ORAN 2013 - Université des Sciences et de la Technologie d`Oran

Transcription

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran « Mohamed Boudiaf »
Faculté de Génie Electrique
Département d’Electrotechnique
MEMOIRE PRESENTE POUR L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER
SPECIALITE : ELECTROTECHNIQUE
OPTION : CONDITIONNEMENT DES RESEAUX ELECTRIQUES
Présentée par : Mme Amina MERHOUM
INGENIEUR EN ELECTROTECHNIQUE
Intitulé du mémoire:
Optimisation Des Techniques
De MLI Pour Les Equipements
FACTS A Base D’onduleur
SOUTENUE LE : 12 /03/2013, devant le jury composé de Messieurs :
Mr BOUTHIBA Tahar
Mr ALLALI Ahmed
Mr BENDJEBBAR Mokhtar
Mr BOUZEBOUDJA Hamid
PROFESSEUR, USTO-MB
MCA, USTO-MB
MCA, USTO-MB
MCA, USTO-MB
ORAN 2013
a
Président
Examinateur
Examinateur
Rapporteur
Remerciements :
Je remercie ‘‘ALLAH’’ tout puissant de m’avoir
donné la volonté et le courage de mener à bien ce travail.
Que Toutes les formes de Prière et de Salat soient
adressées à notre Ame et Conscience Sidna Mohammed,
notre lumière dans cette vie.
Je tiens à remercier mon encadreur, Mr Bouzeboudja
et Mr Tahri pour leurs critiques qui m’ont beaucoup aidé
apprécier ce travail et mieux éclairé mes perspectives.
Je suis reconnaissante à eux tout particulièrement pour la
confiance qu’ils m’ont témoignée.
Nos plus sincères remerciements vont également à Mr
BOUTHIBA, qui m’a fait l’honneur de présider le jury.
J’adresse aussi mes remerciements à Mr BENDJEBBAR
et Mr ALLALI, pour l’intérêt qu’ils portent à ma thèse
et pour avoir accepté de la jugée et d’en être
examinateurs.
Et enfin à tous nos collègues de la promotion
2009/2010 et à tous ceux qui ont contribué, de près ou de
loin, à la réalisation de cette thèse.
a
e modeste travail est dédié :
A ma chère mère que j’adule énormément et qui me
souhaite plein de courage et beaucoup de succès.
A ma chère grande mère que je souhaite une longue
vie pleine de santé
A mon cher papa
A mon cher mari qui m’a permis d’être là où je
suis aujourd’hui grâce à ses motivations et son
soutien, sans lui je n’aurais certainement pas arrivé à ce
résultat.
A mes beaux-parents que j’aime énormément.
A mes filles Douaa, Nour,
A mes frères Mohamed et Yacine
A mes beaux-frères Mohamed et Kheireddine
Ames adorables belles sœurs Mami, Fatma, Houaria,
Nabila, Rabia et leurs enfants et A toute ma famille.
b
Table des matières
Introduction générale .................................................................................................................02
Chapitre I : Généralité sur les onduleurs en MLI
I.1. Introduction.............................................................................................................................05
I.2. Famille de convertisseurs statiques.........................................................................................06
I.3. Généralité sur les onduleurs MLI............................................................................................06
I.4. Principe de fonctionnement de l’onduleur..............................................................................08
I.5. Onduleur monophasé...............................................................................................................09
I.5.1. Montage en demi-pont ….........................................................................................09
I.5.2. Montage en pont.......................................................................................................10
I.6.onduleur triphasé en pont.........................................................................................................10
I.6.1.Principe de fonctionnement (une phase)...................................................................10
I.7. Classification des onduleurs....................................................................................................11
I.8. Modélisation de l’onduleur triphasé......................................................................................11
I.9. Paramètres de performance de l’onduleur...............................................................................13
I.10. Origine des harmoniques.......................................................................................................14
I.10.1. Déformation d’un signal sinusoïdal….……………………………………….…..14
I.10.2. Mode de représentation : le spectre en fréquence...................................................15
I.10.3. L’harmonique mesuré en pratique..........................................................................15
I.11. Conclusion…………………………………………………...………………………….….15
Chapitre II : Différents types de commande de MLI
II.1. introduction............................................................................................................................17
II.2.MLI simple..............................................................................................................................17
II.3. MLI multiple..........................................................................................................................18
II.4.MLI sinusoïdale.......................................................................................................................19
II.5. MLI sinusoïdale modifiée.......................................................................................................22
II.6. Commande par déplacement de phase...................................................................................23
II.7.Contrôle de tension d'un onduleur triphasé.............................................................................24
II.8. Conclusion..............................................................................................................................25
Chapitre III : Technique d e mod u lation avan cée
III.1.
Introduction....................................................................................................................................27
III.2.Modulation trapézoïdale........................................................................................................27
III.3.Modulation en escalier...........................................................................................................28
III.4.Modulation par échelle.........................................................................................................29
III.5. Modulation delta...................................................................................................................29
III.6.Modulation par injection d'harmoniques...............................................................................30
III.7.Modulation pré calculée.........................................................................................................32
III.7.1. MLI monophasée...................................................................................................32
III.7.1.1.Décomposition en série de Fourier d’un signal MLI…………………………...32
III.7.1.2. La MLI programmée unipolaire ………………………………………….……34
III.7.2. MLI triphasé ..........................................................................................................34
III.8.Conclusion.............................................................................................................................34
c
Chapitre IV : Les Méthodes d’optimisation
IV.1– Place de l’optimisation dans la démarche de conception en électrotechnique .................36
IV.1.1. Introduction ......................................................................................................................36
IV.1.2. Méthodologie de conception ............................................................................................36
IV.1.3. Formalisme mathématique................................................................................................38
IV.I.3.1. Optimisation continue sans contraintes ............................................................ .39
IV.I.3.2. Optimisation continue avec contraintes..............................................................39
IV.I.3.3. Optimisation à objectifs multiples.......................................................................40
IV.1.4.Traitements des contraintes ...............................................................................................40
IV.1.4.1. Méthodes des pénalités ......................................................................................40
IV.1.4.2. Lagrangien .........................................................................................................43
IV.2 – Méthodes d’optimisation...................................................................................................44
IV.2. 1. Introduction .................................................................................................................... 44
IV.2.2. Caractéristiques.................................................................................................................44
IV.2.2.1. Sensibilité et robustesse d’une méthode d’optimisation....................................44
IV.2.2.2. Opérateurs de recherches fondamentaux ..........................................................45
IV.2.2.3. Mode de recherche de l’optimum......................................................................45
IV.2.3. Classification des méthodes d’optimisation ....................................................................45
IV.2.3.1. Méthodes déterministes ....................................................................................46
IV.2.3.2. Méthodes stochastiques ....................................................................................48
IV.2.4. Algorithmes Génétiques...................................................................................................49
IV.2.4.1. Introduction ...................................................................................................... 49
IV.2.4.2. Principe.............................................................................................................. 49
IV.2.4.3. Codage ..............................................................................................................50
IV.2.4.4. Population initiale..............................................................................................53
IV.2.4.5. Fonction d’adaptation .......................................................................................53
IV.2.4.6. Méthodes de sélection .......................................................................................54
IV.2.4.7. Modèles de reproduction ...................................................................................56
IV.2.4.8. Traitement des contraintes..................................................................................60
IV.2.5. Sélection des individus .....................................................................................................61
IV.2.6. Recuit simulé.....................................................................................................................62
IV.2.6.1. Introduction ........................................................................................................62
IV.2.6.2. Notions................................................................................................................63
IV.2.6.3. Algorithme..........................................................................................................64
IV.2.6.4. Paramètres ..........................................................................................................64
IV.2.7. Recherche taboue...............................................................................................................66
IV.2.7.1. Introduction ........................................................................................................66
IV.2.7.2. Recherche taboue à variables continues ............................................................66
IV.2.7.3. La recherche taboue de Hu ................................................................................67
IV.2.8. Conclusion ........................................................................................................................68
Chapitre V : Application des AG à la minimisation de la fonction MLI bipolaire et unipolaire
V.1.Introduction ............................................................................................................................70
V.2. Optimisation de la technique MLI pré calculée bipolaire de l’onduleur monophasé par la
méthode des AG.............................................................................................................................70
V.2.1.a. Résultats d’élimination de la troisième harmonique par l’AG.............................72
V.2.1.b. Résultats d’élimination de la cinquième harmonique par l’AG…...……………74
V.2.1.c. Résultats d’élimination de la septième harmonique par l’AG.............................76
V.2.1.d. Résultats d’élimination de la neuvième harmonique par l’AG............................78
d
V.2.1.e. Résultats d’élimination de la onzième harmonique par l’AG .............................80
V.2.2. Interprétation des résultats ……………………………………………………….82
V.3. Optimisation de la technique MLI pré calculée unipolaire de l’onduleur monophasé par la
méthode des AG.............................................................................................................................82
V.3.1.a. Résultats d’élimination de la troisième harmonique par l’AG.............................84
V.3.1.b. Résultats d’élimination de la cinquième harmonique par l’AG...…..…………..86
V.3.1.c. Résultats d’élimination de la septième harmonique par l’AG............ ................88
V.3.1.d. Résultats d’élimination de la neuvième harmonique par l’AG............................90
V.3.1.e. Résultats d’élimination de la onzième harmonique par l’AG .............................92
V.3.2. Interprétation des résultats ……………………………………………………….94
V.4. Optimisation de la technique MLI pré calculée bipolaire de l’onduleur triphasé par la
méthode des AG.............................................................................................................................94
V.4.1.a. Minimisation de la cinquième harmonique de la MLI bipolaire de l’onduleur
triphasé ……………..........................................................................................................94
V.4.1.b. Interprétation des résultats……………………………………………………...96
V.4.1.c. Minimisation de la septième harmonique de la MLI bipolaire de l’onduleur
triphasé ……………..........................................................................................................97
V.4.1.d. Interprétation des résultats……………………………………………………...99
V.4.1.e. Minimisation de la onzième harmonique de la MLI bipolaire de l’onduleur
triphasé ……………..........................................................................................................99
V.4.1.f. Interprétation des résultats…………………………………………………......101
V.5. Optimisation de la technique MLI pré calculée unipolaire de l’onduleur triphasé par la
méthode des AG...........................................................................................................................101
V.5.1.a. Minimisation de la cinquième harmonique de la MLI unipolaire de l’onduleur
triphasé ……………........................................................................................................101
V.5.1. b. Minimisation de la septième harmonique de la MLI unipolaire de l’onduleur
triphasé ……………........................................................................................................104
V.5.1.c. Minimisation de la onzième harmonique de la MLI unipolaire de l’onduleur
triphasé ……………........................................................................................................106
V.5.2. Interprétation des résultats…………………………..…………………………..108
V.6.Conclusion…………………………………………………...…………………………….108
Conclusion générale ....................................................................................................................110
e
Introduction générale :
Depuis de nombreuses années, le fournisseur d'énergie électrique s'efforce de garantir la
qualité de l'énergie électrique, les premiers efforts se sont portés sur la continuité de service afin
de rendre toujours disponible l'accès à l'énergie chez l'utilisateur. Aujourd'hui, les critères de
qualité ont évolué avec le développement des équipements où l'électronique prend une place
prépondérante dans les systèmes de commande et de contrôle et qui entraîne de plus en plus de
problèmes de perturbations au niveau des réseaux électriques. Ces dispositifs sensibles, mais qui
dégradent également la qualité de la tension, existent dans toutes les catégories d'utilisateurs tels
que le domaine industriel par l'emploi de convertisseurs de l'électronique de puissance, le
domaine tertiaire avec le développement de l'informatique et le domaine domestique par
l'utilisation en grand nombre des téléviseurs, magnétoscopes, lampes à économie d'énergie, ...
Ainsi, on assiste à une augmentation régulière, de la part des utilisateurs, des taux de
déséquilibre des courants et d'harmonique, ainsi qu'à une importante consommation de la
puissance réactive. La circulation de ces mêmes courants perturbés va également provoquer des
déséquilibres (non symétrie) de tension et des harmoniques, lesquels vont se superposer à la
tension nominale du réseau électrique. De plus, des incidents du type coups de foudre, courtcircuit ou un brusque démarrage d'une machine tournante à forte puissance peuvent causer une
chute soudaine et importante de tension. On nommera ce type d'incident: creux de tension. Ces
perturbations ont bien entendu des conséquences néfastes sur les équipements électriques,
lesquelles peuvent aller d'un fort échauffement ou d'un arrêt soudain des machines tournantes
jusqu'à la destruction totale de ces équipements. Plusieurs solutions de dépollution des réseaux
électriques ont été déjà proposées pour améliorer la qualité de la puissance écoulée dans le
réseau en d'autres mots améliorer le transit de puissance. Celles qui répondent le mieux aux
contraintes industrielles en matière de l'amélioration du transit de puissance et qui sont les
FACTS (Flexible Alternative Current Transmission Systems). La technologie de la
compensation par des FACTS s'est avéré une solution fiable et rentable aux problèmes de qualité
de l'onde reliés à la puissance réactive et active. Le compensateur statique de puissance réactive,
de même que la compensation série variable, font partie d'une première génération de dispositifs
FACTS, recourant à des thyristors « conventionnels » pouvant être commandés à l'allumage mais
pas à l'extinction. La seconde génération utilise des thyristors GTO ou IGBT pouvant être
commandés à l'allumage et à l'extinction. Les onduleurs sont des convertisseurs statiques qui
peuvent utiliser ces dispositifs de commande. Généralement, les onduleurs utilisent la commande
MLI (Modulation en Largeur d’Impulsions) pour produire une tension de sortie alternative.
La Modulation en Largeur d’Impulsions (MLI) est une technique de pilotage pour les
convertisseurs statiques servant d'interface entre une charge (machine électrique, …) et son
dispositif d'alimentation (onduleur triphasé, …). Elle est donc une technique utilisée pour la
conversion de l’énergie, ayant ses bases dans le domaine des télécommunications (traitement du
signal). Elle porte en anglais le nom de Pulse Width Modulation (PWM) ou Pulse-Duration
Modulation (PDM), en utilisant une dénomination plus ancienne. Loin d’être un élément
accessoire dans la chaîne de variation de vitesse (variateur électrique associé à une machine
électrique), l’étage MLI joue un rôle essentiel avec des conséquences sur toutes les performances
du système : les performances d’entraînement, les pertes dans l’onduleur ou dans la machine, le
bruit acoustique, le bruit électromagnétique, la destruction même du système, due par exemple
2
aux surtensions qui apparaissent lors de l’utilisation des longs câbles. En ce qui concerne l’étude
elle-même de la fonction MLI, elle se situe pratiquement entre les deux domaines principaux du
métier : l’entraînement (algorithmes de commande) et l’électronique, Il existe plusieurs types de
modulateurs utilisables pour réaliser la fonction MLI. Il se différentie bien de l'aspect génération
de la modulante qui ne tient pas directement de la façon d'obtenir les impulsions de commande.
Il faut aussi faire la différence entre la MLI et les boucles de contrôle par Hystérésis qui, de
même que le DTC, ne peuvent être classifiées comme méthodes MLI, ceci parce que ce sont des
méthodes qui fonctionnent d'une part en boucle fermée et d'une autre part ce n'est pas la durée de
l'impulsion qui est directement contrôlée. Cette discussion sera élargie lors de la classification
des techniques MLI dans le Chapitre II.
L’objectif de ce travail est d’utiliser un algorithme génétique sous contraintes pour
optimiser les harmoniques de tension, cet algorithme génétique qui est une méthode
d’optimisation stochastique basée sur des techniques dérivées de la génétique et des mécanismes
de sélection naturelle va être appliqué à la minimisation de la fonction MLI programmée
unipolaire et bipolaire. En fait, les méthodes stochastiques permettent de localiser l’optimum
d’une fonction dans l’espace des paramètres sans avoir recours aux dérivées de la fonction par
rapport à ces paramètres. De plus, elles ne se laissent pas piéger par un optimum local et
réussissent le plus souvent à déterminer l’optimum global de la fonction considérée. Leur
principe consiste à travailler avec un ensemble de solutions, puis à les faire évoluer au moyen
des règles heuristiques et probabilistes. Contrairement à la plupart des méthodes stochastiques
les méthodes déterministes telles que : la méthode de Newton Raphson nécessite un bon choix
des conditions initiales pour converger, et la connaissance du gradient de la fonction objective
pour atteindre la solution optimale.
Pour atteindre ces objectifs de recherche, cette thèse sera organisée en cinq chapitres avec
une introduction générale et une conclusion générale présentant des suggestions :
Le premier chapitre : est consacré à des généralités sur les onduleurs en MLI monophasés et
triphasés en pont complet et en demi-pont et à la classification des onduleurs.
Le deuxième chapitre : expose une étude des différents types d e commande de MLI.
Le troisième chapitre : expose des techniques de modulation avancée MLI.
Le quatrième chapitre : sera divisé en deux parties.
 La partie I est consacrée à l’exposé d’une méthodologie de conception applicable au
domaine de l’électrotechnique. Elle s’appuie sur la résolution de problèmes d’optimisation
sous contraintes. Notamment, la formulation d’un problème de conception en un problème
d’optimisation est présentée.
 La partie II brosse un état de l’art des techniques d’optimisation capables de résoudre les
problèmes de conception en électrotechnique. Deux grandes classes de méthodes sont
présentées : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques.
Les caractéristiques principales de chaque classe, leurs points forts et leurs points faibles sont
montrés.
Et enfin Le cinquième chapitre sera consacré à l’application de l’algorithme génétique à
la minimisation de la fonction MLI programmée unipolaire et bipolaire de l’onduleur monophasé
et triphasé. Les résultats des exécutions des programmes seront présentés avec des
commentaires.
3
Chapitre I :
Généralités sur les onduleurs en « MLI »
I.1. Introduction :
Une des branches de l’électronique en pleine expansion est l’électronique de puissance
qui traite et contrôle l’énergie électrique ainsi que sa conversion en d’autres formes d’énergie
afin de fournir des tensions et des courants aux différents types de charges selon les applications.
On distingue fondamentalement les conversions suivantes: alternatif/ continu, continu/alternatif,
alternatif/alternatif, continu/continu et la conversion alternatif/continu/alternatif ; c’est le cas
particulier des applications pour des alimentations ininterrompues (UPS). L’électronique de
puissance a pour avantages : une utilisation plus souple et plus adaptée de l’énergie électrique
une amélioration de la gestion, du transport et de la distribution de l’énergie électrique. Une
discrétion par une réduction des masses et des volumes ainsi que par un fonctionnement
ultrasonore des dispositifs. Les premiers convertisseurs de puissance électrique ont été réalisés
avec des machines électriques couplées mécaniquement. Une machine a courant alternatif d’une
part (de type synchrone ou asynchrone) couplée au réseau permettait de convertir l'énergie
électrique en énergie mécanique à vitesse fixe. Une machine à courant continu d'autre part dont
l'excitation commandée permettait de disposer d'une tension continue variable en sortie. Le
développement des composants de puissance au milieu du 20° siècle (électronique de puissance)
a permis de développer des convertisseurs de puissance électrique sans machines tournantes. La
technologie des composants utilisés (semi-conducteurs) ne cesse d'évoluer : faible coût ;
puissances commutées élevées ; facilité de contrôle. La source d'entrée du convertisseur statique
peut être du type source de courant ou du type source de tension. En sortie du convertisseur, on
contrôle l'amplitude des tensions ou des courants ainsi que leur fréquence.
Dans ce travail, on s’intéresse à la conversion continu/alternatif, cependant, nous
utiliserons une des commandes que nous avons implantées pour s’assurer de sa fonctionnalité.
Le but de cette partie serait de faire une synthèse de la technique utilisée pour l a commande des
convertisseurs monophasé et triphasé, la commande de largeur d’impulsion pour les raisons
suivantes ; elle permet à l’onduleur de :
 Générer une onde de sortie très proche de la forme idéale.
 D’obtenir le contrôle linéaire de l’amplitude de la tension et du courant de sortie
avec la commande des interrupteurs.
5
Chapitre I :
I.2. Familles de convertisseurs statiques :
Suivant le type de machine à commander et suivant la nature de la source d e puissance,
on distingue plusieurs familles de convertisseurs statiques schéma ci-dessous (Figure I.1) :
Figure I.1 : Familles des convertisseurs statiques.
Une notion importante en électronique de puissance comme en électrotechnique est la
notion de réversibilité. Un convertisseur statique d'énergie est dit réversible lorsque
l'énergie peut transiter dans les deux sens (source → récepteur ou récepteur → source) de
manière naturelle ou commandée.
I.3. Généralités sur les onduleurs en MLI :
Les convertisseurs de courant continu en courant alternatif sont appelés des
onduleurs. La fonction d’un onduleur est de convertir une tension continue d’entrée
en une tension de sortie alternative symétrique d’amplitude et de fréquence désirée. La tension
de sortie variable peut être obtenue en variant la tension continue d’entrée et en maintenant le
gain de l’onduleur constant. D’autre part, si la tension d’entrée est fix e et qu’elle soit
non contrôlable, une tension de sortie variable peut être obtenue en variant le gain
de l’onduleur.
Il y a plusieurs techniques pour obtenir cette variation, la technique de modulation des
largeurs d’impulsion MLI est la plus répandue. Elle consiste à changer la largeur des impulsions
de la tension de sortie avec des commandes appropriées des interrupteurs à semi-conducteurs de
l’onduleur.
Le gain de l’onduleur peut être défini comme le rapport entre la tension alternative de
sortie et la tension continue d’entrée.
La forme d’onde de la tension de sortie d’un onduleur idéal doit être sinusoïdale.
Cependant, cette forme d’onde n’est pas sinusoïdale en pratique et contient quelques
harmoniques. Ce qui veut dire qu’il existe des harmoniques de tension. Le but serait donc
d’obtenir à la sortie un signal avec un taux de distorsion harmonique le plus faible possible.
6
Chapitre I :
Pour des applications de faibles et moyennes puissances, les tensions de forme d’onde
carrée ou quasi-carrée pourront être acceptables ; alors que pour les applications de
fortes puissance une forme d’onde sinusoïdale avec un faible taux de distorsion des harmoniques
est exigé. Avec la disponibilité des dispositifs semi-conducteurs de puissance à haute vitesse,
l’harmonique contenue dans la tension de sortie peut être minimisée ou réduite significativement
par des techniques de commande.
Les onduleurs sont largement utilisés dans les applications industrielles par exemple :
variateur de vitesse des moteurs à courant alternatif, chauffage par induction, les alimentations
de secours, les alimentations non interrompues (UPS). L’entrée d’un onduleur peut être une
batterie, une tension continue issue des panneaux solaire, ou d’autre source de courant continu
obtenus à partir d’un redressement monophasé ou triphasé comme le montre la figure (I.2) cidessous.
Figure I.2 : Principe de fonctionnement de l’onduleur.
De façon générale, les onduleurs peuvent être classifiés en deux types : les onduleurs
monophasés et les onduleurs triphasés. Chaque groupe peut utiliser les dispositifs de commande
comme : BJT, MOSFET, MCT, SIT, GTO ou commande forcée des thyristors en fonction des
applications. Généralement, ces onduleurs utilisent la commande MLI pour produire une tension
de sortie alternative. Un onduleur est appelé un « current-fed inverter », (CFI) s’il est alimenté
par une source de courant continu (le courant d’entrée est maintenu constant), un « voltage-fed
inverter » (VFI) s’il est alimenté par une source de tension continue (la tension d’entrée est
maintenu constante), et un « variable dc linked inverter », si la tension d’entrée est contrôlable.
7
Chapitre I :
I.4. Principe de fonctionnement de l’onduleur :
Le principe de fonctionnement d’un onduleur est basé sur l’électronique de commutation,
on génère une onde de tension alternative a partir d’une tension continu comme le montre la
figure (I.3), on peut dire qu’il existe deux moyens pour réaliser cette conversion.
Figu re I.3 : S ymb ole et sign al d ’u n ond uleu r
1-L’utilisation directe d’une paire d’interrupteurs de base qui consiste à régler la
fréquence et la durée des interconnexions de la source avec la sortie. Il est donc
plutôt temporel et débouche sur les techniques de modulation de largeur d’impulsion.
2- Contrôler l’amplitude soit de façon continue en créant une source réglable (ce qui
suppose l’existence d’un autre étage de conversion), soit de façon discrète en
disposant d’un nombre suffisant de sources.
Quand S1 – S2 sont Fermé (On) et S3 – S4 sont Ouvert (Off) pour t1 < t < t2 on obtient
une alternance positive U(t) = Vdc comme la montre la figure (I.4) ci-dessous :
Figure I.4 : Fonctionnement et signal de l’onduleur dans le 1er demi cycle.
Quand S1 – S2 sont Ouvert (Off) et S3 – S4 sont Fermé (On) pour t2 < t < t3 on obtient
une alternance négative U(t) = -Vdc comme la montre la figure (I.5)
Figure I.5 : Fonctionnement et signal de l’onduleur dans le 2éme demi cycle.
8
Chapitre I :
Pour obtenir le signal résultant sur la période complète qui est présenté sur la figure (I.6)
Figure I.6 : Signal complet de l’onduleur.
I.5 Onduleur monophasé :
Pour réaliser un onduleur monophasé il suffit de disposer d’un interrupteur inverseur K
Et d’une source de tension continue E comme le montre la figure (I.7).
Figure I.7 : Montage d’un onduleur monophasé.
Montages pratiques : Deux types de montages sont utilisés :
I.5.1 Montage en demi-pont :
Dans ce type de montage (figure I.8), on fait l’hypothèse que la capacité «C »Des deux
condensateurs est suffisamment grande pour que l’on puisse considérer qu’en régime permanent
la tension à leur borne reste toujours égale à E/2.
Figure I.8 : Montage d’un onduleur en demi–pont.
9
Chapitre I :
I.5.2Montage en pont :
Il est constitué de deux cellules de commutation et la charge est connectée entre les
sorties S1 et S2 de chacune des deux cellules (figure I.9). La tension de sortie est donc la
différence entre les tensions élémentaires vs1et v s 2 de chaque cellule.
Figure I.9 : Montage d’un onduleur en pont complet.
L’intérêt des montages en pont ou en demi -pont réside dans l’utilisation d’une seule
source de tension E.
La diode parallèle est utilisée quand le courant dans le commutateur est négatif La diode
inverse est décentrée quand le courant est positif dans le commutateur.
I.6 On du leu r triph asé en p on t :
L’onduleur triphasé en pont est constitué de trois cellules de commutation (figure I.10).
On retrouve évidemment une structure différentielle dans laquelle les tensions triphasées sont
obtenues de façon composée sur les trois bornes de sortie. L’onduleur triphasé doit évidemment,
en régime normal, délivrer un système de tension dont les composantes fondamentales forment
un système équilibré.
