Travaux Pratiques de Mécanique

Travaux Pratiques de Mécanique :
Mécanique des Milieux Continus
(LA394)
Responsable : Tony Valier-Brasier ([email protected])
Les travaux pratiques débutent à 09h00.
Comment se rendre sur le site de Saint-Cyr
Pour atteindre la gare de Saint-Cyr, vous pouvez partir des trois gares suivantes :
Gare Montparnasse (SNCF) :
Gare de la Défense (SNCF) :
Gare d’Austerlitz (RER C) :
≈ 30 min
≈ 30 min
≈ 45 min
Il faut ensuite 10 minutes à pieds pour aller de
la gare au site Institut d’Alembert–UPMC de
Saint-Cyr par l’itinéraire suivant :
• En sortant de la gare prendre à droite.
• Descendre les escaliers sur la gauche et longer
le mur jusqu’à la N10 (200 m).
• Traverser la N10 et prendre à droite jusqu’au
prochain croisement (150 m).
• Tourner à gauche et descendre la route.
• L’entrée de l’institut d’Alembert est à 150 m
sur la gauche.
• Suivre la route jusqu’au bâtiment 4 dans lequel
se situe la plate-forme de TP.
Coordonnées du point GPS : 48◦ 48’12.11” Nord et 02◦ 04’31.21” Est.
Numéro de téléphone de la plate-forme des TP : 01 30 85 48 04.
Déjeuner
Une salle est mise à disposition des étudiants pour le déjeuner. Elle est équipée d’une kitchenette et d’un
four à micro-ondes. La pause dure une heure. Ainsi, il est conseillé aux étudiants d’apporter leur repas.
2
Règlement intérieur
L’accès à la plate-forme des TP est strictement interdit en l’absence des encadrants. À
la fin de chaque TP, chaque trinôme doit s’assurer de ranger le matériel utilisé, de nettoyer sa table et
d’effacer les tableaux.
Absence et retard en TP
Les retards non justifiés seront sanctionnés dans l’évaluation des étudiants. Tout retard conséquent
sera considéré comme une absence. En cas d’absence en TP, il est nécessaire de contacter le responsable
des travaux pratiques au plus vite afin d’être réaffecté à une nouvelle séance de TP (contact : [email protected]). Tout élève se présentant à une séance de TP pour laquelle il n’est pas
prévu sur les listes d’émargement ne sera pas accepté en TP.
Rédaction des compte-rendus
Le compte-rendu est évalué par deux notes sur dix, la première sur le fond et la seconde sur la forme.
Pour vous aider dans votre rédaction, une aide à la rédaction est proposée en annexe A. Le compte rendu
doit être déposé au format pdf dans la boite de dépôt d’un des étudiants au plus tard une semaine
après la séance. Par exemple, si un trinôme participe à la séance de TP du mercredi 06 novembre, ce
trinôme doit déposer son compte-rendu sur Sakai au plus tard le mardi 12 novembre. Chaque jour de
retard sera sanctionné par un point dans l’évaluation du compte-rendu.
3
TP 1
Caractérisation ultrasonore des constantes
d’élasticité
La célérité du son est une caractéristique du milieu qu’il traverse. Dans les solides homogènes et
isotropes, deux type d’ondes peuvent exister : une onde longitudinale de vitesse cL et une onde de
cisaillement de vitesse cT . Ces vitesses dépendent de la masse volumique ρ et des constantes élastiques
λ et µ et sont données par les expressions suivantes :
s
cL =
λ + 2µ
ρ
r
et
cT =
µ
.
ρ
L’objectif de ce travail consiste à mesurer ces deux vitesses afin de déterminer les coefficients de Lamé λ
et µ de différents matériaux.
1.1
Étude des ondes longitudinales en immersion
Les ondes longitudinales sont étudiées par une expérience en immersion. Les ondes longitudinales se
propageant également dans l’eau, ce genre d’expérience est simple à mettre en œuvre et s’avère également
très efficace dans de nombreuses situations.
