ÉVANGÉLISTA TORRICELLI par André Ross Professeur de

Evangelista Torricelli 1
ÉVANGÉLISTA TORRICELLI
par André Ross
Professeur de mathématiques
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NOTES BIOGRAPHIQUES
Torricelli est né le 15 octobre 1608 à Faenza en Romagne, Italie et décédé le 25 octobre 1647 à Florence en
Toscane, Italie. Il a étudié au collège des Jésuites de sa
ville natale avant de poursuivre ses études à Rome où il
reçoit une formation mathématique. C’est l’abbé
Benedetto Castelli, mathématicien, ingénieur, disciple
et ami de Galilée qui lui donne cette formation. À partir
de 1632, année de la publication du Dialogue sur les
deux plus grands Systèmes du Monde, Torricelli correspond avec Galilée et s’initie aux travaux de celui-ci.
Après avoir pris connaissance d’un travail réalisé par
Torricelli sur les corps pesants, Galilée l’invite à Arcetri
près de Florence, dans la villa où il a été assigné à
résidence après son procès. Torricelli répond à l’invitation et agit comme secrétaire de Galilée pendant trois
mois, jusqu’à la mort de celui-ci, le 8 janvier 1642.
Torricelli s’apprête à repartir pour Rome lorsque le
Grand-Duc Ferdinand II de Toscane le nomme au poste
de mathématicien officiel de sa cour laissé vacant par la
mort de Galilée. Torricelli s’adonne alors à la recherche dans plusieurs domaines avec une prédilection pour
la géométrie.
En 1644, il publie Opera geometrica, seul ouvrage
publié de son vivant. Il développe une grande habileté
dans la fabrication de lentilles de télescope mais garde
le secret sur ses techniques. Parallèlement à ses travaux
de recherche, il correspond avec les mathématiciens de
son époque, en particulier avec Roberval et Mersenne.
PRESSION ATMOSPHÉRIQUE
Torricelli fut le premier à réaliser le vide d’air lors
d’expériences sur la pression atmosphérique, découvrant ainsi le principe du baromètre.
En 1643, il imagina l’expérience consistant à renverser
un tube de mercure dans une cuve du même liquide. Il
a réalisé avec son collègue et ami Vincenzo Viviani.
Cette expérience démontre l’effet de la pression atmosphérique qui détermine la hauteur d’une colonne de
liquide dans un tube renversé dans un réservoir du
même liquide. En fait, cette interprétation de l’expérience ne fut pas facilement acceptée. Deux questions
étaient posées par cette expérience :
2 Notes biographiques
Expérience de Torricelli
Un tube rempli de mercure est bouché puis renversé
dans une cuve de mercure. En débouchant le tube, le
mercure descend dans le tube mais se stabilise à chaque fois à une hauteur entre 26 et 27 pouces.
geometrica. Il a appliqué ce principe à la cycloïde et à
différentes courbes.
Il procède en déterminant le rapport de la sous-tangente
à l’abscisse du point de tangence. Ainsi, dans la figure
suivante, il cherche, par des moyens géométriques, à
déterminer le rapport
V
BC
AB
P
A
B
C
H
Il obtient des résultats qui, généralisés en symbolisme
moderne, s’énoncent comme suit :
• De quelle nature est l’espace laissé libre au sommet
du tube plongé dans la cuve de mercure?
• Quelle force maintient le mercure la colonne de mercure dans le tube?
Il faudra attendre les expériences de Pascal, en particulier celle du Puy-de Dôme (19 septembre 1648). les
expériences des sphères de Magdebourg (Otto von Guericke (1654) et de Robert Boyle (1660) pour que soit
reconnue que c’est la pression atmosphérique qui maintient le mercure dans la colonne et que l’espace libre au
sommet du tube et vide.
