BREVET BLANC MATHEMATIQUES

BREVET BLANC
MATHEMATIQUES
Avril 2014
---------Durée de l’épreuve : 2 heures
---------Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.
Le sujet est à rendre avec la copie
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.
Veillez à la qualité de la rédaction, encadrez vos résultats.
4 points seront accordés à la présentation et à la rédaction.
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Exercice 1 :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées ; une seule est exacte.
Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n’enlève pas de point.
On indiquera sur la copie le numéro de chacune des cinq questions et on recopiera la réponse exacte.
Enoncé
Réponse A
1
est égal à :
2
est égal à :
L’opposé de
3
4
Réponse B
Réponse C
est :
Le nombre qui est solution de l’équation
est :
Exercice 2:
Jean-Michel est propriétaire d’un champ, représenté par le triangle
Il achète à son voisin le champ adjacent, représenté par le triangle
On obtient ainsi un nouveau champ formé par le quadrilatère
Jean Michel sait que le périmètre de son champ
Son voisin l’informe que le périmètre du champ
De plus, il sait que
1.
est de
est de
ci-contre.
.
mètres et que
mètres et que
a. Justifier que les longueurs
et
sont respectivement égales à
b. Calculer le périmètre du champ
2. Démontrer que le triangle
est rectangle en
On admet que le triangle
est rectangle en .
3. Calculer l’aire du champ
.
et
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4. Jean-Michel veut clôturer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commerçant habituel et tombe
sur l’annonce suivante :
Grillage : 0,85 € par mètre
Combien va-t-il payer pour clôturer son champ ?
Exercice 3 :
Recopier et compléter :
1. Le double de
est …
4. La racine carrée de
2. La moitié de
est …
5. L’opposé de
est …
6. L’inverse de
est …
3. Le carré de
est…
est …
Exercice 4 :
1. Trace un segment
qui mesure
Construis le cercle
de diamètre
Place un point sur
tel que
2. Montre que le triangle
est rectangle.
3. Calcule les mesures des angles
et
arrondies au degré.
Exercice 5 :
On considère le programme de calcul ci-dessous :
 Choisir un nombre de départ.
 multiplier ce nombre par
 ajouter au produit
 multiplier le résultat par
 écrire le résultat obtenu.
1.
a. Vérifier que, lorsque le nombre de départ est on obtient
b. Lorsque le nombre de départ est , quel résultat obtient-on ?
2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat soit
3. Arthur prétend que, pour n’importe quel nombre de départ , l’expression
le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
permet d’obtenir
Exercice 6 :
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Heiata et Hiro ont choisi comme gâteau de mariage une pièce montée composée de 3 gâteaux cylindriques
superposés, tous centrés sur l’axe
comme l’indique la figure ci-dessous :
1. Montrer que le rayon du gâteau n° 2 est de
2. Calculer le rayon du gâteau n° 3.
3. Montrer que le volume total exact de la pièce montée est égal à
Rappel : le volume d’un cylindre de rayon et de hauteur est donné par la formule
4. Quelle fraction du volume total représente le volume du gâteau n° 2 ?
Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Exercice 7 :
Deux touristes partent en voyage aux Etats-Unis. Ils louent une voiture dans laquelle la température est
affichée en degrés Fahrenheit. L’agence de voyage leur fournit un carnet de bord dans lequel apparaissent les
informations suivantes :
« Les températures sont souvent exprimées en degrés Fahrenheit. Pour les convertir en degrés Celsius, il faut
soustraire
et diviser par .
Ainsi
font environ
–
et
Cette méthode n’est pas la plus juste, mais c’est la plus simple.
Pour les experts en mathématiques, il faut soustraire , multiplier par et diviser par ! »
Les deux touristes se demandent s’il existe une température pour laquelle les deux méthodes donnent le
même résultat.
Peut-on répondre à la question que se posent les touristes ?
Expliquer la démarche et la réponse. Toute démarche, même incomplète, figurera sur la feuille.
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Épreuves communes Maths-avril 2014 : correction
EXERCICE
1
1. 28 × 10−3 = 0, 028 Réponse B
µ ¶2
3
1
9 1 9−4
5
− =
2.
− =
=
Réponse C
4
4 16 4
16
16
3. 25% de 120 :
25
120
× 120 =
= 30 Réponse A
100
4
4. Pour x = −2 :5 (−2) − [7 (−2) + 4] = −10 − [−14 + 4] = −10 − (−10) = −10 + 10 = 0 6= 8 ;
Pour x = −6 :5 (−6) − [7 (−6) + 4] = −30 − [−42 + 4] = −30 − (−38) = −10 + 38 = 8 Réponse B
EXERCICE
2
1. a. Je sais que le périmètre de ABC (P ABC ) mesure 154 m.
