Cours: les systèmes logiques combinatoires

S si
Les systèmes logiques
combinatoires
COURS
1. Présentation
Circuit intégré contenant 4
opérateurs logique à 2 entrées
Dans ce chapitre, on étudiera les opérateurs logiques qui constituent les
blocs élémentaires des circuits logiques et nous verrons comment il est
possible de décrire leur fonctionnement grâce à l'algèbre de Boole. Nous
verrons également comment on construit des logigrammes en associant des
opérateurs.
2. Identification de la fonction réalisée
Les circuits logiques réalisent la fonction TRAITER de la chaîne d'information :
3. Définitions
3.1 Variables Booléennes
Une variable logique (dite booléenne) ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Voici un exemple :
Récepteur (Lampe)
L = 1 Lampe allumée
L = 0 Lampe éteinte
a = 0 Pas d’action
a = 1 Action
Contact
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Le codage de l’information
3.2 Opérateurs logiques
On peut définir des opérations mathématiques portant sur des variables logiques. Il existe trois opérations
ou fonctions logiques élémentaires :
- L'INVERSION (complémentation) logique symbolisée par le surlignement de la variable.
- Le ET logique symbolisé par le signe « . »
- Le OU logique symbolisé par le signe « + »
3.3 Table de vérité
C'est un tableau qui donne l'état de la sortie en fonction des différentes combinaisons d'états de ses
variables d'entrée. Chacune des combinaisons des variables d'entrée est écrite sur une ligne différente.
Si n définit le nombre de variables d'entrée, la table de vérité comportera 2n combinaisons différentes.
Exemple :
Entrées
X
Y
0
0
0
1
1
0
1
1
Sortie
Z
0
1
1
0
X et Y sont les variables d’entrée
S est la variable de sortie
Le nombre « n » de variables d’entrée est : n = 2
La table de vérité comporte 2n combinaisons soit 4.
3.4 Chronogrammes
Un chronogramme est une représentation graphique qui permet de visualiser, en fonction du temps, l'état
de la sortie correspondant aux différentes combinaisons d'états logiques des entrées.
4. Les opérateurs logiques
4.1 Opérateur OUI ou égalité
Schéma à contacts
+
Symbole AFNOR
e
S
La lampe est allumée si e est
actionné
Chronogrammes : e
Symbole américain
1
e
e
S
S
Table de vérité
e
0
1
S
0
1
Equation
S =e
(S égal e)
S est identique à e
t
S
t
4.2 Opérateur NON ou complémentation
Schéma à contacts
+
Symbole AFNOR
e
S
La lampe est allumée si e n’est
pas actionné
Chronogrammes :
e
e
Symbole américain
1
S
e
S
Table de vérité
Equation
e
0
1
S=e
S
1
0
(S égal e barre)
S est le complément de e
t
S
t
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Le codage de l’information
4.3 Opérateur ET (AND)
Schéma à contacts
Symbole AFNOR
+
e1 e2
S
- e1
La lampe est allumée si e1 et e2
sont actionnés
Chronogrammes :
&
Symbole américain
e1
S
e2
S
e2
Table de vérité
e1
0
0
1
1
e1
e2
0
1
0
1
S
0
0
0
1
Equation
S=e1.e2
(S égal e1 et e2)
Un « zéro » en entrée force un
« zéro » en sortie
t
e2
t
S
t
4.4 Opérateur OU (OR)
Schéma à contacts
+
Symbole AFNOR
- e1
e1
S
>
S
Symbole américain
e1
e2
e2
e2
S
La lampe est éteinte si e1 et e2
ne sont pas actionnés
Chronogrammes :
e1
t
Table de vérité
e1
0
0
1
1
e2
0
1
0
1
S
0
1
1
1
Equation
S =e1+e2
