Partie 7

1
MATÉRIEL ADDITIONNEL : CORRÉLATIONS
TÉTRACHORIQUES ET POLYCHORIQUES
Mise en situation : Tous les modèles que nous avons ajustés jusqu’à présent utilise la
matrice de variances covariances empirique,
s
s
S 
 ...
s

2
1
s
21
s
p1
12
2
2
...
s
... s 
... s 

1 n
1 n
2
2
( x ji  x j ) et s jk 
( x ji  x j )( xki  xk ) .

... ...  où s j  n  1 
n

1
i 1
i 1

... s 
1p
2p
2
p2
p
Le critère d’estimation utilisé est de maximiser la vraisemblance obtenue à l’aide d’une
densité normale multidimensionnelle,
n 1
( ) 
log | S |  log | ( ) |  tr( S( ) 1 )  d .

2
où ( ) représente la matrice de variances covariances sous le modèle qui est fonction
d’un vecteur  de p paramètres inconnus. Que faire si l’hypothèse de normalité est
violée ou si l’algorithme d’estimation ne converge pas?
Lorsque les données y sont discrètes, on va changer la façon de calculer S. On va
travailler avec la matrice des corrélations polychoriques (aussi appelées tétrachoriques
pour des données dichotomiques). Évidemment maximiser ( ) ne donne plus un
estimateur du maximum de vraisemblance et il faut changer la méthode d’estimation.
2
METHODE DES MOINDRES CARRES PONDERES
Il y a plusieurs alternatives à la méthode du maximum de vraisemblance sous
distribution normale pour estimer les paramètres  d’un modèle d’équations
structurelles. On peut par exemple utiliser un critère des moindres carrés simples et
minimiser
d
i
d
g
d
i
F ( )  {sij   ij ( )}   w gh ,ij {sgh   gh ( )}{sij   ij ( )}
2
i 1 j 1
g 1 h 1 i 1 j 1
où les w gh ,ij sont les éléments, égaux à 0 ou 1, de la matrice identité de dimension
{d(d+1)/2}{d(d+1)/2} et  ij ( ) est l’élément (i,j) de ( ) . Dans PRELIS ce critère
d’estimation s’appelle MINRES alors que dans SIMPLIS il s’apelle ULS pour
unweighted least squares. Ce critère n’est pas un critère du maximum de vraisemblance
et le calcul des erreurs-types des estimations est relativement complexe car on ne peut
pas calculer de matrices d’information de Fisher dans ce contexte. LISREL ne fournit
pas d’erreurs-types lorsqu’il utilise ces méthodes d’estimation (des méthodes de
rééchantillonnage comme le bootstrap pourraient en principe être utilisées pour les
estimer). D’un point de vue théorique, les estimateurs des moindres carrés ordinaires ne
sont pas à variance minimale asymptotiquement et on peut faire mieux. Le problème
avec ce critère est que tous les éléments de S reçoivent le même poids, même si certains
sont des estimateurs plus précis que d’autres.
3
D’un point de vue théorique, on peut construire un meilleur estimateur de  si la matrice
{d(d+1)/2}{d(d+1)/2} de variances covariances W des éléments distincts de S était
connue. Si W était diagonale, il faudrait pondérer les sij par l’inverse de leurs variances
Wij. Ici W n’est pas forcément diagonale et critère des moindres carrés pondérés (WLS
pour weighted least squatres) estime le vecteur θ de paramètres inconnus en minimisant
la fonction suivante :
d
g
d
i
F ( )  (s  σ) W (s  σ)   w gh ,ij {sgh   gh ( )}{sij   ij ( )}
T
1
g 1 h 1 i 1 j 1
w gh ,ij est l’élément ((g,h),(i,j)) de l’inverse W-1 de W.
La « somme » pondérée des carrés des résidus, F (ˆ)  (s  σˆ )T W1 (s  σˆ ) est
approximativement distribuée comme une χ2 avec d(d+1)/2 – p degrés où p=nombres de
paramètres du modèle, c’est la Satorra-Bentler scaled Chi-Square de la sortie LISREL
(à un facteur de correction prêt développé par Satorra & Bentler). C’est sur la base de
cette statistique que l’on évalue l’ajustement du modèle. Le calcul des erreurs types des
estimations utilisent la théorie des moindres carrés généralisés. La matrice de variances
1
T
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
covariances de  est estimée par F ( )  X W X où X̂ est la matrice des dérivées


partielles de  ij ( ) par rapport à  évaluées à ˆ .
En pratique la matrice W est inconnue et il faut l’estimer. Les résultats théoriques
précédent, concernant la distribution asymptotique de F (ˆ) et l’estimation des
4
variances de ˆ demeurent valides. De grandes tailles d’échantillon sont requises pour
mettre en œuvre ces méthodes car Ŵ doit être inversible.
La méthode des moindres carrés pondérés s’appliquent dans plusieurs cas. Par
exemple,
 Si on traite des données comme étant continue et si l’hypothèse de normalité est
douteuse on peut estimer la matrice W avec LISREL et minimiser F(θ) pour
ajuster le modèle. Cette estimation non-paramétrique de W implique des moments
d’ordre 4 et une très grande taille d’échantillon est souvent requise pour obtenir
une estimation W stable facile à inverser;
 Si les données sont normales, la matrice W s’écrit en fonction de la matrice de
variances covariances Σ. On peut évaluer explicitement la covariance entre tous
les éléments sgh et sij de la matrice de variances covariances échantillonnales. On
peut donc calculer F (ˆ) à l’aide d’une estimation paramétrique de W. C’est le
« Normal Theory Weighted Least Squares Chi-Square » de la sortie LISREL.
 On va utiliser cette méthode lorsque l’on travaille avec des corrélations
polychoriques
5
VARIABLES ORDINALES : CORRÉLATIONS TÉTRACHORIQUE ET
POLYCHORIQUE.
La corrélation de Pearson n’est pas un bon estimateur de la relation entre deux variables
dichotomiques ou ordinales. On présente ici un nouvel estimateur de corrélation,
obtenu en maximisant la vraisemblance pour un modèle particulier.
A-Données dichotomiques
On traite d’abord du cas où les deux variables à l’étude ont deux modalités. Les
données se présentent dans le tableau suivant :
y1 \y2
0
1
total
0
n00
n01
n0+
1
n10
n11
n1+
total
n+0
n+1
n++
Les modalités des 2 variables ordinales sont codées 0 et 1. La corrélation de Pearson
entre les deux variables s’écrit
n n n n
r
n n n n
C’est la racine de la statistique du chi-deux pour l’indépendance dans le tableau 2×2.La
min(n , n ) min(n , n )
valeur maximale de n11 est min(n1+,n+1) et r 
, ce qui est
max(n , n ) max(n , n )
loin de 1 lorsque les marges du tableau sont débalancées.

