (e−ix.ξ )| ≤ C(1 + |ζ|)N e| Imξ|
Si de plus T est une fonction de classe C ∞ , on a pour tout α
|ξ α Tb| = |FT (α) | ≤ Ce| Imζ|
de sorte que la condition (ii) ou (ii)bis est nécéssaire.
Réciproquement supposons la condition (ii)bis satisfaite. La formule de
réciprocité montre qu’on a
Z
−n
f (x) = (2π)
eix.ξ fˆ(ξ)dξ
La formule de Cauchy montre qu’on peut translater le domaine d’intégration
dans Cn , et qu’on a encore pour tout η:
Z
−n
f (x) = (2π)
eix.(ξ+iη) fˆ(ξ + iη)dξ
Si alors kxk > R et qu’on choisit η : λx, λ → +∞, on obtient |f (x)| ≤
cste e(R−kxk)kηk → 0 donc f (x) = 0.
Dans le cas général ce qui précède montre que la régularisée Tε = T ∗ ϕε est
portée par la boule de rayon R + ε, donc à la limite supp T ⊂ BR .
Corollaire 3 1) La solution élémentaire avancée E+ de l’opérateur des ondes
est portée par le cône d’onde d’avenir Γ = {(t, x)|0 ≤ kxk ≤ t}, et est l’unique
solution élémentaire à support dans le demi-espace t ≥ 0.
2) Le problème de Cauchy f = 0, f (t, x) = f0 (x), ∂f
= f1 (x) pour t = 0
∂t
a une solution unique.
Preuve: On a de toute façon E+ = 0 pour t < 0, et le lemme (7) et le théorème
tkξk
de Paley-Wiener montrent que pour tout t la fonction sinkξk
est la transformée
de Fourier d’une distribution portée par la boule kxk ≤ |t|.
Si alors g est une distribution portée par le demi-espace H = {t > 0},
f = E+ ∗ g est l’unique solution de l’équation f = g portée par H parce
que H et le cône Γ sont adaptés pour la convolution. En particulier E+ est
l’unique solution de l’équation f = δ portée par H.
Enfin le problème de Cauchy est équivalent à l’équation
(Y (t)f ) = Y (t)g + f0 (x)δ 0 (t) + f1 (x)δ(t)
56
où le second membre est à support dans H et on cherche la solution Y (t)f à
support dans H : il a donc une unique solution.
Remarque: le problème de Cauchy a de même une solution définie pour t < 0.
En recollant les morceaux on obtient la solution (unique), définie pour tout t.
5.4
57
APPENDICE - ÉQUATIONS de MAXWELL
L’espace-temps R4 = R × R3 (coordonnées (t, x = (x1 , x2 , x3 )) est muni de la
forme quadratique
X
(33)
q(t, x) = c2 t2 −
x2j = c2 t2 − x2
et comme plus haut le D’Alembertien (opérateur des ondes) est l’opérateur
différentiel
(34)
5.4.1
1 ∂2
= 2 2 − ∆x
c ∂t
Formulation usuelle
Dans la théorie électromagnétique, il y a des charges : la densité de charge est
une fonction ρ; il y a un courant : la ”densité de courant” est un champ de
vecteurs j (il est utile d’accepter pour ρ, j des coefficients distributions, pour
couvrir le cas de charges ponctuelles ou réparties sur un fil ou une surface, ou
des dipôles).
Dans cette théorie interviennent le champ électrique E = (E1 , E2 , E3 ) et le
champ magnétique B = (B1 , B2 , B3 ) : une charge ponctuelle q, animée d’une
vitesse v placée en un point devrait subir la force
F = q(E + v × B)
(v × B est le produit vectoriel : (v2 B3 − v3 B2 , 3, B1 − v1 B3 , v1 B2 , v2 B3 ))
Les équations de Maxwell s’écrivent :
(35)
(36)
(37)
(38)
∇.E =
ρ
ε0
∂B
= 0
∂t
∇.B = 0
∂E
j
c2 ∇ × B −
=
∂t
εO
∇×E+
(c est la vitesse de la lumière, ε0 est la constante diélectrique ; on peut choisir
les unités de mesure de sorte que c = ε0 = 1).
La loi de conservation de la charge électrique se traduit par
(39)
∇ρ +
∂j
=0
∂t
5.4.2
58
Formulation intrinsèque
E se comporte comme un champ de vecteurs (il faut quand même changer de
signe dans les formules si on renverse le sens du temps).
B se comporte comme un champ de vecteurs tordus, c’est à dire une 2forme : il faut changer le signe si on fait un changement de repère orthonormal qui change l’orientation : il est commode de tout repérer par le champ
électromagnétique E, qui est la 2-forme différentielle sur R4 :
X
(40)
E=
Ej dxj dt + (B1 dx2 dx3 + B2 dx3 dx1 + B3 dx1 dx2 )
On introduit le champ
(41)
J =
1
(ρdt − j.dx)
ε0
Les équations de Maxwell se réécrivent alors
(42)
dE = 0
(43)
d∗ E = J
La loi de conservation de la charge se récrit
(44)
d∗ J = 0
Dans ces équations :
P
d est la différentielle extérieure : dω =
dyj ∧
coordonnées t ou x),
d∗ est l’adjoint pour la métrique de la relativité :
Z
Z
hda, bi = ha, d∗ bi
∂ω
∂yj
(où les yj sont les
où h, i est le produit scalaire des formes différentielles de la relativité
hdt, dti = −
1
, hdxj , dxj i = 1
c2
de sorte qu’on a
1 ∂E
− ∇ × B)
c2 ∂t
Si E vérifie les équations de Maxwell homogènes (J = 0), chacune de ses
composante vérifie l’équation des ondes f = 0.
d∗ E = (∇.E)dt + (
5.4.3
59
Groupe de Lorentz
Le groupe de Lorentz est le groupe des transformations linéaires qui préservent
la forme quadratique q, ou de façon équivalente, le d’Alembertien (on peut
y ajouter le groupe des translations). Ce groupe opère aussi sur les formes
différentielles et préserve d (qui est invariant par n’importe quel changement
de coordonnées) et aussi d∗ (du moment que la métrique est préservée).
Il préserve aussi les équations de Maxwell. Dans une transformation de
Lorentz, on ne peut plus séparer les composantes (E, B) du champ électromagnétique (pas plus que les variables de temps et d’espace dans la théorie de
la relativité).
6 ÉQUATION DE LA CHALEUR, ÉQUATION DE SCHRÖDINGER 60
6
ÉQUATION de la CHALEUR,
L’opérateur de la chaleur sur Rn+1 est
(45)
C=
∂
−∆
∂t
L’opérateur de Schrödinger est
(46)
6.1
S=
1∂
−∆
i ∂t
TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE
Le problème bien posé associé est le problème initial:
∂
f = ∆f,
∂t
(47)
f = f0 (x) pour t = 0.
où f0 est tempérée, et on cherche une solution tempérée.