1.1.1
Dispositif expérimental
Un générateur d’impulsions de largeur et de récurrence réglables associé à un générateur de fonctions
de formes variables assurent l’excitation d’un transducteur ultrasonore piézoélectrique fixe par une succession de train d’ondes sinusoı̈dales. Le transducteur convertit l’énergie électrique en énergie mécanique
donnant ainsi naissance aux ondes dans l’eau. Après propagation, les ondes sont captées par un transducteur récepteur mobile qui va convertir l’énergie mécanique portée par l’onde en énergie électrique. Les
deux transducteurs sont identiques, de fréquence centrale f = 1 MHz. Le signal sortant du générateur
de fonction et correspondant au signal d’émission est envoyé à un oscilloscope, de même que le signal de
réception sortant du transducteur récepteur.
4
1.2. ÉTUDE DES ONDES TRANSVERSES AU CONTACT
1.1.2
5
Mesure de la vitesse du son dans l’eau
Avant de mesurer les vitesses des ondes longitudinales dans les échantillons, il est nécessaire de
déterminer la vitesse du son dans l’eau. Pour cela, on affiche le signal de réception sur l’oscilloscope et on
place le curseur 1 sur le début du signal. On déplace ensuite le transducteur récepteur d’une distance d
et on place le curseur 2 sur le début du signal de réception qui s’est décalé dans le temps. L’oscilloscope
affiche alors la différence de temps de propagation ∆t. La vitesse du son dans l’eau est donnée par le
rapport de d sur ∆t. Plusieurs mesures pour différentes distances d doivent être effectuées afin d’en
déduire une valeur moyenne de c0 .
1.1.3
Mesure de la vitesse des ondes longitudinales dans les matériaux
Une lame à face parallèle d’épaisseur e est maintenant immergée dans l’eau entre les deux transducteurs. Les faces parallèles sont positionnées perpendiculairement à la direction de propagation. Dans ce
cas, l’onde incidente générée se propage dans l’eau en amont de la lame, au travers de la lame, puis dans
l’eau en aval de la lame, avant d’être captée par le transducteur récepteur. La détermination de la vitesse
cL dans la lame repose sur la mesure de la différence ∆t de temps de propagation pour des mesures sans
et avec la lame. On note ` la distance entre les deux transducteurs. Les temps de propagation de l’onde
sans et avec la lame sont donnés par les relations
t0 =
`
c0
te =
et
`−e
e
+ .
c0
cL
De ces deux expressions, on déduit que la vitesse cL a pour expression
cL =
ec0
.
e + c0 ∆t
Il ne reste ensuite plus qu’à déterminer expérimentalement les vitesses des ondes longitudinales associées
à chaque matériau à disposition à partir de la mesure des différences de temps de propagation. Pour cela,
on affiche sur l’oscilloscope le signal capté par le transducteur récepteur lorsqu’il n’y a pas d’échantillon
dans l’aquarium et on place le curseur 1 sur le début du signal. On place ensuite l’échantillon dans
l’aquarium et on place le curseur 2 sur le début du signal de réception afin d’obtenir la différence de
temps ∆t.
1.2
Étude des ondes transverses au contact
Les ondes transverses sont plus difficiles à étudier dans les expériences en immersion, car ce type
d’onde de ne se propage pas dans les fluides. Ainsi, ces ondes sont maintenant étudiées par un système
dit ”au contact” permettant la mesure de la vitesse cT .
Le dispositif électronique utilisé pour l’expérience en immersion est réutilisé ici. Toutefois, le signal
électrique sortant du générateur est maintenant envoyé à un transducteur émetteur de fréquence centrale
2,25 MHz collé sur une des faces de l’échantillon. Sur l’autre face, un second transducteur est collé afin
de capté les ondes qui se sont propagées dans le matériau. Les deux transducteurs doivent être collés à
l’échantillon grâce à un gel de couplage permettant une meilleure transmission des efforts (de cisaillement)
du transducteur émetteur à l’échantillon, puis de l’échantillon au transducteur récepteur.
Le transducteur génère dans le matériau une onde de cisaillement qui se propage dans l’échantillon.
