Êtes-vous au point sur le coloriage?

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Aurélie Lagoutte
G-SCOP, Université Grenoble Alpes
Mercredi 30 novembre 2016
Filles et Maths, Grenoble
1/19
Thèse en informatique fondamentale
2/19
Thèse en informatique fondamentale
2/19
Thèse en informatique fondamentale
Enseignement
(TD à la fac)
2/19
Thèse en informatique fondamentale
Enseignement
(TD à la fac)
Recherche
?
2/19
Thèse en informatique fondamentale
= Mathématiques discrètes
Enseignement
(TD à la fac)
Recherche
?
2/19
Thèse en informatique fondamentale
= Mathématiques discrètes
Enseignement
(TD à la fac)
Recherche
?
Réparer les
ordinateurs,
Word, Excel
2/19
Thèse en informatique fondamentale
= Mathématiques discrètes
Enseignement
(TD à la fac)
Recherche
?
Réparer les
ordinateurs,
Word, Excel
Programmation
2/19
Thèse en informatique fondamentale
= Mathématiques discrètes
Enseignement
(TD à la fac)
Recherche
?
Réparer les
ordinateurs,
Word, Excel
Prouver des
théorèmes avec un
papier et un crayon
Programmation
2/19
Problème no 1 : les antennes radio
3/19
Problème no 1 : les antennes radio
6= fréquences
3/19
Problème no 1 : les antennes radio
6= fréquences
But : acheter le moins de fréquences possible.
3/19
Problème no 1 : les antennes radio
F3
F1
6= fréquences
F2
But : acheter le moins de fréquences possible.
3/19
Problème no 1 : les antennes radio
F2
F3
F1
6= fréquences
F2
But : acheter le moins de fréquences possible.
3/19
Problème no 1 : les antennes radio
F2
F3
F1
6= fréquences
F1
F2
But : acheter le moins de fréquences possible.
3/19
Problème no 1 : les antennes radio
F2
F3
F1
6= fréquences
F1
F2
F3
But : acheter le moins de fréquences possible.
Optimal : 3 fréquences.
3/19
Problème no 2 : les emplois du temps
Cours
Français
Anglais
Maths
Histoire-Géo
Physique
Horaire
8h30-10h30
9h-10h
14h-16h
11h-12h
9h45-11h45
But : utiliser le moins de salles possible.
4/19
Problème no 2 : les emplois du temps
Cours
Français
Anglais
Maths
Histoire-Géo
Physique
Horaire
8h30-10h30
9h-10h
14h-16h
11h-12h
9h45-11h45
But : utiliser le moins de salles possible.
Optimal : 3 salles (témoin : Français, Anglais et Physique).
4/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
5/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
Optimal : 4 couleurs
6/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
But : utiliser le moins de couleurs possibles.
Optimal : 4 couleurs (témoin : ?)
6/19
Emploi du temps
Antennes radio
Carte de Géo
7/19
Emploi du temps
Antennes radio
Coloration de graphes
Carte de Géo
7/19
6= fréquences
Un graphe, c’est :
8/19
6= frequencies
Un graphe, c’est :
des sommets (les
points)
8/19
Un graphe, c’est :
des sommets (les
points)
des arêtes (les traits)
8/19
Un graphe, c’est :
des sommets (les
points)
Dans une coloration propre,
deux sommets reliés ont des
couleurs différentes.
des arêtes (les traits)
8/19
Un graphe, c’est :
des sommets (les
points)
Dans une coloration propre,
deux sommets adjacents ont
des couleurs différentes.
des arêtes (les traits)
8/19
Problème no 2 : les emplois du temps
Cours
Français
Anglais
Maths
Histoire-Géo
Physique
8h
9h
10h
12h
14h
Horaire
8h30-10h30
9h-10h
14h-16h
11h-12h
9h45-11h45
16h
Français
Anglais
H-Géo
Maths
Physique
9/19
Problème no 2 : les emplois du temps
Cours
Français
Anglais
Maths
Histoire-Géo
Physique
8h
9h
10h
12h
14h
Horaire
8h30-10h30
9h-10h
14h-16h
11h-12h
9h45-11h45
F
16h
A
M
Français
Anglais
H-Géo
Physique
Maths
P
HG
9/19
Problème no 2 : les emplois du temps
Cours
Français
Anglais
Maths
Histoire-Géo
Physique
8h
9h
10h
12h
14h
Horaire
8h30-10h30
9h-10h
14h-16h
11h-12h
9h45-11h45
F
16h
A
M
Français
Anglais
H-Géo
Physique
Maths
P
HG
9/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
4 couleurs sont vraiment nécessaires
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
4 couleurs sont vraiment nécessaires
Question posée en 1852 :
Peut-on colorer tout graphe planaire avec seulement 4 couleurs ?
