Exercice - TIMC-IMAG

Ensimag 1re année
2005-2006
Travaux dirigés de Probabilités
Appliquées
1
Chapitre 1 et 2
Exercice 1 .
suivants
a)
b)
c)
d)
On lance deux dés non pipés. Calculer la probabilité des événements
Obtenir au moins un six.
Obtenir au moins un numéro pair.
La somme des numéros obtenus est égale à 6.
La somme des numéros obtenus est paire.
Exercice 2 .
suppose que
Soit X un nombre positif mesuré à l’issue d’une épreuve aléatoire. On
Z
∀0 ≤ a ≤ b < ∞ ,
P(X ∈ [a, b]) =
b
e−x dx .
a
a) Calculer P(X ≥ t) pour tout t ≥ 0.
b) Calculer P(sin X ≥ 0).
c) Soit U un nombre pris au hasard dans [0, 1] tel que
∀0 ≤ a ≤ b ≤ 1 ,
P(U ∈ [a, b]) = b − a .
Calculer pour tout 0 ≤ a ≤ b, P( ln(1/U ) ∈ [a, b]).
Exercice 3 .
a)
b)
c)
d)
e)
X
X
X
X
X
Les algorithmes suivants jouent aux dés. Certains trichent. Lesquels ?
←− int(RAN DOM ∗ 6) + 1
←− round(RAN DOM ∗ 5) + 1
←− int(RAN DOM ∗ 10); X ←− (Xmod6) + 1
←− int(RAN DOM ∗ 12); X ←− (Xmod6) + 1
←− int(6 ∗ sqr(RAN DOM )) + 1
On considère que RAN DOM est un nombre pris au hasard dans [0, 1] comme dans
l’exercice précédent c).
Exercice 4 . Ecrire un algorithme qui retourne 0 avec probabilité 16 , 1 avec probabilité
1
et 2 avec probabilité 21 à partir d’un (ou plusieurs) nombres pris au hasard dans [0, 1].
3
Exercice 5 .
Ecrire un algorithme qui choisisse entre n éventualités e1 , . . . , en ,
l’éventualité ei avec la probabilité pi (les probabilités p1 , . . . , pn sont données et leur
somme vaut 1).
Exercice 6 . Il y a une chance sur trois pour que l’équipe d’Allemagne soit en finale
du championnat du monde de football, une chance sur deux pour que l’équipe du Brésil
2
le soit et onze chance sur quinze qu’au moins une des deux soit en finale. Quelle est la
probabilité pour que la finale oppose le Brésil et l’Allemagne ?
Exercice 7 .
Soit A et B deux événements tels que :
P(A) =
1
1
4
; P(B) = ; P(A ∪ B) = .
3
4
9
Calculer P(A| B), P(Ā| B), P(A ∩ B̄| B).
Exercice 8 . Le quart d’une population a été vacciné contre une maladie. Au cours
d’une épidémie, on constate qu’il y a parmi les malades un vacciné pour quatre non
vaccinés. On sait de plus qu’il y avait un malade sur douze parmi les vaccinés. Quelle
était la probabilité de tomber malade pour un individu non vacciné ? Conclusion.
Exercice 9 . (Source Télécom : A. Bienvenüe) Jojo fait du ski à la station Vallées
Blanches. Il est en haut du téléski des Cailloux, et a le choix entre les pistes de Toutplat (une bleue), Les Bosses (une rouge) et Les Rase-Mottes (une noire). Il choisit une
piste au hasard de telle façon qu’il emprunte la bleue et la noire avec la probabilité
1/4 et la rouge qu’il préfère avec la probabilité 1/2. Il descend ensuite la piste choisie.
Jojo n’est pas encore très à l’aise cette saison. Il tombe avec une probabilité de 1/10
sur une piste bleue, 1/6 sur une piste rouge et 2/5 sur une piste noire.
a) Calculer la probabilité de l’événement Jojo tombe sur la piste qu’il a choisie.
b) Bernard, qui attend Jojo en bas des pistes, à la terrasse d’un café, voit
arriver Jojo couvert de neige : il est donc tombé. Sachant cela, qu’elle est
la probabilité que Jojo ait emprumpté la piste noire.
Exercice 10 . On simule le lancer de deux dés équilibrés à n faces. On note S la
somme des deux dés.
a) Pour tout 1 ≤ i ≤ n + 1, montrer que
P(S = i) =
i−1
.
n2
b) Pour tout n + 2 ≤ i ≤ 2n, montrer que
P(S = i) =
2n − i + 1
.
n2
c) Calculer P (S ≤ n + 1).
Exercice 11 . On répète le lancer d’un dé (que l’on suppose équilibré) à 10 faces
jusqu’à ce que le dé produise un résultat inférieur ou égal à 6. On note alors X le
résultat produit. Déterminer la probabilité de l’événement (X = k), k = 1, . . . , 6.
3
Exercice 12 . On choisit un nombre N au hasard entre 1 et 4 puis un nombre X au
hasard entre 1 et N . Quelle est la probabilité de l’événement (X = k), k = 1, . . . , 4.
Exercice 13 . On répète le lancer d’un dé (que l’on suppose équilibré) à 12 faces
jusqu’à ce que le dé produise un résultat pair que l’on divise finalement par deux. Le
résultat final est-il uniformément réparti dans {1, . . . , 6} ?
Exercice 14 . Un jeu nécessite le lancer d’un dé à 33 faces. Comment peut-on jouer
à ce jeu avec un dé à six faces ? Même question avec un dé à 19 faces.
Exercice 15 . (Source AB) On lance un dé à cinq faces plein de fois. On note pn la
probabilité que la somme des résultats obtenus lors des n premiers lancers soit paire.
Calculer p1 . Exprimer pn+1 en fonction de pn et en déduire pn .
Exercice 16 . Un questionnaire à choix multiples comprend huit questions. Pour
chacune d’entre elles quatre réponses sont proposées dont une seule est la bonne. Un
candidat décide de répondre au hasard et indépendamment à chacune des questions.
Soit X le nombre de bonnes réponses qu’il donne.
a) Déterminer la loi de X.
b) Pour être reçu, il faut donner au moins cinq bonnes réponses. Quelle est la
probabilité pour que ce candidat soit reçu ?
c) Ecrire un algorithme de simulation de la variable X.
d) Un autre candidat connait la réponse à trois des questions posées et répond
au hasard aux autres. Quelle est la probabilité qu’il soit reçu ?
Exercice 17 . Un rat se trouve dans un labyrinthe face à quatre portes dont une
seule conduit à la sortie. Chaque fois qu’il choisit une mauvaise porte, le rat reçoit
une décharge électrique et revient à son point de départ. On note X le nombre d’essais nécessaires au rat pour sortir du labyrinthe et on envisage successivement trois
hypothèses sous lesquelles on déterminera la loi de X.
a) Le rat n’a pas de mémoire. Il choisit à chaque essai de façon équiprobable
l’une des quatre portes.
b) Le rat a une mémoire immédiate. A chaque nouvel essai, il évite la mauvaise
porte de l’essai précédent et choisit au hasard parmi les trois autres.
c) Le rat a une bonne mémoire. À chaque nouvel essai, il évite toutes les
mauvaises portes choisies précédemment et choisit au hasard parmi les restantes.
Ecrire un algorithme de simulation de la variable X dans chacune des trois hypothèses.
Exercice 18 . (Source : A. Bienvenüe) Blanche-Neige passe la serpillière quand la
méchante reine se présente, grimmée en pauvre vieille, pour lui offrir un panier de cinq
4
pommes bien rouges, dont une empoisonnée et deux véreuses. Blanche-Neige prend les
pommes une par une pour les croquer. Si elle tombe sur une pomme véreuse, elle jette
le reste du panier au cochon, sinon elle continue. Calculer la probabilité pour que
a) le cochon trépasse,
b) Blanche-Neige mange toutes les pommes.
Exercice 19 . Dérangements.
