UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (Paris 7)

Transcription

UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (Paris 7)
ÉCOLE DOCTORALE D’ASTRONOMIE ET
ASTROPHYSIQUE D’ÎLE-DE-FRANCE
DOCTORAT
Astronomie et Astrophysique
Julien SALMON
Nouveaux regards sur l’origine et
l’évolution des anneaux planétaires
Application aux anneaux de Saturne
Thèse dirigée par André BRAHIC & Sébastien CHARNOZ
Soutenue le 18 Novembre 2010
JURY
Pr. M. Fulchignoni, Président
Pr. W. Benz,
Rapporteur
Dr. P.-Y. Longaretti, Rapporteur
Dr. Y. Alibert,
Examinateur
Pr. P. D. Nicholson, Examinateur
Pr. A. Brahic,
Directeur de thèse
Dr. S. Charnoz,
Directeur de thèse
Couverture : Saturne et ses anneaux vus par la sonde Cassini-Huygens, le 23 juillet
2008 (Crédits NASA/JPL/Space Science Institute). Les couleurs ont été obtenues en
combinant 10 images en lumière rouge, bleue, et verte. Sur l’image en pleine résolution (http://photojournal.jpl.nasa.gov/jpeg/PIA11141.jpg) on peut également apercevoir
6 des satellites de Saturne : Titan, Janus, Mimas, Pandore, Epimethée et Encelade. L’unicité de l’ampleur de son système d’anneaux, et la multitude et la diversité de ses satellites,
font de Saturne un objet unique de notre Système Solaire. Les travaux que j’ai effectué
au cours de ma thèse m’ont amené à la conclusion que les anneaux et les satellites de
Saturne partagent une histoire dans laquelle il sont intimement liés.
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Sans la musique la vie serait une erreur.
Friedrich Nietzsche - Crépuscule des idoles, Maximes et pointes, § 33.
Those people who tell you not take chances
They are all missing on what life is about
You only live once so take hold of the chance
Don’t end up like others the same song and dance.
Metallica - Motorbreath
« Donc comme c’est la théorie qui donne leur valeur et leur signification
aux faits, elle est souvent très utile, même si elle est partiellement fausse, car
elle jette la lumière sur des phénomènes auxquels personne ne faisait attention,
force à examiner sous plusieurs faces des faits que personne n’étudiait auparavant, et donne l’impulsion à des recherches plus étendues et plus heureuses.
- C’est donc un devoir moral de l’homme de science de s’exposer à commettre
des erreurs et à subir des critiques, pour que la science avance toujours. - Un
écrivain . . . a vivement attaqué l’auteur en disant que c’est là un idéal scientifique bien restreint et bien mesquin. Mais ceux qui sont doués d’un esprit assez
sérieux et froid pour ne pas croire que tout ce qu’ils écrivent est l’expression de
la vérité absolue et éternelle, approuvent cette théorie qui place les raisons de
la science bien au-dessus de la misérable vanité et du mesquin amour-propre
du savant. »
Guillaume Ferrero - Les lois psychologiques du symbolisme
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À ma Grand-Mère Marcelle,
qui aurait tant aimé ne rien
comprendre à ce manuscrit
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Remerciements
À l’issue de ces 4 ans et demi passés au CEA, bon nombre de personnes sont à
remercier pour diverses raisons. À commencer par mon directeur de thèse André BRAHIC
qui m’a ouvert grand les portes de l’Astrophysique, que je croyais closes, et dont l’infinie
expérience fut une source inépuisable de conseils avisés tout au long de mon passage au
Service d’Astrophysique. Je suis éternellement reconnaissant à mon co-directeur de thèse
Sébastien CHARNOZ, sans qui j’en serais encore probablement à me demander ce que
c’est qu’une planète. Sans son aide et ses immenses qualités tant scientifiques qu’humaines,
cette thèse n’aurait jamais été possible. Enfin, je remercie Jean-Charles PINOLI pour
m’avoir chapeauté et mis en orbite avec succès autour de la planète Astrophysique.
Dans le détail et dans le désordre, je voudrais remercier la foule d’étudiants, stagiaires, thésards, post-doc et autres qui ont égayé mon passage au CEA : Yohan mon
guitariste préféré et co-fondateur des soirées A&A ; Laurène à qui je souhaite un jour de
enfin rencontrer Lars Ulrich ; Fabio le capoueriste passioné, enfin faut voir ; Sandrine qui
j’en suis sur finira un jour par se transformer en ballon de volley ; Anaïs sa jumelle mystérieuse ; Alain l’importateur officiel de Kouign-Aman ; Pierrick l’Apollon du water-polo ;
Ana et son accent qui sent bon le romarin ; Samuel l’homme qui escaladait des montagnes
à défaut de les déplacer ; Clément et son sourire qui ne le quitte jamais ; Henri mon camarade d’apple/pear/banana-party, spécialiste des discussions MSN 36-15 MYLIFE à 1h
du mat’ (t’inquiète pas la hotline reste ouverte) ; Patrice, le co-bureau qui n’a jamais
de monnaie ; Vincent le mec qui s’endort en premier aux soirées qu’il organise ; Benoît
bien qu’il soit supporter de l’OM ; Ivan, fervent amateur de la trash-poetry ; Maud qui
m’aura fait découvrir le badminton ; Timea qui aura accepté que je baptise son cochon
d’Inde Pouet ; Arnaud dont je cherche toujours à comprendre son adaptation au froid
et au chaud ; Marco l’italien de service un poil véhément mais qu’on aime bien quand
même ; Guillaume, le spécialiste des lasers ; Nico ou Harry Potter pour les intimes ; Laurie
à qui il faudra vraiment offrir une piscine ; Dominique, la secrétaire qui traitait les tâches
administratives plus vite que son ombre ; Marie-lise, la bimbo qui faisait le ménage ; Robert, parce qu’être supporter du PSG c’est pas facile ; Pierrot « Copain », mon chauffeur
officiel ; Bouchon, grand amateur de thé (ou pas). Pardon à ceux que j’oublie, la liste est
trop longue !
Je voudrais également remercier Paulette qui m’a accueilli chez elle pendant 4 années. Merci pour les restes de tarte au citron, pour comprendre que si ma chambre est en
désordre c’est qu’elle n’est que le reflet de mon cerveau, pour sa gentillesse et sa bonne
humeur permanente.
Je ne souhaite pas remercier un certain nombre d’entités, humaines ou non, qui
n’ont pas contribué à faciliter cette thèse : la Régie Autonome des Transports Parisiens
et son service à la fiabilité légendaire, le tout pour un tarif défiant toute concurrence ; les
bugs d’OpenOffice (mais c’est si compliqué que ça de coder l’insertion d’une vidéo dans
une présentation ? ? ?) ; les responsables des navettes CEA et leur acharnement à faire
passer les bus par le parcours le moins optimisé qui soit ; la personne chargée de remplir
la machine à friandises de la cafet, à qui il faudra faire comprendre un jour que un seul
type de boisson par rangée c’est mieux qu’une répartition aléatoire dans l’ensemble des
rangées.
Pour finir, je voudrais remercier toute ma famille, parents, grand-parents, frère et
soeur pour leur soutien sans faille au cours de toutes mes longues années d’études. Merci
à tous mes amis extra-CEA : la bande des poutres Charles, Steph, Nico, Antoine, Geoff,
Martin, Fabienne, Olivia, Cécile ; Niels et Emilie, les anglais de service ; mes amis de prépa
Fab, Arnaud, Arnaud, Arnaud (oui il y’en a bien 3), Simon, Max, Yo, Ben, Thom ; et
toute la bande clickNplay Ayo, Mpz, Peri, Munix, Rs‘, Panda et nUx.
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Résumé
Bien que très différents au regard de leurs dimensions et de leurs composition, les anneaux de Saturne constituent le plus proche exemple d’un disque
astrophysique à notre disposition, et leur étude pourrait donc nous permettre
de mieux comprendre l’évolution d’autres disques plus difficiles à observer en
détails. Néanmoins, bien qu’étudiés depuis plus de 400 ans, les anneaux de
Saturne recèlent encore bien des mystères. En particulier, la question de leur
age n’est toujours pas complètement résolue. Bien que les scénarios invoqués
pour leur formation suggèrent que leur origine est contemporaine de la formation du Système Solaire, plusieurs résultats théoriques et observationnels
concluent que les anneaux ne seraient vieux que de quelques centaines de millions d’années. Au cours de ma thèse je me suis attaché à réétudier un certain
nombre de vieux problèmes, en utilisant plusieurs résultats récents obtenus
sur la formation de notre Système Solaire, ainsi que sur la modélisation de la
dynamique des anneaux planétaires.
Dans une première partie, je présente les scénarios les plus communément admis pour la formation des anneaux de Saturne, et j’explique dans quel mesure
le Bombardement Massif Tardif pourrait être une époque favorable à la formation d’anneaux denses autour de Saturne. Dans une deuxième partie, je
présente de nouveaux résultats sur la question latente de l’évolution visqueuse
des anneaux, obtenus en implémentant un modèle de viscosité physiquement
réaliste, incluant en particulier les effets liés à l’auto-gravité du disque, dans
un code numérique simple permettant de simuler l’évolution de tous le système
d’anneaux sur des échelles de temps de l’ordre du milliard d’années. Enfin, je
montre comment le fait de permettre au matériau des anneaux de s’accréter
lorsqu’il est amené au-delà de la limite de Roche par l’étalement visqueux,
résulte en la formation d’une population de petites lunes dont les propriétés ressemblent fortement aux petits satellites de Saturne situés très près des
anneaux.
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Abstract
Although very different in terms of spatial scales and composition, Saturn’s
rings are the closest example of an astrophysical disk at our disposal, and their
study could give us clues on other disks that are more difficult to observe in
detail. However, despite more than 400 years of studies, Saturn’s rings remain
full of secrets. In particular, the subject of their age is still uncertain. While
most accepted scenarios suggest that they were formed in the early ages of
the Solar System, several observational and theoretical studies come to the
conclusion that they must be about 100 million years old. During my PhD, I
have focused on re-examining old questions regarding the origin and evolution
of Saturn’s rings, in the light of recent results about the formation of the solar
system and the modelisation of planetary rings dynamics.
In a first part, I present the most popular scenarios that have been proposed
to explain the formation of Saturn’s rings, and I explain how the Late Heavy
Bombardment could be a “sweet moment” for the formation of a dense ring
system around Saturn. Secondly, I bring new results on the old question of the
viscous spreading of the rings, by introducing a physically realistic viscosity
model, including in particular the effects of the disk’s self-gravity, in a simple
numerical code used to simulate the evolution of the whole disc on billionyears timescales. Finally, I present how allowing the accretion of ring material
when it is brought through the Roche limit by viscous spreading can lead to
the formation of a population of moonlets that closely resemble the actual
population of small Saturn’s satellites orbiting close to the rings.
