Argentina Colombia Finland France

Pr´
atica 4
Estudo do pˆ
endulo f´ısico
4.1
Objetivo
Determinar o raio de gira¸c˜ao de uma barra atrav´es do per´ıodo de oscila¸c˜ao.
4.2
Introdu¸
c˜
ao
Quando estudamos o papel do momento de in´ercia na rota¸c˜ao de um corpo r´ıgido,
aprendemos que a forma do corpo ´e fundamental para definir seu comportamento em
movimentos de rota¸c˜ao [1]. Para um corpo de massa M, girando em torno de um
eixo O, podemos expressar essa propriedade pela defini¸c˜ao do raio de gira¸c˜ao rO , em
termos de seu momento de in´ercia IO como
IO = MrO2 .
(4.1)
O raio de gira¸c˜ao nos fornece a informa¸c˜ao sobre a geometria do objeto no valor do
momento de in´ercia e ´e fundamental na determina¸c˜ao do comportamento de um corpo
r´ıgido em movimento de rota¸c˜ao.
Em princ´ıpio, bastaria calcular o momento de in´ercia para se saber o raio de
gira¸c˜ao. Por exemplo, ´e f´acil calcular o momento de in´ercia de uma barra uniforme
de massa M e comprimento L, girando em torno de um eixo que passa pelo seu cetro
2
de massa (CM). Vocˆe j´a deve ter feito esse c´alculo: ICM = M12L . Assim, neste caso,
2
2
rCM
= L12 . Mas, como fazer se o objeto tiver uma forma tal que seja dif´ıcil definir o
volume de integra¸c˜ao? Neste caso, podemos determinar raio de gira¸c˜ao estudando o
comportamento do per´ıodo de oscila¸c˜ao do objeto. Vamos ver como.
4.3
Modelo te´
orico
A diferen¸ca entre os modelos do pˆendulo simples e pˆendulo f´ısico ´e o fato de
que no segundo caso o corpo oscilante n˜ao ´e puntual. No mundo real n˜ao existem
corpos puntuais, usamos essa aproxima¸c˜ao em pˆendulos em que as dimens˜oes do corpo
oscilante sejam muito menores que a distˆancia do CM dele ao eixo de oscila¸c˜ao, como
indicado na figura 4.1(a). Quando n˜ao for poss´ıvel fazer essa aproxima¸c˜ao, como na
23
´
ˆ
PRATICA
4. ESTUDO DO PENDULO
F´ISICO
24
O
O
h
CM
h
L
L
(a)
(b)
Figura 4.1: Diferen¸ca entre os modelos pˆendulo simples e pˆendulo f´ısico.(a) No modelo
do pˆendulo simples as dimens˜oes do corpo que oscila, L, s˜ao muito menores que a
distˆancia do CM ao eixo de oscila¸c˜ao, h e podemos dizer que o corpo ´e puntual. (b)
Neste caso L e h s˜ao compar´aveis e n˜ao podemos desprezar a extens˜ao do corpo,
portanto devemos usar o modelo do pˆendulo f´ısico.
situa¸c˜ao indicada na figura 4.1(b), temos o pˆendulo f´ısico. Neste caso o per´ıodo de
oscila¸c˜ao depende da forma do corpo e da distˆancia h de seu CM ao eixo de oscila¸c˜ao.
A forma do corpo pode ser traduzida matematicamente pelo raio de gira¸c˜ao com
rela¸c˜ao ao eixo de oscila¸c˜ao, rO , definido a partir do momento de in´ercia com rela¸c˜ao
ao mesmo eixo como
IO = MrO2 .
O per´ıodo do pˆendulo f´ısico pode ser escrito em fun¸c˜ao de rO como
Tpf = 2π
s
rO2
.
hg
1
(4.2)
Podemos usar o teorema dos eixos paralelos para escrever rO de forma mais conveniente, em termos de um eixo que passe por seu CM, como
2
rO2 = rCM
+ h2
(4.3)
Com isso, podemos escrever o per´ıodo do pˆendulo f´ısico como
Tpf = 2π
s
2 + h2
rCM
.
hg
(4.4)
Compara¸c˜
ao entre os pˆ
endulos simples e f´ısico
Para entender a rela¸c˜ao entre os dois modelos de pˆendulo, vamos reescrever a
express˜ao (4.4) como
s s
2
h rCM
Tpf = 2π
+1
(4.5)
g h2
1
Vocˆe pode ver o c´
alculo detalhado em [2]
29 de Setembro de 2014
´
4.3. MODELO TEORICO
25
Identificamos o per´ıodo do pˆendulo simples,
Tps = 2π
s
h
,
g
(4.6)
e com isso podemos escrever
Tpf = Tps
r2
1 + CM
h2
!1/2
(4.7)
Desta forma fica f´acil de ver que
lim Tpf = Tps ou
h→∞
lim Tpf = Tps
rCM→0
,
ou seja, quando a distˆancia h for muito grande, ou rCM muito pequeno, podemos usar
o modelo do pˆendulo simples. A figura 4.2 mostra a compara¸ca˜o gr´afica das duas
express˜oes de per´ıodo evidenciando a diferen¸ca de comportamento dos dois modelos.