Ecrire un algorithme de simulation d’une permutation de {1, . . . , n} au hasard (une permutation est une application bijective {1, . . . , n}
dans lui-même).
a) Quelle est la probabilité qu’une telle permutation ne modifie pas le numéro
1?
b) Quelle est la probabilité qu’une telle permutation ne modifie pas les k premiers numéros ?
c) Démontrer, pour toute famille finie d’événements (Ai )i=1,...,n , la relation
suivante
n
X
X
(−1)r+1
P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
P(Ai1 ∩ . . . ∩ Air ).
1≤i1 <...<ir ≤n
r=1
d) Calculer la probabilité que la permutation simulée modifie tous les numéros.
Exercice 20 . Mickey Markov est très fier de son beau parapluie. Surtout que la
région est trés pluvieuse et qu’il doit effectuer n = 20 trajets entre son domicile et
son lieu de travail chaque mois. Il démarre de son domicile. Lorsqu’il fait beau, Mickey
n’emporte jamais son parapluie. Lorsqu’il pleut, il le prend dans la mesure ou il est
disponible. Lors d’un trajet, il pleut avec la probabilité p. On définit la variable Xn de
la manière suivante.
Xn = 1 si l’individu est en possession du parapluie à l’issue du ne trajet
Xn = 0 sinon.
a)
b)
c)
d)
Ecrire un algorithme de simulation pour la variable Xn .
En utilisant un argument de récurrence, calculer P(Xn = 0).
Calculer la probabilité pour que Mickey se mouille lors du nième trajet.
C’est novembre et p = 1/3. Donner une valeur approchée de la probabilité.
Exercice 21 . Quelle est la probabilité pour que sur n personnes prises au hasard,
toutes aient des dates d’anniversaires différentes ? Calculer n pour que cette probabilité
soit supérieure à 0.5.
Exercice 22 . Un logiciel comporte n = 5 fautes. A chaque exécution, toute faute
a la probabilité p = 13 d’être corrigée. Les corrections sont indépendantes les unes des
5
autres. Combien de fois faut-il exécuter ce logiciel pour que la probabilité qu’il ne reste
aucune faute soit de 0.90 ?
Exercice 23 . Nous inhalons à chaque inspiration environ 2.2 1022 molécules d’air.
L’atmosphère est composée au total de 1044 molécules d’air. Quelle est la probabilité d’inhaler au moins une des molécules du dernier soupir de Jules César lors d’une
inspiration ?
Exercice 24 . Pour deux joueurs A et B, une partie de dés se déroule de la manière
suivante. A commence et jette deux dés. Si la somme des points marqués sur les deux
dés est six, A est vainqueur et le jeu s’arrête. Sinon, B lance à son tour les deux dés.
Si la somme des points marqués est sept, B est vainqueur et le jeu s’arrête. Sinon, une
autre partie est jouée. Tous les lancers de dés sont supposés indépendants.
a) Quelle est la probabilité que A gagne à la première partie ? Même question
pour B.
b) Quelle est la probabilité pour que la nième partie soit effectivement jouée
et que ce soit A qui la gagne ? Même question pour B.
c) Quelle est la probabilité que A (resp. B) termine vainqueur ? A et B vont-ils
jouer indéfiniment ?
2
Chapitre 3
Exercice 25 . On munit un ensemble Ω de cardinal infini de la tribu P(Ω) des parties
de Ω et on définit une application µ de P(Ω) dans {0, +∞} de la manière suivante :
µ(A) = 0 si A est une partie finie,
= +∞ sinon.
a) L’application µ est-elle une mesure positive sur (Ω, P(Ω)) ?
b) Comment modifier la définition de µ pour en faire une mesure positive ?
Exercice 26 . Etant donné un ensemble Ω, quelle est la tribu engendrée par :
a) {A}, A ⊂ Ω ?
b) {A, B} (considérer en premier lieu le cas A ∩ B = ∅) ?
c) {A1 , . . . , An } ? Quel est le nombre maximal d’éléments dans cette tribu ?
Exercice 27 . On munit Ω = IR de sa tribu de Borel B(IR) et d’une mesure positive
bornée P. Montrer que, pour tout x ∈ IR,
1
1
P({x}) = lim P(]x − , x + [) .
n→∞
n
n
6
Exercice 28 . Dans IR muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ,
construire une suite {An } de boréliens emboités telle que :
λ(
∞
\
An ) 6= lim λ(An ).
n→∞
n=1
Exercice 29 .
calculer λ(Q).
Dans IR, muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ,
Exercice 30 .
de Lebesgue λ.
On munit l’ensemble Ω = [0, 1] de sa tribu de Borel et de la mesure
a) Montrer que tout x ∈ [0, 1] admet un développement de la forme
x=
∞
X
xn
n=1
3n
avec xn ∈ {0, 1, 2}.
b) On considère l’ensemble C défini par :
C = {x ∈ [0, 1] : xn ∈ {0, 2} pour tout n ≥ 1}.
Montrer que C n’est pas dénombrable. Proposer une manière de construire
C géomètriquement.
c) Calculer λ(C).
Exercice 31 . Soit (Ω, B, µ) un espace mesuré et X une application mesurable de Ω
dans IR+ .
a) On pose, pour tout entier n, An = {ω : X(ω) ≥ n}. Montrer
X intégrable implique lim nµ(An ) = 0.
n→∞
b) Montrer
X intégrable implique
∞
X
µ(An ) < ∞.
n=1
Exercice 32 . Dans IR, muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ,
montrer que les conditions du théorème de convergence dominée de Lebesgue ne sont
pas des conditions nécessaires. (On pourra considérer la suite Xn (x) = n × 1 [ 1 , 1 [ (x)).
n+1 n
7
Exercice 33 .
On définit l’application Γ de IR+ dans IR par
Z +∞
e−x xt−1 dx.
Γ(t) =
0
a) Montrer que Γ est définie pour tout t dans IR+ , continue, dérivable sur ] 12 , 2[
et que
Z
+∞
e−x ln xdx.
Γ0 (1) =
0
b) En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer, pour tout entier
k:
Z n
Z +∞
x n
k t−1
lim
(1 − ) (ln x) x dx =
e−x (ln x)k xt−1 dx.
n→+∞ 0
n
0
c) En déduire
1
1
lim (1 + + . . . + − ln n) = −
n→+∞
2
n
Z
+∞
e−x ln xdx.
0
Exercice 34 . Soit (Ω, A, P) un espace muni d’une structure probabiliste. Soit X
une variable aléatoire à valeurs dans IN telle que, pour toute partie A de IN ,
P(X ∈ A) =
X
e−λ
n∈A
λn
n!
où λ est une constante réelle positive.
a) Calculer
Z
X dP .
Ω
b) Donner une interprétation de cette intégrale. Calculer
R
Ω
X 2 dP.
Exercice 35 . Soit (Ω, A, P) un espace muni d’une structure probabiliste. Soit X
une variable aléatoire à valeurs dans IN . Montrer que
Z
X dP =
Ω
∞
X
P(X > n) .
n=0
Application.
Calculer cette grandeur lorsque X est une variable aléatoire de loi
géométrique de paramètre p, (0 < p < 1).
8
3
Chapitre 4
Exercice 36 . Joe et Bill jouent à la roulette russe avec un pistolet à six coups
qui contient une seule balle. On fait tourner le barilet une seule fois au début du jeu.
Soit N la variable aléatoire égale à la durée du jeu. Déterminer la loi de N et son
espérance. Joe joue le premier. Quelle est la probabilité pour que Joe meure le premier.
Joe a-t-il réellement intéret à débuter le jeu ? On fait tourner le barillet avant chaque
essai. Mêmes questions.
Exercice 37 . On choisit 10 intervalles de longueur 1/10 dans (0, 1). Les intervalles
peuvent se recouvrir de manière arbitraire. Soit U un point tiré au hasard dans (0,1).
A combien d’intervalles en moyenne U appartient-il ?