On note fb = Fx f la transformée de Fourier partielle en x. Le problème
initial(47) se reécrit
∂ b
f = −ξ 2 fb,
∂t
(48)
fb = fb0
pour t = 0.
dont la solution est
2
fb = e−tξ fb0
(49)
ou de façon équivalente
(50)
f (t, x) = Et ∗x f0 (x),
avec
n
x2
Et = (4πt)− 2 e− 4t
2
Et est la transformée de Fourier inverse Fx−1 e−tξ ; c’est une distribution Gaussienne. Le signe ∗x signifie que le produit de convolution porte sur x ∈ Rn−1
seul.
t 7→ Et est un semi-groupe pour la convolution, i.e. on a Es ∗ Et = Es+t
2
2
2
pour s, t ≥ 0 (parce que e−sξ e−tξ = e−(t+s)ξ .
2
Noter que Et n’est pas défini pour t < 0 (e−tξ s’est pas tempérée).
[La formule de solution (50) exprime que ”la chaleur diffuse selon la loi du
mouvement Brownien”, ou obéit à une loi normale Gaussienne (de variance
proportionnelle à t), ce qui, et a posteriori est intuitivement assez naturel si
on pense qu’elle est diffusée par le mouvement grand nombre de particules
atomiques qui statistiquement obéissent aux lois du mouvement Brownien.]
6.2
b ξ) = e−tξ2 si t > 0, 0 si t ≤ 0. On a évidemment
On pose E(t,
(
∂
b = δ(t)
+ ξ 2 )E
∂t
De sorte que l’équation de la chaleur admet pour solution élémentaire la disb En fait E est la fonction localement intégrable :
tribution E = Fx−1 E.
(51)
6.3
n
x2
E(t, x) = (4πt)− 2 e− 4t
pour t > 0,
0 pour t ≤ 0
DIVERS
Hypoellipticité Remarquons que la solution élémentaire E est de classe C ∞
en dehors de l’origine: en effet les dérivées pour t > 0 se raccordent conx2
tinûment aux dérivée (nulles) pour t < 0 parce que si x 6= 0, parce que e− 4t
tend vers 0 plus vite que n’importe quelle puissance de t.
Par suite, comme pour l’équation de Laplace, on a le résultat de régularité
suivant:
Proposition 22 Si T est une distribution, on a suppsing T ⊂ suppsing C(T )
(T est de classe C ∞ dans tout ouvert où C(T ) l’est).
Noter que, à la différence de la solution élémentaire de l’équation de Laplace,
E n’est tout de même pas analytique en dehors de l’origine.
Principe du maximum Comme les fonctions harmoniques, les solutions de
l’équation de la chaleur vérifient le principe du maximum (i.e. si f est continue
sur un compact K, Cf = 0 dans l’intérieur de K alors f atteint ses bornes sur
∂K). On peut démontrer ceci exactement comme dans le cas de l’équation de
Laplace (en utilisant le fait qu’on a toujours Cf (x) ≤ 0 en un point où f est
deux fois dérivable et atteint un maximum local).
(il n’y a tout de même pas d’analogue simple de la formule de la moyenne,
et le problème de Dirichlet pour l’équation de la chaleur n’est pas un problème
bien posé).
6.4
Pour l’opérateur de Schrödinger S =
problème initial :
(52)
1∂
f = ∆f,
i ∂t
1 ∂
i ∂t
− ∆ sur Rn+1 on s’intéresse au
f = f0 (x) pour t = 0.
où f0 est tempérée, et on cherche une solution tempérée.
Avec des modifications évidentes le problème initial se résout comme pour
l’équation de la chaleur: la transformée de Fourier partielle de la solution est
2
fb = e−itξ fb0
(53)
ou de façon équivalente
(54)
f (t, x) = Ei t ∗x f0 (x),
avec
n
x2
Ei t = (4πit)− 2 e− 4it
n
(dans cette formule la détermination de (ζ)− 2 , Re ζ ≥ 0, est celle qui est > 0
si ζ > 0 - autrement dit on doit choisir Arg it = π2 si t > 0, − π2 si t < 0).
Eit est défini pour tout t, et t 7→ Eit définit un groupe d’opérateurs de
2
convolution unitaires (i.e. isométriques pour la norme L2 , parce que |eitξ | = 1).
2
La distribution E sur Rn+1 telle que Fx E = eitξ si t > 0, 0 si t ≤ 0 est encore une solution élémentaire de l’équation de Schrödinger, mais elle n’est plus
C ∞ en dehors de l’origine (l’équation de Schrödinger n’est pas hypoelliptique).
7 ÉQUATIONS DE L’ANALYSE COMPLEXE
7
7.1
7.1.1
63
ÉQUATIONS de l’ANALYSE COMPLEXE
ÉQUATIONS de CAUCHY-RIEMANN
Fonctions d’une Variable Complexe
On note z = x + iy la variable de C (qui s’identifie ainsi à R2 ). On pose
dz = dx + idy,
dz = dx − idy
et (par convention, ou par prolongement des formules à coefficients réels)
∂
1 ∂
∂
= (
−i )
∂z
2 ∂x
∂y
∂
1 ∂
∂
= (
+i )
∂z
2 ∂x
∂y
de sorte qu’on a
df =
∂f
∂f
∂f
∂f
dx +
dy =
dz +
dz
∂x
∂y
∂z
∂z
Par définition, une fonction holomorphe, dans un ouvert U ⊂ C, est une
fonction f : U → C différentiable au sens réel, dont la dérivée en chaque point
est C-linéaire (rappelons que la dérivée f 0 (x, y) est l’application R-linéaire
telle que f (x + h, y + k) = f (x, y) + f 0 (x, y).(h, k) + o(k(h, k)k)).
Pour que f soit holomorphe il faut et il suffit que qu’elle vérifie l’équation
de Cauchy Riemann
∂f
=0
∂z
Remarquons qu’on a
(55)
∆=4
∂2
∂z∂z
En particulier une fonction holomorphe est harmonique (donc C ∞ ). Plus généralement si T est une distribution telle que ∂T
= 0, T est harmonique, donc
∂z
∞
c’est une fonction C , holomorphe au sens usuel.
7.1.2
Solution Élémentaire
∂
Proposition 23 L’opérateur de Cauchy ∂z
a pour solution élémentaire la dis1
tribution (fonction localement intégrable) E = πz
2
∂
Preuve: On a vu que ∆ = 4 ∂z∂z
a pour solution élémentaire la fonction E∆ =
1
1
∂
Log
|z|
=
Log
zz.