Figure I.10 : Montage d’un onduleur triphasé.
I.6.1. Prin cip e d e f onction n emen t (u n e p hase):
Dans la configuration différentielle de l’onduleur triphasé, la cellule de commutation peut
donc être considérée comme une phase de l’onduleur, la composante alternative de sa tension de
sortie constituant une tension simple comme le montre la figure (I.11) ci-dessous pour chaque
tension.
10
Chapitre I :
Figure I.11 : Allure des tensions simples de l’onduleur triphasé.
I.7. Classification des onduleurs :
Il existe plusieurs centaines de schémas d`onduleurs, chacun correspondant à un type
d`application déterminé ou permettant des performances recherchées. Les onduleurs sont en
général classés selon les modes de commutation de leurs interrupteurs.
a. Onduleur autonome : C’est un système qui nécessite des composants commandés à la
fois à la fermeture et à l'ouverture, de fréquence variable, dont les instants de
commutations sont imposés par des circuits externes. La Charge est quelconque. Cet
onduleur n'est pas réversible.
b. Onduleur non autonome : Dans ce cas, les composants utilisés peuvent être de
simples thyristors commandés uniquement à la fermeture et la commutation est
"naturelle" contrairement à l'onduleur autonome.
L'application principale de ce type d'onduleur se trouve dans les variateurs pour moteurs
synchrones de très forte puissance où les thyristors sont souvent les seuls composants utilisables.
I.8. Modélisation de l’onduleur triphasé :
L’onduleur triphasé dit deux niveaux est illustré par son circuit de puissance de la figure
(I.12). On doit distinguer d’une part les tensions de branche VAN, VBN, VCN mesurées par
rapport à la borne négative de la tension continue Vpv, d’autre part, il y a les tension de phases
VAn, VBn et VCn mesurées par rapport à un point neutre flottant n représentant une charge
équilibrée montée en étoile. Des tensions simples on peut tirer facilement les tensions composées
VAB, VBC et VCA.
11
Chapitre I :
Figure I.12 : Circuit de fonctionnement de l’onduleur triphasé.
Dans le circuit de puissance de l’onduleur triphasé de la figure (I.12), il est à noter que les
états des interrupteurs d’un même bras sont complémentaires. En utilisant ces états des
interrupteurs, nous pouvons obtenir les tensions de branche de sortie de l’onduleur mesurées par
rapport à la borne négative de la tension du côté continu comme suit :
VAN= S1.Vpv
VBN= S2.Vpv
(I.1)
VCN = S3.Vpv
Où S1, S2 et S3 désignent les états des interrupteurs des phases A, B et C respectivement.
-Les tensions composées sont :
VAB= VAN+VNB= VAN-VBN= (S1- S2) Vpv
VBC= VBN+VNC= VBN-VCN= (S2– S3) Vpv
(I.2)
VCA= VCN+VNA= VCN-VAN= (S3– S1) Vpv
On peut écrire l’équatio n (I.2) sous la forme matricielle.
(
)=(
)×(
)
(I.3)
-Les tensions simples sont:
VAN = (2/3) V AN – (1/3) (V BN + VCN)
VBN = (2/3) V BN – (1/3) (V AN + VCN)
VCN = (2/3) V CN – (1/3) (V AN + VBN)
On peut écrire l’équation sous la forme matricielle.
(
)=
(
) ×(
12
)
(I.4)
Chapitre I :
I.9. Paramètre de performance de l’onduleur :
Les sorties d’un onduleur (tension, courant) contiennent certaines harmoniques, et la
qualité de l’énergie fournit par un onduleur est évaluée suivant les paramètres de performance
suivant :
a . F a c t e u r d e l a nième harmonique HFn:
C ’est la mesure de la contribution individuelle des harmoniques définit comme suit:
Veffn: Valeur efficac e de la nième harmonique.
Veff 1 : Valeur ef ficace de la fondamentale .
b. Distorsion d’harmonique total THD et le facteur DF :
Le taux de distorsion, encore appelé distorsion harmonique totale est défini comme le
rapport de la valeur efficace globale des harmoniques (c'est-à-dire leur somme quadratique) à la
valeur efficace de la composante fondamentale.
Il peut s’appliquer soit au courant ou à la tension
√
(I.5)
THD =
On va couramment jusqu’au 40ème ou 50ème rang d’harmoniques. Cette grandeur permet
d’évaluer à l’aide d’un nombre unique la perturbation d’un courant ou d’une tension en un point
d’un réseau, voire de comparer deux réseaux sujets à des harmoniques de rangs différents.
Le THD représente sensiblement l’augmentation de l’effet Joule dans les lignes et les
dispositifs.
Un appareil de mesure qui n’effectue pas une analyse spectrale ne mesure pas le THD
mais une valeur approchée appelée le facteur de distorsion, ou DF.
Ce facteur, inférieur à 100 %, est défini par le rapport de la valeur efficace des
harmoniques à la valeur efficace du signal total.
√
(I.6)
DF =
√
Lorsque la distorsion est faible, les deux valeurs THD et DF sont équivalentes.
S i DF dépasse les 15%, il est possible de corriger la mesure pour obtenir le taux de
distorsion harmonique total.
THD =
(I.7)
√
13
Chapitre I :
Un bon appareil d’analyse de réseaux donne la valeur efficace du signal puis le compare à
celle du signal sans son fondamental. Mais certains appareils ne mesurent que la valeur moyenne
des signaux redressés et non pas les valeurs efficaces. La mesure peut être alors inférieure à DF,
et aucune correction ne permet de retrouver THD.
La distorsion de l’onde de tension est proportionnelle à l’impédance du réseau et à
l’amplitude des courants harmoniques. La précision de son calcul n’est limitée que
par l’incertitude de l’impédance du réseau.
Le taux de distorsion du réseau électrique est presque partout inférieur à 2% en HTB, 5%
en HTA et 7% en BT. C’est la mesure de la similitude de la forme d’onde réelle avec sa
composante fondamentale.
THD =
[∑
]
(I.8)
Le THD en tension caractérise la déformation de l’onde de tension.
Une valeur de THDu inférieure à 5 % est considérée comme normale. Aucun
disfonctionnement n’est à craindre.
Une valeur de THDu comprise entre 5 et 8 % révèle une pollution harmonique
significative. Quelques disfonctionnements sont possibles.
Une valeur de THDu supérieure à 8 % révèle une pollution harmonique importante.
Des disfonctionnements sont probables. Une analyse approfondie et la mise en place de
dispositifs d’atténuation sont nécessaires.
Le THD en courant caractérise la déformation de l’onde de courant.
Une valeur de THDi inférieure à 10 % est considérée comme normale. Aucun
disfonctionnement n’est à craindre.
Une valeur de THDi comprise entre 10 et 50 % révèle une pollution harmonique
significative. Il y a risque d’échauffements, ce qui implique le surdimensionnement des câbles et
des sources.
Une valeur de THDi supérieure à 50 % révèle une pollution harmonique importante. Des
disfonctionnement sont probables. Une analyse approfondie et la mise en place de dispositifs
d’atténuation sont nécessaires.
I.10. Origine des harmoniques :
I.10.1 Déformation d’un signal sinusoïdal :
y(t) =Y0 + ∑
√
ωt- φn)
Yo :Valeur de la composante continue généralement nulle et considérée comme telle par la suite,
Yn : Valeur efficace de l’harmonique de rang n,
ω: Pulsation de la fréquence fondamentale,
φn: Déphasage de la composante harmonique à t = 0.
Un signal déformé est la résultante de la superposition des différents rangs d’harmoniques.
14
Chapitre I :
I.10.2 Mode de représentation : le spectre en fréquence :
Le spectre est un histogramme fournissant l’amplitude de chaque harmonique en fonction
de son rang. L’examen du spectre permet d’apprécier à la fois quels sont les harmoniques
en présence et leur importance respective comme le montre la figure (I.13).
La figure I.13 : Spectre d’un signal.
Spectre d’un signal de composante fondamentale 50Hz, et comportant des harmoniques de
rangs 3(150Hz), 5(250Hz), 7(350Hz) et 9(450 Hz). Comme le montre la figure (I.13) ci-dessus.
I.10.3 L’harmonique mesuré en pratique :
Les harmoniques les plus fréquemment rencontrés dans le cas des réseaux triphasés, donc
en pratique les plus gênants, sont les harmoniques de rangs impairs.
Au-delà du rang 50, les courants harmoniques sont négligeables et leur mesure n’est plus
significative. Ainsi, une bonne précision de mesure est obtenue en considérant les harmoniques
jusqu’au rang 30.
Les distributeurs d’énergie surveillent les harmoniques de rang 3, 5, 7, 9, 11 et13. Aussi,
la compensation des harmoniques jusqu’au rang 13 est impérative, une bonne compensation
prendra également en compte les harmoniques jusqu’au rang 25.
I.11.Conclusion :
Dans ce chapitre nous avons présenté des généralités sur les onduleurs en MLI, toutes les
caractéristiques des onduleurs monophasés et triphasés en pont et en demi-pont sont présentées
avec leurs Paramètre de performance.
15
Ch a pitr e II :
Différents type de commande « M L I »
II.1. Introduction :
Dans plusieurs applications industrielles, on est souvent préoccupé d'avoir une
alimentation stable et réglable. Cette tension peut être obtenue au moyens des onduleurs qui
éliminent les fluctuations de la tension continue d'entrée, en maintenant la relation
tension / fréquence constante tout en réglant l'amplitude de la tension requise par la charge.
Plusieurs méthodes sont utilisées pour obtenir cette tension et la MLI est l'une des plus efficaces.
En plus de régler l'amplitude, cette méthode contrôle le contenu harmonique de la tension de
sortie de l'onduleur en repoussant les harmoniques d'ordre inférieur vers les fréquences les plus
élevées, ce qui rend le filtrage plus facile et moins coûteux, car la taille des composantes du
filtre, est assez réduite. Cependant, on note que la technique de MLI a des limites par rapport à la
fréquence d'opération des onduleurs. Plus cette fréquence est élevée, plus les pertes dues à la
commutation des interrupteurs à semi-conducteurs sont élevées aussi. En plus, la fréquence
d'opération des onduleurs MLI est également limitée par la vitesse de commutation propre des
interrupteurs à semi-conducteurs.
Plusieurs techniques de contrôle à MLI ont été développées. Les plus utilisées sont les
suivantes:
1 - Modulation MLI simple.
2 - Modulation MLI multiple.
3 - Modulation MLI sinusoïdale.
4 - Modulation MLI sinusoïdale modifiée.
5 - Commande par déplacement de phase.
Nous passons en revue l'ensemble des techniques dans le but de les introduire et bien
situer les limitations de chacune d'elles.
II.2. MLI simple :
Cette technique de MLI utilise une seule impulsion par demi-cycle et la largeur de cette
impulsion fait varier l'amplitude de la tension à la sortie de l'onduleur (aux bornes
de la charge).
Les signaux de commande sont obtenus par comparaison d'un signal de référence
d'amplitude A r, avec un signal d'onde porteuse triangulaire d'amplitude Ac. La figure(II. 1)
montre la génération des signaux de commande et de sortie d'un onduleur monophasé
à pont complet utilisant la modulation MLI simple. La fréquence du signal de référence est celle
de la fondamentale de la tension de sortie. En variant Ar, de 0 à Ac, la largeur d'impulsion δ
p e u t v a r i e r d e 0 à 1 8 0 ' . Le rapport entre A r, e t Ac est la variable de contrôle et est
appelée indice de modulation d'amplitude ou tout simplement indice de modulation.
(II.1)
La tension de sortie efficace peut être trouvée pa r :
*
+
∫
La série de Fourier de la tension de sortie produite est :
17
√
(II.2)
Ch a pitr e II :
∑
(II.3)
18
Ch a pitr e II :
Figure II.1: MLI d’une simple impulsion
II.3.MLI multiple :
Lorsqu'on veut réduire le contenu harmonique, on utilise plusieurs impulsions dans
chacune des alternances de la tension de sortie. Cette technique est connue sous le nom de MLI
multiple. La génération des signaux de commande pour permettre la conduction et le blocage des
transistors est montrée sur la figure (II.2) obtenue en comparant un signal de référence avec une
porteuse triangulaire.
La fréquence du signal de référence règle la fréquence de sortie fo et la
fréquence porteuse fc, du signal détermine le nombre d'impulsions durant la demi alternance,
«p», l'indice de modulation contrôle l'amplitude de la tension de sortie. Ce type de modulation
est également connu sous le nom de Modulation en Largeur d'Impulsions Uniforme (UMLI
'Vni form P ulse W idth Modulation '). Le nombre d'impulsions par demi-cycle est:
(II.4)
Ou
est appelé taux de modulation de fréquence.
La variation de l'indice de modulation M de 0 à 1 fait varier la largeur d'impulsion de 0 à
π/ p et la tension de sortie de 0 à Vs.
La tension de sortie d'un onduleur en pont est donnée par la figure. II.2.b pour une MLI
uniforme. Si δ est la largeur de chaque impulsion, la tension efficace de sortie peut être calculée
d'après la formule :
*
∫
√
+
(
)
(II.5)
La forme générale de la série de Fourier pour la tension de sortie instantanée est :
19
Ch a pitr e II :
∑
(II.6)
20
Ch a pitr e II :
Le coefficient Bn, peut être déterminé en considérant une paire d'impulsions telle que
l'impulsion positive de durée δ démarre à ωt =α et l'impulsion négative de même largeur démarre
à ω = π +α comme l'indique la figure. II.2.b. Les effets de toutes les impulsions prises ensemble
donnent la tension de sortie effective (théorème de superposition).
Si l'impulsion positive de la miéme paire démarre à ωt = αm, et s'arrête à ωt = αm, + π, le
coefficient de la série de Fourier pour une paire d'impulsions est :
*∫
–∫
*
(
)
+
(
)+
(II.7)
Le coef ficient B n, peut être obtenu en additionnant des effets de toutes les impulsions;
∑
*
(
)
(
)+
(II.8)
L'ordre des harmoniques est le même que pour le cas précédemment étudié; mais le
facteur de distorsion est considérablement réduit. Cependant, à cause du nombre élevé de
commutations (n fois), les pertes augmentent également de n fois. Pour un nombre élevé
d'impulsions p, les amplitudes des harmoniques d'ordre inférieur sont réduites tandis que les
mêmes amplitudes pour les harmoniques d'ordre élevé augmentent. Cependant, ces harmoniques
produisent une faible distorsion qui peut être facilement filtrée à la sortie.
Figure. II.2 : MLI multiple.
II.4. MLI sinusoïdale :
Au lieu de maintenir la largeur de toutes les impulsions constantes, comme dans le cas de
la MLI uniforme, dans ce cas, la largeur de chaque impulsion varie en fonction de l'amplitude
d'une onde sinusoïdale évaluée au centre de la même impulsion. Le facteur de distorsion et les
harmoniques sont réduits significativement.
Les signaux de commande sont montrés sur la figure. II.3.a et sont générés en comparant
un signal de référence sinusoïdale avec une onde porteuse triangulaire de fréquence fc.
21
Ch a pitr e II :
Ce type de modulation est communément utilisé dans les applications industrielles. La
fréquence du signal de référence f r, détermine la fréquence f 0d e l ’ o n d u l e u r ; a l o r s q u e
l'amplitude maximale Ar, contrôle l'indice de modulation M qui à son tour détermine la
tension efficace de sortie V0.
Le nombre d'impulsions par demi-cycle dépend de la fréquence de l'onde porteuse. La
tension instantanée de sortie de la figure. II.3.a montre que deux transistors d'une même branche
(QI et Q4) ne peuvent conduire à la fois. Les mêmes signaux de commande peuvent être générés
en utilisant une porteuse triangulaire unidirectionnelle comme l'indique la figure II.3.b.
La tension efficace de sortie peut être variée en variant l'indice de modulation M. On peut
observer que la zone de chaque impulsion correspond approximativement à la zone au-dessus de
l'onde sinusoïdale entre la moitié des points adjacents de la fin de la période au début des signaux
de commande. Si δm, est la largeur de la mième impulsion, la tension efficace de sortie peut être
écrite sous la forme suivante :
V0
(∑
)
(II.9)
Ainsi, le coefficient de la série de Fourier de cette tension est :
∑
*
(
)
(
)+
(II.10)
Pour n = 1,3,5… (2p-1)…
Cette technique réduit le facteur de distorsion mieux que la MLI multiple. Elle élimine
toutes les harmoniques inférieures ou égales à (2p-1). Pour p=5, l’harmonique de rang le plus
petit est le neuvième. Toutefois, la tension de sortie contient des harmoniques. Cette modulation
repousse ces harmoniques dans le domaine des hautes fréquences autour de la fréquence de
commutation fc, et ses multiples
a) Signaux de commande générés par une porteuse triangulaire avec une référence sinusoïdale :
22
Ch a pitr e II :
Figure II.3.a : MLI sinusoïdale, génération des signaux de commande par une porteuse
triangulaire sinusoïdale
b) Génération des signaux de Commande par une porteuse Triangulaire Unidirectionnelle :
Figure II.3.b : MLI sinusoïdale, génération des signaux de commande par une porteuse
triangulaire unidirectionnelle.
La tension maximale de sortie de la fondamentale pour les commandes MLI et MLI
sinusoïdale ; peuvent être approximativement trouvées par la relation suivante :
Vm1= dVs pour O < d < 1
23
Ch a pitr e II :
Pour d = l, on obtient l'amplitude maximale de la fondamentale de la tension de sortie,
Vm1 (max) = Vs, Ainsi pour une onde de sortie carrée Vm1 (max) peut être plus grand que
Vs/π = 1.273 Vs, en considérant l’équation de la tension de sortie d’un onduleur monophasé,
c’est-à-dire :
∑
(II.11)
On peut augmenter la fondamentale de la tension de sortie en choisissant « d » plus grand
que l'unité. Ce mode de fonctionnements et appelé sur modulation.
La valeur à laquelle Vm1 (max)= 1.273Vs dépend du nombre d'impulsions «p» par demi
cycle et est approximativement égale à 3 pour p=7 (voir la figure. II.3.d).
En réalité, cette sur modulation emmène l'opération en onde carré et ajoute plus
d'harmonique en comparant ce fonctionnement à celui dans la gamme linéaire (c'est à dire pour
d=1).
Figure II.3.d : Indice de modulation M
La sur modulation est déconseillée dans des applications où on exige la minimisation des
distorsions comme dans le cas des 'UPS'(uninterruptible power supplies).
II.5.MLI sinusoïdale modifiée :
Selon la caractéristique de la MLI sinusoïdale, les largeurs des impulsions s'approchent
de l'amplitude maximale de l'onde sinusoïdale pour ne pas changer significativement avec la
variation de l'indice de modulation. Cela est dû à la caractéristique d'une onde sinusoïdale et la
technique de MLI sinusoïdale peut être modifiée en appliquant l'onde sinusoïdale durant le début
et la fin d'un intervalle de 60° par demi cycle; c'est à dire 0 à 60° et de 120° à 180°.Ce type de
modulation est connu sous le nom de MLI sinusoïdale modifiée. La composante fondamentale
est ainsi augmentée et les caractéristiques des harmoniques sont améliorées. Il réduit le nombre
de commutations des dispositifs de puissance et réduit également les pertes dues aux
commutations. La figure. II.4 montre ce principe de modulation. Le nombre d'impulsions a sur
une demi période de 60° est normalement lié au rapport de fréquence dans le cas d'un
onduleur triphasé Par :
= 6q + 3
24
Ch a pitr e II :
Figure II.4 : MLI sinusoïdale modifiée
II.6. Commande par déplacement de phase :
La tension de commande peut être obtenue en utilisant plusieurs onduleurs et en faisant la
somme des tensions de sortie de ceux-ci.
Un onduleur à pont complet peut être perçu comme la somme de deux demi pont. Un
déplacement de phase de 180° produit une tension de sortie comme l'indique la figure II.5.c,
alors qu'un délai (déplacement) d'angle produit une sortie comme le montre la figure II.5.e.
La tension de sortie efficace est : V 0 =V s √
(II.12)
∑
Si
(II.13)
∑
Alors
(II.14)
La tension instantané de sortie,
∑
[
]
(II.15)
S achant que sin(a) -sin(b) =2sin [ (a -b)/2] .cos [ (a+b)/2] , l'équation précédente
peut être simplifiée a :
∑
*
+
(II.16)
La valeur efficac e de la fondamentale de la tension de sortie est :
(II.17)
√
25
Ch a pitr e II :
C'est justement cette relation qui montre que la tension de sortie peut varier en fonction
de la variation de l'angle β.
Ce t ype de commande est spécialement utile pour des applications de forte
puissance exigeant un nombre important de transistor en parallèle.
Figure II.5: Contrôle par déplacement de phase.
II.7. Contrôle de tension d'un onduleur triphasé :
Un onduleur triphasé peut être considéré comme étant trois onduleurs monophasés
déphasés de 120°. Ainsi, les techniques que ces derniers utilisent, sont applicables aux onduleurs
triphasés.
Par exemple, la génération des signaux de commande avec une MLI sinusoïdale est
montrée sur la figure. II.6. On remarque que les trois ondes de référence sinusoïdales sont
déphasées de 120° entre elles.
Une onde porteuse est comparée avec le signal de référence de la phase correspondante
pour générer le signal de commande de cette phase.
La tension de sortie comme l'indique la figure. II.6 est générée en éliminant la condition
que deux dispositifs de commutation de la même branche ne peuvent conduire en même temps.
26
Ch a pitr e II :
Figure II.6 : Onduleur MLI sinusoïdale triphasée.
II.8.Conclusion :
Dans ce chapitre et d’après les études faites par les chercheurs, on déduit qu'aucune de
ces techniques ne réduit de façon significative ce problème d'harmoniques.
La MLI permet de se rapprocher du signal désiré ; cependant cette technique est
imparfaite. Le contenu des harmoniques généré par une onde MLI entraîne des pertes dans le
réseau (pertes fer dans les transformateurs, pertes joule dans la ligne et le convertisseur), dans la
charge (pertes joule, pertes fer et pertes par courant de Foucault).Elle génère dans les machines
tournantes des oscillations du couple, des bruits acoustiques et des résonances
électromagnétiques. Elles injectent du bruit sur la commande et introduit des non linéarités qui
peuvent déstabiliser le système. Il est donc impératif de minimiser les harmoniques; ce qui fera
l'objet de l'étude des techniques dites avancées.
27
Chapitre III :
T e c h n i q u e s de mo d u l a t i o n a v a n cé e
III.1 .In trodu ction :
La Modulation des largeurs d’impulsions sinusoïdale (MLIS) qui est généralement
utilisée à une imperfection près, celle d'avoir une faiblesse fondamentale de la tension de sortie.
Les autres techniques qui améliorent ces performances sont :
- Modulation trapézoïdale.
- Modulation en escalier.
- Modulation en échelle (stepped).
- Modulation par injection d'harmonique.
- Modulation delta- Modulation pré calculée (SHE).
Pour des raisons de simplification, nous allons montrer la tension de sortie, V, pour un
onduleur à demi pont, et nous allons présenter les avantages et inconvénients de chaque technique.
Pour un onduleur à pont complet, V0,= Va0, - Vo, où Vo est l'inverse de Va0
III.2.Modulation trapézoïdale :
Les signaux de commande sont générés en comparant une onde porteuse triangulaire avec
une onde modulante trapézoïdale comme le montre la figure (III.1). L'onde trapézoïdale peut
être obtenue d'une onde triangulaire en limitant ses amplitudes à ± A r, l i é à l a
v a l e u r maximale Ar (max.) par :
Ar = δAr(max)
(III.1)
Où δ est appelé facteur triangulaire à cause de la forme de l'onde devenant triangulaire
quand δ =1.
L'indice de modulation M est :
(III.2)
Pour 0 ≤ M ≤ 1
L'angle de la partie continue de l'onde trapézoïdale est : 2φ = π (1-δ)
Pour des valeurs fixes de Ar(max) et Ac, M qui variait en fonction de la tension de
sortie peut varier en changeant le facteur triangulaire δ.
Ce type de modulation augmente la fondamentale de la tension de sortie à 1.05 Vs, mais
cette sortie contient des harmoniques d'ordre inférieur.
27
Chapitre III :
Figure III.1 : Modulation trapézoïdale.
III.3.Modulation en escalier :
Le signal de modulation est une onde en escalier comme l'indique la figure III.2.
L'escalier n'est pas une approximation échantillonnée de l'onde sinusoïdale. Les niveaux de ces
escaliers sont calculés pour éliminer des harmoniques spécifiques. Le taux de modulation de
fréquence mf et le nombre d'escalier sont choisis pour obtenir la qualité désirée de la tension de
sortie.
C'est une MLI optimisée et n'est pas recommandée pour un nombre d’impulsions
inférieures à 15 par alternance. Il a été démontré dans les études que pour une valeur élevée de la
fondamentale de la tension de sortie et un facteur de distorsion faible, le nombre optimum
d'impulsions est de 15 pour deux niveaux ,21 pour trois niveaux et 27 pour 4 niveaux. Ce type de
commande fournit une meilleure qualité de la tension de sortie avec une valeur fondamentale
supérieure à 0.94 V.
Figure III.2 Modulation en escalier.
28
Chapitre III :
III.4. Modulation par échelle (stepped) :
Le signal modulé est une onde en échelle comme le montre la figure III.3. L’onde en
échelle n’est pas une approximation échantillonnée de l’onde sinusoïdale. Elle est divisée en des
intervalles spécifiques de 20°. Chaque intervalle commande séparément l’amplitude de la
composante fondamentale et élimine les harmoniques correspondantes. Cette technique donne un
taux de distorsion plus faible et une amplitude plus grande de la composante fondamentale
comparée à la MLI normale.
Figure.III.3 Modulation en échelle.
III.5. Modulation Delta :
Une onde triangulaire est utilisée pour osciller à l'intérieur d'une fenêtre
définie Δ V comme l'enveloppe d'une onde sinusoïdale de référence Vr .La fonction de
commutation de l'onduleur, identique à la tension de sortie V 0, est générée à partir de la
verticale de l'onde triangulaire Vc, comme le montre la figure III.4.Cette technique de
commande est aussi connue sous le nom de "modulation d'hystérésis". Si la fréquence de
l'onde modulée change en maintenant la pente de l'onde triangulaire constante, le nombre
d'impulsions et les largeurs des impulsions de l'onde modulante changent aussi. La fondamentale
de la tension de sortie peut être au-dessus de 1 V, e t dépend de l'amplitude maximale A, et la
fréquence f r, de la tension de référence. La modulation delta peut commander le rapport de
tension par rapport à la fréquence qui est une caractéristique désirable en contrôle des moteurs à
courant alternatif.
29
Chapitre III :
Figure.III.4 Modulation Delta.