Figura 4.2: Compara¸c˜ao gr´afica entre as curvas do per´ıodo dos pˆendulos simples e
f´ısico de acordo com as rela¸c˜oes (4.6) e (4.7), para um objeto qualquer com rCM = 0,30
m.
Vamos fazer uma an´alise quantitativa e verificar como escolher entre um modelo
e outro. O ponto de partida ´e o modelo do pˆendulo simples, por ser o mais restritivo.
Queremos saber, dado um certo objeto de raio de gira¸c˜ao rCM , para que valor de h se
torna inadequado descrever o sistema como um pˆendulo simples.
Para responder a essa pergunta vamos calcular ∆T ≡ Tpf − Tps para alguns valores
de h considerando um objeto com rCM = 0,30 m:
29 de Setembro de 2014
´
ˆ
PRATICA
4. ESTUDO DO PENDULO
F´ISICO
26
• h = 0,9 m = 3 rCM → ∆T = 0,1 s
• h = 1,5 m = 5 rCM → ∆T = 0,05 s
• h = 2,1 m = 7 rCM → ∆T = 0,03 s
• h = 3,0 m = 10 rCM → ∆T = 0,02 s
Agora imagine uma situa¸c˜ao t´ıpica em que s˜ao feitas medidas de 5 per´ıodos seguidos,
com incerteza de 0,1 s. Neste caso, a incerteza nos valores experimentais de per´ıodo
ser´a de 0,02 s. Para valores h > 3,0 m ser´a dif´ıcil perceber a diferen¸ca entre os dois
modelos, o que quer dizer que se pode usar o modelo mais simples. Ao contr´ario,
para h < 3,0 m, os resultados experimentais seriam perceptivelmente maiores do que
a previs˜ao do modelo do pˆendulo simples. Essa discrepˆancia aumenta quanto menor
for o valor de h. Insistir com esse modelo e realizar o ajuste dos dados com ele levaria
a parˆametros de ajuste bastante inexatos.
Tacos e raquetes
O projeto de uma boa raquete ou taco depende diretamente do entendimento da
oscila¸c˜ao do pˆendulo f´ısico. Observe a figura 4.3, mostrando um taco de basebol.
Imagine que ele ´e seguro no ponto O (centro de oscila¸c˜ao) e recebe o golpe de uma
bola no ponto O’ (centro de percuss˜ao). Sejam F~ e F~ 0 as for¸cas nos pontos O e O’,
respectivamente. Num taco bem desenhado F = 0, ou seja, quem segura o taco n˜ao
sente a pancada da bola, que ´e fort´ıssima. A mesma situa¸ca˜o ocorre em raquetes.
Quem j´a se iniciou em algum esporte com taco ou raquete sabe bem como ´e a dor no
cotovelo resultante de se ter o taco ou raquete atingido pela bola no ponto errado.
A quest˜ao ´e como determinar a posi¸c˜ao de O’. Este c´alculo est´a fora do escopo desta
disciplina, mas n˜ao ´e complicado e pode ser encontrado em livros de Mecˆanica [3]. O
resultado ´e que devemos ter os pontos de percuss˜ao e oscila¸c˜ao tais que
2
hh0 = rCM
(4.8)
Ocorre que ´e muito f´acil encontrar valores adequados de h e h0 atrav´es de an´alise
gr´afica. Observando a figura 4.2 vemos que ´e poss´ıvel se obter o mesmo per´ıodo
para dois valores distintos de h, que definem o que chamamos de pontos is´
ocronos.
Vamos impor esta condi¸c˜ao matematicamente:
s
2 + h2
rCM
=
hg
s
2 + h02
rCM
h0 g
Como resultado temos a mesma condi¸c˜ao (4.8)! Assim, se definimos onde queremos
segurar o taco, o que corresponde a escolher O j´a que o CM ´e fixo, podemos recorrer
ao gr´afico para localizar o eixo O’, que ficar´a a uma distˆancia h0 do CM, para o outro
lado.
Os pontos is´ocronos tamb´em tem outra propriedade interessante. Vamos definir
a distˆancia entre O e O’ como mostrado na figura 4.3:
` = h + h0 .
29 de Setembro de 2014
˜ DA EXPERIENCIA
ˆ
4.4. DESCRIC
¸ AO
27
Usando a express˜ao (4.8) para eliminar h0 temos
`=
2
h2 + rCM
,
h
(4.9)
ou seja, podemos reescrever a express˜ao para o per´ıodo como
s
s
r2 + h2
`
Tpf = 2π CM
= 2π
.
hg
g
(4.10)
Assim, ` = h + h0 ´e o comprimento do pˆendulo simples equivalente.