Exercice 38 . Soient I1 et I2 deux intervalles de longueur 1/2 inclus dans (0, 1). Soit
U un point tiré au hasard dans (0,1) et N le nombre d’intervalles qui contiennent U .
Déterminer la loi de N . Calculer E[N ].
Exercice 39 . Dans une urne, il y a 3 boules rouges, 2 boules noires et 5 boules
blanches. On effectue n tirages successifs dans l’urne en replaçant à chaque fois la boule
tirée dans l’urne. On s’intéresse au nombre de boules de chaque couleur résultant de
cette expérience.
a) Quelle est la nature de la variable aléatoire d’intérêt correspondant à cette
expérience ?
b) Quelle est sa loi ?
c) Intégrer cette variable sous la mesure de probabilité correspondant au modèle
de cette expérience ?
Exercice 40 . (Source AB) Mathématiques financières.
Jojo veut envoyer dix
billets de 10000 francs CFA à son amis Gbetnkom qui habite au Cameroun. Il glissera
les billets entre les pages d’articles de mathématiques qu’il lui enverra. Cependant, un
envoi sur cinq est perdu ou détourné par les postiers ou les douaniers. Jojo pense à
trois méthodes d’envoi différentes :
1. Il met les dix billets dans un seul paquet ;
2. Il met cinq billets dans un seul paquet et cinq dans un autre ;
3. Il met chaque billet dans un paquet different, et enverra les dix paquets à des
dates différentes.
On note X le nombre de billets reçu par Gbetnkom.
a) Pour chacune des méthodes précédentes, déterminer la loi de X, son espérance
et sa variance.
9
b) Quelle est la meilleure stratégie d’envoi si l’on veut que E[X] soit maximale,
ou que Gbetnkom reçoive au moins un billet avec la plus grande probabilité possible, ou que Gbetnkom reçoive tous les billets avec la plus grande
probabilité possible.
Exercice 41 . À La Grave (Hautes-Alpes), le nombre d’alpinistes inexpérimentés qui
se perdent dans la montagne suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0. Un alpiniste
inexpérimenté peut tomber dans une crevasse avec la probabilité p ou subir des chutes
de pierres avec la probabilité q. Quelle est la loi du nombre d’alpinistes tombés dans
une crevasse, ou victimes de chutes de pierres, ou les deux ?
Exercice 42 . Soit (Ω, A, P) un espace muni d’une structure probabiliste. Soient
A, B, C trois événements indépendants dans la tribu A. On définit la variable aléatoire
X par
X = 1A + 1B + 1C .
Calculer E[X] et E[X 2 ]. Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
Exercice 43 . Un joueur parie sur la réalisation d’événements A et B de la manière
suivante. Le gain du joueur est d’une unité si A se réalise. Il ajoute r unités supplementaires à ce gain si, de surcroit, B se réalise aussi. Si A ne se réalise pas, le joueur
perd s unités. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur à l’issue du pari.
1) Exprimer X sous la forme d’une variable étagée en faisant apparaı̂tre les fonctions indicatrices de A, A ∩ B et Ā.
2) Calculer l’espérance de X.
3) Déterminer la loi de X.
Le pari porte sur le lancer de deux pièces de monnaie non truquées et sur les
événements A = “La première pièce montre pile” et B = “la deuxième pièce montre
pile”.
4) A quelle condition l’espérance E[X] est-elle positive ?
5) On suppose que r = s = 1. Calculer V ar(X).
Exercice 44 .
Question A - Soit U un nombre pris au hasard dans l’intervalle (0, 1) et (I1 , . . . , Im )
une partition de (0, 1) en m intervalles. On définit la variable aléatoire discrète K de
la manière suivante
∀k = 1, . . . , m ,
(K = k) si Ik contient U.
1) Déterminer la loi de la variable aléatoire K.
2) Nous nous intéressons à la longueur de l’intervalle qui contient U . Il s’agit d’une
variable aléatoire que l’on note L. Soit λ la mesure de Lebesgue sur (0, 1). Montrer
10
que
E[L] =
m
X
(λ(Ik ))2 .
k=1
Question B - Un individu cherche à localiser le point U dans l’intervalle (0, 1). Il
questionne un oracle qui connait la valeur de U et ne répond que par oui ou non. Le
joueur adopte la stratégie suivante. Il fixe un réel α dans (0, 1) et demande si U < α.
Il obtient une réponse qui lui permet de localiser U soit dans l’intervalle (0, α) soit
dans l’intervalle (α, 1) (étape 1). Le joueur procède alors itérativement en divisant
l’intervalle obtenu après chaque réponse en 2 sous-intervalles de longueurs respectives
proportionnelles à α et 1 − α puis en demandant si U se trouve dans le premier de
ces intervalles. Soit (Ikn )k∈{1...2n } la partition de (0, 1) en les 2n intervalles susceptibles
d’être obtenus après la réponse à la n-ième question.
1) Montrer que, pour tout k = 1, . . . , 2n ,
(n+1)
(n)
λ(I2k−1 ) = αλ(Ik )
(n+1)
λ(I2k
(n)
) = (1 − α)λ(Ik )
2) Soit α 6= 1/2. Démontrer par récurrence que la partition susceptible d’être obtenue à l’étape n contient exactement Cnr intervalles de longueur αr (1 − α)n−r ,
r = 0, . . . , n . (Un intérêt particulier sera accordé à la rédaction).
3) Nous cherchons à évaluer la précision sur l’estimation de U en considérant l’intervalle obtenu à la n-ième étape. Nous appelons n (α) la précision moyenne
obtenue lorsque U varie dans (0, 1).
a) En utilisant la question A, montrer que
n (α) = (α2 + (1 − α)2 )n
b) Avec la stratégie adoptée, quel choix de α vous semble-t-il optimal ?
c) Calculer la variance liée à la précision obtenue. Que vaut cette variance pour
la valeur obtenue précédemment ?
Exercice 45 . Soit α un nombre réel positif et U une variable aléatoire de loi uniforme
sur l’intervalle (0, 1). Déterminer la loi de la variable V = αU .
Exercice 46 .
Déterminer la loi de la variable X en sortie de l’algorithme suivant.
Répéter
V := 2 ∗ RAN DOM
Jusqu’à (V < 1.6)
X := V
Quelle est la loi du nombre d’appels de RAN DOM dans cet algorithme ?
11
Exercice 47 . Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle (0, 1).
Déterminer la fonction de répartition puis la densité, lorsqu’elle existe, de la variable
X définie par
√
a) X = U ;
b) X = (2U − 1)2 ;
c) X = 1/(1 + U ) .
Dans chacun des cas, déterminer (si c’est possible) l’espérance et la variance de X.
Exercice 48 .
Déterminer la loi de la variable X en sortie de l’algorithme suivant
Répéter
V := 1/(1 + RAN DOM )
Jusqu’à (V < 3/4)
X := V
Calculer E[X] et V ar(X) si ces grandeurs existent.
Exercice 49 . Soient U et V deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme
sur (0, 1). Déterminer la fonction de répartition de la variable
X = 1 (U <1/3) V + 1 (U ≥2/3) (1 + V ) .
Calculer E[X] et V ar(X).
Exercice 50 . Soit X une variable aléatoire réelle positive admettant pour densité f .
a) Démontrer à l’aide d’une intégration par parties l’identité suivante :
Z n
Z n
xf (x)dx =
P(x ≤ X ≤ n)dx .
∀n ≥ 1 ,
0
0
b) En déduire
Z
E[X] =
∞
P(X > x)dx .
0
Exercice 51 . Soient U1 , . . . , Un , n variables aléatoires réelles indépendantes de
fonction de répartition commune F . Déterminer la loi des variables
X = max Ui
i
et
Y = min Ui .
i
12
Application : traiter le cas où F est la fonction de répartition de la loi exponentielle
de paramètre λ > 0, puis la fonction de répartition de la loi U(0, 1). Calculer E[X] et
E[Y ].
