Évaluation et risque de taux des instruments à taux variable ou

CONTRIBUTION No 33
PAR / BY
H. GEMAN, R PORTAIT, T.d'ARCHIMBAUD
France
312 EVALUATION ET RISQUE DE TAUX DES INSTRUMENTS A TAUX
VARIABLE OU REVISABLE OU REVISABLE :
UNE ANALYSE PAR ARBITRAGE
THOMAS D'ARCHIMBAUD
Directeur des march& francs au C M t du Nord
HELYElTE GEMAN
Professeur associC & Finance h I'ESSEC Directeur & Caisse des Bp&s
- Recherche Mveloppement
ROLAND FQRTAlT
Professeur de Finance h I'ESSEC
ABSTRACT
The paper addresses the issues of valuation +nd risk analysis of the different types of
floating-ratessecurities.
In its most general covenants, a floater is defined as
where a belongs to the interval (o,l), I is an index expressing either the carrent level of
a market interest rate or a time-average value of market interet rates, k is a lag and
a
markup.
The paper raises and attempts to answer the following questions :
- What is the market value of such a floater ?
- What relation between pa and a prevails in an arbitragefree economy ?
- What is the sensitivity of a floater to market interest rates and markups ?
A distinction will be made between two kinds of i n s ~ t available
s
on the French
market, namely t h e whose coupon is predetermined (the most cammon in the US.
market) and those whose coupon is postdetermined (fresuenfly enanmered in the French market)
EVALUATION ET RISQUE DE TAUX DES INS'IRUMENTS A TAUX V A W m W
-AEU
: UNE ANALYSE PAR ARBITRACE
313
INTRODUCTION
Nous mxls intkessons au problkme de 1'6valuation et de la mesure du risque d'insauments a taux variable Qnt le coupon, pay6 en t, est de la forme:
avec :
a Coeficient multiplicatif E (0.1)
I(t-k) un indice ddfini cornme un taux de march6 de w e moyenne arithmdtique de taux
sur un intervalle se terminant en t-k
k un p a r d t r e de retard
une marge
La mdlhode vaditio~elleconsiste ?i figer l a conditions de march6 qui pr6valent; ce faisant on se ramhe au cas bien connu des instruments ?
taux
i fure mais on hacue m p E tement ce qui fait la sp&ificid des instruments il taux variable.
Nous adoptons une aproche plus gdnerale en proddant par arbitrage.
Nous montrons ainsi que tout instrument taux variable dont le coupon est de la forme
d(t-k) + P peut C u t dupliqud au moyen d'instruments dont la valeur est amnue (&mcoupons, FRA...). La valeur de l'instrument k taux variable, et la mesure de son risque,
s'en dckluisent. On montre ainsi que la marge j3 d'un instrument a'taux variable "standard" l'hission(a= 1) est uniquernent d6fmie par la structure des taux.
Nous explicitons donc la relation entre structure des taux et marge. Nous travaillolls pour
cela avec une gamme de taux do&. Cela suppose des conditions de n6gociabiitt5, de
signature et des caract6ristiqua contractuelles, homog&nes,entre tous les instruments
considMs.
Dans le cas contraire (ex. Swap non ndgociable par opposition il obligation ti taux
variable - rdgociable et plus sQre)il faut introduire des gammes de taux dBQentes avec
des spreads entre gamma.
Cette approche permet de montrer que la marge d'un instrument ti taux variable quelconque est fonction de a et de la structure des taux. Elle permet en outre, & situex les
instruments taux variable dam l'ensemble &s instruments de marcjt inconditionnels
(tau fixes, Swaps...). Des wnsiddrations sur le wilt & la liquidid bamahe s'en M u i sent.
-
SECTION 1 DEFINITION
Nous nous p l a p s l'instant t et nous nous inthssans aux titres in fine d'&m
t+
n donnant droit au paiernent rdguLier d'un coups dhmird par la relatian
314
D'ARCHIMBAUD
GEMAN
PORTAIT
oil T &note la date de disuibution du prochain coupon (t<z<t+ l).et (n + t) coupqns smt
encore dGs.