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Petite histoire de l’astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Découverte des planètes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 L’avènement de l’astronomie moderne . . . . . . . . .
1.1.2.1 Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2 Les premières observations astronomiques .
1.1.2.3 Des théories vues d’un mauvais œil . . . . .
1.1.2.4 L’après Galilée . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les disques astrophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Les galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Les disques d’accrétion . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Les disques protoplanétaires . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Les anneaux planétaires . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.1 Pourquoi les anneaux planétaires peuvent-ils
1.2.4.2 Les anneaux de Jupiter . . . . . . . . . . .
1.2.4.3 Les anneaux de Saturne . . . . . . . . . . .
1.2.4.3.1 Les anneaux principaux . . . . . .
1.2.4.3.2 L’anneau F . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.3.3 Les anneaux diffus . . . . . . . . .
1.2.4.4 Les anneaux d’Uranus . . . . . . . . . . . .
1.2.4.5 Les anneaux de Neptune . . . . . . . . . . .
1.3 Problématique générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Pourquoi des disques ? . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Les enjeux de l’étude des anneaux planétaires . . . .
1.3.2.1 Des disques bien particuliers . . . . . . . . .
1.3.2.2 Un laboratoire de l’espace . . . . . . . . . .
1.4 Les points abordés dans ce manuscrit . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Origine des anneaux de Saturne . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Évolution visqueuse des anneaux . . . . . . . . . . .
1.4.3 Formation des petites lunes de Saturne . . . . . . . .
2 Formation des anneaux planétaires
2.1 Jupiter, Uranus et Neptune . . . . . . .
2.1.1 Formation des anneaux de Jupiter
2.1.1.1 L’anneau principal . . .
2.1.1.2 Le halo . . . . . . . . .
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exister ?
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Table des matières
2.1.1.3 Les anneaux gossamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formation des anneaux d’Uranus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.1 Anneaux denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.2 Anneaux diffus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Formation des anneaux de Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le cas de Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Origine des anneaux diffus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 L’anneau E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.2 L’anneau G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Scénarios de formation des anneaux principaux . . . . . . . . . .
2.2.2.1 Formation des anneaux dans la sous-nébuleuse de Saturne
2.2.2.2 Formation par destruction de comètes par effets de marée
2.2.2.3 Formation par destruction d’un satellite . . . . . . . . .
2.2.2.4 Problématique : les anneaux de Saturne ont-ils pu être
créés au cours du Bombardement Massif Tardif ? . . . .
2.3 Étude de la possible formation des anneaux de Saturne au cours du Bombardement Massif Tardif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Flux et distribution de taille lors du BMT . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.1 Probabilité de collision d’un objet avec Saturne . . . . .
2.3.1.2 Distribution de taille des impacteurs . . . . . . . . . . .
2.3.1.2.1 Comptage de cratères avec des pincettes . . . .
2.3.1.2.2 Choix du satellite . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.2.3 Distribution de taille des cratères sur Japet . .
2.3.1.2.4 Estimation de la distribution de taille des objets
du disque trans-neptunien . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Le BMT et le scénario par destruction de comètes . . . . . . . . .
2.3.3 Le BMT et le scénario par destruction d’un satellite . . . . . . . .
2.3.3.0.5 Évolution orbitale du satellite . . . . . . . . . .
2.3.3.0.6 Probabilité de destruction du satellite . . . . .
2.4 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Le scénario de destruction de comètes par effets de marée . . . . .
2.4.2 Le scénario de destruction d’un satellite . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2.1 Formation des anneaux de Saturne . . . . . . . . . . . .
2.4.2.2 Et les autres planètes géantes dans tout ça ? . . . . . . .
2.4.3 La question reste ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2
3 Évolution visqueuse d’un disque circumplanétaire
3.1 Une situation paradoxale ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Pollution par bombardement météoritique . . . . . . . .
3.1.2 Destruction des anneaux par étalement visqueux . . . . .
3.1.3 Problématique : contraindre l’évolution des anneaux. . .
3.2 État de l’art concernant l’étude des anneaux planétaires . . . . .
3.2.1 Outils d’étude de la dynamique d’un disque de particules
3.2.1.1 Les codes N-corps . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.2 L’approche hydrodynamique . . . . . . . . . . .
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Table des matières
3.2.2
Étalement visqueux d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1 Des collisions qui dissipent l’énergie . . . . . . . . . . . .
3.2.2.2 Étalement du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.3 Cisaillement et viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 La viscosité d’un anneau dense planétaire. . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.1 Transport « local » de moment cinétique . . . . . . . .
3.2.3.2 Transport « non-local » de moment cinétique . . . . . .
3.2.3.3 L’auto-gravité d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.3.1 Importance de l’auto-gravité . . . . . . . . . . .
3.2.3.3.2 Effets de l’auto-gravité sur les collisions . . . .
3.2.3.3.3 Auto-gravité verticale . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.3.4 Les « self-gravity wakes » . . . . . . . . . . . .
3.2.3.3.5 Condition d’apparition des wakes dans les anneaux planétaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.3.6 La viscosité gravitationnelle . . . . . . . . . . .
3.3 Nouvelle approche : évolution visqueuse d’un disque avec un modèle de
viscosité réaliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 La méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.1 L’approche 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.2 Le modèle de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.2.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.2.2 Variation de la viscosité avec les paramètres du
disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.3 Le code HYDRORINGS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.3.1 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.3.2 Choix de l’intégrateur numérique . . . . . . . .
3.3.1.4 Tests et validation du code HYDRORINGS . . . . . . .
3.3.1.4.1 Précision numérique . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.4.2 Reproduction des résultats de Pringle (1981) . .
3.3.1.5 Protocole de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.5.1 Le modèle standard . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.5.2 Comparaison avec un disque à viscosité constante
et uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.5.3 Paramètres étudiés . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Résultats : évolution visqueuse des anneaux de Saturne sur 5 Milliards d’années . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.1 Début de l’évolution (0 − 105 années) . . . . . . . . . . .
3.3.2.1.1 Profil d’étalement . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.1.2 Vitesse d’étalement . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.2 Évolution à long terme (106 − 5 × 109 années) . . . . . .
3.3.2.3 Évolution des bords des anneaux . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.4 Temps caractéristiques d’étalement . . . . . . . . . . . .
3.3.2.5 Évolution de la masse du disque . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.5.1 Évolution de la masse totale du disque . . . . .
3.3.2.5.2 Influence de la masse initiale . . . . . . . . . . .
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Table des matières
3.3.2.5.3 Modélisation analytique . . . . . . . . . . . . . 134
3.3.2.5.4 Masse d’un disque entièrement non-auto-gravitant 136
3.3.2.5.5 Flux de masse à travers les bords du disque . . 136
3.3.2.6 Modification des paramètres du disque . . . . . . . . . . 137
3.3.2.6.1 Variation de la taille des particules . . . . . . . 137
3.3.2.6.2 Influence du profil initial du disque . . . . . . . 140
3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.1 Profil d’étalement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.2 Masse du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4.3 Insensibilité aux conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.5 Ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.1 Les anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune . . . . . . . . . . . . 145
3.5.2 Comparaison avec les observations - Age visqueux des anneaux . . 145
3.5.3 Évolution visqueuse des anneaux actuels . . . . . . . . . . . . . . 147
4 Formations des petites lunes de Saturne
165
4.1 Origine des satellites des planètes géantes du Système Solaire . . . . . . . 165
4.1.1 Satellites « réguliers » et « irréguliers » . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.1.2 Les satellites de Jupiter, Uranus et Neptune . . . . . . . . . . . . 166
4.1.2.1 Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.2.2 Uranus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.2.3 Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.3 Formation des satellites réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.3.1 Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.3.2 Uranus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.1.3.3 Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.1.4 Origine des satellites irréguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.1.5 Le cas de Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.1.5.1 Zoologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.1.5.2 Origine des satellites réguliers de Saturne . . . . . . . . 177
4.1.5.3 Une population singulière de petites lunes. . . . . . . . . 177
4.1.6 Problématique : peut-on reproduire la formation des petites lunes
de Saturne à partir des anneaux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2 Modélisations des interactions disque-satellite . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2.1 Décomposition du potentiel du satellite . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2.2 Position des résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2.3 Cas képlérien non excentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2.4 Couple exercé par le satellite sur le disque . . . . . . . . . . . . . 183
4.3 Simulations numériques de formation de satellites à partir des anneaux . 184
4.3.1 Modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.1.1 Inclusion des satellites dans le code Hydrorings . . . . . 184
4.3.1.2 Évolution orbitale du satellite . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.3.1.2.1 Rétroaction du disque sur le satellite . . . . . . 186
4.3.1.2.2 Effets de marées dus à la planète . . . . . . . . 186
4.3.1.3 Modèle d’accrétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
16
Table des matières
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.1.4 Modèle standard pour les simulations . . . . . . . .
Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.1 Évolution du système sur 5 milliards d’années . . .
4.3.2.2 Évolution de la position du bord externe du disque
4.3.2.3 Évolution de la masse des satellites . . . . . . . . .
4.3.2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Influence des paramètres du disque . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.1 Influence sur la position du bord externe du disque
4.3.3.2 Influence sur la masse des satellites formés . . . . .
4.3.3.3 Estimation de la masse du plus gros satellite . . . .
4.3.3.4 Distribution de masse des satellites . . . . . . . . .
Conclusion & perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.1 Un scénario aux multiples implications . . . . . . .
4.3.4.2 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.2.1 Excentricité des satellites . . . . . . . . .
4.3.4.2.2 Interactions entre satellites . . . . . . . .
4.3.4.2.3 Couple en régime linéaire . . . . . . . . .
.
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188
188
188
188
189
191
191
191
192
193
195
195
195
197
197
197
198
5 Conclusion et Perspectives
203
5.1 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2.1 Migration du noyau du satellite détruit . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2.2 Étalement visqueux d’autres disques astrophysiques . . . . . . . . 205
5.2.3 Anneaux autour d’exoplanètes et influence sur la détectabilité de
tels objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2.4 Formation de tous les satellites de Saturne ? . . . . . . . . . . . . 207
Bibliographie
209
A Calcul du couple exercé par un satellite sur le disque.
227
B Autres articles publiés pendant ma thèse
233
17
18
Liste des tableaux
1.1
Caractéristiques des anneaux principaux de Saturne . . . . . . . . . . . .
