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6 Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
Après avoir défini les grandeurs et les théorèmes de la mécanique du solide, il nous reste à appliquer ces théories à
des cas pratiques. Le premier exemple que nous avons traité était celui des particules chargées où l’on se ramenait à
la dynamique du point.
Dans le cas de la dynamique du solide, trois cas sont envisageables pour le mouvement du solide :
- un mouvement de translation,
- un mouvement de rotation,
- la combinaison des deux précédents.
Le traitement du mouvement de translation est similaire aux traitements de dynamique du point.
Nous allons donc dans ce chapitre traiter les mouvements de rotation en l’absence de mouvement de translation.
Pour éviter de rentrer dans des traitements mathématiques matriciels qui apportent peu d’éléments supplémentaires à
la compréhension physique des mouvements de rotation, on se restreindra à l’étude de solides ayant une symétrie
sphérique ou cylindrique.
6.1 Moment d’inertie
Lors de mouvement de rotation, la répartition des masses du solide par rapport à l’axe de rotation est une
caractéristique essentielle.
Il est nécessaire de bâtir une grandeur intrinsèque au solide qui prenne en compte cette répartition de masse.
La première idée pourrait être de définir d’une part une grandeur :
masse • distance à l’axe .
Mais la distance à l’axe apparaîtrait de nouveau dans l’expression de la vitesse de chaque point selon la
relation v = R ω , lors du calcul du moment cinétique.
On définit donc la grandeur intrinsèque:
masse • distance à l’axe • distance à l’axe
soit :
I ∆ = M ⋅ R2
∆
6.1.1 Moment d’inertie par rapport à un axe
H
En prenant Hi le projeté orthogonal sur l’axe de rotation • de chaque point Ai affecté d’une
masse mi.
Si la distribution de masse est discrète on le calcule par
I ∆ = ∑ mi ⋅ (H i Ai )2 .
i
Si la distribution de masse est continue on le calcule par
I ∆ = ∫∫∫ ρ m ⋅ HA2 ⋅ d 3τ avec •m la
τ
masse volumique notée ainsi pour ne pas la confondre avec le rayon polaire •.
Expressions par rapport aux axes du repère cartésien
En coordonnées cartésiennes :
Si • est l’axe Ox :
τ
Si • est l’axe Oy :
)
(
)
(
)
I Oy = ∫∫∫ ρ m × x 2 + z 2 × dxdydz
τ
Si • est l’axe Oz :
(
I Ox = ∫∫∫ ρ m × y 2 + z2 × dxdydz
I Oz = ∫∫∫ ρ m × x 2 + y 2 × dxdydz
τ
En coordonnées cylindriques :
Si • est l’axe Oz :
I Oz = ∫∫∫ ρ m × ρ 2 × d 3τ avec d 3τ = dρ ⋅ ρ ⋅ dϕ ⋅ dz soit :
τ
I Oz = ∫∫∫ ρ m ⋅ ρ 3 ⋅ dρ ⋅ dϕ ⋅ dz
τ
Université de Limoges. I.U.T. du limousin. Site G.E.I.I. de Brive
François BINET
- 52 -
Ri
Ai
6.1.2 Moment d’inertie par rapport à un point
Pour des raisons de facilité de calcul, il peut être intéressant de définir le moment d’inertie par rapport à un point
I O = ∫∫∫ ρ m × r 2 × d 3τ
τ
En effet dans le cas d’une symétrie sphérique les axes Ox, Oy, et Oz sont équivalents et on a :
(
)
I O = ∫∫∫ ρ m × x 2 + y 2 + z2 × d 3τ
τ
et donc :
(
)
(
)
(
)
(
)
2I O = ∫∫∫ ρ m × 2 x 2 + 2 y 2 + 2z 2 × d 3τ = ∫∫∫ ρ m × y 2 + z2 × d 3τ ∫∫∫ ρ m × x 2 + z 2 × d 3τ ∫∫∫ ρ m × x 2 + y 2 × d 3τ
τ
τ
τ
τ
2I O = IOx + I Oy + I Oz = 3IO∆ avec I O∆ = IOx = I Oy = I Oz
et donc pour les solides à symétrie sphérique:
I O∆ =
2
I
3 O
6.1.3 Base principale d’inertie
Lors du mouvement de rotation d’un solide, l’axe de rotation ne correspond pas forcément aux axes de symétrie du
solide.
Si le solide possède des axes de symétrie le choix des axes du repère s’en déduit afin de faciliter les calculs.
En effet :
Tout axe de symétrie matérielle est axe principal d’inertie
Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est axe principal d’inertie
On pourra donc très souvent être confronté à définir des moments d’inertie par rapport à un axe de rotation qui ne
correspond pas aux axes de symétrie du solide.
Aussi toujours afin de faciliter les calculs, va-t-on procéder ainsi :
Le solide possède-t-il des
axes de symétrie permettant
de trouver sa base d'inertie ?
NON
On choisi le
repère le plus
adapté
On calcule la
matrice
d'inertie
La base calculée est base
d'inertie
OUI
On défini les axes du repère
en fonction des axes de
symétrie du solide
La base choisie est base
d'inertie
On calcule directement
les moments principaux
d'inertie
On diagonalise la matrice et
on exprime la base propre
afin d'obtenir les moments
principaux d'inertie
François BINET
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Dans ce cours on va se limiter aux solides à symétrie cylindrique et sphérique et donc la base cartésienne sera une
base principale d’inertie et on aura :
I Ox = I Oy = IOz
- pour la symétrie sphérique
- pour la symétrie cylindrique
z
I Ox = I Oy
e∆
Donc on calculera d’abord ces moments d’inertie puis on en
déduira le moment d’inertie par rapport à notre axe •
quelconque par la relation simple :
C
I O∆ = IOx ⋅ α 2 + I Oy ⋅ β 2 + I Oz ⋅ δ 2
α 
 
