Brevet Blanc n°1

Collège Jules Ferry
Session 2014
Diplôme National du Brevet Blanc n°1
Epreuve de Mathématiques
Durée 2 heures
L’utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99 – 186 du 16 Novembre 1999).
L’usage du dictionnaire n’est pas autorisé.
La présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.
Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche.
Elle sera prise en compte dans la notation.
Exercice 1 (4 points) :
Pour trouver la hauteur d’une éolienne, on a les renseignements suivants.
− Les points O, A et C sont alignés.
− Les points O, B et D sont alignés.
− Les angles ☺
OAB et ☺
ACD sont droits.
− OA = 1,1 m, AC = 20,9 m et AB = 1,5 m.
Le schéma n'est pas représenté en vraie grandeur. Le segment [CD] représente la hauteur de l'éolienne.
1. Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. Calculer la hauteur CD de l'éolienne.
3. Calculer la mesure de l’angle ☺
BOA et donner le résultat au degré près.
Exercice 2 (3 points) :
1. Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2012 et le tiers en 2013.
Quelle fraction de sa propriété lui reste-t-il aujourd'hui ?
2. Quelle est la superficie actuelle de sa propriété sachant qu'elle était au départ de 42 hectares ?
Exercice 3 (4 points) :
Chacune des trois affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifiez précisément chaque réponse.
Affirmation 1 :
Le triangle ci-contre est rectangle.
Affirmation 2 :
Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent 17 faces.
Affirmation 3 :
Dans le triangle ci-contre,☺
LUI mesure 75°
Exercice 4 (5 points) : Le parcours du cross d’un collège est schématisé par la figure ci-dessous :
1. Montrer que la longueur NT est égale à 194 m.
2. Le départ et l’arrivée de chaque course se trouvent au point B.
Calculer la longueur d’un tour de parcours.
3. Les élèves de 3ème doivent effectuer 4 tours de parcours.
Calculer la longueur totale de leur course.
4. Esteban, le vainqueur de la course, a effectué sa course en 10 minutes et 42 secondes.
Calculer sa vitesse moyenne en km/h. (Arrondir au centième près)
Exercice 5 (5 points) : Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en mètre.
On tire un boulet de canon avec un angle de tir de 30° comme l’illustre la
figure suivante :
t secondes après le tir, le boulet se trouve à une hauteur H, et H se
calcule grâce à la formule suivante H = 100 t – 25 t ²
1. Quelle est l’altitude maximale du boulet sachant qu’il est au
plus haut 2 s après le tir ?
2. Factoriser H
3. Au bout de combien de temps le boulet retombe t-il sur par terre (c’est-à-dire H = 0) ?
4. La vitesse initiale du boulet était de v = 200 m/s.
La formule qui permet de calculer la distance en mètre à laquelle le boulet a atterri est :
v²
sin ( 2 ♀
a ) où g ≈ 9,81 ; ♀
a est l’angle de tir et v est la vitesse initiale.
D=
g
Calculer cette distance et donner le résultat au mètre près.
Exercice 6 (5 points) :
1. Aujourd'hui, Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans. Recopier et compléter le tableau suivant :
aujourd’hui
dans 2 ans
dans 10 ans
dans x ans
âge de Pierre
âge de Marc
2. Répondre aux questions :
a) Dans combien d'années la somme des âges de Pierre et de Marc sera égale à 75 ans ?
b) Dans combien d'années l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc ?
Exercice 7 (5 points) : Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, seront pris en
compte dans l'évaluation.
Marc et Sophie se lancent des défis mathématiques. C'est au tour de Marc, il propose le programme de
calcul suivant à sa camarade.
- Choisir un nombre entier positif
- Élever ce nombre au carré
- Ajouter 3 au résultat obtenu
- Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu
- Soustraire 6 au résultat précédent
- Enfin, prendre la moitié du dernier résultat
- Écrire le résultat final
1. Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 3 puis 10
2. Marc prétend être capable de trouver rapidement le nombre de départ en connaissant le résultat
final. Sophie choisit alors au hasard un nombre et applique le programme de calcul. Elle annonce à
Marc le résultat final 81. Celui-ci répond qu'elle avait choisi le nombre 9 au départ. Stupéfaite,
Sophie lui dit : « Tu es un magicien ! ».
a. Vérifier le calcul en commençant avec le nombre 9.
b. Et si le résultat du programme était 25, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ?
3. A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au résultat final ?
Démontrer votre réponse en prenant x comme nombre de départ.
Exercice 8 (5 points)
Yann doit calculer 3,5².
« Pas la peine de prendre la calculatrice », lui dit Charline, tu n’as qu’à multiplier 3 par 4 et rajouter 0,25.
1. Effectuer le calcul proposé par Charline et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5.
2. Proposer une façon simple de calculer 7,5² et donner le résultat.
3. Charline propose la conjecture suivante
Si n est un entier positif alors ( n + 0,5 )² = n ( n + 1 ) + 0,25
Prouver que la conjecture de Charline est vraie (quel que soit le nombre n).
