Abaque de Nichols Th`eme d`étude

Abaque de Nichols
AbaqueDeNichols.tex
Abaque de Nichols
Documentation :
Technique de l’ingénieur
Théorie des circuits électriques linéaires.
Cet abaque permet, connaissant le nombre complexe :
1
= |Z|eiθ et inversement.
complexe : Z =
1+z
z = |z|eiϕ
d’obtenir le nombre
L’abaque est tracé dans un plan où sont portées en abscisses les valeurs de ϕ, exprimées en
degrés, et, en ordonnées, les valeurs de |z|, exprimées en décibel (dB).
Cet abaque est constitué par l’ensemble de deux familles de courbes :
– les courbes à <(z) constante et =(z) variable.
– les courbes à =(z) constante et <(z) variable.
Son utilité réside dans le fait que la transmittance H d’un système bouclé, peut s’écrire :
δσ
δσµ
−µβ
δσ
C
=−
H=
=−
en posant : C = −µβ
1 − µβ
β 1 − µβ
β 1+C
Lorsque l’on connait C, cet abaque permet de déterminer par simple lecture :
C
1+C
Thème d’étude
Le but de cette étude est de construire l’abaque de Nichols en utilisant
les connaissances du cours sur les transformations complexes.
π
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument
2
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct.
On notera respectivement <(z) et =(z) les parties réelle et imaginaire de z.
Soit l’application f qui à tout point M d’affixe z associe le point M 0 d’affixe Z.
(
f:
f:
♣ ♥♠
♦
C → C
z 7→ Z = f (z) =
z
1+z
P → P
M 7→ M 0 = f (M )
1/2
♣ ♥♠
♦
Abaque de Nichols
1)
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Transformation f
Décomposer la transformation f en transformations élémentaires simples.
2)
Images des droites verticales
a)
Déterminer l’image par f de la droite d’équation x = −1
b) Déterminer ensuite l’image par la transformation f d’une droite d’équation x = a
pour les valeurs du réel a différent de −1.
3)
Images des droites horizontales
a)
Déterminer l’image par f de la droite d’équation y = 0.
b) Déterminer ensuite l’image par la transformation f d’une droite d’équation y = b
pour les valeurs du réel b différent de 0.
4)
Abaque de Nichols
Construction de l’abaque constitué par l’ensemble des deux familles de courbes :
– les courbes à <(z) constante et =(z) variable.
– les courbes à =(z) constante et <(z) variable.
(On prendra pour unité : 6 cm)
a)
Construire les images par f des droites d’équations respectives :
x = −2 ;
x=−
3
2
;
x = −1 ;
x=−
1
2
;
x=
1
2
;
x=1 ;
x=2
1
1
2
3
; y=−
; y=0 ; y=
; y=
; y=1
2
2
2
3
b) Compléter cet abaque de telle manière que le centre de symétrie de la figure soit le
point de coordonnées (1 ; 0)
Indiquer sur la figure les antécédents des nouveaux éléments tracés.
y = −2 ;
5)
y=−
Lecture sur l’Abaque de Nichols
Utilisation de cet abaque :
a)
Déterminer Z par lecture sur cet abaque pour les valeurs suivantes de z :
b)
i
−3 + i
;
z = −2 − i
;
z=
2
2
Déterminer z par lecture sur cet abaque pour les valeurs suivantes de Z :
z=
7 − 4i
5
Comparer les résultats lus sur l’abaque avec les résultats obtenus par le calcul.
Z =2−i
♣ ♥♠
♦
;
Z = 1 + 2i
2/2
;
Z=
♣ ♥♠
♦
Abaque de Nichols
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Abaque de Nichols :
Corrigé
iR
i
•
0
1)
R
Transformation f
z
−1
=
+1
1+z
z+1
Décomposition en transformations élémentaires :
f:
f1
z 7−→ Z = f (z) =
f2
z 7−→ z1 = z + 1 7−→ z2 =
Avec :
f = f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1
f1
f2
f3
f4
♣ ♥♠
♦
1 f3
f4
7−→ z3 = −z2 7−→ Z = f (z) = z3 + 1
z1
=T
=I
=S
=T
Translation de vecteur d’affixe (1)
Inversion Complexe
Simétrie de centre O
Translation de vecteur d’affixe (1)
I / IV
♣ ♥♠
♦
Abaque de Nichols
2)
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Image des droites verticales
a)
T
Soit D la droite d’équation x = −1 et D0 = f (D) son image par f .
