Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Modèle de Hotelling
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Août 2013
Vol. 7 – Num. 005
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Modèle de Hotelling
Jean–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
« Il n'y a pas de plus tard. Plus tard, c'est maintenant. »
Cormac McCarthy (1933 – )
Résumé
Ce papier présente le modèle de Hotelling qui est un modèle de référence dans l’analyse et le
traitement des problèmes de différentiation spatiale.
Mots – clé : Différentiation, Concurrence spatiale, duopole.
Abstract
This
paper
focuses
on
the
Hotelling
model.
This
model
develops
the
concept
of
spatial
competition, to considering the duopoly market
Introduction
Ce papier s’intéresse au modèle de Hotelling, introduit en 1929 par l’économiste et statisticien américain
Harold Hotelling1. Ce modèle est la principale plateforme où a été développée la notion de concurrence
spatiale en situation de duopole, la théorie de l’organisation industrielle, voire la théorie des jeux.
Négligeant
les
illustrations
géométriques,
une
attention
sera
particulièrement
accordée
à
la
caractérisation de l’équilibre du marché en se servant essentiellement des outils de résolution de
programmes d’optimisation statique.
Trois sections principales ont été distinguées tout au long de cette analyse. La section première présente
les hypothèses du modèle de Hotelling, puis développe sa version exogène. La section deuxième
généralise les résultats obtenus dans la section première, en dérivant notamment la version endogène
du modèle en cause. Et la section troisième examine l’optimum social dans le cadre dudit modèle.
Modèle de Hotelling avec localisation exogène
Hypothèses
H1 : le marché considéré est linéaire, continu et défini sur l’intervalle [0, 1] ;
H2 : les consommateurs son distribués uniformément le long de cet intervalle ;
H3 : le marché ne comprend que deux firmes (Duopole), localisées chacune à une des extrémités ;
H4 : les deux firmes vendent le même bien. La seule différence, c’est leur localisation ;
H5 : la concurrence entre les deux firmes se fait en termes de prix ;
H6 : les consommateurs ont une demande unitaire, ils achètent tout au plus une unité du bien [0, 1].
Notons par :
1
Harold Hotelling (1895 – 1973) fut considéré en son temps comme le chef de file de l’école parétienne (Vilfredo
Pareto). En peu d’articles, Hotelling a su porter de contributions majeures au développement de l’économique : (i) en
1929, il introduit la notion de concurrence spatiale en situation de duopole ; (ii) en 1931, il propose le calcul de
variations en économie, initie l’utilisation du t de Student pour la validation d’hypothèses et pose les fondements de
l’usage des intervalles de confiance ; (iii) en 1933, il est à l’origine des méthodes d’analyse en composantes
principales. Par ailleurs, il eut notamment pour étudiants Kenneth Arrow et Milton Friedman.
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-
: le consommateur ;
-
: la distance parcourue par le consommateur pour acheter une unité de bien
-
: le coût d’une unité du bien ;
-
: le coût de transport (de déplacement) par unité de distance
-
: le surplus brut du consommateur ;
-
: le prix payé par le consommateur pour chaque unité de bien.
au carré ;
Soient deux firmes A et B, il vient que les coûts de déplacement supportés par le consommateur
qu’il décide d’acheter auprès du vendeur A ou du vendeur B sont respectivement de
et
selon
avec
comme utilité consécutive :
et
Dans la version basique de ce modèle, nous supposons que la localisation des vendeurs est une donnée.
Dans la section qui suit, la localisation sera dérivée de façon endogène.
Fonctions de demande
Notons par
conséquent,
le consommateur qui est indifférent entre acheter auprès de A ou auprès de B. Par
traduit la demande telle que :
Dès lors :
Pour
on a :
Si
le consommateur est indifférent entre acheter auprès de A ou auprès de B. Si l’expression
augmentait, le consommateur médian serait davantage incité d’acheter auprès de la firme A.
Ainsi, la demande de la firme A va augmenter et celle de la firme B va diminuer.
In fine, les fonctions de demandes pour les firmes A et B sont données par :
et
avec :
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Fonction de réaction
Considérons le problème suivant de maximisation de la firme A :
En exécutant les conditions du premier ordre d’optimisation, on obtient ainsi la fonction de réaction de la
firme A :
Le problème considéré étant symétrique, il vient :
En cas de nullité de coût de déplacement (absence de différentiation), la solution est de Bertrand :
et donc :
Connaissant le prix à l’équilibre, il est donc possible de caractériser l’équilibre du marché :
Modèle de Hotelling avec localisation endogène
Considérons un jeu à deux périodes, où les firmes à la date 1 choisissent la localisation et à la période 2
soumettent leur localisation en concurrence, étant donné un niveau de prix. La résolution de ce problème
sera faite en considérant comme point de départ la deuxième période (game backwards).
