F O R M U L A I R E Inspection des lots : plans d

F O R M U L A I R E
Inspection des lots : plans d'échantillonnage
N : nombre d’unités(pièces, composants) dans le lot = taille du lot
n : nombre d’unités dans l’échantillon = taille de l'échantillon
D : nombre d’unités non conformes dans le lot
p = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lot = qualité du lot ( 0 <= p <= 1 )
X : nombre d’unités non conformes dans l’échantillon
X / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillon
c : nombre d’acceptation (plan simple) - il définit la règle de décision pour accepter/rejeter un lot
(c est noté Ac pour "Accept" dans le plan standard MIL STD 105E )
si X <= c le lot est accepté
si X > c le lot est rejeté
Pa ( p ) : probabilité d’accepter un lot de qualité p
Courbe caractéristique d'un plan : graphique de Pa ( p ) en fonction de p
AQL ("Acceptable Quality Level") : limite supérieure de « bonne » qualité
proportion maximale d'articles non-conformes qui peut être considéré comme
une moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur (client).
RQL ("Rejectable Quality Level") : limite inférieure de « mauvaise » qualité
(aussi noté LQL "Limiting Quality Level")
(aussi noté LTPD "Lot Tolerance Percent Defective" dans les plans de Dodge-Romig)
proportion minimale d'articles non-conformes qui peut être considéré comme
une moyenne non satisfaisante par le consommateur.
AOQ (p) : Average Outgoing Quality - qualité moyenne de sortie (en inspection rectificatrice)
AOQL : Average Outgoing Quality Limit - qualité moyenne maximale (en inspection rectificatrice)
ATI : Average Total Inspection ( en inspection rectificatrice)
α = alpha = risque du producteur : probabilité de rejeter un lot de qualité AQL
β = beta = risque du consommateur : probabilité d'accepter lot de qualité RQL
décision
Pa ( p )
accepter lot
rejeter lot
qualité lot_
AQL
1-α
α
1
1-α
RQL_
β __
1 - β_
courbe caractéristique
β
0
p
0
AQL
RQL
CLASSIFICATION des PLANS par attribut
caractéristique qualitative ( classement conforme / non conforme)
(a) simple, double, multiple, séquentiel, en chaîne (ChSP-1), skip lot (SkSP-1)
(b) basés sur le AQL : système MIL STD 105 E (ou ANSI/ASQ Z1.4 ou ISO 2859)
(c) basés sur le LTPD ou AOQL : système de Dodge-Romig
(d) production continue d'unités sans formation de lot : MIL STD 1235
CLASSIFICATION des PLANS pour mesure
caractéristique quantitative continue - détails page 5
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1
DESIGN d'un PLAN SIMPLE par ATTRIBUT
Plan ( n , c ) : un échantillon de taille n est prélevé (sans remise) c : nombre d'acceptation
p = D/N : qualité du lot ( D = p N )
X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon
X est distribuée selon une loi hypergéométrique ( N, D, n ) qui l'on peut remplacer
par une approximation basée sur une loi binomiale ( n, p ) ou une loi de Poisson ( np)
 pN   N (1 − p ) 



x   n − x 

Pa ( p) = ∑
N
x =0
 
n 
C
n
= ∑   p x (1 − p) n− x
x =0  x 
Hypergéométrique (exacte)
(1)
Binomiale : si n / N < 0.1
(2)
C
=
c
∑
x=0
e − np ( np ) x
x!
Poisson : si p "petit" et n est "grand" (3)
déterminer n et c tels que
P a ( p1 ) = 1 - α
P a ( p2 ) =
β
………………..……..………………..…….…………... (4)
…………………………..…..………………...….…………. (5)
Remarque : une solution exacte de (4) et (5) est rarement possible car n et c doivent être entiers.