Cs est le coupon relatif A la @ride (s - 1 ,s) et pay6 en s, I est un indice de r6fCrence. la
p6riodc est d6finie m e l'intervalle s6parant &w coupons sudssifs.
a et p sont respectivement un cocficient multiplicatif' 5 1 et une marge (dite faciale)
fix& lors de 1'6rnission de tiw.
Sur le march6 primaire, le pix d'drnission est contraint d'etre au pair et la marge P sur
ces titres d6pend des conditions du march6 en t et des caracgristiques a , n, k, et I.
Lorsque nous ponerons une attention particulikre a la relation liant 3j et a sur le march6
primaire et que les caractdristiques du titre (n,k, I) ne donnent lieu aucune ambiguitk,
nous &xirolls cette "marge de march&' m a t ) avec dwda 4
Nous distinguerons sur le march6 primaire les titres pour lesquels a = 1 que nous
qualifierons de "standard" et nous poserons P(l ,t) = P(t).
lors, un titre venant de distribuer un coupon et dont la marge est Kt) est au pair.
I@k, d) est un indice calcul6 sur la base d'une moyenne arithmetique de taux de march6
sur une durk d. On p u t repn5senter cet indice sous la forme:
Lorsque d est nul, l'indicc, not6 I(T - k) est dit "instanWS.Dans ce cas :
k est la dur& (mesunk en nombre de p6rides) &parant la date (z - k) & fmtion du
coupon de la date de paiement du coupon (2). Le coupon pay6 en T &ant relatif b la
@node (T - 1, T), il y aura lieu de distinguer le cas oh k2 1 (taux "r6visable" : la valeur
du coupon est connue au moment oil il commence il courir) du cas oil k<l (taux
"variable": la valeur du coupon n'est pas encore fix& lasqu'il commence courir).
Selon les valeurs de t-k-t (distance ~6parantla date & df&encedu pmhain coupon t-k
et I'instant courant t) 0 ou 1 coupon est pr&Ctermin& dans le cas du taux variable, 1 ou 2
sont pdddterrnin6 dam le cas du taux r6virsable
Annexe : Nombre & coupon pr&dtermin&.
Nous noterons 9 l'instant auquel commence (ou a cornmend) courir le premier cou-
pon C ;r^+ 1 susceptible d'etre afFect6par une variation future des taux :
EVALUATlON FT R1SQUE DE TAUX DES INSTRUMENTS A TAUX VARIABLE OU
RWISABLE
: UNE ANALYSE PAR A R B ~ G E
315
Reprenons la distinction entre taux variable et taux rbvisable.
a) k<l (taux variable) : deux conligurationsMbrentes sont h envisager,:
k
(i) t a - k
7
-
I
-k
T
&
1
I
1
T
4
Tous les coupons a venir sont susceptibles de dvision (C a 2-1)
k
(ii) t2 T - k
r
,-!L
I
I
1
%
w
L premier Mupon C, est pr6dCtermin6 @=T -1 ;c'est le cas OIIon est trks proche du
coupon venir)
b) kA (taux rbvisablc)
deux configurations sont encore a envisager :
k
( i ) ~ + -l k > t
I
r- k
I
I
I
I
T
f+l.k
b
Seul le prochain coupon C, est prdddlermint (3=t )
k
(ii)r+l-k<t
\
+
f+l.k
t
,
T
a
r+l
Les deux premiers coupons. C, et C,+l * sont prU6terrninQ (?n
+ 1)
SECTION 2 : ANALYSE CLASSIQUE PAR CRISTALLISATION
LC principe de base de l'analyse classique des titres h coupons variables est de figer les
conditions de taux prbvalant sur le march6 en les "cristallisant". Ceci permet de deli&
mute la sQuence des coupons futurs d'un instrument taux variable et don: &employer
les formules classiques du calcul actuariel. On peut ainsi calculer pour chaque titre un
taux de rendement et, en le cornparant au niveau de l'indice cristallis6, d b f i par Merence une "marque actuerielle cristallis6e"; la comparaison des prix de diffhnts instruments taux variables est alors rendue possible.
On considkrera un titre taux variable ou dvisable, r6f6red sur l'index I, h i s en 0, de
a = 1, de marge faciale Po et de durh n l'instant t (n + t h l'origine); t &signera l'instam courant, It la valeur de l'index en t, Pt la valeur de la marge faciale pdvalant sur le
march6 des times de dur6cs n indexds sur I.