Exercice 52 . Soient U1 , U2 , . . . des variables aléatoires réelles indépendantes de loi
U(0, 1) et N une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p indépendante
des Ui . Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
X = max Ui .
1≤i≤N
Calculer l’espérance de X.
Exercice 53 .
On considère la fonction F définie par

0
si t ≤ 0 ;



t si 0 ≤ t ≤ 1/2 ;
F (t) =
1/2
si 1/2 ≤ t < 1 ;



1
si t ≥ 1 .
Vérifier que F est une fonction de répartition. Quelle procédure peut-on utiliser pour
générer une variable aléatoire de fonction de répartition F ?
Exercice 54 .
[0, 1]. On pose
Soit U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur l’intervalle
2U
).
1+U
1) Déterminer la fonction de répartition de la variable X.
2) En déduire la densité de la variable X.
3) Calculer l’espérance de X.
4) Soit V une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1} indépendante de U et telle
que
P(V = 1) = 1/2 .
X = − ln(
Déterminer la fonction de répartition de la variable
Y = V X + (1 − V )X 2 .
5) Ecrire un algorithme de simulation de la variable Y .
6) On pose
Z = 1 (U >1/2) X .
Déterminer la fonction de répartition de la variable Z et tracer la courbe représentative de cette fonction.
7) Quelle est la loi de la variable aléatoire Z ?
8) Calculer l’espérance de Z.
13
9) Ecrire un algorithme de simulation de la variable Z.
10) On répète de manière indépendante la simulation de X jusqu’à ce que la condition (X < ln(3/2)) se réalise. On appelle T la variable alors obtenue. Déterminer
la fonction de répartition de la variable T et tracer la courbe représentative de
cette fonction.
11) Combien de répétitions sont en moyenne nécessaires pour que la condition se
réalise ?
12) Calculer l’espérance de T .
Exercice 55 .
Soit N une variable aléatoire discrète telle que
1
1
1
, P(N = 1) =
, P(N = 2) =
2
4
4
et M une variable aléatoire indépendante de N telle que
P(N = 0) =
1
1
, P(M = 1) =
3
3
Déterminer la loi de la variable M + N .
P(M = 0) =
,
P(M = 2) =
1
.
3
Exercice 56 . Dans une suite de parties de pile ou face indépendantes, on considère
la variable aléatoire Z égale au rang de la première apparition d’un pile suivi d’un face.
On suppose que la probabilité d’obtenir un pile lors d’une partie quelconque est p.
a) Déterminer la loi de la variable Z.
b) Déterminer la fonction génératrice de la variable Z (écrire Z comme la
somme de deux variables aléatoires indépendantes dont les lois sont classiques).
c) Calculer E[Z] et V ar(Z).
Exercice 57 . Les Dalton peuvent s’évader du bagne de deux manières différentes :
en creusant un tunnel ou en escaladant un mur. Ils choisissent de creuser avec la
probabilité p, 0 < p < 1 ou d’escalader avec la probabilité 1 − p. Lorsque l’évasion est
tentée, les Dalton sont immédiatement rattrapés par Lucky Luke avec la probabilité α,
0 < α < 1. Soit N le nombre d’essais nécessaires aux Dalton pour réussir une évasion
et X le nombre de tunnels creusés lors des tentatives successives.
1) Déterminer la loi de la variable aléatoire N .
2) Soient i, n deux entiers tels que i ≤ n. Quelle est la probabilité conditionnelle
de l’événement (X = i) sachant (N = n) ?
3) Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
4) Calculer l’espérance de la variable X.
Exercice 58 . L’objectif de ce problème est d’établir un résultat très célèbre en
théorie des nombres, dû à Hardy et Ramanujan (1930). La démonstration s’inspire de
Turan (1934).
14
0) Soient (Xi )i=1,...,n des variables aléatoires de Bernoulli et X = X1 + · · · Xn .
Montrer que
X
V ar(X) ≤ E[X] +
E[Xi Xj ] − E[Xi ]E[Xj ] .
i6=j
Désormais, les indices intervenant dans les sommes sont des nombres premiers.
1) Soit N un nombre pris au hasard uniformément dans l’ensemble {1, . . . , n} et p
un nombre premier plus petit que n. Montrer que l’espérance mathématique de
la variable Xp = 1 (p divise N ) est égale à bn/pc/n, où b.c désigne la partie entière.
2) Soit X le nombre d’entiers premiers p ≤ n qui divisent N . Montrer que
X 1
1
E[X] =
+ O( ) .
p
n
p≤n
On admet que la somme partielle est équivalente à ln ln n lorsque n tend vers
l’infini.
3) Soient p et q deux nombres premiers distincts inférieurs à n. Montrer que
E[Xp Xq ] − E[Xp ]E[Xq ] ≤
1 1 1 1
1
− ( − )( − ) .
pq
p n q n
En déduire que
X
E[Xp Xq ] − E[Xp ]E[Xq ] ≤
p6=q≤n
1 X 1 1
π(n) − 1 X 2
( + )≤
n p6=q≤n p q
n
p
p≤n
où π(n) compte les nombres premiers inférieurs à n.
4) En utilisant l’équivalent π(n) ∼ n/ ln n, montrer, pour n grand, que
V ar(X) ≤ ln ln n(1 + o(1)) .
5) À l’aide de l’inégalité de Tchebishev, montrer que
√
1
P(|X − ln ln n| > λ ln ln n) < 2 + o(1) .
λ
6) Pour tout x entier, notons f (x) le nombre de diviseurs premiers de x. Pour toute
suite λn → ∞, montrer que la proportion d’entiers x ≤ n tels que
√
√
ln ln n − λn ln ln n < f (x) < ln ln n + λn ln ln n
devient proche de 100% lorsque n grandit. Comment interprétez-vous ce résultat ?
15
4
Chapitre 5
Exercice 59 . Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires indépendantes à valeurs
dans (IR2 , B(IR2 )) de densité f(X,Y ) . Montrer que le support de f(X,Y ) est le produit
cartésien de deux sous-ensembles mesurables de IR.
Exercice 60 . Soient U, V deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme
sur (0, 1). Calculer la probabilité de l’événement (U < V ). Même question lorsque U
suit la loi exponentielle de paramètre λ et V la loi exponentielle de paramètre µ.
Exercice 61 . Dans une galette des rois de rayon R, Mamie Markov a placé une fève
circulaire de rayon r. Mickey coupe la galette en pointant le bout du couteau pile au
centre. Quelle est la probabilité de couper la fève ?
Exercice 62 .
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité
f(X,Y )(x, y) = 4 y (1 − x) 1 [0,1]2 (x, y).
a) Montrer que X et Y sont indépendantes.
b) Déterminer les densités de X et Y .
Exercice 63 .
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité
f(X,Y ) (x, y) =
2
1
√
xy
1 D (x, y)
où D = {(x, y) ∈ IR2 /0 < x ≤ y ≤ 1}.
a) X et Y sont-elles indépendantes ?
b) Déterminer les densités de X et Y .
c) Déterminer les densités conditionnelles de X sachant “Y = y” et de Y
sachant “X = x”.
d) Calculer E[X], E[Y ], V ar(X), V ar(Y ), Cov(X, Y ).
Exercice 64 .
Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes de loi N (0, 1).
a) Déterminer la densité de la variable R2 = X 2 + Y 2 .
b) Reprendre la question précédente en utilisant un changement de variables
approprié.
c) Reprendre la question précédente en utilisant la fonction caractéristique.
d) Calculer E[R2 ].
Exercice 65 . Soit Θ un angle aléatoire de loi U[−π/2,π/2] . On pose X = cos Θ ,
Y = sin Θ. Les variables X et Y sont-elles corrélées ? Sont-elles indépendantes ?
16
Exercice 66 . Soient X et Y deux variables indépendantes de loi respectivement
G(a, λ) et G(b, λ). On pose Z = X + Y et T = Y /X. Déterminer la loi du couple
(Z, T ). Montrer que Z et T sont indépendantes, déterminer leurs lois respectives.