III.6. Modulation par injection d'harmoniques :
Le signal modulé est généré par injection d'harmoniques sélectionnées de l'onde
sinusoïdale. Il en résulte une forme d'onde "plate" et une réduction de la sur modulation. Il
fournit une grande amplitude de la fondamentale et une faible distorsion de la tension de sortie.
Le signal modulé est généralement composé de :
Vr = 1.15 sinωt + 0.27 sin 3ωt - 0.029sin 9ωt
(III. 3)
Ce signal modulé avec la troisième et neuvième injection d'harmoniques est donné par la
figure III.5.a. Il faut noter que l'injection de la troisième harmonique n'affecte pas la qualité de la
tension de sortie fait que l'onduleur triphasé ne contiendra pas des harmoniques de multiple trois.
Figure.III.5.a Modulation par injection d'harmonique sélectionnée.
30
Chapitre III :
Si on injecte seulement la troisième harmonique, Vr est :
Vr = 1.15 sinωt + 0.19 sin 3ωt
(III. 4)
Le signal modulé peut être généré pendant la durée de 2π/3 de l'onde comme le montre la
figure III.5.b.Il en est de même que l'injection d'une troisième harmonique sur une onde
sinusoïdale. La tension ligne-ligne est une MLI sinusoïdale et l'amplitude de la composante
fondamentale est approximativement 15% supérieure que dans le cas d'une MLI sinusoïdale
ordinaire. Ainsi, chaque branche est commutée à l'ouverture pendant un tiers de la période, ce
qui réduit l'échauffement des dispositifs de commutation.
Figure.III.5.b Modulation par injection d'harmonique.
31
Chapitre III :
III.7 Modulation pré calculée :
III.7.1 MLI monophasée :
Cette technique de modulation, qui est une méthode très efficace et très importante pour
la commande des onduleurs deux niveaux afin d’améliorer beaucoup plus la qualité de leurs
tensions de sortie. Elle consiste à former l’onde de sortie de l’onduleur d’une succession de
créneaux de largeurs variables. Généralement, on utilise une onde qui présente une double
symétrie par rapport au quart et à la demi- période. Cette onde est caractérisée par le nombre de
créneaux ou d’impulsions par alternance. Que ce soit impair ou pair, ces angles suffisent pour
déterminer la largeur de l’ensemble des créneaux ;On représente aussi le nombre d’angles de
commutation par quart de période. Ces angles de commutation sont déterminés de telle façon à
éliminer certains harmoniques. On peut s’intéressé par exemple à éliminer les premiers
harmoniques (ex : 3, 5, 7, 9,11,…pour le monophasé et 5, 7, 11, 13, 17, … pour le triphasé) qui
sont les plus gênants et donc indésirables pour le fonctionnement des charges telles que les
moteurs électriques.
III.7.1.1 Décomposition en série de Fourier d’un signal MLI :
Les harmoniques paires dans la tension de sortie d’un onduleur monophasé peuvent être
éliminées par l’introduction d’impulsion paire symétrique bipolaire
Figure III.7.1.1: Signal MLI.
La transformée de fourrier d’un signal alternatif périodique est donnée par :
)
U (t) = a0+∑
))
(III.5)
= ∫
)
)
)
(III.6)
= ∫
)
)
)
(III.7)
Pour un signal périodique avec une symétrie sur le quart de période et une antisymétrique
sur la demi- période, on a :
a0 = 0
(III.8)
an = 0
32
Chapitre III :
= ∫
)
)
33
)
(III.9)
Chapitre III :
Si on suppose que le signal U(t) a une amplitude vdc égal à ±1 et pour k impulsions alors
bn sera égal à :
)
[∫
)
)
∫
)
∫
)
)
)
∫
]+
)
)
∫
)
(III.10)
Et en utilisant l’expression suivante :
)
∫
)
))
(III.11)
Les premiers et derniers termes deviennent :
)
∫
)
)
∫
))
)
(III.12)
)
(
) )
(III.13)
En intégrant les autres termes de l’équation (III.10) et en substituant les équations
(III.12) Et(III.13) on aura :
[
)
)
∑
[
)
))]
)
)]
)
(III.14)
L’équation (III.10) contient K équations à K inconnues, le fondamental peut être contrôlé
et(K-1) harmoniques peuvent être éliminés. Nous avons donc :
)
∑
[
[
∑
)]
)
)]
(III.15)
Sachant que la valeur efficace est donnée par:
√
,
√
,……,
(III.16)
√
Nous obtenons le système d’équations suivant :
√
√
{
√
[
)
)
)
)
)]
)
[
)
)
)
)
)
)]
[
)
)
)
)
)
)]
(III.17)
Pour une commande à onde pleine (180°), le fondamental pour un montage en pont a
√
pour valeur efficace :
E
(III.18)
34
Chapitre III :
Pour l’élimination de (K-1) harmoniques, on doit résoudre le système d’équation suivant :
)
[
{
)
)
)
))]
[
)
)
)
)
))]
[
)
)
)
)
))]
[
)
)
)
)
))]
(III.19)
0 < α1< α2< α3<… π/2
III.7.1.2 La MLI programmée unipolaire :
Figure III.7.1.2 : Signal MLI unipolaire.
La décomposition de série de Fourier du signal MLI unipolaire pour k impulsion nous donne :
[
Donc :
)
∑
∑
[
∑
[
(III.20)
)]
)
)]
)
)]
(III.21)
III.7.2.MLI triphasé :
Le point milieu de la source de tension est fictif. Les commandes des interrupteurs d’une
même branche sont disjointes (et complémentaire pour l’onduleur monophasé).
La décomposition de série de Fourier donne :
[
)
∑
)
)]
(III.22)
Dans ce cas aussi, on cherche à annuler les harmoniques sachant que ceux d’un rang
multiple de 3 sont naturellement éliminés.
Les critères usuellement retenus sont pour la MLI recalculée :
 Elimination d’harmoniques de rang spécifié,
 Elimination d’harmoniques dans une bande de fréquence spécifiée.
 Minimisation d’un critère d’harmonique global.
La modulation est caractérisée par M angles électriques. Ces angles M permettent :
 Soit d’annuler M harmoniques.
 Soit d’annuler M-1 harmoniques et de fixer l’amplitude de la fondamentale.
III.8.Con clu s ion :
Dans ce chapitre nous avons présenté les différentes techniques de modulation avancée.
Les avantages et inconvénients de chaque technique, parmi ces techniques : la MLI programmée,
qui est une méthode très efficace et très importante pour la commande des onduleurs deux
niveaux. Cette technique qui va être optimisée par la méthode des Algorithmes génétiques dans
le cinquième chapitre.
35
Méthodes d’optimisation
Chapitre IV :
IV.1.Place de l’optimisation dans la démarche de conception en électrotechnique :
IV.1.1 Introduction :
La conception économique et la mondialisation se traduit en terme de conception de
produit industriel par trois axes principaux de progrès sur lesquels il faut inlassablement
travailler : réduire le délai de la mise sur le marché, augmenter les performances des produits
(simplicité, fiabilité, maintenance, robustesse…) et diminuer le coût de possession. Les outils
dits de conception assistée par ordinateur sont aujourd’hui performants et permettent un gain de
productivité considérable en intégrant plusieurs étapes du processus de conception et de
fabrication d’un produit industriel. L’intervention de l’ingénieur reste encore cruciale, car c’est à
lui que reviennent les tâches d’exploration de l’espace de conception et de décision pour le choix
de la conception répondant le mieux au cahier des charges. Le développement des méthodes
d’optimisation répond à ce besoin de l’ingénieur en l’assistant dans sa tâche de conception, en
automatisant l’exploration de l’espace de conception et en lui garantissant l’obtention de la
meilleure solution. L’intérêt de l’optimisation est non seulement de rationaliser la recherche de la
solution au problème de conception mais également, de raccourcir le délai d’obtention de cette
dernière et de contribuer ainsi à la maîtrise du coût de conception.
Durant ces dernières années, de nombreuses études ont été menées dans le domaine de
l’optimisation comme le montre le nombre important de publications sur ce thème dans les
revues du domaine. Aujourd’hui, l’optimisation s’applique à tous les domaines de la science et
même à notre vie quotidienne. Chacun cherche souvent à mieux gérer son temps, son argent,
minimiser certaines consommations, …, ce sont autant de problèmes d’optimisation.
Dans le domaine de l’automobile, la recherche d’une meilleure aérodynamique se pose
depuis longtemps en termes d’optimisation de forme sous différentes contraintes : espace
intérieur, faisabilité, sécurité, coût, etc. Dans l’industrie électronique, la réalisation de circuits à
très haute échelle d’intégration conduit à la minimisation des distances entre connexions. En
électrotechnique, un objectif est de diminuer le coût de possession d’un dispositif, en exploitant
au mieux les matériaux de façon à minimiser les coûts de fabrication et augmenter le rendement.
Ainsi, il convient de trouver la forme d’un dispositif qui permet d’obtenir une distribution
particulière du champ magnétique, réduire le champ de fuite, etc.
Cette première partie est consacrée à l’exposé d’une méthodologie de conception
applicable au domaine de l’électrotechnique. Elle s’appuie sur la résolution de problèmes
d’optimisation sous contraintes.
IV.1. 2 Méthodologie de conception :
L’optimisation est souvent réduite aux techniques de résolution mathématiques
auxquelles sont attribués par la suite les échecs rencontrés. Or, comme pour la plupart des
problèmes que l’ingénieur est amené à résoudre, l’optimisation doit faire l’objet d’une démarche
systématique qui comporte quatre phases récapitulées dans la figure IV.1.Les phases peuvent
s’enchaîner séquentiellement mais les itérations et les retours sont bien souvent indispensables.
Figure IV.1: Démarche de résolution d’un problème de conception.
36
Chapitre IV :
Analyse du cahier des charges :
Le cahier de charge, définit en amont, exprime les besoins des utilisateurs en termes de
fonctions de service et contraintes à satisfaire.
A l’état initial, il est décidé que l’objet à concevoir doit assurer certaines fonctions dans
un environnement donné : les fonctions de service. Il doit également satisfaire certaines
exigences qui conditionnent son adoption par l’utilisateur final : les contraintes.
En général, l’objet à concevoir interagit avec son environnement. Un ou plusieurs
phénomènes physiques sont nécessaires pour décrire ces interactions et constituent les modèles
physiques comportementaux de l’objet.
Pour évaluer les performances de l’objet et vérifier qu’il répond aux exigences imposées,
il est nécessaire de définir un ensemble de réponses de contrôle ainsi qu’un ensemble de facteurs
sur lesquels il est possible d’agir. Facteurs et réponses sont liés à la nature et au comportement
de l’objet ainsi qu’aux réactions de l’environnement.
La phase de rédaction du cahier des charges impose une caractérisation rigoureuse du
dispositif à concevoir et n’est pas traitée ici. Elle peut s’appuyer sur des méthodologies et
techniques de management de projets [CAZ 97].
Formulation du problème d’optimisation :
Cette phase consiste à traduire le problème de conception, décrit par le cahier des
charges, en un problème mathématique équivalent. C’est l’étape la plus délicate du processus de
conception car, là aussi, la formulation d’un problème n’est jamais unique, en particulier la
définition des fonctions caractérisant les performances du système.
Elle consiste à définir de façon précise :
1. La fonction objective.
2. Les paramètres de conception.
3. Les éventuelles contraintes liées à la fabrication ou à l’utilisation du dispositif et
donc exprimées dans le cahier des charges.
4. Les contraintes ajoutées par le concepteur.
La fonction objective est une des réponses de l’objet qui définit l’objectif à atteindre et
peut être de deux natures : un coût à minimiser (coût de fabrication, consommation, coût
d’exploitation, durée de développement) ou une performance à maximiser (profit, rendement,
facteur de transmission). Son choix conditionne la définition du problème d’optimisation et
inclus les moyens qui en permettent le calcul, c’est-à-dire la modélisation retenue pour l’objet.
Dans le cas d’un objective unique, le choix de cette fonction est évident. Par exemple,
dans le cas où le but est de trouver les caractéristiques d’un dispositif produisant des
performances dont les valeurs sont spécifiées, la fonction objective peut prendre comme
expression l’écart entre les performances et les spécifications. Cependant, les problèmes
d’optimisation doivent souvent satisfaire des objectifs multiples dont certains sont concurrents.
Plusieurs façons de traiter ces problèmes sont analysées dans ce chapitre.
Les paramètres ou variables de conception sont des facteurs contrôlés qui permettent
d’influencer les performances. Ils peuvent être de natures diverses : dimensions géométriques,
propriétés des matériaux, choix structurels, etc. Ils peuvent être quantitatifs ou qualitatifs,
continus ou discrets. Le choix et le nombre des paramètres conditionnent aussi la définition du
problème d’optimisation. Il peut être intéressant de faire varier un grand nombre de facteurs afin
d’augmenter l’espace de recherche mais le processus d’optimisation sera alors plus long.
37
Chapitre IV :
La formulation du problème d’optimisation est fondamentale dans le processus de
conception parce qu’elle conditionne le succès des étapes suivantes. Elle n’est pas facile à
aborder car le choix des variables de conception n’est jamais unique et les moyens de calcul
actuels ne peuvent en gérer qu’un nombre limité.
Résolution du problème d’optimisation :
La recherche de l’optimum d’un problème est réalisée à l’aide de méthodes
d’optimisation qui seront présentées dans la deuxième partie.
Certaines de ces méthodes sont dites déterministes car elles conduisent, pour une solution initiale
donnée, toujours au même résultat final. Pour trouver l’optimum, elles s’appuient sur une
direction de recherche qui peut être fournie par les dérivées de la fonction objective. Ces
méthodes ont la réputation d’être efficaces lorsque la solution initiale est proche de l’optimum
recherché. Cette particularité constitue un inconvénient majeur dans le cas d’une fonction
objectif possédant plusieurs optimums. Elles peuvent, en effet, converger vers un optimum local.
Les méthodes stochastiques, contrairement à la plupart des méthodes déterministes, ne
nécessitent ni point de départ, ni à la connaissance du gradient de la fonction objectif pour
atteindre la solution optimale. Elles s’appuient sur des mécanismes de transition probabilistes et
aléatoires qui explorent efficacement l’espace de recherche et convergent vers l’optimum global.
Leur nature aléatoire implique que plusieurs exécutions successives de ces méthodes conduisent
à des résultats différents pour une même initialisation du problème d’optimisation. Cependant,
elles demandent un nombre important d’évaluations de la fonction objectif en comparaison avec
les méthodes déterministes exploitant la dérivée de la fonction objective.
Analyse et exploitation des résultats :
Une fois le problème résolu, il est impératif d’évaluer la qualité de la solution et en cas
d’échec de s’interroger sur les choix adoptés lors des phases précédentes. On attribue souvent
l’échec de l’optimisation à la méthode de recherche employée pour la localisation de l’optimum
ou à la sensibilité des paramètres de cette méthode alors que le problème est peut-être mal
formulé.
Un cahier des charges peut être non faisable à cause de contraintes trop sévères ou parce
que la fonction objectif n’est pas pertinente. Par exemple, la réduction des oscillations de couple
doit être faite en ajoutant une contrainte pour maintenir le couple moyen. Il se peut que le
problème soit mal formulé par manque de contraintes qui n’apparaissent pas explicitement dans
le cahier des charges. Le choix de la méthode de résolution peut être effectivement erroné et il
est nécessaire de s’assurer de l’adéquation entre la méthode de résolution et le modèle retenu. En
effet, si le modèle n’est pas continu et différentiable ou si l’expression de la fonction objective
n’est pas explicite, il est imprudent d’utiliser les méthodes déterministes du premier ordre, c’està-dire qui utilisent les dérivées premières de la fonction objective.
IV.1. 3.Formalisme mathématique :
La première étape d’un processus d’optimisation consiste à formuler, en termes
mathématiques, le problème de conception. Au cours de ce paragraphe, certains concepts de base
liés à la formulation d’un problème d’optimisation sont détaillés. La présentation reste très
générale et est nécessaire à la compréhension de la suite de l’exposé.
38
Chapitre IV :
IV.1.3.1. Optimisation continue sans contraintes :
Un problème d’optimisation continue sans contraintes peut se formuler par :
( )
{
*
+
(IV.1)
Les composantes, (xi,i= 1,L,n) du vecteur X sont connues sous le nom de variables ou
paramètres de conception. En électrotechnique, celles-ci peuvent être les dimensions
géométriques ou les propriétés physiques (densité de courant, induction magnétique, pertes
spécifiques, perméabilité...), d’un dispositif.
La fonction f (X) est nommée fonction objective. Elle peut représenter aussi bien un
critère physique (force électromotrice, puissance…), un coût de fabrication tenant compte par
exemple du prix d’une tôle magnétique, d’un aimant, etc, ou le poids de la structure à optimiser.
Par défaut, la fonction objectif est à minimiser ce qui correspond à objectif de type coût. Dans le
cas de la maximisation d’une performance, la fonction objective vaudra l’opposé de la
performance. Le problème d’optimisation est dit continu car les variables sont réelles. Les
limites technologiques minimale et maximale, respectivement, xim et xiM, représentent les limites
de variation de chaque paramètre. S est appelé espace des solutions ou espace de recherche.
IV.1.3.2. Optimisation continue avec contraintes :
Généralement, un problème mathématique d’optimisation continue avec contraintes
s’écrit de la manière suivante :
( )
{
(IV.2)
( )
Les fonctions g j (X),j = 1,…,m sont les contraintes d’inégalités associées à la faisabilité
du dispositif et à son adaptation au cahier des charges. Dans notre cas, elles représentent des
limites imposées au problème (limitation de l’induction magnétique, limitation de masse totale,
limitation des grandeurs géométriques…). Elles peuvent également représenter des relations
entre les variables ajoutées par le concepteur pour garantir le bon conditionnement du problème.
L’ensemble des régions de l’espace de recherche où les contraintes de conception sont
vérifiées est dénommé espace réalisable ou domaine admissible. Inversement, l’espace
irréalisable ou domaine interdit, désigne l’ensemble des zones de l’espace où au moins une des
contraintes n’est pas respectée. La solution du problème que nous venons de formuler est
obtenue lorsque le minimum de la fonction f (X) est atteint.
Les fonctions f (X) et g j (X) peuvent être linéaires, non linéaires, continues ou
discontinues. De ce fait, une solution optimale du problème sera déduite à partir d’une méthode
d’optimisation adéquate comme détaillé en deuxième partie.
Il faut cependant préciser qu’en général un problème d’optimisation de structure en
électrotechnique, ou dans n’importe quelle autre discipline, ne peut être résolu avec
suffisamment de cohérence sans une bonne connaissance du dispositif à traiter. En effet, les
méthodes d’optimisation ne sont pas des outils magiques, mais doivent être considérées comme
des outils d’aide à la recherche de solutions.
39
Chapitre IV :
IV.1.3.3. Optimisation à objectifs multiples :
Parfois, il n’est pas possible d’extraire une fonction objective unique du cahier des
charges mais plusieurs objectifs qu’il faut satisfaire simultanément. L’optimisation à objectifs
multiples ou optimisation multicritère a pour objet la résolution de ce problème à partir des
variables de conception. Ces problèmes entrent dans la catégorie des problèmes d’optimisation
vectoriels. Leur description est la suivante :
( )
( )
[
]
( )
{
(IV.3)
( )
Où les fonctions f h (X ) désignent les objectifs et g j (X ) les contraintes du problème.
Lorsque ce type de problème apparaît, la solution retenue est de le transformer en
problème monocritère de type (I.2) en utilisant les méthodes de Marglin [MES 98], Pareto
[LOU 92] [SCH 85] [SHA 85] ou de pondérations [MAN 85].
IV.1.4.Traitements des contraintes :
Les contraintes imposées par le cahier des charges comme les contraintes ajoutées par le
concepteur doivent être prises en compte dans le problème. Il y a plusieurs choix pour le
traitement des problèmes avec contraintes.
On peut, pour des raisons de robustesse et de facilité de mise en œuvre, transformer un
problème contraint en une suite de problèmes sans contrainte. Cette transformation s’effectue en
ajoutant des pénalités à la fonction objective. La méthode du Lagrangien procède, elle, par
linéarisation des contraintes.
Enfin, le problème contraint peut être transformé en problème non-contraint à objectifs
multiples.
IV.1.4.1. Méthodes des pénalités :
L’intérêt de ces méthodes est la simplicité de leurs principes et leur relative efficacité
pratique [RAY 74], [MIN 83] [ATT 85]. Le concept de base est de transformer la résolution du
problème (IV.2) sous contraintes en une suite de résolutions de problèmes sans contrainte (IV.1)
en associant à l’objectif une pénalité dès qu’une contrainte est violée.
La fonction objective f (X) du problème (IV.2) est alors remplacée par la fonction
suivante à minimiser :
ϕ(X, r) = f (X)+ r ⋅h(X)
(IV.4)
Où h(X) est la fonction pénalité, continue, dépendant des contraintes g j (X),r est un
coefficient de pénalité, toujours positif. La fonction de pénalité est choisie de telle façon que la
possibilité de réalisation soit garantie dans tous les processus de recherche de l’optimum.
Cette caractéristique est très importante pour éviter un arrêt prématuré de l’algorithme
d’optimisation. Suivant les types de contraintes et le type de fonction h(X) on distingue la
méthode des pénalités intérieures [CAR 61] et la méthode des pénalités extérieures [FIA 68]
[RAO 96] que nous allons exposer.
40
Chapitre IV :
La méthode de pénalité extérieure :
La fonction h(X) est utilisée afin de défavoriser les positions non admissibles. La fonction
de pénalité doit être continue et à dérivées continues :
( )
∑
( )/
.
(IV.5)
Le problème obtenu pourrait être résolu directement pour une valeur de r suffisamment
grande de telle façon que les contraintes soient satisfaites mais ce choix entraîne un mauvais
conditionnement de ϕ(X, r) et donc engendre un problème numérique lors de la résolution
[MIN 83]. Pour cette raison, les méthodes des pénalités sont en général résolues de manière
itérative : une suite de valeurs croissantes de r est générée et à chaque itération k du processus, le
problème d’optimisation sans contrainte suivant est résolu :
(
)
( )
∑
.
( )/
(IV.6)
Lorsque k tend vers l’infini, (IV.6) devient équivalent à notre problème contraint (IV.2).
Le coefficient r doit être choisi supérieur à 1, et pas trop grand pour éviter le problème
numérique cité précédemment. En pratique, une valeur de r = 10 et une valeur de k = 3 convient
bien si toutes les fonctions contraintes sont mises à l’échelle.
Grâce aux caractéristiques de continuité et dérivabilité de la fonction de pénalité, cette
méthode est applicable partout. De plus, elle est facile à mettre en œuvre.
Figure IV.2 : Fonction de pénalité pour r = 10
L’avantage de cette méthode est que le point de départ n’est pas nécessairement
admissible tout en garantissant que le point final sera dans le domaine admissible ou presque.
La fonction de pénalité extérieure est continue dans tout le domaine d’étude, admissible
comme non admissible, mais elle présente l’inconvénient de conduire à un optimum réalisable
seulement quand k tend vers l’infini et d’approcher ce point par une série de solutions non
admissibles. Elle est utilisée pour les contraintes non uniquement fonction des variables
d’optimisation ou les contraintes d’égalités. La méthode des pénalités intérieures est utilisée pour
toutes les autres contraintes pour des raisons que nous allons expliciter.
41
Chapitre IV :
Méthode des pénalités intérieures :
Dans le cas de la pénalité intérieure, on cherche à définir la fonction h(x) de telle sorte
que, plus la contrainte devient active, c'est-à-dire plus xi se rapproche de la frontière du domaine
admissible, plus la fonction de pénalisation h(x) croit et tend vers l’infini et par conséquent,
moins on a de chance de trouver le minimum proche de la frontière du domaine admissible. Cette
caractéristique montre que cette technique ne convient pas pour résoudre les problèmes
possédant des contraintes égalités.
Les fonctions de pénalités intérieures les plus employées dans la littérature sont :
La fonction inverse [CAR 61] :
h(x) = ∑
(IV.7)
( )
La fonction logarithmique [RAO 96]:
h(x)=- log (-gj(x))
(IV.8)
Figure IV.3 Fonction de pénalité intérieure pour r = 10
Dans le cas de la fonction inverse, la fonction objective du problème d’optimisation
(IV.2) est remplacée par la fonction suivante :
(
)
( )
∑
( )
(IV.9)
Le coefficient r est choisi grand pour que la recherche se fasse initialement loin des
limites du domaine de faisabilité. A chaque nouvelle itération, la recherche pourra se rapprocher
d’avantage des limites de faisabilité, la pénalité diminuera et (IV.9) deviendra équivalent à
(IV.2) pour r-k tendant vers zéro, i.e. k .tendant vers l’infini.
La fonction de pénalisation intérieure présente l’avantage de toujours conduire à une
séquence de solutions réalisables. Néanmoins, elle a l’inconvénient majeur d’être discontinue sur
l’interface entre les domaines admissible et interdit. En plus, le point de départ doit
obligatoirement être dans la région admissible, ce qui conduit à la nécessité d’un algorithme
supplémentaire pour le trouver.
Par exemple, on choisit comme point initial celui qui minimise les pénalités ce qui permet
à l’optimisation de démarrer dans une direction d’amélioration de la fonction objective f (X).
42
Chapitre IV :
Méthode de pénalisation radicale :
La méthode de pénalisation radicale est un processus de pénalisation très populaire dans
le domaine de l’optimisation évolutionnistes [MIC 96]. Il s’agit d’écarter les solutions non
réalisables en attribuant à la fonction de transformation une valeur très élevée en cas de
minimisation, ou une valeur nulle en cas de maximisation. Par conséquent, la probabilité de
survie de ces solutions, déterminée par les mécanismes de sélection, est quasi-nulle. Cette
méthode est séduisante en raison de sa grande simplicité. Elle peut être appliquée avec succès
lorsque l’espace de recherche est convexe. Dans le cas contraire, cette approche a de sérieuses
limitations, les solutions situées dans l’espace irréalisable ne pouvant être améliorées en raison
de l’absence de directions données par la méthode de pénalisation.
Choix de la méthode de pénalité :
La méthode des pénalités extérieures, d’un point de vue pratique, est très avantageuse.
En effet, le domaine d’optimisation défini par des contraintes assure la possibilité et la
pertinence du calcul de la réponse en tout point. Cette méthode peut donc être appliquée à un
problème contraint sans modification des algorithmes de recherche. Elle permet aussi la prise en
compte des contraintes égalités et des contraintes qui ne sont pas fonction uniquement des
variables d’optimisation mais également des résultats de simulation.
Comparativement, la méthode des pénalités intérieures est plus difficiles à mettre en
œuvre car les inégalités sont strictes et ne peuvent être transgressées. Par contre, elle permet de
réduire le domaine de recherche au seul domaine faisable et ainsi limiter les risques d’arrêt
prématuré du processus d’optimisation.