On appellera Wt la valeur d'un tiue h revenus fixes, in fine, de d& n qui disrribue un
coupon, dont le taux nominal est It + pO (It
est "cristallisP) alors que le taux & rendement de marche sur ce type de titres est It + &
316
GEMAN
D'ARCHIMBAUD
PORTA~T
Quisque le terme entre crochets repdsente la valeur d'un titre en pair)
La variation & l'indice du titre s'krit donc
La variation h la marge s'krit :
(3) irnplique que la dkviation de la valeur d'un titre & taux variable par rapport a la parid
est proportionnelle & I'kart &-J - Pt entre la rnarge faciale et la marge faciale & pratiqute & l'instant courant sur le march6 Outre l'effet habitue1 du coupon (non analyst!
ici), seul cct Ccart peut expliquer une deviation de la valeur & march6 par r a m a la
paritk.
(4) implique que la valeur du titre est sensible & une variation de I'indice de dfCrence si
&-J # Pt*c'est-&-diresi le titre n'est pas au pair. Ceue sensibiiitk est en pratique frb faible
(quelques millit?mesau maximum (1)).
(5) implique que la variation la marge p u t &beapproxhtk par le tern
n
- Z
1
J = 1 ('+It+f',)
J puisque le tennc ds faible
-dW
dl
peut em neglige
Critique de la methode traditionnelle
La m6thode traditiomellede cristallisationprocMe en 6vacuant le caracthe alhtoire des
instruments consid&&.
Ce faisant, elle pemret de calculer un taux de rendement acturiel (cans paribus...)et de
& f i r une marge acturielle. Cette demiere a le m&te de permetoe la cornparaison
entre les instruments relativement proches et d'indexation identique.Mais, outre les
limits bien connues d'une appmhe en taux de rendement a c W , on peut s'interroger
sur la rigueur de ce calcul qui suppose un envinxlnefnent c a t a h dm que les instruments h taux variables n'auraient pas licu d'gtre dam un tel ccnkxte.
(1) Pour un &can4 - & = 0-38 et pour un time de 10 ans 6 d l , ceue mribilitt est & I'ordre & 0.01.
EVALUATION ET RISQUE DE TAUX DES INSTRUMENTS A TAUX VARIABL~ou
l&VISABIJ3 :UNE ANALXSE PAR ARBllRAGE
317
-
SECTION 3 EVALUATION PAR ARBITRAGE
Considdrations un indice I (par exernple TAM)et une f m d e d'indexatioh a 14 J3(par
exemple 0,8 TAM + 2%)
A l'instant courant t, la marge additive P qui pdvaut sur le march6 primaire pour des
titres au pair depend & a , & I et de la durk n & I'instrument ;on l'hira (4 a,n) ou
plus simplement P (t, a ) quand on ne considkre qu'un seul indice et une durk n.
On p r a en outre p (t)= P (t, 1)
p ( I ) &signe donc la marge additive prklev~,tsur les produits au pair parfaemen!
itukds (a= I ) que nous appellerons standarcis et &signerom par y(par exempleTAM
+ 0,15).
On consid?xera un instrument x du march& prrimaii ou secondaire, index6 selon la forA
mule aI + p.
A
Pour un instrument du march6 secondaire,on a, en gdn&al, p # Kt, a )
Nous allons Ctudier les arbitrages possibles faisant intervenir x, S, et des titres a revenus
fixes.
La gamme des taux sera, dam la suite, souverlt caractdrisk par la garnme des ~ r o c o u e un titre donnant 1 franc dans i'@riodeset dont le
pons (U1, ...,UT);Ui est d d f i m
prix
u i -- --
1
(1 + ri)i
On considha aussi des titres donnant droit des euences constantes unitaires: z,
n
donnera n khdances de l F et sa valeur E n =
2
i=l U i
Pour ce qui conceme des insmments index&, nous distinguerons l'insment
dvisable de l'inslrument a taux variable.
taux
-
I Intruments a taux revisable
Considerom un instrument x A taux rdvisable, index6 selon la formule :
A
A
C s = a I ( s - k ) + p = a I ( s - 1 -h) + P ( k > l h>O)
instrument in fine, ayant n 6chhces pleines courir. En g&Cral, I dhignera un taux
instantan6 ou quasi instantad.