où l’axe • est de vecteur directeur e∆  β 
δ 
 
∆
y
O
x
∆
∆c
6.1.4 Théorème d’Huyghens-Schteiner
Ce théorème permet de lier le moment d’inertie par rapport à un axe
quelconque avec le moment d’inertie d’un axe parallèle passant par le centre
d’inertie du solide.
En effet on a :
Ai
H
Hc
I ∆ = ∫∫∫ ρ m ⋅ HA2 ⋅ d 3τ
C
τ
2
avec
(
O
HA = HHC + HC A et donc
)
2
2
2
HA = HHC + HC A = HHC + HC A + 2 ⋅ HHC ⋅ HC A
I ∆ = ∫∫∫ ρ m ⋅ HHC2 ⋅ d 3τ + ∫∫∫ ρ m ⋅ HC A 2 ⋅ d 3τ + ∫∫∫ ρ m ⋅ 2 ⋅ HHC ⋅ HC A ⋅ d 3τ
τ
τ
∫∫∫ ρ
τ
d
⋅ HHC ⋅ d τ = M ⋅ HHC = M ⋅ d
2
m
2
3
2
τ
∫∫∫ ρ
m
⋅ HC A 2 ⋅ d 3τ = I ∆C
τ
∫∫∫ ρ
τ
m
⋅ 2 ⋅ HHC ⋅ HC A ⋅ d 3τ = 2 ⋅ HHC ⋅ ∫∫∫ ρ m ⋅ HC A ⋅ d 3τ = 0
τ
I ∆ = I ∆C + M ⋅ d 2
François BINET
- 54 -
6.1.5 Exemples de calculs de moments d’inertie
Moment d’inertie d’un disque plein
z
La symétrie est cylindrique on prend donc :
y
O
I Oz = ∫∫∫ ρ m ⋅ ρ 3 ⋅ dρ ⋅ dϕ ⋅ dz
τ
Le volume d’un disque de rayon R et d’épaisseur h est
V = π ⋅ R 2 ⋅ h donc :
2⋅π
I Oz
x
h
M
=
ρ 3 ⋅ dρ ∫ dϕ ∫ dz
2
∫
π ⋅R ⋅h
0
0
I Oz =
M
1
⋅ R 4 ⋅ 2π ⋅ h
2
π ⋅R ⋅h 4
I Oz =
1
M ⋅ R2
2
Moment d’inertie d’un cône plein régulier
Le cône est homogène de rayon R au sommet et de hauteur h
La masse du cône est
1
3M
M = πR 2 h ⋅ ρ (cf Annexe4 § 5.3.1) donc ρ m =
3
πR 2h
Calculons le moment d’inertie par rapport à l’axe Oz : Iz
On va utiliser le résultat précédent en considérant le cône comme un empilement de disques de rayon r :
I Oz = ∫∫∫ d 3 I Oz
τ
avec
d 3 I Oz =
d 3τ =
z
R
h
1 2
r ρ m d 3τ
2
z
πR
r z
⋅ z 2 dz et = ( cf Annexe4 § 4.3.3)
2
R h
h
2
r
On obtient :
1 2 πR 2 2 3
r ρm 2 ⋅ z d τ
2
h
2
2
3M 1 πR h  z 
I Oz =
⋅ ⋅ 2 ∫  R  ⋅ z 2 dz
2
πR h 2 h 0  h 
3M 1 πR 2 R 2 h 4
I Oz =
⋅ ⋅
⋅
z dz
πR 2 h 2 h 2 h 2 ∫0
3
I Oz = ⋅ M ⋅ R 2
10
I Oz = ∫∫∫
François BINET
O
- 55 -
Moment d’inertie d’une sphère creuse
Comme pour le calcul du centre d’inertie on se ramène à des calculs sur les éléments de surface.
La symétr ie sphérique permet de calculer le moment d’inertie par rapport au point O et d’en déduire le moment
d’inertie par rapport à l’axe selon
I O∆ =
2
I
3 O
I O = ∫∫ ρ S ⋅ R 2 ⋅ d 2 S
S
L’élément de surface est alors
d S = Rdθ ⋅ R sin θdϕ
2
Comme on l’a v u en Annexe4 § 4.2.2 la surface d’une sphère vaut
I O = ∫∫
S
S = 4πR 2 et donc ρ S =
M
4πR 2
M
⋅ R 2 ⋅ Rdθ ⋅ R sin θdϕ
4πR 2
π
2π
M
2
IO =
⋅ R ⋅ ∫ sin θdθ ⋅ ∫ dϕ
4π
0
0
IO =
M
⋅ R 2 ⋅ 4π
4π
IO = M ⋅ R 2
I Oz =
2
MR 2
3
Moment d’inertie d’une sphère pleine
La symétrie sphérique permet de calculer le moment d’inertie par rapport au point O et d’en déduire le moment
d’inertie par rapport à l’axe selon
I O∆ =
2
I
3 O
I O = ∫∫∫ ρm ⋅ r 2 ⋅ d 3τ
τ
L’élément de volume est :
d τ = dr ⋅ rdθ ⋅ r sin θdϕ
3
4
3M
τ = π R 3 et donc ρ m =
3
4πR 3
I O = ρ m ⋅ ∫∫∫ r 2 ⋅ dr ⋅ rdθ ⋅ r sin θdϕ
Comme on l’a vu en cf Annexe4 § 4.3.2 le volume d’une sphère vaut
τ
R
π
2π
3M
4
⋅
r
dr
sin
θ
d
θ
∫0
∫0 dϕ
4πR 3 ∫0
3M R 5
π
IO =
⋅
⋅ [− cosθ ]0 ⋅ 2π
3
4πR 5
3M R5
IO =
⋅ ⋅ 2/ ⋅ 2/ π/
4/ π/ R3 5
3
I O = ⋅ MR 2
5
2
I Oz = ⋅ MR 2
5
IO =
François BINET
- 56 -
6.2 Cas d’un solide à symétrie cylindrique ou sphérique
Dans le cas du solide à symétrie cylindrique ou sphérique les axes du repèr e correspondent avec les axes principaux
d’inertie.
Les relations fondamentales ci-dessous conservent toute leur généralité, mais pour les appliquer dans le cas général
telles vont être présentées ici, il sera nécessaire de recourir à des calculs matriciels de produits d’inertie pour se
placer dans la base principale d’inertie.
6.2.1 Moment cinétique - Moment d’inertie
Soit la rotation de ce cylindre autour de l’axe Oz nommé •
L’expression du moment cinétique :
LO = ∫∫∫ OM ∧ ρ m ⋅ v ⋅ d 3τ
R
Peut s’écrire sachant que :
ρ 
 