1
11
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
6
1-Construction d’un modèle bivarié à l’aide d’une copule normale.
Une copule C(u,v)est une fonction définie de [0,1]2 dans [0,1] qui satisfait C(0,0)=0,
C(1,v)= C(v,1)=v et C(u2,v2)- C(u1,v2)- C(u2,v1)+ C(u1,v1)≥0 pour tout u2>u1 et v2>v1 .
En d’autres termes C(u,v) est une fonction de répartition pour un couple de variables
aléatoires dont les marges sont uniformes. On s’intéresse ici à la copule normale définie
comme étant
 1 x 2  2  xy  y 2 

 1 ( u )  1 ( v ) exp  
2
1  2

dxdy
C ( u, v )   
2 1   2


où  1(u ) est la fonction quantile d’une loi N(0,1).
Les copules sont utiles car elles permettent de distinguer la modélisation des marges de
la modélisation de la dépendance dans la construction d’un modèle statistique. Par
exemple si FX(x) et FY(y) sont deux fonctions de répartition unidimensionnelles et si
C(u,v) est une copule alors C(FX(x), FY(y))est une fonction de répartition
bidimensionnelle avec distributions marginales FX(x) et FY(y) .
Pour les données dichotomiques, la distribution marginale de la variable ligne (y1) est
x0
 0

FX ( x )  1   x 0  x  1
 1
1 x

7
De même la distribution marginale Fy(y) de la variable y2 s’écrit en fonction d’une
probabilité de succès πy. Le modèle théorique postule que la distribution conjointe des
deux variables du tableau est Cρ{FX(x), FY(y)}.
Les probabilités prédites pour les 4 cellules du tableau sont
Var1 \Var2
0
1
total
0
Cρ(1- πx, 1- πy)
1- πy- Cρ(1- πx, 1- πy)
1- πy
1
1- πx- Cρ(1- πx, 1- πy)
-1+ πx+ πy+ Cρ(1- πx, 1- πy)
πy
total
1- πx
πx
1
On a un modèle saturé avec 3 paramètres et 3 degrés de liberté disponibles pour la
modélisation. Les estimateurs des paramètres sont obtenus en posant les fréquences
prédites pour le tableau égales aux fréquences observées. On obtient
n
n
ˆ x  1 , ˆ y  1 et ρ est choisi de telle sorte que,
n
n
n
C (1  ˆ x ,1  ˆ y )  00 .
n
La solution de cette équation est ̂ , le coefficient de corrélation tétrachorique entre les
deux variables. On peut estimer la variance de cette statistique par linéarisation.
2-Construction du modèle à l’aide de variables latentes continues.
Considérons des variables non observées (z1,z2) telles que
8
 0   1   
 z1 
N
2   , 
z 

0

1

 2
  
Les variables observées y1, y2 sont déduites de (z1,z2) à l’aide des seuils s1,s2 de la façon
suivante :
0 z1  s1
0 z2  s2
y1  
et y2  
1 z1  s1
1 z2  s2
Ce modèle comporte trois paramètres (s1, s2 et ρ). Il est identique au précédent. La
correspondance entre les deux paramétrisations est πx=1-(s1) et πy=1-(s2) et ρ garde
la même signification dans les deux modèles.
Lorsque l’on a d variables dichotomiques, on est en présence de d variables latentes z et
de la copule normale d-dimensionnelle qui dépend d’une matrice de corrélation R de
dimension d×d. L’estimation de R à l’aide d’une vraisemblance impliquant
simultanément les d variables du modèle est compliquée sur le plan numérique. En
pratique on estime des corrélations tétrachoriques en appliquant la procédure
d’estimation vue plus haut aux d(d-1)/2 paires de variables, une à la fois. A la fin de
l’exercice on a une matrice de corrélation estimée d×d R̂ et une matrice de variance
covariance échantillonnale pour les d(d-1)/2 corrélations de R̂ . Cette matrice est de
dimension [d(d-1)/2]× [d(d-1)/2]. Ce sont ces deux matrices qui sont mises en entrée
lorsqu’on utilise LISREL pour ajuster un modèle d’équations structurelles à ces
corrélations.
9
B-Données polythomiques
La procédure est très semblable à celle présentée en a) lorsqu’on a des variables
ordinales avec plus de deux modalités. On estime la corrélation pour une paire de
variables à la fois. Soient r et c le nombre de modalités pour chaque variables. Les
données forment un tableau de fréquences r×c. Le modèle a r+c-1 paramètres qui sont :
 r-1 paramètres pour la distribution marginale (ou pour les seuils) de la première
variable
 c-1 paramètres pour la distribution marginale (ou pour les seuils) de la deuxième
variable
 un paramètre (ρ) pour la corrélation entre les deux variables.
Le modèle avec variables latentes comporte r-1 seuils s11,…,s1r-1associée aux modalités
de y1 et c-1 seuils pour les modalités de y2. En fait y1=j si la variable latente z1 est dans
l’intervalle [s1j-1,s1j) pour j=1,2,..,r où s10=- et s1r=+.
Dans le tableau de fréquences il y a (r-1)×(c-1) degrés de liberté pour la dépendance
entre les deux variables. Cette dernière est modélisée avec un seul paramètre (ρ). Il
reste donc (r-1)×(c-1)-1 degrés de liberté pour tester l’ajustement de la copule normale
aux données.
Pour estimer les paramètres on peut calculer les estimateurs du maximum de
vraisemblance des r+c-1 paramètres à partir de la vraisemblance multinomiale.
LISREL utilise une méthode en deux étapes. On estime d’abord les r+c-2 paramètres
pour les marges (ou seuil) à l’aide des 2 distributions marginales. Le seuil s1j est ainsi
obtenu en résolvant l’équation
10
(s1j)= proportion des unités ayant une modalité inférieure ou égale à la jième pour la
première variable.
On estime ensuite ρ en maximisant la vraisemblance multinomiale pour le tableau r×c
où les paramètres pour les marges sont égaux aux estimations obtenues à l’étape 1.
Contrairement à la corrélation de Pearson standard, cette corrélation polychorique ne
dépend pas du codage de la variable ordinale. On obtient la même corrélation peu
importe le codage.
Exemple : Sondage sur l’action politique
Une étude a été réalisée de 1973 à 1975 dans 8 pays différents, dont les États-Unis.
Le but de ce sondage était d’obtenir de l’information sur les différentes formes de
participation politique dans les sociétés industrielles. Les données ont été recueillies à
partir d’un échantillon représentatif de 1719 personnes (n=1554 réponses complètes)
âgées de 16 ans et plus. Dans cette enquête, il y a une centaine de variables, mais pour
illustrer le traitement des données ordinales on va en utiliser seulement 6. Ces variables
tentent d’expliquer l’efficacité politique. On définit l’efficacité comme étant le
sentiment que nos actions politiques peuvent avoir un impact sur le processus politique.
Il y a donc 6 variables observées :
 NOSAY : Les gens comme moi ne peuvent pas exprimer leurs opinions en ce qui
concerne les gestes du gouvernement.
 VOTING : Voter est la seule façon qu’ont les gens comme moi de s’exprimer sur
11




