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LISTA DE EXERCÍCIOS DE EDP - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
1. Utilize o método da separação de variáveis para encontrar a solução da equação de Laplace em domínios retangulares, assumindo que f1 ≡ f3 ≡ f4 ≡ 0.
2. Encontre a solução para a equação de Laplace em domínios retangulares com f1 ≡ f2 ≡
f4 ≡ 0, e com
€ Š
(a) f3 (x) = sin πx
;
a
€ πx Š
€ Š
;
(b) f3 (x) = sin a + sin 7πx
a
(c) f3 (x) = 1.
3. Demonstre o Lema 8.1.8.
4. Para discos, usando o Lema 8.1.8, mostre que
Z 2π
1
an =
h(φ) cos(nφ)dφ, para n ¾ 0,
πρ n 0
e
Z 2π
1
bn =
h(φ) sin(nφ)dφ, para n ¾ 1.
πρ n 0
5. Encontre a solução do problema de Laplace onde Ω é o exterior de um disco centrado na
origem; isto é, Ω = {(x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 > ρ 2 }.
6. Na Seção 8.2 das Notas de Aula, resolva os Exercícios 8.2.1, 8.2.2, 8.2.3 e 8.2.4.
7. Qual é a condição que f deve satisfazer para que o problema

 ∆u = f em Ω
 ∂ u = 0 em ∂ Ω
∂n
tenha uma solução? Ainda, se f ≡ 1, o problema tem solução?
8. Considere o seguinte resultado
Teorema 1. Se w é solução de

 ∆w = 0 em Ω
 ∂ w = 0 em ∂ Ω
∂n
então w é constante.
Use o Teorema 1 para mostrar que se u, v são soluções de

 ∆u = f em Ω
 ∂ u = h em ∂ Ω
∂n
então u e v diferem por uma constante.
9. Faça o Exercício 8.3.4 das Notas de Aula.
10. Demonstre o Lema 8.3.6.
11. Faça o Exercício 8.3.8.
12. Considere o seguinte resultado
Teorema 2. Se w é solução de
(
∆w = 0 em Ω
w = 0 em ∂ Ω
então w = 0.
Use o Teorema 2 para mostrar que a função de Green é única.
13. Para o caso de função de Green no semi-espaço, mostre que
u(x0 ) → 0, quando kx0 k → ∞,
assumindo que h seja uma função contínua que se anula fora de um disco.
14. Ainda para o caso de função de Green no semi-espaço, mostre que
u(x 0 , y0 , z0 ) → h(x 0 , y0 ) quando z0 → 0,
assumindo que h é contínua e limitada.Dica: Faça a mudança de variáveis s2 =
e use o fato de que
R∞
0
3
s(s2 + 1)− 2 ds = 1.
(x−x 0 )2 +( y− y0 )2
z02