En conclusion, une combinaison des deux méthodes est préférable : la méthode des
pénalités extérieures pour les contraintes non uniquement fonction des variables d’optimisation
ou les contraintes égalités et la méthode de pénalités intérieures pour les autres. Les méthodes
que nous venons de décrire présentent certains inconvénients. Notamment lorsque k tend vers
l’infini, la fonction peut être mal conditionnée ce qui entraîne une convergence lente. De plus,
ces méthodes sont itératives et nécessitent donc un temps de calcul important.
Nous allons maintenant présenter une méthode qui permet d’éliminer en partie les
difficultés dues aux pénalités en assurant une convergence vers l’optimum. Ces méthodes sont
dites du Lagrangien augmenté [HES 69] [ROC 73] et sont réputées robustes et efficaces.
IV.1.4.2. Lagrangien :
On appelle fonction de Lagrange associée au problème d’optimisation (IV.2), la fonction:
(
)
( ) ∑
⋅ ( )
(IV.10)
où λj ≥ 0 ( j= 1,L,m ) sont appelés multiplicateurs de Lagrange.
Théorème de Kuhn et Tucker :
Une condition nécessaire pour que X* soit minimum local d’un problème contraint est
donnée par les équations de Kuhn-Tucker [SAL 92] :
∑
( )
)
( )
L’équation (IV.11) s’écrit à l’aide de l’équation (IV.10) :
(
)
{
(
43
(IV.11)
Chapitre IV :
{
(
(
)
44
)
Chapitre IV :
La résolution du système (IV.12) à (n + m) équations permet de trouver des points
pouvant être des minima locaux mais rien ne garantit pas qu’ils le soient effectivement.
Néanmoins, il est clair que ces méthodes nécessitent le calcul des dérivées exactes des
fonctions objectives et contraintes. Pour cette raison, elles sont difficiles à mettre en œuvre dans
le contexte de l’utilisation de la méthode des éléments finis pour évaluer ces fonctions.
Une description complète du traitement du Lagrangien se trouve dans [HES 69], [ROC 73],
[MIN83] et [VAS 94].
IV.2. LES METHODES D’OPTIMISATIONS :
IV.2. 1. Introduction :
Dans la première partie, la formulation d’un problème de conception en un problème
d’optimisation a été décrite. Cette deuxième partie s’intéresse aux méthodes d’optimisation les
mieux adaptées. Nombreuses sont les méthodes d’optimisation. On peut cependant les classer en
deux grandes catégories : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques. Dans la
première classe, on rencontre toutes les méthodes qui cherchent le minimum d’une fonction en se
basant sur la connaissance d’une direction de recherche, souvent donnée par le gradient de cette
fonction. Dans le cas d’optima multiples, elles s’arrêtent sur le premier rencontré.
Les méthodes stochastiques sont une alternative pour pallier cet inconvénient. Les trois
méthodes stochastiques les plus répandues sont les algorithmes génétiques, le recuit simulé et la
recherche taboue. Elles sont capables de trouver le minimum global d’une fonction même dans
des cas très difficiles, mais le temps de calcul peut être élevé. Ceci est particulièrement
pénalisant lorsque le calcul de la performance de chaque nouvelle solution proposée par le
processus aléatoire nécessite la résolution d’un modèle éléments finis.
Les algorithmes génétiques imitent l’évolution naturelle et le processus de sélection .En
employant des opérations de base : sélection, croisement et mutation, ils sont capables de trouver
le minimum global ou au moins une solution qui en est proche.
L’algorithme du recuit simulé a été développé par analogie entre le processus
thermodynamique de recuit d’un solide et le processus d’optimisation. La succession des phases
d’équilibre thermique et de refroidissement permet de localiser l’optimum global.
Le fonctionnement de la recherche taboue repose sur une utilisation intelligente de
l’historique de la recherche pour influer sur les prochains déplacements. Après une
caractérisation des méthodes d’optimisation, les avantages intrinsèques des méthodes
stochastiques sont mis en valeur. Une description complète des algorithmes génétiques, du recuit
simulé et de la recherche taboue est donnée. En ce qui concerne les algorithmes génétiques, les
mécanismes de recherches sont particulièrement originaux, ce qui a nécessité une description très
détaillée. Après avoir analysé les avantages et les inconvénients de cette méthode.
IV.2.2. Caractéristiques :
IV.2.2.1. Sensibilité et robustesse d’une méthode d’optimisation :
La méthode d’optimisation est conditionnée par des paramètres de contrôle et des
conditions initiales (valeurs initiales des variables de conception, valeurs initiales des paramètres
de contrôle,…). Elle peut être caractérisée selon le modèle de la boite noire illustré en figure
IV.4.
Figure IV.4. Modèle de la boite noire.
45
Chapitre IV :
L’efficacité d’une méthode d’optimisation est liée à la sensibilité et à la robustesse par
rapport aux paramètres de contrôle et aux conditions initiales. Lorsque les variables de
conception doivent prendre une valeur bien précise pour que la méthode de résolution converge
vers l’optimum d’une fonction donnée, la méthode est dite sensible aux conditions initiales. Une
méthode d’optimisation est robuste si pour une même valeur des paramètres de contrôle et des
conditions initiales, elle est capable de trouver l’optimum de fonctions très différentes.
Une méthode parfaite devrait être totalement insensible aux conditions initiales et aux
variables de conception et converger vers l’optimum quelles que soient la fonction objective et
les contraintes.
IV.2.2.2. Opérateurs de recherche fondamentaux :
La recherche de l’optimum d’une fonction est généralement réalisée à l’aide de deux
opérateurs fondamentaux : l’exploration et l’exploitation.
L’exploration permet une localisation imprécise de l’optimum global alors que
l’exploitation affine cette solution en augmentant la précision de l’optimum.
Le succès et l’efficacité d’une technique de résolution dépendent la plupart du temps d’un
compromis entre l’exploration et l’exploitation. Certaines méthodes toutefois n’utilisent qu’un
seul de ces opérateurs pour parvenir à l’optimum. Ainsi, les méthodes déterministes, exploitant
les dérivées de la fonction objective et des contraintes pour atteindre rapidement et précisément
le minimum local le plus proche du point de départ, privilégient l’exploitation au détriment de
l’exploration.
Tout algorithme d’optimisation doit utiliser ces deux stratégies pour trouver l’optimum
global: l’exploration pour la recherche de régions inexplorées de l’espace de recherche, pour
exploiter la connaissance acquise aux points déjà visités et ainsi trouver des points meilleurs. Ces
deux exigences peuvent paraître contradictoires mais un bon algorithme de recherche doit
trouver le bon compromis entre les deux. Une recherche purement aléatoire est bonne pour
l’exploration mais pas pour l’exploitation alors que la recherche dans le voisinage est une bonne
méthode d’exploitation mais pas d’exploration.
IV.2.2.3. Mode de recherche de l’optimum :
Lorsque l’évolution de la méthode de résolution est prévisible et ne laisse aucune place
au hasard, celle-ci est qualifiée de déterministe. En revanche les méthodes dites stochastiques
s’appuient sur des mécanismes de transition probabiliste qui peuvent conduire à des résultats
différents pour des conditions initiales et des paramètres de contrôle identiques.
Les méthodes déterministes sont qualifiées de méthodes locales, c'est-à-dire qu’elles
convergent vers un optimum dépendant uniquement du point de départ, qu’il soit local ou global.
A l’opposé, les techniques stochastiques sont reconnues comme des méthodes globales qui
permettent de localiser l’optimum global.
IV.2.3. Classification des méthodes d’optimisation :
Les méthodes d’optimisations sont classées, selon le mode de recherche de l’optimum, en
deux grands groupes : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques.
46
Chapitre IV :
IV.2.3.1. Méthodes déterministes :
Ces méthodes peuvent être subdivisées en plusieurs sous classes, les méthodes
heuristiques, les méthodes statistiques, les méthodes Branch et Bound, les méthodes
mathématiques, et les méthodes d’apprentissage automatique. Cette classification est illustrée en
figure IV.5.
Figure IV.5 Méthodes d’optimisation déterministe.
Les méthodes heuristiques ou méthodes géométriques :
Elles explorent l’espace par essais successifs en recherchant les directions les plus
favorables. La stratégie de Hooke et Jeeves [CHE 99], la méthode de Rosenbrock [RAO 96], ou
la méthode du Simplex [NEL 65], [SCH 95] sont les plus souvent employées. Toutes ces
techniques sont déterministes et locales mais elles sont beaucoup plus robustes que les méthodes
mathématiques, en particulier lorsque la fonction objectif est discontinue. Par contre, elles
deviennent moins robustes lorsque le nombre de paramètres est élevé [SAR 99].
Méthodes mathématiques :
Pour déterminer un optimum, les méthodes mathématiques se basent sur la connaissance
d’une direction de recherche donnée souvent par le gradient de la fonction objective par rapport
aux paramètres. Elles génèrent une suite de points (Xk, k IN) qui convergent vers un minimum
local X * de la fonction f vérifiant (IV.11) ou ϕ(X *, r) = 0suivant le traitement des contraintes
utilisées.
L’inconvénient principal des méthodes à base de gradient est que la dérivée de la fonction
f n’est pas toujours connue, dans ce cas, il faut l’estimer par différences finies.
(
) (
)
(IV.13)
Dans ces conditions le choix du pas du gradient λ est très important, il conditionne la
bonne détermination de la direction de recherche.
Les exemples les plus significatifs des méthodes mathématiques sont la méthode de
Cauchy ou méthode de la plus grande pente [CUL 94] et la méthode du gradient conjugué
[FLE 87] qui sont d’ordre un. D’autres techniques de gradient construisent une estimation du
Hessien c'est-à-dire des dérivées secondes comme les méthodes DFP [POW 65] et BFGS
[MIN 83] qui sont dites quasi-Newton [FLE 87] [PRE 92] [CUL 94].
47
Chapitre IV :
Parmi ces méthodes, la méthode du gradient conjugué, la méthode quasi-Newton, la
méthode SQP et la méthode de Powell sont présentées brièvement. Elles sont comparées par la
suite avec les méthodes stochastiques.
 La méthode de gradient conjugué :
La méthode de gradient conjugué [FLE 64] [FLE 87] [PRE 92] [CUL 94] est une variante
améliorée de la méthode de la plus grande pente, qui consiste à suivre la direction opposée au
gradient. Cette méthode à l’inconvénient de créer des directions de recherche orthogonales, ce
qui ralentit la convergence de l’algorithme. La méthode de Fletcher et Reeves [FLE 87] résout ce
problème en déterminant la nouvelle direction de recherche àpartir du gradient aux pas courant et
précédent.
 Méthode quasi-Newton :
Les méthodes quasi-Newton consistent à imiter la méthode de Newton où l’optimisation
d’une fonction est obtenue à partir de minimisations successives de son approximation au second
ordre. Elles ne calculent pas le Hessien mais elles utilisent une approximation définie positive du
Hessien qui peut être obtenue soit par l’expression proposé par Davidon-Fletcher-Powell (DFP)
[MIN 83], soit par celle proposée par Broyden-Fletcher-Goldfard-Shanno (BFGS) [MIN 83].
 Méthode PQS :
La méthode de programmation quadratique séquentielle (PQS), développée par
Schictkowski en 1983 [SCH 83], est une méthode de programmation non-linéaire. Elle a été
reconnue comme étant une des méthodes les plus efficaces pour résoudre des problèmes,
d'optimisation avec contraintes de taille petite et moyenne. Comme son nom le suggère, la
méthode PQS trouve la solution optimale par une séquence de problèmes de programmation
quadratique. A chaque itération, une approximation quadratique de la fonction objective et des
approximations linéaires des contraintes sont utilisées. Le Hessien est construit par la méthode
BFGS. Une analyse canonique fournie le minimum de la fonction Lagrangienne et un
déplacement est fait vers ce point.
 La méthode des directions conjuguées de Powell :
Lorsqu’il n’est pas possible de calculer le gradient, la méthode de direction conjuguée
propose de trouver l’optimum uniquement par des recherches linéaires [POW 65]. Elle effectue n
recherches linéaires successives suivant des directions conjuguées qui sont modifiées à chaque
itération pour accélérer la convergence. Ces méthodes convergent rapidement et précisément
vers l’optimum si celui-ci est proche du point initial. Si ces méthodes sont intéressantes en raison
de leur grande rapidité de convergence, elles ont plusieurs inconvénients :
1. Les valeurs de la fonction objective et éventuellement de ses dérivées doivent être
accessibles.
2. Lorsque le gradient de la fonction n’est pas calculable directement, sa détermination par
la méthode des différences finies est toujours délicate à cause de problèmes liés au choix
du pas de variation pouvant conduire à des problèmes de convergence [FLE 87].
3. Ces méthodes nécessitent la résolution de systèmes matriciels pouvant être mal
conditionnés [MIN 83].
4. La convergence est exclusivement locale. L’optimum trouvé dépend du point initial. La
sensibilité par rapport aux conditions initiales est importante.
48
Chapitre IV :
IV.2.3.2. Méthodes stochastiques :
Les méthodes d’optimisation stochastiques s’appuient sur des mécanismes de transition
probabilistes et aléatoires. Cette caractéristique indique que plusieurs exécutions successives de
ces méthodes peuvent conduire à des résultats différents pour une même configuration initiale
d’un problème d’optimisation. Ces méthodes ont une grande capacité à trouver l’optimum global
du problème.
Contrairement à la plupart des méthodes déterministes, elles ne nécessitent ni point de
départ, ni la connaissance du gradient de la fonction objectif pour atteindre la solution optimale.
Elles sont d’ordre zéro. Cependant, elles demandent un nombre important d’évaluations de la
fonction objective. La figure IV.6 présente les méthodes stochastiques les plus utilisées.
Figure IV.6 : Méthodes d’optimisation stochastiques.
Les algorithmes évolutionnistes remontent à l’introduction des algorithmes
génétiques(AG) par Holland [HOL 75]. Reshenberg et Schwefel ont mis au point trois méthodes
assez similaires : les stratégies d’évolution [REC 94], la programmation évolutionnistes [FOG
94] et la programmation génétique [KOZ 92]. L’évolution différentielle est apparue plus
récemment [STO 96] [PAH 00].
Les différences entre ces méthodes sont liées à la représentation des individus et aux
modes d’évolution de la population. Les AG utilisent un codage des paramètres de la fonction à
optimiser alors que les autres techniques se servent directement de la valeur des paramètres.
Chacune des méthodes est caractérisée par un opérateur d’évolution particulier. Les AG et
l’évolution différentielle ont un mécanisme de croisement qui permet la génération de nouvelles
configurations par recombinaison de solutions existantes. C’est donc un opérateur d’exploration.
L’exploitation est faite par le processus de sélection.
Les stratégies d’évolution et la programmation évolutionniste sont, pour leur part, basées
principalement sur un procédé de mutation de la population par perturbation successive de
chaque solution [DAR 59].
Les méthodes évolutionnistes s’affirment peu à peu comme les techniques d’optimisation
les plus robustes. Elles peuvent être appliquées à des problèmes très divers car elles sont
indépendantes du processus à optimiser et n’utilisent pas les dérivées.
Parmi les algorithmes évolutionnistes cités précédemment, les algorithmes génétiques
occupent une place particulière car ils réunissent les trois opérateurs de sélection, croisement et
mutation.
49
Chapitre IV :
IV.2.4.Algorithmes Génétiques :
IV.2.4.1. Introduction :
Les algorithmes génétiques reposent sur l’analogie entre la théorie de l’évolution
naturelle de Darwin et l’optimisation. Selon la théorie de Darwin, les individus d’une population
les mieux adaptés à leur environnement ont une plus grande probabilité de survivre et de se
reproduire, en donnant des descendants encore mieux adaptés. Comme dans les mécanismes
naturels de la reproduction, les principaux opérateurs qui affectent la constitution d’un
chromosome, qui code les caractéristiques des individus, sont le croisement et la mutation.
Les AG ont été proposés par Holland en 1975 [HOL 75], puis développés par d’autres
chercheurs tels que De Jong [DEJ 75], Goldberg [GOL 89a], [BEA 93b], [BEA 93c] et
Michalewicz [MIC 94]. C’est actuellement une des méthodes les plus diffusées et les plus
utilisées dans la résolution de problèmes d’optimisation dans de nombreux domaines
d’application.
Les particularités des algorithmes génétiques sont [GOL 89a]:
1. Ils utilisent un codage des paramètres et non les paramètres eux-mêmes.
2. Ils travaillent sur une population de points au lieu d’un point unique.
3. Ils n’utilisent que la valeur de la fonction étudiée et non sa dérivée ou une autre
connaissance auxiliaire.
4. Ils utilisent des règles de transition probabilistes et non déterministes.
J. Holland et D. Goldberg ont proposé les trois principes fondamentaux des algorithmes
génétiques :
a. Le codage des paramètres sous forme de gène
b. L’opérateur de sélection des individus les mieux adaptés ou les plus performants
c. Les opérateurs de reproduction : croisement et mutation qui agissent sur les gènes sachant
qu’au niveau de codage binaire, le croisement favorise plus l'exploration ou diversification
tandis que la mutation favorise plus l'exploitation ou l’intensification du domaine de
conception. Par contre, au niveau de codage réel, le croisement favorise l’exploitation ou
l’intensification et la mutation favorise la diversification.
Les applications des AG sont multiples : intelligence artificielle, recherche
opérationnelle, optimisation combinatoire, optimisation des fonctions numériques difficiles
(discontinues, multimodales, …..), traitement d’image (alignement des photos satellites)
optimisation d’emploi du temps, contrôle de systèmes industriels [BEA 93] et apprentissage des
réseaux de neurones [REN 94]. Ils sont peu employés en électrotechnique comparativement avec
d’autres domaines comme l’automatique, par exemple.
Les différentes caractéristiques des algorithmes génétiques sont présentées ci-dessous.
IV.2.4.2. Principe :
Les AG sont des algorithmes d’optimisation qui s’appuient sur des techniques dérivées de
la génétique et des mécanismes de sélection naturelle. Pour transposer les processus génétiques
observés dans l’évolution des espèces au domaine de l’optimisation, Holland a introduit deux
points fondamentaux [HOL 75], [MIC 94], [ALL 94] .
50
Chapitre IV :
L’évolution des espèces est un processus qui opère sur des structures appelées
chromosomes. Dans les algorithmes génétiques, on transforme tout point de l’espace de
recherche en un chromosome appelé encore chaîne ou individu. Chacune de ces chaînes
représente, sous forme codée, l’ensemble des valeurs des paramètres. Par exemple, pour un
problème à trois paramètres, une chaîne sera formée par la concaténation des trois valeurs réelles
< x1 x2 x3 >.
Dans la nature, l’adaptation d’un individu reflète sa capacité de survivre dans son
environnement. En optimisation, la valeur de la fonction objective mesure l’adaptation de
l’individu à l’environnement. Un individu est donc d’autant mieux adapté qu’il satisfait le critère
d’optimisation. A partir de ces deux concepts : codage des paramètres et mesure d’adaptation, on
peut décrire le fonctionnement général des algorithmes génétiques.
Les AG débutent par l’initialisation aléatoire d’une population P de N individus. La
population évolue sur plusieurs générations. A chaque génération g, les individus de la
population P(g) sont évalués et les plus adaptés sont autorisés par l’opérateur sélection à avoir un
grand nombre de descendants. Une mise en œuvre de cet opérateur consiste à donner pour
chaque individu une probabilité d’avoir un descendant dans la génération suivante,
proportionnelle à sa performance. Les mécanismes de mise en œuvre les plus employés sont la
roue de loterie, le tournoi ou la décimation et ils seront détaillés plus loin. Ils ont tous en
commun de générer une population P'(g) de même nombre N d’individus formés des copies des
individus appelés à se produire. Pour former la nouvelle génération, les opérateurs de croisement
et de mutation sont alors appliqués sur des individus sélectionnés aléatoirement dans P' ( g ) .
La performance d’un individu est mesurée par une fonction de performance ou
d’adaptation (fitness en anglais) qui se déduit de la fonction objectif, car les AG sont
naturellement formulés en termes de maximisation.
La figure suivante illustre le processus d’optimisation développé par les AG.
1°) Initialisation
2°) TANT que (critère d’arrêt=FAUX)
21°) Evaluation
22°) Sélection
23°) Reproduction (croisement, mutation)
3°) Fin Tant que
Figure IV.8 Algorithmes génétiques standard
Les algorithmes génétiques travaillent par générations successives jusqu'à ce qu’un
critère d’arrêt soit vérifié.
Le codage des paramètres et les opérateurs de sélection, de croisement et de mutation
sont présentés en détails.
IV.2.4.3. Codage :
Pour utiliser les AG, la première chose à se demander est: "Comment décrire un
individu?". C'est à dire, comment les paramètres peuvent se coder ?
La réponse à cette question a une influence forte sur l’implémentation des mécanismes de
croisement et de mutation. Un gène correspond de fait à un paramètre et un seul xi. Un
chromosome est constitué par un ensemble de gènes et décrit complètement un individu.
L’ensemble des individus est appelé population. On aboutit ainsi à une structure
présentant quatre niveaux d’organisation (fig.IV.9). Un chromosome est une concaténation des
gènes (fig IV.10)
51
Chapitre IV :
Figure IV.9 Les quatre niveaux
d’organisation des AG
Figure IV.10 Illustration du codage
des variables d’optimisation
Il y a plusieurs types de codage : binaire, réel, codage de Gray et codage dynamique des
paramètres. Chacun ayant ses propres avantages et inconvénients.
Les plus utilisés sont présentés ci-dessous.
Codage binaire :
Holland [HOL 75] et De Jong [DEJ 75] ont imposé le codage binaire de longueur fixe
pour un chromosome qui s’écrit sous la forme d’une chaîne de l bits avec
∑
Où l(
( )
(IV.14)
) est le nombre de bits du gène numéro i correspondant au paramètre xi .
Un des avantages du codage binaire est que l’on peut ainsi facilement coder toutes sortes
de paramètres : réels, entiers, booléens et chaînes de caractères. Cela nécessite simplement
l’usage de fonctions de codage et décodage pour passer d’une représentation à l’autre. Ce choix
le rend virtuellement applicable à tous les problèmes dont les solutions sont numériques, c'est-àdire calculées par des ordinateurs.
Le génotype d’un individu caractérise la structure du chromosome tandis que le
phénotype désigne la chaîne obtenue par la concaténation des paramètres réels ou gênes
< x1 x2 x3....>.
Le décodage convertit le chromosome en phénotype grâce au génotype. Les valeurs des
paramètres sont extraites du phénotype et ensuite fournies à la fonction d’adaptation qui retourne
la performance permettant ainsi de classer l’individu dans la population.
Le phénotype est obtenu à partir du génotype par l’équation [RAH 99] :
.
(
)
/∑
( )
(IV.15)
Cette méthode de codage est relativement facile à implanter mais elle présente
l’inconvénient de limiter la précision des paramètres à une valeur correspondant à l’écart entre
deux configurations réelles adjacentes obtenues, pour une variation du bit le moins significatif.
On constate que la précision du codage dépend du nombre de bits utilisé. Pour un nombre de bits
par gène valant 8, 16 et 32, les précisions relatives valent 3.9.10-3, 1.5.10-5 et 2.3.10-10,
respectivement.
52
Chapitre IV :
A chaque paramètre xi, on associe un gène gi qui est un entier obtenu par :
(
(
)
)
(IV.16)
Codage de Gray :
Avec le codage binaire, deux configurations proches dans l’espace des paramètres
peuvent avoir deux chromosomes très distincts, par exemple, les chaînes « 01111 » et « 10000 »
correspondent à deux configurations réelles voisines alors qu’elles diffèrent de cinq bits. Cette
caractéristique peut s’avérer pénalisante pour la recherche locale par croisement.
L’utilisation du code de Gray a été recommandée pour répondre à ce problème [CAR88]
[BAC 93]. En effet, avec ce code, les entiers adjacents ne diffèrent que d’un bit. Le passage entre
deux configurations réelles voisines ne nécessite que de modifier un seul bit dans le
chromosome.
Le passage du code binaire au code de Gray est effectué de la manière suivante :
( )
(
Où
( )
(IV.17)
représente l’addition modulo 2.
La transformation inverse s’obtient avec l’équation suivante :
( )
(IV.18)
Si on considère que le chromosome est représenté en code de Gray, on effectuera d’abord
la transformation (IV.7) avant un décodage binaire standard.
Ces opérations sont transcrites dans le tableau IV.1.
Entier
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Binaire
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Gray
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
Tableau IV.1 : Code binaire et code de Gray sur 4 bits
53
Chapitre IV :
Codage dynamique des paramètres :
Pour résoudre le problème de précision inhérent au décodage binaire standard et
améliorer la recherche locale, un codage dynamique des paramètres est proposé [SCH 92]. La
procédure de décodage est la suivante :
(
)
(
.∑
)
( )/
(IV.19)
Où dN(xi ) est une variable réelle aléatoire à densité de probabilité uniforme prise, dans
l’intervalle [0,1].
L’introduction de dN(xi ) supprime donc les discontinuités entre deux configurations
réelles adjacentes, obtenues pour une variation du bit le moins significatif, en proposant une
valeur aléatoire.
Codage réel :
Dans le cas du codage binaire, des difficultés surviennent pour calculer la fonction
objective et traiter les problèmes à plusieurs variables:
 Les fonctions objectives sont exprimées sous forme réelle. Les chromosomes binaires doivent
alors être convertis à chaque évaluation.
 Les problèmes multi-variables sont ramenés à des problèmes mono-variables par
concaténation des inconnues en un seul chromosome. A chaque évaluation, la chaîne de bits
résultante doit alors être découpée en autant de sous-chaînes qu'il y a d'inconnues. Ces souschaînes sont converties en nombres réels pour l’évaluation de la fonction objective.
Une solution est tout simplement de représenter l’ensemble des variables par un vecteur :
X = < x1, x2,...., xn > où chaque xi est un nombre réel. Cette façon de faire est le codage réel
[MIC 94] [ALL 94]. Il emploie à cet effet des mécanismes plus adaptés, reposant principalement
sur une représentation réelle des chromosomes.
Dans la suite du travail, seuls les codages binaire et réel sont employés.
IV.2.4.4. Population initiale :
La première étape de l’algorithme est la genèse de la population initiale. Elle peut être
obtenue en générant aléatoirement les individus dans l’espace de recherche suivant une loi de
probabilité uniforme.
Pour privilégier une direction de recherche ou lorsque le problème est fortement
contraint, les individus peuvent être également initialisés de façon heuristique ou directement
introduits par l’utilisateur. Mais cette méthode peut faire converger trop rapidement la recherche
vers un optimum local.