OM  0 
 z
  cyl
Et que pour tout point M situé à une distance R de l’axe de rotation on a :
 0 
 
vM / R  Rϕ& 
 0 
  cyl
Le produit vectoriel donne :
 − zRϕ& 


OM ∧ v M / R  0 
 R 2 ϕ& 

 cyl
d’où l’expression du moment cinétique :
LO =
R
(∫∫∫ ρ
m
) (∫∫∫ ρ
⋅ R 2ϕ& ⋅ d 3τ ez −
m
)
⋅ zRϕ& ⋅ d 3τ e ρ
où on peut montrer que le second terme est nul et donc la projection sur l’axe de rotation Oz du moment cinétique
s’écrit :
L∆ = LO ⋅ e z = ∫∫∫ ρ m R 2ϕ& ⋅ d 3τ = ϕ& ⋅ ∫∫∫ ρ m R 2 d 3τ
R
L∆ = I ∆ ⋅ϕ&
6.2.2 Théorème du moment cinétique par rapport à l’axe de rotation
La projection du moment cinétique et du moment des forces par rapport à l’axe de rotation permet d’écrire :
d LO
⋅ e z = ∑ M Fext O ⋅ e z
dt
∑M
Fext
∆
= I ∆ ⋅ϕ&&
François BINET
- 57 -
6.2.3 Expression de l’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
On sait que :
ξ c = ∫∫∫ 1 2 ⋅ ρ ⋅ v 2 ⋅ d 3τ
τ
Dans le cas d’un solide en rotation ayant un point fixe l’expression de l’énergie se simplifie.
On a vu en 2.2.2 que l’expression de la vitesse est dans ce cas :
Ce qui permet d’écrire :
v = ω ∧ OM
(
)
ξ c = ∫∫∫ 1 2 ⋅ ρ ⋅ v ⋅ v ⋅ d 3τ = ∫∫∫ 12 ⋅ ρ ⋅ v ⋅ w ∧ OM ⋅ d 3τ
τ
τ
(
)
ξ c = ∫∫∫ 1 2 ⋅ ρ ⋅ w ⋅ OM ∧ v ⋅ d 3τ
τ
ξc =
(
)

