Exercice 1 - LGI

A IDE
O PTION /M ASTER G ÉNIE I NDUSTRIEL
D ÉCISION - A NALYSE DES R ISQUES
Vincent Mousseau
À LA
E XAMEN
11 octobre 2010 - durée 2h
Exercice 1 :
Guillaume et Yann, deux brillants étudiants à l’Ecole Centrale Paris, ont une vision des jeux de hasard
assez différente. Persuadé qu’il va finir par gagner une grosse somme, Guillaume est très clairement joueur
et consacre systématiquement une somme de 2e à chaque tirage du loto. Ainsi, deux fois par semaine,
Guillaume choisit 6 nombres entre 1 et 49 et attend le tirage fébrilement pour savoir quels sont ses gains.
Yann n’est pas joueur pour un sou et raille Guillaume régulièrement en lui rappelant que moins de la moitié
des mises est redistribuée en gains, en déduisant (raisonnant en espérance mathématique) qu’il ne peut que
perdre.
Depuis quelques temps, Yann veut convaincre Guillaume du bien fondé de son point de vue et lui a fait
la proposition suivante. A chaque tirage du loto, plutôt que de miser la somme de 2e, Guillaume lui donnera
une combinaison de 6 nombres et les 2e. En retour, après avoir observé le tirage, Yann lui paiera les gains
correspondant à sa combinaison. Guillaume a bien sûr accepté persuadé qu’il allait plumer son ami.
1. Quelle analyse faites vous de cette situation ? Expliquez formellement pourquoi nos deux protagonistes peuvent être simultanément tous deux convaincus d’avoir raison ?
2. Voilà maintenant quatre semaines que Yann et Guillaume pimentent leur relation amicale de façon
bi-hebdomadaire. Sur les huit tirages Guillaume a perdu sept fois et a gagné une fois la somme de
14e. Bien évidemment, Yann se glorifie de cette situation mais Guillaume le prévient : “au prochain
tirage, je décroche le jackpot !”. Sans rien en laisser transparaître, en son for intérieur, Yann s’inquiète
tout de même un peu : “et s’il gagnait vraiment une grosse somme ! moi je n’ai comme revenu que
ma maigre bourse !”. Pour couvrir ce risque, il rencontre son banquier à qui il affirme qu’il est neutre
face au risque mais qu’il voudrait tout de même voir avec lui s’il peut le couvrir en cas d’un coup de
chance de Guillaume (et de malchance pour lui). Ses ressources lui permettent d’assumer d’éventuels
gains à 3 ou 4 numéros gagnants, mais il voudrait se couvrir face au fait que Guillaume obtienne 5 ou
6 numéros gagnants. Yann a calculé, sur 12 mois, le gain moyen pour 3,4,5 et 6 numéros gagnants :
ces gains sont indiqués dans le tableau ci-dessous). Quel est le prix maximum par tirage que Yann va
accepter de son banquier pour couvrir le risque “6 numéros gagnants” ? “5 ou 6 numéros gagnants”
3 numéros gagnants
4 numéros gagnants
5 numéros gagnants
6 numéros gagnants
Probabilité de gain
1.6%
0,09%
2.10−3 %
7.10−6 %
Gain moyen
8e
450e
15 000e
900 000e
Espérance de gain
0,13e
0,41e
0,30e
0,06e
0,90e
3. Le banquier de Yann lui fait une proposition à 1.5e par tirage. Yann accepte ; que pensez-vous de son
attitude face au risque ? justifier votre réponse.
4. Vincent connaît bien Yann et Guillaume, et le fait de les voir, depuis quelques temps, dans un jeu où
chacun pense rouler l’autre, égaille son quotidien. Il a proposé à Yann de l’aider dans les discussion
avec son banquier, et souhaite modéliser l’attitude de Yann face au risque par une fonction d’utilité
−x
ayant la forme analytique suivante u(x) = 1 − e p .
Que pensez vous du choix de cette forme analytique ? est-il légitime ? Justifiez formellement votre
réponse.
5. Pour paramétrer la fonction d’utilité, Vincent discute avec Yann et le fait raisonner sur l’équivalent
certain x d’une loterie donnant un gain de 2e avec une probabilité de 99.91% et une perte de 448e
avec une probabilité de 0,09%. A quelle situation concrète correspond cette comparaison. Déduire de
la réponse de Yann (x = 1.65e), la fonction d’utilité traduisant son appréhension du risque.