IV.2.4.5. Fonction d’adaptation :
La construction d’une fonction d’adaptation appropriée à partir de la fonction objective
est très importante pour obtenir un bon fonctionnement des AG.
54
Chapitre IV :
La transformation de la fonction objective enfonctiond’adaptation:
Les algorithmes génétiques travaillent sur la maximisation d’une fonction positive. Or
dans beaucoup de problèmes, l’objectif est de minimiser une fonction coût f (X). Et même, dans
un problème de maximisation rien ne garantit que la fonction objective reste positive pour tout
individu X. Ainsi, il est souvent nécessaire de transformer la fonction objectif en une fonction
appelée fonction d’adaptation fa.
Dans le cas d’une minimisation, la fonction objective peut être transformée par [RAH99]:
( )
( )
(IV.20)
Avec fmax= max ( f ( X )) dans la génération courante.
Dans le cas où la fonction objectif à maximiser prendrait des valeurs négatives, elle peut
être transformée de la façon suivante :
( )
( )
(IV.21)
Où fmin est la valeur minimale de f (X).
IV.2.4.6. Méthodes de sélection :
Par analogie au processus de sélection naturelle, un caractère aléatoire est conféré à la
sélection des individus tout en exploitant les valeurs de la fonction d’adaptation. Plusieurs
procédures existent [MIC 94] [RAH 99].
Roue de loterie :
La sélection proportionnelle ou sélection par roue de loterie consiste à dupliquer chaque
individu proportionnellement à la valeur de la fonction d’adaptation. Ceci peut être effectué
aisément en procédant à des tirages aléatoires consécutifs où chaque individu a une probabilité
d’être sélectionnée égale à [HOL 75] :
()
( )
∑
( )
(IV.22)
Où i désigne l’individu.
Pour réaliser cela en pratique, une roue de loterie est divisée en N secteurs de surface
proportionnelle à la probabilité de sélection. Elle est lancée autant de fois qu’il y a d’individu set
à chaque coup, l’individu désigné par l’aiguille est copié dans la nouvelle population.
Figure IV.11 : Sélection par roue de loterie
Tournoi :
Un nombre p d’individus est sélectionné parmi les N individus de la population. Le
meilleur, c’est à dire celui dont la fonction d’adaptation est la plus élevée, est sélectionné. Ce
procédé est répété jusqu’à obtenir N individus. Il est tout à fait possible que certains individus
participent à plusieurs tournois. Ils ont donc droit d’être copiés plusieurs fois, ce qui favorise la
pérennité de leurs gènes [BAC 95]. En général quatre individus sont sélectionnés pour chaque
tournoi, p = 4.
55
Chapitre IV :
Figure IV.12 : Processus de sélection par tournoi.
Décimation :
Seuls, les p meilleurs individus de la population sont sélectionnés et autorisés à se
reproduire par croisement et mutation jusqu’à obtenir une population de même taille N que la
population initiale [RAH 99].
Figure IV.13 : Processus de sélection par décimation.
Proportionnelle à reste stochastique :
Avec la sélection proportionnelle à reste stochastique, le nombre de copies N(i) d’un
Individu i est directement fixé par le rapport de sa performance avec la performance moyenne de
la population [BAK 87]
()
()
(
)
(IV.23)
∑
( )mais, il est fort possible que
Le nombre d’individus sélectionnés est donc
N1 < N. La population est alors complétée par une sélection par roue de loterie où chaque
individu a une probabilité de sélection égale à :
(
)
(IV.24)
Stochastique universelle :
Contrairement à la méthode de sélection proportionnelle où il faut réaliser N tirages
aléatoires pour sélectionner N individus, la sélection stochastique universelle ne nécessite qu’un
seul tirage pour choisir tous les parents d’une génération [BAK 87]. A partir d’une variable
aléatoire θ prise uniformément dans l’intervalle [
], deux séries de pointeurs pu et pv sont
définies de la manière suivante :
(
)
(IV.25)
56
Chapitre IV :
∑
()
(IV.26)
57
Chapitre IV :
Le pseudo code de la sélection stochastique universelle est donné par Figure. IV.14 :
u=1
v=1
Pour i=1,…, N
Tant que
Sélectionner un individu i
Incrémente u
(
)
Calculer
Fin tant que
Incrémente v
∑
()
calculer
fin pour
Figure IV.14 : Pseudo code de sélection stochastique universelle.
IV.2.4.7. Modèles de reproduction :
Pendant la phase de reproduction, les individus sont sélectionnés et les structures de leurs
chromosomes sont modifiées pour construire les nouveaux individus de la génération suivante.
Pour cela il y a différents opérateurs génétiques et différentes stratégies avec des objectifs
propres.
IV.2.4.7.1. Opérateurs génétiques :
Les parents sélectionnés sont introduits dans le bassin de reproduction où ils sont choisis
aléatoirement deux à deux pour subir des transformations par les opérateurs génétiques.
Les deux principaux opérateurs sont le croisement et la mutation. Le croisement réalise
une opération qui nécessite deux parents. La mutation est une opération unaire, utilisée pour
introduire une faible variation dans la solution ou changer la direction de recherche. Les
opérateurs génétiques se distinguent suivant le type de codage, binaire ou réel.
 Croisement binaire :
Le croisement est un processus aléatoire de probabilité pc appliqué séquentiellement à
des couples de parents pris au hasard dans la population. Il consiste à échanger une partie du
matériel génétique des parents pour former deux nouveaux individus (enfants). En pratique,
l’échange n’est effectué que si un nombre aléatoirement, tiré entre 0 et 1, est inférieur à pc.
Plusieurs types de croisement binaire sont possibles.
Croisement en un point :
Pour chaque couple, un point de croisement est choisi au hasard. Les composantes situées
à gauches de ce point sont conservées et celles à droite sont échangées entre les deux individus.
Les enfants ainsi constitués sont placés dans la population suivante P (g+1).
Figure IV.15 : Principe du croisement en un point.
58
Chapitre IV :
Croisement en deux points :
Les deux points de croisements sont également choisit au hasard puis, les séquences des
chromosomes situées entre les deux points sont échangées. Elle est généralement considérée
comme plus efficace que le précédent.
Figure IV.16 : Principe du croisement en deux points.
Croisement multiple :
Le croisement précédent peut être généralisé en croisement en k-points de coupe,
[DEJ92] générant k+1 sous chaînes pour chaque chromosome. Les deux chromosomes fils sont
obtenus par concaténation des sous chaînes en alternant les parties venant de chaque parent.
Croisement uniforme :
Le croisement uniforme est obtenu à partir d’un masque binaire initialisé aléatoirement et
possédant un nombre de bits égal au nombre de bits des individus de la population. Le premier
enfant est créé en prenant les gènes du premier parent lorsque les bits correspondant dans le
masque valent 1 et les gènes du deuxième parent si ces derniers valent 0.
Le deuxième enfant s’obtient de la même manière en complémentant le masque.
Exemple :
Masque de croisement
0011010010
Parents
Enfants
1110011010
0010011110
0011011100
1111011000
Figure IV.17 : Principe du croisement uniforme.
Combinaison des types de croisement :
Une question qui se pose est de savoir lequel des croisements proposés est le plus
performant. Des recherches ont été faites pour répondre à cette question [SYS 89] [SPE 90] et
n’ont pas permis de conclure. Une solution intéressante est le croisement adaptatif.
Pour créer un croisement adaptatif, Spears propose un mécanisme qui met en valeur le
croisement uniforme et le croisement en deux points [SPE 95].
59
Chapitre IV :
Un bit de décision choisis aléatoirement est ajouté en dernière position du chromosome
des individus de la population. Le croisement à appliquer est déterminé en fonction du la valeur
du bit de décision des deux parents reproducteurs:
•Si les bits de décision des deux parents valent 0, ceux-ci sont recombinés à l’aide d’un
croisement uniforme.
•Si les bits de décision des deux parents valent 1, ceux-ci sont recombinés à l’aide d’un
croisement à deux points.
•Si les bits de décision des deux parents diffèrent, le type de croisement à appliquer est fixé
aléatoirement de façon équiprobable.
Nous proposons une variante qui consiste, dans le cas où les bits de décision des parents
différent, à appliquer aléatoirement et de façon équiprobable le croisement en un point et le
croisement multiple.
 Mutation binaire :
La mutation revient à modifier aléatoirement la valeur d’un paramètre. Elle constitue un
opérateur de recherche secondaire qui favorise l’apparition de nouveaux génotypes. En effet, il
arrive parfois que les informations importantes contenues dans les gènes disparaissent au cours
des opérations de croisement. Le rôle essentiel de la mutation est de remédier à ce type de
dégénérescence. Une implémentation possible est la complémentation d’un bit dans un
chromosome.
Soit pm la probabilité d’une mutation, un paramètre des AG.
Pour chaque bit, une valeur aléatoire p est attribuée dans l’intervalle [0,1].
Si p < pm alors le bit est complémenté.
Figure. IV.18 : Principe de la mutation binaire
En général la probabilité de mutation pm par bit et par génération est fixée entre 0.01 et
0.1. Backer a utilisé un
,
- où l est le nombre de bits composant un
chromosome, cela revient à dire qu’en moyenne un bit par chromosome est muté.
Schaffer proposent une formule empirique qui exprime le taux de mutation en fonction
de l et de la taille de population N [SCH 89]:
(IV.27)
In(N) +0.93. In(pm) +0.45.l = 0.56
Une solution approximative de l’équation (IV.34) est un taux de mutation égal à
60
Chapitre IV :
√
61
Chapitre IV :
 Croisement réel :
Le croisement réel ne se différencié du croisement binaire que par la nature des éléments
qu'il altère : ce ne sont plus des bits qui sont échangés à droite du point de croisement, mais des
variables réelles.
Des opérateurs simples du type croisement en un point, en deux points, multiple ou
uniforme peuvent être implantés de la même manière que dans le cas d’un codage binaire. La
seule différence réside dans le point de coupe qui doit être choisi entre deux variables du vecteur,
ce qui revient à permuter des variables entre 2 chaînes. La figure IV.19 présente l’opérateur de
croisement en un point.
>
Figure. IV.19 : Principe de croisement réel en un point
Ces techniques ont un taux d’exploration relativement limité car elles ne font apparaître
aucune nouvelle valeur pour les paramètres. Pour pallier cet inconvénient majeur, deux
techniques sont applicables.
Croisement arithmétique :
Le croisement arithmétique est propre à la représentation réelle. Il s'applique à une paire
de chromosomes et se caractérise par une pondération aléatoire des chromosomes des deux
parents:
Soient x et y deux parents et p un poids appartenant à l'intervalle [0,1] qui garantit que les
descendants auront bien leurs gènes xi dans [xim, xiM]. Alors les enfants sont :
(
(
)
)
(IV.28)
x′ est constitué de p % du parent x et de (100 − p)% du parent y, et réciproquement pour y′.
Croisement uniforme :
Elle échange chaque composante entre les deux individus avec une probabilité égale à 0.5.
 Mutation réelle :
La mutation réelle ne se différencie de la mutation binaire que par la nature de l'élément
qu'elle altère, ce n'est plus un bit qui est complémenté, mais une variable réelle qui est de
nouveau tirée au hasard dans son intervalle de définition.
On distingue l’opérateur de mutation uniforme et celui non uniforme.
 Mutation uniforme :
Elle sélectionne au hasard un gène k dans la chaîne x = <x1, x2,...,xk,.... xn> et génère la
nouvelle chaîne x'= < x1, x2,....., x’k,.... xn>où x’k est une valeur aléatoire prise dans l’intervalle
[xkm, xkM].
62
Chapitre IV :
 Mutation non uniforme :
La mutation non uniforme possède la particularité de modifier les éléments qu'elle altère
dans un intervalle de définition variable et de plus en plus petit. Plus les générations avancent,
moins la mutation écarte les éléments de la zone de convergence. Cette mutation adaptative offre
un bon équilibre entre l'exploration du domaine de recherche et l’affinement des individus. Le
coefficient d'atténuation de l'intervalle est un paramètre de cet opérateur.
Il génère une nouvelle valeur xk′ pour le gène k sélectionné au hasard, donné par la
formule :
(
)
{
(IV.29)
(
)
Où g représente la génération courante et Δ(g, y) une fonction qui retourne un nombre
aléatoire dans [0, y] et dont la probabilité de renvoyer un nombre proche de 0 augmente lorsque
g augmente. Cette propriété de Δ permet à l’opérateur de chercher de façon uniforme dans
l’espace des solutions dans les premières générations puis de façon plus locale en fin
d’exécution. Michalewicz [MIC 94] a proposé pour Δ la fonction :
(
)
(
(
)
)
(IV.30)
Où G est le nombre maximum de génération, rand un nombre aléatoire dans [0,1] et b un
paramètre de l’opérateur qui détermine le degré de dépendance au nombre d’itérations.
IV.2.4.8. Traitement des contraintes :
Les AG conviennent au traitement des contraintes. En effet, les contraintes peuvent être
divisées en deux types.
 Les contraintes qui dépendent exclusivement des paramètres de conception et peuvent être
vérifiées avant le calcul de la fonction objective. Les individus qui violent ses contraintes
sont alors éliminés [MIC 96].
 Les contraintes qui dépendent des résultats du programme et ne peuvent pas être vérifiées
avant. Elles sont incorporées dans la fonction objective. Classiquement, une fonction de
pénalité extérieure est utilisée [MIC 94] [SCH 93] [RIC 89] [SMI93] [SAR 00].
L’algorithme AG avec contraintes est modifié comme suit :
1. Initialiser aléatoirement une population d’individus qui satisfont des contraintes dépendant
exclusivement des paramètres de conception.
2. Sélectionner les individus de la population qui vont se reproduire en mesurant leur
adaptabilité.
3. Appliquer les opérateurs génétiques (croisement et mutation) pour obtenir des nouveaux
individus.
4. Evaluer l’adaptabilité des nouveaux individus et affecter des valeurs nulles quand les
contraintes dépendant exclusivement des paramètres de conception ne sont pas satisfaites.
5. Eliminer les individus dont la pénalité est telle que l’adaptabilité est négative ou nulle.
6. Répéter les étapes 3. à 5. Jusqu’à ce que la taille de la nouvelle population soit égale à la taille
de la population initiale.
7. Revenir à l’étape 2, jusqu’à ce que le critère d’arrêt soit satisfait.
Les méthodes stochastiques détaillées par la suite de cette partie traitent les contraintes de
la même façon que les AG. Ces méthodes sont le recuit simulé et la recherche taboue.
63
Chapitre IV :
IV.2.5. Sélection des individus
Des individus sont sélectionnés pour construire la surface de réponse. Trois méthodes
pour choisir les individus sont proposées. Dans la première et la deuxième, les individus choisis
sont dans un hyper-rectangle centré autour du meilleur individu et dont la taille se réduit à
chaque nouvelle génération.
Méthode 1 : réduction du domaine, centré :
Dans la première méthode (M1), des individus dans la génération courante sont choisis
s’ils remplissent la condition suivante :
( )
(
)
( )
(IV.31)
( )
Où x*i sont les coordonnées du meilleur individu, g est le numéro de la génération
courante et k1 est un coefficient donné par l’utilisateur, par exemple égal à 10.
L’inconvénient principal de cette méthode apparaît quand le meilleur individu est proche
des frontières de l’espace de recherche. Si c’est le cas, la taille de l’hyper-rectangle diminue
terriblement.
Figure IV.20 : Principe de la réduction du domaine, centré
Méthode 2 : réduction du domaine, tronqué :
Pour la deuxième méthode (M2), des individus dans la génération courante sont choisis
s’ils vérifient la condition suivante :
( )
(
(
)
( ))
(
)
(
( ))
Où K2 est choisi égal typiquement a 0.1.
Figure IV.21 : Principe de la réduction du domaine, tronqué
64
(IV.32)
Chapitre IV :
Si une partie du nouveau domaine est à l’extérieur de l’espace de recherche, ce dernier est
tronqué de façon à être en totalité à l’intérieur.
Dans les deux méthodes, si le nombre des individus dans la boite de polygone est
inférieur au nombre d’effets, interactions et effets paraboliques, les opérateurs de croisement et
des mutations sont répétés jusqu’à ce que le nombre d’individus sélectionnés soit suffisant pour
construire la surface de réponse et calculer l’erreur.
Méthode 3 : sélection des meilleurs individus :
Dans la troisième méthode (M3), un pourcentage des meilleurs individus est choisi pour
construire la surface de réponse quelque soit leur position. La surface de réponse a un domaine
de validité défini par les valeurs maximales et minimales des paramètres des individus
sélectionnées.
Figure IV.22 : Principe de la réduction du domaine, sélection des meilleurs individus
IV.2.6. Recuit simulé :
Le recuit simulé est une version améliorée de la méthode d’amélioration itérative. Il a été
proposé en 1983 par KirkPatrick [KIR 83] pour la résolution des problèmes d’optimisation
combinatoire comme par exemple le problème de déplacement du voyageur de commerce
(traveling sales man problem ) [RAN 86]. La méthode imite le principe thermodynamique. Elle
s’inspire du phénomène physique de refroidissement lent d’un corps en fusion qui le conduit à un
état solide de basse énergie. Un métal est chauffé à une température très élevée, il devient liquide
et peut occuper toute configuration. Quand la température décroît, le métal va se figer peu à peu
dans une configuration qu'il est de plus en plus difficile à déformer, il est refroidi. En le
réchauffant (recuit), le métal peut être retravaillé de nouveau pour lui donner la forme désirée. Il
faut baisser lentement la température en marquant des paliers suffisamment longs pour que le
corps atteigne l’équilibre thermodynamique à chaque palier de la température, ce qui permet
d’obtenir à la fin du processus un matériau dans un état cristallin bien ordonné correspondant à
un état d’énergie minimum. Par contre, si la baisse de température se fait de manière trop brutale,
le matériau est amorphe et ses atomes sont figés dans un état désordonné traduisant un minimum
local d’énergie.
Le comportement des atomes a été caractérisé par une loi statistique de distribution
proposée par Boltzman : pour une température donnée T, la probabilité pour qu’un système
d’atomes soit dans un état d’énergie E est proportionnelle à
.
/
Ainsi quand la température décroît et devient proche de zéro, seuls les états d’énergie
minimum ont une probabilité non nulle d’apparaître.
65
Chapitre IV :
Figure IV.23 Parcours de l'espace de recherche avec le recuit simulé.
Le principe de "recuit" qui se traduit par une augmentation du
Niveau d'énergie, permet de sortir des minimums locaux.
IV.2.6.2. Notions :
Il y a plusieurs notions à définir telles que la probabilité de Boltzmann et le critère de
Metropolis.
Probabilité de Boltzmann :
La probabilité de Boltzmann [AAR 90], notée PT mesure la probabilité de trouver un
système dans une configuration i avec une énergie Ei, à une température T donnée, dans l'espace
des configurations S. Elle est définie par :
(
)
.
( )
/
(IV.33)
Où X est une variable stochastique qui désigne l’état actuel du solide, K est appelé la
constante de Boltzmann et Z(T) est une fonction appelé fonction de répartition définie par :
( )
∑
.
/
(IV.34)
Où t représente tous les états énergétiques possibles.
Dans cette expression, le facteur KT montre que lorsque la température est très élevée,
tous les états sont à peu près équiprobables, c'est-à-dire qu’un grand nombre de configurations
sont accessibles. Au contraire quand la température est basse, les états à haute énergie
deviennent peu probables par rapport à ceux de faible énergie.
Pour simuler l’évolution d’un solide vers l’équilibre thermique pour une température T,
Metropolis [MET 53] a proposé un critère appelé critère de Metropolis et qui est dérivé de la
probabilité de Boltzmann.
Critère de Metropolis :
Dans le contexte d’optimisation par la méthode du RS, l’énergie est remplacée par la
fonction objective, ainsi l’obtention d’un solide à énergie minimum est équivalente à la
recherche de l’optimum global de la fonction objective. Cette recherche se fait par explorations
successives de différentes configurations.
Après chaque passage d'une configuration X à une configuration Y, la variation de la
fonction objectif est Δ=(Y)- ( X). La transformation est acceptée selon la probabilité p(X, Y)
)
telle que : (
Lorsque la variation Δ négative ou nulle, l'exponentielle est supérieure ou égale à 1 et la
nouvelle configuration est acceptée.
66
Chapitre IV :
Si Δ > 0, p (Y,X) est comparé à un nombre aléatoire rand ϵ [0,1]:
Si rand < p (Y, X) la configuration Y est acceptée; Sinon elle est rejetée et une autre
configuration est essayée. Les configurations ayant une augmentation en Δ, c’est à dire une
dégradation de la fonction objectif sont donc moins probables pour une température donnée,
d'autant moins que la température est faible.
IV.2.6.3. Algorithme :
Kirk Patrick a fait une analogie entre l’optimisation et le phénomène physique de
refroidissement en faisant une correspondance entre arrangements des atomes et paramètres de
conception, énergie et fonction objectif à minimiser, minimum de l’énergie et minimum global,
chaîne de Markov et nombre de configurations explorées à température constante.
Cependant, le concept de température d'un système physique n’a pas d'équivalent direct
avec le problème à optimiser. Ainsi, le paramètre température T est simplement un paramètre de
contrôle, indiquant le contexte dans lequel se trouve le système, c’est à dire le stade de la
recherche. Le critère de Metropolis détermine si une nouvelle configuration générée présente une
variation de fonction objective acceptable. Il permet aussi de sortir des minima locaux quand la
température est élevée.
L’algorithme débute par une température initiale élevée et une configuration initiale prise
au hasard. A l’aide d’un déplacement aléatoire, une nouvelle configuration est générée selon
chaque direction. Selon le critère de Metropolis, elle sera acceptée ou rejetée. Ce processus est
répété, à partir du dernier point accepté, un certain nombre de fois jusqu’à obtenir l’équilibre
thermique. Pendant cette phase, le vecteur pas de déplacement p est périodiquement ajusté pour
s’adapter à la fonction, le meilleur point obtenu est désigné comme optimum courant.
La température est diminuée progressivement en générant à chaque palier un ensemble de
solutions à partir de l’optimum courant. Au début de l'algorithme, le paramètre de contrôle T est
élevé, ainsi la probabilité p(Y,X) est proche de 1 et presque toutes les dégradations de la fonction
objectif sont acceptables, ce qui favorise l’exploration. Au contraire, quand T diminue, les
remontées sont de plus en plus difficiles et seules de très faibles dégradations sont acceptées,
favorisant ainsi l’intensification. Le processus complet est répété jusqu'à ce que le critère d'arrêt
soit atteint.
En résumé, le recuit simulé utilise un double dynamique :
1°) recherche de minima à température fixée avec la chaîne de Markov
2°) diminution par étape de la température.
IV.2.6.4. Paramètres :
La principale difficulté rencontrée dans la résolution d’un problème d’optimisation par
cette méthode est liée à la détermination du schéma de refroidissement. L’ensemble des
paramètres qui gouvernent la convergence de l’algorithme sont :
• Valeur initiale du paramètre de contrôle T0 (température initiale)
• Facteur de réduction de la température rt
• Nombre d’itérations à température constante (longueur de la chaîne de Markov) Lm
• Taille de voisinage Ns
• Critère d’arrêt
67
Chapitre IV :
Algorithme de RS+PT :
Le recuit simulé employant la relation (IV.82) pour déterminer le vecteur pas est appelé
recuit simulé à pas tabulé, noté RS+PT.
(IV.35)
Où c est un coefficient de réduction supérieur à 1, éventuellement dépendant de l’espace
de recherche.
L’algorithme de recuit simulé à pas tabulé est le suivant :
1. Initialisation : soit X0 un point initial, T0 la température initiale, Ns le nombre des points
générés à vecteur pas constant, selon chaque direction, Lm le nombre de réductions du
vecteur pas à température constante, Nt le nombre de diminutions de la température, le point
initial est optimum courant et point de départ.
2. Prédéterminer les vecteurs pas en utilisant (IV.35).
3. générer un nouveau point à partir du point de départ, en utilisant un mouvement aléatoire
selon la direction courante et avec le vecteur pas courant.
4. Si la valeur de la fonction objective du nouveau point est plus petite que celle de l’optimum
courant, alors le nouveau point devient l’optimum courant.
5. Sinon, calculer la probabilité de Boltzmann (IV.34) à la température courante. Si le critère de
Metropolis est vérifié alors le nouveau point devient le point de départ.
6. Changer la direction courante.
7. Retourner à 3, n fois.
8. Retourner à 3, Ns fois.
9. Changer le pas courant selon (IV.35).
10. Retourner à 3, Lm fois.
11. Réduire la température courante.
12. Retourner à 3, si le critère d’arrêt n’est pas satisfaisant.
Algorithme de RS+PA :
Une méthode a été proposée pour la mise à jour du vecteur des pas :
(
)
(IV.36)
Où pi, j est la composante du vecteur pas selon la direction i à l’itération j, j =1, ..., Lm , Ns
est le nombre des points générés pendant une itération à température constante et in est le
nombre des points acceptés.
68
Chapitre IV :
L’algorithme de recuit simulé à pas ajusté est le suivant :
1. Initialisation : soit X0 un point initial, T0 la température initiale, Ns le nombre des points à
vecteur pas constant, selon chaque direction, Nt le nombre de diminutions de la température,
le point initial est optimum courant et point de départ.
2. Générer un nouveau point à partir du point de départ, en utilisant un mouvement aléatoire
selon la direction courante et avec le vecteur pas courant.
3. Si la valeur de la fonction objective du nouveau point est plus petite que celle de l’optimum
courant, alors le nouveau point devient l’optimum courant.
4. Sinon, calculer la probabilité de Boltzmann (IV.36) à la température courante. Si le critère de
Metropolis est vérifié alors le nouveau point devient le point de départ.
5. Changer la direction courante du mouvement.
6. Retourner à 3, n fois.
7. Retourner à 3, Ns fois.
8. Actualiser le pas courant selon (IV.36).
9. Retourner à 3 si le critère (IV.34) n’est pas vérifié.
10. Réduire la température courante.
11. Retourner à 3, si le critère d’arrêt n’est pas satisfaisant.
IV.2.7. Recherche taboue :
La recherche taboue (RT) est une méta-heuristique originalement développée par Glover
en 1986 [GLO 86] spécifiquement pour des problèmes d’optimisation combinatoire et qui
permet de trouver d'une manière flexible un compromis entre la qualité de la solution et le temps
de calcul [GLO 89a] [GLO 89b]. Elle est basée sur l’utilisation d’une mémoire flexible qui joue
un rôle essentiel dans le processus de recherche et permet d’exploiter son historique en évitant de
se faire piéger dans des optimums locaux et de revenir à des solutions déjà visitées. Une liste
taboue est utilisée pour stocker les meilleures solutions pendant une durée dépendante de la taille
de la liste [GLO 95]. Cette méthode a été appliquée avec succès pour résoudre de nombreux
problèmes d’optimisation réputés difficiles tels que le voyageur de commerce [TSU 98]
[MAR 90], le routage de véhicule [GEN 99], l’ordonnancement [WID 89] et la planification des
restaurations [SHY 99] ou des rencontres sportives [HAM 00].
