Exercices supplémentaires : Suites

Transcription

Exercices supplémentaires : Suites
Partie A : manipulation de suites
Exercice 1
On considère la suite définie par 0, 1 et pour tout 1, 7 8 .
On considère la suite définie par pour tout entier naturel .
Montrer que est géométrique et en déduire l’expression de en fonction de pour .
Exercice 2
On considère la suite définie par 1) Montrer que est majorée par 3.
2) En déduire qu’elle est bornée.
pour .
Exercice 3
On considère la suite définie par 2, 3 et pour tout 1, 3 2 .
1) On pose pour tout entier naturel non nul . Quelle est la nature de ?
2) En déduire l’expression de en fonction de pour .
3) Montrer par récurrence que pour .
2
.#
2 1 pour 1) Déterminer le réel $ pour que la suite définie par $ pour soit géométrique.
2) Exprimer alors puis en fonction de pour 3) Calculer les sommes puis .
Exercice 4
On considère la suite définie par Exercice 5
On considère la suite définie par 2 et % 1 pour tout entier naturel .
1) On considère la suite définie par 4 pour . Démontrer que est géométrique.
2) En déduire l’expression de puis en fonction de pour .
3) Déterminer la limite de .
Exercice 6
La suite est définie par 12 et 3 pour tout entier naturel .
1) Démontrer qu’il existe un réel $ tel que la suite définie sur par $ soit géométrique.
2) Exprimer en fonction de pour .
3) On considère la suite définie sur par . Déterminer l’expression de en
fonction de pour puis la limite de .
Exercice 7
Soit la suite définie par 2 et pour tout entier naturel , 2
5.
On pose, pour tout entier naturel , .
1) Calculer de deux manières différentes pour 2) En déduire l’expression de en fonction de pour .
Exercice 8
Soit la suite définie par 1 et pour tout entier naturel , 2 1.
On considère la suite définie pour , par .
1) Calculer de deux façons différentes pour .
Partie B : Limites
Exercice 1
On considère la suite définie par 1 et (1 pour .
1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , est égal à √1 .
2) Etudier la convergence de .
3) On pose *+,*+
et . *+ *+,*+,/
Etudier la convergence de et . .
pour .
Exercice 2
En factorisant le numérateur par 2 et le dénominateur par 3 , étudier la convergence de la suite définie par
2 1
1
3
Exercice 3
On considère la suite définie par 0,5 et 2 1 pour .
1) On pose 1 pour . Montrer que est géométrique.
2) Exprimer puis en fonction de pour .
3) Etudier la convergence de et de .
Exercice 4
On considère la suite définie par 1)
2)
3)
4)
1
#
2
3
Etudier la monotonie de .
Démontrer que pour tout entier naturel , 1 .
Quelle est la limite de la suite ?
Conjecturer l’expression de en fonction de pour puis démontrer la propriété conjecturée.
Exercice 5
On considère les suites et définies par 0 ; 2 et *+ et
%
3+ pour %
.
1) On considère la suite 4 définie par 4 pour . Montrer par récurrence que 4 est
constante.
2) On considère la suite 5 définie par 5 pour . Montrer que 5 est géométrique. En
déduire l’expression de 5 en fonction de pour .
3) En utilisant les questions précédentes, déterminer l’expression de et de en fonction de pour .
4) Montrer que et convergent et déterminer leurs limites.
Exercice 6
On considère la suite définie par ln3 1 pour .
1) Démontrer que est géométrique.
2) Donner le sens de variations de et sa limite.
Partie C : Convergence monotone
Exercice 1
On considère la suite définie pour tout entier naturel par 1 et ln2 1.
1) Montrer que pour tout entier naturel , 1 8 8 2.
2) Etudier le sens de variation de .
3) Montrer que la suite est convergente.
1
#
3 4
1) Calculer , , , … , : . De quelle valeur ; semblent se rapprocher les termes de la suite ?
2) En étudiant la suite définie par ;, démontrer que converge vers ;.