la façon dont le gouvernement gère les choses.
COMPLEX : Parfois le gouvernement semble tellement compliqué qu’une
personne comme moi ne peut pas vraiment comprendre tout ce qui se passe.
NOCARE : Je ne pense pas que les fonctionnaires se soucient de ce que les gens
comme moi pensent.
TOUCH : Généralement parlant, ceux que nous élisons aux congrès de
Washington perdent le contact avec les gens assez rapidement.
INTEREST : Les partis sont seulement intéressés par les votes des gens et non par
leurs opinions.
Pour chacune de ces variables, les gens peuvent choisir (les non-répondants et ne savent
pas ont été éliminés) . Les 6 variables sont ordinales et codées de la façon suivante
AS (1) : Fortement en accord
A (2) : En accord
D (3) : En désaccord
DS (4) : Fortement en désaccord
Il y a des valeurs manquantes qui sont codées 8.00 ou 9.00 dans le jeu de données
efficacy.lsf. Plusieurs stratégies d’analyse sont disponibles en présence de valeurs
manquantes. On peut
1-Ajuster un modèle en maximisant la vraisemblance; la contribution d’une unité à la
vraisemblance est égale à la densité des variables non manquantes pour cette unité.
12
C’est la méthode FIML pour full information maximum likelihood.
2-Lorsque l’on estime la corrélation entre deux variables on conserve toutes les unités
pour lesquelles ces deux variables sont observées et on retire les autres. Ainsi le
nombre d’unités utilisées pour estimer une corrélation varie d’une corrélation à l’autre.
C’est le « pairwise delition » en anglais.
3-On retire de l’échantillon toutes les unités ayant au moins une variable manquante.
Les données sont donc complètes pour les unités restantes. C’est le « listwise
delition ».
Ici on veut estimer des corrélations polychoriques. On ne maximise pas une grosse
vraisemblance car on procède paire par paire. Les options 2 et 3 sont donc disponibles.
Analyse PRELIS :
1-AFE pour données ordinales qui utilise le « pairwise deletion »
2-AFE pour données ordinales qui estime la matrice de variance covariance des
corrélations polychoriques. Attention il faut faire du « listwise deletion » dans ce cas.
Analyse de données
Pour la variable NOSAY les fréquences sont
NOSAY Frequency Percentage Bar Chart
AS 160
10.3 • • • • • • • • •
A 471
30.3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
D 804
51.7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
DS 119
7.7 • • • • • • •
Les seuils sj pour NOSAY sont donc -1(.103)=-1.264, -1(.406)=-0.238, -1(.923)=
1.426.
Extrait de la sortie PRELIS
-
13
Univariate Marginal Parameters
Variable Mean St. Dev. Thresholds
-------- ---- -------- ---------NOSAY 0.000 1.000 -1.265 -0.238 1.428
VOTING 0.000 1.000 -0.937 0.210 1.682
COMPLEX 0.000 1.000 -0.846 0.725 1.767
NOCARE 0.000 1.000 -1.023 0.155 1.807
TOUCH 0.000 1.000 -0.973 0.527 2.142
INTEREST 0.000 1.000 -0.978 0.323 2.082
Correlations and Test Statistics
(PC=Polychoric, PS=Polyserial)
Test of Model
Test of Close Fit
Variable
vs.
Variable
Correlation
Chi-Squ. D.F.
P-Value
RMSEA
P-Value
0.331 (PC)
216.041 8
0.000
0.129
0.001
VOTING
vs.
NOSAY
W_A_R_N_I_N_G: Underlying bivariate normality may not hold, see BTS-file
COMPLEX vs.
NOSAY 0.337 (PC) 76.385
8
0.000
0.074
0.997
COMPLEX vs.
VOTING 0.284 (PC) 41.882
8
0.000
0.052
1.000
NOCARE vs.
NOSAY 0.557 (PC) 79.008
8
0.000
0.076
0.996
NOCARE vs.
VOTING 0.275 (PC) 77.722
8
0.000
0.075
0.996
NOCARE vs. COMPLEX 0.459 (PC) 63.037
8
0.000
0.067
1.000
TOUCH vs.
NOSAY 0.398 (PC) 84.954
8
0.000
0.079
0.989
TOUCH vs.
VOTING 0.246 (PC) 59.739
8
0.000
0.065
1.000
TOUCH vs. COMPLEX 0.357 (PC) 88.841
8
0.000
0.081
0.981
TOUCH vs.
NOCARE 0.646 (PC) 89.942
8
0.000
0.081
0.978
INTEREST vs.
NOSAY 0.456 (PC) 79.526
8
0.000
0.076
0.995
INTEREST vs.
VOTING 0.240 (PC) 76.987
8
0.000
0.074
0.997
INTEREST vs. COMPLEX 0.380 (PC) 63.819
8
0.000
0.067
1.000
INTEREST vs.
NOCARE 0.683 (PC) 116.841
8
0.000
0.094
0.745
INTEREST vs.
TOUCH 0.686 (PC) 90.641
8
0.000
0.082
0.976
On utilise PROC FREQ de SAS pour examiner le tableau pour les deux premières
variables :
Table of NOSAY by VOTING
NOSAY
Frequency‚
VOTING
14
Percent
‚
‚
1‚
2‚
3‚
4‚ Total
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ
1 ‚
69 ‚
51 ‚
27 ‚
13 ‚
160
‚
4.44 ‚
3.28 ‚
1.74 ‚
0.84 ‚ 10.30
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ
2 ‚
80 ‚
297 ‚
85 ‚
9 ‚
471
‚
5.15 ‚ 19.11 ‚
5.47 ‚
0.58 ‚ 30.31
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ
3 ‚
92 ‚
275 ‚
413 ‚
24 ‚
804
‚
5.92 ‚ 17.70 ‚ 26.58 ‚
1.54 ‚ 51.74
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ
4 ‚
30 ‚
12 ‚
51 ‚
26 ‚
119
‚
1.93 ‚
0.77 ‚
3.28 ‚
1.67 ‚
7.66
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ
Total
271
635
576
72
1554
17.44
40.86
37.07
4.63
100.00
Statistics for Table of NOSAY by VOTING