2.1
Masse et moment cinétique moyen/médian implantés autour de chacune des
planètes géantes. Les valeurs sont moyennées sur 100 simulations de type
MOnte-Carlo. Les masses sont en unité de masses de Mimas, les distances
en unités de rayon planétaire, et GM = 1 pour chaque planète. . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
43
76
Les différentes composantes de la viscosité dans le cas d’un disque autogravitant (Q < 2) ou non-auto-gravitant (Q > 2) . . . . . . . . . . . . . .
117
Variation de la distribution de taille des particules dans les anneaux principaux de Saturne (Charnoz, 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Influence de la taille des particules sur l’évolution de la masse du disque.
La masse initiale des disques est 3,75 × 1019 kg . . . . . . . . . . . . . . .
140
Influence de la position initiale du disque sur l’évolution de sa masse. La
masse initiale du disque est 3,75 × 1019 kg . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
4.1
Propriétés des petites lunes de Saturne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
4.2
Masse initiale du disque et masse totale des satellites à 5 milliards d’années
d’évolution, pour différentes valeurs de la densité de surface initiale Σ0 .
193
19
20
Table des figures
1.1 Gauche : L’opticien hollandais Hans Lippershey. Droite : Galilée, par
Domenico Tintoretto (1605). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2 Gauche : La Lune dessinée par Galilée en 1610 (à gauche), et une photo de
la même zone (droite). Grâce à sa lunette il pouvait distinguer correctement
plusieurs des Mers lunaires ainsi que de nombreux cratères. Droite : Les
phases de la Lune, dessinées par Galilée en 1616. . . . . . . . . . . . . . .
32
1.3 Gauche : Saturne, dessinée par Galilée à la suite de sa première observation en 1610 (crédits Bibliothèque de l’Observatoire de Paris). Droite :
Reconstitution de ce que voyait réellement Galilée (crédits http://oncle.
dom.pagesperso-orange.fr/) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.4 Gauche : Johannes Kepler, en 1610. Centre : Isaac Newton, par Godfrey
Kneller (1689). Droite : James Bradley, par Thomas Hudson. . . . . . .
35
1.5
Deux exemples de galaxies : la galaxie spirale NGC 4414 (à gauche, crédits
NASA Headquarters - Greatest Images of NASA (NASA-HQ-GRIN)) et
la galaxie lenticulaire NGC 5866 (à droite, crédits NASA, ESA, and The
Hubble Heritage Team STScI/AURA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.6
Vue d’artiste illustrant la formation d’un disque d’accrétion au fur et à
mesure que le matériau de l’étoile compagnon est aspiré, et s’enroule autour
du trou noir, situé au centre du disque (crédits Margaret Masetti (GSFC)). 37
1.7
Le disque de débris Pictoris, observé par le télescope spatial Hubble
(crédits NASA, ESA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Structure du système d’anneaux de Jupiter. (crédits NASA/JPL/Cornell
University). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
L’anneau principal de Jupiter, et le halo qui l’englobe. Les 3 images représentent la même région de l’espace, mais ont subit des traitements différents
de façon à faire ressortir différentes structures. Adapté depuis Ockert-Bell
et al. (1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.10 Structure du système d’anneaux de Saturne. Depuis la planète se succèdent les anneaux D, C, B, la Division Cassini, A, F, G et E. (crédits
NASA/JPL/Space Science Institute). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.11 Le système d’anneaux principaux de Saturne (crédits NASA/JPL/Space
Science Institute). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.8
1.9
21
Table des figures
1.12 L’anneau F de Saturne sur 255˚de longitude. L’anneau est constitué d’un
coeur central dense, autour duquel s’entoure une structure en forme de
spirale. (crédits NASA/JPL/Space Science Institute) . . . . . . . . . . .
44
1.13 Les anneaux diffus de Saturne. (crédits NASA/JPL/Space Science Institute) 45
1.14 Les 9 premiers anneaux d’Uranus découverts, imagés par la sonde Voyager
2. (crédits NASA/JPL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.15 Les anneaux de Neptune, imagés par la sonde Voyager 2. Les deux annelets
étroits et brillants sont les anneaux Le Verrier et Adams. L’anneau diffus
proche de la planète est l’anneau Galle. Le plateau qui part de l’extérieur
de l’anneau Le Verrier est l’anneau Lassell. L’anneau Arago est situé au
niveau du bord externe de l’anneau Lassell. (crédits NASA/JPL) . . . . .
47
1.16 Un exemple de cliché à très haute résolution réalisé par la caméra ISS/NAC
à bord de la sonde Cassini, lors de son insertion orbitale autour de Saturne
(crédits : NASA/JPL/Space Science Institute). . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.1
Évolution au cours du temps de la valeur moyenne de la probabilité cumulative d’impact par objet sur Saturne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.2
Le satellite Japet, observé par la sonde Cassini (crédits NASA/JPL) . . .
72
2.3
Densité de surface des cratères observés sur le satellite Japet, en fonction
de leur diamètre. D’après Neukum et al. (2005). . . . . . . . . . . . . . .
72
Distribution de taille des objets composant la ceinture de Kuiper primordiale. La courbe en pointillées est la formulation originale de Charnoz et
Morbidelli (2007), la la courbe en trait plein en est une version reproduisant
plus fidèlement les observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Fraction (cumulative) des objets de la ceinture de Kuiper primordiale qui
impactent chacune des planètes géantes avec une vitesse à l’infini inférieure
à une vitesse donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Migration de satellites de 1, 3 et 5 masses de Mimas, sous l’effet des marées avec Saturne. Deux demi-grands axes initiaux sont étudiés : a0 =
108 000 km et a0 = 115 000 km. L’orbite synchrone de Saturne est fixée à
R = 112 000 km et on a utilisé QY = 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Demi-grand axe d’un satellite après 700 millions d’années de migration pour
différentes masses de satellites et différentes valeurs du facteur de dissipation QY . Le demi-grand axe initial des satellites est a0 = 115 000 km.Les
lignes verticales représentent la valeur minimale du facteur de dissipation
nécessaire pour qu’un satellite d’une masse donnée soit sous la limite de
Roche au moment du BMT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Nombre d’impacts d’une comète de taille donnée (en ordonnée) sur un
satellite de taille donnée (en abscisse). La ligne en pointillées correspond à
la limite f = 0,5 au-dessus de laquelle le satellite est détruit. . . . . . . .
80
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
22
Table des figures
2.9
3.1
3.2
3.3
Migration d’un satellite de 3 masses de Mimas dans l’environnement dynamique des quatre planètes géantes du Système Solaire. Le satellite est
placé initialement à une distance égale à 2 rayons planétaires, et le facteur
de dissipation est fixé à 105 . Le satellite ne peut pas survivre autour d’Uranus et Neptune (carrés et croix), car ces planètes ont leur limite de Roche
située en-deçà de l’orbite synchrone. Le satellite autour de Jupiter semble
capable de survivre tour juste assez longtemps (diamants). . . . . . . . .
82
Les différents modes de transport du moment cinétique. (a) Transport local.
(b) Épicycle d’une particule (pas de transport). (c) Transport non-local. .
109
Viscosités translationnelle (en noir) et collisionnelle (en rouge) théoriques
pour différentes tailles de particules. La courbe noire en points est le cas
auto-gravitant. Haut : variation avec la distance à la planète. Bas : variation avec la densité de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Valeurs relatives de la viscosité totale pour un disque dans les régimes autogravitant (νAG ) et non-auto-gravitant (νNAG ), et position de la transition
entre les deux régimes (courbe Q = 2). La courbe en pointillés νAG = νNAG
indique le jeu de paramètres (R, Σ) pour lequel les viscosités théoriques
totales sont égales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.4
Représentation de la solution analytique de l’étalement visqueux d’un disque
à viscosité constante, à différents temps d’évolution. Gauche : D’après
Pringle (1981). Droite : résultats obtenus avec le code Hydrorings, pour
une viscosité ν = 0,1 2 m −1 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.5
Évolution du profil de densité de surface du disque Σ pour un disque à
viscosité constante (ligne en pointillés) et non constante (ligne pleine). (a)
Disque initial. (b) À 103 années d’évolution. (c) À 104 années d’évolution.
(b) À 105 années d’évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
3.7
3.8
Evolution du profile de densité de surface du disque Σ pour un disque à
viscosité constante (ligne en pointillés) et non constante (ligne pleine). (a)
À 106 années d’évolution. (b) À 108 années d’évolution. (c) À 109 années
d’évolution. (b) À 5 × 109 années d’évolution. . . . . . . . . . . . . . . .
125
127
Densité de surface du disque à 5 milliards d’années d’évolution (courbe
noire en trait plein) et régime d’auto-gravité. Les régions du disque dont la
densité de surface est au-dessus de la courbe en pointillés « Q = 2 » sont
auto-gravitantes, celles qui sont en-dessous sont non-auto-gravitantes. . .
128
Zoom sur les bords interne (haut) et externe (bas) du disque. Le bord
interne est lisse, alors que du matériau s’accumule près du bord externe. .
129
23
Table des figures
3.9
Évolution du rapport largeur du disque sur viscosité ∆R2 /ν en fonction
du temps, pour un disque à viscosité constante (ligne en pointillés) et à
viscosité variable (ligne en trait plein). Les triangles et les diamants sont des
points issus des simulations. On remarque que ∆R2 /ν reste proportionnel
au temps t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
3.10 Évolution de la largeur du disque à viscosité variable dans le régime autogravitant, en fonction du temps. Les diamants sont des points issus de
simulations. La relation de proportionnalité obtenue indique que la largeur
du disque croît comme t1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
3.11 Évolution de la masse du disque au cours du temps, pour un disque à
viscosité constante (courbe en pointillés) et variable (courbe en trait plein).
Le disque à viscosité constante est détruit en un milliard d’années, alors
que le disque à viscosité variable contient encore un tiers de sa masse à 5
milliards d’années d’évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
3.12 Évolution de la masse du disque au cours du temps, pour différentes masses
initiales. Si l’on augmente la masse initiale du disque, la perte de masse est
fortement augmentée au début, mais ralentit rapidement, au point que tous
les disques atteignent une masse similaire au bout de 5 milliards d’années
d’évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
3.13 Temps nécéssaire pour que le disque perde la moitié de sa masse initiale
M0 , en fonction de la masse initiale. Les diamants sont des points issus de
simulations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.14 Perte de masse (cumulative) du disque à travers les limites intérieure (surface de la planète) et extérieure (limite de Roche) de la grille, pour un
disque à viscosité constante (courbes en pointillés) et variable (courbes en
traits pleins). Les courbes du disque avec viscosité constantes sont tronquées à t ∼ 1,5 × 109 années car le disque était vide à ce moment là (voir
figure 3.11). Dans les deux cas, le disque perd plus de masse à travers la
limite de Roche (graphe de droite) que sur la planète (graphe de gauche).