, ,?
M s lors, le prochaii coupon
tibles de dvision.
Le titre standard y distribuera
est pr&Ctermid a l a s que 1 s suivants sont s x e p
C ( t +1) = I ( t ) + p ( r )
=Ih-1-h)+
{C(s)
en t + i
p(r)en t+?,
.- t f n
il sera au pair en t. On remarquera que lepremier mpon & y, C(t+l), est calculd prtir
de I (t) et nm de I (t-k) afin dincorpora toute I'infonnation disponibleen t
GEM AN
PORTAIT
Proposition 3.1
L'instmment x est Cquivalent B un portefeuille cornpod de :
. gfrancs d'un titre standard y
. j3 - a P (t) francs d'un titre Zn donnant n khdances constantes de 1 F
,(1 - a)francs $un zdo coupon un de valeur no& U
,.
.
et+l-aI (t) - P francs d'un d r o coupon u, de valeur U1
Le tableau des flux suivants montre l'&pivalence :
Corollaire 3.1
En l'absence d'arbitrage, I'instrument x h taux r6visable considhe a une valeur
oh Z, U1 ct U, ont la mCme signification que pr&demment et dhigne la gamme des
taux spots
Le corollairedsulte directcmcnt de dla proposition 3.1 quand on remarque que y est au pair.
EVALUA~ONJT
RISQUEDE TAUX DES INS'IRUMENTSA TAUX VARIABLE ou
RI!MSAB~: UNE ANALYSE PAR A R B ~ G E
319
L'kart de X par rapport h la paritt peut donc s'expliquer par deux Cltments :
A
. p difRre de la marge P (t) appliquk par le march6 I'instant consi&rC.
A
(Nous remarquons que la chronique des Ccarts P - P (t) doit etre actualis& aux uiux spots
pr6valant sur le march6 (coefficients d'actualisation) et non avec un taux cristallid
comme 1"indique la relation (3) section 2).
A
. Le prochain coupon Ct+l disuibut par x est calcult h l'aide d'un indice I (t - h) re@tant des conditions passks si h>O
Propositions 3.2
En notant p (t, a)la marge appliquk sur le nlarch6 primaire aux instrumants au pair de
marge multiplicative a , de premier coupon a I(t) + P (t,a) , de coupons suivants
al (t + j - k) + P(t,a) (I), la relation suivante doit pdvaloir en l'absence d'arbiaage
- a)(1 - U,,)
(1
(8) P ( t , a)=
En
+ a P (0
Cette relation d h u l e irnm6diatcment du corollaire 3.1 puisque X (P (t, a), r)= I
1-u,
< 0 pour toutes valeurs " normales " de p et des
taux.
Sur un march6 bien arbiut, on peut donc se limiter h considhr une seule marge de
march6 p (1)
-
I1 Taux variable
Consi&rons h I'instant t 1F de nominal d'un insaument x in fine, ayant n k h h c e s
pleines A courir, index6 selon la &gle :
et+l=a~(t+l)+fl
C, = a I(S
- k) + f3
; k e +0,1[
pour s = t + 2....,... t+n
Remarques:
- En gtntral I (1) est d 6 h i comrne une moyenne de taux instantan& dans la p&i&
(t-1, t) ;
(1) On s
u syotbnatiqument
~
ue. sur le march6 primaire, l a instruments au pair ont un pAmier caupon $$!3$
calcult rur la base deI (1) a nm de9 (1-k).
320
D'ARCHIMBAUD
GEM A N
PORTAIT
- La p6riode de rCf6rence du premier coupon de l'instrument x consid&
est su@
dincider avec celle du coupon, seuls les coupons ult6rieurs sont calculds avec un &alage k ; le cas oh le premier coupon est Cgalernent d&& par rappoR ZL la,pQ1odede dfCrence sera examin6 plus loin.
Proposition 3.3
x est 4quivalent au portefeuille c o m e de :
. a francs de nominal d'un titre standard y du march6 primaire indxt selon la &gle
A
c t + l = I ( t + l ) + p(t)
C s = I ( s - k ) + P ( t ) pour s = t + 2,... t + n
(Pas & d6calage k sur Ic ler coupon de y a h que celui-ci ne soit pas calcul6 sur la base
de taux "pass&").