IV.2.7.2. Recherche taboue à variables continues :
Définition du voisinage :
Soit X ϵ S et un nouveau point Y obtenu par un déplacement à partir de X suivant :
(IV.37)
Où pi est la valeur de la composante du vecteur pas de déplacement selon la direction i.
Y est faisable s’il répond à toutes les contraintes. Pour un point X donné, tous les
mouvements faisables forment un ensemble, qui est fini dans le cas d’une optimisation
combinatoire et peut être infini pour une optimisation avec des variables continues.
Dans la recherche taboue avec des variables continues, deux concepts sont mis en jeu : le
voisinage d’un point donné et un mouvement aléatoire dans le voisinage. Pour un point X et un
pas donné p, le voisinage V (X, p) est défini de la façon suivante :
69
Chapitre IV :
(
)
*
|
|
+
70
(IV.38)
Chapitre IV :
Où le point Y est aléatoirement généré dans le voisinage V (X, p) de X. De plus s’il
répond aux contraintes, il est appelé mouvement aléatoire faisable. Ce voisinage est noté VX. La
taille du voisinage est le nombre de points Y générés dans le voisinage VX de X avec un pas
donné p. La performance de la recherche taboue dépend de la taille du voisinage et la longueur
de la liste taboue.
Principe :
Dans une première phase, la méthode de recherche taboue peut être vue comme une
généralisation des méthodes d’amélioration locale. En effet, en partant d’une solution
quelconque X appartenant à l’ensemble des solutions S, la recherche se déplace vers une solution
Y située dans le voisinage VX par exploration itérativement de l’espace des solutions. Au début,
le vecteur pas couvre la totalité de l’espace de recherche puis il diminue à chaque itération.
Parmi tous les points générés dans le voisinage VX de X, le meilleur est retenu et sera le centre
du prochain voisinage. Ce point est celui qui améliore le plus la fonction objective, ou sinon
celui qui la dégrade le moins. L’originalité de la méthode de recherche taboue par rapport aux
méthodes locales, qui s’arrêtent dès qu’il n’y a pas d’amélioration de la valeur de la fonction
objective , réside dans le fait qu’il est possible de dégrader la solution. Cette caractéristique
évite ainsi à l’algorithme d’être piégé dans un minimum local mais elle induit également un
risque de revenir à des solutions déjà explorées.
Pour régler ce problème, l’algorithme a besoin d’une mémoire qui conserve pendant un
moment la trace des dernières solutions visitées. Ces solutions sont déclarées taboues, d’où le
nom de la méthode. Elles sont stockées dans une liste de la longueur L fixe appelé liste taboue.
Une nouvelle solution n’est acceptée que si elle n’appartient pas à la liste taboue. Le retour vers
des solutions déjà explorées dépendant donc de la longueur de liste taboue. Elle sera d’autant
plus difficile que cette dernière est longue. En conséquence, la recherche sera dirigée vers des
régions non explorées. Dans le cas des variables continues, c’est le pas de déplacement ayant
conduit à cette solution, et non la solution elle-même, qui est stocké dans la liste taboue.
La liste taboue est gérée comme une liste circulaire FIFO (premier entré, premier sorti).
A chaque itération, le pas de déplacement tabou le plus ancien est éliminé et il est remplacé par
le plus récent.
Dans la littérature, on trouve deux structures fondamentales des algorithmes de recherche
taboue. Elles sont implémentées ici pour l’optimisation avec des variables continues. Ces
méthodes sont la recherche taboue de Hu (RTHu) et la recherche taboue dite universelle (RTU).
IV.2.7.3. La recherche taboue de Hu :
En suivant les idées de Glover, Hu [Hu 92] a proposé un algorithme de recherche taboue
pour l’optimisation de variables continues. Pour générer un mouvement aléatoire en utilisant
(IV.72) et définir un voisinage, Hu a proposé un ensemble de pas pi, P = [p1, p2,..., PNa] en
utilisant (IV.71). Mais le codage d’une liste taboue est encombrant car il faudrait garder en
mémoire tous les éléments qui définissent une solution. Pour pallier à cet inconvénient, la liste
taboue des solutions interdites est remplacée par la liste des derniers pas pi correspondant aux
solutions ayant amélioré la fonction objectif. Cette recherche taboue ne permet pas de dégrader
la fonction objective, même temporairement.
Les paramètres de RTHu sont la taille de voisinage Nn, le nombre de subdivisions du
vecteur pas Na. Ce dernier nombre est également la taille de la liste taboue T.
71
Chapitre IV :
Algorithme de RTHu :
L’algorithme est comme suit :
1. Construire la matrice des pas en utilisant (IV.35) pour chaque direction.
2. Initialisation : soit un point de départ généré aléatoirement X0, la liste taboue est vide et le
meilleur point est le point initial X*= X0,*= (X0).
3. Générer un mouvement aléatoire faisable dans les voisinages V (X*, pk)k = (1 , … , Na) de la
meilleure solution courante en utilisant les pas non tabous. Soit Xj le meilleur point dans tous
les voisinages, )Xj) est sa fonction objectif et pj le pas utilisé pour générer Xj.
4. Si (Xj) ≤  )X*( alors X* = Xj, * =  (Xj), ajouter le pas jp à la liste taboue T.
5. mettre à jour les pas ip en utilisant (IV.35) et retourner à l’étape 3.
6. Si tous les pas sont dans la liste taboue et le critère d’arrêt n’est pas satisfaisant, alors remise à
zéro de la liste taboue T et retour à l’étape 3.
Critère d’arrêt :
L’algorithme s’arrête si :
1. la fonction objectif ne change plus de manière significative ou si
2.Un grand nombre de points est généré sans aucune amélioration de la fonction objective.
IV.2.8. Conclusion :
En premier lieu, un état de l’art des méthodes d’optimisation mathématiques a été dressé.
Ces méthodes peuvent être réunies en deux différents groupes : les méthodes déterministes et les
méthodes stochastiques.
Les méthodes déterministes peuvent trouver le minimum global de la fonction sous
certaines hypothèses comme la convexité. En d'autres termes, si la fonction objective remplit ces
hypothèses dans une région locale contenant le minimum désiré et si la configuration initiale est
quelque part à l'intérieur de cette région, les méthodes déterministes convergentes très
rapidement vers ce minimum. Cependant, résolvant des problèmes pratiques où aucune de ces
hypothèses ne peut être rendue, les méthodes déterministes convergent souvent vers un des
minimums locaux de la fonction objective. Vu que ces hypothèses ne sont à priori pas répandues
dans le domaine de l’électrotechnique dans lequel généralement très peu de connaissances sur le
comportement de la fonction objective sont disponibles, il semble recommandé de commencer le
processus d’optimisation avec des méthodes stochastiques.
Malgré le nombre important d’évaluations, les algorithmes stochastiques présentent le
grand avantage par rapport aux méthodes déterministes, d’avoir la capacité de trouver l’optimum
global. Les méthodes stochastiques les plus prometteuses sont, le recuit simulé, la recherche
taboue et les algorithmes génétiques.
72
Cha pitre V :
A p p l i ca t i o n des AG à la minimisation de la fonction « MLI » unipolaire et bipolaire
V.1.Introduction :
Plusieurs méthodes déterministes ont été utilisées pour résoudre le problème de la
minimisation de la fonction MLI tel que : Newton Raphson, Quasi Newton. La méthode de
gradient conjugué…etc.
Les méthodes déterministes s’appuient sur le calcul qui peut être fait d’une direction de
recherche, généralement liée à la dérivée de certains résultats par rapport aux paramètres de
conception de dispositif. Elles ne sont réellement utilisables que dans le cas restreint où la
solution cherchée est réputée proche d’une solution connue, point de départ de cette recherche.
Pour lever cette difficulté, nous avons choisi de nous intéresser au développement des méthodes
stochastiques, et travailler avec les algorithmes génétiques.
Ce chapitre sera consacré à l’application de la méthode des algorithmes génétiques à la
minimisation de la fonction MLI programmée bipolaire et unipolaire. Les résultats des
exécutions des programmes seront présentés avec des commentaires.
V.2. OPTIMISATION DE LA TECHNIQUE MLI PRECALCULEE BIPOLAIRE DE
L ’ONDUL E UR MONO PHAS E PAR L A ME T HO DE DES AG S:
Les AG sont des algorithmes d’optimisation qui s’appuient sur des techniques dérivées de
la génétique et des mécanismes de sélection naturelle.
La figure suivante illustre le processus d’optimisation développé par les AG.
1°) Initialisation
2°) TANT que (critère d’arrêt=FAUX)
21°) Evaluation
22°) Sélection
23°) Reproduction (croisement, mutation)
3°) Fin Tant que
Fig(V.1.) Algorithmes génétiques standard.
On obtient par la décomposition en série de Fourier d’un signal MLI bipolaire deux équations:
Pour N= paire
∑
[
Pour N= impaire
[
] = ma
∑
] = ma
Le développement mathématique de cette équation est bien détaillé dans le chapitre III.
Pour un système monophasé on calcule les k angles de façon a annulé les k-1 premiers
harmoniques impairs. Tout en variant a chaque fois l’indice de modulation ma.
Le choix pour cette application est d’éliminer les cinq premiers harmoniques à savoir
les harmoniques 3, 5, 7,9 et 11.
Pour l’élimination de la 3ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de deux
équations :
Le problème d’optimisation consiste à : Minimiser B=B1+B3
Sous contraintes : (
et
70
).
Cha pitre V :
Pour la 5ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de trois équations :
Le problème d’optimisation consiste à : Minimiser B=B1+B3+B5
Sous contraintes :(
,
Pour la 7 ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de quatre équations :
Le problème d’optimisation consiste à : Minimiser B=B1+B3+B5+B7
Sous contraintes :(
,
Pour la 9 ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de cinq équations :
Le problème d’optimisation consiste à : Minimiser B=B1+B3+B5+B7+B9
Sous contraintes :(
,
).
Pour la 11ème harmonique: le système ci-dessous sera constitué de six équations :
71
Cha pitre V :
Le problème d’optimisation consiste à : Minimiser B=B1+B3+B5+B7+B9+B11.
Sous contraintes :
(
,
).
V.2.1.a Résultats d’élimination de la troisième harmonique par l’AG :
Les résultats d’optimisation pour un AG simple pour différentes valeurs de l’indice de
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3 sont donnés dans le tableau V.1.





Les paramètres de contrôle de l’AG sont :
Le nombre maximale de générations : MAXGEN =50
La probabilité de croisement : Pc = 0.95
La probabilité de mutation : Pm = 0.001
Le nombre de variables NVAR = 2
Le nombre des individus NIND = 100
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
36.000020
37.015441
37.934913
38.736364
39.386781
39.835237
39.999633
39.739126
38.789420
36.582244
31.570034
α2
71.999916
70.260648
68.453993
66.556654
64.535061
62.339132
59.889609
57.053716
53.586213
48.971717
41.866480
B
0.000006
0.000006
0.000005
0.000004
0.000004
0.000006
0.000001
0.000000
0.000001
0.000000
0.000006
Tableau V.1 : Résultats d’élimination de la troisième harmonique.
L'évolution des angles de commutations en fonction de l’indice de modulation pour l’élimination
de la 3ème harmonique sont données par la figure ( Fig(V.2)).
Trajectoires des angles de commutations (°)
Fig (V.2) : Trajectoires des angles de commutations en fonction de l’indice de modulation pour
l’élimination de la 3ème harmonique
72
Cha pitre V :
Tension de sortie simple de l’onduleur monophasé pour ma=0.8
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
temps
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Le spectre d’harmonique de la tension de sortie simple de l’onduleur monophasé pour un indice
de modulation est présenté par la figure suivante ( Fig (V.3)) :
Fig (V.3) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie simple de l’onduleur monophasé pour
un indice de modulation ma=0.8
73
Cha pitre V :
V.2.1.b Résu ltats d ’éli min ation d e la cinq u ième h armon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5 sont donnés dans le tableau V.2.
α1
25.714289
25.129351
24.494064
23.812667
23.087556
22.319114
21.503492
20.632672
19.679836
18.556796
16.707558
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α2
51.428562
52.398175
53.292808
54.101816
54.804923
55.365904
55.719033
55.734561
55.127910
53.122508
46.483209
α3
77.142840
75.872004
74.558105
73.184812
71.727601
70.148074
68.377451
66.292946
63.620517
59.633702
51.429183
B
0.000005
0.000005
0.000007
0.000006
0.000007
0.000022
0.000033
0.000013
0.000012
0.000014
0.000009
Tableau V.2 : Résultats d’élimination de la cinquième harmonique.
L’évolution des angles de commutations en fonction de l’indice de modulation pour
l’élimination de la 5ème harmonique sont données par la figure (Fig(V.4)).
80
70
angles
60
50
alpha
1
alpha
2
alpha
3
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 0.9
1
ma
74
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01 0.012
Temps
0.014
0.016
0.018
0.02
de modulation est présenté par la figure suivante (Fig(V.5)) :
75
Cha pitre V :
V.2.1.c Résu ltats d ’éli min ation d e la septième h ar mon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5+B7 sont donnés dans le tableau V.3.
α1
20.000001
20.321592
20.599058
20.825998
20.993890
21.089461
21.103098
20.978156
20.767729
20.206395
18.679007
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α2
40.000000
39.327617
38.596884
37.806958
36.954203
36.036403
35.075917
33.752588
32.640934
31.089264
28.440222
α3
60.000003
60.839646
61.625498
62.352141
63.007092
63.563160
63.965038
64.159824
63.932604
62.305749
55.562533
α4
80.000001
79.003510
77.978217
76.913021
75.790891
74.586578
73.305512
71.434731
69.727685
66.357692
58.304775
B
0.000002
0.000023
0.000024
0.000014
0.000012
0.000792
0.004567
0.010897
0.006496
0.001536
0.001679
Tableau V.3: Résultats d’élimination de la septième harmonique.
de la 7ème harmonique sont données par la figure (Fig(V.6)).
90
alpha1
alpha2
alpha3
alpha4
80
70
angles
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
76
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01 0.012 0.014 0.016 0.018
Temps
0.02
de modulation est présenté par la figure suivante ( Fig (V.7)):
77
Cha pitre V :
V.2.1.d Résu ltats d ’éli min ation d e la n eu vième h armon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5+B7+B9 sont donnés dans le tableau
V.4.
α1
16.363620
16.119288
15.848592
15.552790
15.232497
14.887338
14.609419
14.103538
13.660279
11.973368
11.884934
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α2
32.727270
33.145121
33.510746
33.817503
34.055100
34.208071
34.253464
34.149161
33.832604
30.153188
29.868083
α3
49.090901
48.446606
47.749439
46.995772
46.177941
45.283748
44.542867
43.152094
41.846838
36.185391
35.877730
α4
65.454546
66.179160
66.864331
67.506910
68.098955
68.623895
68.955958
69.306150
69.211927
59.248182
58.516176
α5
81.818178
81.000071
80.161540
79.294553
78.387293
77.420476
76.624188
75.105777
73.544338
60.913428
60.200248
B
0.000013
0.000012
0.000026
0.000043
0.000043
0.000063
0.020096
0.001270
0.001124
0.084127
0.007907
Tableau V.4: Résultats d’élimination de la neuvième harmonique.
de la 9ème harmonique sont données par la figure (Fig (V.8)).
90
80
70
alpha1
alpha2
alpha3
alpha4
alpha5
angles
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
78
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Temps
0.014
0.016
0.018
0.02
de modulation ma=0.8 est présenté par la figure suivante (Fig(V.9)) :
79
Cha pitre V :
V.2.1.e Résu ltats d ’éli min ation d e la on zième h ar mon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5+B7+B9+B11 sont donnés dans le
tableau V.5.
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
13.846165
14.000854
14.132251
14.237694
14.314044
14.356386
14.355781
14.342049
14.020484
13.595037
12.625514
α2
27.692326
27.351988
26.975269
26.562552
26.112569
25.622511
25.039253
25.020512
23.211419
22.209868
20.702436
α3
41.538447
41.974322
42.361417
42.693758
42.961553
43.148713
43.229356
43.250279
42.346446
40.873581
37.545171
α4
55.384621
54.793213
54.156956
53.471016
52.726850
51.909729
50.912488
50.858174
47.447586
45.162843
41.560118
α5
69.230766
69.863101
70.465551
71.036313
71.569558
72.053996
72.495359
72.553001
72.288760
69.313061
61.165256
α6
83.076910
82.383532
81.674920
80.945452
80.185753
79.381809
78.426353
78.481197
74.755282
70.633184
62.330979
B
0.000023
0.000021
0.000026
0.000087
0.000049
0.000074
0.006999
0.092767
0.067196
0.055583
0.008972
Tableau V.5: Résultats d’élimination de la onzième harmonique.
de la 11ème harmonique sont données par la figure (Fig(V.10)).
Trajectoires des angles de commutations en (°)
data1
data2
data3
data4
data5
data6
90
80
70
angles
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
80
Cha pitre V :
de modulation ma=0.8 est présenté par la figure suivante (Fig (V. 11)) :
Fig (V. 11) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie simple de l’onduleur monophasé pour
81
Cha pitre V :
V.2.2Interprétation des résultats:
Pour suivre le comportement de l’algorithme génétique appliqué à la minimisation de la
fonction MLI bipolaire de l’onduleur monophasé, Nous avons effectués plusieurs essais avec
différentes conditions initiales et nous avons varié l’indice de modulation ma de 0 à 1.
L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales des angles (α1, α2, α3, α4, α5 et
α6).Toutes les contraintes sont vérifiées pour tout l’intervalle.
Harmoniques
3ème
5ème
7ème
9ème
11ème
Contraintes
et
,
(
(
(
(
)
,
,
(
).
,
Vérification





)
On a pu atteindre notre but et l’AG a permis d’éliminer les cinq premières harmoniques (3ème,
5ème, 7ème, 9ème et 11ème harmonique) de la MLI bipolaire de l’onduleur monophasé.
V. 3. OPTIMISATION DE LA TECHNIQUE MLI PRECALCULEE UNIPOLAIRE DE
L ’ONDUL E UR MONOPHASE PAR LA METHODE DES AG:
On veut éliminer les cinq premiers harmoniques par la méthode des AGS à savoir les
harmoniques 3, 5, 7,9 et 11.
Pour l’élimination de la 3ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de deux équations :
Le problème d’optimisation consiste à :
Minimiser B=B1+B3
Sous contraintes : (
et
).
Pour la 5ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de trois équations :
Minimiser B=B1+B3+B5
Sous contraintes :(
,
82
Cha pitre V :
Pour la7 ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de quatre équations :
Minimiser B=B1+B3+B5+B7
Sous contraintes :(
,
Pour la 9 ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de cinq équations :
Minimiser B=B1+B3+B5+B7+B9
Sous contraintes :(
,
).
Pour la 11ème harmonique le système ci-dessous sera constitué de six équations :
Minimiser B=B1+B3+B5+B7+B9+B11
Sous contraintes :(
,
).
83
Cha pitre V :
V.3.1.a Résu ltats d ’éli min ation d e la troisi ème h armon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3 sont donnés dans le tableau V.6.





Les paramètres de contrôle de l’AG sont :
Le nombre maximale de générations : MAXGEN =50
La probabilité de croisement : Pc = 0.95
La probabilité de mutation : Pm = 0.001
Le nombre de variables NVAR = 2
Le nombre des individus NIND = 100
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
11.466030
16.330730
20.071700
23.164302
25.748020
27.834316
29.331920
29.996392
29.238042
25.332196
α2
90.000000
86.642992
83.296373
79.928145
76.494304
72.937543
69.173342
65.065845
60.371413
54.587739
46.429992
B
0.000000
0.000026
0.000001
0.000000
0.000004
0.000003
0.000003
0.000002
0.000000
0.000001
0.000000
Tableau V. 6 :Résultats d’élimination de la troisième harmonique
l’élimination de la 3ème harmonique sont données par la figure (Fig (V.12)).
84
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
de modulation ma=0.8 est présenté par la figure suivante (Fig (V.13)) :
85
Cha pitre V :
V.3.1.b Résu ltats d ’éli min ation d e la cinq u ième h armon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5 sont donnés dans le tableau V.7.
α1
0.000000
7.198289
10.286042
12.626476
14.540748
16.133504
17.430255
18.415970
19.037570
19.191072
18.683553
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α2
35.626361
63.830501
61.577218
59.353178
57.089455
54.755260
52.323362
49.756067
46.998496
43.967145
40.526451
α3
35.626361
68.264949
70.429716
72.644299
74.858777
77.070383
79.287390
81.519334
83.777296
86.074883
88.429496
B
0.000000
0.002004
0.000478
0.000011
0.000006
0.000006
0.000006
0.000005
0.000004
0.000006
0.000003
Tableau V.7 :Résultats d’élimination de la cinquième harmonique
90
80
alpha1
alpha2
alpha3
70
angles
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
86
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
Fig (V. 15) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie simple de l’onduleur monophasé pour
87
Cha pitre V :
V.3.1.c Résu ltats d ’éli min ation d e la septième h ar mon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5+B7 sont donnés dans le tableau V.8.
α1
0.000000
5.113523
7.520174
9.375034
10.188652
11.359892
12.284100
13.009353
13.505384
13.673410
12.757654
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α2
33.410272
50.762681
49.018400
47.144172
46.181621
44.477976
42.774273
40.983833
39.064232
36.891683
33.430633
α3
33.410272
53.794099
55.486643
57.014327
58.191325
59.473020
60.650783
61.603059
62.099183
61.394541
54.838512
α4
90.000000
88.125250
85.990241
83.908915
82.361343
80.354406
78.203280
75.830306
73.011924
69.051001
59.865033
B
0.000000
0.000004
0.011835
0.030061
0.004559
0.000033
0.000007
0.000012
0.000018
0.000017
0.000013
Tableau V.8 :Résultats d’élimination de la septième harmonique
90
80
alpha1
alpha2
alpha3
alpha4
70
angles
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
88
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
de modulation ma=0.8 est présenté par la figure suivante (Fig (V. 17)) :
89
Cha pitre V :
V.3.1.d Résu ltats d ’éli min ation d e la n eu vième h armon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5+B7+B9 sont donnés dans le tableau
V.9.
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
3.723066
5.688413
6.544253
7.715405
8.568737
9.279320
9.846570
10.262823
10.477291
10.318156
α2
4.976533
42.676876
40.957658
40.312395
38.864001
37.643278
36.374576
35.051186
33.629575
32.050490
30.057450
α3
4.976541
44.784041
45.508743
46.679661
47.472954
48.318701
49.035605
49.543193
49.705851
49.194456
47.033647
α4
78.739034
73.256421
71.440574
70.047513
68.398532
66.715951,
64.913366
62.946469
60.667251
57.811204
53.566485
α5
78.739065
76.324562
77.746400
79.168111
80.459758
81.916646
83.388736
84.862907
86.366056
87.900998
89.500902
B
0.000004
0.013060
0.018576
0.017922
0.000545
0.000054
0.000309
0.000043
0.000133
0.000038
0.000120
Tableau V.9 :Résultats d’élimination de la neuvième harmonique
90
80
70
angles
60
50
40
alpha1
alpha2
alpha3
alpha4
alpha5
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
l’élimination de la 9ème harmonique.
90
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
91
Cha pitre V :
V.3.1.e Résu ltats d ’éli min ation d e la on zième h ar mon iq u e p ar l’AG :
modulation (ma) où la fonction objective B=B1+B3+B5+B7+B9+B11 sont donnés dans le
tableau V.10.
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
0.000000
0.000000
4.853191
6.112085
6.766976
7.339812
7.798748
8.150849
8.367204
7.572830
α2
13.996164
16.462024
16.554038
35.254909
33.613667
32.702628
31.714676
30.696822
29.601135
28.301470
25.297608
α3
13.996186
16.462031
16.554040
39.971136
40.095264
40.674027
41.160574
41.477791
41.549623
41.135480
36.574604
α4
34.535343
35.583267
77.664942
60.059195
58.706074
57.363511
55.879691
54.296381
52.501417
50.200881
44.015075
α5
34.535368
35.583272
77.664944
67.282248
68.264041
69.277334
70.257049
71.099680
71.700144
71.523903
60.682555
α6
89.999999
90.000000
90.000000
86.105717
84.641387
83.269533
81.777273
80.192000
78.342683
75.595647
62.905235
B
0.000008
0.078542
0.157080
0.063961
0.002100
0.000040
0.001019
0.000174
0.000565
0.004445
0.009464
Tableau V.10 :Résultats d’élimination de la onzième harmonique
92
Cha pitre V :
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.002 0.004
0.006 0.008
0.01
0.012 0.014
0.016 0.018
0.02
93
Cha pitre V :
V.3.2Interprétation des résultats:
Nous avons suivi le comportement de l’algorithme génétique appliqué à la minimisation
de la fonction MLI unipolaire de l’onduleur monophasé, tout en effectuant plusieurs essais avec
différentes conditions initiales (voir annexe) et en variant l’indice de modulation ma de 0 à 1.
L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales des angles (α1, α2, α3, α4, α5 et α6).
Vérification des contraintes :
Harmoniques
3ème
ème
5
Contraintes
et
(
(
7ème
,
(
ème
9
Intervalle
[0.1 1]
ma=0
)
,
(
,
).
ème
11
(
,
)
X
[0.1 1]
ma=0
[0.1 1]

X

ma=0
[0.1 1]
ma=0
[0.3 1]
[0 0.2]
X

X

X
On a pu atteindre notre but et l’AG a permis d’éliminer les cinq premières harmoniques
, 5 , 7ème, 9ème et 11ème harmonique) de la MLI unipolaire de l’onduleur monophasé.
ème
(3
Vérifiées

ème
V.4. OPTIMISATION DE LA TECHNIQUE MLI PRECALCULEE BIPOLAIRE
D’ONDUL E UR T RI PH ASE PAR L A ME T HO DE DES AGS :
Il existe deux types d’équations des coefficients de série de Fourier de la MLI bipolaire :
∑
Pour N = pair
[
] = ma
Pour N = impair
[
∑
] = ma
Les multiples de trois sont nuls.