F
F’
l
O’
h’
CM
h
O
Figura 4.3: Ilustra¸c˜ao de um taco de basebol mostrando a posi¸c˜ao onde deve ser
segurado, O, para que um impacto em O’ n˜ao seja sentido, ou seja, para que F = 0.
4.4
Descri¸
c˜
ao da experiˆ
encia
Queremos estudar a dependˆencia do per´ıodo com a separa¸ca˜o h entre eixo de
oscila¸c˜ao e centro de massa da barra. Para tal ser´a medido o tempo total de 5
per´ıodos para cada valor de h. A adequa¸c˜ao entre modelo e experiˆencia ser´a analisada
em termos do ajuste n˜ao linear dos dados experimentais.
Material
• Cronˆometro;
• Barra com orif´ıcios;
• R´egua;
• Computador com programa gr´afico para an´alise dos dados
4.5
Procedimentos experimentais
Planejamento
• Determine o centro de massa da barra equilibrando-a horizontalmente sobre
um eixo.
29 de Setembro de 2014
´
ˆ
PRATICA
4. ESTUDO DO PENDULO
F´ISICO
28
• Escolha alguns orif´ıcios, ponha a barra para oscilar e observe seu movimento.
A oscila¸c˜ao deve ser sempre no mesmo plano, paralelo `a parede. Caso a barra
comece a ter um movimento peri´odico de tor¸c˜ao, interrompa o movimento e
verifique a raz˜ao disso. Esse tipo de oscila¸c˜ao n˜ao est´a previsto no modelo e
levar´a a medidas erradas de per´ıodo. Aqui tamb´em, uma pequena amplitude
n˜ao s´o garante a aproxima¸c˜ao sen θ ≈ θ, como leva a um movimento mais
controlado.
Realiza¸c˜
ao da experiˆ
encia
As medidas de per´ıodo ser˜ao realizadas com um cronˆometro digital. Para tal
usaremos um procedimento semelhante ao da Pr´atica 2, ou seja ser˜ao medidos os
tempos referentes a 5 per´ıodos. Lembre-se de associar a essas medidas o valor do
desvio padr˜ao obtido na Pr´atica 2. A tabela abaixo mostra como seus dados devem ser
organizados. Lembre-se que h ´e definido como a distˆancia entre o eixo de oscila¸c˜
ao
e o CM. As incertezas em h devem incluir a dificuldade na determina¸c˜ao do CM.
pˆ
endulo f´ısico
L=
h(
)
σh (
)
5T (
)
σ5T (
)
T(
)
σT (
)
1
2
..
.
10
4.6
An´
alise dos dados
A rela¸c˜ao T (h) ´e claramente n˜ao linear e a obten¸c˜ao experimental de rCM depende
do resultado do ajuste explicado no Apˆendice D.
Vamos associar a vari´avel x a h. A fun¸c˜ao de ajuste ter´a a forma
y=
v
u
u1
2π t
b2
x+
a
x
!
.
(4.11)
Comparando as express˜oes (4.4) e (4.11), vemos que o parˆametro a ser´a a acelera¸c˜ao
da gravidade e b, o raio de gira¸c˜ao com rela¸c˜ao ao centro de massa. Como explicado
no Apˆendice D, a escolha inicial dos dos valores de a e b ´e fundamental para o sucesso
do ajuste. No caso de a, observe em que sistema de unidades ele dever´a sair e compare
com g nas mesmas unidades. Para se ter uma ideia do valor de b podemos calcular
o
√
rCM de uma barra homogˆena de comprimento L, sem orif´ıcios, que ´e rCM = L 3/6.
29 de Setembro de 2014
´
4.6. ANALISE
DOS DADOS
29
Outro ponto importante ´e o espa¸camento dos valores de h. A assimetria e a n˜ao
linearidade da rela¸c˜ao T (h) faz com que o espa¸camento possa ser diferente ao longo
da barra. Sugerimos que vocˆe acompanhe a experiˆencia no QtiPlot, observando a
posi¸c˜ao dos pontos no gr´afico. Assim, vocˆe poder´a decidir onde s˜ao necess´arias mais
medidas e qual deve ser o espa¸camento entre elas.
29 de Setembro de 2014
76
29 de Setembro de 2014
´
ˆ
PRATICA
4. ESTUDO DO PENDULO
F´ISICO
Bibliografia
[1] H. Moys´es Nussenzveig. Curso de F´ısica B´asica 1 - Mecˆanica. Edgard Bl¨
ucher,
1983.
[2] H. Moys´es Nussenzveig. Curso de F´ısica B´asica 2 - Flu´ıdos, Oscila¸c˜oe e Ondas,
Calor. Edgard Bl¨
ucher, 2002.
[3] Keith R Symon. Mecˆanica, Ed. Campus, 1982.
[4] B P Flannery, W H Press, S A Teukolsky, and W Vetterling. Numerical recipes
in C. University of Cambridge, New York, 1992.
77