TORRICELLI ET LES TANGENTES
Les travaux de Torricelli sur la tangente se fondent sur
la conception dynamique de la tangente, soit la composition de deux mouvements d’un point mobile qui trace
une courbe. Dans cette optique, tracer la tangente revient déterminer la résultante des mouvements ou des
vitesses de deux mouvements. Cette résultante repose
sur la tangente à la courbe en ce point mobile. Roberval
avait déjà développé une approche semblable mais
Torricelli n’en fait pas mention dans son Opera
si yp = kxq, alors
si ypxq = k, alors
xdy q
=
ydx p
xdy
q
=–
ydx
p
CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES
Torricelli connaissait bien les travaux d’Archimède, de
Galilée et de Cavalieri. Il semble insatisfait des preuves
obtenues par la méthode de Cavalieri, qui se préoccupait peu de la rigueur mathématique et des difficultés
logiques soulevées par les indivisibles. Il développe
donc des preuves en utilisant la méthode d’Archimède,
en complément à celles obtenues par les indivisibles de
Cavalieri.
Torricelli a déterminé la longueur de l’arc d’une cycloïde, a utilisé le calcul pour déterminer, dans le plan
d’un triangle, le point dont la somme des distances aux
sommets est minimum et il a étudié le mouvement des
projectiles.
En 1641, il a montré que la rotation d’une courbe de
longueur infinie, comme la parabole xy = a2 dans l’in-
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tervalle [–b; b] pouvait engendrer un solide de volume
fini par révolution autour de l’axe des x.
vent de la méthode des indivisibles et de la méthode
d’exhaustion. Il est parvenu à plusieurs résultats intéressants qui font maintenant partie du calcul différentiel et intégral.
Solide de révolution
Courbe plane
y
y
yx = a2
yx = a2
x
x
Il faut reconnaître le rôle important joué par le père
Marin Mersenne dans les échanges entre les savants de
l’époque. Par sa correspondance, il a informé les savants européens des problèmes étudiés et des progrès
réalisés par les autres. Il a servi de revue scientifique
avant
x=b
x=b
Il démontre ce résultat de deux façons, d’abord par la
méthode des indivisibles de Cavalieri, puis par la méthode d’exhaustion qu’il appelle « méthode des Anciens ». Torricelli était très heureux de ce résultat car il
croyait être le premier à découvrir une caractéristique
de cette nature, mais Oresme, Fermat et Roberval avaient
prévu des résultats semblables.
Dans la partie intitulée De infinitis hyperbolis de son
ouvrage, il présente, sous forme géométrique, un résultat équivalent à l’intégrale définie :
a n
Ú0
x dx =
a n+1
n +1
pour toutes les valeurs rationnelles, sauf n = –1.
CONCLUSION
Torricelli s’est intéressé aux problèmes qui passionnaient tous les savants de cette époque : la recherche de
méthodes pour déterminer la tangente à une courbe,
l’aire d’une surface et le volume d’un solide. Il s’est
également intéressé à la pression atmosphérique et a
réalisé la première expérience démontrant l’effet de
celle-ci sur une colonne de mercure. Dans la recherche
des tangentes, il utilise à la fois des procédés géométriques et des procédés mécaniques, s’inspirant des travaux d’Archimède, de Cavalieri et de Roberval. Dans
le calcul d’aires et de volumes, il compare les aires et
les volumes cherchés à des aires ou des volumes connus. Les arguments invoqués dans ses démarches relè-
EXERCICES
1. Soit yp = kxq. Montrer, en utilisant les techniques
modernes de dérivation que :
xdy q
=
ydx p
2. Soit ypxq = k. Montrer, en utilisant les techniques
modernes de dérivation que :
xdy
q
=–
ydx
p
BIBLIOGRAPHIE
Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John
Wiley & Sons, 1968, 717 p.
Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal,
Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 1979 2 vol.,
587 p.
Davis, Philip J, Hersh, Reuben, Marchisotto, Elena Anne.
The Mathematical Experience, Study edition, Boston,
Birkhäuser, 1995, 485 p.
Dunham, William. The Mathematical Universe, New York,
John Wiley & Sons, Inc., 1994, 314 p.
Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics,
New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p.
Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press, 1972,
1238 p.
Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York,
Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol. 1 299 p.
Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York,
Dover Publications, Inc. 1967, 195 p.
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