20 Structure de groupe

Transcription

20
Structure de groupe
On suppose construits les ensembles usuels N, Z, Q, R et C avec les quatre opérations
classiques. Nous reviendrons plus loin sur les constructions de Z à partir de N, de Q à partir
de Z, de R à partir de Q et de C à partir de R.
L’étude préliminaire de l’algèbre linéaire a nécessité l’utilisation des notions de groupe, anneau et corps sans une étude très approfondie.
On se propose dans ce chapitre et les deux suivants d’étudier plus en détail ces structures
algébriques de base.
Les résultats de base en algèbre linéaire sont supposés acquis.
Les espaces de matrices (réelles ou complexes) ainsi que les espaces de fonctions polynomiales
(à coefficients réels ou complexes) nous seront utiles pour illustrer certaines notions.
Nous supposerons également acquises les notions basiques d’arithmétique (division euclidienne, pgcd, ppcm, ...). Pour a, b entiers relatifs, on note respectivement a ∧ b et a ∨ b le pgcd
et le ppcm de a et b.
20.1
Loi de composition interne
Définition 20.1 On appelle loi de composition interne sur un ensemble non vide G toute
application ϕ définie sur G × G et à valeurs dans G.
Si ϕ est loi de composition interne sur G, on notera souvent :
∀ (a, b) ∈ G2 , a ? b = ϕ (a, b) .
Il sera parfois commode de noter une telle loi sous la forme additive (a, b) 7→ a + b ou sous
la forme multiplicative (a, b) 7→ a · b ou plus simplement (a, b) 7→ ab.
On notera (G, ?) l’ensemble non vide G muni de la loi de composition interne ?.
Exemple 20.1 L’addition et la multiplication usuelles sont des lois de composition interne sur
N, Z, Q, R et C.
Exemple 20.2 Si E est un ensemble non vide et P (E) l’ensemble de toutes les parties de E,
les applications :
(A, B) 7→ A ∩ B, (A, B) 7→ A ∪ B, (A, B) 7→ A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
sont des lois de composition interne sur P (E) (4 est l’opérateur de différence symétrique).
377
378
Structure de groupe
Exemple 20.3 Si E est un ensemble non vide et F (E) l’ensemble de toutes les applications
de E dans E, alors l’application de composition (f, g) 7→ f ◦g est une loi de composition interne
sur F (E) .
Exemple 20.4 Dans l’ensemble Mn (R) des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels les
opérations usuelles d’addition (A, B) 7→ A + B et de multiplication (A, B) 7→ AB sont des lois
de composition interne.
Exemple 20.5 Dans l’ensemble GLn (R) des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels
inversibles l’addition n’est pas une loi interne (si A est inversible, il en est de même de B = −A
et la somme A + B = 0 ne l’est pas) et la multiplication est une loi interne.
Définition 20.2 Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne (a, b) 7→
a ? b. On dit que :
1. cette loi est associative si :
∀ (a, b, c) ∈ G3 , (a ? b) ? c = a ? (b ? c)
2. cette loi est commutative si :
∀ (a, b) ∈ G2 , a ? b = b ? a
3. e est un élément neutre pour cette loi si :
∀a ∈ G, a ? e = e ? a = a
4. un élément a de G est dit régulier (ou simplifiable) si :
½
a ? b = a ? c ⇒ b = c,
2
∀ (b, c) ∈ G ,
b ? a = c ? a ⇒ b = c.
Remarque 20.1 Dire qu’un élément a ∈ G est régulier à gauche [resp. à droite] signifie que
l’application g 7→ a ? g [resp. g 7→ g ? a] est injective.
Si ? est une loi de composition interne associative sur G, on écrira a ? b ? c pour (a ? b) ? c
ou a ? (b ? c) .
De manière plus générale, toujours dans le cas d’une loi associative, on peut effectuer les
n
Q
opérations a1 ? a2 ? · · · ? an où les aj sont des éléments de G, ce que l’on notera
aj dans le cas
d’une loi multiplicative ou
n
P
j=1
aj dans le cas d’une loi additive. Ce produit (ou cette somme)
j=1
est donc défini par a1 ∈ G et supposant
n−1
Q
aj construit pour n ≥ 2, on a :
j=1
n
Y
aj =
j=1
n−1
Y
aj ? an
j=1
le parenthésage étant sans importance du fait de l’associativité.
n
n
Q
P
Pour n = 0, il sera commode de noter
aj = 1 (ou
aj = 0 dans le cas d’une loi additive).
j=1
j=1
Loi de composition interne
379
Dans le cas où tous les aj sont égaux à un même élément a, ce produit est noté an et on dit
que c’est la puissance n-ième de a. On retiendra que ces éléments de G sont donc définis par la
relation de récurrence :
½ 0
a =1
∀n ∈ N, an+1 = an ? a
Dans le cas où la loi est notée additivement, on note plutôt na au lieu de an .
On vérifie facilement que an ? am = am ? an = an+m [resp. (na) + (ma) = (ma) + (na) =
(n + m) a pour une loi additive] pour tous n, m dans N∗ (voir le théorème 20.9).
Exemple 20.6 Les opérations usuelles d’addition et de multiplication sont commutatives et
associatives sur G = N, Z, Q, R ou C. 0 est un élément neutre pour l’addition et 1 est un
élément neutre pour la multiplication pour chacun de ces ensembles. Tous les éléments de G
sont simplifiables pour l’addition et tous les éléments de G∗ = G \ {0} sont simplifiables pour
la multiplication.
Exemple 20.7 Si E est un ensemble non vide, les opérations ∩ et ∪ sont commutatives et
associatives sur P (E) . L’ensemble vide ∅ est un élément neutre pour ∪ et E est un élément
neutre pour l’intersection ∩.
Exemple 20.8 Si E est un ensemble non vide la composition des applications est associative
et non commutative dans F (E) . L’identité est un élément neutre pour cette loi.
Exemple 20.9 Dans Mn (R) l’addition est associative et commutative et la multiplication est
associative et non commutative.
Exercice 20.1 Montrer que le produit vectoriel est une loi de composition interne non associative sur R3 .
Solution 20.1 On rappelle que ce produit vectoriel est la loi interne définie par :