137
3.15 Évolution de la densité de surface du disque au cours du temps, pour différentes tailles de particules : 1 cm (courbe noire), 1 m (courbe bleu clair),
2,5 m (courbe verte), 5 m (courbe bleu foncé) et 10 m (courbe rouge). . .
138
3.16 Densité de surface à t = 109 années, normalisée par rp , pour différentes
tailles de particules : 1 m (courbe bleu clair), 2,5 m (courbe verte), 5 m
(courbe bleu foncé) et 10 m (courbe rouge). Le cas rp = 1 cm n’est pas représenté pour des raisons d’échelles. La courbe noire en pointillés représente
la transition Q = 2 entre les régimes AG et NAG, également normalisée
par rp . Les disques avec des particules de taille inférieure à 2,5 m sont encore partiellement auto-gravitants, dans la région autour du pic de densité.
Les disques avec des particules de 5 et 10 m sont par contre entièrement
non-auto-gravitants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
24
Table des figures
3.17 Densité de surface à t = 0 (à gauche) et t = 5 × 1019 (à droite), pour
des disques placés initialement à 90 000 (courbes en traits pleins), 110 000
(courbes en pointillés), 130 000 (courbes en points) km de la planète. . .
141
3.18 Densité de surface à t = 0 (gauche) et t = 5 × 109 années (droite), pour
différentes largeurs de disque initiales. La densité de surface du disque à 5
milliards d’années n’est pas affectée par la largeur initiale du disque (toutes
les courbes sont confondues). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
3.19 Densité de surface d’un disque formé initialement de deux sous-anneaux
distincts, à t = 0 (trait plein), t = 105 années (points) et t = 106 années
(pointillés). Les deux sous-anneaux initiaux contiennent chacun la moitié
de la masse totale du disque (le disque extérieur a une densité légèrement
inférieure à celle du disque intérieur car la surface du disque dS ≈ 2πRdR
augmente avec la distance à la planète). Les deux sous-anneaux s’étalent
chacun de manière semblable et fusionnent au bout de ∼ 106 années. La
suite de l’évolution est identique à celle du modèle standard. . . . . . . .
143
3.20 Profil de profondeur optique issue du PPS voyager (trait plein) et densité
de surfaces d’un disque avec des particules de 1 m à 5 milliards d’années
d’évolution (courbes en points) et d’un autre disque avec des particules de
5 m à 15 millions d’années d’évolution (courbes en pointillés). . . . . . .
146
3.21 Évolution d’un modèle simple des anneaux de Saturne actuels. (a) Profil
initial. (b) À 4 millions d’années d’évolution. (c) À 600 millions d’années
d’évolution. (d) À 1 milliard d’années d’évolution. L’anneau B remplit rapidement la division Cassini, et engloutit l’anneau C en quelques centaines
de millions d’années. Le profil du disque à 1 milliard d’années d’évolution
rappelle fortement le profil obtenu avec le modèle standard. . . . . . . . .
147
4.1
Les satellites galiléens de Jupiter. De gauche à droite : Io, Europe, Ganymède, Callisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
Uranus et ses 6 plus gros satellites. De gauche à droite : Puck, Miranda,
Ariel, Umbriel, Titania et Obéron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
Les satellites Larissa (à gauche) et Protée (à droite), imagés par la sonde
Voyager 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
4.4
Le satellite Triton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
4.5
Le satellite Daphnée, orbitant dans la division de Keeler. . . . . . . . . .
173
4.6
Les satellites majeurs de Saturne. (a) Mimas, et le cratère Herschell. (b)
Encelade. Les lignes de fracture à sa surface sont appelées les « rayures de
tigre » , et laissent s’échapper en continu de la vapeur et des poussières qui
viennent alimenter l’anneau E. (c) Thétys. (d) Dionée. . . . . . . . . . .
174
Les satellites majeurs de Saturne (suite). (a) Rhéa. (b) Titan. (c) Hypérion. (d) Japet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
4.2
4.3
4.7
25
Table des figures
4.8
4.9
Les petites lunes de Saturne. (a) Atlas. (b) Prométhée. (c) Pandore. (d)
Épiméthée. (e) Janus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
Masse des satellites de Saturne en fonction de leur distance à la planète.
179
4.10 Fonction de répartition du couple en une résonance isolée, pour un disque
visqueux, sans pression et auto-gravitant. D’après Meyer-Vernet et Sicardy
(1987). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
4.11 Évolution de la densité de surface du disque (courbe noire) et des satellites
créés à partir des anneaux (cercles noirs). (a) À 2 millions d’années d’évolution. (b) À 50 millions d’années d’évolution. (c) À 200 millions d’années
d’évolution. (d) À 5 milliards d’années d’évolution. Le processus de formation de nouvelles lunes s’arrête quand le disque est repoussé en-dessous de
la limite de Roche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
4.12 Évolution de la position du bord externe du disque au cours du temps.
Initialement le disque s’étale librement jusqu’à atteindre la limite de Roche
à R = 140 000 km. Le disque régresse quand une lune devient suffisamment
massive pour que le couple qu’elle exerce avec ses résonances dépasse le
couple visqueux du disque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
4.13 Évolution de la masses totale des satellites (courbe en trait plein) et de la
masse du plus gros satellite (courbe en pointillés). La moitié de la masse
totale des satellites est contenue dans le plus gros d’entre eux (∼ 1017 kg). 190
4.14 Évolution au cour du temps de la position du bord externe du disque, pour
différentes valeurs de la densité de surface initiale du disque : 400 kg −2 m
(en noir), 1 000 kg −2 m (en vert), 5 000 kg −2 m (en rouge), et 10 000 kg −2 m
(en violet). Le comportement général est identique : après une période
de stabilisation du bord au niveau de la limite de Roche, le disque est
irrémédiablement repoussé vers l’intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
4.15 Évolution au cours du temps de la masse totale des satellites (gauche) et de
la masse du plus gros satellite (droite), pour différentes valeurs de la densité
de surface initiale du disque : 400 kg −2 m (en noir), 1 000 kg −2 m (en vert),
5 000 kg −2 m (en rouge), et 10 000 kg −2 m (en violet). Le comportement est
similaire pour toutes les simulations : la masse totale des satellites augmente
jusqu’à ce qu’un satellite soit suffisamment massif pour repousser le disque
en-dessous de la limite de Roche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
4.16 Estimation de la masse nécessaire Ms pour qu’un satellite confine le disque,
pour différentes valeurs de la densité de surface initiale du disque Σ0 . Les
diamants sont des points issus de simulations. La loi semble convenir à forte
densité de surface (Σ0 ≥ 5 000 kg −2 m), mais les résultats de simulations
s’en écartent à faible densité de surface (Σ0 ≤ 1 000 kg −2 m). . . . . . . .
26
195
Table des figures
4.17 Distribution de masse des satellites à 5 milliards d’années d’évolution, pour
différentes densités de surface initiales : 400 kg −2 m (en noir), 1 000 kg −2 m
(en vert), 5 000 kg −2 m (en rouge), et 10 000 kg −2 m (en violet). La courbe
en pointillés représente la distribution des lunes actuelles de Saturne. Les
résultats de simulations sont en assez bon accord avec la distribution réelle,
tant du point de vue du nombre de satellites créés qu’au niveau de l’intervalle de masses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
196
Table des figures
28
Chapitre 1
Introduction
Galileo, Galileo,
Galileo, Galileo
Galileo Figaro - Magnifico (oh, oh, oh, oh)
(Mercury et al., 1975)
1.1
1.1.1
Petite histoire de l’astronomie
Découverte des planètes
Notre histoire commence il y a bien longtemps, à une époque où lorsqu’on levait
le nez la nuit, on pouvait voir briller dans le ciel tout un tas de points lumineux. Nous
sommes en Grèce, qui en ces temps-là s’appelle encore !!"# (Hellás, en grec ancien et
katharévousa) ou !!"$% (Elládha, en grec démotique). Les grecs, grands observateurs
de la voûte céleste, donnent à cette myriade de points brillants le nom d’&'()*+ (astron,
« astre, constellation »). À force d’observations, ils finiront par remarquer que parmi
tous ces points brillants, la plupart restent fixes dans le ciel, mais certains se déplacent.
Ils donnent à ces derniers le nom de ,!%+-(.# %'(-).# (planêtês astêrês, « astres en
mouvement » ou « astres errants »), qui donnera le latin planeta, puis planète dans notre
chère langue de Molière. La planétologie était née.
Ils dénombrent sept de ces voyageurs célestes : /(0!12+ (Stilbon, « le brillant »), 3 )4
5"2+ (Hermaon), 62'78)*# (Phosphoros, « porteur de la lumière »), 9 ',:)*# (Hesperos,
frère de Phosphoros), ; <=).# (Árês, dieu de la guerre), 6%>?2+ (Phaeton, « ardent ») et
@)8+*# (Krónos, chef de la première génération des Titans). Il faudra attendre le vie siècle
siècle avant Jésus-Christ pour que Pythagore identifie que Stilbon et Hermaon d’une part,
et Phosphoros et Hesperos d’autre part, font référence aux mêmes planètes, Hermès et
Aphrodite respectivement. Les romains, par identification de leurs dieux avec ceux des
grecs, renommeront Hermès en Mercure, Aphrodite en Vénus, Árês en Mars, Phaeton en
Jupiter, et Krónos en Saturne.
Pour rendre à César ce qui est à César, il est important de noter que les grecs ne
sont en rien les seuls à avoir levé la tête les soirs d’été. Par exemple, on a retrouvé des
29
Chapitre 1. Introduction
traces d’observations de Mercure par un astronome Assyrien vers le xive siècle avant JC, qui la nomma en écriture cunéiforme UDU.IDIM.GU4 .UD, ce qui signifie « la planète
bondissante ». Également, des écrits babyloniens du xe siècle avant J-C la dénomme Nabu,
en l’honneur du messager des dieux éponyme.
Les planètes citées jusqu’à présent sont les seules observables depuis notre bonne
vieille Terre. Bien plus tard, deux autres planètes viendront s’ajouter à celles déjà connues.