Log zz = z1
On
a
par
ailleurs
2π
4π
∂z
64
(parce que Log zz et z1 sont toutes deux localement intégrables de sorte qu’on
R
R
= − z1 ϕ).
peut intégrer par parties: Logzz ∂ϕ
∂z
On a donc, au sens des distributions
∂ 1
∂2
1
=
Log zz = ∆Log zz = πδ
∂z z
∂z∂z
4
7.1.3
Système de Cauchy-Riemann sur Cn
Sur Cn les fonctions holomorphes sont les solutions d’un système de n équations
aux dérivées partielles:
∂
∂
,...,
)
∂z 1
∂z n
CommePdans le cas n = 1 une fonction holomorphe est harmonique car on a
2
∆ = 4 ∂zk∂∂zk , de sorte qu’une distribution holomorphe (T telle que ∂T = 0
est automatiquement une fonction C ∞ , holomorphe). Comme dans le cas
n = 1 ou pour les fonctions harmoniques, une fonction holomorphe admet des
représentations intégrales remarquables. La plus simple généralise directement
la formule de Cauchy: si f es holomorphe dans un voisinage du polydisque
D = {|zk | ≤ rk } et z ∈ D on a
Z
dt1 . . . dtn
−n
(57)
f (z) = (2πi)
f (t1 , . . . , tn )
(z1 − t1 ) . . . (zn − tn )
|tk =rk
(56)
∂f = 0
avec ∂ = (
En fait si n > 1 nous avons affaire à un système d’équations (pas une seule
équation) et il y a beaucoup d’autres formules intégrales possibles permettant
de représenter les fonctions holomorphes. A titre d’exemple nous citons la
remarquable formule de Szegö, valable pour f continue sur la boule unité
fermée, holomorphe dans la boule ouverte {|z| < 1}:
Z
dσ(w)
1
f (w)
(58)
f (z) =
v2n−1 |w|=1
(1 − z.w)n
où comme d’habitude dσ(w) désigne l’élément de volume usuel de la sphère
2π n
unité, et v2n−1 = (n−1)!
est le (2n − 1)-volume de cette sphère.
Preuve: une fonction holomorphe est harmonique donc vérifie le formule de
1
Poisson (25). Le noyau de Poisson de la boule est, avec c = v2n−1
:
K(z, w) =
c
c
=
2n
kz − wk
(1 − z.w − z.w + z.z)n
c
Le noyau de Szegö (1−z.w)
n est exactement la partie holomorphe du noyau
de Poisson (i.e. dans le développement en série de z, z on ne garde que les
monômes holomorphes z α z β avec β = 0). Nous laissons le lecteur terminer la
démonstration.
7.2
7.2.1
65
ÉQUATIONS de H. LEWY et S. MIZOHATA
Équations de H. Lewy, ∂ b
L’opérateur de H. Lewy est
(59)
L=
∂
∂
+ iz
∂z
∂t
sur R3 = C × R, où on note les coordonnées z = x + iy, t. L’équation Lf = 0
admet pour solution les fonctions z et w = t − izz.
L’interprétation géométrique de cette équation est la suivante: notons z =
x + iy, w = t + is les coordonnées dans C2 et soit H ⊂ C2 l’hypersurface réelle
d’équation u(z, w) = s + zz = 0.
P
Rappelons qu’un champ de vecteurs (dérivation) X =
aj (x) ∂x∂ j est tangent à H si et seulement si X(u) = 0 sur H. Alors si f est définie et dérivable
au voisinage de H, X(f )|H ne dépend que de la restriction f |H. Les champs
∂
∂
, ∂w
)
de vecteurs antiholomorphes (i.e. combinaisons à coefficients C ∞ des ∂z
∂
∂
tangents à H sont exactement les multiples de L̃ = ∂z + iz ∂w , qui correspond
à L lorsqu’on paramètre H avec les coordonnées z = x + iy, t.
Ainsi Lf = 0 si f = f˜(z, t − izz) correspond à la restriction à H d’une
fonction holomorphe f˜, ou plus généralement si elle est limite (au sens des
distributions) de telles fonctions.
Remarques 1) On démontre (variante du théorème de Hartogs) qu’une fonction
sur H solution de l’équation L̃f = 0 se prolonge automatiquement au domaine
Ω = {u < 0} tout entier, de même qu’une fonction holomorphe au voisinage
de la sphère unité de Cn se prolonge automatiquement à la boule.
2) On démontre que l’équation Lf = g n’a en général pas de solution distribution, même localement, i.e. pour tout point x ∈ R3 il existe une fonction g
telle que l’équation Lf = g n’a de solution distribution dans aucun voisinage
de x).
Il y a ainsi une différence qualitative considérable entre les équations à coefficients complexes variables, comme l’équation de H. Lewy, et les équations à coefficients constants, ou la plupart des équations qui proviennent de la physique,
qui sont résolubles (au moins localement). Ce phénomène de non résolubilité
locale est pourtant en un certain sens ”générique” pour les équations à coefficients complexes variables, même s’il a fallu attendre les années 1950 pour
s’en convaincre.
Nous ne démontrerons pas ici ce phénomène de non existence de solutions
pour l’équation de H. Lewy, et nous contenterons de l’étudier au numéro suivant pour le modèle similaire plus simple du à S. Mizohata.
7.2.2
66
Équation de Mizohata
L’opérateur de Mizohata sur R2 est
(60)
M=
∂
∂
− it
∂t
∂x
2
Il admet évidemment pour solution la fonction z = x+i t2 et plus généralement
les distributions de la forme :
f (x + i
t2
t2
+ i0) = lim f (x + i + iε)
ε→+0
2
2
où f (z) est une fonction holomorphe dans le demi-plan complexe y = Im z > 0,
à croissance modérée pour y → 0 (la limite existe au sens des distributions cf. no 3.2.4).
7.2.3
Transformation de Fourier Partielle,
Développements en Fonctions de Hermite
Effectuons une transformation de Fourier partielle en x: on a
c = ∂ + tξ
M
∂t
(61)
(ξcorrespond à − i∂x )
Le développement en fonctions de Hermite (no 4.3) est particulièrement bien
1
2
adapté pour cette étude: la fonction de base est e− 2 |ξ|t .
Pour ξ > 0 fixé, Mξ est l’opérateur d’annihilation. Il est surjectif, son noyau
t2
est Ce−ξ 2 .
Pour ξ < 0, Mξ est (au signe près) l’opérateur de création. Il est injectif et
t2
son image est l’orthogonal du vecteur e−|ξ| 2 (dans L2 (R)).