1
 ∫∫∫ ⋅ ρ ⋅ OM ∧ v ⋅ d 3τ  ⋅ w

2  τ

ξc =
1
L ⋅w
2 OR
Dans le cas de la rotation autour de l’axe de direction fixe passant par le point O on a :
L∆ = LO ⋅ e z = I ∆ ⋅ ϕ& et
R
w = ϕ& ⋅ e z
ce qui permet d’écrire :
ξc =
1
I ⋅ ϕ& 2
2 ∆
6.2.2 Analogie avec le mouvement de translation
On peut faire apparaître l’analogie grâce au tableau suivant :
Grandeur
Translation selon l’axe Ox
Rotation autour de l’axe •
1
M ⋅ v2
2
∑ Fext = M ⋅ x&& ⋅ e x
1
I ⋅ ϕ& 2
2 ∆
∑ M Fext ∆ = I ∆ ⋅ϕ&&
Energie cinétique
Théorème
fondamental
Torseur cinétique
ξc =
p = m ⋅ x&
ξc =
L∆ = I ∆ ⋅ϕ&
Ceci nous permet de mieux nous rendre compte de l’importance de moments d’inertie dans la compréhension physique
des mouvements de rotation.
François BINET
- 58 -
TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE DU SOLIDE
Etude d’un satellite géostationnaire
Exercice 1 : Etude d’un panneau solaire
On souhaite réaliser l’asservissement de position d’un ensemble de panneau solaire dont la disposition est la suivante :
z
y
2l
x
L’espacement entre chaque panneau solaire est de e=2cm. Chaque panneau a pour dimension 2l=50cm
et 2L=1m et une masse m.
2L
1° Calculer les moments d’inertie par rapport aux axes horizontaux et verticaux d’un panneau solaire.
2° En utilisant le théorème d’Huygens-Schteiner en déduire le moment d’inertie de l’ensemble selon
l’axe Oy et l’axe Oz.
3° La vitesse de rotation du panneau vaut ω = ω y e y + ω z e z avec ω y = 4,2 ⋅10−2 rad ⋅ s −1 et ω z = 6 rad ⋅ s −1 .
Exprimer puis calculer les moment cinétiques selon les axes Oy et Oz de l’ensemble des panneaux.
4° Calculer le couple moteur nécessaire à la mise en rotation de l’ensemble en 24 h. Les frottements sont négligés.
Exercice 2 : Etude du satellite
Le satellite de masse M=3t est assimilable à une sphère pleine de 12m de
diamètre.
1° Exprimer puis calculer le moment d’inertie de la sphère pleine.
r
2° Calculer l’énergie cinétique de ce satellite géostationnaire d’altitude
r=40 000 km qui tourne sur lui-même en une minute.
Exercice 3 : Etude d’un pied de robot
Le pied d’un robot est constitué d’une demi-boule articulée.
z
O
β
G
α
C
figure 1
figure 2
1° Déterminer la position du centre d’inertie de la demi-boule de rayon r
2° Déduire très simplement de la partie 2, le moment d’inertie d’une demi-boule selon l’axe Oz
La demi boule est en équilibre sur le plan incliné.
3° Faire un bilan des forces.
4° Exprimer les conditions d’équilibre.
5° En déduire la relation liant α et β.
6° En déduire la pente maximale admissible.
François BINET
- 59 -
Exercice corrigé n°4 : Le pendule de torsion
∆
Le pendule est soumis à un couple de torsion de moment de rappel M = − C ⋅ ϕ où C est la constante de torsion.
1°- En appliquant le théorème du moment cinétique, donner l’équation différentielle du mouvement.
2°- En déduire la pulsation du mouvement oscillatoire
Exercice corrigé n°5 : Le pendule pesant
∆
ϕ
d
C
P
1°- Donner l’expression du moment du poids.
2°- Donner l’expression du moment d’inertie de ce disque de masse m tournant autour d’un axe • distant d’une
distance d du centre de masse C.
3°- En déduire l’équation différentielle du mouvement :
4°- Dans le cas de faibles oscillations, on peut approximer
déduire la période des oscillations.
sin ϕ par ϕ . Simplifier l’équation différentielle et en
Exercice corrigé n°6 : Le pendule simple
∆
ϕ
∆
d
d
z
1°) Exprimer le moment d’inertie d’une sphère pleine de masse m et de rayon r, autour d’un axe quelconque passant
par le centre de la sphère.
2°) En utilisant le théorème d’Huyghens-Schteiner donner l’expression du moment d’inertie de la sphère suspendue à
une tige de masse négligeable et de longueur d.
3°) Faire un bilan des forces s’appliquant à la sphère à l’équilibre.
4°) Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur pour un angle quelconque • (on prendra l’énergie potentielle nulle
pour • =0).
6°) En appliquant le théorème de l’énergie mécanique montrer que l’on a l’équation différentielle :
ϕ& 2 +
2 gd
(1 − cos ϕ ) = ξM
2 2
2
d + r
5
François BINET
- 60 -
---------------------------------------------------------- CORRECTIONS : ----------------------------------------------------------
Exercice corrigé n°4 : Le pendule de torsion
∆