Méthode 1 : utilisation du l'abaque basé sur la loi binomiale
Méthode 2 : approximation basée sur la loi gaussienne
n
0
= [ z1 - α ( p1 ( 1 - p1 ))
n = n
0
/(1+n
0
0.5
+ z1 – β ( p2 ( 1 - p2))
ième
0.5
………..…….……….…...………… (8)
(0 < q <1 ) quantile d'une variable Z gaussienne centrée réduite N(0,1)
Prob ( Z <= z q ) = q
z q est la solution de l'équation:
quantiles souvent utilisés
q
0.005 0.01 0.025
zq
] /( p2 - p1 ) 2 ……….…….. (6)
/ N) ………………………………………………………….…..………………..…….…. (7)
c = n p1 - 0.5 + z1 – α [ n p1 ( 1 - p1 ) ( 1 - n /N ) ]
où z q est le q
0.5
0.03
0.04
0.05
0.06
(0 < q <1)
0.07
0.08
0.09
0.10
- 2.576 - 2.326 - 1.96 - 1.881 - 1.751 - 1.645 - 1.555 - 1.476 - 1.405 - 1.341 - 1.281
alors z q = - z 1 - q ; exemple : z 0.95 = - z 0.05 = 1.645
Méthode 3 : méthode de Grubb basée sur la loi de Poisson - tableau ci-après
Si q = 0.995 , 0.99, …. , 0.90
valeurs de np pour un risque du producteur de 0.05 (= α) et un risque du consommateur de 0.10 (=β)
tableau de Grubb
Pa = 0.95
c
0
1
2
3
4
5
np1
0.051
0.355
0.818
1.366
1.970
2.613
Pa = 0.10
np2 ____ np2 /np1
2.303
3.890
5.322
6.681
7.994
9.274
44.84
10.96
6.51
4.89
4.06
3.55
Pa = 0.95
c
np1
Pa = 0.10
_______
6 3.286
7 3.981
8 4.695
9 5.426
10 6.169
11 6 .924
np2 _______ np2 /np1 _
10.532
11.771
12.995
14.206
15.407
16.598
3.21
2.96
2.77
2.62
2.50
2.40
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Exemple ( méthode 3 ) : risque du producteur de 0.05 pour un AQL = p1 = 0.018
et un risque du consommateur de 0.10 pour un RQL = p2 = 0.09
On calcule le rapport RQL / AQL pour trouver la valeur de c : RQL / AQL = 0.09/ 0.018 = 5.00
Cette valeur se situe entre c = 2 et c = 3 dans la colonne n p2 / n p1
du tableau de Grubb. Il y a plusieurs plans selon que l'on veut satisfaire le AQL ou le RQL.
En consultant les colonnes appropriées du tableau on a
AQL : avec c = 2, n = np1/ p1 = 0.818 / 0.018 = 45.44 arrondi à 46
AQL : avec c = 3, n = np1 / p1 = 1.366 / 0.018 = 75.88 arrondi à 76
LQL : avec c = 2, n = np2 / p2 = 5.322 / 0.090 = 59.13 arrondi à 60
LQL : avec c = 3, n = np2 / p2 = 6.681 / 0.090 = 74.23 arrondi à 75
Le choix entre les 4 plans peut se faire en comparant les courbes caractéristiques
ou en utilisant un autre critère comme le coût d'inspection par exemple.
INSPECTION RECTIFICATRICE
Si : le lot est refusé + l'inspection est non destructrice + économiquement justifiable
alors on continue l'inspection à 100% et on remplace toutes les pièces non conformes.
AOQ ( p ) = p Pa (p) (1-n/N)…………………………………………………….……….….…... (9)
AOQL = max AOQ ( p ) …………………………………………………………..……….….… (10)
ATI = n + (1 - Pa (p)) (N - n) ………………………………….……….…………………….…. (11)
n = y N / (N*AOQL + y)
( y : consulter le tableau Dodge-Romig …. (12)
Les plans du système de plans de Dodge-Romig basés sur le AOQL.