Exercice 67 . (Source AB) Des fois, quand la circulation automobile à Paris est bien
bloquée, Jack quitte sa paillasse sous le pont Sully pour remonter la voie sur berge, en
demandant à chaque automobiliste une cigarette papier maı̈s à bout filtre. A chaque
voiture, il a une probabilité p d’en obtenir une. On note X le nombre de demandes qu’il
a dû faire avant d’obtenir sa cigarette. Ayant obtenu une (resp. n) cigarette(s), Jack
redescend la même file de voitures jusqu’à son repaire pour faire la manche auprès de
ceux qu’il a déjà sollicités en vain. La probabilité d’obtenir une aumone est alors q à
chaque véhicule. Il obtient Y nouvelles cigarettes.
a) Etablir la loi de probabilité de X, son espérance et sa variance.
b) Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant que X = ` et la loi du couple
(X, Y ).
c) Déterminer la loi de Y et calculer E[Y ].
Exercice 68 .
conjointe
On considère un couple de variables aléatoires (X, Y ) de densité
f (x, y) =
cye−x si (x, y) ∈ ∆ ,
0
sinon.
où c est une constante positive et ∆ est le domaine de IR2 défini par
∆ = {(x, y) : 0 < y < x} .
1) Déterminer la constante c.
2) Déterminer les lois marginales des variables X et Y ainsi que la covariance du
couple (X, Y ).
3) Déterminer la loi conditionnelle de la variable Y sachant X = x. En déduire
l’espérance conditionnelle E[Y |X = x].
4) Soit X une variable de loi G(3, 1) et U √une variable de loi U(0, 1) indépendante
de X. Déterminer la loi du couple (X, U X). En déduire un algorithme de simulation du couple de densité f .
Exercice 69 .
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité
f(X,Y ) (x, y) = 4y(x − y)e−(x+y) 1 D (x, y)
où D = {(x, y) ∈ IR2 : 0 < y < x}. Calculer la moyenne conditionnelle mYX=y , pour
tout y > 0. En déduire l’espérance conditionnelle E[X|Y ]. Calculer E[X].
Exercice 70 . Ecrire un algorithme de simulation pour le couple de variables aléatoires
de densité
1
f(X,Y ) (x, y) = √ 1 D (x, y)
2 xy
17
où D = {(x, y) ∈ IR2 : 0 < x < y < 1}.
Exercice 71 . Expliciter l’algorithme de rejet par rapport à la loi uniforme pour une
variable X de densité f dans (0, 1) et prouver que cet algorithme simule la variable
souhaitée.
Exercice 72 .
On désire simuler une variable aléatoire Y de densité
∀y ∈ IR ,
fY (y) =
3p
1 − y11[0,1] (y).
2
a) Trouver un domaine de D de IR2 et une variable X tels que le couple (X, Y )
soit de loi uniforme sur le domaine D. (On pourra chercher D de la forme
{(x, y) ∈ IR2 : 0 < x < g(y)}.)
b) En déduire un algorithme de simulation de la variable Y .
c) Ecrire l’algorithme de rejet pour la variable Y à partir de la loi U(0, 1)
(avec la constante optimale). Comparer avec l’algorithme de la question
précédente.
Exercice 73 .
Utiliser la méthode de rejet pour simuler la variable de densité
∀x ∈ IR,
f (x) = 20x(1 − x)3 1 [0,1] (x)
à partir de la loi U(0, 1). Quelle est l’espérance du nombre d’appels de RAN DOM
dans l’algorithme ainsi obtenu ?
Exercice 74 .
Soit 0 < a < 1. On considère l’algorithme
X ←− 0
Répéter
X ←− X + RAN DOM
jusqu’à (X > a)
Soit N (a) le nombre d’appels de RAN DOM dans cet algorithme.
a) Démontrer, par récurrence, en conditionnant à la valeur du dernier appel
de RAN DOM
an
∀n ≥ 0, P(N (a) > n) = .
n!
b) Calculer l’espérance de la variable N (a).
c) Calculer la fonction génératrice de la variable N (a).
18
Exercice 75 .
Soit 0 < x < 1. On considère l’algorithme
Y ←− x ; X ←− RAN DOM
Tant que (Y < X) faire
Y ←− X
X ←− RAN DOM
FinTantque
Soit N (x) le nombre d’appels de RAN DOM dans cet algorithme. On pose f (x) =
E[N (x)].
a) En conditionnant à la valeur du premier appel de RAN DOM , montrer que
f satisfait à
Z
1
f (u)du.
f (x) = 1 +
x
b) Calculer f (x).
Exercice 76 . Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles positives indépendantes
et de même loi. On dit qu’il y a record au temps n > 1 si
Xn ≥ max Xi .
1≤i≤n−1
a) Déterminer la probabilité de record au temps n.
b) Calculer le nombre moyen de records passés au temps n.
c) Que pensez vous de l’assertion : on battra toujours des records.
5
Chapitre 6
Exercice 77 .
E(1). On pose
Soient X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes de même loi
T = X +Y
U = Y +Z
V = Z
Déterminer la loi du triplet (T, U, V ) ainsi que sa matrice de covariance.
Exercice 78 . Soit X un vecteur de IR3 de norme 1 dont la direction est aléatoire et
distribuée uniformément sur la sphère unité.
19
a) Soit C une transformation orthogonale de IR3 . Montrer que X et CX ont
même loi.
b) Calculer l’espérance de X.
c) Quelle est la matrice de covariance de X ? Donner une interprétation géométrique
de ce résultat.
Exercice 79 .
a) Soit X une variable aléatoire de loi N (0, σ 2 ). Quelle est la loi de X 2 ? Quelle
est sa fonction caractéristique ?
b) Soit X une vecteur aléatoire gaussien dans IRn de moyenne nulle et de
matrice de covariance régulière ΛX .
– Montrer qu’il existe un vecteur gaussien Y dont les coordonnées sont
indépendantes
la norme est égale à la norme de X.
Pn et dont
2
– Soit S 2 =
X
.
Montrer
que la fonction caractéristique de S 2 est
i
i=1
égale à
1
, t ∈ IR.
φ(t) = p
det(I − 2itΛX )
Exercice 80 .
Soit X une variable aléatoire de loi N (0, 1) et S une variable
indépendante de X, prenant les valeurs +1 et −1 avec probabilté 12 . On pose Y = SX.
a) À l’aide de la fonction caractéristique, montrer que Y suit la loi N (0, 1).
b) Calculer Cov(X, Y ).
c) À l’aide de la fonction caractéristique, montrer que le couple (X, Y ) n’est
pas gaussien.
Exercice 81 .
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité
f(X,Y ) (x, y) = A exp(−x2 + xy − y 2 /2) , (x, y) ∈ IR2 .
a) Déterminer la constante A. Montrer que (X, Y ) est un vecteur aléatoire
gaussien. Ecrire son espérance, sa matrice de covariance, sa fonction caractéristique.
b) Quel est le coefficient de corrélation de X et de Y ?
c) Déterminer la matrice de covariance du couple (X, Y − X). En déduire la
loi de la variable X 2 + (Y − X)2 .
d) Ecrire un algorithme de simulation du couple (X, Y ).
Exercice 82 . Soit (X, Y, Z) un vecteur aléatoire gaussien de moyenne nulle et de
matrice de covariance K égale à


2 1 1
 1 2 1 
1 1 2
20
On pose
U = −X + Y + Z
V = X −Y +Z
W = X +Y −Z
a)
b)
c)
d)
e)
Déterminer la loi des variables U , V et W .
Déterminer la matrice de covariance du vecteur (U, V, W ).
Ecrire un algorithme de simulation d’une variable de loi N (0, K).
Quelle est la loi de la variable (U 2 + V 2 + W 2 )/4 ?
Quelle est la loi X ? Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant (X = x) ?