L’application du théorème du moment cinétique au pendule soumis à un couple de torsion de moment de rappel
M = − C ⋅ ϕ où C est la constante de torsion donne l’équation différentielle:
I ∆ ⋅ϕ&& + C ⋅ϕ = 0
traduisant un mouvement oscillatoire de pulsation
ω=
C
I∆
Exercice corrigé n°5 : Le pendule pesant
∆
ϕ
d
C
P
L’application du théorème du moment cinétique à ce disque de masse m tournant autour d’un axe • distant d’une
distance d du centre de masse C donne avec le moment du poids
M = − mgd ⋅ sin ϕ
l’équation différentielle :
I ∆ ϕ&& + mgd ⋅ sin ϕ = 0
qui dans le cadre des faibles oscillations peut s’approximer par :
I ∆ ϕ&& + mgd ⋅ϕ = 0
traduisant un mouvement oscillatoire de pulsation
avec
I∆ =
ω=
mgd
2π
I∆
et de période T =
= 2π
I∆
ω
mgd
1
m ⋅ R 2 + md 2
2
François BINET
- 61 -
Exercice corrigé n°6 : Le pendule simple
Le pendule constitué d’une sphère de rayon r et de masse m suspendue à une tige de masse négligeable devant la
sphère.
On a :
2 

I∆ = m ⋅ d 2 + r 2 
5 

∆
T
P
L’énergie potentielle de pesanteur est prise égale à 0 pour z=0, on a donc avec
z = d ⋅ cosϕ l’expression :
ξ p = mg (d − d ⋅ cosϕ )
L’énergie cinétique vaut :
ξc =
1
I ∆ ⋅ ϕ& 2
2
∆ξ M = 0 soit ξ M = cst = a et donc l’équation différentielle :
1  2 2 2 2
m ⋅  d + r  ⋅ϕ& + mgd (1 − cos ϕ ) = a
2 
5 
Le théorème de l’énergie mécanique donne :
ϕ& 2 +
C’est une équation avec
type :
ω 02 =
2gd
(1 − cos ϕ ) = a
2 2
2
d + r
5
gd
du type : ϕ& 2 + 2ω 02 (1 − cos ϕ ) = a qui en dérivant donne une équation du
2
d 2 + r2
5
ϕ&& + ω 02 ⋅ sin ϕ = 0 comme le cas précédent du pendule pesant.
Etudions un peu plus en détail le mouvement du pendule à l’aide du portrait de phase qui est la représentation en
abscisse du degré de liberté (ici ϕ ) et de sa dérivée en ordonnée (ici ϕ& ). D’après l’équation différentielle ci-dessus
on a
y =± a−
2 gd
(1− cosϕ )
2 2
2
d + r
5
ϕ&
0
Point
d'équilibre
stable
ϕ
π
Energie
mécanique
supérieure
à 2mgd
Point
d'équilibre
instable
François BINET
- 62 -
Annexes
François BINET
- 63 -
Annexe 1. Les intégrales
1.1 Définitions
Primitive
Soit f une fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction réelle ou
complexe définie dans I telle que F’=f
Intégrale
Soient (x0 , x1, x2,…., xn) une subdivision de [a,b] telle que la fonction f ait une valeur constante ci dans chaque
intervalle ]xi,xi+1 [, on appelle intégrale de f le nombre réel :
c0 (x1 -x0)+c1(x2 -x1 )+…..+cn(xn-xn-1)
Ce nombre se note :
b
∫ f ( x )dx = [F ( x )]
b
a
= F (b) − F (a)
a
1.2 Propriétés
b
∫
Intégrales équivalentes :
a
b
b
a
a
f ( x )dx = ∫ f (u) du = ∫ f (t )dt
b
Multiplication par une constante :
b
∫ λf ( x )dx = λ ∫ f ( x )dx
a
a
b
b
a
a
∫ ( f ( x) + g (x ) )dx = ∫ f (x )dx + ∫ g ( x )dx
Intégrale d’une somme :
a
Valeur absolue d’une intégrale :
c
Intervalles contigus :
b
b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≤ ∫
b
f ( x) dx
c
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx
a
Opposée de l’intégrale :
a
b
b
a
a
b
∫ f ( x )dx = −∫ f (x )dx
b
Valeur moyenne :
1
f ( x )dx
b − a ∫a
1.3 Méthodes d’intégration
du
d 2u
&
&
&
En notant u =
et u =
les dérivées simples et doubles par rapport au temps t.
dt
dt 2
Intégration par parties :
∫ u& ⋅ v ⋅ dt = u ⋅ v − ∫ u ⋅ v& ⋅ dt
Changement de variable
x = ϕ (t ) :
b
∫
a
β
f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t )) ⋅ϕ& (t ) ⋅ dt avec a = ϕ (α ) et b = ϕ (β )
α
François BINET
- 64 -
Annexe 2 Les différentielles
Forme différentielle :
δW = A1 dl1 + A2 dl2 + A3 dl3
Différentielle exacte :
Si A1 , A2 et A3 sont les dérivées d’une même fonction A telles que :
A1 =
∂A
∂A
∂A
, A2 =
et A3 =
alors c’est une différentielle exacte : dW = A1 dl1 + A2 dl2 + A3 dl3
dl1
dl2
dl 3
La distinction entre différentielle et forme différentielle est importante car on ne peut calculer la valeur de W entre
deux points x1 et x2 qu’avec une différentielle :
x2
W = ∫ dW
x1
Dans le cas d’une forme différentielle, ce calcul n’est pas directement possible, W dépend du chemin suivi entre les
deux points x1 et x2.
François BINET
- 65 -
Annexe 3 Equations différentielles
3.1 Solutions types
dy
+ by = 0
dt
d 2y
− k2y = 0
2
dt
a
2
d y
+ k2y = 0
2
dt
−
b
t
a
de solution
y = Ce
de solution
y = Ae kt + Be −kt
y = Ae ikt + Be ikt
de solutions ou y = A cos kt + B sin kt
y = A cos(kt − ϕ )