Procédure pour le design du plan (n, c) minimisant ATI pour AOQL spécifié à p = p0
On commence avec c = 0 : calculer n avec (12) , Pa (p0 ) avec (3) et ATI avec (11)
On recommence avec c = 1 , c = 2, … et on identifie le plan ( n, c) qui minimise ATI.
tableau de Dodge-Romig
c
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Y
0.3679
0.8408
1.372
1.946
2.544
3.172
3.810
4.465
5.150
5.836
6.535
7.234
7.948
8.677
9.404
10.12
10.87
11.63
12.38
13.14
13.88
c
Y
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
14.66
15.42
16.18
16.97
17.73
18.54
19.30
20.11
20.91
21.75
22.54
23.40
24.22
25.08
25.94
26.83
27.68
28.62
29.50
30.44
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3
PROCÉDURE D'UTILISATION DU PLAN STANDARDISÉ MIL STD 105 E
(systèmes équivalents : ANSI/ASQC Z1.4 et ISO 2859)
Plans pour contrôler la proportion p de produit non conforme par attribut.
Remarque: les tableaux associés du standard ne sont pas inclus dans ce formulaire
sauf le tableau des lettres codes qui est présenté à la page 6.
ÉTAPES
1. Préciser la taille N du lot; la valeur exacte de N n'est pas nécessaire sauf pour les petits lots.
2. En général, on utilise le degré de sévérité d'inspection II.
Exceptions: on utilise le degré de sévérité I ou III si le coût d'inspection est
élevé ou faible; si l'inspection est destructrice on utilise les degrés S1, S2, S3, S4.
3. Déterminer la lettre code A, B, C, …. selon la taille du lot.- Consulter le tableau à la page 6.
4. Préciser la valeur AQL.
5. Choisir le mode normal pour commencer ; déteminer le plan (n, Ac, Re) où
n est la taille de l'échantillon à prélever
Ac est le nombre maximal d'articles non conformes pour accepter le lot
Re est le nombre minimal d'articles non conformes pour rejeter le lot
6. Déterminer les triplets (n, Ac, Re) correspondants pour le mode réduit et le mode sévère.
7. Tirer n unités du lot, inspecter chaque unité et compter le nombre X d'unités non conformes.
8. Si X <= Ac , accepter le lot.
Si X >= Re, rejeter le lot.
Si Ac < X < Re (en mode réduit), accepter le lot et retourner en mode normal.
9. Prendre action sur le lot rejeté : inspection rectificatrice ou mise en quarantaine.
10. Noter les résultats d'inspection des lots afin d'ajuster le mode selon les règles de changement.
RÈGLES DE CHANGEMENT
SÉVÈRE
2 lots sur 5 lots
consécutifs rejetés
DÉBUT
10 lots consécutifs
rejetés
discontinuer
l'inspection
5 lots consécutifs
acceptés
NORMAL
10 lots
consécutifs
acceptés
1 lot rejeté
ou
1 lot qui satisfait
le critère
Ac < X < Re
RÉDUIT
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PLANS pour MESURES
X caractéristique quantitative - modèle : loi gaussienne N ( mu , sigma )
mu : moyenne
sigma : écart type
LSL : limite inférieure de spécification sur X
USL : limite supérieure de spécification sur X
σ = sigma
cas 1 : une limite de spécification ( LSL ou USL )
pLSL
pUSL
X
= Prob ( X <= LSL)
LSL
= Prob ( X >= USL)
mu
USL
cas 2 : deux limites de spécification ( LSL et USL )
pglobal
=
pLSL
+
pUSL
- Plan pour contrôler mu : sigma connu / sigma inconnu
Plans ad hoc
- Plan pour contrôler sigma : mu connue / mu inconnue
- Plans AD HOC pour contrôler la proportion p de produit non conforme:
sigma connu / sigma inconnu
- Plans STANDARDISÉS pour contrôler la proportion p de produit non conforme:
système ANSI/ASQC Z1.9 ( ou MIL STD 414 ou ISO 3951 )
Plan pour contrôler la moyenne mu avec sigma connu : une limite inférieure sur mu
La moyenne est utilisée comme un indicateur de la qualité du lot.