Quelle est la loi conditionnelle de Z sachant ((X = x) et (Y = y)) ? En
déduire un nouvel algorithme de simulation d’une variable de loi N (0, K).
f) Comparer ces différents algorithmes.
Exercice 83 .
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité
∀(x, y) ∈ IR2 ,
f(X,Y ) (x, y) = C exp(−
4x2 − 2xy + y 2
)
6
où C est une constante positive.
1) Montrer que le couple (X, Y ) est gaussien, de moyenne m = (0, 0) et de matrice
de covariance
1 1
K=
.
1 4
En déduire la valeur de la constante C.
2) Déterminer la loi de X, de Y . Quelle est la valeur de cov(X, Y ) ? Les variables
X et Y sont-elles indépendantes ?
3) On pose
U = X −Y
V =
X
Montrer que le couple (U, V ) est gaussien et caractériser sa loi. Les variables U
et V sont-elles indépendantes ?
4) Ecrire un algorithme de simulation pour le couple (X, Y ). (On prendra soin de
démontrer que le couple en sortie de cet algorithme est bien de densité f(X,Y ) .)
5) Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant X = x .
6) À la suite de la question précédente, écrire un nouvel algorithme de simulation
du couple (X, Y ).
Exercice 84 . Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi respectives
E(1) et E(λ).
1) Calculer la probabilité de l’événement (Y < X).
21
2) On s’intéresse à la loi conditionnelle de X sachant que l’événement (Y < X) est
réalisé. Montrer que
Z t
∀t ≥ 0, P(Y < X ≤ t) =
(e−y − e−t )λe−λy dy
0
En déduire que la fonction de répartition de la loi cherchée vérifie
∀t ≥ 0,
F (t) = 1 − e−t +
1 −(1+λ)t
e
− e−t .
λ
3) Calculer l’espérance d’une variable aléatoire de loi définie ci-dessus et montrer
que cette espérance tend vers 2 lorsque λ tend vers 0.
6
Chapitre 7
Exercice 85 . Soit (a(n))n≥1 une suite de réels compris entre 0 et 1 telle que a(n) → 0
lorsque n → ∞. Pour tout n ∈ IN , on considère l’algorithme An
Xn ←− 0
Répéter
Xn ←− Xn + 1
jusqu’à (RAN DOM > a(n))
Examiner les convergences en loi, L2 et presque sûre de Xn en sortie de l’algorithme
An lorsque n → ∞. Idem pour la variable Yn = (1 − a(n))Xn .
Exercice 86 . Soit (a(n))n≥1 une suite de réels positifs telle que a(n) → 0 lorsque
n → ∞. Pour tout n ∈ IN , on considère l’algorithme An
Xn ←− − ln(RAN DOM ) ∗ a(n)
Examiner les convergences en loi, L2 et presque sûre de Xn en sortie de l’algorithme
An lorsque n → ∞.
Exercice 87 .
Soit (fn )n≥1 la suite de fonctions de [0, 1] dans IR définies par
1
2n
√
3
1
1
2 n − 2n 2 x ,
≤x≤
2n
n
1
0, x≥ .
n
3
fn (x) = 2n 2 x , 0 ≤ x ≤
22
Pour tout n ∈ IN , on considère l’algorithme An
Xn ←− fn (RAN DOM )
Examiner les convergences en loi, L2 et presque sûre de Xn en sortie de l’algorithme
An lorsque n → ∞. (même question avec fn2 à la place de fn ).
Exercice 88 . Soit (a(n))n≥1 une suite de réels positifs
P∞et (Xn )n≥1 une suite de
variables aléatoires bornées uniformément.
P∞ On suppose k=1 a(k) < ∞. Montrer l’
existence presque sûre de la variable k=1 a(k)Xk .
Application - On pose a(n) = 101n et (Xn )n≥1 est une suite de variables aléatoires de loi
uniforme sur l’ensemble {0, P
. . . , 9} que l’on suppose indépendantes. Montrer l’existence
presque sûre de la variable ∞
k=1 a(k)Xk et en déterminer la loi.
Exercice 89 .
Montrer la convergence en loi de la suite de sommes partielles
Yn =
n
X
Xk /2k
k=1
où les Xk sont des variables gaussiennes indépendantes de loi N(m, σ 2 ).
Exercice 90 . Soit (an ) une suite de réels positifs tendants vers +∞. On considère
l’algorithme A\ suivant
Xn ←− − ln(RAN DOM )
Yn ←− an ∗ RAN DOM
Si (Xn < Yn )
Zn ←− 0
sinon
Zn ←− 1
FinSi
Montrer que la suite (Zn ) converge en loi vers la masse de Dirac en 0. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la suite (an ) pour que la suite (Zn ) converge
presque sûrement.
Exercice 91 . Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de
Bernoulli de paramètre p et (Yn ) une suite de variables indépendantes de loi de Bernoulli
de paramètre q, q > p. On suppose de plus les deux suites indépendantes. On forme
les sommes partielles
Sn = X1 + · · · + Xn ,
23
n = 1, 2, . . .
et
Tn = Y1 + · · · + Yn ,
n = 1, 2, . . .
Montrer que les événements (Sn > Tn ) se réalisent p.s. en nombre fini.
Exercice 92 . Soient (Un ) et (Vn ) deux suites de variables aléatoires de loi uniforme
sur l’intervalle [0, 1]. On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes dans
leur ensemble. On pose
Xn = 1 si Un2 + Vn2 ≤ 1
∀n ≥ 1 ,
0 sinon
et Zn = 4(X1 + . . . + Xn )/n.
1) Déterminer la loi de la variable Xn .
2) Montrer que la suite (Zn ) converge presque sûrement vers π = 3.14159...
3) Soit α ∈ ]0, 1[ et > 0.
a) A l’aide de l’inégalité de Markov, déterminer un entier n0 tel que
∀n ≥ n0 ,
P(|Zn − π| > ) ≤ α .
b) A l’aide du théorème central limite, donner une approximation de la
probabilité P(|Zn − π| > ). Quel entier n0 peut-on alors choisir ?
4) Ecrire un algorithme qui retourne une valeur approchée de π à 10−4 près, avec
une probabilité supérieure à 0.95.
Exercice 93 . Une agence de voyage dispose de 100 places sur un vol Paris-New York.
Pour tenir compte des éventuels désistements, elle décide d’accepter 120 réservations.
La probabilité pour qu’un passager ayant réservé se présente à l’embarquement est 0.8
et les passagers sont supposés indépendants.
a) Quelle est la loi de la variable aléatoire S égale au nombre de passagers
qui, ayant réservé leur place par l’agence, se présenteront effectivement à
l’embarquement ?
b) En utilisant le théorème central limite, calculer la probabilité pour que le
nombre de passagers présents à l’embarquement soit supérieur à 100.
c) Combien de réservations au maximum l’agence aurait-elle dû accepter pour
que cette probabilité soit inférieure à 0.01 ?
Exercice 94 . (Source AB) Contrôle industriel.
Dans la fabrique d’emmental
de Jojo, les trous sont obtenus grâce à la trouilleuse qui fabrique les trous un à un. Cette
machine, fabriquée en bois par Jojo, n’est pas très fiable : lorsqu’on la fait marcher
pour faire un trou, elle ne réussit que dans 80 pour cent des cas. Dans le milieu de la
fromagerie, on dit qu’un emmental est correctement troué s’il a au moins 250 trous.
Combien de fois au moins doit on faire marcher la trouilleuse sur un même emmental
pour être sûr à 95 pour cent d’obtenir un fromage correctement troué.
24
Exercice 95 . Un cinéma comporte deux salles contenant chacune n places. N
personnes se présentent à l’entrée (n < N < 2n). Chaque spectateur choisit au hasard
et indépendamment des autres la salle où il rentre.
a) Soit S le nombre de spectateurs qui choisissent la première salle. Quelle est
la loi de S ?
b) Exprimer en fonction de S, de n et de N l’évènement E : “tous les spectateurs peuvent entrer dans la salle de leur choix”.
c) Comment le constructeur aurait-il dû choisir n si N = 1000 et si on exige
que la probabilité de l’évènement E soit au moins égale à 0.99.