Il y aura tout d’abord Uranus, découverte par William Herschel le 13 mars 1781 à l’aide
d’un télescope. Plus d’un demi-siècle plus tard, le 23 septembre 1846, ce sera au tour
de Neptune d’être découverte par Johann Gottfried Galle. Ce dernier n’a d’ailleurs fait
que suivre les indications données par Urbain Le Verrier, qui par le calcul avait prédit la
position où elle devait se trouver.
Et puis il y aura Pluton. Cet objet fut découvert en 1930, un peu comme Neptune.
Les astronomes avaient en effet identifié des perturbations de l’orbite de Neptune, qui ne
pouvaient être expliquées que par la présence d’un corps autre que les planètes connues.
Le 18 février 1930 à 16 heures, Clyde W. Tombaugh, travaillant à l’observatoire fondé par
Percival Lowell, remarque le déplacement d’un corps entre deux photographies prises les
23 et 29 janvier. La nouvelle est confirmée le 13 mars 1930, et Pluton est officiellement
désignée 9e planète du Système Solaire. Néanmoins, à l’issue du xxvie congrès de l’Union
Astronomique Internationale, qui redéfinira la notion de planète, Pluton sera reléguée au
rang de « planète naine ».
1.1.2
L’avènement de l’astronomie moderne
Les premiers observateurs, n’ayant que leurs yeux à disposition, ne pouvaient pas
faire bien plus que cartographier le ciel, ce qui n’était déjà pas une mince affaire. Il faudra attendre l’invention de la lunette astronomique pour que les objets puissent enfin
être observés en détail. Bien qu’il soit difficile d’attribuer l’invention de la première lunette « d’approche »à quelqu’un en particulier, c’est bien un certain Galileo Galilei qui la
perfectionnera et l’utilisera afin d’observer le ciel.
1.1.2.1
Galilée
Galileo Galilei (figure 1.1), ou Galilée en français, est né le 15 février 1564 à Pise en
Italie, d’un père à la fois luthier, musicien, chanteur et compositeur. Sa jeunesse fut marquée par une certaine incertitude concernant ses choix « professionnels ». Placé au couvent
de Santa Maria de Vallombrosa pour y recevoir une éducation religieuse, il entamera un
noviciat qu’il quittera en 1579. Il entre ensuite à l’Université de Pise pour y effectuer des
études de Médecine, sans grand succès : il revient à Florence quatre ans plus tard sans le
moindre diplôme en poche. Ce sont finalement les mathématiques qui capteront tout son
intérêt. Il les appliquera à l’étude de ce qui deviendra plus tard la mécanique : chute des
corps, centres de gravité, oscillations d’un pendule. En 1590 il découvre la cycloïde 1 qui
lui permettra de dessiner les arches des ponts.
1. La cycloïde est la courbe décrite par un point fixé sur un cercle roulant sans glisser sur une
surface plane.
30
En 1592 il part étudier à l’Université de Padoue qui, dépendant de la puissante République de Venise, ne souffre pas trop de l’Inquisition, et lui permet une grande liberté
dans ses recherches. Il y enseigne les Mathématiques, la Mécanique, l’Astronomie, mais
aussi l’Architecture militaire. Ses travaux permettront entre autres d’améliorer grandement l’efficacité des armes lourdes, après qu’il eût montré que la porté maximale des
canons était obtenue pour un angle de visée de 45◦ . Au début du xviie siècle, il mettra au
point successivement une pompe à eau, la loi du mouvement uniformément accéléré, ainsi
que le premier modèle de son thermoscope, avant de se consacrer à l’étude des armatures
d’aimant.
En 1609, il a vent de la réalisation par un opticien hollandais, un certain Hans
Lippershey (figure 1.1), d’une lunette d’approche lui ayant permis d’observer des étoiles
jusqu’alors inconnues. Cette lunette offre un grossissement de 3 fois, mais déforme les
objets observés. Ni une ni deux, Galilée s’attaque lui aussi à la mise au point d’une
lunette d’observation. Non seulement il y parvient, mais sa lunette présente des qualités
exceptionnelles : elle grossit 6 fois, et surtout ne déforme pas les objets observés grâce
à l’utilisation d’une lentille divergente en guise d’oculaire. Il en réalisera plusieurs par
la suite, mais n’étant pas un spécialiste de l’optique, toutes ne sont pas utilisables ! Il
admettra d’ailleurs que sur la soixantaine de modèles réalisés, seules quelques unes étaient
de bonne qualité.
Figure 1.1 – Gauche : L’opticien hollandais Hans Lippershey. Droite : Galilée, par Domenico Tintoretto
(1605).
1.1.2.2
Les premières observations astronomiques
Galil2e consacra les premières utilisations de sa lunette, perfectionnée jusqu’à atteindre un grossissement de 20 fois, à l’observation de la Lune et de ses phases (figure 1.2).
Il observera en particulier une zone de transition imparfaite entre l’ombre et la lumière
à la surface de la Lune : le terminateur. La nature imparfaite de cette transition révélait
qu’il y avait des montagnes sur la Lune.
31
Figure 1.2 – Gauche : La Lune dessinée par Galilée en 1610 (à gauche), et une photo de la même zone
(droite). Grâce à sa lunette il pouvait distinguer correctement plusieurs des Mers lunaires ainsi que de
nombreux cratères. Droite : Les phases de la Lune, dessinées par Galilée en 1616.
La découverte était révolutionnaire, car à l’époque la conception aristotélicienne
dominait. La Terre était encore le centre d’un univers composé de deux mondes :
– le monde « sublunaire » comprenant la Terre et tout ce qui se trouve entre la
Terre et la Lune. Dans ce monde tout est imparfait et changeant.
– le monde « supralunaire » comprenant la Lune et tout ce qui s’étend au-delà. Dans
cette zone, il n’existait plus que des formes géométriques parfaites (des sphères)
et des mouvements réguliers immuables (circulaires).
La présence de montagnes sur un objet du monde supralunaire était donc une véritable
révolution ! La conception héliocentrique, énoncée par Copernic au milieu du xvie siècle 1
était très peu répandue à l’époque de Galilée. C’est d’ailleurs Copernic lui-même qui
avait tenu à ne la diffuser qu’auprès d’un public très restreint de spécialistes, craignant
probablement les représailles du Saint-Office 2 .
Grâce à sa lunette, Galilée fera encore bon nombre de découvertes :
– il découvre la nature de la voie lactée ;
– il dénombre les étoiles de la constellation d’Orion ;
– il observe les taches solaires ;
– il mettra en évidence que les étoiles, jusque là considérées comme des objets isolés,
sont en fait organisées en amas ;
– le 7 janvier 1610, il observe pour la première fois 4 objets à proximité de Jupiter,
et qui semblent accompagner la planète. Il les baptise « étoiles Médicées » (le
mot satellite n’existe pas encore à l’époque !)
1. En réalité, c’est Aristaque de Samos qui, au iiie siècle avant Jésus-Christ, est le premier à avoir
proposé un modèle héliocentrique de l’Univers. Sa théorie fut très mal acceptée à l’époque
2. Fondée sous le nom de Sacrée congrégation de l’inquisition romaine et universelle par le pape
Paul iii dans la bulle Licet ab initio, le 21 juillet 1542, le Saint-Office avait pour mission de lutter contre
les hérésies.
32
1.1.2.3
Des théories vues d’un mauvais œil
Cette dernière découverte va l’amener à faire tomber une autre conception aristotélicienne. L’observation des satellites tournant autour de Jupiter démontre que les « orbes
de cristal 1 » d’Aristote n’existent pas, et que tous les objets ne tournent pas autour de
la Terre.
Le 25 juillet 1610, il tourne enfin sa lunette vers Saturne. Il y observe d’étranges
structures de part et d’autre de la planète, mais n’a pas la résolution suffisante pour
interpréter que ce sont des anneaux, ce qui peut se comprendre lorsque l’on voit ce que
lui voyait (figure 1.3).
Figure 1.3 – Gauche : Saturne, dessinée par Galilée à la suite de sa première observation en 1610
(crédits Bibliothèque de l’Observatoire de Paris). Droite : Reconstitution de ce que voyait réellement
Galilée (crédits http://oncle.dom.pagesperso-orange.fr/)
Sa remise en question de la conception géocentrique du monde va lui attirer les
foudres de nombreuses personnes, et en particulier de l’Église. En effet, Galilée présentant
sa théorie comme une vérité absolue, se plaçait dans le domaine de la Foi, ce qui justifiait
l’intervention de la Censure. Celle-ci intervint le 16 février 1616 et l’obligea à enseigner
ses théories comme de simples hypothèses.
Malgré la censure de ses thèses, Galilée compte de nombreux soutiens, en particulier
celui du Pape Urbain viii. Ce dernier lui soufflera l’idée d’écrire un livre présentant sur
un pied d’égalité les conceptions géocentriques et héliocentriques. Néanmoins, Galilée prit
le parti de railler implicitement le géocentrisme dans son ouvrage, ce qui lui vaudra d’être
une nouvelle fois convoqué par le Saint-Office, perdant au passage le soutien du Pape.
Il est accusé de n’avoir pas respecté la précédente décision de « justice », qui lui
enjoignait de ne plus défendre les thèses coperniciennes de l’héliocentrisme. Le 22 juin
1633, c’est un Galilée malade, affaibli, et menacé de torture, qui est condamné à la prison
à vie. Il sera également contraint de prononcer une abjuration, préparée par le SaintOffice :
« Moi, Galiléo, fils de feu Vincenzio Galilei de Florence, âgé de soixante dix
ans, ici traduit pour y être jugé, agenouillé devant les très éminents et révérés
1. Les orbes de cristal sont les entités fondamentales du modèle cosmologique développé par Platon,
Eudoxe de Cnide, Aristote et Copernic. Dans ces modèles, les étoiles et les planètes sont déplacées en étant
enfermées dans des sphères tournantes, et composées d’un cinquième élément transparent et éthéré : la
quintessence. Dans la conception géocentrique qui prévalait au Moyen-Age, toutes les sphères des planètes
étaient organisées autour de la Terre, fixe, au centre.