Statistic
DF
Value
Prob
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
Chi-Square
9
379.1318
<.0001
Likelihood Ratio Chi-Square
9
343.9860
<.0001
La statistique du rapport de vraisemblance passe de 344 à 216 lorsque l’on ajoute le
paramètre ρ pour la dépendance. Le mauvais ajustement (chi-deux de 216) du modèle
normal s’explique par une asymétrie des données : NOSAY est souvent inférieur ou
égal à VOTING. On poursuit l’analyse même si la copule normale ne représente pas
bien le lien entre ces deux variables. En général la matrice de corrélations montre que la
variable VOTING est peu associée aux autres.
Correlation Matrix
NOSAY
NOSAY
1.000
VOTING
COMPLEX
NOCARE
TOUCH
INTEREST
15
VOTING
COMPLEX
NOCARE
TOUCH
INTEREST
0.331
0.337
0.557
0.398
0.456
1.000
0.284
0.275
0.246
0.240
1.000
0.459
0.357
0.380
1.000
0.646
0.683
1.000
0.686
1.000
On peut réaliser une analyse factorielle exploratoire à partir de cette matrice en
choisissant « ordinal factor analysis » dans le menu déroulant PRELIS. Il s’agit d’une
analyse exploratoire qui ne produit aucun test chi-deux (le critère d’estimation est le
même que pour des données continues). On peut, par la même occasion, mettre dans un
fichier la matrice de corrélations et la matrice de covariance asymptotique. Il suffit de
cliquer sur Output Options et enregistrer les 2 matrices dans des fichiers. On doit mettre
la matrice de corrélation dans un fichier .CM (ici effi.CM) et la matrice de covariance
asymptotique dans un fichier .ACM (ici effi.ACM) ; vous pouvez également demandé
l’impression de cette dernière matrice. Le modèle à deux facteurs est le suivant,
Varimax-Rotated Factor Loadings
NOSAY
VOTING
COMPLEX
NOCARE
TOUCH
INTEREST
Factor 1
0.622
0.450
0.455
0.529
0.271
0.312
Factor 2
0.329
0.126
0.315
0.667
0.762
0.791
Unique Var
0.505
0.782
0.694
0.276
0.346
0.277
On note que VOTING est mal représentée; on va l’exclure des analyses.
Cette analyse suggère de distinguer deux type d’efficacité, interne et externe.
L’efficacité interne (facteur 1) que l’on nomme Efficacy, représente la perception
qu’une personne a d’elle-même à propos de sa capacité à comprendre la politique et de
16
sa compétence pour participer à des actes politiques comme le vote. Le facteur 2
Respons, qui vient de responsiveness, est l’efficacité externe que l’on définit comme la
conviction que le public ne peut pas influencer les résultats politiques.
Suite de l’exemple « sondage et action politique »
Programme SIMPLIS pour une analyse à l’aide des corrélations tétrachoriques et DAG
avec estimations standardisées
Observed Variables: NOSAY VOTING COMPLEX NOCARE TOUCH
INTEREST
Correlation Matrix from File effi.CM
Asymptotic Covariance Matrix from File effi.ACM
Sample size: 1554
Latent Variable : Efficacy Respons
Relationships:
NOSAY COMPLEX NOCARE = Efficacy
NOCARE TOUCH INTEREST = Respons
Path Diagram
End of Problem
LISREL Estimates (Robust Maximum Likelihood)
Measurement Equations
NOSAY = 0.64*Efficacy, Errorvar.= 0.60 , Rý = 0.40
(0.038)
(0.054)
16.84
10.96
COMPLEX = 0.53*Efficacy, Errorvar.= 0.72 , Rý = 0.28
(0.034)
(0.044)
15.52
16.33
NOCARE = 0.66*Efficacy + 0.26*Respons, Errorvar.= 0.22 , Rý = 0.78
(0.16)
(0.16)
(0.049)
4.14
1.58
4.41
TOUCH = 0.80*Respons, Errorvar.= 0.36 , Rý = 0.64
(0.023)
(0.044)
35.54
8.04
17
INTEREST = 0.85*Respons, Errorvar.= 0.27 , Rý = 0.73
(0.023)
(0.047)
37.02
5.77
Les variables observées sont en fait les variables continues sous-jacentes aux variables
observées ordinales. Dans ce contexte la calibration des variables latentes n’a pas de
sens car les variables continues sous-jacentes aux variables observées ont une moyenne
de 0 et une variance de 1. Un des paramètres λ n’est pas significativement différentes de
0.
On peut calculer toutes les statistiques d’ajustement du modèle à partir de de la matrice
de corrélation de départ et de sa valeur prédite par le modèle. Les statistiques en rouge
ne sont pas pertinentes dans ce contexte car elle s’appuie sur l’hypothèse de normalité.
Goodness of Fit Statistics
Degrees of Freedom for (C1)-(C3)
3
Maximum Likelihood Ratio Chi-Square (C1)
5.052 (P = 0.1680)
Browne's (1984) ADF Chi-Square (C2_NT)
5.029 (P = 0.1697)
Browne's (1984) ADF Chi-Square (C2_NNT)
1.794 (P = 0.6163)
Satorra-Bentler (1988) Scaled Chi-square (C3)
1.890 (P = 0.5955)
Satorra-Bentler (1988) Adjusted Chi-square (C4)
1.880 (P = 0.5946)
Variantes de la statistique du chi-deux associées à la fonction de perte des moindres carrés pondérés et calculer à l’aide de W.
Degrees of Freedom for C4
2.984
Estimated Non-centrality Parameter (NCP)
2.052
90 Percent Confidence Interval for F0
(0.0 ; 0.00803)
Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA)
0.0210