   0   0
x
yz − y 0 z
x
 y  ∧  y 0  =  x0 z − xz 0  .
z0
xy 0 − x0 y
z
³
→´
→
− , −
En désignant par −
ı ,→
k la base canonique de R3 , on a :
³
→
−´ → −
−
→ ³−
→ −
→ −
→ →´ −
→ −
→
→
− ∧ −
→
 ∧ k =−
 ∧→
ı =−k, j ∧−
 ∧ k = 0 ∧ k = 0.
Cette loi n’est donc pas associative.
→
→
→
→
Comme −
u ∧−
v = −−
v ∧−
u , cette loi n’est pas commutative (il existe des vecteurs tels que
−
→
−
→
−
→
v ∧ u 6= 0 ).
Théorème 20.1 Soit (G, ?) un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne. Si
G admet un élément neutre, alors ce dernier est unique.
Démonstration. Soient e, e0 deux éléments neutres. On a alors e = e ? e0 puisque e0 est
neutre et e0 = e ? e0 puisque e est neutre, ce qui implique e = e0 .
Définition 20.3 Soit (G, ?) un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne et
admettant un élément neutre e. On dit qu’un élément a de G est inversible s’il existe un élément
a0 dans G tel que a ? a0 = a0 ? a = e. On dit alors que a0 est un inverse (ou un symétrique) de
a dans G.
380
Structure de groupe
Théorème 20.2 Soit (G, ?) un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne associative et admettant un élément neutre e. Si a ∈ G admet un inverse dans G, alors ce dernier
est unique.
Démonstration. Supposons que a ∈ G admette deux inverses a0 et a00 . On a alors :
a0 ? a ? a00 = (a0 ? a) ? a00 = e ? a00 = a00
puisque la loi est associative et a0 est inverse de a et :
a0 ? a ? a00 = a0 ? (a ? a00 ) = a0 ? e = a0
puisque a00 est inverse de a, ce qui implique a0 = a00 .
Remarque 20.2 Pour une loi non associative, l’unicité du symétrique n’est pas assurée. Par
exemple dans l’ensemble G = {0, −1, 1} muni de la loi définie par la table :
?
0
−1
1
0
0
−1
1
−1
−1
0
0
1
1
0
0
0 est neutre et 1 ? 1 = 1 ? (−1) = 0.
En cas d’existence, on notera a−1 un inverse de a dans (G, ?) , la loi ? étant associative.
Dans le cas d’une loi de composition interne notée de façon additive, on notera plutôt −a
un inverse de a et on l’appellera opposé.
Exemple 20.10 Dans (N, +) seul 0 a un opposé et dans (N, ·) seul 1 a un inverse.
Exemple 20.11 Dans (Z, +) tout élément admet un opposé et dans (Z, ·) les seuls éléments
inversibles sont 1 et −1.
Exemple 20.12 Dans (R [x] , +) tout élément admet un opposé et dans (R [x] , ·) les seuls
éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls.
Exemple 20.13 Le cours d’algèbre linéaire nous dit que l’ensemble des éléments inversibles de
(Mn (R) , ·) est GLn (R) .
20.2
Groupes
Définition 20.4 Un groupe est un ensemble non vide G muni d’une loi de composition interne
? possédant les propriétés suivantes :
– la loi ? est associative ;
– il existe un élément neutre e pour la loi ? ;
– tout élément de G admet un symétrique.
Si de plus la loi ? est commutative, on dit que le groupe G est commutatif ou abélien.
En général, s’il n’y pas de confusion possible, on dira tout simplement que G est un groupe
pour (G, ?) est un groupe et on notera ab ou a + b le résultat de l’opération a ? b. Avec la
première notation, on dit que G est un groupe multiplicatif et on notera 1 l’élément neutre,
a−1 le symétrique d’un élément a de G et avec la seconde notation, on dit que G est un groupe
additif et on notera 0 l’élément neutre, −a le symétrique qu’on appelle opposé.
Groupes
381
Exemple 20.14 Les ensembles Z, Q, R et C munis de l’addition usuelle sont des groupes
abéliens.
Exemple 20.15 L’ensemble N muni de l’addition usuelle n’est pas un groupe du fait qu’un
élément non nul de N n’a pas d’opposé dans N (l’équation a + x = 0 avec a 6= 0 dans N n’a pas
de solution dans N).
Exemple 20.16 Les ensembles Q∗ , R∗ et C∗ munis de la multiplication usuelle sont des groupes
abéliens.
Exemple 20.17 L’ensemble Z∗ muni de la multiplication usuelle n’est pas un groupe du fait
qu’un élément de Z\{−1, 0, 1} n’a pas d’inverse dans Z (l’équation ax = 1 avec a ∈ Z\{−1, 0, 1}
n’a pas de solution dans Z).
Exemple 20.18 Si E est un ensemble non vide, l’ensemble P (E) est alors un groupe pour
l’opération de différence symétrique : (A, B) 7→ A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) .
Exemple 20.19 Si E est un ensemble non vide, l’ensemble des bijections de E dans lui même
muni de la composition des applications est un groupe (en général non abélien). Ce groupe est
le groupe des permutations de E, il est noté S (E) ou S (E) .
Exemple 20.20 L’ensemble Mn (R) des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels est un
groupe additif, mais non multiplicatif.
Exemple 20.21 L’ensemble GLn (R) des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et inversibles est un groupe multiplicatif, mais non additif.
Théorème 20.3 Dans un groupe (G, ?) tout élément est simplifiable.
Démonstration. Soient a, b, c dans G. Si a ? b = a ? c, on a alors a−1 ? a ? b = a−1 ? a ? c,
soit b = c. De même si b ? a = c ? a, alors b ? a ? a−1 = c ? a ? a−1 , soit b = c.
Exercice 20.2 Montrer que si (G, ?) est un groupe, alors pour tout a ∈ G, la translation à
gauche ga : x 7→ a ∗ x [resp. à droite da : x 7→ x ∗ a] est une bijection de G d’inverse ga−1 [resp.
da−1 ].
Solution 20.2 L’égalité ga (x) = ga (y) équivaut à a ∗ x = a ∗ y et multipliant à gauche par
a−1 , on en déduit que x = y. L’application ga est donc injective.
Pour y ∈ G, l’équation ga (x) = y équivaut à a ∗ x = y, ce qui entraîne x = a−1 ∗ y. L’application
ga est donc surjective.
En fait comme, pour tout y ∈ G, l’équation ga (x) = y a pour unique solution x = a−1 ∗ y, on
déduit immédiatement que ga est bijective d’inverse ga−1 .
Exercice 20.3 Montrer que si (G, ?) est un groupe et E un ensemble non vide, alors l’ensemble
GE des applications de E dans G muni de la loi · définie par :
∀ (f, g) ∈ GE × GE , ∀x ∈ E, (f · g) (x) = f (x) ? g (x)
est un groupe et que ce groupe est commutatif si G l’est.
382
Structure de groupe
Solution 20.3 Pour f, g dans GE , f · g est bien une application de E dans G, donc un élément
de GE .
L’application 1 : x 7→ e est le neutre pour cette loi.
Si f ∈ GE , l’application f 0 : x 7→ (f (x))−1 est l’inverse de f.
Pour f, g, h dans GE et x ∈ E, on a :
(f · (g · h)) (x) = f (x) ∗ (g · h) (x) = f (x) ∗ (g (x) ? h (x))
= (f (x) ∗ g (x)) ? h (x) = (f · g) (x) ∗ h (x)
= ((f · g) · h) (x)
et donc f · (g · h) = (f · g) · h.
L’ensemble GE muni de la loi · est donc un groupe.
Si G est commutatif, on a alors pour f, g dans GE et tout x ∈ E, (f · g) (x) =
¡ fE(x)¢ ? g (x) =
g (x) ? f (x) = (g · f ) (x) , ce qui revient à dire que f · g = g · f. Le groupe G , · est donc
commutatif si G l’est.
Exercice 20.4 Soient G, H deux groupes multiplicatifs. Montrer que le produit direct G × H
muni de la loi :
((a1 , a2 ) , (b1 , b2 )) 7→ (a1 , a2 ) (b1 , b2 ) = (a1 b1 , a2 b2 )
est un groupe.
Solution 20.4 Laissée au lecteur.
De manière plus générale, si H1 , · · · , Hn sont des groupes multiplicatifs, alors le produit
direct H1 × · · · × Hn muni de la loi :
((a1 , · · · , an ) , (b1 , · · · , bn )) 7→ (a1 b1 , · · · , an bn )
est un groupe et ce groupe est commutatif si, et seulement si, tous les Hi le sont.
Si (G, ?) est un groupe tel que G ait un nombre fini n ≥ 1 d’éléments, on dira alors que G
est un groupe fini d’ordre (ou de cardinal) n. Pour un tel groupe fini d’ordre petit, on peut
dresser sa table de composition. Cette table est appelée table de Pythagore.
Exercice 20.5 Montrer que l’ensemble G =
suivante :
? e
e e
a a
b b
c c
{e, a, b, c} muni de la loi ? définie par la table
a b
a b
e c
c e
b a
c
c
b
a
e
est un groupe commutatif (a ? b est situé à l’intersection de la ligne de a et de la colonne de b).
Ce groupe est le groupe de Klein. Une représentation géométrique est donnée par l’ensemble
{Id, σx , σy , σz } , où Id est l’identité de l’espace R3 et σx , σy , σz sont les symétries orthogonales
par rapport aux trois axes Ox , Oy et Oz , en munissant cet ensemble de la composition des
applications.
Solution 20.5 Laissée au lecteur.
Groupes
383
Exercice 20.6 La table suivante :
?
e
a
b
c
d
e a
e a
a e
b c
c d
d b
b c
b c
d b
e d
a e
c a
d
d
c
a
b
e
définit-elle un groupe ?
Solution 20.6 La loi n’est pas associative puisque :
½
a ? (b ? c) = a ? d = c
(a ? b) ? c = d ? c = a 6= c
Exercice 20.7 Soit (G, ?) un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne associative, admettant un élément neutre e à gauche, c’est-à-dire que :
∀a ∈ G, e ? a = a
et telle que tout élément de G admette un symétrique à gauche, c’est-à-dire que :
∀a ∈ G, ∃a0 ∈ G | a0 ? a = e.
Montrer alors que (G, ?) est un groupe (e est alors le neutre de (G, ?) et a0 le symétrique de a).
Solution 20.7 Soient a ∈ G et a0 ∈ G tel que a0 ? a = e. En désignant par a00 un inverse à
gauche de a0 , on a :
a ? a0 = a00 ? a0 ? a ? a0 = a00 ? (a0 ? a) ? a0 = a00 ? a0 = e,
ce qui signifie que a0 est aussi un inverse à droite de a. Et avec :
a ? e = a ? (a0 ? a) = (a ? a0 ) ? a = e ? a = a,
on déduit que e est aussi un neutre à droite. En définitive, e est un élément neutre dans (G, ?)
et a0 est le symétrique de a. Avec l’associativité de ?, il en résulte que (G, ?) est un groupe.
L’exercice précédent nous dit que pour une loi associative la vérification de l’existence d’un
neutre à gauche et d’un inverse à gauche est suffisante pour affirmer qu’on a une structure de
groupe.
Exercice 20.8 Montrer que l’ensemble G = ]−1, 1[ muni de la loi ? définie par :
x?y =
est un groupe commutatif.
x+y
1 + xy
384
Structure de groupe
Solution 20.8 Pour x, y dans ]−1, 1[ , on a |xy| < 1, donc 1 + xy > 0 et x ? y est bien défini.
De plus avec :
(x + y)2 − (1 + xy)2 = x2 + y 2 − 1 − x2 y 2
¡
¢¡
¢
= x2 − 1 1 − y 2 < 0
on déduit que |x ? y| < 1 et ? défini bien une loi interne sur G.
De la commutativité de la somme et du produit sur R on déduit que ? est commutative.
Pour tout x ∈ G, on a x ? 0 = x et x ? (−x) = 0, donc 0 est neutre et tout élément de G est
inversible.
Enfin pour x, y, z dans G, on a :
y+z
x + 1+yz
x+y?z
=
y+z
1+x·y?z
1 + x 1+yz
x + y + z + xyz
=
xy + xz + yz + 1
x ? (y ? z) =
et :
x+y
+z
x?y+z
1+xy
(x ? y) ? z =
=
x+y
1+x?y·z
1 + 1+xy
z
x + y + z + xyz
=
xy + xz + yz + 1
donc ? est associative.
i π πh
Exercice 20.9 Montrer que l’ensemble G = − ,
muni de la loi ? définie par :
2 2
x ? y = arctan (tan (x) + tan (y))
est un groupe commutatif.
i π πh
Solution 20.9 La fonction arctan étant bijective de R sur − ,
l’application ? défini bien
2 2
une loi interne sur G.
De la commutativité de la somme sur R on déduit que ? est commutative.
Pour tout x ∈ G, on a x ? 0 = x et x ? (−x) = 0 (la fonction tan est impaire), donc 0 est neutre
et tout élément de G est inversible.
Enfin pour x, y, z dans G, on a :
x ? (y ? z) = arctan (tan (x) + tan (y ? z))
= arctan (tan (x) + (tan (y) + tan (z)))
et :
(x ? y) ? z = arctan (tan (x ? y) + tan (z))
= arctan (tan (x) + (tan (y) + tan (z)))
ce qui montre que ? est associative.
Les deux exercices précédents ne sont que des cas particuliers de l’exercice 20.34.
Groupes
385
−1
Théorème 20.4 Soit (G, ?) un groupe. Pour tous a, b dans G, on a (a−1 )
b−1 ? a−1 .
= a et (a ? b)−1 =
Démonstration. La première égalité se déduit immédiatement de la définition de a−1 et la
deuxième résulte de :
b−1 ? a−1 ? a ? b = b−1 ? e ? b = b−1 ? b = e