Lorsque cette onde arrive sur la face opposée, une partie de son énergie est captée par le transducteur
récepteur et le reste est réfléchi donnant ainsi naissance à une onde se propageant en sens inverse (onde
5
6 TP 1. CARACTÉRISATION ULTRASONORE DES CONSTANTES D’ÉLASTICITÉ
réfléchie). En mesurant les temps de propagation et connaissant l’épaisseur de chaque échantillon, il est
alors simple de déterminer la vitesse cT des ondes transverses dans chaque échantillon.
1.3
Détermination des paramètres élastiques
Il est maintenant nécessaire de déterminer la masse volumique de chaque échantillon. Pour cela,
utiliser la balance électronique à disposition sur la plate-forme. En déduire les valeurs des coefficients de
Lamé λ et µ et effectuer des calculs d’incertitudes et d’erreur sur ces deux coefficients.
6
TP 2
Mesure de modules d’élasticité par essais de
traction et de torsion
Le but de ce travail est de déterminer des modules d’élasticité de matériau par des essais mécaniques
simples. Deux essais sont étudiés indépendamment : un essai de torsion et un essai de traction. Pour
chaque essai, la relation entre les contraintes et les déformations sont étudiées dans le régime linéaire
afin d’extraire un paramètre d’élasticité.
2.1
2.1.1
Essai de torsion
Loi de comportement linéaire
Lors d’un essai de torsion dans le domaine élastique, la contrainte τ appliquée à l’échantillon est
reliée à la déformation ε par la relation
τ = Gε,
où G est le module de cisaillement du matériau. L’objectif de ce TP est alors de mesurer la contrainte τ
et la déformation ε afin d’en déduire le module de cisaillement. Dans le cas d’une éprouvette cylindrique
de rayon R, la contrainte a pour expression
τ=
Mt R
,
IG
1
où Mt est le moment de torsion et où IG = πR4 est le moment quadratique de torsion de l’éprouvette.
2
La déformation a quant à elle pour expression
ε = Rα,
où α est l’angle unitaire de torsion exprimé en rad.m-1.
2.1.2
Dispositif expérimental
Une machine de torsion équipée d’un torsiomètre et d’un capteur de force est à disposition afin
d’effectuer un essai de torsion sur des éprouvettes cylindriques. Un couple est appliquée à l’éprouvette
7
8
TP 2. ESSAIS DE TRACTION ET DE TORSION
par le biais de la molette du boı̂tier de droite. Le boı̂tier de gauche est quant à lui relié au capteur de
force. Les deux boı̂tiers sont reliés à un afficheur numérique indiquant les valeurs des forces et des angles
de rotation θ.
2.1.3
Travail expérimental
Les réglages de la machine de torsion et du torsiomètre se font en respectant les étapes suivantes :
• Déplacer le boı̂tier mobile afin de pouvoir fixer l’éprouvette entre les deux boı̂tiers. Fixer ensuite
le boı̂tier mobile puis serrer les mors autour de l’éprouvette. Il est important de bien serrer les
mors, car sinon l’éprouvette risque de glisser durant l’expérience.
• Allumer l’afficheur numérique et sélectionner ”Local” en pressant le bouton vert du bas.
• Imposer un léger couple avec la molette du boı̂tier mobile afin d’éliminer le jeu entre les différents
composants de l’expérience. Augmenter doucement le couple jusqu’à ce que le force appliquée
atteigne 1 N.
• Tarer le capteur de force et le torsiomètre en pressant quelques secondes le bouton vert supérieur
de l’afficheur numérique. Le banc de mesure est maintenant prêt pour utilisation.
Imposer un couple à l’éprouvette et noter l’angle de torsion θ et la force mesurée par le capteur de force.
Répéter cette expérience par pas de force de 0,5 N jusqu’à 10 N. Attention, il est interdit de dépasser
la valeur maximale de 10 N sous peine d’endommagement du matériau. Lorsqu’une série de mesure est
terminée, tracer l’évolution de la contrainte τ en fonction de la déformation ε et en déduire le module
de cisaillement G.