A
. f&-c$ (t) francs de nominal d'un titre Zn donnant n khanges constantes de 1E
. (1 - a) francs d'un zkro-coupon un domant I F en t+n
EVALUAnON
RISQUE DE TAUX DES INSTXUMENTS A TAUX VARIABLE OU
RI%WABIE :UNE ANALYSE PAR A R B m a
321
D'apr8s la propositions 3.3, en l'absence d'arbiuage
x
-
(fh)=a~+[fLap(t)]
~ , W + ( l - a ) u,(t)
c m e y est par d6finition un titre au pair, sa valeur Y = 1 et le corollaire 3.3 est &rnontd.
-
-
1.d a = l . ~ ( f i . r ) = l + [ f i - p ( d ] ~ ~ ( r )
L'kart & X par rapport au pair i un an est tgal a la valeur pdsente de la diff&eflce entre
sa marge p et celle, p (t), qui prevaut sur le march6 pour des instruments Bquivalents.
2. Si on compare toujours dam le c@ a = 1 mue m6thode avec la mdthode classique
(6quation (3)). il apparait que A P = fl - (t) est actualid ici aux taux spots et nan au taux
cristallisC
Cette r6solution est plus rigouseuse en &me temps que la probldmatique est plus &&rale.
3. Dam le cas d'un insuurnent x du march6 seeondairedont le pmhain coupon Ct+l est
calcuY avec un d h l a g e k (C + I = a1 - k) + (contrairementau cas & l'instrument
vendu sur le march6 primaire considdd en proposition 3.2) il y a lieu de prodder il
l'ajustcment de la vale%rde X correspondant i la valeur pdsente de l ' k m k Q (t)] se
produisant en t + 1 (ob I denote la valeur rnoyenne de i clans l'intervalle [t-k, t] ( 1)
On aboutit donc au corollaire 3.3 g6n6ralid :
Proposition 3.4
En l'absence d'arbifrage sur le march6 primaire
Ceue relation est identique a celle qui pdvaut sur le march6 &s taux r6visables (Cf. p
position 3.2)
Sur le march6 primaire, l ' i n m e n t x index6 selon la *gle a I + P(t,a) est par Minitian
au pair. donc X (P(t,a), r) = 1 et la relation (9) implique la relation (11)
On en d6duit donc P(t,a) =f (r' a, P (t)) et par considtkation &arbitrage, m pourra ne
consid6rer qu'une seule marge p par couple (I,n) d'index et de rnaturit6.
D& bn,5 l'ins
ad ansid&t wr k march6 scccmdain verse I't,sa vdau doit &hed&ak & cdle troud au
d ~ 3 3 & ~ ~ - l ( t ) ~ L J ~ , i-+(-kicx).
~ p o ~ a n t
322
GEM A N
D'ARCHIMBAUD
PORTAIT
-
SECTION 4 EVALUATION DE P (t) A L'AIDE DE TAUX FOWARD
-
.
I Rappels et definitions
Un FRA d'echhnce T = t+n, de n5fCrence i et de dude 1 (une p6riode) est un instrument
qui donne droit en T au flux '?&-
v)
oil les taux - p6riode i et f sont dCfis comrne i = valeur & la reference i en T
(inconnue en t), fn (t) = taux prevalant en t pour les FRA d'kT = t+n, &
1,
f" (t) s'interprCte aussi comme le taux forward (iplicite dam la gamrne &s taux idre
coupon en t), relalif 2 la @ode (T,
T + I).
A l'origine t, la valeur du conuat FRA est nulle (2).