CORRECTION DU BREVET BLANC
Exercice 1 :
1. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même droite (AC).
2. J’utilise le théorème de Thalès :
A ∈ (OC)
OA OB AB
B ∈ (OD)
donc
=
=
OC OD CD
(AB) // (CD)
CD 22
22 × 1,5
Ainsi,
=
d'où CD =
= 30 m
1,5 1,1
1,1
La hauteur CD de l'éolienne est 30 m.
3. Dans le triangle BOA rectangle en A, on a :
BA 1,5
1,5
tan ( ☺
BOA) =
=
donc ☺
BOA = arctan (
) ≈ 54°
OA 1,1
1,1
Exercice 2 :
1 1
3
4
7
5
1. Il a vendu + = +
=
de son terrain, il lui reste donc
4 3 12 12 12
12
5
5
2. de 42 fait
× 42 = 17,5 ha La superficie actuelle de sa propriété est de 17,5 hectares.
12
12
Exercice 3 :
Affirmation 1 : FAUSSE
Dans le triangle CAR, le côté le plus long est [CR].
On a : CR² = 13,1² = 171,61
et
CA² + AR² = 12,1² + 5² = 146,41 + 25 = 171,41
Ainsi, CR² ≠ CA² + AR² Donc, le triangle CAR n'est pas rectangle d'après le théorème de Pythagore.
Affirmation 2 : VRAIE
Un cube a 6 faces. Une pyramide à base carrée a 5 faces. Un pavé droit a 6 faces.
Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent 6 + 5 + 6 = 17 faces.
Affirmation 3 : VRAIE
Dans le triangle LUI est isocèle en I on a : ☺
LUI = ( 180 – 30 ) : 2= 75°
Exercice 4 :
a) OUYB est un rectangle car il a 3 angles droite, donc OB = UY = 155 m et OU = BY = 90 m.
Ainsi, UN = ON – OU = 234 – 90 = 144 m et
UT = UY – TY = 155 – 25 = 130 m
Dans le triangle UNT rectangle en U, on applique le théorème de Pythagore :
TN² = TU² + UN² = 130² + 144² = 37 636 donc TN = 37 636 = 194 m
b) La longueur d'un tour de parcours est de 90 + 25 + 194 + 234 + 155 = 698 m.
c) La longueur totale de leur course est 4 × 698 = 2792 m.
d = 2792 m = 2,792 km
et t =10 min 42 s = 642 s ≈ 0,178 h
d 2,792
v= ≈
≈ 15,69 km/h
Sa vitesse moyenne est environ 15,69 km/h.
t 0,178
Exercice 5 : 1°) Pour t = 2, H ( 2 ) = 100 × 2 – 25 × 2² = 200 – 100 = 100
L'altitude maximale du boulet est 100m.
2°) H = 100 t – 25 t² = t ( 100 – 25 t )
3°) On cherche t tel que H = 0, donc : t ( 100 – 25 t ) = 0
Or un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Donc t = 0
ou
100 – 25 t = 0 donc t = 0
ou
t=4
Le boulet retombe par terre au bout de 4 secondes.
v²
200²
4°) Le boulet atterrit à la distance D =
sin ( 2 ♀
a )≈
sin ( 2 × 30 ) ≈ 3 531 m
g
9,81
Exercice 6 :
1.
aujourd'hui
Dans 2 ans
Dans 10 ans
Âge de Pierre
26
28
36
Âge de Marc
11
13
21
2. a) On a : 26 + x + 11 + x = 75 donc 37 + 2 x = 75 donc 2 x = 75 – 37 donc 2 x = 38 donc x = 19
Dans 19 ans, la somme des âges de Pierre et Marc sera égale à 75 ans.
b) On a : 26 + x = 2 × (11 + x) donc 26 + x = 22 + 2 x donc 26 – 22 = 2x – x donc 4 = x
Dans 4 ans, l'âge de Pierre sera le double de celui de Marc.
Dans x ans
26 + x
11 + x
Exercice 7 :
1. Si on choisit 3, on obtient ((3² + 3) × 2 – 6) : 2 = 9
Si on choisit 10, on obtient ((10² + 3) × 2 – 6) : 2 = 100.
2. a. Si on choisit 9, on obtient ((9² + 3) × 2 – 6) : 2 = 81.
b. Le nombre choisit devrait être 5.
Vérification : ((5² + 3) × 2 – 6) : 2 = 25
3. Choisissons x comme nombre de départ. Le programme de calcul consiste à effectuer la formule :
((x² + 3) × 2 – 6) : 2 = (2x² + 6 – 6) : 2 = 2x² : 2 = x²
On peut trouver directement le résultat en calculant le carré du nombre choisi.
Exercice 8 (5 points)
1. 3,5² = 12,25 et 3 × 4 + 0,25 = 12,25
2. 7,5² = 7 × 8 + 0,25 = 56,25.
3. on a : (n + 0,5)² = n² + n + 0,25 et n(n + 1) + 0,25 = n² + n + 0,25
donc (n + 0,5)² = n(n + 1) + 0,25