En particulier si f est une distribution tempérée et g = P f , on a
Z
t2
ĝ(t, ξ)e−|ξ| 2 dt = 0 pour tout ξ < 0
7.2.4
Opérateur de Hermite
Nous notons H l’opérateur de Hermite, défini par :
Z
2
d(ξ) = fˆ(t, ξ)e−|ξ| t2 dt pour ξ < 0 (0 pourξ > 0)
(62)
Hf
67
t2
Noter que la fonction Y (−ξ)eξ 2 est transformée partielle de la distribution
(localement intégrable) Φ(t, −x) avec
Z 0
t2
t2
1
(x + i + i0)−1
e−ixξ+ξ 2 = −
Φ(t, x) =
2πi
2
−∞
de sorte que pour f ∈ C0∞ , Hf (x) est le produit de convolution:
Z
1
f (t, x)
Hf (y) = −
dxdt
2
2πi
x + i t2 − y + i0
On voit directement qu’on a H(M f ) = 0 en remarquant qu’on a M (Φ(t, x−
y) = 0 pour tout y, donc hM f, Φ(x − y, t)i = hf,t M Φi = 0 (on a tM = M ).
On démontre le résultat suivant:
Théorème 7 l’équation M f = g a une solution au voisinage d’un (t0 , x0 = 0)
si et seulement si pour toute distribution g̃ à support compact ǵale à g au
voisinage de (t0 , 0), H g̃ est analytique au voisinage de t0 .
Nous ne démontrerons que la partie directe de ce théorème. Remarquons
d’abord que si x0 6= 0 il existe f telle que M f = g au voisinage du point
2
(t0 , x0 ), parce que le changement de variable (t, x) 7→ z = x + i t2 ramène au
voisinage de ce point M à l’opérateur de Cauchy-Riemann qui a une solution
élémentaire, donc qu’on sait résoudre localement.
La question ne se pose donc qu’au voisinage des points (t0 , x0 ), x0 = 0.
Si f est à support compact on a Hf = Φ∨ ∗ f|t=0 = 0. Or la distribution
2
1
(x + i t2 + i0)−1 est analytique en dehors de l’origine, de sorte
Φ = − 2πi
que si T est à support compact on a suppsingan (Φ ∗ T ) ⊂ suppsingan T
(suppsingan T désigne le plus petit fermé en dehors duquel T est une fonction analytique. Comme pour le support singulier usuel, on montre qu’on a
toujours suppsingan (T ∗ S) ⊂ suppsingan (T ) + suppsingan (S)).
Si alors g est une distribution à support compact et s’il existe f à support
compact telle que M f = g au voisinage du point (t0 , x0 ), on a HP = 0 de
sorte que Hg = H(g − P f ) est analytique au voisinage de x0 .
(Pour la réciproque: on a vu que la condition Hg = 0, qui a un sens lorsque
g est tempérée, est essentiellement nécessaire et suffisante pour que l’équation
M f = g ait une solution tempérée. Le cas général, que nous ne démontrons
pas ici, se déduit de cela et de l’observation que l’équation M f = g a toujours
une solution locale si le second membre g est une fonction analytique, d’après
le théorème de Cauchy-Kowalewski).
8
68
PROBLÈME DE CAUCHY
Note: ce chapitre peut aussi être traité au début du cours.
8.1
8.1.1
THÉORÈME de CAUCHY-KOWALEWSKI
Problème de Cauchy.
Pour une équation différentielle (1 variable), le problème de Cauchy, où la
valeur initiale est fixée, est bien posé :
(63)
df
= F (t, f )
dt
f = y0
pour t = t0 .
Sur sur (R)n+1 , notons les variables (coordonnées) t, x = (x1 , . . . , xn ). Pour
une équation aux dérivées partielles d’ordre m en t:
(64)
∂tm f = F (t, x, ∂ α f )
(αt < m)
le problème qui généralise immédiatement celui à une variable est de nouveau
le problème de Cauchy, i.e. on adjoint les conditions limites (ou initiales)
(65)
∂tj f = fj (x) pour t = t0 , j = 0, . . . , m − 1.
En fait ce problème n’est pas toujours bien posé. Il l’est pour l’opérateur
des ondes, et plus généralement pour les opérateurs dits “hyperboliques”, mais
il ne l’est pas pour les autres exemples présentés plus haut; en particulier il ne
l’est pas pour la Laplacien.
Exemples: le problème de Cauchy
∂t f = ∂x f,
f (0, x) = f0 (x)
(sur R2 ) a pour unique solution
f = f0 (x + t),
qui est évidemment une série convergente si f0 l’est.
Dans ce chapitre nous examinons le problème suivant qui, historiquement,
est un des premiers à avoir été étudié : en supposant F et les données limite
fj analytiques (i.e. sommes de leurs séries de Taylor au voisinage de chaque
point), peut-on trouver une solution analytique.
La réponse est exprimée dans le théorème de Cauchy-Kowalewsky :
69
Théorème 8 On suppose les données fj analytiques au voisinage d’un point
(t0 , x0 ), F analytique au voisinage du point (t0 , x0 , ∂ α f (t0 , x0 ). On suppose en
outre F d’ordre ≤ m, i.e. les seules dérivées qui y figurent sont d’ordre ≤ m,
et d’ordre < m en t (les ∂ α f avec |α| ≤ m, αt < m).
Alors le problème de Cauchy (64,65) admet une unique solution analytique
(i.e. somme d’une série entière convergente) au voisinage de (t0 , x0 ).
Remarque.- C’est un des premiers résultats importants sur l’existence de
solutions. Mais pour beaucoup de questions, en particulier pour des questions d’approximation utiles pour la physique, il n’est pas très utilisable. Le
théorème ne dit pas quel est le “rayon de convergence” de la série solution ; on
peut extraire une majoration de la démonstration ci-dessous, mais elle est en
général mauvaise, en particulier ce “rayon de convergence” peut être très petit
même si ceux des données ne le sont pas. Surtout ce théorème ne dit pas que
le probème de Cauchy est bien posé, i.e. que la solution a une limite en un sens
raisonnable (par exemple au sens des fonctions différentiables) si les données
en ont, ni même qu’il a une solution si les données ne sont pas des fonctions
analytiques. Si on essaie de résoudre le problème de Cauchy pour une donnée
de Cauchy (fj ) différentiable mais non analytique, la première idée, qui serait
d’approcher les fj par des fonctions analytiques et de passer à la limite, ne
marche pas, parce qu’on ne sait pas si la limite des solutions existe (il faudrait
justement pour cela que le problème de Cauchy soit bien posé). Le fait que le
problème de Cauchy soit bien posé est une autre question, souvent beaucoup
plus difficile.
Nous démontrerons le théorème en deux étapes.
8.1.2
Solution formelle
Lemme 8 Le problème de Cauchy (64,65) a une unique solution formelle.
Série formelle signifie : série entière non nécessairement convergente. On
peut effectuer sur les séries formelles les mêmes opérations, produit, dérivation,
composition (en prenant garde à l’origine) que sur les fonctions - le résultat est
une autre série formelle. On peut toujours supposer
t0 = 0, x0 = 0. Le lemme
P
affirme qu’il existe une unique série formelle
fk,β tk xβ (non nécessairement
convergente) qui vérifie formellement les équations.