La procédure est équivalente à un test d'hypothèse sur la moyenne mu avec sigma connu.
lot de bonne qualité mu1 est accepté avec probabilité 1 - α
lot de mauvaise qualité mu2L < = mu1 est accepté avec probabilité β
échantillon de taille n x 1 , x 2 , ….., x n de moyenne Xbar = (x 1 + x 2 +...+ x n )/n
critère de décision : rejeter le lot si Xbar < = c ;
sinon accepter le lot
n = sigma2 [( zα + zβ ) /( mu1 - mu2L )] 2 .......………………...….…………...…… (13)
c = ( zβ mu1 + zα mu2L ) /( zα + zβ ) …….........……..…….……......…..………….…. (14)
Plan pour contrôler la moyenne mu avec sigma connu : deux limites sur mu
lot de bonne qualité est mu1 : on accepte avec probabilité 1 - a
lot de mauvaise qualité est mu2L < = mu1 : on accepte avec probabilité b
lot de mauvaise qualité est mu2U > = mu1 : on accepte avec probabilité b
hypothèse : mu1 est au milieu de l’intervalle ( mu2L, mu2U ) : mu2U - mu1 = mu1 - mu2L
échantillon de taille n x 1 , x 2 , ….., x n de moyenne Xbar = (x 1 + x 2 +...+ x n )/n
critère de décision : rejeter le lot si Xbar < = cL ou si Xbar > = cU ; sinon accepter le lot
n = sigma2 [( zα /2 + zβ ) /( mu1 - mu2L )] 2 ..…………..........….….....…… (15a)
2
= sigma
[( zα /2 + zβ ) /( mu1 - mu2U )]
2
.………......…….....……....…. (15b)
cL = ( zβ mu1 + zα /2 mu2L ) /( zα /2 + zβ ) ..……....……..............…..….....… (16a)
0.5
= mu1 + (zα /2 )(sigma ) / n
cU = mu1 + (z1-α /2)(sigma) / n
0.5
………………………………………....…..……....... (16b)
…………………………………....……………......…. (17a)
= ( zβ mu1 - zα /2 mu2L ) /( zα /2 + zβ ) …………………...................…...… (17b)
= ( zβ mu1 + zα /2 mu2U ) /( zα /2 + zβ ) …..……………..................……..… (17c)
Plan pour contrôler la moyenne mu avec sigma inconnu : non présenté dans ce formulaire.
Plan pour contrôler sigma : non présenté dans ce formulaire.
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Plans AD HOC pour contrôler la proportion p de produit non conforme
CAS : sigma connu et 1 limite de spécification inférieure LSL sur X
Spécification du plan: la probabilité d'accepter un lot de bonne qualité ( p1 ) est 1 - α
( 0 < p1 <= p2 <
1)
la probabilité d'accepter un lot de mauvaise qualité ( p2 ) est β
la courbe caractéristique du plan passe par les points ( p1 , 1 - α ) et ( p2 , β )
Définition du plan (forme 1 ou méthode k) : couple (n , k)
n est la taille de l'échantillon à prélever
k est la constante pour décider du rejet / acceptation du lot
où
2
n = [( z1 - α - zβ ) /( zp1 - zp2 )]
k = z1 - p1
0.5
+ (za ) / n
..……………….….………...…..…....…… (18)
…………………..…………………………...….. …….… (19)
x 1 , x 2 , ….., x
Procédure : - prélever un échantillon de taille n
- calculer
Xbar = (x
- calculer
Z LSL = ( Xbar - LSL ) /sigma
1
n
+ x 2 +...+ x n ) /n
- décision : rejeter le lot si Z LSL < = k ; sinon accepter le lot
Définition du plan (forme 2 ou méthode M ) : couple (n , M)
n = [( z1 - a - zβ ) /( zp1 - zp2 ) ]
k = z1 - p1
0.5
+ (zα ) / n
2
..… …………..….………...….…..……..…… (18)
…………………..……..……...………………..…..……..… (19)
0.5
M = PROB [ Z > = k ( n / n - 1 )
] . ................…....................................... (20)
où Z est une variable gaussienne centrée réduite N(0,1)
x 1 , x 2 , ….., x n
Procédure : - prélever un échantillon de taille n,
- calculer Xbar = (x 1 + x 2 +...+ x n ) /n
- calculer ZLSL = ( Xbar - LSL ) / sigma
- calculer PLSL = PROB ( Z > = ZLSL )
- consulter
un tableau distribution N(0,1)
- décision : rejeter le lot si PLSL > = M ; sinon accepter le lot
REMARQUE: cas d'une limite de spécification supérieure USL sur X se traite de manière analogue
calculer ZUSL = ( USL - Xbar ) /sigma et PUSL = PROB ( Z > = ZUSL ).