V.4.1.a.Minimisation de la cinquième harmonique de la MLI bipolaire de l’onduleur
triphasé :
Dans ce cas N=2 est pair donc
[
∑
]-(ma*pi/4)
La fonction a minimisé par l’algorithme génétique est B
Ou B=B1+B5;
94
Cha pitre V :
Après exécution du programme de l’AG on a obtenu les résultats suivants présentés dans
le tableau V.11 :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
60.000210
61.316854
62.675194
12.509051
65.566848
16.908764
18.844977
20.610164
22.160886
76.442214
23.996417
α2
89.999879
88.898115
87.846928
53.553528
85.945183
49.222835
46.998671
44.692646
42.244092
84.959770
36.266879
B
0.000021
0.000020
0.000019
0.000000
0.000000
0.000001
0.000000
0.000008
0.000000
0.000000
0.000002
Trajectoire des angles de commutations en (°)
95
Cha pitre V :
Tension de sortie simple de l’onduleur triphasé pour ma=0.6
Le spectre d’harmonique de la tension de sortie simple de l’onduleur triphasé pour un indice de
modulation ma=0.6 est présenté par la figure suivante (Fig (V.23)) :
Fig (V,23) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie simple de l’onduleur triphasé pour un
indice de modulation ma=0.6.
V.4.1.b. Interprétation des résultats :
Pour l’élimination de la cinquième harmonique nous avons effectués plusieurs essais
Avec différentes conditions initiales,
Nous avons varié l’indice de modulation ma de 0 a 1 L’AG a permis de déterminer des
valeurs optimales de
.
Les trois contraintes (
l’intervalle [0 1].
et
) sont vérifiées
pour tout
On a pu atteindre notre but et l’AG a permis d’éliminer la cinquième harmonique de la
MLI bipolaire.
96
Cha pitre V :
V.4.1.c. Min i misation d e la septiè me h ar mon iq u e d e la MLI b ip olaire d e l’ond
u leur
triphasé :
Dans notre cas N=3 est impaire donc
[
∑
]+(ma*pi/4)
Ou B=B1+B5+B7;
Après exécution du programme de l’AG on a obtenu les résultats suivants présentés dans
le tableau V.12 :
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
26.266139
28.606397
27.275110
25.877245
24.450630
22.992578
21.495147
19.950575
18.345889
7.949140
8.778164
α2
26.266139
30.881698
31.832682
32.754957
33.674393
34.581524
35.463467
36.295754
37.031660
72.549322
74.603412
α3
60.000000
58.696842
57.362956
56.008445
54.621255
53.193559
51.708954
50.142990
48.447967
80.623366
80.218608
B
0.000000
0.002854
0.000000
0.000000
0.000052
0.000001
0.000000
0.000001
0.000026
0.000004
0.000052
Fig (V,24 ) : Trajectoires des angles de commutations en fonction de l’indice de modulation
97
Cha pitre V :
ème de la fonction « MLI » unipolaire et bipolaire
A p p l i ca t i o n des AG à la minimisation
pour l’élimination de la 7
98
harmonique
Cha pitre V :
Fig (V, 25) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie simple de l’onduleur triphasé pour un
indice de modulation ma=0.6
99
Cha pitre V :
V.4.1.d Interprétation des résultats :
Nous avons appliqué l’AG à la minimisation de la septième harmonique de la MLI
bipolaire de l’onduleur triphasé. Tout en variant l’indice de modulation ma de 0 à 1.
L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales de
Les quatre contraintes (
l’intervalle [0.1 1].
.
) sont vérifiées pour
On a pu atteindre notre but et l’AG a permis d’éliminer la septième harmonique de la
MLI bipolaire de l’onduleur triphasé.
V.4.1.e Min i misation d e la on zième h ar mon iq u e d e la MLI b ip olai re de l’ond u
leur
triphasé :
Dans notre cas N=4 est paire donc
[
∑
]-(ma*pi/4)
Ou B=B1+B5+B7+B11;
Après exécution du programme de l’AG on a obtenu les résultats suivants présentés dans le
tableau V.13 :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
14.729779
3.284134
4.940249
22.136576
7.253735
8.312003
9.296304
23.121859
21.958490
19.644903
12.383923
α2
14.729780
31.828306
30.694941
36.582749
28.676774
27.607217
26.520366
30.094938
27.353218
24.118271
21.629053
α3
59.999999
33.933662
35.094140
62.799988
37.109965
38.133088
39.126047
67.699428
69.319745
71.070692
42.075337
α4
90.000000,
58.837332
57.567793
78.568220
55.304546
54.104320
52.880550
77.947546
78.075333
78.079211
46.901663
B
0.000001
0.000803
0.006369
0.000041
0.000039
0.000088
0.000025
0.000065
0.00010
0.001073
0.002312
10
0
Cha pitre V :
90
alpha1
alpha2
alpha3
alpha4
80
70
angles
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ma
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig (V,26) : Trajectoires des angles de commutations en fonction de l’indice de modulation pour
100
Cha pitre V :
modulation ma=0.6est présenté par la figure suivante (Fig (V.27)) :
indice de modulation ma=0. 6
V.4.1.f Interprétation des résultats:
Pour l’élimination de la onzième harmonique nous avons effectués plusieurs essais Avec
différentes conditions initiales (voir annexe),
Les cinq contraintes (
vérifiées pour tout l’intervalle.
) sont
L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales de
.
L’AG a permis d’éliminer la onzième harmonique de la MLI bipolaire de l’onduleur triphasé
V.5. OPTIMISATION DE LA TECHNIQUE MLI PRECALCULEE UNIPOLAIRE
D’ONDUL E UR T RI PH ASE PAR L A ME T HO DE DES AG :
V.5.1.a. Min imisation d e la cin q u ième h ar mon i q u e d e la MLI u nip olaire d e
l’ond u leur
triphasé :
[
∑
]-(ma*pi/4)
Ou B=B1+B5;
101
Cha pitre V :
tableau V.14
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.006774
0.000000
0.000000
7.389780
12.919536
16.505096
α2
90.000000
90.000000
90.000000
90.000000
54.000000
53.999998
54.000000
54.000000
51.682921
47.035604
41.910243
B
0.000000
0.078540
0.157080
0.235619
0.273626
0.195086
0.116546
0.038007
0.000000
0.000001
0.000001
ème
l’élimination de la 5 harmonique sont données par la figure (Fig (V.28)).
Fig (V,28) : Trajectoires des angles de commutations en fonction de l’indice de
modulation pour l’élimination de la 5ème harmonique
102
Cha pitre V :
Tension de sortie simple de l’onduleur triphasé pour ma= 0.8
Fig (V, 29) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie simple de l’onduleur triphasé
pour un indice de modulation ma = 0. 8
103
Cha pitre V :
V.5.1.b. Min imisation d e la septiè me h ar mon iq u e d e la MLI u n ip olai re d e
l’ond u leur
triphasé :
[
∑
]-(ma*pi/4)
La fonction a minimisé par l’algorithme génétique est B ou B=B1+B5+B7;
tableau V.15
Ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
0.000000
9.027708
12.930843
15.909093
18.112297
19.035798
15.742554
0.029363
0.179393
0.000000
0.289518
90.000000
40.748593
38.185085
35.503640
32.508335
28.660773
21.387884
10.285762
10.287643
10.285716
15.433139
90.000000
46.325889
49.159421
51.920023
54.640491
57.353050
60.171603
61.714286
61.714152
61.714284
87.429388
B
0.000000
0.000885
0.000358
0.000001
0.000000
0.000001
0.000001
0.039719
0.118261
0.196798
0.133706
104
Cha pitre V :
105
Cha pitre V :
indice de modulation ma = 0. 4
106
Cha pitre V :
V.5.1.c. Min i misation d e la on ziè me h ar mon iq u e d e la MLI u n ip olai re d e l’ond
u leur
triphasé :
[
∑
]-(ma*pi/4)
La fonction a minimisé par l’algorithme génétique est B ou B=B1+B5+B7+B11;
tableau V.16.
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
0.000000
5.811760
8.164342
10.068010
11.541950
12.482915
12.360370
5.355456
16.555248
2.554648
13.880085
76.453926
49.270898
47.628539
45.961140
44.409345
43.140206
42.705174
46.672842
23.674033
29.803131
22.495498
76.453935
52.634451
54.096546
55.685173
57.329533
59.015542
60.616678
59.538262
65.264230
39.869920
70.728135
89.999993
88.201425
86.592743
84.904626
83.143317
81.130850
78.313807
68.518513
84.867536
52.725919
80.656222
B
0.000002
0.003608
0.000023
0.000016
0.000013
0.000017
0.001317
0.000021
0.000017
0.000005
0.000039
107
Cha pitre V :
Fig (V, 33) : spectre d’harmoniques de la tension de sortie de l’onduleur triphasé pour un indice
de modulation ma = 0. 9
108
Cha pitre V :
V.5.2 Interprétation des résultats :
Nous avons suivi le comportement de l’algorithme génétique appliqué à la minimisation
de la fonction MLI unipolaire de l’onduleur triphasé, tout en effectuant plusieurs essais avec
différentes conditions initiales (voir annexe) et en variant l’indice de modulation ma de 0 à 1.
D’après les résultats de simulation on a constaté que :
- D’après quelque génération la bonne solution est trouvée avec le bon choix des
paramètres des AG.
- la variation des valeurs des angles n’est pas linéaire en fonction de ma.
- L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales des angles (α1, α2, α3 et α4).
Vérification des contraintes (voir le tableau suivant):
Harmoniques
5ème
7ème
11ème
Contraintes
(
(
et
Intervalle
[0 0.4]
[0.5 1]
[0.1 1]
[0.1 1]
)
,
(
,
Vérifiées
×



Pour le cas de la cinquième harmonique durant l’intervalle [0 0.3] :
Pour le cas de la onzième harmonique pour ma= 0 :
.
.
Il y a des intervalles ou on a trouvé des solutions doubles (pour ma=0 cas de la 7éme
harmonique) et même triples et on a constaté aussi qu’il y a des points où on a deux angles αi et
αi + 1 ont la même valeur c’est a dire une valeur double et des point où l’angle αi = 0° ou
αi =90° pour cela le système a d’autre valeur d’angles qui donne la solution. Et par fois il
n’admet pas des solutions. A cause de cette dernière remarque; il n’y aura pas des commutations
dans les interrupteurs et la méthode des AGS donne des valeurs qui ne respectent pas la
condition des contraintes.
L’AG a permis d’éliminer les trois premières harmoniques non multiples de trois (5ème,
7ème et 11ème harmonique) de la MLI unipolaire de l’onduleur triphasé.
V.6. CONCLUSION :
L’application de l’algorithme génétique a la minimisation de la fonction MLI bipolaire et
unipolaire a permis de déterminer des valeurs optimales des angles (α1, α2, α3,α4,α5 et α6).
On a pu atteindre notre but et l’AG a permis d’éliminer les cinq premières harmoniques
de la MLI unipolaire et bipolaire de l’onduleur monophasé, et les trois premières harmoniques
non multiples de trois (5 ,7 et 11) de la MLI unipolaire et bipolaire de l’onduleur triphasé.
Les Algorithmes génétiques ont l’avantage de trouver la bonne solution même si on prend
la première génération aléatoirement, la solution va en suite convergé vers la bonne solution.
Contrairement à la méthode de Newton-Raphson.
Les résultats obtenus sont très satisfaisants et confirme la validité et l’efficacité de
l’algorithme génétique.
109
Conclusion générale :
Les convertisseurs de courant continu en courant alternatif sont appelés des onduleurs.
La fonction d'un onduleur est de convertir une tension continue d'entrée en une tension de sortie
alternative symétrique d'amplitude et de fréquence désirée. La forme d’onde de la tension de
sortie d’un onduleur idéal doit être sinusoïdale. Cependant, cette forme d’onde n’est pas
sinusoïdale en pratique et contient quelques harmoniques. Ce qui veut dire qu’il existe des
harmoniques de tension. Le but serait donc d ’o bte nir à la so rtie un si gnal a vec u n tau x de
d i sto r sio n harm on iq ue l e plu s fai ble p o ssib le.
Parmi les techniques utilisées pour améliorer la qualité de la tension de sortie de
l’onduleur, la technique de modulation des largeurs d’impulsion (MLI). Elle consiste à changer
la largeur des impulsions de la tension de sortie avec des commandes appropriées des
interrupteurs à semi-conducteurs de l’onduleur. Cette technique MLI peut améliorer la qualité
de la tension de sortie de l’onduleur, a savoir un taux d’harmonique réduit et le fondamentale
rapproché au mieux possible au signal réel.
L’objectif de ce travail est d’utiliser un algorithme génétique sous contraintes pour
optimiser les harmoniques de tension, cet algorithme génétique qui est une méthode
d’optimisation stochastique basée sur des techniques dérivées de la génétique et des mécanismes
de sélection naturelle va être appliqué à la minimisation de la fonction MLI programmée
unipolaire et bipolaire. En fait, les méthodes stochastiques permettent de localiser l’optimum
d’une fonction dans l’espace des paramètres sans avoir recours aux dérivées de la fonction par
rapport à ces paramètres. De plus, elles ne se laissent pas piéger par un optimum local et
réussissent le plus souvent à déterminer l’optimum global de la fonction considérée. Leur
principe consiste à travailler avec un ensemble de solutions, puis à les faire évoluer au moyen
des règles heuristiques et probabilistes.
Au début nous avons tenté de varier l’indice de modulation ma de 0 à 1.0 afin de prouver
l’efficacité de l’algorithme génétique pour l’optimisation de la fonction MLI bipolaire on
éliminant les cinq premières harmoniques de tension d’un onduleur monophasé en pont. En se
basant sur la programmation MATLAB.
L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales des angles α tout en vérifiant les
contraintes durant tout l’intervalle [0 1]. IL a permis d’éliminer les cinq premières harmoniques
de la MLI bipolaire.
Puis nous avons appliqué cet algorithme génétique pour l’optimisation de la fonction
MLI unipolaire afin d’éliminer les cinq harmoniques de tension d’un onduleur monophasé en
pont complet.
Nous avons variés l’indice de modulation ma de 0 à 1.0 .Pour le cas de la troisième,
cinquième, septième, neuvième et onzième harmonique de tension d’un onduleur MLI unipolaire
nous avons effectués plusieurs essais avec différentes conditions initiales l’AG a permis de
déterminer des valeurs optimales des angles α et toutes les contraintes sont vérifiées. L’AG a
permis d’éliminer les cinq premières harmoniques de la MLI unipolaire.
110
Puis nous avons opté de suivre le comportement de l’algorithme génétique appliqué à la
minimisation de la fonction MLI bipolaire et unipolaire on éliminant trois première
harmoniques de tension (les multiples de trois sont nuls) de l’onduleur triphasé en pont.
D’après les résultats de simulation on a constaté que :
- D’après quelque génération la bonne solution est trouvée avec le bon choix des
paramètres des AGs.
- la variation des valeurs des angles n’est pas linéaire en fonction de ma.
- L’AG a permis de déterminer des valeurs optimales des angles (α1, α2, α3 et α4).
Pour le cas du triphasé il y a des intervalles ou on a trouvé des solutions doubles et même
triples et on a constaté aussi qu’il y a des points où on a deux angles αi et αi + 1 ont la même
valeur c’est a dire une valeur double et des point où l’angle αi = 0° ou αi 90° pour cela le
système a d’autre valeur d’angles qui donne la solution. Et par fois il n’admet pas des solutions.
A cause de cette dernière remarque; il n’y aura pas des commutations dans les interrupteurs et la
méthode des AGS donne des valeurs qui ne respectent pas la condition des contraintes.
Les Algorithmes génétiques ont l’avantage de trouver la bonne solution même si on prend
la première génération aléatoirement, la solution va en suite convergé vers la bonne solution .
Contrairement à la méthode de Newton-Raphson .
Les résultats obtenus sont très satisfaisants et confirment la validité et l’efficacité de
l’algorithme génétique.
111
Bibliographie :
[l] Muhammad H.Rachid «Power Electronics, circuits, devices, and applications», Prentice
Hall, Englewood CMs, New Jersey 1993.
[2] B.D. Bedfordand RG.Hoft, Principle of inventer circuits. New-York: John Wiley and
Sons,inc,1964.
[3] G-GRELLET. G-CLERC , Actionneurs électriques, principes, modèles, commande,
EyroUes, Paris1997.
[4] K-Taniguchiand KIrie «Trapezoidd modulating signai for tree-phase
ML1inverter D.IEEE Transistors on industrial Electronics, Vol. IE3, N"2,1986,pp 193-200.
[5] K.Thorborg and A-Nystorm, <<Straircase ML1: an uncomplicated and efficient
modulation technique for ac drives». IEEE transistrors on Power Electronics, Vol.PE3, No4,
1988 pp. 391-398.
[6] J.C.Salmon, S.Olsen,and N.Durdle, <<Athree – phaseML1Strategy using a stepped
reference Waveform)) IEEE Transactions on Industry Vol. IA.27, NOS, 1991,pp.914-920.
[7] M.A.Boost and P.D Ziogas,((State-of -the art carier ML1 technique: a critical
evaluation D.IEEE Transactions on industrie Applications, Vol.IA.24,N02, 1988, pp.271-279.
[8] P.D Ziogas,((The delta modulation techniques instaticML1inverter D.IEEE
Transactions on Industry Applications, Marc W April 1981, pp. 199-204.
[9] J-FAUCHER,<<quelques aspects de la modulation de largeur d'impulsion, commande
des machines asynchrones, Journées de l'enseignement de l’Electrotechnique et de
1'Electronique Industrielle, SEE-MAFPEN, Gif- sur-Yvette, France, 18 et 19Mars1993.
[l0] G.SEGUIER, F.LABRIQUE, « (Desconvertisseursde17Electronique de puissance, la
conversion continu-Alternatif, Tome 4, Lavoisier/ Tecet Doc,Paris,1989
[ll] MOHAN, UNDELAND,ROBBINS<<Power Electronics converter, Applications and
ND
Design, 2 D,J ohn Wiley and Sons, inc, New-York 1995.
[12] Muhammad H.Rachid <<Power Electronics, circuits, devices, and applications,
l Ed.», Prentice Hd,Englewood CWs, New Jersey 1988.
th
[13] IC Taniguchi and H-Irie <<ML1 Technique for power MOSFET inverter. DIEEE
Transactions on power Electronics, voLPE3,N03,1988,pp.328-334.
[ 14] Bimal K BOS E <<Power Electronics and variable Frequency drives, Technology
applications», lEEE Press, Knoxville, NewYork
[15] A. BOUZID, « Onduleur triphasé commandé par la Stratégie d’Élimination
d’Harmonique (SHE) », École Normale Supérieurs d’Enseignement Technique-ORANDépartement de Génie Electrique, 2010.
[16] A. TAHRI, thèse de magister «Etude et développement d’un compensateur
statique Avance pour l’amélioration de la stabilité transitoire des systèmes électro énergetique », Université
Des
Sciences
et de la Technologie d’ORAN
.Département de Génie Electrique, 2010.
[17] A. TAHRI, thèse de doctorat «Analyse et développement d’un compensateur
statique de puissance réactive à base d’onduleur », Université Des
Sciences
et de la
Technologie d’ORAN Département de Génie Electrique .
113
Bibliographie :
[18] N. OULD CHERCHALI, A. TLEMÇANI, L. BARAZANE and M.S. BOUCHERIT
« Contribution dans l'application des algorithmes génétiques pour commander des onduleurs de
tension à cinq niveaux par la technique d’élimination d’harmoniques » Laboratoire de
Recherche en Electrotechnique et Automatique, Université de Médéa, Algérie, Laboratoire de
commande des processus Ecole Nationale Polytechnique, El Harrach Alger, Algérie
[19] E.H. L Aarts, PJ.M. Van Laarhoven, "Statistical cooling: a general approach to
combinatorial optimisation problems" Philips J. Res. Vol. 40, No. 193, 1985.
[20 ] E. Aarts, J. Korst, "Similated Annealing and Boltzmann machines" John Wiley and
Sons, New York, 1990.
[21] P. Alotto, T. Fortuna, C. Magele "Robust optimization in electromagnetic design
conference CEFC02, 2002.
[21] J. M. Alliot, T. Schiex" Intelligence Artificielle and Informatique Théorique"
Cepaduès-Editions, Toulouse, pp. 441-460, 1994.
[22] N.FAttia, "New Methods of Constrained
Ph.D.Thesis, Essex University, England 1985.
Optimisation using Penalty Functions",
[23] Th.Back" Generalized Convergence Models for Tournament- and (ft, Ij-Selection " L.
Eshelman, editor, Proceedings of the Sixth International Conference on Genetic Algorithms,
Morgan Kaufmann, San Francisco CA, pp. 2-8, 1995.
[24] J.E. Baker "Reducing bias and inefficiency in the selection algorithm " J.J
Grefenstette (Ed.), Proceedings of the 2nd International Conference on Genetic Algorithms and
Their Applications, Hillsdale, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp.14-21,1987.
[25] N. Bartoli, P. Del Moral "Simulation algorithmes stochastiques: une introduction avec
applications "CEPADUES-Editions, Toulouse 2001.
[26] R. Battiti "The reactive tabu search "ORSA journal on computing, Vol. 6, No. 2,
Spring 1994, pp. 126-140, 1994.
[27] D. Beasley, D.R. Bull, R. Martin "A sequential niche technique for multimodal
functions optimisation" Evolutionary computation, Vol.1, No.2, pp.101-125, 1993.
[28] D. Beasley, D.R. Bull, R. Martin, "An overview of genetic algorithms, Part 1:
fundamentals" University Computing, 15, pp. 58-69, 1993.
[29] D. Beasley, D. R., Bull, R. Martin "An interview of genetic algorithms: part 2,
research topics" University computing. No. 15, pp. 170-181, 1993.
[30] B. Brandstatter, U. Baumgartner "Particle Swarm Optimization - Mass-Spring System
Analogon " IEEE Trans. Magn., Vol. 38, No. 2, pp. 997-1000, 2002.
[31] S.Brisset "Outil et Methodologie pour la conception des moteurs a reluctancevariable
a double saillance " These soutenue le 23 Janvier 1995-USTL.
[32] S. Brisset, F. Gillon, S. Vivier, P. Brochet "Optimization with experimental design: an
approach using Taguchi'sme thodology and finite element simulations "IEEE Trans. Magn., Vol.
,No. , pp. September 2001
[33] S. Brisset, G. Odoux, P. Brochet "Conception d'un moteur roue brushless DC pour un
véhicule solaire" Electrotechnique du Futur, pp. 355-359, 2001.
114
Bibliographie :
[34] S. Brisset, C. Espanet, P. Brochet "Modèle de pré-dimensionnement d'un moteur à
courant contin /1, aimant permanent, commutation électronique et bobinage concentré" Proposé
à EF 2003.
[35] R.A. Caruana, J.D. Schaffer "Representation and hidden bias: Gray vs. binary coding
for genetic algorithms "J. Laird (Ed.), Proceedings of the 5th International conference on
machine Learning, San Mateo, CA, Morgan Kauffmann Pulishers, pp.153-161, 1988.
[36] C W. Caroll "The created Response Surface Technique for Optimizing Restrained
Systems "Operational Research, No. 9, pp. 169-184, 1961.
[37] C Cazaubon, G. Gramacia, G. Massard " Management de projet technique "Ellipses,
1997. [CHE 99] Y. Cherruault," Optimisation: méthodes locales et globales "Presses
Universitaires de France, ISBN 2613064991064, 1999. [CIO 03] M. Cioffi, A. Formisano, R.
Martone" Stochastic Handling of Tolerance in Robust Magnets Design "Conférence Compumag
2003.
[38] G. Ciuprina, D. loan, I Munteanu, " Use of Intelligent Particle Swarm Optimization in
Electromagnetics" IEEE Trans. Magn., Vol 38, No. 2, pp. 1037-1040, 2002.
[39] J.L. Coulomb "A methodology for the determination of global electromecanical
quantities from finite element analysis and its application to the evaluation ofmagnetic forces,
torques and stiffness" IEEE Trans. Magn., Vol 19, No. 6, pp. 2514-2519, 1983.
[40] J.L. Coulomb "About Sensitivity Analysis using High Order Derivatives "ICS
Newsletter, Vol. 4, No. 1, March 1997.
[41] J.C. Culioli,"Introduction a 1'optimisation" Ellipses, ISBN 26729-89428-4, 1994.
[DAR 59] Ch. Darwin, "The origin of species by means of natural selection" John Marray
London, 1859.
[42] K.A. DeJong, WM. Spears "A formal analysis of the role of multi-point crossover in
genetic algorithms "Annuals of Mathematics and Artificial Intelligence Journal, Vol. 5, No.1,pp.
1-26, 1992. [DEJ 75] K.A. De Jong" An analysis of the behavior of a class of genetic adaptative
systems "PhD thesis, University of Michigam, Dissertation Abstracts International,36(10), 5
NOB, University Microfilms No.76-9381, 1975.
[43] A. H. F. DIA, A. de Vasconcelos "Multiobjective Genetic Algorithms Applied to
solve Optimization Problems" IEEE Trans. Maen., Vol. 38, No. 2, March 2002.
[44] W. B. Dolan, P. T. Cummings M. D. Le Van" Algorithmic efficiency of simulated
annealing for heat exchanger network design "Comp. chem. Engng. Vol 14, No. 20, pp.10391050, 1990
[45] J.J. Droesbeke, J. Fine, G. Saporta 11 Plans d'expériences — Applications à
l'entreprise" Ed. TECHNIP, 1997.
[46] M. Duflo"Algorithmes stochastiques "Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1996.
[47] Th. Ebner, Ch. Magele, B.R. Brandstatter, K. R. Richeter "Utilizing Feed Fonvard
Neural Networks for Acceleration of Global Optimisation Procedures ", IEEE Tram. Magn.,Vol
34, No. 5, pp. 2928-2931, 1998.
115
Bibliographie :
[48] T Elperin "Monte Carlo structural optimisation in discrete variables with annealing
algorithm "International Journal for numerical methods in engineering, Vol. 26, pp.815-821,
1988.
[49] A. Fanni, A. Monstisci"A Neural inverse problem Approach for Optimal Design IEEE
Trans. Magn., Vol. 39, No. 3, pp. 1305-1308, 2003.
[50] A. V Fiacco, G.P Mc Cormik "Nonlinear Programming Sequential Unconstrained
Minimization Techniques" John Wiley & Sons, New York, 1968.
[51] G.S Fishman "Monte Carlo, concepts, Algorithms and Applications" Springer-Verlag,
New York, 1997.
[52] R. Fletcher, C M. Reeves "Function minimisation by conjugual gradients" Computer
Journal, No. 7, pp. 148-154, 1964. [FLE 87] R. Fletcher, "Practical Methods of Optimization"
John Wiley & Sons, ISBN 0-471-49463-1, 1987.
[53] L.J. Fogel "Evolutionary Programming in Perspective: The top-Dawn View"
Computational Intelligence: Imitating Life, in Zarada, pp. 135-146, 1994.