6. Définir la séquence de comparaisons de loteries (en procédant par dichotomie) qui aurait permis d’obtenir la réponse de Yann (x = 1.65e) sans lui demander directement cette valeur.
Post-scriptum : Guillaume et Vincent discutent, et Guillaume évoque son goût du jeu. Vincent (qui est joueur aussi,
mais pas pour les jeux d’argent) lui pose les deux questions suivantes :
– entre 10% de chance de gagner un million d’euros, et 11% de chance de gagner cent mille euros,
que choisirais-tu ?
– entre cent mille euros (à coup sûr) et, 10% de chance de gagner un million d’euro et 89% de chance
de gagner cent mille euros (et donc 1% de chance de ne rien gagner), que choisirais-tu ?
A chaque question, Guillaume a choisi la première option. Vincent, qui est convaincu que la théorie
de l’utilité a le pouvoir d’expliquer les choix humains, est troublé. Expliquez formellement pourquoi.
Exercice 2 :
United Eastern Airlines (UEA) routinely holds (from early sale) 20 seats per flight for regular business
customers who buy their tickets about 1 week before their flight. Historically the revenue per flight from
these customers is 20,000$ with probability 0.65 and 30,000$ with probability 0.35. This month however,
the UEA expects many “last-minute” customers who are typically willing to pay even more for their tickets.
These purchases occur within the last two days prior to the flight. The projected revenue per flight from
these last-minute customers is estimated to be 32,000$ x F, where F is the fraction of seats that would be
taken away from the aforementioned business customers. UEA estimates that the demand from these lastminute customers will be 8 seats with probability 0.30 and 10 seats with probability 0.70, so the company
considers reserving 8, 9 or 10 seats for these customers. If, within several hours of flight time, there are any
remaining unsold seats, then these unsold seats can typically be sold to regular business customers, but at
a 50% discount. Use a decision tree to determine if the company should modify their usual plan and hold
some seats for the very lucrative last-minute customers, and if so, determine how many seats should be held.
Perform the sensitivity analysis with respect to the probability that the revenue from business customers is
30,000$ (which currently is 0.35). At what value (if any) would your recommended strategy change ?
Exercice 3 :
Au sein du groupe industriel dans lequel Marc travaille, Marc a la charge d’évaluer la pertinence de la
mise en oeuvre de projets d’investissement en matière d’hygiène et sécurité. Il apprécie les projets selon deux
dimensions : le coût en Ke et l’impact du projet en terme d’hygiène/sécurité (sur une échelle croissante où 0
correspond à la plus mauvaise performance). Dans son activité, Marc ne considère que des projets n’excédant
pas 15Ke (les projets excédant ce budget sont traités par son supérieur). Dans la suite, nous noterons (x1 ,x2 )
le vecteur qui représente un projet d’un coût de x1 Ke, et ayant un impact de x2 en terme d’hygiène/sécurité.
Marc cherche à systématiser ses choix et a utilisé un logiciel d’aide à la décision. Ce logiciel lui a demandé
de comparer certaines paires de projets ; ses réponses sont notées ci-dessous (P dénote une situation de
préférence, et I une situation d’indifférence) : (14Ke,0) I (15Ke,6), (14Ke,6) P (14Ke,0), (14Ke,6) I
(12Ke,0), (14Ke,6) I (15Ke,12), (14Ke,12) P (14Ke,6), (14Ke,12) I (8Ke,0), (14Ke,12) I (15Ke,42),
(14Ke,42) P (14Ke,12), (14Ke,42) I (0Ke,0), (14Ke,42) I (15Ke,90).
a) Montrer que les affirmations de Marc ne peuvent être représentées dans un modèle de somme pondérée. Expliquez en termes clairs ce qui dans le raisonnement de Marc ne permet pas l’utilisation de la
somme pondérée.
b) Montrer que l’information recueillie est compatible avec le modèle additif suivant : xP y ⇔ u(x) >
u(y) et xIy ⇔ u(x) = u(y) où u(x) = u1 (x1 ) + u2 (x2 ). On commencera par poser u1 (15Ke) =
u2 (0) = 0 et u1 (14Ke) = 1.
c) En supposant que le modèle additif considéré convient pour représenter les préférences de Marc, lister
toutes les assertions de préférences et d’indifférence induites de l’information collectée.
d) En supposant une approximation linéaire des fonctions u1 et u2 représenter les fonction et les courbes
d’indifférence induites. Que peut on dire de ce que pense Marc de l’importance relative des deux
critères ?
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