Plus généralement, on vérifie facilement par récurrence sur p ≥ 2 que si a1 , · · · , ap sont des
éléments d’un groupe G, on a alors :
−1
(a1 ? · · · ? ap )−1 = a−1
p ? · · · ? a1 .
Exercice 20.10 Soit G un groupe multiplicatif d’élément neutre 1. Montrer que si on a a2 = 1
pour tout a dans G, alors G est commutatif.
Solution 20.10 Pour a, b dans G, de abab = (ab)2 = 1, on déduit que a (abab) b = ab, soit
a2 bab2 = ab ou encore ba = ab.
Exercice 20.11 Soit G un groupe multiplicatif d’élément neutre 1.
1. Montrer que G est commutatif si, et seulement si, on a (ab)2 = a2 b2 pour tous a, b dans G
(ce qui revient à dire que l’application a 7→ a2 est un morphisme de groupes, cette notion
étant définie au paragraphe 20.7).
2. Montrer que G est commutatif si, et seulement si, on a (ab)−1 = a−1 b−1 pour tous a, b
dans G (ce qui revient à dire que l’application a 7→ a−1 est un morphisme de groupes).
Solution 20.11
1. Dans le cas où G est commutatif, on a pour tous a, b dans G :
(ab)2 = abab = aabb = a2 b2 .
Réciproquement, si (ab)2 = a2 b2 pour tous a, b dans G, de abab = (ab)2 = a2 b2 = aabb, on
déduit par simplification à gauche par a et à droite par b que ba = ab.
On peut retrouver le résultat de l’exercice précédent avec ce résultat. Si a2 = 1 pour tout
a dans G, on a alors pour tous a, b dans G, (ab)2 = 1 = a2 b2 et G est commutatif.
2. Dans le cas où G est commutatif, on a pour tous a, b dans G :
a−1 b−1 ab = a−1 b−1 ba = 1
donc a−1 b−1 = (ab)−1 .
¡
¢−1
Réciproquement, si (ab)−1 = a−1 b−1 pour tous a, b dans G, on a alors ab = (ab)−1
=
−1 −1 −1
(a b ) = ba et G est commutatif.
n
n n
Dans (GLn (R) , ·) qui est nonµcommutatif,
on a µen général
≥ 2
¶
¶ (AB) 6= A Bµ pour n ¶
1 2
1 1
10 24
dans N. Par exemple, pour A =
et B =
, on a (AB)2 =
et
3
4
0
1
24
58
µ
¶
7 24
2 2
AB =
.
15 52
On peut aussi remarquer que µ
les éléments
¶ de Mµn (R) ne¶ sont pas tous simplifiables pour le
1 0
0 0
produit. Par exemple, pour A =
et B =
, on a AB = 0 = A · 0 avec B 6= 0.
0 0
1 0
386
20.3
Structure de groupe
Sous-groupes
Définition 20.5 Soit (G, ?) un groupe. Un sous-groupe de G est un sous-ensemble H de G tel
que :
– H est non vide ;
– pour tous a, b dans H, a ? b−1 est dans H.
Le résultat qui suit nous donne une définition équivalente de la notion de sous-groupe.
Théorème 20.5 Soit (G, ?) un groupe. Un sous-ensemble H de G est sous-groupe si, et seulement si :
– H contient l’élément neutre e de G ;
– H est stable pour la loi ?, c’est-à-dire que :
∀ (a, b) ∈ H 2 , a ? b ∈ H
– H est stable par passage à l’inverse, c’est-à-dire que :
∀a ∈ H, a−1 ∈ H.
Démonstration. Soit H un sous-groupe de G.
−1
Pour a ∈ H, on a e = a ? a−1 ∈ H, a−1 = e ? a−1 ∈ H et pour b ∈ H, a ? b = a ? (b−1 ) ∈ H.
Réciproquement si H contient e, il est non vide et s’il est stable par multiplication et passage
à l’inverse, on a pour a, b dans H, b−1 ∈ H et a ? b−1 ∈ H.
On vérifie facilement qu’un sous-groupe H d’un groupe G est lui même un groupe et H est
commutatif si G l’est.
Exemple 20.22 Si (G, ?) est un groupe d’élément neutre e, alors H = {e} et G sont des
sous-groupes de G. On dit que ce sont les sous-groupes triviaux de G.
Exemple 20.23 L’ensemble Γ des nombres complexes de module égal à 1 (le cercle unité) est
un sous-groupe du groupe multiplicatif C∗ .
Exemple 20.24 Pour tout entier n ≥ 1, l’ensemble Γn = {z ∈ C \ z n = 1} des racines n-èmes
de l’unité est un sous-groupe de Γ.
Exemple 20.25 Pour tout entier naturel n, l’ensemble nZ = {q · n | q ∈ Z} des multiples de n
est un sous groupe de (Z, +) . En réalité ce sont les seuls, comme le montre le théorème suivant
qui est une conséquence du théorème de division euclidienne dans Z (théorème 23.1).
Théorème 20.6 Si G est un sous-groupe de (Z, +) , il existe alors un unique entier naturel n
tel que
G = nZ = {qn | q ∈ Z}
Cet entier n est le plus petit élément de G ∩ N∗ .
Démonstration. Si G = {0} , on a G = 0Z.
Si G 6= {0} , il existe dans G un entier a non nul et comme G est un sous-groupe de (Z, +)
−a est aussi dans G et l’un des entiers a ou −a est dans G+ = G ∩ N∗ . L’ensemble G+ est
donc une partie non vide de N∗ et en conséquence admet un plus petit élément n ≥ 1. Comme
n ∈ G et G est un groupe additif, on a nZ ⊂ G. D’autre part, pour tout m ∈ G, la division
Sous-groupes
387
euclidienne par n donne m = qn + r avec r = m − nq ∈ G+ et r ≤ n − 1, ce qui impose r = 0
par définition de n. On a donc G ⊂ nZ et G = nZ.
L’unicité provient du fait que nZ = mZ si, et seulement si, n = ±m et pour n, m positifs,
on a nécessairement n = m.
Nous verrons avec le chapitre sur les anneaux, que le résultat précédent peut se traduire en
disant que l’anneau Z est principal et il a de nombreuses applications.
La notion de sous-groupe est commode pour montrer qu’un ensemble est un groupe : on peut
essayer de le voir comme sous-groupe d’un groupe connu, ce qui évite de prouver l’associativité.
Les exercices qui suivent illustrent cette idée.
Exercice 20.12 Soit i dans C tel que i2 = −1. Montrer que G = {1, −1, i, −i} est un groupe
multiplicatif.
Solution 20.12 On montre que c’est
multiplication :
·
1
−1
i
−i
un sous-groupe de C, ce qui se déduit de la table de
1
1
−1
i
−i
−1
−1
1
−i
i
i
−i
i
−i
−i
i
−1 1
1 −1
Exercice 20.13 Montrer que l’ensemble Tn (R) des matrices carrées d’ordre n à coefficients
réels triangulaires supérieures à termes diagonaux non nuls est un groupe multiplicatif.
Solution 20.13 On a Tn (R) ⊂ GLn (R) puisque le déterminant d’une matrice triangulaire
est égal au produit de ces termes diagonaux. La matrice identité In est dans Tn (R) et pour
A, B dans Tn (R) de diagonales respectives
(λ1¶
, · · · , λn ) et (µ1 , · · · , µn ) , l’inverse de B est une
µ
1
1
matrice triangulaire de diagonale
,··· ,
et le produit AB −1 est une matrice triangulaire
µ
µ
1
n
µ
¶
λ1
λn
de diagonale
,··· ,
, c’est donc un élément de Tn (R) . En définitive, Tn (R) est un sousµ1
µn
groupe de GLn (R) .
Exercice 20.14 Montrer que l’ensemble T Un (R) des matrices carrées d’ordre n à coefficients
réels triangulaires supérieures à termes diagonaux tous égaux à 1 est un groupe multiplicatif (le
groupe des matrices triangulaires unipotentes).
Solution 20.14 On procède comme pour l’exercice précédent.
Exercice 20.15 Montrer que l’ensemble SLn (R) des matrices carrées réelles d’ordre n de déterminant égal à 1 est un sous-groupe de GLn (R) .
Solution 20.15 Comme les matrices de SLn (R) ont un déterminant non nul, elles sont inversibles. On a donc SLn (R) ⊂ GLn (R) .
La matrice identité In est dans SLn (R) et pour A, B dans SLn (R) , on a det (AB −1 ) =
det (A)
= 1, donc AB −1 ∈ SLn (R) .
det (B)
Exercice 20.16 Montrer que l’ensemble O2+ (R) des matrices de rotation défini par :
½
µ
¶
¾
cos (θ) − sin (θ)
+
O2 (R) = Rθ =
|θ∈R
sin (θ) cos (θ)
est un groupe multiplicatif commutatif.
388
Structure de groupe
Solution 20.16 On vérifie que c’est un sous-groupe du groupe multiplicatif SL2 (R) .
Pour tout réel θ, on a det (Rθ ) = 1, donc Rθ ∈ SL2 (R) . On vérifie facilement que Rθ R−θ = In ,
ce qui signifie que Rθ−1 = R−θ .
On a In = R0 ∈ O2+ (R) et pour Rθ1 , Rθ2 dans O2+ (R) , Rθ1 Rθ2−1 = Rθ1 −θ2 ∈ O2+ (R) .
Donc O2+ (R) est un sous-groupe de SL2 (R) .
Avec Rθ1 Rθ2 = Rθ1 +θ2 , on déduit que O2+ (R) est commutatif.
Exercice 20.17 L’ensemble O2− (R) des matrices de réflexion défini par :
½
µ
¶
¾
cos (θ) sin (θ)
−
O2 (R) = Sθ =
|θ∈R
sin (θ) − cos (θ)
est-il un groupe multiplicatif ? Que dire du produit de deux réflexions ?
Solution 20.17 Pour tout réel θ, on a det (Rθ ) = −1 6= 0, donc O2− (R) ⊂ GL2 (R) .
Comme In ∈
/ O2− (R) , cet ensemble n’est pas un sous-groupe de GL2 (R) .
Pour θ1 , θ2 dans R, on a :
µ
¶µ
¶
cos (θ1 ) sin (θ1 )
cos (θ2 ) sin (θ2 )
Sθ1 Sθ2 =
sin (θ1 ) − cos (θ1 )
sin (θ2 ) − cos (θ2 )
µ
¶
cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos θ1 sin θ2 − cos θ2 sin θ1
=
− cos θ1 sin θ2 + cos θ2 sin θ1 cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
µ
¶
cos (θ1 − θ2 ) − sin (θ1 − θ2 )
=
= Rθ1 −θ2 ∈ O2+ (R)
sin (θ1 − θ2 ) cos (θ1 − θ2 )
c’est-à-dire que le produit de deux réflexions est une rotation.
µ
Exercice 20.18 Montrer que l’ensemble G des matrices réelles de la forme M(a,b) =
a b
b a
¶
avec a2 6= b2 est un groupe multiplicatif. Est-il commutatif.
Solution 20.18 On vérifie que c’est un sous-groupe du ¡groupe¢ multiplicatif GL2 (R) .
On a In = M(1,0) ∈ G et pour tous réels a, b, on a det M(a,b) = a2 − b2 6= 0, donc M(a,b) ∈
GL2 (R) , l’inverse de M(a,b) étant :
µ
¶
1
a −b
−1
M(a,b) = 2
= M a , −b ∈ G.
a − b2 −b a
a2 −b2 a2 −b2
Pour M(a1 ,b1 ) , M(a2 ,b2 ) dans G, on a :
M(a1 ,b1 ) M(a2 ,b2 ) = M(a1 a2 +b1 b2 ,a1 b2 +a2 b1 ) ∈ G
Donc G est un sous-groupe de GL2 (R) .
Avec
M(a1 ,b1 ) M(a2 ,b2 ) = M(a1 a2 +b1 b2 ,a1 b2 +a2 b1 )
= M(a2 a1 +b2 b1 ,a2 b1 +a1 b2 ) = M(a2 ,b2 ) M(a1 ,b1 )
on déduit que ce groupe est commutatif.
Exercice 20.19 L’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels symétriques et
inversibles est-il un groupe multiplicatif ?
Sous-groupes
389
Solution 20.19 Le produit de deux matrices symétriques
µ n’étant
¶ pas nécessairement
µ 0 0 ¶ syméa b
a b
trique, la réponse est négative. Par exemple, pour A =
et A0 =
, on a
b c
b0 c0
µ 0
¶
aa + bb0 ab0 + bc0
AA0 =
et en général, ba0 + cb0 6= ab0 + bc0 . En effet l’égalité revient à
ba0 + cb0 bb0 + cc0
b (a0 − c0 ) = b0 (a − c) qui n’est pas réalisée pour a = c, b 6= 0 et a0 6= c0 .
Exercice 20.20 Montrer que pour tout groupe (G, ?) et tout élément a de G, le centralisateur
de a formé des éléments Za de G qui commutent avec a, soit :
Za = {b ∈ G | a ? b = b ? a}
est un sous-groupe de G.
Solution 20.20 On a Za 6= ∅ puisque e ∈ Za . Pour b, c dans Za , on a :
(b ? c) ? a = b ? (c ? a) = b ? (a ? c)
= (b ? a) ? c = (a ? b) ? c = a ? (b ? c)
c’est-à-dire que b ? c ∈ Za .
Pour b dans Za , de a ? b = b ? a, on déduit que
b−1 ? a = b−1 ? a ? b ? b−1 = b−1 ? b ? a ? b−1 = a ? b−1
c’est-à-dire que b−1 ∈ Za .
En définitive, Za est un sous-groupe de G.
Dans le cas où G est commutatif, on a Za = G pour tout a ∈ G.
Exercice 20.21 Montrer que pour tout groupe (G, ?) , le centre (ou commutateur) Z (G) de G
formé des éléments de G qui commutent à tous les autres éléments de G, soit :
Z (G) = {a ∈ G | ∀b ∈ G, a ? b = b ? a}
Solution 20.21 On a Z (G) 6= ∅ puisque e ∈ Z (G) . Pour a, b dans Z (G) , on a pour tout
c∈G:
¢−1
¢
¡
¢−1
¡
¡
= a ? b ? c−1
a ? b−1 ? c = a ? c−1 ? b
¡
¢
= (a ? c) ? b−1 = c ? a ? b−1
c’est-à-dire que a ? b−1 ∈ Z (G) .
En définitive, Z (G) est un sous-groupe de G.
On peut remarquer que Z (G) = G si, et seulement si, G est commutatif.
Exercice 20.22 Déterminer les centres des groupes multiplicatifs GLn (R) et SLn (R) .
Solution 20.22 Le centre de GLn (R) est formé des homothéties de rapport non nul.
Soit A = ((aij ))1≤i,j≤n dans le centre de GLn (R) , c’est-à-dire commutant avec toutes les matrices inversibles. En désignant par (Eij )1≤i,j≤n la base canonique de Mn (R) , on a A (In + Eij ) =
390
Structure de groupe
(In + Eij ) A pour tous i 6= j compris entre 1 et n, ce qui équivaut à AEij = Eij A pour tous
i 6= j. En désignant par (ei )1≤i≤n la base canonique de Rn , on a :