90 Percent Confidence Interval for RMSEA
(0.0 ; 0.0517)
P-Value for Test of Close Fit (RMSEA < 0.05)
0.994
Chi-Square for Independence Model (10 df)
Normed Fit Index (NFI)
Non-Normed Fit Index (NNFI)
Parsimony Normed Fit Index (PNFI)
Comparative Fit Index (CFI)
4081.247
1.00
1.001
0.300
1.000
18
Incremental Fit Index (IFI)
Relative Fit Index (RFI)
1.000
0.998
Analyse qui traite les données en continues et qui utilise la méthode des moindres
carrés pondérés pour estimer les paramètres
Observed Variables: NOSAY VOTING COMPLEX NOCARE TOUCH INTEREST
Covariance Matrix from File efficon.PM
Asymptotic Covariance Matrix from File efficon.ACM
Sample size: 1554
Latent Variable : Efficacy Respons
Relationships:
NOSAY=1* Efficacy
COMPLEX NOCARE = Efficacy
INTEREST = 1*Respons
NOCARE TOUCH = Respons
Path Diagram
End of Problem
Les résultats sont
NOSAY = 1.00*Efficacy, Errorvar.= 0.40 , R² = 0.35
(0.027)
14.71
COMPLEX = 0.76*Efficacy, Errorvar.= 0.42 , R² = 0.22
(0.060)
(0.021)
12.80
20.00
NOCARE = 1.02*Efficacy + 0.34*Respons, Errorvar.= 0.19 , R² = 0.68
(0.28)
(0.18)
(0.021)
3.66
1.86
9.05
TOUCH = 0.88*Respons, Errorvar.= 0.22 , R² = 0.54
(0.037)
(0.014)
23.77
16.13
INTEREST = 1.00*Respons, Errorvar.= 0.20 , R² = 0.64
(0.017)
11.84
Les R2 sont systématiquement plus petits que ceux de l’analyse basée sur les
corrélations polychoriques.
19
En comparant les deux matrices de corrélation (Pearson vs Polychorique) on note le
phénomène d’atténuation. Traiter des variables ordinales comme si elles étaient
continues donne des corrélations moins élevées que l’estimation des corrélations
polychoriques.
Correlation Matrix (Pearson)
NOSAY
VOTING
COMPLEX
NOCARE
TOUCH
INTEREST
NOSAY
1.000
VOTING
0.284
1.000
COMPLEX
0.278
0.239
1.000
NOCARE
0.480
0.234
0.383
1.000
TOUCH
0.341
0.211
0.289
0.557
1.000
INTEREST
0.389
0.205
0.313
0.598
0.589
1.000
COMPLEX
NOCARE
TOUCH
INTEREST
Correlation Matrix (polychorique)
NOSAY
VOTING
NOSAY
1.000
VOTING
0.331
1.000
COMPLEX
0.337
0.284
1.000
NOCARE
0.557
0.275
0.459
1.000
TOUCH
0.398
0.246
0.357
0.646
1.000
INTEREST
0.456
0.240
0.380
0.683
0.686
1.000
L’utilisation de corrélations polychoriques donne donc un modèle un peu meilleur que
celui obtenu en traitant les données en continues.
20
Si on met la ligne « Asymptotic Covariance Matrix from File efficon.ACM » en commentaire on obtient une
troisième analyse qui maximise la vraisemblance normale (et non pas la fonction F(θ))
et qui fait les calculs d’erreurs type sous l’hypothèse (erronnée?) que les données sont
normales. On obtient
NOSAY = 1.00*Efficacy, Errorvar.= 0.40 , R² = 0.35
(0.021)
18.73
COMPLEX = 0.76*Efficacy, Errorvar.= 0.42 , R² = 0.22
(0.053)
(0.018)
14.41
23.89
NOCARE = 1.02*Efficacy + 0.34*Respons, Errorvar.= 0.19 , R² = 0.68
(0.23)
(0.15)
(0.020)
4.33
2.20
9.49
TOUCH = 0.88*Respons, Errorvar.= 0.22 , R² = 0.54
(0.034)
(0.011)
25.58
19.55
INTEREST = 1.00*Respons, Errorvar.= 0.20 , R² = 0.64
(0.013)
15.47
On note que les erreurs-types calculées sous l’hypothèse de normalité sont
systématiquement plus petites que celles obtenues avec l’approche non paramétrique.
Notons finalement que LISREL permet d’étudier des données longitudinales discrètes
avec des corrélations polychoriques lorsque la prise de mesure est répétée dans le
temps. L’utilisation des mêmes seuils (equal threshold) permet d’étudier les
fluctuations temporelles des variables latentes.
21
AJUSTEMENT DE MODELES HIERARCHIQUES AVEC DES MODELES D’EQUATIONS
STRUCTURELLES
Le fichier os.lsf contient des données sur 20 garçons en croissance. On y retrouve la
longueur de l’os Ramu à quatre temps différents : 8 ans, 8.5 ans, 9 ans et 9.5 ans. On a
donc 4 variables mesurées sur un échantillon de n=20 garçons. Ces données constituent
un exemple de modèle hiérarchique. On retrouve deux niveaux d’observation, le temps
(qui est intra garçon) et le garçon lui-même. L’objectif de l’analyse est de modéliser la
croissance de l’os en fonction du temps. On pourrait, par exemple, considérer un
modèle de régression linéaire simple,
yij= tj+ ij, avec ij~N(0,2)
Ce modèle suppose que le taux de croissance est le même pour tous les 20 garçons de
l’échantillon. Un modèle plus souple permet à et à  de changer d’un garçon à
l’autre. Ce modèle s’écrit
yij=a0i + a1i) tj+ ij, avec ij~N(0,2)
et (a0i, a1i ) suivent une loi normale bivariée de moyenne 0 et de matrice de variance
covariance a. Cette dernière matrice caractérise les variations inter garçon des
paramètres de croissance.
22
50
48
46
Longueur
52
54
Représentation graphique des 20
profils des garçons de l’échantillon.
La croissance est à peu près linéaire,
cependant la pente et l’ordonnée à
l’origine varient beaucoup d’un garçon
à l’autre.
8.0
8.5
9.0
Age
1
1
yi  
1