Consid6rons maintenant y, l'instnrment standard h taux revisable sur la base d'un indice
I sup@ rcflCter un taux de marche instantand
L'instrument standard y h taux dvisable peut Ctre synlhCtid par :
- une chaine de RFA de nominal 1 el de dude n
- une chaine de n. ~Crecouponsu 1, u2,...Un de maturi& respectives 1.2,...n ,en quad&
(1)
. @ (t) + f"(t-k)+
+ f1 (t) pour ul, P (t) + fj (t-k) POW Uj (i=2,...n - 1)
->
1 POW Un
Dkmnstration
Consid6rons les flux g6nCds aux instants t + 1, t + 2,... t + n
t + j ( j = 2 , ... n - 1 )
t+l
-s
I
-
O - ~ ~ ~ P P (Ot ) t~ f l ( t )
Y
I(t)+$(t)
I
-
j- k
-(t)
t+n
~ ( t tn - U - f
n- k
(t)
,3(t)+t%
$ (t) + f n - (t)
I(t+j-k)+p(t)
I(t+n-k)+f3(t)+ 1
Corollaire 4.1
En l'absence d'arbitrage, la marge P (t) de l'instrument standard au pair s'krit :
(1) Un FRA peut h synth&isC par une op6ration foward-fowd usociCeA me optnticm ash 1-'1
En act,le tnux d'un I R A est fixC dc !elk sone que l'"achpt" ou la "vmre"du RFA ne dame p
vanent de fonds.
(2)
a liar A un mou-
EVALUATION ET RISQUE DE TAUX DES INSTRUMENTSA TAUX VAR~ABLEou
~ W S A B L E:UNE ANALYSE PAR ARBllRACE
323
Puisque y a t au pair et la valeur en t des FRA nulle, la valeur & y = Y slCcrit:
Remarques
Puisque les taux forward sont contenus dans la gamme des taux spot en t, la marge P (t)
p u t Cue explicitk en fonction de celleci.
Pour ne pas alourdir les notaions, nous n'avons pas symbolid la ddpcndance & P px
rapport b la dur6e n ;en fait, le corollaire 4.1 donne la "gamme des rnarges" des poduits
standard en fonction de la garnme des taux spots.
Pour pr6ciser et comger une id& largement rdpandue selon laquelle les anticipations
de taux dbtenninent les marges, nous rernarquons que cette influence n'est en fait
d'indirecte et ne se manifeste qu'a travcrs la gamme des taux foward ('1.
En remarquant que le taux acturial an (t) d ' h titre Zi taux fixe in fine, de dur& n, est
d m & par la relation d'arbitrage (2)
on peut expnmer la marge p (t) sous la forme
-
SECTION 5 LES SWAPS
On ne traitera ici que les swaps permettant d'khanger un taux fixe contre un taux
variable reflCtant des conditions instantan& ou quasi instantan&.
1. - Rappels et definitions
Un swap taux fixe - taux variable (ou swap ernprunteur) d ' k h h c e T = t + n, & dfCren-
ce i, est un instrument qui donne droit Zi la &pence de flux OS(s = t = 1, ... s = t+n = T
A
0 s = f ( s b p (t)
i (s) est la valeur de la dfdrence i en s
p (t) est le taux (ou "pix") du swap de dur& n
p (t) est fix6 lors de I'Cmission de swap, en t, de manibe ce que la valeur du cantrat
soit nulle.
(1) En associanl le cadlPire 4.1 iune *rie d'anticipatiau avec prima & liquiditc, on pcumit k r h B (t) en
fCm&
des lam spou anti*.
324
D'ARCHIMBAUD
GEMAN
Proposition 5.1
En l'absence d'arbitrage
Un franc d ' i n s m e n t a taux fixe de rendement a,est Quivalent a un franc & swap @tew (au taux p) combiiC 2i un franc de l'instrument h taux variable standard y.
B s lors p (t) = an (t) - p (t), et par substitution de la valeur de p (t) obtenue en (13), on
obtient la &uxi6me CgalitC.
Remarques
1. - Cette relation auraient pu Ctre d6montrCe directement et a t valable pour les swaps
taux variable / taux fixe (swaps prsteurs)
2. - La stratdgie consistant a emprunter a taux rdvisable (par exemple TMO) ou a
emprunler a taux fixe puis a swapper le taux fixe come une r6fCrence variable ("I'M0 par
exemple) revient a se procurer de la liquidit6 pure (sans supparter & risque & taux). Le
coiit de cette liquidit6 est dorude par la marge P (t) (I), laquelle s'intwprtte donc cornme
une prime de liquidit6 ;comme on l'a vu cette prime &pend uniquement (et de manibre
explicite) de la suucture des taux en t. Dans un environnernant oa la saucnue des taux
est "normale", la liquidit6 a un coQtplus ClevC que dam celui oil la structure des t a u est
plate, voire inver&.