n
P


aki ek
 AEij ej = Aei =
µ nk=1
¶
.
P

 Eij Aej = Eij
akj ek = ajj ei

k=1
pour tous i 6= j et l’égalité AEij = Eij A impose aki = 0 pour k ∈ {1, · · · , n} − {i} et aii = ajj .
C’est-à-dire que A = λIn avec λ ∈ R∗ . Réciproquement ces matrices d’homothéties sont bien
dans le centre de GLn (R) .
Comme les matrices In + Eij (pour i 6= j compris entre 1 et n) sont aussi dans SLn (R) ,
le raisonnement précédent nous montre que le centre de SLn (R) est {In } pour n impair et
{−In , In } pour n pair.
Exercice 20.23 Soit H une partie finie non vide d’un groupe (G, ?) . Montrer que H est un
sous-groupe de G si, et seulement si, il est stable pour la multiplication.
Solution 20.23 Il est clair que la condition est nécessaire.
Supposons que H soit fini et stable pour la multiplication. Il s’agit alors de montrer que pour
tout a ∈ H, l’inverse a−1 est aussi dans H.
La translation à gauche ga : x 7→ a ∗ x est une bijection de G et comme H est stable pour la
multiplication, cette translation est injective de H dans H et donc bijective puisque H est fini.
Il existe donc x ∈ H tel que a ∗ x = a, ce qui entraîne x = e (en multipliant à gauche par a−1 ).
On a donc e ∈ H et il existe x ∈ H tel que a ∗ x = e, ce qui entraîne x = a−1 et a−1 ∈ H.
Exercice 20.24 Soient H, K deux sous-groupes d’un groupe multiplicatif G. On définit les
sous-ensembles HK et KH de G par :
HK = {hk | (h, k) ∈ H × K} , KH = {kh | (k, h) ∈ K × H} .
Montrer que :
(HK est un sous-groupe de G) ⇔ (HK = KH)
Solution 20.24 Supposons que HK soit un sous-groupe de G.
Si g ∈ HK, alors g −1 est aussi dans HK puisque HK est un groupe, il existe donc (h, k) dans
−1
H × K tel que g −1 = hk et g = (g −1 ) = k −1 h−1 ∈ KH (H et K sont des groupes). On a
donc HK ⊂ KH.
Si g ∈ KH, il existe alors (h, k) dans H × K tel que g = kh et g −1 = h−1 k −1 ∈ HK et comme
−1
HK est un groupe, il en résulte que g = (g −1 ) ∈ HK. On a donc KH ⊂ HK et l’égalité
HK = KH.
Réciproquement supposons que HK = KH.
On a 1 = 1 · 1 ∈ HK.
Si g1 = h1 k1 et g2 = h2 k2 sont dans HK avec h1 , h2 dans H et k¡1 , k2 dans
K, alors g1 g2−1 =
¢
−1
−1
∈¡HK =¢ KH et il
h1 k1 k2−1 h−1
2 avec h1 ∈ H, k1 k2 ∈ ¡K (K ¢est un groupe), donc h1 k1 k2
−1
−1
∈ KH =
existe (k3 , h3 ) ∈ K × H tel que h1 k1 k2 = k3 h3 , ce qui donne g1 g2 = k3 h3 h−1
2
HK. On a donc prouvé que HK est un sous-groupe de G.
Dans le cas où G est commutatif, on a toujours HK = KH et HK est un sous-groupe de G si
H et K le sont.
Sous-groupes
391
Exercice 20.25 Soient G un groupe fini, H, K deux sous-groupes de G et ϕ l’application :
ϕ : H × K → HK
(h, k) 7→ hk
1. Montrer que pour tout g ∈ HK, on a :
¡
¢
card ϕ−1 (g) = card (H ∩ K)
2. En déduire que :
card (H) card (K) = card (HK) card (H ∩ K)
puis que :
(HK est un sous-groupe de G) ⇔ (HK ⊂ KH) ⇔ (HK = KH)
Solution 20.25
1. Soit g = h1 k1 ∈ HK. L’égalité g = hk avec (h, k) ∈ H × K équivaut à h1 k1 = hk, ce qui
−1
−1
entraîne h = h1 k1 k −1 = h1 g avec g = k1 k −1 = h−1
1 h ∈ H ∩ K et k = h h1 k1 = g k1 .
On a donc ϕ−1 (g) ⊂ {(h1 g, g −1 k1 ) | g ∈ H ∩ K} . Réciproquement si (h, k) = (h1 g, g −1 k1 )
avec g ∈ H ∩ K, on a alors (h, k) ∈ H × K et hk = h1 gg −1 k1 = g. Donc :
©¡
¢
ª
ϕ−1 (g) = h1 g, g −1 k1 | g ∈ H ∩ K
et card (ϕ−1 (g)) = card (H ∩ K) .
2. En écrivant qu’on a la partition :
[
H ×K =
ϕ−1 (g)
g∈HK
on déduit que :
card (H) card (K) = card (H × K) =
X
X
¡
¢
card ϕ−1 (g) =
card (H ∩ K)
g∈HK
g∈HK
= card (HK) card (H ∩ K)
card (H) card (K)
.
card (H ∩ K)
3. On en déduit que (HK ⊂ KH) ⇔ (HK = KH) et l’exercice précédent permet de conclure.
Il en résulte que card (HK) = card (KH) =
Exercice 20.26 Soient a, b deux éléments d’un groupe multiplicatif G tels que (ab)−1 = a−1 b
−1
et (ba)−1 = b−1 a. Montrer que (a2 ) = b2 = a2 et a4 = b4 = 1.
Donner un exemple non trivial (i. e. avec a et b distincts de 1) d’une telle situation.
Solution 20.26 De b−1 a−1 = (ab)−1 = a−1 b, on déduit après multiplication à gauche et à
droite par a que ab−1 = ba et :
¢
¡
¢
¡
b2 a2 = b (ba) a = b ab−1 a = (ba) b−1 a = (ba) (ba)−1 = 1,
−1
ce qui signifie que (a2 )
On en déduit que :
= b2 .
¡
¢
¡ ¢−1 2 ¡ −1 ¢2 2
b = a−1 a−1 b b
b = a
b4 = b2 b2 = a2
¢¡
¢
¡
¢
¡
= a−1 (ab)−1 b = a−1 b−1 a−1 b = (ba)−1 a−1 b
¡
¢¡
¢
= b−1 a a−1 b = 1
392
Structure de groupe
−1
et de (a2 ) = b2 , on déduit que a2 b2 = 1, donc a2 b4 = b2 , soit a2 = b2 et a4 = 1.
Les conditions (ab)−1 = a−1 b et (ba)−1 = b−1 a reviennent à dire que b−1 a−1 = a−1 b, soit
b = ab−1 a−1 et a−1 b−1 = b−1 a, soit a = ba−1 b−1 . Dans le cas où a et b commutent, celà donne
b = b−1 et a = a−1 , soit a2 = b2 = 1. Il suffit donc de prendre deux éléments d’ordre 2 qui
commutent.
µ ¶2
Z
On peut considérer, par exemple, le groupe de Klein G = {Id, σx , σy , σy } (isomorphe à
),
2Z
où σx , σy , σy désignent les symétries orthogonales par rapport aux axes dans l’espace euclidien
R3 .
20.4
Sous-groupe engendré par une partie d’un groupe
Théorème 20.7 Soit (G, ?) un groupe. L’intersection d’une famille quelconque (Hi )i∈I de sousgroupes de G est un sous-groupe de G.
Démonstration. Soit H =
T
Hi . Comme l’élément neutre e est dans tous les Hi , il est
i∈I
aussi dans H et H 6= ∅. Si a, b sont dans H, ils sont alors dans tous les Hi , donc a ? b−1 ∈ Hi
pour tout i ∈ I, ce qui signifie que a ? b−1 ∈ H. On a donc montré que H un sous-groupe de G.
Remarque 20.3 La réunion d’une famille de sous-groupes de G n’est pas nécessairement un
sous-groupe. Par exemple 2Z et 3Z sont des sous groupes de (Z, +) , mais la réunion H ne l’est
pas puisque 2 et 3 sont dans H alors que 2 + 3 = 5 ∈
/ H.
Exercice 20.27 Soient H, K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H ∪ K est un
sous-groupe de G si, et seulement si, H ⊂ K ou K ⊂ H.
Solution 20.27 Si H ⊂ K ou K ⊂ H, on a alors H ∪ K = K ou H ∪ K = H et c’est un
sous-groupe de G.
Réciproquement, supposons que H ∪K soit un sous-groupe de G. Si H ⊂ K c’est terminé, sinon
il existe g ∈ H \ K. Pour tout k ∈ K ⊂ H ∪ K, gk est dans H ∪ K (c’est un groupe) et gk ne
peut être dans K (sinon g = (gk) k −1 ∈ K, ce qui n’est pas), donc gk ∈ H et k = g −1 (gk) ∈ H.
On a donc K ⊂ H.
Corollaire 20.1 Si X est une partie d’un groupe (G, ?) , l’intersection de tous les sous-groupes
de G qui contiennent X est un sous-groupe de G.
Démonstration. L’ensemble des sous-groupes de G qui contiennent X est non vide puisque
G en fait partie et le théorème précédent nous dit que l’intersection de tous ces sous-groupes
Définition 20.6 Si X est une partie d’un groupe (G, ?) , le sous-groupe de G engendré par X
est l’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent X.
On note hXi le sous-groupe de G engendré par X et ce sous-groupe hXi est le plus petit
(pour l’ordre de l’inclusion) des sous-groupes de G qui contiennent X.
Dans le cas où X est l’ensemble vide, on a hXi = {e} .
Définition 20.7 Si X est une partie d’un groupe (G, ?) , on dit que X engendre G si G = hXi .
Groupes monogènes
393
Théorème 20.8 Soient (G, ?) un groupe et X, Y deux parties de G.
1. On a X ⊂ hXi et l’égalité est réalisée si, et seulement si X est un sous-groupe de G.
2. Si X ⊂ Y, on a alors hXi ⊂ hY i .
3. En notant, pour X non vide, X −1 l’ensemble formé des symétriques des éléments de X,
soit X −1 = {x−1 | x ∈ X} , les éléments de hXi sont de la forme x1 ? · · · ? xn où n ∈ N∗
et les xk sont dans X ∪ X −1 pour tout k compris entre 1 et n.
Démonstration. Les points 1. et 2. se déduisent immédiatement des définitions.
Pour le point 3. on montre tout d’abord que l’ensemble :
©
ª
H = x1 ? · · · ? xn | n ∈ N et xk ∈ X ∪ X −1 pour 1 ≤ k ≤ n
Pour x1 ∈ X, on a e = x1 ? x−1
1 ∈ H et pour x = x1 ? · · · ? xn , y = y1 ? · · · ? ym dans H, on a :
−1
x ? y −1 = x1 ? · · · ? xn ? ym
? · · · ? y1−1 ∈ H
Donc H est bien un sous-groupe de G.
Comme X ⊂ H, il nous suffit de monter que H est contenu dans tout sous-groupe de G qui
contient X. Si K est un tel sous-groupe, tout produit x1 ?· · ·?xn de H est un produit d’éléments
de X ∪ X −1 ⊂ K, donc dans K, ce qui prouve que H ⊂ K. On a donc bien hXi = H.
Remarque 20.4 Le point 3. du théorème précédent nous dit aussi que hXi = hX −1 i =
hX ∪ X −1 i .
20.5
Groupes monogènes
Pour ce paragraphe, on se donne un groupe multiplicatif (G, ·) .
Si X est une partie de G formée d’un nombre fini d’éléments, x1 , · · · , xn , on note alors
hXi = hx1 , · · · , xn i .
Pour n = 1, on dit que hx1 i est un sous-groupe monogène de G.
Définition 20.8 On dit que G est un groupe monogène s’il existe x1 ∈ G tel que G = hx1 i .
Si de plus, G est fini, on dit alors qu’il est cyclique (ce terme sera justifié après avoir défini la
notion d’ordre d’un élément d’un groupe).
Pour tout a ∈ G nous avons déjà défini les puissances entières positives de a (paragraphe
20.1). Dans un groupe, on définit les puissances entières, positives ou négatives, de a ∈ G par :
 0
 a =1
∀n ∈ N, an+1 = an a