(planaire=on peut le dessiner sans que les arêtes ne se croisent)
10/19
Problème no 3 : La carte de Géographie
4 couleurs sont vraiment nécessaires
Théorème des 4 couleurs (1976)
Peut-on colorer tout graphe planaire avec seulement 4 couleurs ?
(planaire=on peut le dessiner sans que les arêtes ne se croisent)
⇒ Oui
10/19
Preuve par Déchargement
Idée :
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 8 (pair )
1+2+3+4+5+6+7+8
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 8 (pair )
≤ n2 ≥ n2
1+2+3+4+5+6+7+8
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 8 (pair )
≤ n2 ≥ n2
0+0+0+0+9+9+9+9
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 8 (pair )
≤ n2 ≥ n2
0+0+0+0+9+9+9+9
n
2
× (n + 1)
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 9 (impair )
1+2+3+4+5+6+7+8+9
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 9 (impair )
j k
l m
≥ n2
≤ n2
1+2+3+4+5+6+7+8+9
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 9 (impair )
j k
l m
≥ n2
≤ n2
0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 9 (impair )
l m
j k
≥ n2
≤ n2
0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10
n+1
2
n−1
2
× (n + 1)
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 9 (impair )
l m
j k
≥ n2
≤ n2
0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10
n+1
2
n−1
2
× (n + 1)
= (n + 1)
1
2
+
n−1
2
11/19
Preuve par Déchargement
Idée :
1
répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les
sommets.
2
Compter les pièces
3
établir des règles de déchargement : décider qui doit payer
qui, et en quelle quantité.
4
Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.
n = 9 (impair )
l m
j k
≥ n2
≤ n2
0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10
n+1
2
n−1
2
× (n + 1)
= (n + 1) n2
11/19
Encore plus de graphes :
12/19
Encore plus de graphes :
Réseaux sociaux :
12/19
Encore plus de graphes :
Réseaux sociaux :
Sommets : personnes
Arêtes : les amis
Question : trouver les communautés, étudier la plus grande
distance possible entre deux personnes...
12/19
Encore plus de graphes :
Réseaux sociaux :
Sommets : personnes
Arêtes : les amis
Question : trouver les communautés, étudier la plus grande
distance possible entre deux personnes...
Réseaux routiers :
12/19
Encore plus de graphes :
Réseaux sociaux :
Sommets : personnes
Arêtes : les amis
Question : trouver les communautés, étudier la plus grande
distance possible entre deux personnes...
Réseaux routiers :
Sommets : villes (ou mieux : croisement de routes)
Arêtes : route directe entre deux villes (étiquettée par les km)
Question : trouver le chemin le plus court (GPS !), parcourir
toutes les routes (voiture Google), parcourir toutes les villes
(tournée de Kendji)...
12/19
Encore plus de graphes :
Réseaux sociaux :
Sommets : personnes
Arêtes : les amis
Question : trouver les communautés, étudier la plus grande
distance possible entre deux personnes...
Réseaux routiers :
Sommets : villes (ou mieux : croisement de routes)
Arêtes : route directe entre deux villes (étiquettée par les km)
Question : trouver le chemin le plus court (GPS !), parcourir
toutes les routes (voiture Google), parcourir toutes les villes
(tournée de Kendji)...
Et aussi : réseaux d’ordinateurs, théorie des jeux ...
12/19
2 types de questions :
Algorithmique
Peut-on calculer la coloration optimale en temps raisonnable ?
Borne, garantie
13/19
2 types de questions :
Algorithmique
Peut-on calculer la coloration optimale en temps raisonnable ?
Borne, garantie
⇓
Non pour le cas général.
13/19
2 types de questions :
Algorithmique
Peut-on calculer la coloration optimale en temps raisonnable ?
Borne, garantie
⇓
Non pour le cas général.
Oui pour les graphes
Mais
d’intervalles.
13/19
2 types de questions :
Algorithmique
Peut-on calculer la coloration optimale en temps raisonnable ?
Borne, garantie
Peut-on s’assurer que 4
couleurs suffiront toujours
si notre graphe est planaire ?