2.2
2.2.1
Essai de traction
Loi de comportement linéaire
Lors d’un essai de traction ou de compression dans le domaine élastique, la contrainte σ appliquée
à l’échantillon est reliée à la déformation ε par la relation
σ = Eε,
où E est le module d’Young du matériau. La contrainte correspond au rapport de la force F appliquée
à l’échantillon sur la surface S d’application de la force. La déformation est le rapport de l’allongement
entre deux points de mesure sur la distance initiale entre ces deux points.
2.2.2
Dispositif expérimental
Une machine de traction et un extensomètre sont à disposition afin d’effectuer un essai de traction
sur des éprouvettes parallélépipédiques. La machine de traction applique une force à une éprouvette.
La déformation est mesurée par l’intermédiaire d’un extensomètre. Cet extensomètre et la machine de
traction étant contrôlés par un ordinateur, celui-ci donne accès à l’évolution de la déformation en fonction
de la contrainte appliquée. L’incertitude de mesure sur la force appliquée est ∆F =1 N et celle sur la
déformation est ∆ε=1 µm.m-1.
8
2.2. ESSAI DE TRACTION
2.2.3
9
Travail expérimental
Avant de commencer l’essai de traction, les dimensions géométriques de chaque éprouvette doivent
être mesurées. Placer l’éprouvette entre les mors de la machine de traction et serrer les mors avec suffisamment de force pour que l’éprouvette ne glisse pas durant l’essai. Mettre ensuite l’extensomètre sur
l’échantillon en appuyant simultanément sur les deux boutons de l’extensomètre. Cliquer ensuite sur
le bouton en haut à droite du logiciel Bluehill 2 afin d’initialiser la longueur initiale. Ouvrir le fichier
”TractionElastique.im tens”, puis suivre attentivement les étapes jusqu’au démarrage de l’essai.
ATTENTION : Personne ne doit rester devant la machine de traction durant un essai !
Lorsque l’essai est terminé, exporter les résultats dans un tableau. Cliquer ensuite sur le bouton Revenir, puis enlever d’abord l’extensomètre et ensuite l’éprouvette. Cliquer finalement sur le bouton
Bluehill afin de revenir à l’écran d’accueil.
Tracer ensuite l’évolution de la contrainte en fonction de la déformation et en déduire le module
d’Young de l’échantillon testé.
9
TP 3
Mesure de modules d’Young par essais de
flexion
L’objectif de ce TP est de déterminer le module d’Young E de poutres métalliques par des essais
de flexion simple. Pour cela, une poutre est encastrée à une extrémité et libre à l’autre extrémité (figure 3.1). Deux méthodes sont utilisées pour déterminer le module d’Young. Dans la première, la poutre
n’est soumise qu’à son propre poids et la flèche est mesurée en différentes positions. Dans la seconde,
différentes masses sont fixées à la poutre en une position et la flèche est mesurée à une autre position
pour chaque masse. Dans chaque cas, les résultats expérimentaux obtenus sont reportés dans l’expression
de la déformée de la poutre afin d’en extraire le module d’Young.
v(x)
y
x
Figure 3.1 – Schéma d’une poutre sollicitée en flexion simple.
3.1
Modélisation
La largeur de la poutre suivant z est notée b, l’épaisseur h, la longueur L et la masse m. Dans le
cadre de la théorie des poutres, la déformée v d’une poutre se calcule par intégration de la relation
EIz
d2 v
= M (x),
dx2
où M est le moment fléchissant et où Iz est le moment quadratique d’axe z définit par la relation
Iz =
bh3
.
12
10
3.2. TRAVAIL DEMANDÉ
11
Ce calcul fait alors intervenir les conditions limites de la déformée en x = 0. Ainsi, en ce
point précis,
dv la poutre étant encastrée, la déformée vérifie les deux conditions limites v(0) = 0 et
= 0. Dans
dx x=0
la première méthode, la poutre n’est soumise qu’à son propre poids et ainsi l’expression du moment
fléchissant est donnée par la relation
M1 (x) = −
P`
(L − x)2 ,
2
où P` est le poids de la poutre par unité de longueur. Dans la seconde méthode, la poutre est soumise
à son propre poids plus à une masse additionnelle ma placée à la position arbitraire `. L’expression du
moment fléchissant est alors donné par la relation
M2 (x) = −
3.2
P`
(L − x)2 − ma g(` − x).