∀n ∈ N∗ , a−n = (an )−1
n
On peut remarquer que pour n ∈ N∗ , on a aussi a−n = (a−1 ) , ce qui résulte de :
¡ −1 ¢n n
a
a = a−1 · · · a−1 a · · · a = 1
En notation additive, an est noté na pour n ∈ Z.
394
Structure de groupe
Théorème 20.9 Pour a dans G et n, m dans Z, on a :
an am = an+m
et pour b ∈ G qui commute avec a, on a :
(ab)n = an bn = bn an
Démonstration. On montre tout d’abord le résultat pour n, m dans N par récurrence sur
m ≥ 0 à n fixé. Le résultat est évident pour m = 0 et le supposant acquis pour m ≥ 0, on a :
an am+1 = an am a = an+m a = an+m+1 .
On en déduit que pour n0 , m0 dans N, on a :
³ 0 ´−1 ³ 0 ´−1 ³ 0 0 ´−1 ³ 0 0 ´−1 ³ 0 0 ´−1
0
0
0
0
a−n a−m = an
am
= am an
= am +n
= an +m
= a−n −m
c’est-à-dire que le résultat est valable pour n ≤ 0 et m ≤ 0.
Pour n, m0 dans N tels que n ≥ m0 on a :
³ 0 ´−1
0
0
0
0
an−m am = an ⇒ an am
= an a−m = an−m
et pour n ≤ m0 , on a :
n−m0
a
³
m0 −n
= a
´−1
³
m0 −n
= a a
´−1
0
= an a−m
donc le résultat est valable pour n ≥ 0 et m ≤ 0.
On procède de manière analogue pour n ≤ 0 et m ≥ 0.
En définitive, c’est valable pour tous n, m dans Z.
En supposant que a et b commutent, on montre par récurrence sur n ≥ 0 que (ab)n = an bn
et abn+1 = bn+1 a. C’est clair pour n = 0 et supposant le résultat acquis pour n ≥ 0, on a :
(ab)n+1 = (ab)n ab = an bn ab = an bn ba
= an bn+1 a = an abn+1 = an+1 bn+1 .
Et avec ab = ba, on déduit que (ab)n = (ba)n = bn an .
Ensuite, pour n0 ≥ 0, on a :
³
´
³ 0 0 ´−1 ³ 0 0 ´−1
0
0 −1
0
0
0
0
(ab)−n = (ab)n
= a n bn
= bn an
= a−n b−n = b−n a−n
et le résultat est valable pour n ≤ 0.
On vu que la relation (ab)n = an bn est fausse si a et b ne commutent pas, des exemples
simples étant donnés dans GL2 (R) .
Théorème 20.10 Pour tout a ∈ G, le sous-groupe de G engendré par a est :
hai = {an | n ∈ Z}
Démonstration. En notant H = {an | n ∈ Z} , on a {a} ⊂ H, 1 = a0 ∈ H et pour n, m
dans Z, an (am )−1 = an−m ∈ H, donc H est un sous-groupe de G qui contient {a} et c’est le
plus petit du fait que pour tout sous-groupe K de G qui contient {a} , on a an ∈ K pour tout
n ∈ Z, ce qui implique H ⊂ K. On a donc bien H = hai .
Groupes monogènes
395
Exercice 20.28 Soit G un groupe. Montrer que pour tout n-uplet (x1 , · · · , xn ) d’éléments de
G qui commutent deux à deux (avec n ≥ 1), on a :
( n
)
Y α
n
hx1 , · · · , xn i =
xk k | (α1 , · · · , αn ) ∈ Z
k=1
©
ª
−1
Solution 20.28 En notant X = {x1 , · · · , xn } , on a X −1 = x−1
et comme les xk
1 , · · · , xn
commutent, on déduit que :
(m
)
Y
hx1 , · · · , xn i =
yk | m ∈ N et yk ∈ X ∪ X −1 pour 1 ≤ k ≤ m
=
(k=1
n
Y
)
xαk k | (α1 , · · · , αn ) ∈ Zn
k=1
−1
−1
−1
−1
(xk xj = xj xk entraîne x−1
= x−1
et les éléments de
j xk xj xj
j xj xk xj , soit xj xk = xk xj
−1
X ∪ X commutent).
Pour une loi de groupe notée additivement, on a, dans le cas où G est commutatif :
)
( n
X
αk xk | (α1 , · · · , αn ) ∈ Zn
hx1 , · · · , xn i =
k=1
Par exemple pour le groupe additif G = Z, on a :
hx1 , · · · , xn i =
n
X
xk Z = δZ
k=1
où δ ∈ N est pgcd de x1 , · · · , xn . Cette notion est étudiée au paragraphe 23.4.2.
Exercice 20.29 Montrer qu’un groupe G engendré par deux éléments a et b qui commutent
est commutatif.
©
ª
Solution 20.29 Comme ab = ba, on a G = ha, bi = aα bβ | (α, β) ∈ Z2 et ce groupe est
commutatif.
Exercice 20.30 Soit X = {r1 , · · · , rn } une partie finie de Q et G = hXi le sous groupe de
(Q, +) engendré par X. Montrer que G est monogène.
Solution 20.30 En désignant par µ le ppcm des dénominateurs de r1 , · · · , rn , il existe des
ak
pour tout k compris entre 1 et n et en désignant par
entiers relatifs a1 , · · · , an tels que rk =
µ
δ le pgcd de a1 , · · · , an , on a :
)
( n
X ak
G=
αk | (α1 , · · · , αn ) ∈ Zn
µ
( k=1 n
)
δX
=
αk bk | (α1 , · · · , αn ) ∈ Zn
µ k=1
où b1 , · · · , bn sont des entiers relatifs premiers entre eux dans leur ensemble. On a donc G =
ce qui signifie que G est monogène engendré par
δ
.
µ
δ
Z,
µ
396
20.6
Structure de groupe
Groupes finis. Théorème de Lagrange
Théorème 20.11 Pour tout sous-groupe H de G, la relation ∼ définie sur G par :
x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H
est une relation d’équivalence.
Démonstration. Pour tout x ∈ G, on a x−1 x = 1 ∈ H, donc ∼ est réflexive.
−1
Si x, y dans G sont tels que x−1 y ∈ H, on a alors (x−1 y) = y −1 x ∈ H, ce qui signifie que
y ∼ x. Cette relation est donc symétrique.
Si x, y, z dans G sont tels que x−1 y ∈ H et y −1 z ∈ H, on a alors x−1 z = (x−1 y) (y −1 z) ∈ H,
ce qui signifie que x ∼ z. Cette relation est donc transitive.
Avec les notations du théorème précédent, on note, pour tout g ∈ G, g la classe d’équivalence
de g et on dit que g est la classe à gauche modulo H de g.
On a, pour g ∈ G :
h ∈ g ⇔ g ∼ h ⇔ k = g −1 h ∈ H ⇔ ∃k ∈ H | h = gk ⇔ h ∈ gH
soit g = gH.
L’ensemble de toutes ces classes d’équivalence est noté G/H et on l’appelle l’ensemble des
classes à gauche modulo H.
On a donc :
G/H = {g | g ∈ G} = {gH | g ∈ G} .
L’application :
π : G → G/H
g 7→ g = gH
est surjective. On dit que c’est la surjection canonique de G sur G/H.
Dans le cas où G est le groupe additif Z tout sous-groupe de G est de la forme nZ où n est
Z
un entier naturel et cette construction aboutit au groupe
des classes résiduelles modulo n
nZ
(ces groupes seront étudiés plus en détails au chapitre 25).
Définition 20.9 Si G est un groupe ayant un nombre fini d’éléments son cardinal est appelé
l’ordre de G.
Théorème 20.12 (Lagrange) Soient G un groupe fini d’ordre n ≥ 2 et H un sous-groupe de
G.
1. Les classes à gauche modulo H forment une partition de G.
2. Pour tout g ∈ G on a card (g) = card (H) .
3. L’ordre du sous-groupe H divise l’ordre du groupe G.
Démonstration.
Groupes finis. Théorème de Lagrange
397
1. Comme G est fini, il en est de même de G/H. Notons :
G/H = {g1 , · · · , gp }
où 1 ≤ p ≤ n et gj 6= gk , pour 1 ≤ j 6= k ≤ p. Pour tout g ∈ G, il existe un unique indice
p
S
j tel que g = gj et g ∈ gj . On a donc G =
gj . Dire que g est dans gj ∩ gk signifie que
j=1
g est équivalent modulo H à gj et gk et donc par transitivité gj et gk sont équivalent, ce
qui revient à dire que gj = gk . Les classes à gauche modulo H forment donc bien une
partition de G.
2. Pour g ∈ G, l’application h 7→ gh est injective (dans un groupe tout élément est simplifiable) et en restriction à H elle réalise une bijection de H sur gH = g. Il en résulte que
g est de même cardinal que H.
p
S
3. Avec la partition G =
gj et card (gj ) = card (H) pour tout j, on déduit que card (G) =
j=1
p card (H) et card (H) divise card (G) .
Le cardinal p de l’ensemble G/H est noté [G : H] et on l’appelle l’indice de H dans G. Le
théorème de Lagrange peut aussi se traduire par :
[G : H] = card (G/H) =
card (G)
.
card (H)
Exercice 20.31 Montrer qu’un groupe fini d’ordre p un nombre premier est cyclique (et donc
commutatif ).
Solution 20.31 Si G est d’ordre p ≥ 2 premier, il a au moins deux éléments et il existe a 6= 1
dans G. Le sous-groupe cyclique hai de G est alors d’ordre un diviseur de p supérieur ou égal à
2, il est donc égal à p et G = hai est cyclique.
Exercice 20.32 Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes distincts de G d’ordre un même
nombre premier p ≥ 2. Montrer que H ∩ K = {1} .
Solution 20.32 H ∩ K est un sous groupe de H, il est donc d’ordre 1 ou p. S’il est d’ordre p,
il est égal à H et H = H ∩ K ⊂ K entraîne H = K, puisque ces deux ensembles ont le même
nombre d’éléments. On a donc, pour H 6= K, p = 1 et H ∩ K = {1} .
Exercice 20.33 Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H.
Montrer que si l’indice de K dans G est fini, alors l’indice de H dans G et celui de K dans H
sont aussi finis et on a :
[G : K] = [G : H] [H : K]
Solution 20.33 On note respectivement (gi H)i∈I et (hj K)j∈J les classes à gauches modulo H
dans G et modulo K dans H deux à deux distinctes.
Nous allons alors montrer que la famille des classes à gauches modulo K dans G deux à deux
distinctes est (gi hj K)(i,j)∈I×J . Dans le cas où [G : K] est fini, il n’y a qu’un nombre fini de
telles classes, ce qui impose que I et J sont finis et on a :
[G : K] = card (I × J) = card (I) card (J) = [G : H] [H : K]
398
Structure de groupe
Montrons le résultat annoncé.
Si g est un élément de G, il existe un unique indice i ∈ I tel que gH = gi H et il existe h ∈ H tel
que g = gi h. De même il existe un unique indice j ∈ J tel que hK = hj K et h s’écrit h = hj k
avec k ∈ K, ce qui donne g = gi hj k ∈ gi hj K et gK = gi hj K. Les classes à gauche dans G
modulo K sont donc les gi hj K pour (i, j) ∈ I × J. Il reste à montrer que ces classes sont deux
à deux distinctes.
0 0
Si (i, j) et (i
dans
¡ , j ) −1
¢ I × J sont−1tels que gi hj K = gi0 hj 0 K, il existe k ∈ K tel0 que gi hj = gi0 hj 0 k
et gi = gi0 hj 0 khj
avec hj 0 khj ∈ H, ce qui impose gi H = gi0 H et i = i . Il en résulte que
hj = hj 0 k et hj K = hj 0 K, qui équivaut à j = j 0 .
20.7
Morphismes de groupes
On désigne par (G, ?) et (H, ·) deux groupes et on note respectivement e et 1 les éléments
neutres de (G, ?) et (H, ·) .
Définition 20.10 On dit que ϕ est un morphisme de groupes de G dans H si ϕ est une
application de G dans H telle que : :
∀ (a, b) ∈ G2 , ϕ (a ? b) = ϕ (a) · ϕ (b) .
Dans le cas où ϕ est de plus bijective, on dit que ϕ est un isomorphisme du groupe G sur le
groupe H.
Dans le cas où H = G, on dit que ϕ est un endomorphisme du groupe (G, ?) et que c’est un
automorphisme du groupe (G, ?) si ϕ est de plus bijective.
Si G et H sont deux groupes isomorphes, on notera G w H.
Théorème 20.13 Soient G, H, K trois groupes, ϕ un morphisme de groupes de G dans H et
ψ un morphisme de groupes de H dans K. L’application ψ ◦ ϕ est un morphisme de groupes de
G dans K.
Si ϕ est un automorphisme de G, alors ϕ−1 est également un automorphisme de G.
Démonstration. En notant les lois de chacun des groupes sous forme multiplicative, on a
pour tout (a, b) ∈ G2 :
(ψ ◦ ϕ) (a · b) = ψ (ϕ (a · b)) = ψ (ϕ (a) · ϕ (b))
= ψ (ϕ (a)) ψ (ϕ (b)) = ψ ◦ ϕ (a) ψ ◦ ϕ (b) .
Si ϕ est un automorphisme de G, on a alors pour tous a0 , b0 dans G, en notant a = ϕ−1 (a0 ) ,
b = ϕ−1 (b0 ) :
ϕ−1 (a0 ? b0 ) = ϕ−1 (ϕ (a) ? ϕ (b)) = ϕ−1 (ϕ (a ? b))
= a ? b = ϕ−1 (a0 ) ? ϕ−1 (b0 )
ce qui signifie que ϕ−1 est un morphisme de groupe. Et on sait déjà qu’il est bijectif, c’est donc
un automorphisme de G
On déduit du théorème précédent que l’ensemble (Aut (G) , ◦) des automorphismes de G
dans lui même est un sous-groupe du groupe symétrique (S (G) , ◦) formé des bijections (ou
permutations) de G.
399
Exemple 20.26 La fonction exponentielle est un isomorphisme de groupes de (R, +) sur (R+,∗ , ·) .
Exemple 20.27 La fonction logarithme népérien est un isomorphisme de groupes de (R+,∗ , ·)
sur (R, +) .
Exemple 20.28 L’application tr : A = ((aij ))1≤i,j≤n 7→
n
P
aii qui associe à une matrice sa
i=1
trace est un morphisme du groupe additif (Mn (R) , +) dans (R, +) .
Exemple 20.29 L’application det : A 7→ det (A) qui associe à une matrice son déterminant
est un morphisme du groupe multiplicatif (GLn (R) , ·) dans (R∗ , ·) .
Théorème 20.14 Si ϕ est un morphisme de groupes de G dans H, on alors :
1. ϕ (e) = 1 ;
2. pour tout a ∈ G, ϕ (a)−1 = ϕ (a−1 ) .
Démonstration.
1. Pour tout a ∈ G, on a :
ϕ (a) = ϕ (a ? e) = ϕ (a) · ϕ (e)
−1
et multipliant par ϕ (a)
, on obtient 1 = ϕ (e) .
2. Pour tout a ∈ G, on a :
¡
¢
¡ ¢
1 = ϕ (e) = ϕ a ? a−1 = ϕ (a) · ϕ a−1
et multipliant par ϕ (a)−1 , on obtient ϕ (a)−1 = ϕ (a−1 ) .
Définition 20.11 Soit ϕ un morphisme de groupes de G dans H.
1. Le noyau de ϕ est l’ensemble :
ker (ϕ) = {x ∈ G | ϕ (x) = 1} .
2. L’image de ϕ est l’ensemble :
Im (ϕ) = {ϕ (x) | x ∈ G} .
Théorème 20.15 Si ϕ est un morphisme de groupes de G dans H, alors :
1. ker (ϕ) est un sous-groupe de G.
2. ϕ est injectif si, et seulement si, ker (ϕ) = {e} .
3. Im (ϕ) est un sous-groupe de H.
4. ϕ est surjectif si, et seulement si, Im (ϕ) = H.
5. Pour tout sous-groupe G0 de G, ϕ (G0 ) est un sous-groupe de H.
6. Pour tout sous-groupe H 0 de H, ϕ−1 (H 0 ) est un sous-groupe de G.
Démonstration.
400
Structure de groupe
1. On a ker (ϕ) 6= ∅ puisque e ∈ ker (ϕ) (ϕ (e) = 1) et pour x, y dans ker (ϕ) :
¡
¢
¡ ¢
ϕ x ? y −1 = ϕ (x) · ϕ y −1 = ϕ (x) · ϕ (y)−1 = 1
c’est-à-dire que x ? y −1 ∈ ker (ϕ) et ker (ϕ) est un sous-groupe de G.
2. Si ϕ est injectif, on a alors :
∀x ∈ ker (ϕ) , ϕ (x) = 1 = ϕ (e) ⇒ x = e
et donc ker (ϕ) = {e} .
Réciproquement si ker (ϕ) = {e} , pour x, y dans G tels que ϕ (x) = ϕ (y) , on a :
¡
¢
¡
¢
1 = ϕ (x)−1 · ϕ (x) = ϕ x−1 · ϕ (y) = ϕ x−1 ? y
donc x−1 ? y ∈ ker (ϕ) et x−1 ? y = e, ce qui équivaut à x = y.
3. On a Im (ϕ) 6= ∅ puisque ϕ (e) ∈ Im (ϕ) et pour ϕ (x) , ϕ (y) dans Im (ϕ) avec x, y dans
G:
¡ ¢
¡
¢
ϕ (x) · ϕ (y)−1 = ϕ (x) · ϕ y −1 = ϕ x ? y −1 ∈ Im (ϕ)
et Im (ϕ) est un sous-groupe de H.
4. C’est la définition de la surjectivité.
5. On a e ∈ G0 , donc 1 = ϕ (e) ∈ ϕ (G0 ) et pour a0 = ϕ (a) , b0 = ϕ (b) dans ϕ (G0 ) avec a, b
dans G0 , on a :
¡ ¢
−1
a0 ? (b0 ) = ϕ (a) ? (ϕ (b))−1 = ϕ (a) ? ϕ b−1