Pour démontrer le lemme, on commence par se ramenner au cas où les fj
qui définissent la donnée de Cauchy sont nulles : fj = 0 pour j < m: on prend
comme nouvelle fonction inconnue
m−1
X tj
˜
f = f − ϕ,
avec ϕ =
fj
j!
0
70
La nouvelle équation que doit vérifier f˜ est
∂tm f˜ = F̃ (t, x, ∂ α f˜),
∂tj f˜ = 0 pour t = 0, j < m
avec
F̃ = F (t, x, ∂ α (f˜ + ϕ)
et les nouvelles données F̃ et f˜j = 0 sont aussi analytiques.
P
P
Soit alors f˜ est la série formelle f˜ = k≥m fk (x)tk , où les fk =
fk,β xβ ,
k ≥ m sont des séries formelles de x à déterminer. Alors f˜ vérifie l’equation
si et seulement si pour tout k ≥ 0 les coefficients de tk dans les membres de
droite et de gauche sont égaux:
m + k!
fm+k = F̃ (t, x, ∂ α f˜)
k!
k
Or il est évident que le coefficient (F̃ (t, x, ∂ α f˜))k de tk dans le membre de droite
ne dépend que des fj , j < m + k (et des coefficients de F̃ ): c’est un polynôme
des déries formelles fj , j < m + k et de leurs dérivées. Par récurrence, les
coefficients fk de f˜ sont ainsi déterminés de façon unique.
Plus précisément, les coefficients d’un composé Φ(u1 , . . . , uN ) et des dérivée
∂ u sont des polynômes à coefficients entiers positifs des ingrédients (coefficients de Φ et des uj ), donc
β
Lemme 9 Les coefficients de la solution formelle f˜ sont des polynômes à coefficients positifs (rationnels) des coefficients de F̃ .
Pour démontrer le théorème de Cauchy-Kowalewski, il faut donc montrer
que l’unique solution formelle est en fait une série convergente. Remarquons
que dans le lemme ci-dessus on a utilisé le fait que F ne fait intervenir que
des dérivées d’ordre < m en t, mais les dérivées en x peuvent être d’ordre
arbitraire. C’est pour la convergence qu’interviendra l’hypothèse que F ne
contient pas de dérivée d’ordre total > m.
Remarque: Le fait que l’équation soit d’ordre ≤ m (pas seulement en t)
n’intervient pas pour l’existence et l’unicité d’une solution formelle. Mais il est
indispensable pour que la solution soit convergente. Par exemple le problème
de Cauchy
∂t f = ∂x2 f, f (0, x) = f0 (x)
P
P 1 2k
k
∂
f
(x)t
.
Même
si
f
=
fk xk est une
a pour solution “formelle” f =
0
0
x
k!
série convergente, f , qui est bien définiePcomme série formelle,Pn’est pas tou(m+2k)! k m
1
, on a f =
t x ,
jours convergente. Par exemple si f0 =
xk = 1−x
m!k!
71
qui est une série divergente. On verra néanmoins (chap. 7) que le problème
initial pour l’équation de la chaleur est “bien posé”, i.e. a une solution unique
pour t ≥ 0 (pourvu qu’on se limite à des fonctions f, f0 “pas trop grandes à
l’infini”); mais la solution f n’est en général pas analytique, même si la donnée
initiale f0 l’est.
8.1.3
Séries majorantes
P
P
Si Φ =
aα X α , Ψ =
bα X α sont deux séries formelles, la deuxième à coefficients positifs (bα ≥ 0) on écrit
Φ Ψ si |aα | ≤ bα
pour tout α
(on dit alors que ΨPest une série majorante, ou qu’elle majore Φ, ou domine
Φ). Une série Φ =
aα X α est convergente si et seulement s’il existe c, R > 0
α
tels que aα ≤ cR , autrement dit
Y
c
P
Φ c (1 − RXj )−1 ou Φ 1 − R Xj
Il s’agit donc de montrer, dans le problème de Cauchy, que si F et les fj
ont ce type de majoration, il en est de même de la solution formelle. On peut
simplifier le problème comme suit: remplaçons la fonction inconnue f par la
→
−
→
−
fonction vectorielle f = (fα ) = (∂ α f ), |α| < m. Alors f vérifie un système
d’équations d’ordre 1 de la forme
→
−
→
−
→
−
→
−
∂t f = F (t, x, f , ∂x f )
Il n’y a rien a prouver si m = 1; sinon si |α| < m − 1, on a ∂t fα = f(1)+α
(où (1) désigne le multi-indice (1, 0, 0, . . . ) correspondant à la dérivation ∂t ).
Si |α| = m − 1 ≥ 1 et αt < m − 1 il y a un indice i tel que αi ≥ 1 et on a
∂t fα = f(1)+α−(i) . Enfin si α = (m − 1, 0, . . . ) (correspondant à la dérivation
∂tm−1 , l’équation ∂tm f = F (. . . ) fournit une relation du type cherché puisqu’elle
ne contient que les fα et ∂xi fα (les fα satisfont encore d’autres relations, que
nous n’utiliserons pas). On est ainsi ramené à un système d’équations d’ordre
1.
On se ramène enfin au cas d’une seule équation (scalaire) d’ordre 1 en
→
−
remarquant
que
si
f satisfait une
P
Péquationβ d’ordre 1 comme ci-dessus et qu’on
pose g =
kfα k avec kfα k =
|fα,β |X (on remplace les coefficients de la
série de Taylor par leurs valeurs absolues), on vérifie facilement (exercice) que
g vérifie encore une “inéquation” différentielle
∂t g G(t, x, g, ∂xi g)
72
où G est une série convergente à coefficients positifs
Comme les coefficients des solutions sont des polynômes à coefficients positifs des coefficients des donnée, on voit qu’on a g g̃ si g̃ est solution de
l’équation différentielle associée à G et sa donnée de Cauchy majore celle de g.
Finalement pour prouver le théorème, il suffit de le prouver pour les équations d’ordre 1.
8.2
8.2.1
73
Équations différentielles d’ordre 1
Équation linéaire d’ordre 1
Une équation linéaire d’ordre 1 est une équation de la forme
X
∂f
= a(x)f + b(x)
(66)
vj (x)
∂xi
P
associée au champ de vecteurs v = (vj (x)), aussi noté vj ∂x∂ j (nous supposons
les coefficients vj de classe C ∞ ). Dans ce qui suit nous supposons v 6= 0 (i.e.
un des coefficients vj 6= 0) (l’étude pour un champ de vecteurs singulier, i.e.
qui s’annule en certains points, peut être beaucoup plus compliquée).