∆ > 0 : y = Ae r1t + Be r2t
2
d y
dy

+ p + qy = 0 en posant r 2 + pr + q = 0 de solutions 
∆ = 0 : y = e r1 t ( At + B )
2
dt
dt

r1 = α + jβ r2 = α − jβ
∆ < 0 :
y = eα t ( A cos β t + B sin β t )

3.2 Méthode de résolution
Dans le cas d’une équation différentielle inhomogène (avec un second membre) on procède en deux temps :
• On prend une solution du type du second membre avec des constantes à déterminer et on remplace dans l’équation
différentielle inhomogène pour obtenir la valeur des constantes.
• On cherche la solution de l’équation homogène.
Puis on additionne les deux solutions.
Exemple : Soit à résoudre
•
y = C ′ soit en remplaçant KC ′ = C et donc y
•
dy
+ Ky = 0 de solution y = Ae − Kt
dt
d’où la solution générale :
y = Ae −Kt +
=
dy
+ Ky = C où C est une constante
dt
C
K
C
K
François BINET
- 66 -
Annexe 4 Calculs de surfaces et de volumes
4.1 Formulaire
4.1.1 Coefficients
Coordonnées
cartésiennes
Coordonnées
cylindriques
Coordonnées
sphér iques
d1
d2
d3
dx
dy
dz
dρ
dϕ
dz
dr
dθ
dϕ
Coordonnées
cartésiennes
Coordonnées
cylindriques
Coordonnées
sphériques
Coordonnées
cartésiennes
Coordonnées
cylindriques
Coordonnées
sphériques
Déplacement élémentaire
e1
e2
e3
ex
ey
ez
eρ
eϕ
ez
er
eθ
eϕ
c1
c2
c3
1
1
1
1
ρ
1
1
r
r.sinθ
d OM = c1d1 ⋅ e1 + c2 d2 ⋅ e2 + c3 d 3 ⋅ e3
4.1.2 Calcul de surfaces
r
er
r
ez
dS3
r
ez
dz
dS1
r
ex
dx
dy
r
ey
Cartésiennes
Cartésienne
Cylindrique
Sphérique
général
dr
dS3
r
eϕ
dS2
dS3
dS1
dz
dρ
dS 2
ρ.d ϕ
r.dθ
r
eϕ
r.sinθ.dϕ
r
eθ
r
eρ
dS2
Sphériques
Cylindriques
dS1
dy.dz
dz.ρdϕ
r.dθ.r.sinθ.dϕ
c2 .d2 .c3 .d 3
dS1
dS2
dx.dz
dρ.dz
dr.r.sinθ.dϕ
c1 .d1 .c3 .d 3
dS3
dx.dy
dρ.ρdϕ
r.dθ.dr
c1 .d1 .c2 .d 2
4.1.3 Calcul de volumes
Comme pour le calcul de surface il est nécessaire pour ce calcul d’exprimer l’élément de volume qui permet de
trouver les bornes d’intégration les plus simples.
dV = c1 d1 ⋅ c 2 d2 ⋅ c3 d3
François BINET
- 67 -
4.2 Exemples de calculs de surfaces
4.2.1 Surface d’un cercle
Les repères cylindre ou sphérique peuvent être utilisés dans ce cas.
O
r
ez
ρ
ϕ
r
M eρ
2
d S
Si l’on choisi la notation cylindrique on a une surface dans le plan
r
eϕ
(M , eρ , eϕ ) ,
et donc un élément de surface d 2 S = ρ dρ ⋅ dϕ
avec ρ variant de 0 à R et ϕ de 0 à 2π :
2π
R
R2
S = ∫∫ d S = ∫ ρ ⋅ dρ × ∫ dϕ =
× 2π = πR 2
2
0
0
2
4.2.2 Surface d’une sphère
Le repère sphérique doit être utilisé dans ce cas.
Le rayon de la sphère est constant et égal à R.
Chaque élément de surface est dans le plan défini par (M , eθ , eϕ ) et vaut :
Il est important de noter que la surface complète de la sphère correspond à:
θ variant de 0 à π
et
ϕ variant de 0 à 2π
π
d 2 S = rdθ ⋅ r sin θdϕ
2π
S = ∫∫ d 2 S = R 2 ∫ sin θ ⋅ dθ × ∫ dϕ
0
0
S = R ⋅ [− cos θ ] ⋅ 2π = R ⋅ (1 + 1) ⋅ 2π = 4π R 2
2
π
0
2
r
er
r
eϕ
M
θ
r
r
eθ
d 2S
O
ϕ
François BINET
- 68 -
4.3 Exemples de calculs de volumes
4.3.1 Volume d’un cylindre
Le repère cylindrique s’impose naturellement.
Pour un cylindre de rayon R et de hauteur h on a un élément de volume
Et un volume
R
2π
h
0
0
0
τ = ∫∫∫ d 3τ = ∫ ρ dρ ⋅ ∫ dϕ ⋅ ∫ dz =
d 3τ = ρ dρ ⋅ dϕ ⋅ dz
R2
⋅ 2π ⋅ h = πR 2 h
2
4.3.2 Volume d’une sphère
Le repère sphérique s’impose naturellement.
Le rayon de la sphère est constant et égal à R.
L’élément de volume est
Et un volume
d 3τ = dr ⋅ rdθ ⋅ r sin θdϕ
R
π
2π
0
0
0
τ = ∫∫∫ d 3τ = ∫ r 2 dr ⋅ ∫ sin θdθ ⋅ ∫ dϕ =
R3
4
⋅ 2 ⋅ 2π = πR 3
3
3
4.3.3 Volume d’un cône
Le repère cylindrique s’impose.
Pour un cône régulier de rayon R au sommet et de hauteur h.
d 3τ = πr 2 ⋅ dz comme étant une superposition de disques de hauteur
r z
infinitésimale dz. En remarquant que r est fonction de z, on l’exprime grâce à la relation de Thales
= et ainsi
R h
πR 2
d 3τ = 2 ⋅ z2 dz
h
On exprime l’élément de volume par
Et un volume
πR 2
1
τ = ∫∫∫ d τ = 2 ⋅ ∫ z 2 dz = π R 2 h
h 0
3
h
3
R
h
z
r
dz
O
François BINET
- 69 -
Annexe 5 Calculs de centres d’inertie
5.1 Définition du centre d’inertie
Le centre d’inertie C (ou centre de masse) est le barycentre des points du système pondéré par leur masse.
Il est nécessaire de le connaître pour localiser le point d’application du poids d’un corps et pour les mouvements de
translation.
1
mi OAi avec M la masse totale du système.
M∑
i
1
Si la distribution de masse est continue on le calcule par OC =
ρ ⋅ OA ⋅ d 3τ avec • la masse volumique.
∫∫∫
M τ
Si la distribution de masse est discrète on le calcule par
OC =
∫∫∫ ρ ⋅ OA ⋅ d τ
3
On peut aussi écrire
M = ∫∫∫ ρ ⋅ d 3τ et donc OC =
τ
τ
∫∫∫ ρ ⋅ d τ
3
τ
5.2 Propriétés du centre d’inertie
Associativité : Deux systèmes de centres et de masses respectifs C1 ,C2 ,m1,m2 ont pour centre de masse :
OC =
(
1
m OC + m2 OC2
m1 + m2 1 1
)
Symétrie matérielle : Si un système possède un élément de symétrie matérielle qui vérifie pour tout point A :
ρ ( A) = ρ (s( A) )
Alors l’élément de symétrie contient le centre de masse.
5.3 Calculs de centres d’inertie
5.3.1 Centre d’inertie d’un cône plein régulier
Le cône est homogène de rayon R au sommet et de hauteur h
Le volume du cône est
1
1
τ = π R 2 h (cf 1.4.4.3.3) et donc sa masse M = πR 2 h ⋅ ρ
3
3
La symétrie matérielle indique que le centre d’inertie appartient à l’axe Oz. Il suffit donc de calculer la coordonnée zc
du centre d’inertie selon :
1
zc =
M
On obtient :
zc =
πR 2 2
∫∫∫τ ρ ⋅ z ⋅ d τ avec d τ = h 2 ⋅ z dz (cf 1.4.4.3.3)
3
1
3
h
∫ ρ ⋅ z⋅
πR 2 2
⋅ z dz
h2
1 2
πR h ⋅ ρ 0
3
πR 2
⋅ρ h
2
3 h4
zc = h
⋅ ∫ z 3 dz = 3 ⋅
1 2
h 4
πR h ⋅ ρ 0
3
3
zc = ⋅ h
z
4
R
h
zc C
O
François BINET
- 70 -
5.3.2 Centre d’inertie d’une demi sphère pleine
Le volume d’un demi sphère est
2
2
τ = πR 3 (cf 1.4.4.3.2) et donc sa masse M = π R 3 ⋅ ρ
3
3
La symétrie matérielle indique que le centre d’inertie appartient à l’axe Oz. Il suffit donc de calculer la coordonnée zc
zc =
du centre d’inertie selon :
avec
1
M
∫∫∫ ρ ⋅ z ⋅ d τ
3
τ
d τ = dr ⋅ rdθ ⋅ r sin θdϕ (cf 1.4.4.3.2) et z = r ⋅ cos θ
3
π
2
π
2π
1
1
R  sin 2 θ  2
zc =
⋅ ρ ⋅ ∫ r3 dr ⋅ ∫ sin θ cosθ dθ ⋅ ∫ dϕ =
⋅
⋅
 ⋅ 2π
2 3
2
4
2
3