CAS : sigma connu et 2 limites de spécification sur X: LSL et USL
Seule la méthode M s'applique
Les formules ci-haut sont modifiées de la manière suivante
n = [( z1 - α /2 - zβ ) /( zp1 - zp2 ) ]
k1 = z1 - p1
0.5
+ (zα /2 ) / n
k2 = z1 - p1
0.5
- (zα /2 ) / n
Calculer
] ................…........................................... (23)
……………..………..………….…………...…..………. (24)
M2 = PROB [ Z > = k2 ( n /n-1 )
Calculer
..………………..……..………………....…… (21)
…………………..……..…………………….....……..… (22)
M1 = PROB [ Z > = k1 ( n /n-1 )
0.5
2
0.5
] ............................................................ (25)
ZLSL = ( Xbar - LSL ) /sigma et ZUSL = ( USL - Xbar ) /sigma
PLSL = PROB [ Z >= ZLSL ]
et
PUSL = PROB [ Z >= ZUSL ]
décision : rejeter le lot si PLSL + PUSL > = M1 + M2 ; sinon accepter le lot
CAS : sigma inconnu : non présenté dans ce formulaire ; employer l’abaque (p.10 tables)
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PROCÉDURE D'UTILISATION DU PLAN STANDARDISÉ ANSI/ASQC Z1.9
( systèmes semblables : MIL STD 414 ou ISO 3951)
Plans pour contrôler la proportion p de produit non conforme par mesure.
Remarques
- les tableaux associés du standard ne sont pas inclus dans ce formulaire sauf le tableau ci- après.
- la structure du standard est semblable au standard par attribut ANSI /ASQC Z1.4
avec des éléments identiques et aussi quelques différences:
(a) il y a 3 modes d'inspection NORMAL - SÉVÈRE - RÉDUIT
(b) les règles de changement s'appliquent
(c) les plages pour la taille N du lot sont identiques- consulter le tableau ci après
(d) il y a 5 niveaux d'inspection : I, II,III, S3 et S4 ; II est le niveau usuel
(e) les tailles n des échantillons sont plus petites avec une même combinaison de N et AQL
(f) il y a un tableau de conversion pour les valeurs intermédiaires de AQL
0.109 0.164 0.279 0.439 0.699 1.09 1.64 2.79 4.39 6.99 10.9
AQL limite
AQL tableau
0.10 0.15 0.25 0.40
0.65 1.00 1.5
2.5 4.0 6.5 10
remarque: les valeurs limites sont inclues dans la limite supérieure de l'intervalle
entre 2 valeurs limites consécutives
tableau des lettres codes : taille échantillonnale n
TAILLE LOT
N
2à8
PLAN ATTRIBUT MIL STD 105 E
S1
S2
S3 S4
A
A
A
A
A
I
9 à 15
A
A
A
A
A
16 à 25
A
A
B
B
B
26 à 50
A
B
B
C
C
51 à 90
B
B
C
C
C
91 à 150
B
B
C
D
D
151 à 280
B
C
D
E
E
281 à 400
B
C
D
E
E
401 à 500
B
C
D
E
F
501 à 1200
C
C
E
F
G
1201 à 3200
C
D
E
G
H
3201 à 10 000
C
D
F
G
J
10 001 à 35 000
C
D
F
H
K
35 001 à 150 000
D
E
G
J
L
150 001 à 500 000
D
E
G
J M
500 001 et plus
D
E
H
K
N
II
n III
A
2
B
B
3 C
C
5 D
D
8 E
E
13 F
F
20 G
G 32 H
G 32 H
H 50 J
J 80
K
K 125
L
L 200 M
M 315 N
N 500 P
P 800 Q
Q 1250 R
MESURES ANSI/ASQC Z1.9
PLAN MESURE
S3
S4
I
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
B
B
D
B
C
E
B
D
F
C
E
G
C
E
G
D
F
H
E
G
I
J
F
H
G
I
H
J
L
H
K
M
H
K
N
K
II
B
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
P
Z1.9______
n
III
3
C_
3
D_
4
E_
5
F_
7
G_
10
H_
15
I_
20
J_
25
J_
35
K_
50
L_
75
M_
100
N_
150
P_
200
P_
200
P_
- cas sigma connu : non présenté dans ce formulaire.