Exercice 2
On considère la suite définie par Exercice 3
Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
On considère la suite définie par <1; ∞> et (3 2 pour .
1) est minorée par 1.
2) est monotone.
3) Si <1; 2> , alors converge vers 1.
4) Si <1; 2> , alors converge vers 2.
5) Si <2; ∞> , alors converge vers 2.
Exercice 4
On considère la suite définie par et pour .
1) Etudier les variations de la suite .
2) Montrer par récurrence que >0; 1< pour tout entier naturel .
3) Montrer que converge et déterminer sa limite.
Exercice 5
La suite est définie par ?
2
3
1) Montrer que est majorée par 6.
#
2) Montrer que cette suite est croissante. Que peut-on dire de la suite ?
3) Montrer que la suite définie par 6 est géométrique. En déduire la limite de .
Exercice 6
On considère la fonction A: C D C . On définit la suite par 0,7 et A pour .
1) Démontrer que <0; 1> pour tout .
2) Démontrer que est décroissante.
3) En déduire que converge et déterminer sa limite.
Exercice 7
Soit E la fonction définie sur F par EC 1 C C.
On définit la suite $ en posant $ E$ pour tout et $ 0,4.
1) Démontrer que pour tout entier naturel , 0 G $ G 1.
2) Démontrer que $ est croissante.
3) La suite $ converge-t-elle ? Si oui, déterminer sa limite.
Exercice 8
On considère la suite définie par 1 et *+ / pour .
1) Montrer que cette suite est strictement positive.
2) Déterminer son sens de variations.
*/
+
3) En déduire que cette suite est bornée.
4) En conclure que converge et déterminer sa limite.
Exercice 9
On considère la suite définie par *
H*+
+ %
pour et 1.
1) Prouver que si cette suite a une limite finie, alors cette limite est 0 ou 3.
2) On considère la suite définie par *+ *+
pour . Démontrer que est géométrique.
3) Déterminer l’expression de en fonction de pour . En déduire la limite de .
Partie D : Suites adjacentes
Exercice 1
Dans chaque cas suivant, étudier si les suites et sont adjacentes. Dans l’affirmative, déterminer leur limite
commune.
1) et /
2) 1 et 1 sin K L
3) 3 et 3 M
Exercice 2
On considère les deux suites C et N définies par ?
C 1
C O+ P+ #
H
et ?
N 2
N O+ P+ #
H
pour 1) On considère la suite . définie par . N C pour . Démontrer que . est géométrique,
convergente et déterminer sa limite.
2) Etudier le sens de variations des suites C et N .
3) Montrer que les suites C et N convergent vers la même limite que nous noterons ;.
4) Calculer C N pour tout . En déduire la valeur de ;.
Exercice 3
On considère les suites et définies par 1 / / / et pour .
Montrer que ces suites sont adjacentes.
Exercice 4
On considère les suites et définies par 2, 1 et *+ 3+
Exercice 5
*+ 3+
1) Montrer que G puis que G
2) Montrer que et sont adjacentes.
*+ 3+
pour On considère les suites et définies par 1, 2 et et ( Q pour et *+,- 3+
pour 1) Démontrer qu’il existe un réel R tel que pour tout entier naturel , on ait R .
2) Prouver par récurrence que pour tout , G .
3) Montrer que et sont convergentes.
4) On considère la suite . définie par . pour et la suite 4 définie par
4 pour . Déterminer l’expression de . en fonction de puis celle de 4 en fonction de
.
5) Exprimer 4 en fonction de et de pour . En déduire l’expression de en fonction de pour
6) Quelle est la limite de ?
Correction exercices supplémentaires : Suites
Partie A : manipulation de suites
Exercice 1
Pour 7 8 8 8
Donc la suite est géométrique de raison 8 et de premier terme 1.
On a donc 8 pour tout Exercice 2
1) Pour , 8 3 S
8 3 S 3
1 8 3
3 car 1 1 0
S 1 8 3 ce qui est toujours vrai. Donc est bien majorée par 3.