La théorie des équations différentielles montre qu’on peut résoudre une équation différentielle
dx
= v(x).
dt
De façon plus précise, si on choisit une hypersurface initiale Σ (par exemple un
hyperplan) transverse à v, i.e. telle que v ne soit pas tangent à Σ, il existe une
= v prenant la valeur y ∈ Σ à l’instant
unique solution x(t, y) de l’équation dx
dt
initial t = t0 (ce résultat est seulement local, i.e. la solution est définie pour t
assez voisin de t0 pour y assez voisin d’un point y0 ∈ Σ).
De façon équivalente : il existe, au voisinage de y0 , un système (X1 , . . . , Xn )
∂
:
de coordonnées locales C ∞ dans lequel le champ de vecteurs s’écrit ∂X
1
par exemple on choisit pour (X2 , . . . , Xn ) un système de coordonnées locales
dans Σ du point x ∈ Σ, et notre nouveau système de coordonnées associe à
(X1 , . . . , Xn ) la valeur de la solution X(t, x) pour t = X1 ).
Pour l’équation, avec conditions initiales sur Σ = {t = 0}
∂f
= af + b,
∂t
f = f0 (x) pour t = t0
la solution est :
Rt
f =e
t0
a(s)ds
Z
f0 +
Rt
e
s
a(u)du
c(s) ds
Donc l’équation (66) avec donnée initiale sur une hypersurface transverse Σ a,
au moins localement au voisinage de Σ, une solution unique. (Attention qu’il
ne s’agit que d’un résultat local; le passage du local au global, i.e. l’étude de
l’équation dans tout le domaine de définition, peut aussi être délicat).
8.2.2
Crochet de Poisson
Plus généralement nous voulons étudier une équation d’ordre 1 de la forme
(67)
Φ(x, f, ∂x f ) = O
74
Pour cela nous utiliserons les outils de la géométrie symplectique et de la
mécanique Hamiltonienne. La formulation Hamiltonienne de la mécanique
remonte au 19ème siècle (elle est due à Jacobi, Hamilton, et déjà pour plusieurs
de ses aspects à Lagrange). Son utilisation pour les équations d’ordre 1 est
aussi ancienne. La théorie des opérateurs intégraux de Fourier (dont nous
parlerons brièvement à la fin de ce cours) a montré qu’elle intervient aussi de
façon fondamentale dans la théorie des EDP.
Soit X un ouvert de l’espace vectoriel E = Rn . Le fibré tangent (ensemble
des vecteurs tangents) est T X = X ×E. Il faut penser que dans un changement
de coordonnées, le vecteur v se comporte comme un vecteur tangent - ou
dérivation - au point x: si u : X → Y est un difféomorphisme (application
bijective dérivable), il transporte (x, v) selon l’application linéaire tangente:
u∗ (x, v) = T u(x, v) = (u(x), u0 (x).v)
Le fibré cotangent T ∗ X est le fibré dual T ∗ X = X × E ∗ . Si (x, ξ) est un
vecteur cotangent il faut penser que les coordonnées ξj de ξ sont les coordonnées d’une forme différentielle, et T ∗ X est muni d’une forme différentielle
canonique, i.e. invariante par changement de coordonnées, la forme de Liouville:
X
λ=
ξj dj (sur T ∗ X
si u : X → Y est un difféomorphisme, il transforme les covecteur comme des
éléments du dual: (x, ξ) 7→ (u(x),t u0 −1 (x).ξ
La dérivée de λ est la forme symplectique canonique ; c’est une 2-forme sur
T X :
X
σ = dλ =
dξj dxj
∗
C’est une 2-forme différentielle fermée (dσ = 0) et inversible, i.e. sa matrice (quand on la considère comme 2 forme bilinéaire alternée sur l’espace
des vecteurs tangents) est inversible. A cette forme (ou plutôt à la matrice
inverse) est associé le crochet de Poisson, qui est un opérateur bidifférentiel
antisymétrique :
X ∂f ∂g
∂f ∂g
−
.
(68)
{f, g} =
∂ξk ∂xk ∂xk ∂ξk
On note aussi
(69)
Hf =
X ∂f ∂
∂f ∂g
−
∂ξk ∂xk ∂xk ∂ξk
le champ hamiltonien de f : on a
{f, g} = Hf (g).
75
Ces opérations sont “canoniques”, invariantes par changement de coordonnées. On vérifie en outre facilement qu’on a dσ = 0, [Hf , Hg ] = H{f,g} ,
{f {g, h}} + {g{h, f }} + {h{f, g}} = 0 i.e. le crochet de Poisson est un crochet de Lie: ces relations sont équivalentes et résultent toutes du théorème de
2f
∂2f
Schwarz qui dit que les dérivations ∂x∂ j commutent ( ∂x∂i ∂x
=
).
∂x
j
j ∂xi
Dans la formulation hamiltonnienne de la mécanique, x = q représente une
position, ξ = p est le moment cinétique; la donnée fondamentale est l’énergie
(ou hamiltonien) E(x, ξ) qui est une fonction sur T ∗ X, et les équations du
mouvement s’écrivent dtd (x; ξ) = HE i.e.
dx
∂E
=
dt
∂ξ
dξ
∂E
=−
dt
∂x
Une des vertus de cette formulation est qu’elle ne dépend que de la forme
symplectique σ (ou du crochet de Poisson), et donc reste toujours la même
après un changement “canonique” de coordonnées, i.e. qui laisse invariante
la forme symplectique : les changements de coordonnées cotangentes, i.e. qui
proviennent d’un changement de coordonnées sur la base X ont cette propriété,
mais il y en a beaucoup d’autres.
La forme bilinéaire antisymétrique σ définit une relation d’orthogonalité sur
les vecteurs tangents : si V est un sous-espace (de l’espace des vecteurs tangents
de T ∗ X), V ⊥ est l’ensemble des vecteurs w tels que σ(v, w) = −σ(w, v) = 0
pour tout v ∈ V .
On dit qu’une sous-variété Σ ⊂ T ∗ X est isotrope, resp. coisotrope (ou
involutive) si T V ⊂ (T V )⊥ resp. T V ⊃ (T V )⊥ . Une définition équivalente de
l’involutivité est (exercice) :
Proposition 24 Σ est involutive ssi pour toute f différentiable nulle sur Σ, Hf
est tangent à Σ ; de façon équivalente : pour toutes f, g différentiables nulles
sur Σ, on a {f, g} = 0 sur Σ.
Remarquons que si V est isotrope (resp. involutive) on a dimV ≤ n resp.
dimV ≥ n (parce qu’on a dimV ⊥ = codimV donc dimV + dimV ⊥ = 2n, de
sorte que dimV ≤ n si dimV ≤ dimV ⊥ , resp. dimV ≥ n si dimV ≥ dimV ⊥ ).
Définition 9 On dit que V est Lagrangienne si elle est involutive (ou isotrope)
de dimension n.
