Exercice photocopié

☺ Exercice 3 :
Une agence de location de cassettes vidéo propose à ses clients le choix entre deux tarifs :
• tarif 1 : un abonnement mensuel de 15 € et 0,70 € par cassette louée ;
• tarif 2 : un abonnement mensuel de 11 € et 1,50 € par cassette louée.
1) Compléter le tableau suivant :
Nombre de cassettes louées
0
1
2
6
10
Prix payé avec le tarif 1
Prix payé avec le tarif 2
2) On appelle x le nombre de cassettes louées par un client en un mois.
a) Déterminer la fonction p1 qui modélise le prix à payer avec le tarif 1. Quelle est sa nature ?
b) Déterminer la fonction p2 qui modélise le prix à payer avec le tarif 2. Quelle est sa nature ?
prix (en €)
3) Dans le repère ci-contre, les droites ( d1 )
et
( d2 )
représentent respectivement les
fonctions p1 et p2 .
a) Résoudre l’équation 0, 7 x + 15 = 1,5 x + 11 .
Interpréter le résultat.
b) Vérifier graphiquement cette solution en
faisant apparaître les pointillés utiles.
4) En utilisant le graphique, combien faut-il
louer de cassettes en un mois pour que le
tarif 1 soit plus intéressant que le tarif 2 ?
5) Monsieur Avent a choisi le tarif 2 et payé
29 € pour le mois.
Utiliser le graphique pour déterminer le
nombre de cassettes qu’il a louées dans le
mois. Faire apparaître les pointillés utiles.
6) Monsieur Comic a choisi le tarif 1 et payé
19,90 € pour le mois.
a) Trouver par le calcul le nombre de
cassettes qu’il a louées dans le mois.
b) Dans ce cas, quel est le prix moyen de la
location d’une cassette ?
Arrondir le résultat au centime d’euro.
2
0
1
nombre de cassettes
7) L’agence décide de proposer un troisième tarif à ses clients : un prix mensuel de 23 € quel que soit le nombre
de cassettes louées dans le mois.
a) Déterminer la fonction p3 qui modélise le prix à payer avec le tarif 3. Quelle est sa nature ?
b) Représenter la fonction p3 sur le même graphique.
8) En utilisant le graphique, combien faut-il louer de cassettes en un mois pour que ce nouveau tarif soit plus
avantageux que les autres ?
Correction :
1) Tableau :
Nombre de cassettes louées
0
1
2
6
10
Prix payé avec le tarif 1
15
15,70
16,40
19,20
22
Prix payé avec le tarif 2
11
12,50
14
20
26
2) a) Le prix à payer (en €) avec le tarif 1 est modélisé par la fonction p1 : x ֏ 0, 7 x + 15 .
La fonction p1 est de la forme x ֏ ax + b avec a = 0, 7 et b = 15 : elle est donc affine, de coefficient de
linéarité 0,7 et d’ordonnée à l’origine 15.
b) Le prix à payer (en €) avec le tarif 2 est modélisé par la fonction p2 : x ֏ 1,5 x + 11 .
La fonction p2 est de la forme x ֏ ax + b avec a = 1,5 et b = 11 : elle est donc affine, de coefficient de
linéarité 1,5 et d’ordonnée à l’origine 11.
3) a)
0, 7 x + 15 = 1,5 x + 11
15 − 11 = 1,5 x − 0, 7 x
0,8 x = 4
4
x=
0,8
x = 5.
L’équation admet une unique solution : c’est 5.
Interprétation concrète :
Les deux tarifs sont identiques si on loue 5 cassettes.
b) Graphiquement, la solution de l’équation 0, 7 x + 15 = 1,5 x + 11 est l’abscisse du point d’intersection des
droites ( d1 ) et ( d 2 ) : on vérifie qu’il s’agit bien de 5.
4) D’après le graphique, la droite ( d1 ) est en-dessous de la droite ( d 2 ) pour un nombre de cassettes x supérieur
strictement à 5 : le tarif 1 est donc plus intéressant que le tarif 2 à partir de 6 cassettes louées.
5) Nombre de cassettes louées par Monsieur Avent :
Graphiquement, le nombre de cassettes louées pour une somme de 29 € avec la tarif 2 est l’abscisse du point de
la droite ( d 2 ) ayant pour ordonnée 29.
D’après le graphique, Monsieur Avent a donc loué 12 cassettes.
6) a) Nombre de cassettes louées par Monsieur Comic :
On résout l’équation :
p1 ( x ) = 19,9
0, 7 x + 15 = 19,9
0, 7 x = 19, 9 − 15
0, 7 x = 4,90
4,9
x=
0, 7
x =7.
L’équation admet une unique solution : c’est 7.
Monsieur Comic a donc loué 7 cassettes.
b) Prix moyen:
P = 19,9 ÷ 7
P ≈ 2,84 .
Le prix moyen d’une cassette est d’environ 2,84 €.
7) a) Le prix à payer (en €) avec le tarif 3 est modélisé par la fonction p3 : x ֏ 23 .
La fonction p3 est de la forme x ֏ k avec k = 23 : elle est donc constante.
b) La fonction p3 étant constante, sa représentation graphique est la droite ( d3 ) parallèle à l’axe des abscisses
passant par le point de coordonnées ( 0; 23) .
8) D’après le graphique, la droite ( d3 ) est en-dessous des droites ( d1 ) et ( d 2 ) pour un nombre de cassettes x
supérieur strictement à 11,5 : le tarif 3 est donc plus avantageux que les autres à partir de 12 cassettes louées.