Exercice 96 . 0n fait 100 parties de pile ou face avec une pièce équilibrée. Quelle
est la probabilité d’obtenir au plus 40 faces ? Au plus 50 faces ? Au moins 45 faces et
au plus 55 faces ?
Exercice 97 . Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(n, p). Montrer que
quand n tend vers +∞ et p vers 0 avec np = λ, où λ > 0 est fixé, alors P [ X = k ]
k
tend vers e−λ λk! .
On étudie l’arrivée des appels dans un central téléphonique. On admet que, durant
un intervalle de temps de 10 secondes, la probabilité qu’un appel survienne est p et
la probabilité qu’il n’y ait pas d’appel est 1 − p (on néglige la probabilité qu’il y ait
plus d’un appel sur un tel intervalle). On suppose que les événements concernant des
périodes successives de 10 secondes sont indépendants. Soit X la variable aléatoire
“nombre d’appels au cours d’une heure”. Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner
une approximation de la probabilité qu’il y ait 15 appels dans l’heure quand p = 0.05.
7
Chapitre 8
Exercice 98 . Un message peut prendre deux formes - 0 ou 1 - et doit être transmis d’un individu A à un individu B par une suite de N intermédiaires. Chaque intermédiaire modifie le message de 0 en 1 avec probabilité p et de 1 en 0 avec probabilité
q, indépendamment des modifications précédentes. Soit Xn la forme prise par le message après le passage par le nième intermédiaire.
a) Montrer que la suite (Xn )n≥0 est une chaı̂ne de Markov homogène. Donner
sa matrice et son graphe de transition. La chaı̂ne est-elle irréductible ?
b) Exprimer la loi de la variable XN en fonction de la loi de X0 .
c) Montrer la convergence en loi de XN lorsque N tend vers l’infini.
d) On suppose p > 0, q = 0 et X0 = 0. Montrer la convergence presque sûre
de XN vers 1 lorsque N tend vers l’infini.
e) Soit
T0 = inf{n ≥ 1; Xn = 0}.
Calculer E[T0 | X0 = 0]. Que constate-t-on ?
25
Exercice 99 . Un rat se trouve dans un labyrinthe face à deux portes. Il choisit la première de ces deux portes avec probabilité 31 et la deuxième avec probabilité
2
. Quand il choisit la première porte, il revient à son point de départ en une mi3
nute. Quand il choisit la deuxième porte, il effectue un trajet d’une minute (jusqu’à
un point intermédiaire) puis rebrousse chemin avec probabilité 21 (le retour lui prend
alors une minute) ou sort du labyrinthe en une minute. Tous les choix du rat se font
indépendamment les uns des autres. Soit T le temps passé par le rat dans le labyrinthe.
Quelle est la loi de T ? Calculer E[T ].
Exercice 100 . Une boı̂te A contient initialement deux jetons portant chacun le
numéro 0, une boite B contient initialement deux jetons portant chacun le numéro 1.
On procède à l’expérience suivante. On choisit au hasard et simultanément un jeton de
A et un jeton de B. On place dans B le jeton de A et dans A le jeton de B, puis on
recommence. . .
On note Xn la somme des points des jetons contenus dans A après n échanges.
a)
b)
c)
d)
e)
Trouver une relation entre la loi de Xn et celle de Xn−1 .
En déduire la loi de Xn et son espérance mathématique.
Quelle est la loi limite de Xn ?
Proposer un algorithme de simulation de la variable Xn .
Reprendre la question c) lorsque les boı̂tes A et B contiennent un nombre
arbitraire identique de jetons.
Exercice 101 . On souhaite modéliser l’évolution de conditions météorologiques à
l’aide d’un processus (Xn ) à deux états {0, 1}. On considère que Xn = 0 si le soleil s’est
montré au jour n et dans le cas contraire on pose Xn = 1. La prévision de la variable
Xn+1 se fait au vu de l’observation des conditions aux jours n et n − 1, c.à.d,
P(Xn+1 = k | X0 = i0 . . . Xn−2 = in−2 ; Xn−1 = i ; Xn = j) = q(i,j), k
pour tout i0 , i1 , . . . , in−2 , i, j, k dans {0, 1}. On estime
q(0,0), 0 = α ;
q(1,1), 1 = β
où 1/2 < α, β < 1
et
q(0,1), 0 = q(1,0), 0 = q(0,1), 1 = q(1,0), 1 = 1/2 .
a) Quelles sont les valeurs de q(0,0), 1 et q(1,1), 0 ?
b) On pose Yn = (Xn , Xn+1 ) pour tout n ≥ 0. Montrer que (Yn ) est une chaı̂ne
de Markov homogène sur E = {(00), (10), (01), (11)}. Quelle est sa matrice
de transition ?
c) Montrer que la suite (Yn ) converge en loi vers une loi π que l’on determinera.
d) En déduire que la suite (Xn ) converge en loi vers une loi µ que l’on déterminera.
26
Exercice 102 . Soit 0 < p < 1. On considère une chaı̂ne de Markov (Xk )k≥0 définie
sur l’ensemble E = {1, . . . , n} par la matrice de transition


p 1−p
0
...
 p
0
1−p
0
... 


 p
.
.
1 − p ... 


P =



 p
0
...
0
1−p 
1
0
0
1) Représenter le diagramme des transitions de la chaı̂ne.
2) Démontrer la convergence en loi de la suite (Xk ) indépendamment de la loi de
X0 . Déterminer la mesure de probabilité invariante de la chaı̂ne.
3) Vérifier que la mesure de probabilité invariante est la loi conditionnelle d’une
variable géométrique conditionnée à être plus petite que n.
27
Ensimag 1re année
2004-2005
Probabilités Appliquées
28 Janvier 2005
Durée 3h00 - Tous documents autorisés.
Barème indicatif : I : 6 - II : 8 - III : 6
Problème I - Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur (0, 1) et I une variable
de loi de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de U .
1) On pose
X = (1 − 2I)(1 − U 0.25 )
Déterminer la fonction de répartition de X ainsi que sa densité. Calculer E[X]
et V ar(X).
2) On considère quatre variables indépendantes U1 , . . . , U4 de loi uniforme sur (0, 1)
et on note W = mini Ui . Déterminer la loi de la variable
Y = (1 − 2I)W
en supposant I indépendante de W . Que remarque-t-on ?
3) Proposer une méthode de simulation pour une variable aléatoire de densité
 3
si 0 ≤ x ≤ 1 ;
 2x
3
2(2 − x) si 1 ≤ x ≤ 2 ;
∀x ∈ R, f (x) =

0
sinon.
Problème II - Un rat se trouve dans un labyrinthe face à m portes (m ≥ 2) dont une
seule conduit à la sortie. Lorsqu’il emprunte une porte ne conduisant pas à la sortie,
il revient au point initial. On s’intéresse au nombre de portes empruntées par le rat
avant de sortir du labyrinthe. On note X cette variable aléatoire.
1) Le rat n’a pas de mémoire. Déterminer la loi de X et son espérance.
2) le rat n’a toujours pas de mémoire. On démarre l’expérience avec 2 portes et,
à chaque erreur, on rajoute une (mauvaise) porte. Déterminer la probabilité de
l’événement (X > k), k ≥ 0, la loi et l’espérance de X.
3) Le nombre de portes est à nouveau fixe, égal à m. Le rat n’a pas de mémoire
pendant ` ≥ 1 essais, puis il a ensuite une mémoire immédiate et évite la dernière
porte visitée.
a) Déterminer la loi de la variable
X 0 = Y 1 (Y ≤`) + 1 (Y >`) (` + Z)
où Y et Z sont indépendantes, de loi respectives G(1/m) et G(1/(m − 1)).
b) Montrer que X a la même loi que la variable X 0 .
c) Déduire de la question précédente un algorithme de simulation de X.
