Exercices supplémentaires : Produit scalaire et application

Exercices supplémentaires : Produit scalaire et application
Partie A : Calculs du produit scalaire
Dans le livre à partir de la page 200 : 2 ;4 ;10 ;11 ;21 ;24 ;25 ;36 ;41 ;88 ;89 ;91 ;102 ;118 à 130
Partie B : Propriétés du produit scalaire
Dans le livre à partir de la page 200 : 8 ;17 ;64 ;68 ;70 ;77 ;96 ;107
Correction exercices supplémentaires : Produit scalaire et application
Partie A : Calculs du produit scalaire
Exercice 2 p200
1) . = ‖ + ‖ − ‖ ‖ − ‖ ‖
⇔ ‖ + ‖ = √47
2) . = ‖ + ‖ − ‖ ‖ − ‖ ‖
⇔ ‖ + ‖ = √93
⇔5=
‖ + ‖ −6 −1
⇔ −10 =
Exercice 4 p 200
est le milieu de
et comme
est équilatéral,
médiane. Plus précisément,
est perpendiculaire à
D’après le théorème de Pythagore, on a
=
+
= √12
1
.
= !"
+ " −"
2
1
.
= !" + " − "
2
en notant & le milieu de
.
D’où
" −"
" −"
⇔ 10 + 36 + 1 = ‖ + ‖
‖ + ‖ −7 −8
⇔ −20 + 49 + 64 = ‖ + ‖
est la médiane issue de mais également la hauteur et la
et donc
est un triangle rectangle en .
et donc
=
−
= 4 − 2 = 12.
1
1
−
# = !$2√12% − 4 − 4 # = 8
" # = !"2 " −
2
2
1
" # = !"2 & " − 4 − 4 # = 8
2
Exercice 10 p 200
2
−3
! # et
! # donc
.
= 2 × −3 + 3 × 2 = 0
1)
3
2
2)
= √2 + 3 = √13
= ( −3 + 2 = √13
3) Comme
.
= 0, on peut dire que
et
sont perpendiculaires. De plus,
un triangle rectangle isocèle en .
=
donc
est
Exercice 11 p 200
−1
3
)* ! # et )+ ! # donc )*. )+ = −1 × 3 + 1 × 3 = 0 donc )* et )+ sont perpendiculaires.
1
3
Ceci montre que *)+ est rectangle en ).
Exercice 21 p 200
.
=
×
× cos$/ % ⇔ 10 =
Exercice 24 p 201
1
.
= !"
+
2
1
.
= !"
+
2
1
.
= !" +
2
" −"
" −"
" −"
" −"
" −"
" −"
× 4 × cos 60° ⇔
1
" # = !"
2
1
" # = !"
2
1
" # = !"
2
=
" −
−
" −
−
" −
−
10
⇔
4 cos 60°
=
10
1
4×2
⇔
=5
1
3 − 6 − 4 = −21,5
2
1
# = 4 − 6 − 3 = −14,5
2
1
# = 6 − 4 − 3 = 5,5
2
#=
Exercice 25 p 201
1) On note 2 le centre du losange
3. Alors dans le triangle 2 rectangle en 2, on applique le théorème
de Pythagore et on a :
= 2 +2
et donc 2 =
− 2 = 10 − 8 = 36 donc 2 = 6. De plus,
c’est la demie-diagonale donc 3 = 12
2)
1
1
1
. 3 = !"
+ 3 " − " " − " 3 " # = !" " −
− 3 # = 16 − 10 − 10 = 28
2
2
2
1
1
.
= !" 3" −
−
# = 12 − 10 − 10 = −28
2
2
1
3 . 3 = !" 3" − 3 − 3 # = −28
2
1
= !"0" − 3 −
# = −100
2
1
1
. 3 = !"2 " −
− 3 # = 20 − 10 − 10
2
2
3.
= 100
Exercice 36 p 201
8
−4
1) 3 ! # et
! # donc 3 .
= 8 × −4 + −8 × −4 = −32 + 32 = 0
−8
−4
−6
−6
2)
! # et 3 ! # donc
=3
2
2
3) La question 2 montre que
3 est un parallélogramme. De plus, d’après la question 1, les diagonales
et
sont perpendiculaires donc
3 est un losange.
Exercice 41 p 201
et ′ appartiennent à l’axe des ordonnées donc leurs coordonnées sont de la forme 0; 6 .