33
cardinaux inquisiteurs généraux contre toute hérésie dans la chrétienté, ayant
devant les yeux et touchant de ma main les Saints Évangiles, jure que j’ai toujours tenu pour vrai, et tiens encore pour vrai, et avec l’aide de Dieu tiendrai
pour vrai dans le futur, tout ce que la Sainte Église Catholique et Apostolique affirme, présente et enseigne. Cependant, alors que j’avais été condamné
par injonction du Saint Office d’abandonner complètement la croyance fausse
que le Soleil est au centre du monde et ne se déplace pas, et que la Terre
n’est pas au centre du monde et se déplace, et de ne pas défendre ni enseigner
cette doctrine erronée de quelque manière que ce soit, par oral ou par écrit ;
et après avoir été averti que cette doctrine n’est pas conforme à ce que disent
les Saintes Écritures, j’ai écrit et publié un livre dans lequel je traite de cette
doctrine condamnée et la présente par des arguments très pressants, sans la
réfuter en aucune manière ; ce pour quoi j’ai été tenu pour hautement suspect
d’hérésie, pour avoir professé et cru que le Soleil est le centre du monde, et est
sans mouvement, et que la Terre n’est pas le centre, et se meut. (...) »
Il meurt le 8 janvier 1642 dans sa villa près de Florence où il avait été assigné
à résidence. Après avoir perdu l’usage de son oeil droit en 1637, il passera les quatre
dernières années de sa vie dans une complète cécité. Un astronome qui finit aveugle. . . La
tentation est grande de tracer un parallèle avec un certain Ludwig van Beethoven, illustre
compositeur et musicien, devenu sourd. . .
1.1.2.4
L’après Galilée
La Censure avait eu beau interdire la publication des ouvrages de Galilée, le mal
(ou plutôt le bien) était fait. Le procès de Galilée eut des retombées considérables sur
la méthode scientifique, mais aussi sur la pensée philosophique tant la conception même
du Monde était remise en cause par ses découvertes. C’est ainsi que de grands penseurs
tels Descartes se mettent à dénoncer la pensée aristotélicienne (voir par exemple ses
Méditations sur la philosophie première).
Isaac Newton, en 1687, démontre les lois de Kepler à partir de ses théories sur la
gravitation, et développe le modèle mathématique permettant d’expliquer le mouvement
des planètes autour du Soleil selon des trajectoires elliptiques. Mais il faudra tout de même
attendre le milieu du xviiie siècle pour voir les ouvrages sur l’héliocentrisme autorisés
par le Pape Benoît xiv, et ce après que James Bradley (figure 1.4) ait apporté la preuve
optique 1 du déplacement de la Terre sur son orbite, en 1728. Un siècle après sa disparition,
Galilée était réhabilité.
1.2
Les disques astrophysiques
La révolution engagée par Galilée, et l’avènement des instruments d’observations,
permit enfin d’observer au-delà de ce que peut voir l’œil nu. À la simple lunette astro1. Bradley avait en fait observé ce que l’on appelle aujourd’hui l’aberration de la lumière, qui
correspond au fait que la direction apparente d’une source lumineuse dépend de la vitesse de l’observateur.
Il fit cette découverte en étudiant les variations de la position dans le ciel de l’étoile γ Draconis
34
Figure 1.4 – Gauche : Johannes Kepler, en 1610. Centre : Isaac Newton, par Godfrey Kneller (1689).
Droite : James Bradley, par Thomas Hudson.
nomique succédèrent télescopes (terrestres, mais aussi spatiaux), interféromètres, et enfin
sondes et rovers d’exploration. Tout ceci permit aux scientifiques de sonder plus profondément l’Univers et d’en découvrir les objets qui le peuplent. Parmi ceux-ci, une classe
toute particulière, celle des disques astrophysiques, a suscité mon intérêt et ma curiosité,
au point d’y consacrer mon travail de thèse. Nous allons voir à présent que ces structures,
si différentes en terme de taille mais aussi de composition, présentent en réalité bien des
points communs.
1.2.1
Les galaxies
Les galaxies sont les plus grandes structures en forme de disque que l’on puisse
trouver dans l’Univers. Loin d’être homogènes, elles sont composées d’objets divers :
étoiles, objets compacts, gaz, poussières. Des calculs de relativité générale et de dynamique, notamment sur la courbe de rotation des galaxies, ont aboutit à des masses bien
plus importantes que celles estimées à partir des constituants cités précédemment. Ceci
serait dû à la présence d’une masse invisible, appelée « matière noire ». Cette matière
noire serait en fait présente dans tout l’Univers, représentant environ 23% de la densité
de masse-énergie 1 , contre à peine 4,6% pour la matière visible, le reste étant attribué à
l’énergie sombre 2
Les galaxies ont des masses très variables, depuis les galaxies naines (∼ 107 étoiles)
jusqu’aux galaxies géantes (∼ 1014 étoiles). Ces structures mesurent généralement entre
1 000 et 100 000 parsecs 3 de diamètre, et sont séparées par des distances de l’ordre du
1. L’équivalence masse-énergie est le concept selon lequel la masse d’un objet est une mesure de son
énergie. C’est Albert Einstein qui est à l’origine de ce concept, exprimé par la célèbre formule E = mc2 .
2. L’énergie sombre est une forme hypothétique d’énergie, et donc de masse, qui serait présente
dans tout l’univers et tendrait à accroître la vitesse d’expansion de l’Univers. L’effet gravitationnel de
cette énergie serait proche de la constante gravitationnelle Λ d’Einstein (Peebles et Ratra, 2003).
3. Le parsec est une unité de longueur, exclusive à l’astronomie, égale à ∼ 3 × 1013 km, soit ∼ 3,26
35
mégaparsec. On estime que l’Univers observable contient environ 170 milliards de galaxies
(Gott et al., 2005).
Historiquement, les galaxies ont été répertoriées suivant des critères de forme. On
distingue généralement les galaxies elliptiques, les spirales, et les irrégulières (figure 1.5).
Les variations de ces formes sont répertoriées sur la séquence de Hubble, mise au point
par Edwin Hubble en 1926 puis modifiée par Gérard de Vaucouleurs et Allan Sandage
(Hubble, 1926; de Vaucouleurs, 1959; Sandage, 1975).
Figure 1.5 – Deux exemples de galaxies : la galaxie spirale NGC 4414 (à gauche, crédits NASA Headquarters - Greatest Images of NASA (NASA-HQ-GRIN)) et la galaxie lenticulaire NGC 5866 (à droite,
crédits NASA, ESA, and The Hubble Heritage Team STScI/AURA).
1.2.2
Les disques d’accrétion
Un disque d’accrétion est une structure formée par du matériau diffus en orbite
autour d’un corps central. L’existence des disques d’accrétion a été suggérée pour la
première fois lors de l’étude de sources de rayons X. Un certain nombre de ces sources
sont liées à des systèmes binaires, et leur variation très rapide (≤ 1 s) suggère la présence
d’un objet compact (étoile à neutron ou trou noir). Ces observations tendent à valider
l’idée que ces sources de rayons X sont liées à des phénomènes d’accrétion (Shklovsky,
1967; Prendergast et Burbidge, 1968). En effet, la capture du matériau du compagnon
du système binaire représente une importante source de matériau. Chaque gramme ainsi
capturé, tombant dans le puits gravitationnel de l’objet compact, pourrait générer un
rayonnement de 105 J (Pringle et Rees, 1972).
Des disques d’accrétion ont depuis été identifiés autour d’autres objets : étoiles
jeunes, protoétoiles ou encore naines blanches. En effet, le début de l’évolution des systèmes stellaires jeunes est caractérisé par une croissance très importante qui transforme
un cœur préstélaire en phase d’effondrement, en une étoile contenant 90% de sa masse
finale. Au cours de cette période, le cœur moléculaire, qui s’étend à l’origine de ∼ 1 000
années-lumière.
36
Figure 1.6 – Vue d’artiste illustrant la formation d’un disque d’accrétion au fur et à mesure que le
matériau de l’étoile compagnon est aspiré, et s’enroule autour du trou noir, situé au centre du disque
(crédits Margaret Masetti (GSFC)).
à ∼ 10 000 UA, chute vers l’intérieur, fournissant ainsi une étoile centrale et un disque
circumstellaire en matériau (Mundy et al., 2000).
La taille de ces disques est estimée être de l’ordre de quelques dizaines à quelques
centaines d’UA, mais la distribution de densité de surface de ces disques dépend de nombreux paramètres qui sont encore trop insuffisamment contraints pour permettre une
modélisation précise de ces disques (Cassen et Moosman, 1981; Stahler et al., 1994).
1.2.3
Les disques protoplanétaires
Il est communément admis aujourd’hui que les planètes se forment par accumulation
de matériel solide, constitué par les éléments qui ont condensé dans l’environnement du
disque protoplanétaire. Ces disques sont issus de la contraction du nuage moléculaire
dans lequel s’est formée l’étoile centrale. Ils sont constitués de gaz et de poussières, dont la
composition dépend de celle du nuage moléculaire initial, ainsi que des processus chimiques
ayant eu lieu au cours de l’effondrement du nuage. Cette composition varie avec le temps
et la distance à l’étoile, en particulier en raison des variations de températures au sein du
disque.
En effet, quand le disque se refroidit, le gaz se condense et subit des réactions
chimiques à différentes températures. À titre d’exemple, les minéraux réfractaires et les
oxydes d’aluminium, de calcium et de titane se condensent à une température de ∼
1 700 K, alors que la glace d’eau pure ne commence à apparaître qu’en-dessous de ∼ 200 K
(de Pater et Lissauer, 2002).
La pression du gaz et la force gravitationnelle exercée par l’étoile centrale conduit
une partie des poussières à sédimenter dans le plan médian, et à s’agglomérer en des objets
37
de plus en plus gros. Via des processus qui ne sont pas encore parfaitement identifiés, des
planétésimaux de taille ∼ 1 km se forment. Ces objets sont suffisamment massifs pour
interagir gravitationnellement entre eux, et éventuellement s’accréter jusqu’à former des
protoplanètes. Le gaz du disque disparait progressivement (en particulier par accrétion
sur l’étoile centrale). Lorsque le disque n’est plus constitué que de poussières et de planétésiamux, il est qualifié de « disque de débris ». Ces disques ont des ages pouvant aller de
la dizaine de millions d’années (c’est le cas du disque Pictoris, premier disque de débris
à avoir été observé, Smith et Terrile, 1984; Zuckerman et al., 2001) à plusieurs milliards
d’années (e.g. ! Ceti, Di Folco et al., 2004; Greaves et al., 2004).
Figure 1.7 – Le disque de débris β Pictoris, observé par le télescope spatial Hubble (crédits NASA,
ESA).
1.2.4
Les anneaux planétaires
Dans notre Système Solaire, seules les planètes géantes possèdent un système d’anneaux. Ce simple constat soulève déjà bon nombre de questions : pourquoi les planètes
telluriques n’en ont pas ? En ont-elles eu dans le passé ? Si oui pourquoi ont-ils disparu ?
Pour l’instant, nous allons commencer par un rapide tour d’horizon de ces différents
disques circumplanétaires, aux caractéristiques bien différentes d’une planète à l’autre.