Problème III.
Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi
exponentielle de paramètre λ > 0. On pose
∀n ≥ 1,
Sn = X1 + . . . + Xn ,
et on note fSn (s) la densité de probabilité de la variable Sn (que l’on ne cherchera pas
à calculer immédiatement).
1) Soit n ≥ 0. Déterminer la densité conjointe du couple (Sn , Xn+1 ).
2) Soit t ≥ 0. Déterminer un sous-ensemble Bt de R2+ tel que
ZZ
fSn (s) λe−λx dsdx.
P(Sn+1 > t) =
Bt
3) Montrer que
Z
∀t ≥ 0,
P(Sn+1 > t) =
t
P(Sn > t − x) λe−λx dx + e−λt .
0
4) Démontrer que
∀t ≥ 0,
−λt
P(Sn > t) = e
(λt)n−1
1 + λt + . . . +
(n − 1)!
.
5) Soit N une variable aléatoire de loi géométrique G(p) indépendante des (Xn ).
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
SN = X1 + . . . + XN .
Quelle est la loi de la variable SN ?
Ensimag 1re année
2004-2005
Probabilités Appliquées
Mercredi 18 mai 2005
Durée 3h00 - Tous documents autorisés.
Barème indicatif : I : 6 points. II : 5 points. III : 9 points.
Problème I - On considère un couple (X, Y ) de variables aléatoires de densité conjointe
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x, y) = cx2 y11D (x, y) ,
où c est une constante positive et D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < x < y < 1} .
1) Déterminer la valeur de c, la loi de la variable Y , la densité de la loi conditionnelle
de X sachant Y = y pour tout y ∈ (0, 1), et l’espérance conditionnelle E[X | Y ].
2) Calculer E[X].
3) Calculer la covariance du couple (X, Y ).
4) Écrire un algorithme de simulation d’un couple de densité f .
5) On pose
Z = XY
T = Y
Déterminer la loi du couple (Z, T ) et en déduire la loi de la variable Z.
Problème II. - On considère un couple gaussien (X, Y ) de moyenne nulle et de matrice
de covariance
4 −2
K=
.
−2 9
1) Décrire la loi du couple (Z, T ) défini de la manière suivante
Z=X
T =X +Y
2) Déduire de la question précédente la loi de l’espérance conditionnelle E[X | T ].
3) Trouver une application linéaire inversible
a11 a12
A=
,
a21 a22
telle que les coordonnées a11 X + a12 Y et a21 X + a22 Y sont indépendantes.
4) Décrire un algorithme de simulation du couple (X, Y ).
Problème III. - On considère une suite (Un ) de variables aléatoires indépendantes de
loi uniforme sur (0, 1) et la fonction
p
∀u ∈ (0, 1), ϕ(u) = (1 − u)u3 .
1) Pour tout n ≥ 1, on pose
n
Yn =
1X
ϕ(Ui ).
n i=1
Montrer que la suite Yn converge p.s. vers la limite I définie ci-dessous
Z 1
ϕ(u)du .
I=
0
On admettra jusqu’à la question 8) que I = π/16.
2) Calculer la variance de la variable aléatoire Yn .
3) Soit = 10−3 . À l’aide du théorème de tendance vers la loi normale, donner une
estimation du rang n à partir duquel on peut considérer que
P(|Yn − I| < ) ≥ 0.95 .
(Rappel : La fonction de répartition de la loi normale F (t) est approximativement
égale à 0.975 au point t = 1.96).
4) On considère la loi de densité f définie sur l’intervalle (0, 1) de la manière suivante
∀v ∈ (0, 1), f (v) = 6v(1 − v).
et une suite (Vn ) de variables aléatoires indépendantes et de loi de densité f . Pour
tout n ≥ 1, on pose
n
1 X ϕ(Vi )
Zn =
.
n i=1 f (Vi )
Montrer que la suite Zn converge p.s. vers I et comparer la variance de la variable
Zn à celle de Yn .
5) Écrire un algorithme de simulation de la loi de densité f .
6) Proposer deux algorithmes de calcul de l’intégrale I s’appuyant sur les questions 1) et 4). Lequel vous semble le plus performant des deux pour n appels du
générateur aléatoire ?
7) Soit 1 ≤ α ≤ 3. On considère désormais que f appartient à la famille de densités
fα définies sur l’intervalle (0, 1) de la manière suivante
∀v ∈ (0, 1),
fα (v) = cα v α (1 − v).
Calculer la constante cα . À quel choix de α correspond l’algorithme de calcul de
I le plus performant ? La performance est-elle supérieure à celle de l’algorithme
s’appuyant sur la question 1) ?
8) Démontrer que I = π/16.
Ensimag 1re année
2004 -2005
Probabilités Appliquées
Septembre 2005
Durée 3h - Tous documents autorisés. Les parties I, II, III sont indépendantes.
Barème indicatif : I : 6 - II : 7 - III : 7
Problème I - On considère la densité de probabilité fX suivante
fX (x) = (1 − |x|) 1 [−1,+1] (x),
x ∈ IR.
1) Calculer l’espérance et la variance de la loi de densité fX .
2) Utiliser la méthode de simulation par inversion pour simuler la loi de densité
fX .
3) Montrer que la variable X a pour densité fX en sortie de l’algorithme suivant
X := alea() ; Y := alea()
if ( X > Y ) then X := Y endif
if ( alea() < 0.5 ) then X := -X endif
où alea() désigne un générateur aléatoire de loi uniforme sur [0, 1].
4) Soit (U, V ) un couple de variables aléatoire de loi uniforme sur (0, 1). Étudier la
loi de la variable Y = U − V .
Problème II - Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1] et Y une variable
aléatoire dont la loi conditionnelle sachant X = x est la loi uniforme sur [0, x] pour
tout x ∈ (0, 1).
1) Soit x ∈ (0, 1). Quelle est la fonction de répartition de la loi conditionnelle de Y
sachant X = x ?
2) Donner un algorithme de simulation du couple (X, Y ).
3) Soit 0 ≤ t ≤ 1. Montrer que la fonction de répartition de la variable Z = X + Y
est égale à
∀0 ≤ t ≤ 1, F (t) = t log(2)
4) Soit 1 ≤ t ≤ 2. Montrer que la fonction de répartition de la variable Z = X + Y
est égale à
Z 1
∀1 ≤ t ≤ 2, F (t) =
P(Y ≤ t − x | X = x)dx,
0
et calculer cette fonction pour tout t ≥ 0. Tracer une représentation graphique
de la fonction F .
5) Calculer E[Z] (Il est possible de traiter cette question sans répondre aux questions 3 et 4).
6) Calculer E[Z 2 ](Il est possible de traiter cette question sans répondre aux questions 3 et 4) .
Problème III - Une urne contient une boule noire et une boule blanche. On effectue
dans l’urne une série de tirages avec remise selon la règle suivante. Lorsque l’on tire une
boule blanche, on remet dans l’urne une boule noire (l’urne contient alors deux boules
noires). Lorsque l’on tire une boule noire, on remet dans l’urne une boule noire avec
la probabilité p, ou une boule blanche avec la probabilité q = 1 − p (0 ≤ p ≤ 1). On
note πn la probabilité pour que l’urne contienne une boule noire et une boule blanche
à l’issue du ne tirage (après remise).
e
1) Soit Xn le nombre de boule(s) noire(s) contenue(s) dans l’urne à l’issue du n
tirage (après remise). Décrire la loi de la variable X1 .
2) Décrire la loi conditionnelle de la variable Xn sachant Xn−1 = 0, 1 ou 2 (3 cas).
3) Montrer que la probabilité πn converge vers une constante π(p) que l’on calculera
(ne pas chercher à calculer πn ).
4) Justifier le fait que la vitesse de convergence est d’ordre linéaire, c.à.d,
1
log |πn − π(p)| → log(λ),
n
et calculer la constante λ.
λ>0