I
S
D0
D
T
0
D 7−→ D1 7−→ D2 7−→ D3 7−→ D = f (D)
D : x = −1
D1 = D2 = D3 : x = 0
D0 : x = 1
i
0
1
D1 = D2 = D3
b)
Soit ∆ la droite d’équation x = a a 6= −1 et ∆0 = f (∆) son image par f .
T
I
S
T
∆ 7−→ ∆1 7−→ ∆2 7−→ ∆3 7−→ ∆0 = f (∆)
∆1
∆2
∆3
∆0
T
est la droite d’équation x = a + 1 qui coupe l’axe
des réels en A1 d’affixe (a + 1)
1
est le cercle de diamètre OA2 A2 d’affixe a+1
−1
est le cercle de diamètre OA3 A3 d’affixe a+1
est le cercle ∆3 translaté de 1
I
S
∆
T
∆1
∆ 7−→ ∆1 7−→ ∆2 7−→ ∆3 7−→ ∆0 = f (∆)
Figure ci-contre construite avec :
a=−
1
2
i
∆ : x=a
∆1 : x = a + 1
2
1
1
∆2 :
x−
+ y2 =
2(a + 1) 4(a + 1)2
2
1
1
∆3 :
x+
+ y2 =
2(a + 1) 4(a + 1)2
2
2a + 1
1
∆0 :
x−
+ y2 =
2(a + 1)
4(a + 1)2
♣ ♥♠
♦
II / IV
A3
∆3
•
0
•
A1
1
•
A2
∆2
∆0
♣ ♥♠
♦
Abaque de Nichols
3)
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Images des droites horizontales
a)
T
Soit D la droite d’équation y = 0 et D0 = f (D) son image par f .
I
S
T
D 7−→ D1 7−→ D2 7−→ D3 7−→ D0 = f (D)
La droite est invariante :
f (D) = D
i
D = D1 = D2 = D3 = D0 : y = 0
D = D1 = D2 = D3 = D0
0
b)
1
Soit ∆ la droite d’équation y = b a 6= 0 et ∆0 = f (∆) son image par f .
T
I
S
T
∆ 7−→ ∆1 7−→ ∆2 7−→ ∆3 7−→ ∆0 = f (∆)
∆1
∆2
∆3
∆0
T
= D est la droite d’équation y = b qui coupe l’axe des imaginaires en B d’affixe (b i)
est le cercle de diamètre OB2 B2 d’affixe (− bi )
est le cercle de diamètre OB3 B3 d’affixe ( bi )
est le cercle ∆3 translaté de 1
I
S
T
B3 ∆3
•
∆ 7−→ ∆1 7−→ ∆2 7−→ ∆3 7−→ ∆0 = f (∆)
Figure ci-contre construite avec :
b=
1
2
∆ : y=b
∆1 : y = b
2
1
1
∆2 : x2 + y +
= 2
2b 4b
2
1
1
∆3 : x2 + y −
= 2
2b
4b
2
1
1
0
2
∆ : (x − 1) + y −
= 2
2b
4b
♣ ♥♠
♦
∆ = ∆1
i
B1
∆0
•
0
1
•
B2 ∆2
III / IV
♣ ♥♠
♦
Abaque de Nichols
4)
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Abaque de Nichols
On lit sur l’abaque :
7−→
z = x+yi
f (z) = Z = X + Y i
x = −1
Y
E
•
y=
y=
1
2
2
3
y=1
x=
− 12
•
i
A
x = − 32
3
2
x = − 13
x = − 53
2
C•
x=0
•
0
3
1
2
1
−4
2
−3
x = −2
− 52
y=0
X
−3
•
−2
− 32
B
•
F
•
y = −1
D
y = − 23
y = − 12
5)
Lecture sur l’Abaque de Nichols
Les résultats sont lus sur l’abaque aux points A, B, C et D, E, F .
a)
z 7→ Z
b)
Z ←[ z
♣ ♥♠
♦
−3 + i
7→ 2 + i (A);
2
−3 − i
2 − i ←[
(D);
2
3−i
(B);
2
i
1 + 2i ←[ −1 +
(E);
2
−2 − i 7→
IV / IV
i
1 + 2i
7→
(C)
2
5
7 − 4i
3
←[ − − i (F )
5
2
♣ ♥♠
♦