2) Pour , 3
donc 3
1 1 1 0
On peut diviser par 1 1 0 et on obtient : 1. Ceci montrer que est minorée par 1 donc bornée.
Exercice 3
1) Pour :
3 2 3 3 3
Donc est géométrique de raison 3 et de premier terme 1.
2) On a donc pour tout , 3 .
3) Par récurrence, nous allons montrer que la propriété T U est vraie
pour .
Initialisation : on veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire que or ceci est évident par définition.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif , T est vraie, c’est-à-dire
. On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire
.
Or Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif ,
4) On a donc pour : Q
+V
2 >1 %
3 < 2
Exercice 4
1) est géométrique s’il existe un réel R tel que R pour tout .
R S $ R $ S 2 1 $ R R$
R2 #
R 2#
Par identification, on peut donc choisir W
SW
1 $ R$
$1
On trouve donc que 1 pour et que est alors géométrique de raison 2.
2) Pour , Q 2 3 Q 2
De plus, 1 donc 3 Q 2 1
3) Q
-
31 2 31 2048 6141
1 1 1 11 6141 11 6130
Exercice 5
1) Pour ,
3
3
3
3
4 1 4 4 3 3 3 4
4
4
4
Donc est géométrique de raison % et de premier terme 4 6.
2) Pour , Q K%L 6 K%L et 4 6 K%L 4
3) est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 1 et 1 donc elle converge
vers 0. Comme 4 pour , converge donc vers 4.
Exercice 6
1) est géométrique s’il existe un réel R tel que R pour tout .
1
R S $ R $ S 3 $ R R$
2
R
# S ? R # donc 6 pour et est géométrique de raison .
Par identification, ?
3 $ R$
$6
2) On a donc Q K L avec 6 18 donc X
+
pour et donc X
+
3) Pour :
6 6 6 6
1
1 1 K2L
1 Q
6
1 36 Y1 Z [ \ 6
1
1
2
12
1 1
lim Z [
0 car 1 G G 1 ; lim 6
1 ∞ donc par opération lim ∞
^_ 2
^_
^_
2
6
Exercice 7
1) Pour :
Par ailleurs, pour , 2
5 donc est une suite arithmétique de raison 2 et de
premier terme 5. Donc 3e 3+
Q 1 HH
Q
1 5 1
2) On a donc 5 1 pour tout ou encore >5 1<>
1 1<
2 6 Exercice 8
1) Pour , Par ailleurs, 2 1 donc
Donc 2 1 2 1 2 1 2 1 +,
1 2 1 1 2 2) On a donc 2 pour d’où 2 1 2 Partie B : Limites
Exercice 1
1) Par récurrence sur , on a va montrer que la propriété T U √1 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie c’est-à-dire que √1 0 or 1 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire √1 .
On veut montrer que T est vraie , c’est-à-dire √
2.
Or (1 (1 1 √
2 donc c’est vrai.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , √1 2)
lim 1 ∞ ; lim √C ∞ donc par composition
^_
O^_
Donc diverge vers ∞.
lim ∞
^_
3) Pour : *+,*+
√
√
f
2
lim 1 et lim √C 1 donc par composition lim 1
^_ 1
^_ O^
^_
√
1 √
2 h√
1 √
2ih√
1 √
2i
1 2
. √
3
√
3h√
1 √
2i
(
3h√
1 √
2i
1
(
3h√
1 √
2i
1
lim √
3 ∞ ; lim √
1 √
2 ∞ donc lim 0
^_
^_
^_ (
3h√
1 √
2i
lim
Exercice 2
Pour ,
1
1
2 K1 L
2 1
2 1 2
2
Z [ Q
1
3
1 3 K3 1 L
3
3 3
3
1
1 2 1
1
1
2 2
lim 0 ; lim 0donc lim
; lim Z [ 0 car 1 G G 1 donc
1
^_ 2
^_ 3
^_
^_ 3
3
3 3 3
lim 0
^_
Exercice 3
1) Pour :
1 2 1 1 2 1 2
Donc est géométrique de raison 2 et de premier terme 0,5.