2
−12
7
8 et
7
8
2−6
−6
est rectangle en ⇔
.
= 0 ⇔ 2 × −12 + 2 − 6 × −6 = 0 ⇔ −24 − 26 + 6 = 0
: ;
< ;
= 6 et 6 =
= −4.
Δ = −2 − 4 × −24 = 100 donc l’équation a deux solutions 6 =
Les ordonnées de et ′ sont donc 6 et −4.
Exercice 88 p 205
1)
2)
3)
4)
.
= ‖ ‖ × ‖ ‖ × cos ;
.
= 36 cos !−
.
.
>
= 5 × 1 cos ! A # =
=
=√
√@
# = −15√3
=>
# = −18√3
?
B>
6 cos !− @ # = 3
Exercice 89 p 205
1) . = ‖ ‖ × ‖ ‖ × cos ;
C
C
⇔ ; =
2C ou −
2C
3
3
Le vecteur
=>
= 5 × 6 cos ! ? # = 30 × !−
⇔ 2 = 4 × 1 × cos
est donc tel que ‖ ‖ = 1 et
2) Le vecteur
est tel que ‖ ‖ = 1 et
;
⇔ cos
;
→
v1
=
→
u
→
;
;
=
>
@
=
2C ou
>
@
;
>
= − @ 2C
2C ou
;
=−
>
@
v2
→
v1
2C
→
u
→
3) Le vecteur
est tel que ‖ ‖ = 2 et
;
=
=>
?
2C ou
;
=−
=>
?
v2
2C
→
v1
→
u
→
4) Le vecteur
est tel que ‖ ‖ = 2 et
;
=
>
A
2C ou
;
=
>
−A
v2
2C
→
v1
→
u
→
v2
Exercice 91 p 205
>
1) 2 . 2 = 2 × 2 × cos$2 ; 2 % = 2 × 2 × cos ! @ # = 4 × = 2
C C
5C
√3
2 . 2 = 2 × 2 × cos$2 ; 2 % = 2 × 2 × cos ! + # = 4 cos 7 8 = 4 E− F = −2√3
2
3 2
6
car $2 ; 2 % = $2 ; 2 % + $2 ; 2 % 2C
2 .
2) 2 G . 2 = −2 . 2 = 2√3 car 2
G
= −2 car 2 est le milieu de
G
= 2 . $ 2 + 2 % = 2 . 2 + 2 . 2 = −2 . 2 + 2 . 2 = −2 − 2√3
3
C1
Exercice 102 p 206
1)
.
=
×
× cos$ ;
⇔ −12 = 6 × 4 × cos$ ; %
1
⇔ cos$ ; % = −
2
2C
2C
⇔$ ; %=
2C ou −
2C
3
3
Il y a donc deux points possible.
2) / = 120°
Exercice 118 p 207
1
.
= H" " + "
2
" −"
Exercice 119 p 207
%
A
C2
1
" I= H
2
−
+
−"
" I=
1
5 + 6 − 10
2
× cos$
;
5C
√3
% = 3 × 4 × cos 7 8 = 12 × E− F = −6√3
6
2
Exercice 120 p 207
.
=
×
× cos$
;
% = 6 × 6 + 3 × cos 0 = 54
;
% = 5 × 5 × cos 60° = 25 ×
.
=
×
Exercice 121 p 207
.
=
×
× cos$
Exercice 122 p 207
−3
3
! # et
! # donc
1
−3
.
B
= −
39
2
25
1
=
2
2
= −3 × 3 + 1 × −3 = −12
Exercice 123 p 207
appartient au cercle de diamètre
.
= 0
donc le triangle
est rectangle en .
Exercice 124 p 207
On note 2 le centre du losange.
.
= $ 2 + 2 %.
= 2.
+2 .
= 2×
× cos$ 2; % + 0 car les diagonales d'un losange sont perpendiculaires
= 5 × 10 × cos 0 = 50
Exercice 125 p 207
.
=
.$
+
%=
+
.
= 6 + 0 = 36
Exercice 126 p 207
On note 2 le centre de l’hexagone.
.
=
.$ 2 +2 % =
Exercice 127 p 207
On note le milieu de
. Comme
dans le triangle
.
.