Donc :AB = P ABC − BC − AC = 154 − 56 − 65 = 33 .Donc : AB = 33 m
De même : P ADC = 144 m. Donc : DC = P ADC − AD − AC = 144 − 16 − 65 = 63 .Donc : DC = 63 m
b. P ABC D = AB + BC + DC + AD = 33 + 56 + 63 + 16 = 168 Donc, le périmètre du champ mesure 168 m
2. Démontrons que le triangle ADC est rectangle en D :
je sais
AD = 16,DC = 63,AC = 65(plus grand côté)
D’une part :AC 2 = 4225
D’autre part :AD 2 + DC 2 = 256 + 3969 = 4225
Donc :AC2 = AD2 + DC2
d’après
la réciproque du
théorème de
Pythagore, l’égalité
étant vérifiée
donc
le triangle ADC est
rectangle en D
3. Soit A ABC D l’aire du champ,alors :AABCD = AACD + AABC .Sachant que AC D et ABC sont rectangles respectivement en D et en B :
AD × DC AB × BC 16 × 63 33 × 56
+
=
+
= 504 + 924 = 1428 ; L’aire du champ est est 1428 m2
AABCD =
2
2
2
2
4. Calcul du prix :168 × 0.85 = 142, 80. Le prix pour la clôture du champ est de 142,80 e .
EXERCICE
3
1. Le double de 100 est 200
4. la racine carrée de 100 est 10
2. la moitié de 100 est 50
5. L’opposé de 100 est −100
3. le carré de 100 est 10000
6. l’inverse de 100 est 0, 01
EXERCICE 4
1. voir ci-contre
2. je sais : AB N est inscrit dans C de diamètre [AB ]
D’après : si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de
ses côtés, alors ce triangle est rectangle d’hypoténuse ce diamètre.
Donc : le triangle AB N est rectangle en N .
ƒ
3. Calculons la mesure de B
AN :
Je sais : AB N est rectangle en N ; AN = 7 ;AB = 8
D’après : le cosinus d’un angle aigu dans un triangle µrectangle.
¶
¡
¢ NA
7
−1 7
ƒ
ƒ
Donc : cos B AN =
= . D’où : B AN = cos
' 29◦ . D’après : dans un triangle, les angles sont
AB
8
8
ƒ
supplémentaires. Donc : ƒ
N B A ' 180 − 90 − 29 = 61◦ Donc : B
AN ' 29◦ et ƒ
N B A ' 61◦
1
EXERCICE 5 Calculs et résultats présentés dans le tableau suivant :
1. a. Le résultat est bien 5.
b. On obtient −5, lorsque le nombre de départ est 3.
Nombre de départ
2
5
2. Pour obtenir 0, le nombre de départ est : = 2, 5
2
3
5
2
x
Multiplier par (−2)
−4 −6 −5
−2x
3. En prenant x comme nombre de départ, on obtient : −10x + 25
Ajouter 5
1
−1
0
−2x + 5
Développons l’expression proposée par Arthur :
(x − 5)2 − x 2 = x 2 − 10x + 25 − x 2 = −10x + 25 .
Multiplier par 5
5
−5 0
−10x + 25
Les deux expressions sont identiques. Donc, Arthur a
raison.
EXERCICE 6
Soit V1 et R 1 , V2 et R 2 et V3 et R 3 les volumes et les rayons des trois gâteaux cylindriques,
de hauteur : h = 10cm.
2
2
1. R 1 = 30cm. Donc : R 2 = × R 1 = × 30 = 20. . Donc, le rayon du gâteau no 2 est de 20 cm.
3
3
3
3
2. Donc :R 3 = × R 2 = × 20 = 15. Donc, le rayon du gâteau no 3 est de 15 cm.
4
4
3. V1 = π×R 12 ×h = π×900×10 = 9000π. Donc : V1 = 9000πcm3 ;V2 = π×R 22 ×h = 4000π. Donc : V2 = 4000πcm3 .
V3 = π × R 32 × h = π × 225 × 10 = 2250π. Donc : V3 = 2250πcm3 .
Le volume total est (9000π + 4000π + 2250π = 15250π) 15250πcm3 .
V2
4000π
16× 6 25× 6 10× 6 π 16
16
4. Calculons :
=
=
=
. Le volume du gâteau no 2 représente
du volume
V
15250π 61× 6 25× 6 10× 6 π 61
61
total.
EXERCICE 7
Voici une proposition de solution :prenons x la température recherchée, et mettons en
équation les deux méthodes :
(x − 32) × 5 5x − 160
x − 26
Méthode 2 de conversion :
=
Méthode 1 de conversion :
2
9
9
On pose l’égalité, car on cherche à connaître la température pour laquelle les deux méthodes donnent le
même résultat, et on résout l’équation :
x − 26 5x − 160
=
2
9
x 26 5x 160
−
=
−
2
2
9
9
9x 234 10x 320
−
=
−
18
18
18
18
on met les deux fractions sur 18
↓
×18
↓
−9x
↓
+320
9x − 234 = 10x − 320
−234 = x − 320
86 = x
La température pour laquelle les deux méthodes donnent le même résultat est donc 86◦ Farenheit. Et la
température en degré Celsius obtenue est 30◦ .
2