2) Pour , Q 2 Q 2 De plus, comme 1, on a 1 Q 2
3) Comme 2 1 1, la suite géométrique de raison 2 diverge.
lim 2 ∞ donc
^_
De même
lim ∞
^_
lim ∞
^_
Exercice 4
1) Pour , 2
3 1 0 donc est croissante.
2) Par récurrence sur , on a va montrer que T U 1 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire que 1 0 or 1 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 1 .
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 1 1 .
Or 1 2
3 2
1 2
est positif par hypothèse donc 1 est positif et 1 1 .
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 1 3)
lim ∞ donc par comparaison
^_
lim ∞
^_
4) 1 ; 1 0 3 4 ; 4 2 3 9 ; 9 4 3 16…
Il semble que 1 pour tout entier . Nous allons démontrer par récurrence que m : 1
est vraie.
Initialisation : on veut montrer que m est vraie, c’est-à-dire que 1 or 1 donc c’est vraie.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , m est vraie, c’est-à-dire 1 .
On veut montrer que m est vraie, c’est-à-dire 2 .
Or 2
3 1 2
3 2
1 2
3 4
4 2
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 1
Exercice 5
1) Nous allons montrer par récurrence que T U 4 2 est vraie pour tout Initialisation : on veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire que 4 2 or 4 0 2 2.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 4 2.
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 4 2.
Or 4 *+ 3 +
%
%
Q 2 2.
%
%
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 4 2
2) Pour 3 1 3 1 3 1 1 3
5
4
4
4
4
Donc 5 est une suite géométrique de raison et de premier terme 5 2.
%
5 %
%
On a alors, pour tout , 5 5 Q K L 2 K L
2
2 2 2 K%L
1 K%L
#S o
#
3) Pour : n
# S o
2 K%L
2 2 2 K%L
1 K%L
4) Comme 1 G % G 1, on a
3 lim Z [ 0 donc
^_ 4
lim 1 et lim 1
^_
^_
Exercice 6
q +Vq + Qq Vq K
L Qq
+
+
q
Donc est une suite géométrique de raison et de premier terme q.
q
2) est positif, tout comme la raison de . De plus G 1 donc la suite
p 1) Pour : 3 p donc lim K L 0 donc
3
lim 0
^_
^_
Partie C : Convergence monotone
Exercice 1
est strictement décroissante.
1) On considère la fonction E: C D ln2C 1 définie sur r ; ∞s.
E est dérivable sur r ; ∞s car elle est construite à partir de fonctions qui le sont. E est de la forme ln
E t C *u O
*O
O 1 0 donc la fonction E est strictement croissante sur r ; ∞s.
Par récurrence sur , nous allons montrer que T U 1 8 8 2 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire que 1 8 8 2 or 1 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel ,T est vraie, c’est-à-dire 1 8 8 2.
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 1 8 8 2.
Or 1 8 8 2 et comme E est croissante sur >1; 2<, on a E1 8 E 8 E2.
D’où ln3 8 8 ln5. De plus, ln3 1 1 et ln5 G 2 donc 1 8 8 2.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 1 8 8 2
2) ln3 1 1 donc 1 . On va montrer par récurrence que m : 1 pour .
Initialisation : on veut montrer que m est vraie, c’est-à-dire que 1 or on vient de le voir.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , m est vraie, c’est-à-dire 1 .
On veut montrer que m est vraie, c’est-à-dire 1 .
Or 2 1 1 et E est croissante sur >1; 2< donc E 1 E d’où 1 .
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 1 donc est croissante.
3) est une suite croissante majorée par 2 donc elle est convergente.
Exercice 2
1) H
; v
w
; H
v
; % :
X
; H %XH
%
; : %Hv
vw
Il semble que converge vers 2.
2) On considère la suite définie par 2 pour .
4
1
4 6 1
2 2 1
2 2 2 3
3
3 3 3
3 3 3
Donc la suite est géométrique de raison et de premier terme 2 1.
Pour , on a donc K L .