¡
¢
= ϕ a ? b−1 ∈ ϕ (G0 )
Prenant G0 = G, on retrouve le fait que Im (ϕ) est un sous-groupe de H.
6. On a 1 = ϕ (e) ∈ H 0 , donc e ∈ ϕ−1 (H 0 ) et pour a, b dans ϕ−1 (H 0 ) , on a :
¡
¢
¡ ¢
ϕ a ? b−1 = ϕ (a) ? ϕ b−1 = ϕ (a) ? (ϕ (b))−1 ∈ H 0
donc a ? b−1 ∈ ϕ−1 (H 0 ) .
Prenant H 0 = {1} , on retrouve le fait que ker (ϕ) est un sous-groupe de G.
µ
¶
cos (θ) − sin (θ)
Exemple 20.30 L’application ϕ : θ 7→ Rθ =
est un morphisme de
sin (θ) cos (θ)
groupes de (R, +) dans (SL2 (R) , ·) et son image Im (ϕ) = O2+ (R) est un sous-groupe commutatif de (SL2 (R) , ·) (exercice 20.16).
Exercice 20.34
1. Soient (G, ·) un groupe, E un ensemble non vide et f : G → E une application bijective.
Montrer que l’ensemble E muni de la loi ? définie par :
¡
¢
x ? y = f f −1 (x) · f −1 (y)
est un groupe isomorphe à (G, ·) (on dit qu’on a transporté la structure de groupe de G
sur E).
2. Retrouver les résultats des exercices 20.8 et 20.9.
401
3. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 impair l’application (x, y) 7→ x ? y =
une structure de groupe commutatif sur R.
√
n
xn + y n défini
Solution 20.34
1. La fonction f étant bijective de G sur E l’application
³ ? défini bien
´ une³loi interne sur
´ E.
−1
−1
−1
−1
Pour tout x ∈ E, on a x?f (1) = f (1)?x = x et x?f (f (x))
= f (f (x))
?x =
f (1) donc f (1) est neutre et tout élément de E est inversible.
Enfin pour x, y, z dans E, on a :
¡
¢
x ? (y ? z) = f f −1 (x) · f −1 (y ? z)
¡
¢
= f f −1 (x) · f −1 (y) · f −1 (z)
et :
¡
¢
(x ? y) ? z = f f −1 (x ? y) · f −1 (z)
¡
¢
= f f −1 (x) · f −1 (y) ? f −1 (z)
ce qui montre que ? est associative.
Avec f −1 (x ? y) = f −1 (x) · f −1 (y) , on déduit que f −1 est un morphisme de groupes de
(E, ?) sur (G, ·) et f est un morphisme de groupes de (G, ·) sur (E, ?) .
on dit qu’on a transporté la structure de groupe de (G, ·) sur E par la bijection f.
2. Les exercices 20.8 et 20.9 sont des exemples de telle situation avec le groupe (R, +) ,
ex − e−x
f (x) = th (x) = x
pour x ∈ R qui réalise une bijection de R sur ]−1, 1[ avec pour
e + e−x
bijection
argth et f (x) = arctan (x) pour x ∈ R qui réalise une bijection de R
i π réciproque
πh
sur − ,
avec pour bijection réciproque tan . Dans le premier cas, on a :
2 2
¡
¢
x ? y = f f −1 (x) + f −1 (y)
= th (argth (x) + argth (y))
th (argth (x)) + th (argth (y))
x+y
=
=
1 + th (argth (x)) th (argth (y))
1 + xy
et dans le second, on a :
¡
¢
x ? y = f f −1 (x) + f −1 (y)
= arctan (tan (x) + tan (y))
√
3. L’application f : x 7→ n x est bijective de R sur R pour n impair, son inverse étant
l’application x 7→ xn et on a :
¡
¢
√
x ? y = n xn + y n = f f −1 (x) + f −1 (y)
Exercice 20.35 Soit G un groupe multiplicatif.
1. Montrer que pour tout a ∈ G, l’application fa : x 7→ axa−1 est un automorphisme de G.
On dit que fa est un automorphisme intérieur de G.
2. Montrer que l’application f : a 7→ fa est un morphisme de groupes de G dans Aut (G) et
que l’ensemble Int (G) des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe de Aut (G) .
3. Déterminer le noyau de f.
402
Structure de groupe
4. Déterminer ce noyau dans le cas où G = GLn (R) .
5. Vérifier que si on prend pour définition d’automorphisme intérieur les applications ga :
x 7→ a−1 xa, l’application a 7→ ga n’est pas nécessairement un morphisme de groupes.
Solution 20.35
1. Pour x, y dans G, on a :
¡
¢¡
¢
fa (xy) = axya−1 = axa−1 aya−1 = fa (x) fa (y)
ce qui signifie que fa est un endomorphisme de G. Pour y ∈ G, l’égalité y = fa (x) équivaut
à x = a−1 ya = fa−1 (y) , ce qui revient à dire que fa est bijective d’inverse fa−1 = fa−1 .
2. On vient de voir que l’application f est une application du groupe G dans le groupe
(Aut (G) , ◦) .
Pour a, b dans G et x dans G, on a :
¡
¢
fab (x) = abx (ab)−1 = a bxb−1 a−1 = (fa ◦ fb ) (x)
donc f (ab) = fab = fa ◦fb et f est un morphisme de groupes. Donc Int (G) qui est l’image
de f est un sous-groupe de Aut (G) .
3. Le noyau de f est formé des a ∈ G tels que fa = IdG , c’est-à-dire des a ∈ G tels que
axa−1 = x pour tout x ∈ G, ce qui équivaut à ax = xa pour tout x ∈ G. Le noyau est
donc le commutateur (ou le centre) Z (G) de G.
4. Pour G = GLn (R) , ce noyau est formé des homothéties de rapport non nul. Soit A =
((aij ))1≤i,j≤n dans le centre de GLn (R) , c’est-à-dire commutant avec toutes les matrices
inversibles. En désignant par (Eij )1≤i,j≤n la base canonique de Mn (R) , on a A (In + Eij ) =
(In + Eij ) A pour tous i, j compris entre 1 et n, ce qui équivaut à AEij = Eij A pour tous
i, j. En désignant par (ei )1≤i≤n la base canonique de Rn , on a :
!
Ã n
n
X
X
akj ek = ajj ei .
aki ek = Eij Aej = Eij
AEij ej = Aei =
k=1
k=1
Donc aki = 0 pour k ∈ {1, · · · , n} − {i} et aii = ajj . C’est-à-dire que A = λIn avec
λ ∈ R∗ . Réciproquement ces matrices d’homothéties sont bien dans le centre de GLn (R) .
5. Si on prend pour définition d’automorphisme intérieurs les applications ga : x 7→ a−1 xa,
on a gab = gb ◦ ga 6= ga ◦ gb en général et a 7→ ga n’est pas un morphisme
µ de groupes.
¶
0 1
Par exemple pour le groupe multiplicatif G = GL2 (R) , soient A =
et B =
1
0
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 1
0 21
a b
−1
−1
. On a A = A, B =
et pour tout matrice M =
∈
2 0
1 0
c d
GL2 (R) , on a :
µ
¶
µ c d ¶
c d
−1
−1
2
2
A M=
, B M=
a b
a b
de sorte que :
µ
−1
gA (M ) = A M A = AM A =
et :
µ
−1
gB (M ) = B M B =
d c
b a
d 2c
2b a
¶
¶
403
ce qui donne :
µ
gA ◦ gB (M ) =
a 2b
c
d
2
¶
µ
6= gB ◦ gA (M ) =
a 2b
2c d
¶
en général.
Exercice 20.36 Déterminer tous les endomorphismes du groupe additif Z puis tous les automorphismes de ce groupe.
Solution 20.36 Soit ϕ un endomorphisme du groupe additif Z. En notant n = ϕ (1) , on vérifie
facilement par récurrence que pour tout entier k ∈ N on a ϕ (k) = nk et avec ϕ (−k) = −ϕ (k) ,
on déduit que cette égalité est valable sur tout Z. L’endomorphisme ϕ est donc de la forme
ϕ : k 7→ nk. Réciproquement de telles applications définissent bien des endomorphismes de Z.
On a donc :
End (Z) = {ϕ : k 7→ nk | n ∈ Z} ≈ Z
Si ϕ : k 7→ nk est un automorphisme de Z, son inverse est aussi de la forme ϕ−1 : k 7→ mk et
l’égalité ϕ−1 ◦ ϕ (k) = k pour tout k ∈ Z s’écrit mnk = k pour tout k ∈ Z, ce qui est réalisée si,
et seulement si, n = m = ±1. On a donc :
Aut (Z) = {Id, −Id} ≈
(les groupe
Z
2Z
Z
sont définis au chapitre 25).
nZ
Exercice 20.37
1. Montrer que si f est un endomorphisme du groupe additif R, alors :
∀a ∈ R, ∀r ∈ Q, f (ra) = rf (a) .
2. Montrer que les seuls endomorphismes du groupe additif R qui sont monotones sont les
homothéties (i. e. les applications x 7→ λx, où λ est une constante réelle).
Solution 20.37 Un endomorphisme du groupe additif R est une application f : R → R qui
vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy :
∀ (x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y) .
(20.1)
1. En prenant (x, y) = (0, 0) dans (20.1) , on obtient f (0) = 2f (0) , ce qui équivaut à
f (0) = 0 (un morphisme de groupes transforme le neutre en neutre).
En prenant (x, y) = (x, −x) dans (20.1) , on obtient f (x) + f (−x) = 0. On a donc
f (−x) = −f (x) pour tout x ∈ R, c’est-à-dire que la fonction f est impaire (un morphisme
de groupes transforme l’opposé en opposé).
De (20.1) on déduit par récurrence que pour tout a ∈ R on a :
∀n ∈ N, f (na) = nf (a) .
En effet, le résultat est vrai pour n = 0 et le supposant vrai pour n ≥ 0, on a :
f ((n + 1) a) = f (na) + f (a) = nf (a) + f (a) = (n + 1) f (a) ,
404
Structure de groupe
il est donc vrai pour tout n ∈ N.
³ a´
³a´
En écrivant, pour tout n ∈ N \ {0} , que f (a) = f n
= nf
, on déduit que
n
n
³a´ 1
f
= f (a) pour tout a ∈ R et tout n ∈ N \ {0} . Il en résulte que pour tout rationnel
n
n
p
positif r = , avec p ∈ N et q ∈ N \ {0} , on a :
q
µ ¶
µ ¶
a
a
p
f (ra) = f p
= pf
= f (a) = rf (a) .
q
q
q
Enfin avec l’imparité de f, on déduit que ce dernier résultat est encore vrai pour les
rationnels négatifs. On a donc f (ra) = rf (a) pour tout a ∈ R et tout r ∈ Q.
2. Soit f un endomorphisme croissant du groupe additif R. En particulier, on a λ = f (1) ≥
f (0) = 0.
En désignant, pour x ∈ R, par (rn )n∈N et (sn )n∈N des suites d’approximations décimales
par défaut et par excès de ce réel, on a pour tout n ∈ N :
λrn = f (rn ) ≤ f (x) ≤ f (sn ) = λsn
et faisant tendre n vers l’infini, on en déduit que f (x) = λx.
On procède de manière analogue pour f décroissante.
Exercice 20.38 Soient G, H deux sous-groupes du groupe additif R et ϕ un morphisme de
groupes croissant de G vers H. On suppose que G n’est pas réduit à {0} .
1. Montrer que l’ensemble G ∩ R+,∗ est non vide.
2. Montrer que s’il existe a dans G ∩ R+,∗ tel que ϕ (a) = 0, alors ϕ est le morphisme nul.
3. On suppose que pour tout x dans G ∩ R+,∗ , on a ϕ (x) 6= 0.
(a) Montrer que ϕ (x) > 0 pour tout x dans G ∩ R+,∗ .
ϕ (x)
(b) Montrer que la fonction x 7→
est constante sur G ∩ R+,∗ .
x
(c) En déduire qu’il existe un réel positif λ tel que ϕ (x) = λx pour tout x dans G.
Solution 20.38 Si G = {0} alors ϕ (0) = 0.
1. Si G n’est pas réduit à {0} , alors l’ensemble G ∩ R+,∗ est non vide du fait que pour tout
x non nul dans G, −x est aussi dans G.
2. Supposons qu’il existe a dans G ∩ R+,∗ tel que ϕ (a) = 0. Pour tout x dans G ∩ R+,∗ on
peut trouver un entier naturel n tel que x < na (R est archimédien) et avec la croissance
de ϕ, on déduit que :
0 ≤ ϕ (x) ≤ ϕ (na) = nϕ (a) = 0,
c’est-à-dire que ϕ est nul sur G ∩ R+,∗ . Avec ϕ (−x) = −ϕ (x) pour tout x dans G, on
déduit que ϕ est le morphisme nul.
3.
(a) Si pour tout x dans G ∩ R+,∗ , on a ϕ (x) 6= 0, avec la croissance de ϕ on déduit que
ϕ (x) > 0 pour tout x dans G ∩ R+,∗ .
Sous-groupes distingués, groupes quotients
(b) Supposons qu’il existe a 6= b dans G ∩ R+,∗ tels
405
a
ϕ (a)
6=
. On peut supposer que
b
ϕ (b)
a
ϕ (a)
<
et avec la densité de Q dans R on déduit qu’il existe un nombre rationnel
b
ϕ (b)
p
a
p
ϕ (a)
tel que < <
. On a alors qa < pb et avec la croissance de ϕ on déduit que
q
b
q
ϕ (b)
p
ϕ (a)
ϕ (x)
qϕ (a) ≤ pϕ (b) , ce qui est en contradiction avec <
. La fonction x 7→
q
ϕ (b)
x
est donc constante sur G ∩ R+,∗ .
(c) En notant λ cette constante on a λ ≥ 0 et ϕ (x) = λx pour tout x dans G ∩ R+,∗ , ce
qui entraîne ϕ (x) = λx pour tout x dans G puisque ϕ est un morphisme de groupes.
On peut remarquer que λ est nulle si, et seulement si, ϕ est le morphisme nul.
Pour G = H = R on retrouve le résultat de l’exercice précédent.
Exercice 20.39 Soient G, H deux sous-groupes du groupe multiplicatif R+,∗ et σ un morphisme
de groupes croissant de G vers H. Montrer qu’il existe un réel positif λ tel que σ (x) = xλ pour
tout x dans G.
Solution 20.39 Si G = {1} , alors σ (1) = 1 et λ = 1 convient.
Sinon ln (G) = {ln (x) | x ∈ G} est un sous-groupe du groupe additif R non réduit à {0} et
ϕ : t 7→ ln (σ (et )) est un morphisme de groupes croissant de ln (G) vers ln (H) (la fonction
logarithme est un morphisme de groupes strictement croissant de (R+,∗ , ×) sur (R, +)). Il existe
donc un réel λ ≥ 0 tel que ϕ (t) = λt pour tout t dans
ln (G)
a donc σ (et ) = eλt pour tout
¡ ln(x)
¢ . On
t dans ln (G) et pour tout x dans G, on a σ (x) = σ e
= eλ ln(x) = xλ .
On peut remarquer que λ est nulle si, et seulement si, σ est l’application constante égale à 1.
20.8
Si H est une partie non vide de G, on note, pour tout g ∈ G, gH = {g · h | h ∈ H} et
Hg = {h · g | h ∈ H} . Dans le cas où G est commutatif, on a gH = Hg.
Définition 20.12 On dit qu’un sous-groupe H de G est distingué (ou normal) si on a gH = Hg
pour tout g ∈ G.
On note parfois H C G pour signifier que H est un sous-groupe distingué de G.
Si le groupe G est commutatif, alors tous ses sous-groupes sont distingués.
Théorème 20.16 Un sous-groupe H de G est distingué si, et seulement si, on a ghg −1 ∈ H
pour tout (h, g) ∈ H × G, ce qui équivaut encore à dire que H est stable par tout automorphisme
intérieur.
Démonstration. Si H est distingué dans G, on a alors gH = Hg pour tout g ∈ G, ce qui
équivaut à dire que pour tout h ∈ H il existe k ∈ H tel que gh = kg et ghg −1 = k ∈ H. Le
sous groupe H est donc stable par tout automorphisme intérieur a 7→ gag −1 .
Réciproquement si H est stable par tout automorphisme intérieur, on a alors ghg −1 ∈ H
pour tout (h, g) ∈ H × G, ce qui entraîne que gh = (ghg −1 ) g ∈ Hg et hg = g (g −1 hg) ∈ gH
pour tout (h, g) ∈ H × G, encore équivalent à dire que gH = Hg.
406
Structure de groupe
Exercice 20.40 Montrer que :
¡
¢
(H C G) ⇔ (∀g ∈ G, gH ⊂ Hg) ⇔ ∀g ∈ G, gHg −1 ⊂ H
Solution 20.40 On a :
(H C G) ⇔ (∀g ∈ G, gH = Hg) ⇒ (∀g ∈ G, gH ⊂ Hg)
¡
¢
⇒ ∀g ∈ G, gHg −1 ⊂ H ⇔ (H C G)
(si gH ⊂ Hg, alors pour k ∈ H, gk ∈ Hg, donc il existe k 0 ∈ H tel que gk = k 0 g et gkg −1 =
k 0 ∈ H, donc gHg −1 ⊂ H).
Exercice 20.41 Soient G, G0 deux groupes et ϕ un morphisme de groupes de G dans G0 . Montrer que ker (ϕ) est un sous-groupe distingué de G.
Solution 20.41 Pour (g, h) ∈ G × ker (ϕ) , on a :
¡
¢
¡ ¢
ϕ g −1 hg = ϕ g −1 ϕ (h) ϕ (g) = ϕ (g)−1 · 1 · ϕ (g) = 1