3. - Un swaps de taux variable (khange de deux indices) s'interprhnt cornme la combinaison de deux instrument a taux variable 1 et 2, la marge P = pl - P2 peut &re calcuI& 2i partir de l'analyse prk6dcnte (appliquk a deux garnmes de taux forward diff6rentes).
SECTION 6 : RISQUE DE TAUX ET RISQUE DE MARGE
-
I Marge considCrCe comme exoghe
a) Taux dvisable
Le corollaire 3.1 donnait :
Des petites variation dr.,...,
de la ganune et dj3 de la marge se mduisant par des
variations %, dI, dU1, d u n des grandeurs Z,,I, U1, Un et, par diffhtiation, on
obtient :
EVALUAllON ET RISQUE DE TAUX DES INSlRUMENlSA TAUX VARIABLEi OU
IU%ISABL~~
: UNE A N A L .PAR A R B ~ G E
325
et oii en gCnCral I est un taux instantan6Cgal h rl, ce qui dome:
d X = - a ~ d
[a+8-tt+J&,
arisque de
n(1-a)&,
ll-a ~ ( t ~ l d ~ ,
risque & uux
Nous allons supposer dam la suite du a) a = 1 pour faciliter l'kterpr~tation.On obtient
alors :
A ce stade, il convient de prkiser la reprhtation de drl et G,nous a l l mius
~ placer dam deux configurations successives :
1er car : Nous supposerom un placement parallEle de la gamrne des taux
drl = dr2 = =dq,= dr, on peut h i r e
Le premier terme exprime la sensibilid ?
la imarge, le d e u x i k reflh la petite dficult6
pade par le premier coupon et discutk pd&rnment et le troisihe tern est l'expression du risque de taux d'inket g6nd1-15par la marge & que p # Kt) (Cf Yavitz - Kaufol
et al - 1987)
A
Dam le cas particulier oii
deux premiers termes.
P # P (t), ce troisi&met e r n disparaft & de se r&uit aux
22me car : de fapn plus gCdrale, suppons un &&le h deux factem 1, s de garnme
des faux oti 1 est le taux long et s le spread.
Alors pour tout j = 1.2 ... n, j= drj =
I1 en r&ulte que
variation de X par rapport au taux long
variation de X
rapport au spread
-
3 Taux variable
D'aprks le corollaire 3.3 gCnCralis6, la valeur de Iq'instrument x h taux variable s'krit :
A
A
X ( P , r ) = a + [ p - a p ( t ) l Z n Q + ( l -a)UnQ)+kCi-i(t)U1@)
risque de taux
et on refait la mCme analyse quc dans le cas des taux revisables.
2. Cas ou la marge est exprime en fonction de la gamme des taux (taux rbvisables)
Le corollaire 4.1 de la section 4 Ctablissait qu'en I'absence d'arbiuage, la marge
p (t) s'krit :
et dam ceue expression, les fkk (t) sont contenus dam la gamme des taux pdvalant h
I"instant t puisqu'on a la relation fondamentale:
En reprenant le modEle de garnme de laux h deux parat~&oesintroduit en section 6 partie 1,
rs ( t ) = ( ~ ~ ( l , s , t )
EVALUA~ON
RISQUEDE TAUX DES INSTRUMEN~SA TAUX VARIABLE ou
:UN6 ANALYSB PAR ARBI'RUE
327
&VISABLE
et p (1) devient une fonction + (I, s, I) dont on peut deduire
CONCLUSION
On peut rernarquer qu'en associant Ics r6sultats rnis en evidence dam cct article aux propnMs classiques de la structure par terns des taw d'intMt, les analyses conduites dam
cet article pcuvcnt &re articul6es conformCment la repkentation de I'organisme suivant:
P
Gamme 5
b l'instant t
I
arbitrage y / FRA
Calcul de
I
1
modkle de gamme des taux
Sensibilit6 de I'instrument x
aux taux long et spread
I
Nous avons ainsi oblenu la valorisation & I'instrument h taux variable ou verisdable x h
partir & la gamme des taux et sa sensibililb aux p a r d t r e s du d l e de gamme des
t a u choisis.
'Evaluation et risque dc taux des instruments h taux ou r6visables: une analyse par arbitrage"