0
0
0
0
πR ⋅ ρ
πR
3
3
3
zc = R
8
R
4
5.3.3 Centre d’inertie d’une demi sphère creuse
La symétrie matérielle indique que le centre d’inertie appartient à l’axe Oz. Il suffit donc de calculer la coordonnée z c
Pour la demi sphère creuse le rayon est constant et égal à R, on peut faire le calcul sur des éléments de surface, et
définir une densité massique de surface •S :
1
M
zc =
L’élément de surface est alors
∫∫ ρ
⋅ z ⋅ d 2 S avec M = ∫∫ ρ S ⋅ d 2 S
S
S
S
d S = Rdθ ⋅ R sin θdϕ et on a z = R ⋅ cosθ :
2
zc =
∫∫ ρ
S
⋅z⋅d S
2
S
∫∫ ρ
=
⋅d S
2
S
S
∫∫ z ⋅ d
π
2
2
S
S
∫∫ d
2
S
2π
R ∫ sin θ cosθdθ ∫ dϕ
3
=
0
R
S
2
0
π
2
2π
0
0
∫ sin θdθ ∫ dϕ
π
2
 sin 2 θ 
R3 ⋅ 
⋅ 2π
2  0

zc =
π
2
R ⋅ [− cos θ ]02 ⋅ 2π
R
zc =
2
5.3.4 Centre d’inertie d’un disque percé
Un disque de rayon R1 est percé à l’abscisse x d’un trou circulaire de rayon R2
L’axe Ox est axe de symétrie on calcule donc uniquement l’abscisse du centre de masse.
La masse du disque non percé vaut : m1
= ρπR12
= ρπR 22
La masse du disque percé vaut : m = ρπ R12 − R22
La masse évidée vaut : m2
(
x
)
L’abscisse se calcule en utilisant la propriété d’associativité rappelée en 1.4.5.2
On notera que l’abscisse du cercle non percé est nulle et que la masse évidée est considérée comme négative dans le
calcul.
1
x c = (m1 ⋅ 0 − m2 ⋅ x )
m
R22
xc = − 2
x
R1 − R22
xc =
R22
x
R22 − R12
François BINET
- 71 -
5.3.5 Centre d’inertie d’un solide simple
Un solide est composé de deux parallélépipèdes rectangles de cotés a, 3a et e pour le premier et a, 2a et e pour le
second.
z
Les coordonnées respectives des deux centres d’inertie des deux solides sont :
x c = − e
2
 1
a
 yc1 = 2
 z = 3a
 c1
2
et
x c = − e
2
 2
 yc2 = 2a
 z =a
 c 2
2
3a
a
Les masses respectives :
m1 = ρ ⋅ 3a 2 e et
a
m2 = ρ ⋅ 2a 2e et la masse totale m = ρ ⋅ 5a 2 e
d’où les coordonnées du centre d’inertie :

− 3e − 2e
2
2
x c =
5

3a + 6a

 yc = 2
5

9
a
2a

2+ 2
z
=
 c
5

e
3a
y
x
 xc = − e
2

3
a
y
=
 c
2
z = 11a
 c
10
François BINET
- 72 -
Annexe.6 Les vecteurs
Vecteur libre : Vecteur défini uniquement par sa direction son sens et sa valeur, son point d’application pouvant être
quelconque dans l’espace.
Vecteur glissant : Vecteur défini uniquement par sa droite d’action son sens et sa valeur, son point d’application
pouvant être quelconque sur la droite d’action.
Vecteur lié : Vecteur défini par sa droite d’action son sens, sa valeur et son point d’application.
Moment en un point d’un vecteur lié : Le moment
M O en O d’un vecteur V de point d’application A vaut :
M O = OA ∧ V
Torseur : C’est l’ensemble constitué du moment et de son vecteur
Moment par rapport à un axe d’un vecteur lié : Le moment
unitaire
e∆ d’un vecteur V de point d’application A vaut :
(
[V , M ].
O
M ∆ par rapport à l’axe • passant par O de vecteur
M ∆ = e∆ ⋅ OA ∧ V
)
Somme géométrique de vecteurs : La somme géométrique de vecteurs libres, glissant ou lié est un vecteur libre.
Résultante de vecteurs : C’est un cas particulier de somme géométrique de vecteurs glissant ou lié. Elle n’existe que
si les vecteurs sont concourants au même point ou parallèles et de même sens. Si les vecteurs sont liés, la résultante
est un vecteur lié, ainsi par exemple la résultante des vecteurs poids élémentaires est une vecteur poids dont le point
d’application est le centre de gravité du solide considéré.
Produit scalaire : C’est le nombre réel
u ⋅ v ⋅ cos(u , v ) qui est une grandeur intrinsèque (indépendante de la base
 x
 
de calcul). Soient les vecteurs u  y  et
z
 
 x′ 
 
v y ′ on a u ⋅ v = xx′ + yy ′ + zz′
 z′ 
 
Produit vectoriel : C’est un vecteur libre
(
)
w dont le sens est tel qu’il forme un trièdre u , v, w positif, dont la
direction est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs u, v , et de norme
u ∧ v = u ⋅ v ⋅ sin(u , v) .
Le sens du vecteur dépend de l’orientation de l’espace choisi et défini par la règle de la main droite.
 x
 
On a aussi avec u  y  et
z
 
 x′ 
 yz′ − zy′ 
 


v y ′ : u ∧ v = w zx ′ − xz′ 
 z′ 
 xy ′ − yx ′ 
 


François BINET
- 73 -
Annexe 7 Les opérateurs
Ils permettent d’exprimer localement des relations intégrales.
7.1 Le gradient
Cet opérateur vectoriel agit sur un scalaire. Il est le vecteur normal à la surface de niveau (surface où V est constant)
dirigé dans le sens des V croissants.
gradV =
En utilisant les notations vues en A.4.4.1 :
grad V =
dV
e
dr r
1 ∂V
1 ∂V
1 ∂V
⋅
⋅ e1 + ⋅
⋅ e2 + ⋅
⋅e
c1 d1
c2 d 2
c3 d3 3
 ∂V