c’est-à-dire que g −1 hg ∈ ker (ϕ) . Le sous-groupe ker (ϕ) de G est donc distingué.
Exercice 20.42 Montrer que le centre d’un groupe G est distingué.
Solution 20.42 On a vu que le centre Z (G) est le noyau du morphisme de groupes a 7→ fa :
g 7→ aga−1 de G dans Aut (G) (exercice 20.35), c’est donc un sous-groupe distingué de G.
Exercice 20.43 Soient G, H deux groupes et ϕ un morphisme de groupes de G dans H.
1. Montrer que si G1 est un sous-groupe distingué de G et ϕ est surjectif, alors ϕ (G1 ) est
un sous-groupe distingué de H (pour ϕ non surjectif, ϕ (G1 ) est un sous-groupe distingué
de ϕ (G)).
2. Montrer que si H1 est un sous-groupe distingué de H, alors ϕ−1 (H1 ) est un sous-groupe
distingué de G.
Solution 20.43 On sait déjà que ϕ (G1 ) est un sous-groupe de H (que ϕ soit surjectif ou non)
et que ϕ−1 (H1 ) est un sous-groupe de G.
1. Si ϕ est surjectif, tout h ∈ H s’écrit h = ϕ (g) avec g ∈ G et pour tout h1 = ϕ (g1 ) ∈ ϕ (G1 )
(avec g1 ∈ G1 ), on a hh1 = ϕ (g) ϕ (g1 ) = ϕ (gg1 ) avec gg1 ∈ gG1 = G1 g et il existe alors
g2 ∈ G1 tel que gg1 = g2 g, ce qui donne hh1 = ϕ (g2 g) = ϕ (g2 ) ϕ (g) = ϕ (g2 ) h ∈ ϕ (G1 ) h.
On a donc hϕ (G1 ) ⊂ ϕ (G1 ) h, pour tout h ∈ H, ce qui signifie que ϕ (G1 ) est distingué
dans H.
2. Pour g ∈ G et g1 ∈ ϕ−1 (H1 ) , on a :
¡
¢
ϕ gg1 g −1 = ϕ (g) ϕ (g1 ) (ϕ (g))−1 ∈ ϕ (g) H1 (ϕ (g))−1 = H1
et gg1 g −1 ∈ ϕ−1 (H1 ) . Donc gϕ−1 (H1 ) g −1 ⊂ ϕ−1 (H1 ) et ϕ−1 (H1 ) est distingué dans G.
Théorème 20.17 Un sous-groupe H de G est distingué si, et seulement si, il existe une unique
structure de groupe sur l’ensemble quotient G/H des classes à gauche modulo H telle que la
surjection canonique π : G → G/H soit un morphisme de groupes.
407
Démonstration. Si G/H est muni d’une structure de groupe telle que π soit un morphisme
de groupe, on a alors nécessairement pour tous g, g 0 dans G :
gg 0 = π (g) π (g 0 ) = π (gg 0 ) = gg 0
Pour (g, h) dans G × H, on a alors g −1 hg = g −1 hg = g −1 g = g −1 g = 1 = H, ce qui signifie que
g −1 hg ∈ H (on rappelle que g = gH = 1 = H si, et seulement si, g ∈ H).
Supposons H distingué. L’analyse que l’on vient de faire nous montre que la seule loi possible
sur G/H est définie par gg 0 = gg 0 . Pour montrer qu’une telle définition est permise, il s’agit de
0
montrer qu’elle ne dépend pas des choix des représentants de g et g 0 . Si g = g1 et g 0 = g1 , on a
alors g −1 g1 ∈ H et (g 0 )−1 g10 ∈ H, ce qui entraîne :
³
´³
´
−1
−1
−1 ¡ −1 ¢ 0
−1
(gg 0 ) (g1 g10 ) = (g 0 ) g −1 g1 g10 = (g 0 )
g g1 g
(g 0 ) g10 ∈ H
((g 0 )−1 (g −1 g1 ) g 0 est dans H puisque H est stable par automorphismes intérieurs), soit gg 0 =
g1 g10 .
Il reste à vérifier que G/H muni de cette loi de composition interne est bien un groupe.
Avec :
g1 (g2 g3 ) = g1 g2 g3 = g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 ) g3
= g1 g2 g3 = (g1 g2 ) g3
on déduit que cette loi est associative.
Avec g1 = g · 1 = g, on déduit que 1 est le neutre.
Avec gg −1 = g · g −1 = 1, on déduit que tout élément de G/H est inversible avec (g)−1 = g −1 .
Par définition de cette loi de composition interne, l’application π est surjective.
Remarque 20.5 Pour H distingué dans G, le noyau de la surjection canonique est :
©
ª
ker (π) = g ∈ G | g = 1 = 1 = H
Comme on a vu que le noyau d’un morphisme de groupes est distingué, on déduit qu’un sousgroupe distingué de G est le noyau d’un morphisme de groupes.
Remarque 20.6 Dans le cas où G est commutatif, pour tout sous-groupe H de G, G/H est
un groupe puisque tous les sous-groupes de G sont distingués.
Exemple 20.31 Si G est le groupe additif Z, on sait alors que ces sous-groupes sont les nZ où n
Z
est un entier naturel et comme (Z, +) est commutatif, l’ensemble quotient
est naturellement
nZ
muni d’une structure de groupe.
D’autre part, le théorème de division euclidienne nous permet d’écrire tout entier relatif k sous
la forme k = qn + r avec 0 ≤ r ≤ n − 1, ce qui entraîne k − r ∈ nZ et k = r. Et comme r 6= s
pour 0 ≤ r 6= s ≤ n − 1 (on a 0 < |r − s| < n et r − s ne peut être multiple de n), on en déduit
que :
©
ª
Z
= 0, 1, · · · , n − 1
nZ
a n éléments. Ce groupe est cyclique d’ordre n engendré par 1.
Exercice 20.44 Montrer qu’un sous-groupe H de G d’indice 2 est distingué.
408
Structure de groupe
Solution 20.44 On a card (G/H) = 2. Pour (g, h) ∈ G × H, on a soit g ∈ H et ghg −1 ∈ H,
soit g ∈
/ H, donc g = gH 6= 1 = H et G = gH ∪ H avec gH ∩ H = ∅ (les classes d’équivalence
forment une partition de G). Si, pour g ∈
/ H, ghg −1 n’est pas dans H, il est forcément dans
−1
gH et il existe k ∈ H tel que ghg = gk, ce qui entraîne hg −1 = k et g = hk −1 ∈ H, en
contradiction avec g ∈
/ H.
Théorème 20.18 Si G, H sont deux groupes et ϕ : G → H un morphisme de groupes, il
existe alors un unique isomorphisme de groupes ϕ : G/ ker (ϕ) → Im (ϕ) tel que ϕ = i ◦ ϕ ◦ π,
où i : Im (ϕ) → H est l’injection canonique (définie par i (h) = h pour tout h ∈ Im (ϕ)) et
π : G → G/ ker (ϕ) la surjection canonique (définie par π (g) = g = g ker (ϕ) pour tout g ∈ G).
Démonstration. Comme ker (ϕ) est distingué dans G, G/ ker (ϕ) est un groupe.
Si un tel isomorphisme ϕ existe, on a alors, pour tout g ∈ G :
ϕ (g) = i ◦ ϕ ◦ π (g) = i ◦ ϕ (g) = ϕ (g)
ce qui prouve l’unicité de ϕ.
Vu l’analyse du problème, on montre d’abord que l’on peut définir ϕ par ϕ (g) = ϕ (g)
pour tout g ∈ G/ ker (ϕ) . Pour justifier cette définition, on doit vérifier qu’elle ne dépend
pas des choix du choix d’un représentant de g. Si g = g 0 , on a alors g 0 g −1 ∈ ker (ϕ) , donc
ϕ (g 0 ) (ϕ (g))−1 = ϕ (g 0 g −1 ) = 1 et ϕ (g) = ϕ (g 0 ) . L’application ϕ est donc bien définie et par
construction, on a ϕ = i ◦ ϕ ◦ π.
ϕ est à valeurs dans Im (ϕ) = Im (ϕ) , donc surjectif.
Avec :
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
ϕ gg 0 = ϕ gg 0 = ϕ (gg 0 ) = ϕ (g) ϕ (g 0 ) = ϕ (g) ϕ g 0
on voit que c’est un morphisme de groupes.
L’égalité ϕ (g) = 1 équivaut à ϕ (g) = 1, soit à g ∈ ker (ϕ) ou encore à g = 1. Ce morphisme
est donc injectif.
Corollaire 20.2 Soient G, H deux groupes et ϕ : G → H un morphisme de groupes. Si G est
fini, on a alors :
card (G) = card (ker (ϕ)) card (Im (ϕ))
Démonstration. Comme G/ ker (ϕ) et Im (ϕ) sont isomorphes, dans le cas où G est fini,
on a :
card (G)
card (Im (ϕ)) = card (G/ ker (ϕ)) =
.
card (ker (ϕ))
Le théorème précédent s’exprime aussi en disant qu’on a le diagramme commutatif :
G
π↓
ϕ
→
H
↑i
ϕ
G/ ker (ϕ) → Im (ϕ)
Théorème 20.19 Si n = dim (E) ≥ 2, alors O+ (E) [resp. On+ (R)] est un sous-groupe distingué de O (E) [resp. de On (R)] d’indice 2.
Démonstration. O+ (E) est un sous-groupe distingué de O (E) comme noyau du morphisme de groupes det : O (E) → {−1, 1} . Comme cette application est surjective (Id ∈ O+ (E)
et en désignant par B = (ei )1≤i≤n une base orthonormée de E, l’application u définie par
u (e1 ) = −e1 et u (ei ) = ei pour i compris entre 2 et n est dans O− (E)), O (E) /O+ (E) est
isomorphe à {−1, 1} et [O (E) : O+ (E)] = 2.
409
Exercice 20.45 Soient G, H deux groupes, ϕ : G → H un morphisme de groupes, G0 un
sous-groupe distingué de G et H 0 un sous-groupe distingué de H tel que ϕ (G0 ) ⊂ H 0 . Montrer
qu’il existe un unique morphisme de groupes ϕ = G/G0 → H/H 0 tel que πH ◦ ϕ = ϕ ◦ πG , où
πG : G → G/G0 et πH : H → H/H 0 sont les surjections canoniques.
Solution 20.45 En supposant que ϕ, on a nécessairement πH ◦ ϕ (g) = ϕ ◦ πG (g) pour tout
g ∈ G, ce qui assure l’unicité de ϕ.
On définit donc ϕ par :
]
∀g ∈ G/G0 , ϕ (g) = ϕ
(g)
en notant g = gG0 la classe de g ∈ G modulo G0 et e
h la classe de h ∈ H modulo H 0 . Pour justifier
cette définition, on doit vérifier qu’elle ne dépend pas des choix du ¡choix d’un
représentant de
¢
−1
−1
−1
0
g. Si g1 = g2 , on a alors g2 g1 ∈ G , donc ϕ (g2 ) (ϕ (g1 )) = ϕ g2 g1
∈ ϕ (G0 ) ⊂ H 0 et
^
^
ϕ
(g1 ) = ϕ
(g2 ). L’application ϕ est donc bien définie et par construction, on a πH ◦ ϕ = ϕ ◦ πG .
Avec :
ϕ (g1 g2 ) = ϕ (g1 g2 ) = ϕ^
(g1 g2 ) = ϕ (g^
1 ) ϕ (g2 )
^
^
=ϕ
(g1 )ϕ
(g2 ) = ϕ (g1 ) ϕ (g2 )
on voit que c’est un morphisme de groupes.
Si R est une relation d’équivalence sur G, on dit que cette relation est compatible avec la
loi de G si, pour tous g, g 0 , h, h0 dans G, on a :
(gRh et g 0 Rh0 ) ⇒ gg 0 Rhh0
Cette compatibilté de R avec la loi de G est une condition nécessaire et suffisante pour
définir naturellement une structure de groupe sur l’ensemble quotient G/R par :
gg 0 = gg 0
Précisément, on a le résultat suivant, où G/R est l’ensemble des classes d’équivalence modulo
R et π : g 7→ g = {h ∈ G | gRh} est la surjection canonique de G sur G/R.
Théorème 20.20 Soit R une relation d’équivalence sur G. Cette relation est compatible avec
la loi de G si, et seulement si, il existe une unique structure de groupe sur l’ensemble quotient
G/R telle que la surjection canonique π : G → G/R soit un morphisme de groupes.
Démonstration. Si G/R est muni d’une structure de groupe telle que π soit un morphisme
de groupe, on a alors nécessairement pour tous g, g 0 dans G :
gg 0 = π (g) π (g 0 ) = π (gg 0 ) = gg 0
On en déduit que pour g, g 0 , h, h0 dans G tels que gRh et g 0 Rh0 , on a :
gg 0 = g g 0 = h h0 = hh0
ce qui signifie que gg 0 Rhh0 . La relation R est donc compatible avec la loi de G.
Réciproquement, supposons que R soit compatible avec la loi de G. L’analyse que l’on vient
de faire nous montre que la seule loi possible sur G/R est définie par gg 0 = gg 0 . Pour montrer
qu’une telle définition est permise, il s’agit de montrer qu’elle ne dépend pas des choix des
représentants de g et g 0 . Si g = h et g 0 = h0 , on a alors gRh et g 0 Rh0 , ce qui entraîne gg 0 Rhh0 ,
soit gg 0 = hh0 .
410
Structure de groupe
Exercice 20.46 Soit R une relation d’équivalence sur G compatible avec la loi de G. Montrer
que :
1. pour tous g, h dans G, on a gh = gh et hg = hg ;
2. H = 1 est un sous-groupe distingué de G ;
3. pour tout g ∈ G, g = gH = Hg et G/R = G/H.
Solution 20.46
1. On a :
¡
¢
¡
¢
k ∈ gh ⇔ (∃h0 ∈ G | h0 Rh et k = gh0 ) ⇒ (k = gh0 Rgh) ⇒ k ∈ gh
donc gh ⊂ gh. Et réciproquement :
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
k ∈ gh ⇔ (kRgh) ⇒ g −1 kRh ⇒ g −1 k ∈ h ⇒ k ∈ gh
soit gh ⊂ gh et gh = gh.
On procède de manière analogue pour l’égalité hg = hg
2. On a 1 ∈ H = 1, si g, h sont dans H, on a gR1 et hR1, donc ghR1 et pour g ∈ H, 1Rg
et g −1 Rg −1 entraîne g −1 R1, soit g −1 ∈ H. Donc H est bien un sous-groupe de G.
pour g ∈ G, on a gH = g1 = g et Hg = 1g = g = gH, ce qui signifie que H est distingué
dans G.
3. On a aussi montré en 2. que G/R = G/H.
L’exercice précédent nous dit en fait que les relations d’équivalence sur un groupe compatibles
avec sa loi sont celles suivant un groupe distingué (à gauche ou à droite).
20.9
Ordre d’un élément dans un groupe
Pour ce paragraphe, on se donne un groupe multiplicatif (G, ·) et pour tout a ∈ G, hai =
{an | n ∈ Z} est le sous-groupe de G engendré par a.
Définition 20.13 L’ordre d’un élément a de G est l’élément θ (a) ∈ N∗ ∪ {+∞} défini par :
θ (a) = card (hai) .
Si θ (a) est dans N∗ , on dit alors que a est d’ordre fini, sinon on dit qu’il est d’ordre infini.
Remarque 20.7 Seul l’unité 1 ∈ G est d’ordre 1 dans G. En effet, si a = 1, alors hai = {1}
et si a 6= 1, alors a0 6= a1 et hai a au moins deux éléments.
Remarque 20.8 Pour tout a ∈ G, on a θ (a) = θ (a−1 ) puisque :
−1 ® ©¡ −1 ¢n
ª ©
ª
a
= a
| n ∈ Z = a−n | n ∈ Z
= {an | n ∈ Z} = hai
Remarque 20.9 Dans le cas où le groupe G est fini, le théorème de Lagrange (théorème 20.12)
nous dit que, pour tout a ∈ G, l’ordre de a divise l’ordre de G.
Un groupe fini G d’ordre n est cyclique si, et seulement si, il existe dans G un élément d’ordre
n.
411
Exercice 20.47 Déterminer l’ordre d’un élément du groupe multiplicatif C∗ .
Solution 20.47 Tout nombre complexe non nul s’écrit z = ρeiα où ρ ∈ R+,∗ et α ∈ [0, 2π[
(avec un tel choix
¯ k ¯de α,k cette écriture est unique).
Si ρ 6= 1, on a ¯z ¯ = ρ 6= 1 pour tout entier relatif k, donc z k 6= z j pour k 6= j dans Z et hzi
est infini.
Si ρ = 1, on a alors, pour k entier relatif non nul, z k = eikα = 1 si, et seulement si, il existe un
α
entier relatif q tel que kα = 2qπ, ce qui signifie que
est rationnel. On en déduit donc que :
2π
α
– pour
irrationnel, z k 6= 1 pour tout entier relatif k et hzi est infini ;
2π
α
p
– pour
= rationnel avec (p, q) ∈ Z×N∗ et p∧q = 1, en effectuant la division euclidienne
2π
q
d’un entier relatif k par q, on a k = mq + r avec 0 ≤ r ≤ q − 1 et :
¡
¢m
¡
¢m
z k = eikα = eiqα eirα = e2ipπ eirα = eirα
et hzi = {eirα | 0 ≤ r ≤ q − 1} a au plus q éléments.
Pour 0 ≤ r 6= s ≤ q − 1 l’égalité eirα = eisα équivaut à ei(s−r)α = 1, ce qui revient à dire
p
p
(s − r) α = 2mπ avec m ∈ Z, qui tenant compte de α = 2π , donne (s − r) = m, soit q
q
q
divise p (s − r) sachant que q est premier avec p, donc q divise r − s (théorème de Gauss)
et nécessairement r = s puisque |r − s| ≤ q − 1. On a donc exactement q éléments dans
hzi et z est d’ordre q.
En fait hzi est le groupe Γq des racines q-èmes de l’unité.
En définitive :