- cas sigma inconnu : - estimation de sigma avec l'écart type S de l'échantillon
- estimation de sigma avec l'étendue R de l'échantillon
(non présenté dans ce formulaire)
MÉTHODE
USL seulement
LSL seulement
2 limites: USL et LSL
Lot rejeté si
Forme 1 :
Méthode k
Forme 2 :
Méthode M
Z USL <= k
Z LSL <= k
ne s'applique pas
PUSL >= M
PLSL >= M
PUSL + PLSL >= M
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ÉTAPES : cas σ inconnu
- estimation de sigma avec l'écart type S de l'échantillon
1. Préciser la taille N du lot; la valeur exacte de N n'est pas nécessaire sauf pour les petits lots.
2. En général, on utilise le degré de sévérité d'inspection II.
Exceptions: on utilise le degré de sévérité I ou III si le coût d'inspection est
élevé ou faible; si l'inspection est destructrice on utilise les degrés S3, S4.
3. Déterminer la lettre code A, B, C, …. selon la taille du lot - consulter le tableau à la page 6.
4. Préciser la valeur AQL.
5. Si on a une seule limite de spécification on peut employer la méthode k ou la méthode M.
Si on a 2 limites de spécification seule la méthode M s’applique.
6. UNE LIMITE USL ou USL : MÉTHODE k.
Selon la lettre code et le AQL , on détermine la taille n de l'échantillon et
la constante k à l'aide du tableau approprié du standard.
6a. Prélever un échantillon de taille n, x1, x 2, …, x n
6b Calculer la moyenne Xbar = (x 1 + x 2 +...+ x n ) /n et l'écart type S de l'échantillon.
Cas LSL
6c. Calculer ZLSL = ( Xbar -LSL ) /S
6d. Rejeter le lot si ZLSL
cas USL
<=k;
sinon accepter le lot
6c.
Calculer ZUSL = ( USL- Xbar ) /S
6d.
Rejeter le lot si ZUSL
<=k;
sinon accepter le lot
7. DEUX LIMITES USL et LSL - MÉTHODE M
Selon la lettre code et le AQL , on détermine la taille n de l'échantillon et
la constante M à l'aide du tableau approprié du standard.
7a. Prélever un échantillon de taille n, x 1, x 2, …, x n
7b. Calculer la moyenne Xbar = (x 1 + x 2 +...+ x n ) /n et l'écart type S de l'échantillon.
7c. Calculer Q LSL = ( Xbar -LSL ) /S et Q USL = ( USL - Xbar ) /S
7d. Déterminer les valeurs correspondantes de PLSL et PUSL
consulter le tableau approprié du standard qui donne la valeur de P en fonction de Q et de n
>= M
PUSL >= M
7e. Si PLSL + PUSL
Si PLSL +
rejeter le lot;
accepter le lot
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Bernard Clément, PhD
février 2004
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