Comme 1 G G 1, converge vers 0.
Ceci montre que converge bien vers 2.
Exercice 3
1) On considère la fonction E: C D √3C 2 définie sur >1; ∞>. E est de la forme √ avec strictement
positive sur <1; ∞> donc E est dérivable sur <1; ∞> et E t C √O
10
Ceci montre que E est strictement croissante sur <1; ∞> .
Par récurrence sur , on peut montrer que T : 1 est vraie pour .
Initialisation : on veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire que 1 or c’est vrai par définition de .
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 1.
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 1.
Or 1 et la fonction E est croissante sur <1; ∞> donc E E1 d’où 1.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 1 donc l’affirmation est xyz{|
2) 1er cas : alors on peut montrer par récurrence que en utilisant la croissance de E et dans
ce cas, est croissante.
2ème cas : 8 alors on peut montrer par récurrence que 8 en utilisant la croissance de E et dans ce cas
est décroissante.
Dans tous les cas, est monotone donc l’affirmation est xyz{|
3) (3 2 *e *e/
(*e *e
*e *e (*e *e
Comme <1; 2> , 1 1 0 et 2 G 0 donc 1 0.
D’après la question précédente, on aura donc croissante. De plus elle est majorée par 2 donc elle converge.
E est continue car dérivable donc les seules limites possibles sont les solutions de EC C dans >1; 2<
EC C S √3C 2 C S 3C 2 C S C 3C 2 0 S C 1 ou C 2 car C 1 0.
La seule limite qui convient ici est donc 2 et converge vers 2. L’affirmation est donc }z~| .
4) D’après la question précédente, l’affirmation est xyz{|
5) *e *e (*e *e
et comme 2, on a donc 1 2 0 et 8 .
D’après la question 3, cela indique que la suite est décroissante. De plus, elle est minorée par 1 donc elle
converge. Les limites possibles sont 1 et 2. Mais on peut aussi montrer par récurrence que 2pour en
utilisant la croissance de E. La seule limite qui convient est donc 2. Donc l’affirmation est xyz{|
Exercice 4
1) Pour , 8 0 donc est décroissante.
2) On va montrer par récurrence que T U 0 8 8 1 est vraie pour .
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que 0 8 8 1 or donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 0 8 8 1
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 0 8 8 1.
1 or 0 et 1 0 donc 0.
Par ailleurs, 1 1 ; on peut donc étudier le polynôme E: C D– C C 1
Δ 3 donc E est du signe de $ 1 donc négatif. Ce qui montre que 8 1.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 0 8 8 1.
3) est donc une suite décroissante minorée par 0 donc elle converge.
On note ; sa limite. Comme A avec A: C D C C qui est continue sur >0; 1<, ; est solution de
A; ; : A; ; S ; ; ; S ; 0 S ; 0
Donc converge vers 0.
Exercice 5
1) Par récurrence sur , on va montrer que T : 8 6 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que 8 6 or 2 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 8 6
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 8 6.
Or 8 6 S 8 3 S 3 8 6 S 8 6
2) Pour , 3 3 or 8 6 S 3 S 3 0
Donc 0 et est croissante. est donc une suite croissante et majorée par 6 donc elle converge.
3) Pour : 6 3 6 6 3 3 3 Donc est géométrique de raison et de premier terme 6 8.
Comme 1 G G 1, la suite converge vers 0 ce qui montre que converge vers 6.
Exercice 6
1) Par récurrence sur , on va montrer que T U 0 G G 1 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que 0 G G 1 or 0,7 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 0 G G 1.
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 0 G G 1.
Or 0 G G 1 et la fonction A est strictement croissante sur >0; 1< donc A0 G A G A1 d’où 0 G G 1.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , <0; 1>
2) Par récurrence sur , on va montrer que m : G Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que G or 0,7 0,49 et 0,7 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire G On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire G .
Or G et la fonction A est croissante sur >0; 1< donc A G A d’où G .
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , G donc est décroissante.
3) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge. On note ; sa limite. Alors, comme A est continue
>0;
sur
1<, on a A; ; ou encore ; ; 0 ce qui donne ; 0 ou ; 1.
Comme est décroissante, la limite ne peut pas être 1 donc ; 0.
Exercice 7
1) L’étude de la fonction E ne peut pas être utile car E n’est pas monotone sur >0; 1<.
Nous allons tout de même montrer par récurrence sur que T : 0 G $ G 1 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que 0 G $ G 1 or $ 0,4 donc c’est vrai.
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 0 G $ G 1
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 0 G $ G 1.
Or $ 1 $ $ :
0 G $ G 1 S 0 G 1 $ G 1 S 0 G 1 $ G 1 car la fonction cube est croissante sur F
En ajoutant terme à terme, on a : 0 G 1 $ $
Par ailleurs $ 1 1 $ $ 1 1 $ 1 $ 1 $ >1 $ 1<
1 $ 1 $ 11 $ 1 $ 1 $ 2 $ avec $ 1 0 ; 1 $ 1 0 et 2 $ 1 0 donc
$ 1 G 0 et on a bien 0 G $ G 1
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 0 G $ G 1
2) Pour : $ $ 1 $ or 1 $ 1 0 donc 1 $ 1 0 et $ est croissante.
3) La suite $ est croissante et majorée par 1 donc elle converge. On note ; sa limite. Comme E est continue
sur F car dérivable, on a E; ;.
E; ; S 1 ; ; ; S 1 ; 0 S ; 1
Exercice 8
1) Par récurrence sur , on montre que T : 1 0 est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que 1 0 or 1
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire 1 0
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire 1 0
Or 1 0 donc 1 0 et 1 1 0 d’où 1 0.
*/
*
2) Pour : *+ / s*+ / 1r +
+
/ * i
*+ h*+
+
/
*+
est positif, tout comme le dénominateur. Donc est du signe de – 1. On considère le
polynôme – C C 1 : Δ 3 donc ce polynôme est du signe de $ 1. Donc – 1 est négatif tout
comme donc est décroissante.
3) Comme est décroissante, elle est majorée par 1 et comme elle est minorée par 0, elle est bornée.
4) est une suite décroissante minorée par 0 donc elle converge. On note ; sa limite. Comme la fonction
O/
E: C D O/ est continue sur F, ; est solution de l’équation EC C.
C
C S C C1 C S C C C S C C C 0 S CC C 1 0
1 C
S C 0 ou C C 1 0 La seconde équation n’a pas de solution donc ; 0
EC C S
Exercice 9
HO
1) On suppose que a une limite finie et on note ; cette limite. Comme E: C D O% est continue sur
%
F W, ; est solution de l’équation EC C.
5C
C S 5C 3C 4C S 3C 9C 0 S 3CC 3 0 S C 0 ou C 3
3C 4
La limite de , si elle existe, est donc 0 ou 3.
2) Pour :
5
3 3 4 3 5 33 4 3 4 4 12
4 3
4
Q
5
3 4
5
5
5
5
3 4
EC C S
%
H*e
e %
Donc est géométrique de raison – H et de premier terme *
% % 3) On a donc pour , K HL 5 Q K HL .
Or *+ *+
3
S Q 3 S 1 3 S 3
4 1 5 K L
5
+ 5
3 d’où
+
4
4 Comme 1 G G 1, lim Z [ 0 et donc
^_
5
5
lim 3
^_
Partie D : Suites adjacentes
Exercice 1
1) Pour 1 0 donc est croissante.
%
% % G 0 donc est décroissante.
%
1
1
1
1
et lim lim
0
^_
^_ 3
3 1
1
donc les suites et sont adjacentes. Leur limite commune est 0.
2) Pour 1 1 1 0 donc est croissante.
1
1
1
1
1 sin Z
[ 1 sin Z [ sin Z
[ sin Z [
1
1

Or 0 G
G G et la fonction sinus est croissante sur s0; r donc sin KL G sin KL d’où décroissante
1
1
1
1
1 sin Z [ 1 sin Z [ 1
lim 0 et lim sin C sin0 0 donc par composition et somme lim 0
^_ ^
^_
Donc les suites et sont adjacentes. Par calcul de limite simple, elles convergent vers 1.