=
.$ + % =
. +
Exercice 128 p 207
Comme / = 30° et que
a / = 120°. De plus,
=
C
1
. 2 = 4 × 4 cos ! # + 4 × 4 cos 0 = 16 × + 16 = 24
3
2
. 2+
est isocèle en ,
.
est la médiane, médiatrice et hauteur issue de
= 8 × 4 cos 0 + 0 = 32
est isocèle en , on a / = 30° et avec la somme des angles dans un triangle, on
.
.
=
1
× cos / = 8 × 8 × cos 120° = 64 × 7− 8 = −32
2
×
Exercice 129 p 207
Voir exercice 123 : 0
Exercice 130 p 207
Les droites sont perpendiculaires donc
.
= 0
Partie B : Propriétés du produit scalaire
Exercice 8 p 200
1)
et
orthogonaux ⇔ .
= 0 ⇔ −5U + 24 = 0 ⇔ U =
A
=
2) De la même manière : U = −28
3) U − 9 × U + 2 + U − 7 × −4 = 0 ⇔ U + 2U − 9U − 18 − 4U + 28 = 0
⇔ U − 11U + 10 = 0
:V
<V
Δ = −11 − 4 × 10 = 81 donc l’équation a deux solutions : U =
= 10 et U =
=1
Finalement W = X1; 10Y
Exercice 17 p 201
. 3= 0
.
=
.$
+ 3+3 %=
.
+
. 3+
. 3 = −4 + 0 + 4 × 6 cos 0 = −16 + 24 = 8
3.
= 6 × 4 cos C = −24
. 3 = $ 3 + 3 %. 3 = 3 + 3 . 3 = 4 + 0 = 16
.
=− .
= −8
. 3=$
+ 3 + 3 %. 3 =
. 3 + 3 + 3 . 3 = 0 + 4 + 0 = 16
Exercice 64 p 203
. 3=−
>
. 3 = −5 × 5√2 × cos ! A # = −25√2 ×
√
= −25
.
= 0 car
et
sont perpendiculaires
. 3 = 0 car dans un carré les diagonales sont perpendiculaires
C
. 3 = − . 3 = −5 × 5√2 × cos ! # = −25
4
. 3=
× 3 × cos C = −25
5√2 5√2
25
×
× −1 = −
2 . 2 = 2 × 2 × cos C =
2
2
2
5√2
C
25
. 2 = − . 2 = −5 ×
cos ! # = −
2
4
2
Exercice 68 p 203
1)
. =$
=
+
%. $ 3 + 3 % =
. 3+
Z Z
Z
× × cos C + 0 + 0 + [\ cos 0 = [\ −
2 2
4
2)
.
= 0 ⇔ [\ =
.3 +
. 3+
]^
A
Exercice 70 p 203
1)
. _=
.$
+ _% =
+
. _=
+0=
En effet, _ est un diamètre du cercle donc _ est rectangle en .
. _=
. $ + _% =
+0 =
2)
+
=
. _+ . _=$
+ %. _ = 2 . _
Exercice 77 p 204
.3 1)
. *=
. *⇔
. *− . *=0⇔$
− %. * = 0 ⇔
. * = 0
⇔ * appartient à la droite perpendiculaire à
passant par .
2)
. *+ . *=0⇔$
+ %. * = 0 ⇔ 2 . * = 0 ⇔ . * = 0
⇔ * appartient à la perpendiculaire à
passant par avec le milieu de
.
Exercice 96 p 205
1)
.
2)
= √21
3)
.
4)
.
=
=
=
=
×
=$
.$
×
+
% =
+2
.
+
=5 −2
.
+ 4 = 41 − 2 × 10 = 21 donc
+ .
=4 − .
= 16 − 10 = 6
%=
× cos$/ % ⇔ 6 = 4 × √21 × cos / ⇔ cos$/ % =
+
Exercice 107 p 206
On note le milieu de
alors
1
1
=
= a $ + %b = $
2
4
Or .
= H" " + " " − "
= A 5 + 2 × 19 + 7
>
@
× cos$/ % = 5 × 4 cos ! # = 20 × = 10
= 28 donc
+2
−
De la même manière, avec c le milieu de
.
" I=
+
?
A√
⇔ / ≈ 70,9°
%
5 +7 −6
= √28 = 2√7
, on a c =
√ A=
= 19 donc
et avec & le milieu de
, on a & =
√B@