1
Les modèles de régression multiniveaux peuvent s’écrire comme des
modèles AFC avec des loadings
connus. On peut utiliser LISREL pour
ajuster ce type de modèle. En effet, les
deux variables latentes sont l’ordonnée
à l’origine et la pente. Sous forme
9.5
vectorielle le vecteur des mesures
prises sur un enfant s’écrit
8 
  i1 
8.5    0  a0i    i 2 

  .


9   1  a1i    i 3 
 

9.5 
 i4 
23
LISREL permet de tester l’homogénéité des variances résiduelles pour les 4 temps et de
vérifier si une pente aléatoire est bien nécessaire. Le programme SIMPLIS est
raw data from file os.psf
latent variables: ord pent
relationships:
VAR2 = 1*ord + 8*pent
VAR3 = 1*ord + 8.5*pent
VAR4 = 1*ord + 9*pent
VAR5 = 1*ord + 9.5*pent
ord=constant
pent=constant
set the error variance of VAR2 VAR3 VAR4 VAR5 equal
!set the covariance between ord and pent to 0
!set the error variance of pent to 0
path diagram
end of problem
Dans cette analyse on trouve les résultats suivants :
Covariance Matrix of Independent Variables
ord
pent
--------------ord
91.30
(33.86)
2.70
pent
-10.07
1.19
(3.81)
(0.44)
-2.64
2.70
Mean Vector of Independent Variables
ord
pent
--------------33.77
1.86
(2.34)
(0.27)
14.44
6.97
24
La pente moyenne est donc de 1.86, avec une déviation standard de 1.1. Pour
l’ordonnée à l’origine, la moyenne est de 91.3 avec une déviation standard de 5.8. Un
modèle identique pour tous les garçons est donc contre-indiquer.
Même si on peut faire ces analyses avec LISREL, les logiciels standards tels SAS et
SPSS offrent des programmes beaucoup plus souples pour ajuster des modèles de ce
type d’analyse. L’utilisation de LISREL n’est pas conseillée dans ce cas.
Estimation des variances et des moyennes obtenues avec LISREL pour le modèle final.
25
TRAITEMENT DES DONNÉES MANQUANTES
Description des données : On veut étudier la
dépendance spatiale entre les écoulements annuels
dans les 22 bassins versants des rivières du Québec.
On dispose de 39 années de données (n=39)
d’écoulement en volume par unité de surface. Des
données sont manquantes pour certains bassins
versants.
On étude la partie sud-ouest des bassins-versants,
GRB, LGR, RUP, WAS, SAG, BOM, BEL, RDO,
STM.
Il y a en tout 30 valeurs manquantes sur
30/351=8.55% de valeurs manquantes comme le
montre la sortie PRELIS suivante.
BEL
BOM
GRB
3
0
0
Frequency PerCent
Pattern
25
64.1
0
1
2.6
0
4
10.3
0
1
2.6
1
LGR
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
RDO
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
RUP
1
0
0
0
0
1
2
3
2
SAG
0
2.6
5.1
7.7
5.1
STM
11
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
WAS
7
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
26
Analyse obtenue en enlevant les données manquantes paire par paire
Univariate Summary Statistics for Continuous Variables
Variable
BEL
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
Mean
1.520
1.949
1.345
1.606
1.234
1.759
1.725
1.539
1.605
St. De.
0.264
0.234
0.167
0.248
0.170
0.218
0.209
0.234
0.204
T-Val
34.500
52.113
50.445
40.417
40.425
49.744
51.633
34.765
44.513
Skewne
1.404
0.677
-0.138
0.410
0.177
0.292
0.060
0.478
0.546
Kurtosi
3.167
0.203
0.519
-0.466
-0.475
0.923
-0.749
0.702
0.279
Minimu
1.190
1.596
0.920
1.234
0.910
1.240
1.350
1.053
1.230
Freq
2
1
1
1
1
1
1
1
1
Maximu
2.460
2.575
1.740
2.175
1.583
2.330
2.130
2.171
2.080
Freq
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Covariance Matrix (Attention : cette matrice n’est pas forcément définie positive : vérification
faite celle-ci l’est !)
BEL
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
BEL
0.070
0.029
0.014
0.033
0.023
0.039
0.033
0.043
0.044
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
0.055
0.020
0.038
0.016
0.035
0.038
0.026
0.019
0.028
0.030
0.005
0.017
0.014
0.002
0.006
0.062
0.004
0.040
0.025
0.006
0.021
0.029
0.010
0.016
0.030
0.011
0.048
0.030
0.018
0.022
0.044
0.027
0.029
0.055
0.019
0.042
La covariance entre STM et WAS est basée sur 39-13=26 données.
27
LISREL permet également d’estimer la matrice de variance covariance à l’aide de
l’algorithme EM. Il s’agit d’un algorithme itératif qui fonctionne comme suit :
1) On débute avec une estimation préliminaire de  (peut-être avec celle basée sur les
corrélations paires par paires)
2) On impute les valeurs manquantes pour une unité par leur espérance
conditionnelle étant donné les valeurs observées pour cette unité (ce calcul fait
intervenir )
3) On ré-estime  avec un jeu de données complets comprenant valeurs imputées et
valeurs observées ;
4) On répète 2) et 3) jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de changements d’une itération à
l’autre
Cet algorithme permet de calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de 
lorsque des données sont manquantes. On obtient cet estimateur en calculant la matrice
de variances covariances du jeu données complétés comprenant les valeurs imputées et
les données observées (LISREL permet de créer un jeu de données PRELIS avec les
valeurs imputées).
Evidemment si on considère l’échantillon complété comme un échantillon standard de
taille n, on va surestimer la précision des statistiques calculées. L’imputation multiple
permet de régler ce problème. Elle consiste à imputer plusieurs valeurs différentes
(disons M) pour une donnée manquante avec un algorithme de type MCMC. On peut
donc faire M ajustements différents d’un modèle statistique, un pour chaque ensemble
de valeurs imputées. Les M valeurs d’une statistique permettent de calculer la
variabilité additionnelle associée à l’imputation des valeurs manquantes.
28
Résultats obtenus avec l’algorithme EM
(Note BOM, GRB, LGR ont des échantillons complets, les statistiques pour ces bassins ne
changent pas selon la méthode d’estimation retenue)
Univariate Summary Statistics for Continuous Variables
Variable
BEL
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
Mean
1.508
1.949
1.345
1.606
1.235
1.753
1.725
1.525
1.590
St. De
0.271
0.234
0.167
0.248
0.163
0.219
0.209
0.211
0.218
T-Valu
34.736
52.113
50.445
40.417
47.345
49.975
51.633
45.203
45.520
Skewne
1.212
0.677
-0.138
0.410
0.204
0.331
0.060
0.596
0.293
Kurtosi
2.560
0.203
0.519
-0.466
-0.518
0.824
-0.749
1.154
-0.126
Minimu
1.098
1.596
0.920
1.234
0.910
1.240
1.350
1.053
1.196
Freq
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Maximu
2.460
2.575
1.740
2.175
1.583
2.330
2.130
2.171
2.080
Freq
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Covariance Matrix
BEL
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
BEL
0.073
0.032
0.016
0.035
0.025
0.041
0.038
0.039
0.051
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
0.055
0.020
0.038
0.018
0.035
0.038
0.023
0.027
0.028
0.030
0.006
0.019
0.014
0.006
0.012
0.062
0.008
0.041
0.025
0.009
0.033
0.027
0.017
0.018
0.026
0.014
0.048
0.030
0.019
0.034
0.044
0.027
0.036
0.044
0.024
0.048
L’analyse précédente a été réalisée avec les menus déroulant de PRELIS, voir
29
http://www.ssicentral.com/lisrel/techdocs/Session5.pdf
La procédure est la suivante :
 Lire les données à partir d’un fichier Excel où les têtes de colonne sont les noms