3) Pour / /
/ / 1 0 donc est croissante.
/ /
M M
/ 3 M 1 M M M M M G 0 donc est décroissante.
3 M 3 / M / et un calcul de limite simple montre que converge
3 / 3 / sont adjacentes. Leur limite commune est 3 et s’obtient par calcul de limite simple.
vers 0 donc et
Exercice 2
1) Pour :
3C 2N 2C 3N C N 1
.
5
5
5
5
Donc . est géométrique de raison H et de premier terme . N C 1.
. N C Comme sa raison est strictement comprise entre -1 et 1, . converge vers 0.
2) Pour 2C 3N
2C 3N 5C 3N C 3
C C C .
5
5
5
5
Or . est géométrique de premier terme positif et de raison positive donc . est positif. Ce qui montre que . est croissante.
N N O+ P+
H
N O+ P+ H
H . G 0 donc N est décroissante.
Par ailleurs, la limite de N C est nulle donc C et N sont adjacentes. Elles convergents donc et ont la
même limite.
3) Pour 2C 3N 3C 2N 5C 5N
C N C N 3
C N 5
5
5
On a donc C N 3 pour tout . Par passage à la limite, on a donc 2; 3 d’où ; Exercice 3
Pour / 1 0 donc est croissante.
/ /
/
1
donc lim 0
^_
Ceci montre que et sont adjacentes.
/
G 0 donc est décroissante.
Exercice 4
1) Par récurrence sur , on montre que T U G est vraie.
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que G or 1 et 2
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire G On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire G .
Or G S ( Q G
*+ 3+
*+ 3+ L
S Q G K
car la fonction carrée est croissante sur >0; ∞>
S 4 G 2 S 0 G or ceci est vrai car G .
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , G Par ailleurs, pour 2 2 2( ( 2
2
2
( h( ( i 1 0 car G donc ( G (
2) Pour *+ 3+
3+ *+
G 0 donc est décroissante.
( ( h( ( i 1 0 car 1 donc ( 1 ( donc est croissante.
On considère la suite C définie par C . Alors C 8 C .
Par récurrence, on montre que la propriété T : C 8 KL est vraie pour .
Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que C 8 1 or C 1
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire C 8 KL
On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire C 8 KL
Or C 8 C 8 Q KL
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , C 8 K L
Or comme 1 G G 1, la limite de KL est égale à 0 donc C converge aussi vers 0 (ses termes sont positifs).
Ceci montre que et sont adjacentes.
Exercice 5
1) Pour R S
2R 2
2
2
1
1
S
2R S 2R S R 2
2
4
2) Par récurrence sur , on va montrer que T : G Initialisation : on veut montrer que T est vraie au rang 0, c’est-à-dire que G or 1 et 2
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , T est vraie, c’est-à-dire G On veut montrer que T est vraie, c’est-à-dire G R S
1 0 car 1 . Donc 1 %
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , G 3) Pour *+ 3+
3 *
+ + 1 0 donc est croissante.
*+,- 3+
* 3
* 3
Q + + + + G 0 donc
%
est décroissante.
De plus, la suite . définie par . est géométrique de raison % donc elle converge vers 0.
Les suites et sont donc adjacentes et donc sont convergentes.
4) D’après la première question . est géométrique de raison % et de premier terme . 1 donc pour
%
, . K L
4 est la somme des premiers termes d’une suite géométrique :
1 1K L
4
1 4
Y1 Z [ \
4 . Q
1
3
4
1 K4L
5) Par ailleurs, pour 1
. 2
2
2
1 1
4 . . . . 1
1
2
2
2
2
2
2
X
D’où 24 1 1 K%L
6) Comme 1 G % G 1,
1 lim Z [
0 donc
^_ 4
1 lim ^_
5
3
H
X K%L