α
¡ iα ¢  +∞ si ρ 6= 1 ou ρ = 1 et 2π irrationnel
θ ρe =
α
p
 q si
= ∈ Q avec p ∧ q = 1
2π
q
Exercice 20.48 Déterminer l’ordre d’une matrice de rotation [resp. de réflexion] dans GL2 (R)
(exercices 20.16 et 20.17). En déduire qu’on peut trouver deux éléments d’ordre fini dans
GL2 (R) dont le produit est d’ordre infini.
Solution 20.48 Pour tout réel α et tout entier n ≥ 1, on a Rαn = Rnα et Rαn = In équivaut à
e−inα = 1, ce qui revient à dire qu’il existe un entier relatif q tel que nα = 2qπ. Il en résulte
α
∈ Q.
qu’une matrice de rotation Rα est d’ordre fini si, et seulement si,
2π
Si Sα est une matrice de réflexion, on a Sα2 = Rα−α = In et Sα 6= In , donc Sα est d’ordre 2.
α − α0
La composée de deux matrices de réflexions Sα ◦ Sα0 = Rα−α0 est d’ordre infini si
∈
/ Q.
2π
Pour a ∈ G, le sous-groupe de G engendré par a peut être vu comme l’image du morphisme
de groupes :
ϕa : Z → G
k 7→ ak
(pour j, k dans Z, on a ϕa (j + k) = aj+k = aj ak = ϕa (j) ϕa (k) et ϕa est bien un morphisme
de groupes).
En utilisant la connaissance des sous-groupes additifs de Z, on a le résultat suivant.
Théorème 20.21 Pour a ∈ G, on a θ (a) = +∞ si, et seulement si, ϕa est injective et pour a
d’ordre fini, on a ker (ϕa ) = θ (a) Z.
412
Structure de groupe
Démonstration. Le noyau de ϕa étant un sous-groupe de Z, il existe un unique entier n ≥ 0
tel que ker (ϕa ) = nZ.
On aura n = 0 si, et seulement si, ϕa est injective, ce qui revient à dire que ϕa (k) = ak 6= 1
pour tout k ∈ Z∗ ou encore que ϕa (k) = ak 6= ϕa (j) = aj pour tous j 6= k dans Z et le
sous-groupe hai = Im (ϕa ) est infini.
Si n ≥ 1, en effectuant, pour k ∈ Z, la division euclidienne de k par n, on a k = qn + r avec
0 ≤ r ≤ n − 1 et ak = (an )q ar = ar , ce qui nous donne :
hai = Im (ϕa ) = {ar | 0 ≤ r ≤ n − 1}
De plus pour 1 ≤ r ≤ n − 1, on a ar 6= 1 puisque n = inf (ker (ϕa ) ∩ N∗ ) , ce qui entraîne ar 6= as
pour 0 ≤ r 6= s ≤ n − 1 (pour s ≥ r, l’égalité ar = as équivaut à as−r = 1 avec s − r compris
entre 0 et n − 1, ce qui équivaut à r = s). Le groupe hai a donc exactement n éléments.
Une autre définition de l’ordre d’un élément d’un groupe est donnée par le résultat suivant.
Corollaire 20.3 Dire que a ∈ G est d’ordre fini n ≥ 1 équivaut à dire que an = 1 et ak 6= 1
pour tout k est compris entre 1 et n − 1 (θ (a) est le plus petit entier naturel non nul tel que
an = 1).
Démonstration. Si a est d’ordre n ≥ 1, on a vu avec la démonstration du théorème
précédent que an = 1 et ak 6= 1 pour tout k est compris entre 1 et n − 1.
Réciproquement s’il existe un entier n ≥ 1 tel que an = 1 et ak 6= 1 pour k est compris entre 1
et n−1, le morphisme de groupes ϕa est non injectif, donc a est d’ordre fini et ker (ϕa ) = θ (a) Z
avec θ (a) = inf (ker (ϕa ) ∩ N∗ ) = n.
Corollaire 20.4 Dire que a ∈ G est d’ordre fini n ≥ 1 équivaut à dire que, pour k ∈ Z, on a
ak = 1 si, et seulement si, k est multiple de n.
Démonstration. Si a est d’ordre n, on a alors an = 1 et pour k = qn + r ∈ Z avec q ∈ Z
et 0 ≤ r ≤ n − 1 (division euclidienne), on a ak = ar = 1 si, et seulement si r = 0.
Réciproquement supposons que ak = 1 si, et seulement si, k est multiple de n. On a alors
an = 1 et ak 6= 1 si k est compris entre 1 et n − 1, ce qui signifie que a est d’ordre n.
En résumé, on retiendra que :
– (θ
⇔ ¢(ϕa injective) ⇔ (ker (ϕa ) = {0}) ⇔
¡ (a) = ∗+∞)
k
∀k ∈ Z , a 6= 1 ⇔ (hai est infini isomorphe à Z) ;
∗
r
– (θ (a)
¡ = n ∈ Nk) ⇔ (ker (ϕa ) = nZ) ⇔ (hai = {a
¢ | 0 ≤ r ≤ n − 1})
⇔ k ∈ Z et a = 1 équivaut à k ≡ 0 mod (n) ⇔
(n est le plus petit entier naturel non nul tel que an = 1) .
Pour a d’ordre fini, le groupe hai est dit cyclique, ce qui est justifié par aqn+r = ar pour
q ∈ Z et 0 ≤ r ≤ n − 1.
Théorème 20.22 Si G est un groupe cyclique d’ordre n, il est alors isomorphe au groupe
Z
.
nZ
Démonstration. Si G = hai est cyclique d’ordre n, alors l’application ϕa : k 7→ ak est
un morphisme de groupes surjectif de (Z, +) sur G de noyau ker (ϕa ) = nZ et le théorème
Z
est isomorphe à G.
d’isomorphisme (théorème 20.18) nous dit
nZ
Exemple 20.32 Le groupe multiplication Γn des racines n-èmes de l’unité, qui est cyclique
Z
2ikπ
d’ordre n, est isomorphe à
par l’application k 7→ e n .
nZ
413
Dans le cas où le groupe G est additif, l’ordre de a ∈ G est défini comme le plus petit entier
n ≥ 1 tel que na = 0, quand cet ordre est fini. L’égalité ma = 0 équivaut alors à dire que m
est multiple de n. Le groupe engendré par a est alors :
hai = {ka | k ∈ Z} = {ra | 0 ≤ r ≤ n − 1} .
Corollaire 20.5 Si G est fini d’ordre m, on a alors am = 1 pour tout a ∈ G.
Démonstration. θ (a) est fini et divise m.
Exercice 20.49 Déterminer les sous-groupes finis du groupe multiplicatif C∗ .
Solution 20.49 Si G ⊂ C∗ est un
d’ordre n ≥ o
1, on a alors z n = 1 pour z ∈ G et G
n groupe
kπ
est contenu dans l’ensemble Γn = e2i n | 0 ≤ k ≤ n − 1 des racines n-èmes de l’unité qui est
lui même un groupe d’ordre n. On a donc G = Γn .
Exercice 20.50 Soit G un groupe fini d’ordre m. Montrer que pour tout entier relatif n premier
avec m, l’application g 7→ g n est une bijection de G sur lui même (c’est donc une permutation
de G).
Solution 20.50 Comme m ∧ n = 1, le théorème de Bézout nous dit qu’il existe deux entiers
relatifs u et v tels que un + vm = 1 et pour tout g ∈ G, on a g = g un+vm = (g u )n (g m )v = (g u )n ,
ce qui signifie que l’application g 7→ g n est surjective. Comme G est fini, cette application est
bijective.
Exercice 20.51
1. Soit G un groupe fini dont tous les éléments sont d’ordre au plus égal à 2. Montrer que G
est commutatif et que son ordre est une puissance de 2.
2. Montrer que si G est un groupe fini d’ordre 2p avec p premier, il existe alors un élément
d’ordre p dans G.
Solution 20.51
1. Si tous les éléments de G sont d’ordre au plus égal à 2, on a alors a2 = 1 pour tout a ∈ G,
et G est commutatif (exercice 20.10).
Si G est réduit à {1} , on a alors card (G) = 1 = 20 .
Si G d’ordre n ≥ 2 n’est pas réduit à {1} , il existe a ∈ G \ {1} tel que hai = {1, a}
G
est de cardinal strictement inférieur à n = card (G) avec tous
et le groupe quotient
hai
ses éléments d’ordre au plus égal à 2. On conclut alors par récurrence sur l’ordre de G.
En supposant
µ ¶ le résultat acquis pour les groupes d’ordre strictement inférieur à n, on a
G
card
= 2p et card (G) = 2p+1 .
hai
On peut procéder de façon plus rapide (et plus astucieuse) comme suit. En notant la loi de
G sous forme additive, on a 2 · a = 0 pour tout a ∈ G et on peut munir G d’une structure
Z
-espace vectoriel en définissant la loi externe par 0a = 0 et 1a = a pour tout a ∈ G,
de
2Z
la loi interne étant l’addition de G. Si G est fini, il est nécessairement
de dimension fini
µµ ¶p ¶
Z
Z
sur
et notant p sa dimension, on a card (G) = card
= 2p .
2Z
2Z
414
Structure de groupe
2. Si G est d’ordre 2p ≥ 4 avec p premier, le théorème de Lagrange nous dit que les éléments
de G \ {1} sont d’ordre 2, p ou 2p. S’il n’y a aucun élément d’ordre p, il n’y en a pas
p
d’ordre 2p (si g ∈ G \ {1} est d’ordre 2p, on a alors g 2 6= 1, g p 6= 1 et (g 2 ) = g 2p = 1,
donc g 2 est d’ordre p), donc tous les éléments de G \ {1} sont d’ordre 2 et G est d’ordre
2n = 2p, d’où p = 2n−1 , n = 2 et p = 2 puisque p est premier, soit une contradiction avec
l’hypothèse qu’il n’y a pas d’élément d’ordre p (= 2). Il existe donc dans G des éléments
d’ordre p.
Ce résultat est un cas particulier d’un théorème de Cauchy qui nous dit que si G est un
groupe fini de cardinal n, alors pour tout diviseur premier p de n, il existe dans G un
élément d’ordre p (théorème 20.1).
Exercice 20.52 Montrer qu’un groupe G est fini si et seulement si l’ensemble de ses sousgroupes est fini.
Solution 20.52 Si G est un groupe fini alors l’ensemble P (G) des parties de G est fini (de
cardinal 2card(G) ) et il en est de même de l’ensemble des sous-groupes de G.
Réciproquement soit (G, ·) un groupe tel que l’ensemble de ses sous-groupes soit fini. On peut
r
S
S
écrire G =
hgi et cette réunion est finie, soit G =
hgk i . Si l’un de ces sous-groupes hgk i
g∈G
est infini, alors les hgkn i où n décrit N
effet l’égalité hgkn i = hgkm i entraîne gkn
k=1
forment une famille infinie de sous-groupes de G : en
= gkjm , soit gkn−jm = 1 et n − jm = 0 (gk est d’ordre
infini), c’est-à-dire que m divise n. Comme n et m jouent des rôles symétriques, on a aussi n
qui divise m et en définitive n = m (on peut aussi dire que hgk i est isomorphe à Z et de ce fait
a une infinité de sous groupes). On a donc une contradiction si l’un des hgk i est infini. Donc
tous les hgk i sont finis et aussi G.
Exercice 20.53 Donner des exemples de groupes infinis dans lequel tous les éléments sont
d’ordre fini.
Solution 20.53 En désignant, pour tout entier n ≥ 1, par Γn le groupe des racines n-èmes de
+∞
S
l’unité dans C∗ , la réunion Γ =
Γn est un sous-groupe de C∗ (1 ∈ Γ, pour z ∈ Γ, il existe
n=1
n ≥ 1 tel que z ∈ Γn , donc z −1 ∈ Γn ⊂ Γ et pour z, z 0 dans Γ, il existe n, m tels que z ∈ Γn et
z 0 ∈ Γm , donc zz 0 ∈ Γn·m ⊂ Γ). Ce groupe Γ est infini avec tous ses éléments d’ordre fini.
Z
Le groupe additif G =
[X] avec p premier est infini et tous ses éléments sont d’ordre 1 ou
pZ
p.
Si on définit sur le corps Q des rationnels la relation d’équivalence r v s si et seulement si
Q
pour cette relation d’équivalence est infini et tous ses
r − s ∈ Z, alors le groupe quotient
Z
p
éléments sont d’ordre fini (q = 0).
q
Si E est un ensemble infini, alors (P (E) , ∆) où ∆ est l’opérateur de différence symétrique est
infini et tous les éléments sont d’ordre 1 ou 2 puisque A∆A = ∅.
Théorème 20.23 Soient a, b ∈ G d’ordre fini et k ∈ Z∗ .
¡ ¢
θ (a)
1. On a θ ak =
(en particulier θ (a−1 ) = θ (a)).
θ (a) ∧ k
¡ ¢ θ (a)
2. Si k divise θ (a) , on a alors θ ak =
.
|k|
Sous-groupes des groupes cycliques
415
¡ ¢
3. Si k est premier avec θ (a) , on a alors θ ak = θ (a) .
4. Si ab = ba, alors ab est d’ordre fini divisant θ (a) ∨ θ (b) .
Dans le cas où hai ∩ hbi = {1} , on a θ (ab) = θ (a) ∨ θ (b) . Si θ (a) et θ (b) sont premiers
entre eux, on a alors hai ∩ hbi = {1} et θ (ab) = θ (a) ∨ θ (b) = θ (a) θ (b) .
Démonstration.
1. Soit δ = θ (a) ∧ k et n0 , k 0 premiers entre eux tels que θ (a) = δn0 , k = δk 0 .
Pour tout entier relatif j, on a :
¡ k ¢j
a
= akj = 1 ⇔ ∃q ∈ Z | kj = qθ (a) ⇔ ∃q ∈ Z | k 0 j = qn0
⇔ n0 divise j (Gauss)
¡ ¢
et en conséquence θ ak = n0 =
θ (a)
.
θ (a) ∧ k
¡ ¢ θ (a)
2. Si k divise θ (a) , on a alors θ (a) ∧ k = |k| et θ ak =
.
|k|
¡ ¢
3. Si k est premier avec θ (a) , on a alors θ (a) ∧ k = 1 et θ ak = θ (a) .
4. Soit µ = θ (a) ∨ θ (b) . Dans le cas où a et b commutent, on a (ab)µ = aµ bµ = 1 avec µ ≥ 1
et ab est d’ordre fini et cet ordre divise µ. En désignant par n = θ (ab) l’ordre de ab, on
a an bn = (ab)n = 1 et an = b−n ∈ hai ∩ hbi .
Si hai ∩ hbi = {1} , on a alors an = bn = 1 et n est multiple de θ (a) et θ (b) , donc de
θ (a) ∨ θ (b) et n = θ (a) ∨ θ (b) .
Si θ (a) ∧ ∨θ (b) = 1, on a alors θ (a) ∨ θ (b) = θ (a) θ (b) . De plus avec hai ∩ hbi ⊂ hai et
hai∩hbi ⊂ hbi , on déduit que card (hai ∩ hbi) divise θ (a) = card (hai) et θ (b) = card (hbi) ,
donc card (hai ∩ hbi) = 1 et hai ∩ hbi = {1} , ce qui implique que θ (ab) = θ (a) ∨ θ (b) =
θ (a) θ (b) .
Remarque 20.10 Si θ (a) et θ (b) ne sont pas premiers entre eux, avec a, b commutant et
d’ordre fini, l’ordre de ab n’est pas nécessairement le ppcm de θ (a) et θ (b) . En prenant par
exemple a d’ordre n ≥ 2 dans G et b = a−1 qui est également d’ordre n, on ab = ba = 1 d’ordre
1 6= ppcm (n, n) = n.
Remarque 20.11 Pour a et b ne commutant pas, le produit ab peut être d’ordre infini, même
si a et b sont d’ordre fini.
20.10
Sous-groupes des groupes cycliques
Pour ce paragraphe, G = hai un groupe cyclique d’ordre n ≥ 2.
Si H est un sous-groupe de G, le théorème de Lagrange nous dit que l’ordre de H est un
diviseur de n. Le théorème qui suit nous dit que les sous-groupes d’un groupe cyclique sont
cycliques et que pour tout diviseur d de n, il existe un sous-groupe de G d’ordre d. Ce résultat
n’est pas vrai pour un groupe fini quelconque comme nous le verrons avec l’étude du groupe
symétrique.
Théorème 20.24 Pour tout diviseur d de n, il existe
nun
® unique sous groupe d’ordre d du
groupe cyclique G = hai , c’est le groupe cyclique H = a d .
416
Structure de groupe
n®
Démonstration. Pour tout diviseur d de n, H = a d est un sous-groupe cyclique de G et
¡ n¢
n
le théorème 20.23 nous dit qu’il est d’ordre θ a d =
= d.
n ∧ nd
Réciproquement soit H un sous-groupe de G d’ordre d, un diviseur de n.
Si d = 1, on a alors H = {1} = han i .
Si d ≥ 2, H n’est pas réduit à {1} , donc il existe un entier k compris entre 1 et n − 1 tel
que ak ∈ H et on peut poser :
©
ª
p = min k ∈ {1, · · · , n − 1} | ak ∈ H .
En écrivant, pour tout h = ak ∈ H, k = pq + r avec 0 ≤ r ≤ p − 1 (division euclidienne par p),
on a ar = ak (apq )−1 ∈ H et nécessairement r = 0. On a donc H ⊂ hap i ⊂ H, soit H = hap i .
n
n
Avec an = 1 ∈ H, on déduit que n est multiple de p et l’ordre de H est d =
= ,
n∧p
p
n®
c’est-à-dire que H = a d . Un tel sous-groupe d’ordre d est donc unique.
Dn E ¿nÀ
Z
Exemple 20.33 Les sous groupes de
sont les
1 =
où d est un diviseur de n. Un
nZ
d
d
Z
tel sous-groupe est isomorphe à
et il y en a autant que de diviseurs de n.
dZ
¿³
D 2iπ E
´ nd À
2iπ
n
en
Exemple 20.34 Les sous groupes de Γn = {z ∈ C | z = 1} = e n sont les
=
D 2iπ E
e d = Γd où d est un diviseur de n et il y en a autant que de diviseurs de n.
Lemme 20.1 (Cauchy) Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n ≥ 2. Pour tout diviseur
premier p de n il existe dans G un élément d’ordre p
Démonstration. On procède par récurrence sur l’ordre n ≥ 2 de G.
Pour n = 2, le résultat est trivial (G est le seul sous-groupe d’ordre 2).
Supposons le acquis pour les groupes commutatifs d’ordre m < n, où n ≥ 3 et soient G un
groupe commutatif d’ordre n, p un diviseur premier de n et g ∈ G \ {1} .
Si G = hgi ,n alors G est cyclique et g est d’ordre n. Pour tout diviseur premier p de n,
l’élément h = g p est alors d’ordre p dans G.
Si G 6= hgi et p divise m = card (hgi) < n, alors l’hypothèse de récurrence nous assure de
l’existence d’un élément h dans hgi qui est d’ordre p.
Supposons enfin que G 6= hgi et p ne divise pas m = card (hgi) . Comme p est premier
G
ne divisant pas m, il est premier avec m et le groupe quotient
est commutatif d’ordre
hgi
n
r =
< n divisible par p (p divise n = rm et p est premier avec m, le théorème de Gauss
m
nous dit alors que p divise r). L’hypothèse de récurrence nous assure alors de l’existence d’un
G
élément [h] d’ordre p dans
. Si s est l’ordre de h dans G, alors [h]s = [hs ] = [1] et s est
hgi
multiple de p. L’élément k = hs/p est alors d’ordre p dans G.

20 Structure de groupe

Transcription

Documents pareils

- Ecrire les 2 mots « style » et « look » au centre du tableau et

Lycée public Jacques Prévert Les institutions et les traités de l`Union

Document 2915420

Corrigé 8

Réunion sur la formation africaine

Horaire de la rentrée progressive Parents et enfants : lundi 29 août

1 Structure de groupe. Groupes finis

Groupes, sous-groupes, ordre - Exo7

Formulaire d`autorisation pour paiement par carte de crédit Credit

3ème Révisions brevet blanc de mathématiques