A la deuxième période :
-
la localisation de la firme A est notée par
-
celle de la firme B par
;
telles que pour :
la différentiation est maximale et pour
la différentiation est minimale (substitution
parfaite).
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Fonctions de demande
Soit
la demande telle que :
Il suit que :
Après un calcul mathématique simple, on obtient :
-
Pour la firme A :
-
Pour la firme B :
où
et
représentent les consommateurs captivés par les firmes A et B respectivement ;
consommateur comprise entre
et
et
la masse de
la sensibilité de la demande à la différentiation des
prix.
Fonctions de réaction
Considérons les problèmes suivants de maximisation des firmes A et B :
et
En exécutant les conditions du premier ordre d’optimisation, on obtient ainsi la fonction de réaction de la
firme A :
et donc :
En parallèle, pour la firme B, les conditions du premier ordre d’optimisation donnent :
et en vertu de
on aboutit à :
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In fine, par substitution, on a :
Au regard des fonctions dérivées :
Intéressons – nous à présent au choix simultané de la localisation des firmes A et B à la première
période. Considérons, à cet effet, les fonctions de profit de A et B, définies en fonction de la localisation.
On a ainsi :
et
Les programmes de maximisation respectivement pour la firme A et pour la firme B sont :
En appliquant les conditions du premier ordre, on obtient :
-
Pour le problème de la firme A :
-
Pour le problème de la firme B :
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Optimum social
En référence aux modèles développés précédemment, l’optimum social correspond à la solution qui
minimise les coûts ou par dualité, celle qui maximisent l’utilité.
Développons à cet effet le problème du Planificateur social.
Soit le surplus du consommateur
-
:
si le consommateur en cause achetait auprès de la firme A ;
s’il achetait auprès de la firme B.
Soit, pour chaque consommateur, le profit donné par :
-
pour la firme A ;
-
pour la firme B.
Il découle que le surplus total associé au consommateur
-
si le consommateur
est :
achetait auprès de la firme A ;
s’il achetait auprès de la firme B.
Pour dériver l’optimum social, considérons l’hypothèse du consommateur indifférent, noté
Il suit que :
Après une manipulation mathématique simple, on parvient à l’expression que voici :
correspondant à la position médiane entre
et
Le programme du planificateur social consiste donc à maximiser le surplus total, tel que les coûts de
déplacement sont minimisés. Ainsi, on :
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En exécutant les conditions du premier ordre d’optimisation, on parvient au système suivant :
Après résolution, on obtient l’égalité :
Et par substitution, on aboutit à la solution suivante :
Au regard de ces résultats, rappelons que le modèle développé a supposé que : (i) le marché est
duopolistique ; (ii) les consommateurs sont uniformément répartis le long de la droite (hypothèse de
marché linéaire) ; (iii) chaque consommateur se dirige toujours vers la firme la plus proche ; (iv) les
firmes vendent le même bien, et le seul élément de différentiation est leur emplacement sur la droite,
car cela implique des coûts différents pour les consommateurs, selon leur position respective sur l’axe de
droite. Ainsi, en moyenne, implanter la firme au milieu de l'axe permet de minimiser les déplacements
des consommateurs (loi de Hotelling).
D’après les prédictions de la loi de Hotelling, si deux firmes sont en concurrence pour œuvrer dans un
même marché linéaire, alors elles seront incitées à converger généralement vers le milieu de l'axe. De ce
fait, l'une attirera les consommateurs situés sur la partie droite de l’axe, et l'autre ceux localisés sur la
partie gauche.
Toutefois, comme le révèlent les derniers résultats extraits du programme du Planificateur, du point de
vue social, il serait plus avantageux que les deux firmes ne soient pas localisées côte à côte, mais plutôt
en décalage chacun d'un quart de la longueur disponible vers chaque extrémité de l'axe. Ainsi, chacune
des firmes attirerait toujours une moitié du marché (la moitié droite pour la firme implantée au milieu du
côté droit, la moitié gauche pour celle localisée au milieu du côté gauche). Aussi, les consommateurs
auraient en moyenne, moins de distance à parcourir pour acheter le bien désiré. Malgré cela, aucune des
deux firmes mettra en œuvre cette solution de planification, car par rationalité, la firme concurrente va
converger au milieu de l’axe afin de s'emparer de plus de la moitié du marché.
Somme toute, il transparait que le résultat fourni par ce modèle permet de mettre en évidence le
principe de différentiation spatiale. Le cadre d’analyse et les hypothèses retenus étant restreints
(notamment duopole, marché linéaire), les résultats demeurent naturellement perfectibles. Ainsi, dans
une publication ultérieure, il peut paraître intéressant d’étendre ce modèle, en considérant par exemple,
un marché circulaire (Modèle de Salop) ou une fonction de coût quadratique.
Bibliographie

HOTELLING Harold, 1929, “Stability in Competition”, The Economic Journal, vol. XXXIX, 41 – 57.
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