 1 dr
∂V
Soit par exemple en coordonnées sphériques : 
 r dθ
 1 ∂V
 r sin θ dϕ
7.2 La divergence
Cet opérateur scalaire agit sur un vecteur. Cette valeur correspond au flux
volume à travers une surface fermée.
φE du vecteur E sortant d’une unité de
φE
τ →0 τ
div E = lim
div E =
 ∂ (c c E ) ∂(c c E ) ∂(c c E )
1
⋅ 2 3 1 + 1 3 2 + 1 2 3 
c1c2 c3  d1
d2
d3 
Soit par exemple en coordonnées cartésiennes :
div E =
1 ∂ (ρ E ρ ) 1 ∂Eϕ ∂Ez
+
+
ρ dρ
ρ dϕ
dz
7.3 Le rotationnel
Cet opérateur vectoriel agit sur un vecteur. Ce vecteur est parallèle à la normale du plan pour lequel la circulation
élémentaire d E est maximale.
rot E =
e1
c 2c 3
∂
rot E =
d1
c1E1
e2
c1c3
∂
d2
c 2 E2
e3
c1 c2
∂
où
d3
c3 E3
dE
e
dS n
est la notation d’un déterminant.
François BINET
- 74 -
 ∂Ez ∂E y
 ∂y − ∂z

 ∂E x ∂E z
Soit par exemple en coordonnées cartésiennes : rot E = 
−
∂x
 ∂z
∂
E
∂
 y − Ex
 ∂x
∂y
7.4 Relations entre opérateurs
rot grad V = 0
div rot E = 0
7.5 Relations intégrales
Soient • un volume limité par une surface S et une surface S limitée par une courbe fermée C.
Formule de Stokes : Circulation de E sur la courbe fermée C
∫ E ⋅ dr = ∫∫ rot E ⋅ n ⋅ d
C
∫∫ E ⋅ n ⋅ d
S
Formule du rotationnel :
∫∫ n ∧ E ⋅ d
S
Formule du gradient :
∫∫ V ⋅ n ⋅ d
S
Formule de Kelvin :
2
S
S
Formule d’Ostrogradsky : Flux de E à travers une surface fermée S
2
2
2
S = ∫∫∫ div E ⋅ d 3τ
τ
S = ∫∫∫ rot E ⋅ d τ
3
τ
S = ∫∫∫ gradV ⋅ d 3τ
τ
∫ V ⋅ d r = ∫∫ gradV ⋅ n ⋅ d S
2
C
S
François BINET
- 75 -
Formulaire
CARTESIENNES
Déplacement élémentaire :
r
ez
r
r
r
dOM = dx ⋅ e x + dy ⋅ e y + dz ⋅ e z
dy
Volume élémentaire :
r
ez
z
dV = dx ⋅ dy ⋅ dz
d OM
dz
 x
 x& 
 &x& 
 
 
 
OM  y  vM / R  y&  aM / R  &y& 
z
 z& 
 &z& 
  cart
  cart
  cart
r
ex
dy
dx
r
ey
M
r
ez
d OM = dρ ⋅ eρ + ρ dϕ ⋅ eϕ + dz ⋅ e z
r
ez
r
ey
r O
ex
dOM
dV = dρ ⋅ ρ ⋅ dϕ ⋅ dz
dz
r
ex
dρ
ρ .dϕ
r
ez
r
eϕ
dϕ
r
eρ
r
eϕ
r
ex
M
r
ey
dr
r.dθ
d OM
r
eϕ
r.sinθ.dϕ
r.dθ
dr
r.sinθ.d ϕ
r
er
r M
eθ
r
r
eϕ
r.dθ
r
eθ
r
er
r
e
r ϕ
eθ
dθ
θ
O
ϕ
dϕ
ρ=r.sinθ
r.sinθ.dϕ
3
τ
MOMENT D’INERTIE :
I ∆ = ∫∫∫ ρ m ⋅ HA2 ⋅ d 3τ et pour les solides à symétrie sphérique: I O∆ =
τ
2
I
3 O
I ∆ = I ∆C + M ⋅ d 2
THEOREME FONDAMENTAL :
d LO
= ∑ M Fext O
dt
dp
= F
dt ∑ ext
(
1
p ⋅ v c + Lc ⋅ ω S R
2
r
eρ
P
∫∫∫ ρ ⋅ OA ⋅ d τ
ξc =
y
r r
e z eϕ
ρ
ϕ
CENTRE D’INERTIE :
dξ p = −δW
ρ.dϕ
dρ erρ
r
er
dV = dr ⋅ rdθ ⋅ r sin θdϕ
r 
 r& 
 


OM  0 
vM / R  rθ& 
 0
 rϕ& sin θ 
  spher

 spher

&r& − rθ& 2 − rϕ& 2 sin 2 θ



2
aM / R  2r&θ& + rθ&& − rϕ& sin θ cos θ

 2r&ϕ& sin θ + 2 rθ&ϕ& cos θ + rϕ&& sin θ 

 spher
ENERGIES :
M'
dz
z
O
x
d [P]
= [F/ O ,ext ]
dt
r
eϕ
r
r
ez
d OM = dr ⋅ e r + rdθ ⋅ eθ + r sin θdϕ ⋅ eϕ
1
M
y
r
ey
P
r
ez
z
SPHERIQUES
OC =
r
ez
r
eρ
 ρ&& − ρϕ& 2 
ρ 
 ρ& 


 
 
OM  0  vM / R  ρϕ&  aM / R  2 ρ& ϕ& + ρϕ&& 


 z
 z& 
&z&
  cyl
  cyl

 cyl
)
ξc =
dx
r
ey
r
ex
x
CYLINDRIQUES
dz
1
1
I ∆ ⋅ ϕ& 2 ξC / R = ξC / RC + ⋅ M ⋅ vC2 / R
2
2
François BINET
- 76 -

RS - Université de Limoges

Transcription

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