8.2.3
76
Équations d’ordre 1
Examinons d’abord l’équation (67) lorsque la fonction Φ ne dépend pas explicitement de f , i.e. est une fonction sur T ∗ X.
Il est commode de chercher d’abord le graphe Σ de df , ensemble des covecteurs (x, ξ = f 0 (x)) : la connaissance Σ i.e. de f 0 détermine complètement
f , à une constante additive près.
Lemme 10 Si f est une fonction 2 fois dérivable, le graphe Σ de f 0 est Lagrangien.
P
En effet sur Σ on a par définition λ =
ξj dxj = df donc σ = d(df ) = 0
(le fond de la question est de nouveau le théorème de Schwarz sur les dérivées
secondes, qui implique d2 f = 0).
Si f vérifie l’équation, Σ est contenu dans l’hypersurface {Φ = 0}. Comme il
est involutif, il est tangent au champ de vecteurs HΦ , donc réunion de courbes
intégrales de HΦ
∂Φ
6= 0, l’équation Φ = 0 peut être résolue (localement) en ξ1
Si en outre ∂x
1
et équivaut (localement) à une équation de la forme
∂t f = F (t, x, ∂x f ).
Alors la condition initiale transverse f = fO pour x1 = t0 dt́ermine complète∂f0
pour j > 1, ξ1
ment Σ (au dessus de t = t0 , Σ0 est défini par (ξj = ∂x
j
donné par l’équation). Σ est la réunion des courbes intégrales passant par Σ0 ;
∂
l’hypothèse implique que celles-ci sont transverses à Σ0 (le coefficient de ∂t
de leur vecteur tangent est 6= 0, donc Σ est une variété et un graphe; enfin
on vérifie simplement (toujours en application du théorème de Schwarz, ou
du fait que le crochet de Poisson est un crochet de Lie) que cette réunion est
Lagrangienne, ce qui implique que Σ est le graphe d’une différentielle df .
Cas général. Dans le cas général, la construction ci-dessus ne s’applique pas
telle quelle. Au lieu de cela, on construit, en utilisant les mêmes méthodes, le
fibré conormal Σ = TY∗ X du graphe Y de f , ensemble des couples (x, y = f (x))
dans X = Rn+1 .
Le fibré conormal d’une sous variété V de X est l’ensemble TV∗ X des covecteurs (au dessus de points de V ) orthogonaux à T V . Ici Y est défini par
l’équation y − f (x) = 0 et TY∗ X est l’ensemble des covecteurs proportionnels à
d(y − f (x)), i.e. de la forme (x, y, ξ, η) avec y = f (x), ξ = −ηf 0 (x).
Lemme 11 Le fibré conormal Σ = TY∗ X est Lagrangien.
77
1ère preuve: sur Σ on a ξ.dx + ηdy = −ηf 0 (x).dx + ηdy = η(d(y − f (x)) = 0.
2ème preuve: Si V est la sous-variété linéaire (modèle) définie par x1 = · · · =
xk = 0, le fibré conormal estP
défini par x1 = · · · = xk = ξk+1 = · · · = ξn = 0,
donc la forme de Liouville
ξj dxj , et aussi sa dérivée, s’annule sur TV∗ X
puisque chaque terme de la somme est produit de deux facteurs dont un est
nul sur Σ.
En général, pour toute sous-variété V il existe (au voisinage de chaque
point) des coordonnées locales dans lesquelles les équations de V sont les
équations modèle ci-dessus: TV∗ X est dons Lagrangien parce que cette propriété ne dépend pas du système de coordonnées choisi.
Si f vérifie l’équation (67), les points du fibré conormal Σ = TY∗ X vérifient
l’équation homogénéisée: Ψ = ηΦ(x, y, − ηξ , η) = 0. C’est donc de nouveau une
∂Φ
∂Ψ
6= 0 (⇔ ∂ξ
6= 0), une donnée
réunion de courbes intégrales de HΨ . Si ∂ξ
1
1
initiale f = f (x2 , . . . , xn ) pour x1 = t0 détermine complètement Σ (d’abord
au-dessus de l’hypersurface x1 = t0 , puis, dans tout un voisinage d’un point
donné, comme réunion de courbes intégrales; finalement le graphe de f , donc
aussi f , sont déterminés.
Remarquons que, comme au no 1, ces constructions et résultats sont locaux,
valables au voisinage d’un point. Le passage du local au global, pour obtenir
des résultats globaux, n’est en général pas évident.
8.2.4
Fin de la preuve
Nous pouvons maintenant terminer la démonstration du théorème de CauchyKowalewsky : dans la construction ci-dessus il est évident que le graphe (ou
fibré conormal) Σ est analytique si les données (Φ, l’hypersurface et la donnée
initiale f0 le sont (les courbes intégrales sont analytiques, et toute la construction se prolonge de façon holomorphe dans un petit domaine complexe).
Par suite la solution formelle du problème de Cauchy admet une série majorante convergente : elle est donc elle même convergente.
8.2.5
78
Appendice
Calcul des variations
Le problème du calcul des variations est le suivant: on se donne une fonction
numérique L(t, x, v) sur R × Rn × Rn (ou R × U 2 , U ouvert de Rn . Le problème
est de trouver les courbes t 7→ x(t) d’extrémit’es données x(a) = x0 , x(b) = x1 ,
qui sont maximisent ou minimisent l’intégrale d’action
Z b
L(t, x(t), x0 (t))dt
L(x) =
a
plus généralement qui sont éxtrémales de cette intégrale, i.e. pour lesquelles
la dérivée de la fonctionnelle x 7→ L(x) est nulle (L(t, x, v) supposée de classe
C 1 ).
Équations d’Euler
Si L est de classe C 2 , une extrémale de classe C 2 , t 7→ x(t) vérifie les
équations d’Euler:
∂L
d ∂L
( )(t, x, x0 ) −
(t, x, x0 ) = 0
dt ∂v
∂x
Preuve: pour touteu(t) de classe C 2 telle que u(a) = u(b) = 0, la dérivée pour
= 0 de l’application 7→ L(x + u) doit être nulle. Vu les hypothèses de
dérivabilité, cette dérivée vaut
Z b
∂L 0
∂L
L =
·u+
·u
∂v
a ∂x
On intègre par parties le deuxième terme; comme u s’annule aux éxtrémités,
le terme ”tout intégré” s’annule et on obtient
Z b
∂L
d ∂L
− ( (y, x, x0 ))] · u
L =
[
dt ∂v
a ∂x
Comme l’ensemble de u de classe C 2 nulles aux extrémités est dense dans
L2 ([a, b)], ceci implique [ ∂L
− dtd L(y, x, x0 )] = 0 CQFD.