2
Travail demandé
Dans un premier temps, il est nécessaire de déterminer l’expression de la déformée de la poutre
pour chaque méthode et ensuite d’en déduire l’expression du module d’Young. Ensuite, dans le cas de la
première méthode, il faut mesurer la flèche en différentes positions x de la poutre à l’aide du comparateur.
Lorsque toutes les mesures ont été faites pour une poutre, il faut calculer le module d’Young pour chaque
position x de mesure et en déduire une valeur moyenne. Dans le cas de la seconde méthode, il faut mesurer
la flèche en un seul point et pour différentes masses ma appliquées au point x = ` et ensuite en déduire
le module d’Young pour chaque masse.
11
Annexe A
Guide de rédaction des compte-rendus de TP
Le compte-rendu a pour objectif de synthétiser des expériences, développements théoriques ou
expérimentaux qui ont été menés par une ou plusieurs personnes. Il peut être destiné par exemple à
constituer un document exploitable par des collaborateurs dans le cadre d’un projet ou encore à permettre l’évaluation d’un étudiant dans sa compréhension d’un phénomène physique. Dans tous les cas,
le compte-rendu doit être clair et concis et pour cela le fond et la forme du document doivent être de
qualité.
Le fond
Tout d’abord, l’introduction doit présenter le contexte de l’expérience (cadre général, intérêt) ainsi
que les objectifs des mesures. Il ne s’agit pas de recopier l’introduction de l’énoncé. Les éléments du travail
expérimental doivent également être exposés, c’est-à-dire le système ”physique” (éprouvette, structure,
...), les moyens de mesure (capteurs, montages et méthodes) et les modèles théoriques éventuellement
impliqués.
Les résultats doivent ensuite être présentés avec clarté. Les unités ne doivent surtout pas être oubliées. Le nombre de chiffres significatifs doit être pertinent et en rapport avec l’incertitude du résultat.
L’incertitude et l’erreur relative doivent également être calculées (annexe B). Les résultats doivent ensuite
etre présentés sous forme de tableaux et/ou de courbes donnant toutes les indications requises (titres,
unités, barres d’erreur, ...). L’interprétation et le commentaire constituent le résultat de l’expérience et
ne doivent absolument pas être négligés. Enfin, une conclusion doit être rédigée afin de résumer les points
positifs et les points négatifs du travail, de souligner un résultat très intéressant ou encore donner des
perspectives au TP.
La forme
Afin que le message contenu dans le compte-rendu soit compréhensible et exploitable par le lecteur,
la forme de sa rédaction est fondamentale. La forme comprend les éléments suivants :
• La présentation. Elle doit faciliter la lecture en soignant l’aspect esthétique du document.
• Des schémas. Lorsqu’il faut présenter une expérience et le matériel qu’elle utilise, un schéma
peut avantageusement illustrer un paragraphe descriptif.
12
13
• Des tableaux et/ou des graphiques. Ils doivent permettre de faire comprendre rapidement
au lecteur l’évolution d’une grandeur et/ou la confrontation pertinente de résultats.
• L’orthographe et la grammaire irréprochables. Afin de ne pas déconcentrer le lecteur, un
soin particulier doit être apporté à l’orthographe et à la grammaire pour éviter les contresens et
faciliter la compréhension du lecteur. Elles sont prises en compte dans la notation.
Pour la rédaction d’un compte rendu de TP répondant à ces critères de forme, l’utilisation d’outils
bureautiques est obligatoire. Certains sont payants mais largement utilisés, c’est le cas de la suite Microsoft Office qui intègre le traitement de texte Word et le tableur Excel. Mais il existe des alternatives
gratuites et disponibles en ligne qui remplissent les mêmes fonctions : Libre Office, LateX, .... L’apprentissage de ces outils est de la responsabilité des étudiants, mais les enseignants peuvent répondre à vos
questions et vous orienter.