1.2.4.1
Pourquoi les anneaux planétaires peuvent-ils exister ?
L’existence même des anneaux est due à un phénomène bien connu sur Terre qu’est
celui des effets de marée : un corps secondaire en orbite autour d’un objet central plus
massif va se déformer du fait de la différence entre le potentiel gravitationnel ressenti au
niveau de point le plus près du corps central, et le centre de l’objet en orbite. Plus l’objet
38
est proche de la planète, et plus la différence ressentie est importante. Si l’objet secondaire
se rapproche à une distance telle que les forces de marée dépassent les forces qui assurent
sa cohésion interne, alors l’objet est détruit.
Les forces qui assurent la cohésion de l’objet dépendent, entre autres, du matériau qui
le compose : plus ce matériau est dense, plus les effets de marées devront être importants
pour détruire l’objet. On peut donc, pour chaque matériau, définir une distance mesurée à
partir du centre du corps primaire, et en-dessous de laquelle un objet composé du matériau
en question serait détruit par les marées exercées par le corps central. C’est ce que l’on
appelle la « Limite de Roche », baptisée du nom de l’astronome Édouard Roche qui fut le
premier à estimer cette limite en 1847 (Roche, 1847). La limite de Roche pour un matériau
de densité ρ, se situe à une distance RRoche de la planète, donnée par :
RRoche
A
ρp
= Rp × 2,456
ρ
B1/3
,
(1.1)
où Rp et ρp sont le rayon et la densité de la planète.
Ce critère est basé sur un cas idéalisé qui suppose en particulier que le satellite est
en rotation synchrone et que le matériau qui le compose ne possède pas de résistance : le
satellite est un corps liquide dont la cohésion est assurée uniquement par son auto-gravité.
À titre d’exemple, la limite de Roche de Saturne (Rp = 60 330 km, ρp ≈ 687,3 kg m−3 ,
Yoder, 1995) pour la glace (ρ ≈ 900 kg m−3 ) se situe à ∼ 135 435 km de la planète. Kuiper
(1951) mène une analyse légèrement différente et propose un facteur 2,52 au lieu de 2,456,
ce qui porterait la limite de Roche de Saturne pour la glace d’eau à ∼ 138 964 km de la
planète. Il est important ici de noter que la limite de Roche dépend de la modélisation
effectuée, et qu’il est donc difficile d’en donner une position exacte. Comme nous le verrons
plus tard, il est plus judicieux de voir la limite de Roche comme une zone de transition
entre un régime de petites particules (en-dessous) et un régime de gros corps (au-delà).
Bien que les processus ayant mené à la formation des anneaux des planètes géantes
ne soient pas encore totalement contraints (voir le Chapitre 2), la persistance de ces
anneaux est due au fait que, comme ils sont situés sous la limite de Roche, les particules
qui les composent ne peuvent pas s’agglomérer en satellites à cause des marées exercées
par la planète.
Nous allons à présent voir que, bien que l’existence des anneaux soit rendue possible
par un phénomène commun, les système d’anneaux des planètes géantes du Système
Solaire sont très différents les uns des autres.
1.2.4.2
Les anneaux de Jupiter
Les anneaux de Jupiter furent observés pour la première fois en 1979 par la sonde
Voyager 1 (Smith et al., 1979), mais leur exploration en détail ne fut réalisée que dans
les années 90 par la sonde Galileo. Ce sont des anneaux diffus, composés principalement
de poussières de taille ∼ 100 µm (Showalter et al., 1987). Leur structure radiale est
représentée sur la figure 1.8.
La structure la plus importante consiste en un anneau étroit, surnommé « anneau
brillant » par Jewitt et Danielson (1981), de 7 000 km de large, et qui possède un bord
39
Figure 1.8 – Structure du système d’anneaux de Jupiter. (crédits NASA/JPL/Cornell University).
extérieur abrupt à R = 128 940 ± 73 km (Showalter et al., 1987; Ockert-Bell et al., 1999).
Il ne possède pas de véritable bord intérieur, sa brillance diminue progressivement sur une
distance d’environ 4 400 km(figure 1.9a). On observe sur cet anneau une chute brutale
de luminosité vers R = 127 910 ± 66 km, très proche de la lune Métis, et surnommée
Metis notch ou « entaille de Métis » en conséquence (figure 1.9b). D’autres variations de
luminosité ont été observées, montrant des zones plus lumineuses et d’autres plus sombres,
appelées patches (figure 1.9b).
Jewitt et Danielson (1981) ont également identifié une sorte de nuage de matière,
surnommé le « halo », qui enveloppe cet anneau principal. En forme de lentille, cet anneau
prend sa source au niveau du bord extérieur de l’anneau principal, et son épaisseur grandit
jusqu’à atteindre près de 20 000 km au niveau de la planète (figure 1.9c).
En plus de cet anneau principal, on retrouve un autre anneau qualifié de gossamer 1 .
Il s’étend depuis le bord externe de l’anneau principal, et sa luminosité décroît linéairement
jusqu’à proximité de l’orbite du satellite Amalthée, vers 181 366 km(Ockert-Bell et al.,
1999). Au-delà de cette distance, l’anneau se prolonge, mais est 10 fois plus diffus qu’en
amont. Il s’estompe une nouvelle fois au niveau de l’orbite de la lune Thébée, vers 221 888
km(Ockert-Bell et al., 1999). Une ultime extension très diffuse s’étend jusqu’à près de
250 000 km de la planète (Ockert-Bell et al., 1999). La première partie de l’anneau est
appelée anneau d’Amalthée, et la deuxième partie anneau de Thébée, du fait de leurs
liens apparent avec les lunes en question (voir dans le Chapite 2 la section sur l’origine
des anneaux de Jupiter). Ces anneaux gossamer ont une section transversale rectangulaire,
de 4 000 km d’épaisseur pour l’anneau d’Amalthée, et de plus de 8 000 km d’épaisseur
pour l’anneau de Thébée.
1. En anglais, gossamer signifie « gaze ». Cette traduction n’étant pas officielle, le qualificatif gossamer sera conservé dans la suite.
40
Figure 1.9 – L’anneau principal de Jupiter, et le halo qui l’englobe. Les 3 images représentent la même
région de l’espace, mais ont subit des traitements différents de façon à faire ressortir différentes structures.
Adapté depuis Ockert-Bell et al. (1999).
1.2.4.3
Les anneaux de Saturne
Saturne possède de loin le système d’anneaux le plus développé de toutes les planètes
géantes de notre Système Solaire. Découverts au xviie siècle par Galilée, ils sont depuis
2004 étudiés sous toutes les coutures par la sonde internationale Cassini-Huygens. On
distingue généralement un système d’anneaux denses dits « principaux », et un système
d’anneaux diffus (figure 1.10).
1.2.4.3.1 Les anneaux principaux
Au plus près de la planète se trouve l’anneau D qui s’étend entre R = 66 900 et
R = 74 510 km. La profondeur optique de cet anneau est très faible, à part en quelques
annelets étroits (Marley et Porco, 1993), ce qui le range dans la catégorie des anneaux
diffus. Au delà se trouve l’anneau C qui s’étend jusqu’à R = 92 000 km. La profondeur
optique de cet anneau est plus importante que l’anneau D, mais reste assez faible, de
l’ordre de 0,08 − 0,15 en moyenne (Esposito et al., 1983b). La masse de cet anneau est
estimée à 1,4 × 10−9 MY , soit ∼ 7,96 × 1017 kg (Esposito et al., 1983b). Cet anneau est
classé dans la catégorie des anneaux principaux.
Au-delà de l’anneau C se trouve l’anneau B, qui s’étend jusqu’à R = 117 580 km.
Cet anneau est celui qui a la plus forte profondeur optique, qui varie de 1,21 dans ses
régions les plus internes, et atteint 1,84 dans ses régions les plus externes, soit 10 fois plus
41
Figure 1.10 – Structure du système d’anneaux de Saturne. Depuis la planète se succèdent les anneaux
D, C, B, la Division Cassini, A, F, G et E. (crédits NASA/JPL/Space Science Institute).
que l’anneau C. On estime sa masse à 3,4 × 10−8 MY , soit ∼ 1,93 × 1019 kg (Esposito et al.,
1983b). Il est bien évidemment rangé dans la catégorie des anneaux principaux.
Au delà de l’anneau B se trouve une structure tout à fait particulière, appelée « Division Cassini », du nom de son découvreur Giovanni Cassini. Elle fut qualifiée initialement
de « division » car depuis la Terre elle apparaît comme un intervalle sombre au milieu
des anneaux. La sonde Voyager 1 permit néanmoins d’identifier plusieurs structures au
coeur de cette division, qui bien que très peu dense n’est pas complètement vide de matériau. Son opacité moyenne est ∼ 0,12, et sa masse est de l’ordre de 6 × 10−10 MY , soit
∼ 3,41 × 1017 kg (Esposito et al., 1983b). On estime que sa formation est due à l’influence
du satellite Mimas, qui par son action gravitationnelle empêche l’anneau B de s’étaler
vers l’extérieur (Goldreich et Tremaine, 1978a, voir également les chapitres 3 et 4 de ce
document).
La Division Cassini sépare l’anneau B de l’anneau A, le plus extérieur des anneaux
principaux. Sa profondeur optique est entre celle de l’anneau C et celle de l’anneau B, en
moyenne de l’ordre de 0,70 − 0,57 (Esposito et al., 1983b). Comme pour l’anneau B avec
Mimas, le bord extérieur de l’anneau A est confiné par l’action du satellite Janus (Esposito
et al., 1987, feature #215). La masse de cet anneau est estimée à 1,1 × 10−8 MY , soit
∼ 6,25 × 1018 kg (Esposito et al., 1983b). Deux structures particulières sont identifiables
dans cet anneau, à savoir les divisions d’Encke et de Keller, qui sont deux zones vides de
matière de largeur 325 km et 42 km respectivement. On estime que leur formation est due
à la présence deux petits satellites : Pan (∼ 14,2 km de rayon) dans la division d’Encke
et Daphnée (∼ 3,9 km de rayon) dans la division de Keeler.
Les anneaux principaux sont représentés sur la figure 1.11, et leurs caractéristiques
sont résumées dans la table 1.1. Au contraire des anneaux de Jupiter qui, nous l’avons vu,
sont composés de poussières micrométriques, les anneaux principaux de Saturne sont composés de particules macroscopiques. Les particules sont vraisemblablement des agrégats de
42
particules plus petites, ce qui leur confère des formes très irrégulières (Cuzzi et al., 2009).