∂x
Équations de Hamilton Jacobi
On suppose toujours L de classe C 2 ; on fait le changement de coordonnées
et de fonctions:
∂L
q=x
p=
E = p.v − L
∂v
79
p · v est le produit scalaire entre vecteurs tangents (v) et covecteurs (p). Le
théorème des fonctions implicites dit qu’il s’agit d’un bon changement de co2
ordonnées locales si la matrice hessienne ∂∂vL2 est inversible.
On suppose L indépendant de t. Dans le système de coordonnées (p, q) les
équations des extrémales s’écrivent sous la forme remarquable (”équations de
Hamilton-Jacobi”):
dq
∂E
dp
∂E
=
=−
dt
∂p
dt
∂p
preuve: on joue entre les systèmes de coordonnées locales (x, v) et (q, p). Re= dx
= v. et, en coordonnées (q, p), ∂x
= 0,
marquons qu’on a q = x donc dq
dt
dt
∂p
∂p
∂x
= 0, ∂q = Id . On a alors
∂q
∂E
∂v ∂L ∂v
∂v
∂v
=v+p·
−
·
=v+p·
−p·
=v
∂p
∂p
∂v ∂p
∂p
∂p
∂E
∂v ∂L ∂x ∂L ∂v
∂v ∂L
∂v
∂L
=p·
−
·
−
=p·
−
Id − p ·
=−
∂q
∂q
∂x ∂q
∂v ∂q
∂q
∂x
∂q
∂x
(ci-dessus, les dérivées ou dérivées partielles sont considérées comme applications linéaires, et composées comme telles; on peut aussi tout reécrire coor∂E
(k = 1, . . . , n) mais cela ne
donnée par coordonnée, par exemple dqdtk = ∂p
k
clarifie rien).
Géométrie symplectique
Dans le formalisme Hamiltonien apparaı̂t la géométrie symplectique: la
forme symplectique ”canonique” est
X
σ=
dpj ∧ dqj
Le crochet de Poisson associ est
X ∂f ∂g
∂f ∂g
−
{f, g} =
∂pj ∂qj
∂qj ∂pj
Le champ hamiltonien d’une fonction f est
Hf =
X ∂f ∂
∂f ∂
−
∂pj ∂qj
∂qj ∂pj
({f, g} = Hf (g) )
On a
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0
qui implique
[Hf , Hg ] = H{f,g}
80
Les équations de Hamilton-Jacobi signifient que la dérivée ”absolue” dtd ψ(q(t), p(t))
d’une fonction ψ(q, p) le long d’une courbe extrémale x(t) est le crochet de Poisson {E, ψ}. En particulier si la fonction E ne dépend pas de t, elle est constante
le long des courbes extrémales. En physique, E s’apparente l’énergie totale
du système; dans un système ”fermé” (E formellement indépendant du temps)
l’énergie reste constante. En mécanique, E est souvent appelée hamiltonien
du système (et notée H).
Équation du premier ordre
(sur Rn , plus généralement sur une variété X) Pour construire une fonction
y(x) dérivable, telle que
F (x, y 0 (x)) = 0,
on cherche le graphe Λ de la différentielle dy dans le fibré cotangent T ∗ X: c’est
une variété Lagrangienne, sur laquelle F (x, ξ) = 0, donc tangente au champ
Hamiltonien HF et réunion de courbes intégrales de ce champ de vecteurs.
Ceci permet le plus souvent de résoudre léquation. Par exemple si en un
∂F
6= 0, l’équation a une unique solution (locale) ayant une valeur
point on a ∂ξ
j
initiale donnée sur l’hypersurface xj =constante passant par ce point.
Cas général : équation F (x, y, y 0 ) = 0 (y en fonction de x): soit Y ⊂ X × R
le graphe de y: on construit le fibré conormal Γ de ce graphe - c’est l’ensemble
des covecteurs (x, y, ξ, η) othogonaux à T Y , i.e. (ξ = −ηu0 (x).
De nouveau Γ est Lagrangien, et la fonction Φ(x, y, ξ, η) = F (x, y, ηξ ) s’y
annule, donc Γ est réunion de courbes intégrales de HΦ , ce qui, permet de
résoudre le problème (au moins localement, au voisinage d’un point).
9 APPENDICE
9
81
APPENDICE
9.1
La Fonction Γ
La fonction Γ intervient dans dans un grand nombre de formules mathématiques, en particulier dans le calcul de beaucoup de constantes de la théorie des
EDP. Nous rappelons juste ici les formules les plus usuelles qui servent dans
ce cours. On trouvera une étude élémentaire dans le manuel de ”Méthodes
Mathématiques de la Physique” de L. Schwartz, et des analyses plus complètes
dans un très grand nombre de manuels.
Z ∞
Définition :
Γ(s) = pf
e−t ts−1 dt
0
(intégrale Eulérienne de deuxième espèce).
Équation fonctionnelle :
Γ(s + 1) = s Γ(s)
(se voit en intégrant par parties). La fonction Γ est bien définie pour Re s > 0
(intégrale absolument convergente); elle se prolonge en une fonction méromorphe dans C tout entier, avec des pôles simples aux entiers négatifs (le
k
).
résidu en s = −k est (−1)
k!
Pour s entier positif (et par définition pour les autres valeurs de s) on a
Γ(s + 1) = s!, en particulier Γ(1) = 0! = 1.
L’intégrale Eulerienne de première espèce est
Z 1
Z ∞
up−1
Γ(p)Γ(q)
p−1
q−1
B(p, q) =
t (1 − t) dx =
du
=
(u + 1)p+q
Γ(p + q)
0
0
(la première égalité se voit en faisant le changement de variable t =
deuxième en évaluant l’intégrale double
ZZ
ZZ
−x−y p−1 q−1
e
x y
=
e−r tp−1 (1 − t)q−1 rp+q−1 dr
x,y≥0
u
;
u+1
la
r≥0,0≤t≤1
où la dernière égalité résulte du changement de variable de x = rt, y = r(1−t).)
π
sin πs
Cette formule, comme
autres, est due à Euler. On peut la démontrer en
R ∞ les
s−1 dz
évaluant l’intégrale 0 z z+1 par la méthode des résidus.
Formule des compléments :
Γ(s)Γ(1 − s) =

Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles

Transcription

Documents pareils

Alg`ebre. Mat 2600 Devoir 8. Ne pas remettre. Discuté le 13

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L`ÉQUATION DE LA CHALEUR Le

Chute libre verticale

Université des Sciences et Technologies de Lille Deug MIAS 1`ere

UPMC 1M001 Université Pierre et Marie Curie 2014-2015

Laplacien et ´equation de Laplace

MAT-2110 Exercices 3 H14 1. Résoudre les équations différentielles

Licence 3 de Mathématiques, Université de Nice Sophia

Proposition de mémoire de Master 2`eme année Développements d

SEMAINE 2 - SERIE 2 OPERATEURS DIFFERENTIELS CORRIGES