(S égal e1 ou e2)
Un « un » en entrée force un « un »
en sortie
e2
t
S
t
4.5 Opérateur NON ET (NAND)
Schéma à contacts
+
Symbole AFNOR
- e1
e1
S
e2
&
Symbole américain
Table de vérité
e1
0
S 0
1
1
e1
S e2
e2
La lampe est éteinte si e1 et e2
sont actionnés
Chronogrammes : e1
t
e2
0
1
0
1
S
1
1
1
0
Equation
S =e1.e2=e1+ e2
(S égal e1 et e2 le
tous barre)
Un « zéro » en entrée force un « un »
en sortie
e2
t
S
t
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Le codage de l’information
4.6 Opérateur NON OU (NOR)
Schéma à contacts
+
Symbole AFNOR
- e1
e1 e2
S
Symbole américain
>1
S
e2
La lampe est allumée si e1 et e2
ne sont pas actionnés
Chronogrammes :
e1
e2
Table de vérité
S
e1
t
e2
e1 e2
0 0
0 1
1 0
1 1
S
1
0
0
0
Equation
S =e1+e2=e1.e2
(S égal e1 ou e2 le
tous barre)
Un « un » en entrée force un « zéro »
en sortie
t
S
t
4.7 Opérateur OU exclusif (XOR)
Schéma à contacts
+
Symbole AFNOR
- e1
e
e
S
=1
S
e2
Symbole américain
e1
e2
Table de vérité
e1 e2
0 0
0 1
1 0
1 1
S
La lampe est allumée si a ou b est
actionné
Chronogrammes :
e1
S
0
1
1
0
Equation
S =e1⊕e2
S =e1.e2+ e1.e2
(S égal e1 et e2
barre ou e1 barre
et e2)
La sortie est à « un » si l’une des
entrées est à « un »
t
e2
t
S
t
4.8 Opérateur Identité (XNOR)
Schéma à contacts
Symbole AFNOR
- e1
+
e1
e
S
e2
=1
S
Symbole américain
e1
e2
S
La lampe est allumée si a ou b est
actionné
Table de vérité
e1 e2
0 0
0 1
1 0
1 1
S
1
0
0
1
Equation
S = e1 ⊕ e2
S =e1.e2+e1.e2
(S égal e1 et e2 ou
e1 barre et e2
barre)
Chronogrammes :
e1
t
La sortie est à « un » si les deux
entrées ont le même état logique
e2
S
t
t
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Le codage de l’information
5. Algèbre de Boole
L'algèbre de Boole définit les opérations mathématiques portant sur des variables logiques. Elle observe la
priorité des opérations avec par ordre décroissant de priorité :
- la fonction NON,
- la fonction ET,
- la fonction OU.
Les règles suivantes sont utilisées pour simplifier les équations logiques
5.1 Propriétés portant sur une variable
Règle
Opérateur OU
Involution
a=a
a+a =
a
a+a =
1
a+0=
a
a +1 =
1
Idempotence
Complémentarité
Elément neutre
Elément absorbant
Opérateur ET
a⋅a =
a
a⋅a =
0
a ⋅1 =a
a⋅0 =
0
5.2 Propriétés portant sur plusieurs variables
Règle
Commutativité
Associativité
Distributivité
Absorption
Absorption
Opérateur OU
Opérateur ET
a + b =+
b a
a + (b + c) =+
( a b) + c
a + b ⋅ c = a + (b.c) =
(a + b).( a + c)
a + a ⋅b =
a
a ⋅b =
b.a
a ⋅ (b ⋅ c) =
(a.b).c
a ⋅ (b + c) =
a.b + a.c
a ⋅ ( a + b) =
a
a + a ⋅ b =+
a b
a ⋅ ( a + b) =
a.b
5.3 Théorème de DE MORGAN
•
Le complément d'une somme est égal au produit des compléments des termes de la somme :
a + b = a ⋅b
•
Le complément d'un produit est égal à la somme des compléments des termes du produit :
a⋅b = a + b
Les deux expressions précédentes nous permettent d'adapter les équations trouvées aux contraintes
technologiques. Cela nous permet de réaliser par exemple un OU logique avec des portes NON-ET, ou un ET
logique avec des portes NON-OU :
&
>1
a
a
&
&
b
>1
a+b
>1
b
a
a
b
a.b
b
Les opérateurs NON-ET et NON-OU sont appelés des opérateurs universels.
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