Le compte-rendu doit être exposé en un maximum de dix pages, écrites avec une fonte standard
(Times, taille 11), en simple interligne et avec des marges comprises entre 1 et 1.5 cm. Dans certains cas,
des annexes peuvent être ajoutées à la fin du document. Le document final doit être constitué d’un seul
fichier. C’est-à-dire que les figures, graphiques et tableaux doivent être intégrés au texte qui les explique.
Le fichiers doit obligatoirement être rendu au format pdf afin d’être lu par n’importe quel encadrant.
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Annexe B
Le calcul d’incertitude
Le calcul d’incertitude permet d’évaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de mesures
liées à la vérification d’une relation entre différentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure
n’étant pas de précision infinie, les mesures faites pendant une expérience ne sont pas exactes. Il faut
donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question : ”la relation n’est pas vérifiée exactement
parce qu’elle est fausse ou parce que les mesures sont incertaines ?” On en déduit des marges d’erreurs,
en dehors desquelles la relation sera invalidée. Cela fait partie intégrante de la méthode scientifique
Définitions
Le calcul de l’incertitude sur une grandeur obtenue à partir de grandeurs mesurées dont on peut estimer
l’erreur peut être présenté simplement et sans démonstration de la façon suivante : Soit les grandeurs
mesurées a et b, on note ∆a et ∆b les incertitudes absolues,
∆a
Si a est une grandeur mesurée, ∆a est l’incertitude absolue (même unité que a) et
est l’incertitude
a
relative (en %).
La calcul de l’erreur e s’effectue très simplement à partir de la relation
A−B
B
où A est la valeur exacte et B la valeur approchée. L’erreur s’exprime donc en %. Ce calcul bien que
très simplifié, est très utilisé dans l’ingénierie et la recherche pour déterminer et quantifier simplement
une erreur de mesure ou de calcul.
e=
Incertitude sur une somme ou une différence
Si la grandeur c est définie telle que
c=a±b
où a et b sont deux grandeurs mesurées, alors l’incertitude absolue ∆c a pour expression
∆c = ∆a + ∆b.
L’incertitude absolue de la somme ou de la différence de deux grandeurs est égale à la somme des
incertitudes absolues de ces grandeurs.
14
15
Incertitude sur un produit ou un rapport
Si la grandeur c est définie telle que
c = ab
alors l’incertitude relative
ou
c=
a
b
∆c
a pour expression
c
∆a ∆b
∆c
=
+
.
c
a
b
Ainsi, l’incertitude relative sur un produit ou un rapport de deux grandeurs est égale à la somme des
incertitudes relatives de ces grandeurs.
Différentielle logarithmique
Si la grandeur c est définie telle que
c = am bn
le logarithme de cette expression est :
log c = m log a + n log b.
On en déduit que l’incertitude relative
∆c
a pour expression
c
∆c
∆a
∆b
= |m|
+ |n| .
c
a
b
15
Annexe C
Rappels sur les constantes d’élasticité
Un matériau isotrope est caractérisé par deux constantes d’élasticité. Ces deux constantes dépendent
du type d’étude menée.
? le module d’Young E et le coefficient de Poisson ν,
? les coefficients de Lamé λ et µ,
? le module module de compression K et le module. de cisaillement G
Les coefficients de Lamé peuvent être exprimés en fonction du module d’Young et du coefficient de Lamé
par les relations
E
Eν
et
µ=
.
λ=
(1 + ν)(1 − 2ν)
2(1 + ν)
Quelques valeurs du module d’Young, du coefficient de Poisson et de la masse volumique sont
consignées dans le tableau C.1. Pour les alliages (acier, laiton, duralumin), les valeurs inscrites dans
ce tableau peuvent être légèrement différentes.
Matériau
Acier
Acier inoxydable
Laiton
Aluminium
Duralumin
Cuivre
Téflon
Plexiglas
ρ
(kg.m−3 )
8000
8000
8000
2700
2900
9000
2150
1200
E
(GPa)
210
200
110
70
75
120
0,5
2,4
ν
0,28
0,3
0,37
0,35
0,33
0,33
0,48
0,4
Table C.1 – Valeurs du module d’Young, du coefficient de Poisson et de la masse volumique pour différents
matériaux.
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