⇓
Non pour le cas général.
Oui pour les graphes
Mais
d’intervalles.
13/19
2 types de questions :
Algorithmique
Peut-on calculer la coloration optimale en temps raisonnable ?
Borne, garantie
Peut-on s’assurer que 42
couleurs suffiront toujours
si notre graphe est gentil ?
⇓
Non pour le cas général.
Oui pour les graphes
Mais
d’intervalles.
13/19
Soit G un graphe.
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
clique taille 1
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
clique taille 2
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
clique taille 3
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
clique taille 4
ω(G) = 4
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
ω(G) = 4
χ(G) ≥ ω(G)
14/19
Soit G un graphe.
Nombre chromatique χ(G)= nombre minimal de couleurs
nécessaires pour colorer G.
Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.
La taille de la plus grande clique est ω(G).
ω(G) = 4
χ(G) ≥ ω(G)
14/19
Peut-on avoir besoin de plus de ω(G) couleurs ?
(= la clique max. n’est pas un témoin suffisant)
15/19
Peut-on avoir besoin de plus de ω(G) couleurs ?
(= la clique max. n’est pas un témoin suffisant)
⇒ Oui
χ(G) = 4 > 3 = ω(G)
15/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
···
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
···
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
ω(G) = 2k
···
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
ω(G) = 2k
···
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
ω(G) = 2k
···
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
ω(G) = 2k
···
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
···
ω(G) = 2k
χ(G) = 3k
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
···
ω(G) = 2k
χ(G) = 3k
χ(G) − ω(G) = k
16/19
On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !
k copies de C5
···
ω(G) = 2k
χ(G) = 3k
χ(G) − ω(G) = k
Théorème (encore plus fort)
Pour tout entier k, il existe un graphe G tel que ω(G) = 2 et
χ(G) = k.
16/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
Gp
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
Gp
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
ω(C5 ) = 2 < 3 = χ(C5 )
Gp
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
ω(C5 ) = 2 < 3 = χ(C5 )
Gp
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
ω(C5 ) = 2 < 3 = χ(C5 )
ω(K3 ) = 3 = χ(K3 )
Gp
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
ω(C5 ) = 2 < 3 = χ(C5 )
ω(K3 ) = 3 = χ(K3 )
ω(G) = 3 = χ(G)
Gp
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
ω(C5 ) = 2 < 3 = χ(C5 )
ω(K3 ) = 3 = χ(K3 )
ω(G) = 3 = χ(G)
G est parfait ? ! ⇒ Mauvaise définition
17/19
Graphe parfait : si χ(G) = ω(G)
et si χ(H) = ω(H) pour tous les sous-graphes H de G.
ω(C5 ) = 2 < 3 = χ(C5 )
ω(K3 ) = 3 = χ(K3 )
ω(G) = 3 = χ(G)
G n’est pas parfait car il contient un C5 non-parfait.
17/19
Cycle pair
18/19
Cycle pair
2 couleurs
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
18/19
Cycle pair
Cycle impair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
18/19
Cycle pair
Cycle impair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Cycle impair
3 couleurs
Parfait
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
Cycle impair
3 couleurs
clique de taille 2
Non parfait
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
Cycle impair
Anti-cycle impair
3 couleurs
clique de taille 2
Non parfait
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
Cycle impair
3 couleurs
clique de taille 2
Anti-cycle impair
4 couleurs
Non parfait
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
Cycle impair
Anti-cycle impair
3 couleurs
4 couleurs
clique de taille 2 clique de taille 3
Non parfait
Non parfait
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
Cycle impair
Anti-cycle impair
3 couleurs
4 couleurs
clique de taille 2 clique de taille 3
Non parfait
Non parfait
Théorème des graphes parfaits (2002)
Un graphe est parfait si et seulement si il ne contient aucun cycle
impair ni aucun anti-cycle impair.
18/19
Cycle pair
2 couleurs
clique de taille 2
Parfait
Cycle impair
Anti-cycle impair
3 couleurs
4 couleurs
clique de taille 2 clique de taille 3
Non parfait
Non parfait
Théorème des graphes parfaits (2002)
Un graphe est parfait si et seulement si il ne contient aucun cycle
impair ni aucun anti-cycle impair.
Théorème
Il existe un algorithme pour colorer optimalement les graphes
parfaits en temps raisonnable.
18/19
Merci !
19/19