de variables
Définir les variables comme étant continues (et non pas ordinales)
Donner le code pour les valeurs manquantes dans la définition des variables
Dans Statistics choisir l’onglet Multiple Imputation en sélectionnant toutes les
variables et la méthode algorithme EM
Dans Output options , cliquer la case « Save the transformed data to file » et
donner un nom au jeu de données avec valeurs imputées, avec l’extension .LSF
pour en faire un jeu de données PRELIS.
30
VALIDATION DES GROUPES PRÉSENTÉS DU DÉBUT À L’AIDE D’UNE AFE.
Avec l’estimateur terme à terme de la matrice de variances covariances, la méthode du
maximum de vraisemblance ne converge pas. La solutions MINRES donne les facteurs
suivants
Varimax-Rotated Factor Loadings
BEL
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
Factor 1
0.694
0.159
0.044
0.267
0.159
0.375
0.420
0.234
0.951
Factor 2
0.325
0.719
0.716
0.913
0.106
0.693
0.521
0.050
0.200
Factor 3
0.479
0.436
0.032
-0.052
0.719
0.254
0.478
0.964
0.199
Unique Var
0.183
0.268
0.485
0.092
0.446
0.315
0.324
0.014
0.015
31
Si on utilise l’estimateur EM de la matrice de variances-covariances, l’ajustement est
mauvais 122  42.84 . De plus la solution n’est pas admissible (Heywood Case),
Varimax-Rotated Factor Loadings
Factor 1 Factor 2 Factor 3
BEL
0.335
0.123
0.836
BOM
0.499
0.819
0.275
GRB
0.708
0.153
0.093
LGR
0.965
0.132
0.213
RDO
0.047
0.395
0.498
RUP
0.625
0.282
0.513
SAG
0.264
0.568
0.681
STM
-0.006
0.362
0.646
WAS
0.422
0.101
0.848
Unique Var
0.173
0.000
0.466
0.000
0.594
0.266
0.144
0.451
0.093
Avec l’algorithme MINRES on a
Varimax-Rotated Factor Loadings
Factor 1 Factor 2 Factor 3
BEL
0.639
0.309
0.514
BOM
0.209
0.651
0.461
GRB
0.096
0.715
0.104
LGR
0.308
0.918
0.009
RDO
0.141
0.165
0.805
RUP
0.432
0.665
0.338
SAG
0.476
0.435
0.537
STM
0.285
0.062
0.860
WAS
0.927
0.287
0.239
Unique Var
0.232
0.320
0.469
0.063
0.305
0.257
0.297
0.175
0.000
32
Correlation Matrix
BEL
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
WAS
BEL
1.000
0.498
0.349
0.518
0.569
0.698
0.674
0.684
0.860
BOM
GRB
LGR
RDO
RUP
SAG
STM
1.000
0.502
0.648
0.483
0.684
0.784
0.471
0.526
1.000
0.725
0.226
0.532
0.392
0.182
0.343
1.000
0.204
0.750
0.474
0.181
0.602
1.000
0.475
0.527
0.763
0.399
1.000
0.665
0.411
0.715
1.000
0.604
0.788
1.000
0.525
On va poursuivre l’analyse en ajustant des modèles CFA aux données complétées avec
l’algorithme EM.
33
Validation du
regroupement de
bassins suggéré au
début : Mauvais
ajustement
(NFI=71%...).
Notez un 1-R2
négatif dans le
schéma.
34
Méthode FIML (Full information maximum likelihood) pour estimer les paramètres.
Les calculs précédents traitent les valeurs manquantes en deux étapes :
1. Estimation des données
manquantes avec la méthode
EM
2. Ajustement d’un modèle aux
données complètes qui ne tient
pas compte de l’estimation des
valeurs manquantes.
La méthode FIML combine les deux
étapes et produit une analyse qui
tient compte, dans ses statistiques
d’ajustement de l’estimation des
valeurs manquantes. Pour mettre
cette analyse en œuvre il suffit de
lire les données brutes à partir d’un
fichier .lsf qui contient des données
manquantes.
Pour l’analyse précédente, l’énoncé raw data from file Obser3G.psf génère
automatiquement une analyse FIML, avec le diagramme standardisé ci-contre.
35
Une analyse alternative : on va essayer de travailler avec une seule variable latente,
pour l’effet « taille », en ajoutant des corrélations résiduelles entre les erreurs de bassins
adjacents (qui se touchent). On v ensuite enlever les corrélations non significatives. A
la fin du processus on obtient le modèle associé au schéma ci-contre, avec 8
covariances inter bassins.
On note que l’ajustement est bien meilleur que celui du modèle CFA. Il est intéressant
de ré-estimer les paramètres avec la méthode FIML. On note que les variables
numériques sont semblables, cependant les erreurs-types FIML sont inférieures à celles
calculées avec EM. Ceci est contre-intuitif. LISREL calcule-t-il bien les erreurs-types
en présence de données manquantes ?
Error
Covariance
SAG and BOM
LGR and SAG
LGR and GRB
WAS and SAG
BEL and WAS
STM and BEL
RDO and BEL
RDO and STM
EM
FIML
0.012 (0.0039)
-0.01 (0.0022)
0.011 (0.0039
0.0085 (0.0026)
0.0090 (0.0029)
0.014 (0.0049)
0.0084 (0.0036)
0.018 (0.0054)
0.011 (0.0020)
-0.01 (0.0011)
0.011 (0.0020)
0.0084 (0.0014)
0.0098 (0.0017)
0.015 (0.0031)
0.0093 (0.0022)
0.020 (0.0034)
36
Méthode ML+EM
Méthode FIML
Les corrélations obtenues avec les deux modèles sont très voisines.
37
Les corrélations sont représentées sur la figure de gauche. Ainsi les 3 bassins les plus
nordiques sont à peu prêt indépendants des 6 bassins plus au sud, étant donné la
variable latente. Ces bassins montrent des corrélations est–ouest.