[54] A. Gallardo, D. A. Lowther "Some Aspects of Niching Genetic Algorithms Applied to
Electromagnetic Device Optimization IEEE Trans. Magn., Vol. 36, No. 4, pp. 1076-1079, 2000
[55] M. Gendreau, G Laporte "A tabu search heuristic for the heterogeneous fleet vehicle
routing problem " Computers & Operations Research No. 26, pp. 1153-1173, 1999.
[56] L. Geromel, C R. Souza, L. C. Leite "The Application of Intelligent Systems in Power
Transformer Design " Conference IEEE CCECE'2002, Canada 2002.
[57] F. Gillon "Modélisation et optimisation par plans d'expériences d'un moteur
acommutations électroniques "Thèse soutenue 1997, USTL.
[58] D.E. Goldberg "Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning"
Addison Wesley, 1989.
[59]D.E. Goldberg "Sizing Populations for Serial and Parallel Genetic Algorithms‖
Int. Conf. Genetic algorithm, 1989.
[60] O. Hajji, S. Brisset, P. Brocket "A new Tabu search
with Continuous Parameters " COMPUMAG 2003.
Method for
Optimization
[61] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet« Optimization of a brushless DC motor for an electric
vehicle using genetic algorithms »,Revue Studies in Applied Electromagnetic and Mechanics
2001.
[62] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet,« Optimisation d'un moteur roue brushless DC par
des méthodes éterministes et stochastiques »EF'2001, Nancy, France, 2001.
[63] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet "A stop Criterion to accelerate Magnetic Optimization
Process using Genetic Algorithms and Finite Element Analysis " CEFC 2002, pp.304-307, 2002.
[64] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet, "A stop Criterion to accelerate Magnetic Optimization
Process using Genetic Algorithms and Finite Element Analysis " IEEE Trans. Magn., Vol 39,
No. 3, pp. 1297-1300, May 2003.
116
Bibliographie :
[65] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet,« Comparing Stochastic Methods on SMES
Optimization " Workshop on Optimisation and inverse Problems in Electromagnetism OIPE,
Lodz, Poland 2002.
[66] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet, "Comparing Stochastic Methods on SMES
Optimization " Revue Optimization and Inverse Problem in Electromagnetic.
[67] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet "Comparing stochastic optimization methods used in
electrical engineering", IEEE SMC'02, System Man and Cybernetic 2002 Hammamet, Tunisie,
2002
[68] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet«A new Tabu Search Method for continuous parameter
optimization Application to design problems in electromagnetic » SSD03, Signal System &
Decision 2003.
[69] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet, «A new Tabu Search Method for continuous
parameter optimization. Application to design problems in electromagnetic », Revue ETEP
2003.
[70] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet,"A new
with Continuous Parameters", COMPUMAG 2003.
Tabu Search Method for Optimization
[71] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet, "A new Tabu Search Method for Optimization with
Continuous Parameters ", IEEE COMPUMAG 2003.
[72] O. Hajji, S. Brisset, P. Brocket," Some results on a SMES device optimization
problem using stochastic methods ", COMPUMAG 2003.
[73] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet« Optimization of a Die Press model using a new tabu
search method»,EMF2003.
[74]O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet, "Une nouvelle méthode de recherche taboue pour
l'optimisation de dispositifs électromagnétiques avec des paramètres continus », EF 2003.
[75] O. Hajji, S. Brisset, P. Brochet, "Comparaison des méthodes stochastiques et
déterministes pour l'optimisation de dispositifs électromagnétiques » EF 2003.
[76] J. P. Hamiez, Jin-Kao Hao "Recherche taboue et planification de rencontre sportives",
RFRIA '2000, Paris, Janvier 2000.
[77] R. Hecbnan, Th. Lengauer "A simulated Annealing Approach to the Nesting Problem
in the Textile Manufacturing Industry "In R. E. Burkard, P. L. Hammer, T. Ibakari and M.
Oueyranne, editors. Annals of Operations Research, Vol. 57, pp. 103-133, J. C. Baitzar AG
science Publishers, Amsterdam, 1995.
[78] M. R. Hestenes "Survey Paper Multiplier and Gradient Methods ".Journal of
Optimization Theory and Applications, Vol 4, No. 5, pp. 303-320, 1969.
[79] J. H. Holland "Adaptation in natural and artificial systems" University of Michigan
P)'ess, Ann Arbor, 1975.
[80] S.L. Ho, S. Yang"An Improved TabuSearch for the Global Optimizations of
Electromagnetic Devices "IEEE Trans. Magn., Vol. 37, No. 5, pp. 3570-3574, September 2001.
[81] S.L. Ho, S. Yang "Atabu Method to find the pareto Solutions of Multiobjective
optimal Design Problems in Elect)omagnetics" IEEE Trans. Magn, Vol 3S, No. 2, March 2002.
117
Bibliographie :
[82] S. R. H. Hoole, A. Mascrenghe, K. Navukkarasu, K. Sivasubramaniam "An Exepert
Design Environment for Electiical Dexices and its Engineering" IEEE Trans. Magn.Vol. 39, No.
3, pp. 1693-1696, 2003.
[83] S. Kirkpatrick, CD. Gelatt, M.P. Veccbi " Optimisation by Simulated Annealing"
Science, Vol 220, No. 4598, pp. 671-680, 1983.
[84] JR. Koza "Genetic Piogiamming" Cambridge, MA, MIT Press, 1992.
[85] M.Laguna "Intensification and diversification with elite tabu search solution for the
linear ordering problem " Computers Ops. Res., Vol 26, pp. 1217-1230, 1999.
[86] S. J Louis, G. J. E. Rawlins "Pareto Optimality, GA-easiness and Deception" Int.
Confi genetic algorithm, 1992.
[87] D. Magot, F. Wwiz, B. Cogittore, B. Delinchant, J.P. Keradec"A Methodology and
Tools for Worst-Case Tolerance Design" Conference Compumag 2003.
[88] S. Maiiello, P. Toth "Knapsack Problems " John Wiley& Sons, Chichester, UK. 1990.
[89] F. Messine, B. Nogarede, J.L. Langounaelle "Optimal Design of Elecfro-Mechanical
Actuators: A New Method Basedon Global Optimization" IEEE Trans. Magn. Vol. 34, No. 1,
pp. 299-308, 199S.
[90] N. Metropolis, A. Rosembluth, M. Rosembluth, A. Teller, E. Teller" Equation of state
calculations by fast computing machines "Jout Tial Chem. Phys., Vol. 27, No. 1087,
pp.108761092, 1953.
[91]M. Minoux,"Programmation mathématique : Tome 1 Théorie et algorithmes " Ed.
Dunod, 1983.
[92]J. A. Nelder, R. Mead,"A Simplexe Method for function Minimisation'' Computer
Journal, Vol. 7, pp. 308-312,1965.
[93] OPERA 2D, Reference manuals.
[94] U. Pahner, K. Harneyer "Adaptive Coupling of Differential Evolution and
Multiquadrics Approximation for the tuning of the optimization process " IEEE Trans. Magn.,
Vol. 36, No. 4, pp. 1047-1051, July 2000.
[95] L. Painton, U.M. Diwekar "Synthesizing Optimal Design Configurations for a
Brayton Cycle Power Plant" Comput. Chem. Eng., Vol. IS, pp. 369-381, 1994.
[96] P. M. Pardalos, M. G.C. Resende "Handbook of Applied optimisation " Oxford
University Press, 2002.
[97] M. Piliet "Intrvdaction aux plans d'expériences par la méthode Taguchi" Les Editions
d'Organisations Université, 1994.
[98] M. Poloujadoff, R.D. Findlay "A procedure for illustrating the effect of variation of
parameters on optimal transformer design "IEEE Trans, on Power Systems, Vol PWRS-1, No. 4,
pp 202-206. ,1986.
[99] M.J.D. Powell, "An efficient method for finding the minimum of a function of several
variables without calculating derivations " Computer Journal, Vol. 7, pp. 155-162, 1965.
118
Bibliographie :
[100] M.J.D. Powell "A method for Nonlinear Constraints in Minimisation Problems"
Optimisation, Academic Pi'ess, New York, pp. 283-298, 1969.
[101] M.J.D. Powell, M. Skolnick, "Using Genetic Algorithms in Engineering Design
Optimisation with non linear Constraints" Proceedings of the fifth International Conference on
Genetic Algorithms, pp. 424-430, 1993.
[102]W.H. Press "Numerical Recipes in C: The art of Scientific Computing" Cambridge
University Press, ISBN 0-521-43108-5, 1992.
[103] R.E. Randelman G S. Grest "N-City Travelling Salesman Problem: Optimisation by
simulated Annealing». Journal of Statistical Physics, Vol 45, No. 5/6, pp. S85-S90, Î986.
[104] S. S.Rao"Engineering Optimisation, Theory and Practice" John Wiley & Sons, 1996.
[105] K. Rashid, J. A. Ramirez, E. M. Freeman "Optimization of Electivmagnetic Dexices
Using Sensitivity Information from Clustered Neuro-Fuzzy Models "IEEE Trans. Magn., Vol
37, No. 5, pp. 3575-3578, July 2001.
[106] D.M. Rayan, "Penalty and Barrier Functions "P.E. Gill and Murray, Academic Press,
1974.
[107] I Rechenberg "EvolutionStrategy" In Zarada Computational Intelligence: Imitating
Life, pp. 147-159, 1994.
[108] R. T. Rockajfelar "A Dual Approach to Solving Nonlinear Programming Problems
by Unconsti'ained optimisation "Mathematical Pogramming, Vol 12, No. 6, pp. 354-373,1973.
[109] R. R. Saîdonha "Optimisation en électromagnétisme par application conjointe des
méthodes de programmation non linéaire et de la méthode des éléments finis" Thèse de doctorat,
Institut National Polytechnique de Grenoble, 1992.
[110] B. Sareni "Méthodes d'optimisation multimodales associées à la modélisation
numérique en électromagnétisme »Thèse de doctorat. Ecole Cenfrale Lyon, 1999.
[111] J.D. Schajfer, RA. Caruana, L.J Eshelman, R. Das "A study of control parameters
affecting online performance of genetic algorithms for function optimisation" ,J.D. Schajfer
(Ed.), Prvceedings of the 3rd International Conference on Genetic Algorithms and Their
applications, San Mateo, CA, Morgan Kaufinann Publishers, pp. 51-60, 1989.
[112] HP. Schwefel "Evolution and Optimum Seeking- Sixth generation Computer
Technology Series" John Wiley & Sons, New York, 1995.
[113] NN.Schraudolph, R.K. Belew "Dynamic parameter encoding for genetic
algorithms".Technical Report CS 90-175, La JoIJa, University' of California, Computer Science
and Engineering Department, 1992.
[114] J.D. Schafter "Multiple Objective Optimization with Vector Evaluated Genetic
Algorithms" lu Int Confi on genetic algorithms, 1985.
[115] K. Schittkowski,"On the convergence of a sequential quadratic programming method
with an augmented Lagrandian line search function",Mathematische Operations forschung and
Statistik, Series optimisation 14, 1983.
[116] G. Séguier, F. Notelet, " Electjotechnique Industrielle " Lavoisier Tec&Doc, Paris
1994.
119
Bibliographie :
[117] R. S. Sexton, B. Alidaee "Global optimisation for official neural networks: A tabu
search application "European Jowval of Operational Research Vol. 106, pp. 570-584, 1998.
[118] C.C. Shyur, T.C. Lit "Applying tabu search to spare capacity planning for network
restoration" Computers & Oper. Res., Vol 26, pp. 1175-1194, 1999.
[119] G Steiner, A. Weber, C Magele "Managing Uncertainties in Electromagnetic Design
Problem with Robust Optimization Conference Compumag July 2003 .
[120] R. Stoni, K. Price "Minimizing the real functions of the ICEC'96 contest by
Differential Evolution" International Conference on Evolutionary computation, Nagoya, Japon,
1996.
[121] R.H.C. Takahashi, J. A. Vansconcelos, "Sensitivity Analysis for Optimization
Problems Solved by Stochastic Methods" IEEE Trans. Magn., Vol 37, No. 5, September 2001.
[122] N. Takahashi, K. Ehihara, "Investìgation of Simulated Annealing Method and Its
Application to Takahashi" Optimization of die press model" Proc TEAM Workshop tfh Round,
Okayama, Japon, Mar, 20-21. 1996.
[123] N. Takahashi, K. Ehihara, ―optimization of die press model‖, Proc TEAM Workshop
6 round, Japan, Mar. 20-21. 1996.
th
[124] B. Bransdstaetter "SMES Optimization Benchmark, TEAM Workshop Problem 22,
Definition of the 8 parameter problem, continuous case"
[125]C. Magele "SMES Optimization Benchmark, TEAM Workshop Problem 22,
Definition of the 8 parameter problem, continuous case".
[126]S. Tsubakitani, J. R. Evans "Optimizing tabu list size for the travelling salesman
problem", Computers Ops.Res., Vol. 25, No. 2, pp. 91-97, 1998.
[127]D. Vanderbilt, S. G. Louie, "A Monte Carlo Simulated Annealing Approach to
Optimization over Continuous Variables ",Journal of Computational, Physics, 56, pp. 259-271,
1984.
[128] J A. Vasconcelos, J.A. Ramirez "Improvements in Genetic Algorithms", IEEE Trans.
Magn. Vol. 37, No. 3. September 2001.
[129] J. A. Vasconcelos "Optimisation de forme des structures Electromagnétiques ",Thèse
de doctorat, Ecole Centrale de Lyon, 1994.
[130] P. Vas "Artificial - Intelligence -Based, Electrical Machines and Drives ", Oxford
University Press, Inc, New York, 1999.
[131] M. Widmer, A. Hertz"A new approach for solving the flow shop sequencing
problem "Europ. J. Oper. Res., Vol. 41, pp. 186-193, 1989.
[132] F. Wurtz, J. Bigeon" A Methodology? and a Tool for the Computer Aided Design
with Constraints of Electrical Devices" IEEE Trans. Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 1429-1432, 1996.
[133] C Xudong, N Guangzheng, Y. Shiyou "An Improved Tabu Algorithm Applied to
Global Optimizations of Inverse-Problems in Electromagnetics",IEEE Trans. Magn., Vol. 38,
No. 2, pp. 1069-1072, March 2002.
120
Annexe :
On a effectué plusieurs essais avec différentes conditions initiales :
Le cas de la cinquième harmonique de la MLI unip olai re d e l’ond u leur mon op h asé
:
1er essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
7.198289
10.286042
12.626476
14.540748
16.133504
17.430255
18.415970
19.037570
19.191072
18.683553
α2
35.626361
63.830501
61.577218
59.353178
57.089455
54.755260
52.323362
49.756067
46.998496
43.967145
40.526451
α3
35.626361
68.264949
70.429716
72.644299
74.858777
77.070383
79.287390
81.519334
83.777296
86.074883
88.429496
B
0.000000
0.002004
0.000478
0.000011
0.000006
0.000006
0.000006
0.000005
0.000004
0.000006
0.000003
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
7.198289
10.286042
12.626476
14.540748
16.133504
17.430255
18.415970
19.037570
19.191072
18.683553
α2
35.626361
63.830501
61.577218
59.353178
57.089455
54.755260
52.323362
49.756067
46.998496
43.967145
40.526451
α3
35.626361
68.264949
70.429716
72.644299
74.858777
77.070383
79.287390
81.519334
83.777296
86.074883
88.429496
B
0.000000
0.002004
0.000478
0.000011
0.000006
0.000006
0.000006
0.000005
0.000004
0.000006
0.000003
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
7.195668
10.294224
12.626381
14.540730
16.133506
17.430260
18.415971
19.037564
19.191080
18.683522
α2
25.887646
63.832780
61.567278
59.353367
57.089489
54.755254
52.323320
49.756067
46.998536
43.967205
40.526316
α3
25.887646
68.264647
70.418875
72.644220
74.858724
77.070393
79.287452
81.519334
83.777260
86.074885
88.429574
B
0.000000
0.001981
0.000009
0.000005
0.000006
0.000006
0.000006
0.000005
0.000003
0.000003
0.000004
2ème essai :
3ème essai :
[1]
Annexe :
4ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
0.000000
7.339847
10.294464
12.626242
14.540753
16.133510
17.430288
18.415970
19.037566
19.191070
18.683580
α2
90.000000
63.668740
61.567007
59.353510
57.089445
54.755240
52.323348
49.756073
46.998530
43.967147
40.526445
α3
90.000000
68.194472
70.418936
72.644216
74.858802
77.070417
79.287466
81.519326
83.777263
86.074895
88.429510
B
0.000000
0.002452
0.000010
0.000009
0.000006
0.000006
0.000006
0.000005
0.000003
0.000004
0.000004
Le cas d e la n eu vième h armon iq u e d e la MLI b ip olai re d e l’ondu leur mon op h
asé :
1er essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
16.363620
16.119288
15.848592
15.552790
15.232497
14.887338
14.609419
14.103538
13.660279
11.973368
11.884934
α2
32.727270
33.145121
33.510746
33.817503
34.055100
34.208071
34.253464
34.149161
33.832604
30.153188
29.868083
α3
49.090901
48.446606
47.749439
46.995772
46.177941
45.283748
44.542867
43.152094
41.846838
36.185391
35.877730
α4
65.454546
66.179160
66.864331
67.506910
68.098955
68.623895
68.955958
69.306150
69.211927
59.248182
58.516176
α5
81.818178
81.000071
80.161540
79.294553
78.387293
77.420476
76.624188
75.105777
73.544338
60.913428
60.200248
B
0.000013
0.000012
0.000026
0.000043
0.000043
0.000063
0.020096
0.001270
0.001124
0.084127
0.007907
α1
16.363651
16.119393
15.848566
15.552759
15.232498
14.902818
14.633578
14.193614
11.937798
12.380824
11.881200
α2
32.727279
33.144992
33.510775
33.817527
34.055124
34.226478
34.241262
34.186962
30.040955
31.401377
29.854312
α3
49.090902
48.446679
47.749468
46.995706
46.177927
45.370437
44.594515
43.407759
36.062262
37.618843
35.863900
α4
65.454545
66.179135
66.864355
67.506961
68.098978
68.584978
68.932229
69.273138
58.955804
62.961289
58.482368
α5
81.818182
80.999932
80.161555
79.294523
78.387310
77.555674
76.662386
75.392785
60.626643
64.687898
60.167879
B
0.000010
0.000066
0.000028
0.000041
0.000032
0.015285
0.026164
0.015970
0.163490
0.069750
0.008044
2ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
[2]
Annexe :
3ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
16.363622
16.119397
15.848467
15.552862
15.232503
14.887578
14.514542
14.593836
12.287490
11.180102
12.215732
α2
32.727271
33.145021
33.510864
33.817516
34.055166
34.208015
34.253211
34.255726
31.126033
27.708700
30.908443
α3
49.090909
48.446659
47.749416
46.995734
46.177978
45.282943
44.291765
44.507790
37.288792
33.625320
37.034719
α4
65.454532
66.179128,
66.864289
67.507008
68.098965
68.624697
69.049791
68.972532
62.077014
54.262787
61.401890
α5
81.818174
80.999938
80.161609
79.294659
78.387284
77.421041
76.357387
76.591521
63.762992
56.207425
63.068826
B
0.000013
0.000067
0.000058
0.000038
0.000050
0.000297
0.000098
0.095326
0.152613
0.095236
0.001655
α1
16.363633
16.119308
15.848554
15.552865
15.232062
14.913287
14.540569
14.119203
13.906804
13.095106
12.064093
α2
32.727282
33.145094
33.510814
33.817500
34.055376
34.202058
34.254177
34.155227
34.042422
33.077411
30.438118
α3
49.090916
48.446586
47.749496
46.995692
46.176732
45.355244
44.362044
43.195660
42.591591
40.070902
36.501133
α4
65.454532
66.179150
66.864301
67.506991
68.099820
68.587249
69.025230
69.300437
69.326779
67.993361
60.023132
α5
81.818169
81.000094
80.161515
79.294682
78.386071
77.500630
76.432719
75.153066
74.464565
70.779142
61.679898
B
0.000011
0.000011
0.000029
0.000039
0.000120
0.006709
0.005294
0.002071
0.043151
0.004806
0.003334
4ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
Le cas d e la septiè me h ar mon iq u e d e la MLI un ip olai re d e l’ondu leur trip h
asé :
1er essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
𝛼1
0.000000
9.027708
12.930843
15.909093
18.112297
19.035798
15.742554
0.029363
0.179393
0.000000
0.289518
𝛼2
90.000000
40.748593
38.185085
35.503640
32.508335
28.660773
21.387884
10.285762
10.287643
10.285716
15.433139
[3]
𝛼3
90.000000
46.325889
49.159421
51.920023
54.640491
57.353050
60.171603
61.714286
61.714152
61.714284
87.429388
B
0.000000
0.000885
0.000358
0.000001
0.000000
0.000001
0.000001
0.039719
0.118261
0.196798
0.133706
Annexe :
2ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
𝛼1
0.000000
8.995839
12.916767
15.909108
18.112302
19.035796
15.742458
0.068744
0.098839
0.188903
0.119877
𝛼2
90.000000
40.766082
38.196041
35.503614
32.508331
28.660761
21.387748
10.286001
10.286300
10.287841
15.429354
𝛼3
90.000000
46.306164
49.148012
51.920032
54.640498
57.353059
60.171644
61.714263
61.714245
61.714121
87.428711
𝐵
0.000000
0.000353
0.000026
0.000002
0.000001
0.000000
0.000002
0.039719
0.118259
0.196803
0.133701
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
𝛼1
0.000000
8.803882
12.927952
15.909161
18.112125
19.035795
15.742052
0.324485
0.070606
0.039129
0.051974
𝛼2
90.000000
40.865072
38.187405
35.503571
32.508646
28.660761
21.387229
10.292046
10.286014
10.285808
15.428720
𝛼3
90.000000
46.180125
49.157177
51.920077
54.640222
57.353061
60.171745
61.713834
61.714264
61.714278
87.428599
𝐵
0.000000
0.003247
0.000286
0.000005
0.000009
0.000000
0.000007
0.039731
0.118258
0.196798
0.133700
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
𝛼1
0.000000
10.432327
12.917294
15.909047
18.112245
19.035795
15.742654
0.222244
0.132281
0.073123
0.017779
𝛼2
24.949342
39.959179
38.195633
35.503691
32.508459
28.660759
21.388009
10.288674
10.286762
10.286037
15.428582
𝛼3
24.949342
47.322631
49.148411
51.919972
54.640407
57.353061
60.171581
61.714069
61.714213
61.714264
87.428568
𝐵
0.000000
0.030680
0.000036
0.000002
0.000005
0.000000
0.000002
0.039724
0.118260
0.196798
0.133701
3ème essai :
4ème essai :
[4]
Annexe :
Le cas d e la on ziè me h ar mon iq u e d e la MLI bip olai re d e l’ond u
leur
trip h asé :
1er essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
14.729779
3.284134
4.940249
22.136576
7.253735
8.312003
9.296304
23.121859
21.958490
19.644903
12.383923
α2
14.729780
31.828306
30.694941
36.582749
28.676774
27.607217
26.520366
30.094938
27.353218
24.118271
21.629053
α3
59.999999
33.933662
35.094140
62.799988
37.109965
38.133088
39.126047
67.699428
69.319745
71.070692
42.075337
α4
90.000000,
58.837332
57.567793
78.568220
55.304546
54.104320
52.880550
77.947546
78.075333
78.079211
46.901663
B
0.000001
0.000803
0.006369
0.000041
0.000039
0.000088
0.000025
0.000065
0.00010
0.001073
0.002312
α1
14.729779
3.284134
4.940249
22.136576
7.253735
8.312003
9.296304
23.121859
21.958490
19.644903
12.383923
α2
14.729780
31.828306
30.694941
36.582749
28.676774
27.607217
26.520366
30.094938
27.353218
24.118271
21.629053
α3
59.999999
33.933662
35.094140
62.799988
37.109965
38.133088
39.126047
67.699428
69.319745
71.070692
42.075337
α4
90.000000
58.837332
57.567793
78.568220
55.304546
54.104320
52.880550
77.947546
78.075333
78.079211
46.901663
B
0.000001
0.000803
0.006369
0.000041
0.000039
0.000088
0.000025
0.000065
0.000109
0.001073
0.002312
α1
0.006039
20.757653
21.475058
22.136698
7.253757
8.311293
9.212662
23.121689
21.960653
19.642381
16.612154
α2
59.999998
38.909215
37.776686
36.582352
28.676822
27.608025
26.617296
30.093808
27.356983
24.115783
20.869944
α3
71.061415
60.885775
61.815798
62.800292
37.110029
38.132367
39.040603
67.700111
69.317558
71.070905
73.108608
α4
71.061418
79.469053
78.987714
78.568090
55.304477
54.105206
52.988253
77.947317
78.075161
78.078001
78.047167
B
0.000001
0.000037
0.000013
0.000062
0.000008
0.000021
0.007138
0.000061
0.000056
0.000678
0.000112
2ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
3ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
[5]
Annexe :
4ème essai :
ma
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
α1
13.105602
20.758207
21.466336
22.135938
22.715868
8.311237
9.295973
23.121663
11.048146
19.348482
12.303437
α2
13.105602
38.908531
37.791659
36.583544
35.295545
27.608101
26.520719
30.094347
24.247085
23.770774
21.864116
α3
59.999999
60.885833
61.810385
62.798167
63.853193
38.132305
39.125701
67.699853
40.953484
71.259450
42.060191
[6]
α4
90.000000
79.469580
78.984110
78.569953
78.229077
54.105266
52.881006
77.947553
50.276363
78.064891
47.248975
B
0.000001
0.000031
0.001750
0.000420
0.000047
0.000018
0.000021
0.000053
0.000180
0.008680
0.010600
Annexe :
B LOC SI MULI N K DE LA MLI PR EC ALC ULEE B I POLAI RE D’ ONDULEUR MONOPHASE :
Snubber resistance Rs=1e5 (Ohms)
Ron= 1e-3 (Ohms)
BLOC SIMULINK DE LA MLI PREC ALC ULEE UN IPOLAI RE D’ ON DULEUR MON OPHASE :
Snubber resistance Rs=1e-5 (Ohms)
Ron= 1e-6 (Ohms)
Ts= h s ou h est le pas
h= 0.25/ (fs*4095) avec fs =50Hz
[7]
Annexe :
B LOC SI MULI N K DE LA MLI PR EC ALC ULEE B I POLAI RE D’ ONDULEUR TRIPHASE :
Ron= 1e-3 (Ohms)
B LOC SI MULI N K DE LA MLI PR EC ALC ULEE UN IPOLAI RE D’ ON DULEUR T RI PHASE :
Ron= 1e-3 (Ohms)
h= 0.25/ (fs*899)
[8]

ORAN 2013 - Université des Sciences et de la Technologie d`Oran

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