38
METHODE DE CALCUL POUR AJUSTER DES MODELES D’EQUATIONS
STRUCTURELLES
La méthode du maximum de vraisemblance est la plus utilisée pour estimer les
paramètres d’un modèle SEM. La méthode Weighted Least Squares (WLS) et
Unweighted Least Squares (ULS ou MINRES pour l’analyse factorielle) sont également
disponibles dans LISREL. Toutes ces méthodes sont basées sur des algorithmes
itératifs et il y a un risque de non convergence.
Deux autres méthodes non itératives sont disponibles : Two Stage Least Squares
(TSLS) et Instrumental Variables (IV). La méthode du maximum de vraisemblance
utilise la méthode TSLS pour calculer des valeurs initiales. Les deux méthodes non
itératives sont utiles pour obtenir des ajustements approximatifs pour trouver la cause
d’un problème de convergence dans l’algorithme.
Extrait d’un programme Simplis qui fait les calculs selon plusieurs méthodes
!Method: Two stage Least Squares
LISREL Output
Method: Instrumental variable
Lorsque qu’un algorithme itératif est utilisé, LISREL vérifie que les estimateurs
obtenus sont admissibles (i.e. pas de variances négatives) après 20 ou 50 itérations et
arrête si ce n’est pas le cas. On peut modifier ceci en spécifiant Options: AD=OFF dans
LISREL. On peut également jouer avec le nombre maximal d’itérations (50 par défaut).
39
SPECIFICATION DES VALEURS INITIALES DES PARAMETRES.
Dans certaines situations, si la méthode d’ajustement par défaut ne converge pas, on
peut changer la méthode de calcul, ou les valeurs initiales de l’algorithme. Avec
Simplis on spécifie des valeurs initiales en écrivant le modèle avec ces valeurs entre
parenthèse. Les paramètres avec une valeur numérique qui n’est pas entre parenthèse
sont considérés comme étant connus. Dans l’exemple sur l’évaluation des policiers le
programme Simplis suivant:
Relationships:
Appear=1*lappear
Overall=1* loverall
ObserSk =1*Perso
CommSk=(.659)*Perso + (.406)*rela
Judgment=(.341)*Perso + (.668)*rela
LearnAbi=(.681)*Perso
WillConP=(.831)*Perso
Depend=(.629)*Perso + (.637)*rela
DesiSelf =(.985)*Perso+ (.359)*rela
InterPer =1*rela
IntPeop =(1.101)*rela
Inegrety=(.983)*rela
loverall = Perso rela lappear
Utilise .659 comme valeur initiale du « loading » de Commsk sur Perso. La variable
latente rela est définie par InterPer. Le paramètre correspondant est donc fixé à 1.
40
COMPARAISON DES ESTIMATEURS OBTENUS AVEC LES METHODES ML,
TSLS ET IV POUR LE MODELE SEM AJUSTÉS AUX POLICIERS.
Loadings
CommSk
LearnAbi
Judgment
ObserSk
WillConP
IntPeop
InterPer
DesiSelf
Depend
Inegrety
Maximum likelihood
Perso
0.659
(0.105)
6.282
0.681
(0.081)
8.413
0.341
(0.096)
3.533
1.000
0.831
(0.090)
9.245
1.101 (0.088)
12.561
1.000
0.695
(0.103)
6.752
0.629
(0.101)
6.199
rela
0.406
(0.094)
4.342
-
Two-stage least
squares
Perso
rela
0.686
0.350
Instrumental variable
Perso
0.706
rela
0.348
0.609
-
0.701
-
0.668
(0.095)
7.067
-
0.456
0.592
0.455
0.586
1.000
0.755
-
1.000
0.780
-
-
1.031 -
-
1.15-
-
0.359
(0.090)
3.978
0.637
(0.094)
6.773
0.983
(0.092)
10.737
1.000
0.706
0.359
1.000
0.692
0.376
0.671
0.580
0.646
0.612
0.916
1.108
41
GAMMA
loverall
TSLS
IV
Perso
0.524
(0.077)
6.796
0.539
0.549
rela
0.481
(0.062)
7.755
0.452
0.481
lappear
0.093
(0.051)
1.811
0.086
0.084
On note qu’avec TSLS et IV on n’obtient seulement des estimations, sans erreur-types
ou estimations standardisées.
Les R2 de la régression pour loverall valent respectivement 81.2% (TLS) et 81.3% (IV)
alors que le R2 ML est de 80%. Dans ce cas les résultats obtenus avec les deux
algorithmes non itératifs sont très semblables aux résultats définitifs. Les solutions
obtenues avec les 2 algorithmes non itératifs sont des estimateurs convergents des vrais
paramètres, si le modèle est vrai.
42
Quelques conseils concernant l’utilisation de LISREL :
 Les messages d’erreur sont parfois absents, parfois difficiles à interpréter, surtout
en ce qui concerne des choses simples comme la lecture des données. Soyez
patients !
 Dans un fichier de données PRELIS les changements effectués (dans le type d’une
variable, ou par des manipulations de données) doivent être sauvegardés pour être
implémentés.
 Chaque exécution d’un programme LISREL créé un très grand nombre de fichiers
(.ls8 pour les fichiers de syntaxe, .out avec les résultats, .pth avec le diagramme de
cheminement, .dsf pour usage interne et d’autres encore). Suggestion : Utilisez une
chemise différente pour chaque analyse.
 Attention : Si vous écrivez un programme en SIMPLIS et que vous allez
sélectionner quelque chose dans un menu déroulant, votre programme est converti
en LISREL. Les énoncés SIMPLIS sont perdus !
 On peut mettre des commentaires dans un programme en faisant précéder la ligne
du symbole « ! ».