La taille moyenne des particules semble varier d’une région à l’autre des anneaux (Charnoz et al., 2009a, Table 17.1), mais dans l’ensemble elle varie du centimètre à quelques
dizaines de mètres pour les plus grosses.
Figure 1.11 – Le système d’anneaux principaux de Saturne (crédits NASA/JPL/Space Science Institute).
Table 1.1 – Caractéristiques des anneaux principaux de Saturne
Structure
Anneau C
Anneau B
Division Cassini
Anneau A
Extension radiale (km)
74 658 − 92 000
92 000 − 117 580
117 580 − 122 170
122 170 − 136 775
Profondeur optique
0,08 − 0,15
1,21 − 1,84
0,12
0,7 − 0,57
Masse (1017 kg)
7,96
193,28
3,41
62,53
Du point de vue de leur composition, les particules des anneaux sont constituées à
plus de 99% de glace d’eau sous forme cristalline, entourée d’une fine couche de poussières
appelée régolite. Les particules sont également constituées en très faible quantité d’un
matériau possédant une forte ligne d’absorption dans le proche ultraviolet, mais qui n’a
pas encore été formellement identifié (Cuzzi et al., 2009).
1.2.4.3.2
L’anneau F
43
À 3 000 km de l’anneau A se situe l’anneau F, dont l’aspect particulier rend difficile
sa classification en tant qu’anneau principal ou diffus. C’est un anneau étroit, d’à peine
quelques centaines de kilomètres d’extension radiale. Les images prises par les caméras
ISS de la sonde Cassini ont permis d’identifier que l’anneau est en fait composé d’un cœur
central dense, autour duquel s’enroule une structure en forme de spirale (Charnoz et al.,
2005, voir aussi la figure 1.12)
Figure 1.12 – L’anneau F de Saturne sur 255˚de longitude. L’anneau est constitué d’un coeur central
dense, autour duquel s’entoure une structure en forme de spirale. (crédits NASA/JPL/Space Science
Institute)
1.2.4.3.3 Les anneaux diffus
Au-delà de l’anneau F, les anneaux de Saturne se prolongent, mais sous une forme
radicalement différente de celle des anneaux principaux. L’anneau G, situé entre 166 000
et 175 000 km, suivit de l’anneau E, situé entre 180 000 et 480 000 km, sont en effet bien
moins denses que les anneaux A, B et C. Ils sont représentés sur la figure 1.13.
L’anneau G est composé essentiellement de poussières, à l’exception d’un arc de
matière de 250 km de large situé à proximité de son bord interne, et qui semble composé
de particules métriques. Cet arc a la particularité de ne s’étendre que sur une région
longitudinale limitée, et il semble confiné par la lune Mimas (Hedman et al., 2007). La
profondeur optique moyenne de l’anneau est de 10−6 (Esposito, 2002).
L’anneau E, bien qu’extrêmement étendu, a une profondeur optique environ dix fois
supérieure à celle de l’anneau G (Esposito, 2002). Il est composé de poussières de glace
d’eau, mais des analyses réalisées par l’instrument CDA 1 de Cassini a révélé la présence
d’autres constituants, tels que silicates, dioxyde de carbone, ammoniac, azote moléculaire,
hydrocarbures, et peut-être du monoxyde de carbone (Hillier et al., 2007).
1.2.4.4
Les anneaux d’Uranus
Les anneaux d’Uranus furent découverts en 1977 au cours de l’observation de l’occultation de l’étoile SAO 158687. L’observation fut réalisée en parallèle par 5 observatoires
au sol (Tokyo au Japon, Peking en Chine, Naini Tal et Kavalur en Inde, et Cape Town en
Afrique du Sud), ainsi qu’à l’aide d’un observatoire installé à bord d’un avion : le Kuiper
Airborne Observatory, mais seul ce dernier put observer complètement l’occultation.
L’équipe de Jim Elliot à bord du KAO observa une série de diminutions du signal en
provenance de l’étoile, et ce plusieurs dizaines de minutes avant que la planète elle-même
passe devant l’étoile. L’observation fut répétée après que l’étoile a réapparu de derrière
la planète. En tout, ce sont 5 occultations secondaires, en plus de l’occultation principale
due à la planète, qui furent observées. L’équipe de Jim Elliot attribua ces occultations
1. CDA est l’acronyme de Cosmic Dust Analizer
44
Figure 1.13 – Les anneaux diffus de Saturne. (crédits NASA/JPL/Space Science Institute)
secondaires à autant d’anneaux étroits, qu’ils nommèrent à l’aide de lettres grecques, !
"! #! $! % (Elliot et al., 1977).
L’équipe de Robert Millis, qui n’avait pu observer que la partie ascendante de l’occultation, depuis l’observatoire de Perth en Australie, ont identifié dans leurs données 6
diminutions de l’intensité de l’étoile, mais 3 seulement correspondaient aux observations
de l’équipe d’Elliott. Ces derniers vérifièrent alors leurs données, et identifièrent les anneaux suggérés par l’équipe de Millis, nommés 4, 5 et 6 (Millis et Wasserman, 1978), ainsi
qu’un anneau supplémentaire situé entre les anneaux " et #, nommé &. Ces 9 anneaux
sont représentés sur la figure 1.14.
En 1986, la sonde Voyager 2 permit d’identifier 2 anneaux supplémentaires, nommés
1986U2R/' et ( (Smith et al., 1986). Enfin, le télescope spatial Hubble permit de détecter
en 2003-2005 une paire supplémentaire d’anneaux, nommés ) et * (Showalter et Lissauer,
2006).
L’anneau % est l’anneau dont l’excentricité est la plus forte, environ 7,9 × 10−3 . Son
épaisseur varie assez fortement avec la longitude, passant de 20 km au périapse à 96 km
à l’apoapse (Miner et al., 2007). Sa profondeur optique varie entre 0,5 et 2,5 (Tyler et al.,
45
Figure 1.14 – Les 9 premiers anneaux d’Uranus découverts, imagés par la sonde Voyager 2. (crédits
NASA/JPL)
.
1986; Karkoschka, 2001). La taille des particules qui le composent varie dans l’intervalle
0,2 − 20 m, et l’anneau semble dépourvu de poussières (Lane et al., 1986).
Les anneaux ! "! #! $! %, 4, 5, et 6 sont des annelets étroits, d’à peine quelques
kilomètres d’extension radiale. Composés de particules centimétriques, leur profondeur
optique est de l’ordre de ∼ 0,5 − 4 (de Pater et Lissauer, 2002). L’anneau & est un anneau
plus diffus, de profondeur optique ∼ 0,1 − 0,5, et composé principalement de poussières
submicrométriques (de Pater et Lissauer, 2002). Contrairement aux anneaux de Saturne,
ils ne sont pas composés de glace d’eau, mais plus vraisemblablement de carbone (Miner
et al., 2007). L’origine de cette composition pourrait être la décomposition de glace de
méthane (CH4 ) bombardée par des protons énergétiques (Cheng et al., 1986).
Les anneaux ' et ( sont regroupés dans la catégorie des « anneaux extérieurs », étant
donné leur éloignement à la planète. En effet, le plus éloigné des anneaux « intérieurs », ),
se situe à 51 149 km de la planète, alors que les anneaux ' et ( sont situés respectivement à
67 300 et 97 700 km de la planète (Miner et al., 2007). De plus, ce sont des anneaux étendus
sur plusieurs milliers de kilomètres, et très diffus : leur profondeur optique maximale ne
dépasse pas 10−6 (Showalter et Lissauer, 2006). Ces anneaux sont assez similaires aux
anneaux E et G de Saturne. Il semblerait que l’anneau ' soit composé presque entièrement
de poussières (de Pater et al., 2006).
46
1.2.4.5
Les anneaux de Neptune
Ce n’est qu’après plusieurs détections partielles, non concluantes, et controversées,
que les anneaux de Neptune furent enfin détectés, lors de l’observation d’une occultation
d’étoile par Neptune en juillet 1984. C’est en confrontant leurs données que deux groupes
de scientifiques, l’un mené par William Hubbard, l’autre par André Brahic, purent identifier et confirmer plusieurs occultations secondaires, attestant de la présence d’anneaux
autour de Neptune (Hubbard et al., 1985). En 1989, la sonde Voyager 2 apporta la preuve
définitive de l’existence des anneaux de Neptune (Smith et al., 1989).
Les anneaux de Neptune sont très particuliers, ce qui explique d’ailleurs pourquoi les
premières occultations observées n’étaient pas concluantes. Neptune possède 5 anneaux
distincts : Galle, Le Verrier, Lassell, Arago et Adams, par ordre de distance à la planète
(Miner et al., 2007). Ils sont représentés sur la figure 1.15.
Figure 1.15 – Les anneaux de Neptune, imagés par la sonde Voyager 2. Les deux annelets étroits et
brillants sont les anneaux Le Verrier et Adams. L’anneau diffus proche de la planète est l’anneau Galle.
Le plateau qui part de l’extérieur de l’anneau Le Verrier est l’anneau Lassell. L’anneau Arago est situé
au niveau du bord externe de l’anneau Lassell. (crédits NASA/JPL)
L’anneau Galle, situé à 41 900 km de la planète, mesure ∼ 2 000 km de large.
C’est un anneau diffus, de profondeur optique ∼ 10−4 . L’anneau de Le Verrier, situé à
53 200 km de la planète, est plus étroit et plus dense : il mesure ∼ 110 km de large, et
sa profondeur optique est de l’ordre de 10−1 . L’anneau Lassell s’étend de 53 200 à 57 200
km. Constitué de poussières, sa profondeur optique ne dépasse pas 10−4 . L’anneau Arago,
situé au niveau du bord externe de l’anneau Lassel, mesure moins de 100 km de large. Sa
profondeur optique est de l’ordre de 10−3 . Ces données sont issues de Miner et al. (2007).
L’anneau Adams, situé à 62 932 km de la planète, a une forme bien particulière.
En effet, ce n’est pas un cercle à proprement parler, mais plutôt une succession de 5 arcs
de matière, baptisé Courage, Liberté, Égalité 1, Égalité 2, et Fraternité (en français dans
le texte). On pense que c’est cette étrange structure qui a causé tant de soucis lors de
47
premières occultations observées à la fin des années 70 et au début des années 80. La
largeur de l’anneau varie entre 15 et 50 km, et sa profondeur optique est de ∼ 0,1 entre
les arcs, et 10 fois plus importante au niveau des arcs (Miner et al., 2007).
Les propriétés des particules qui composent les anneaux de Neptune sont encore
assez mal contraintes. On estime qu’ils contiennent tous une fraction de poussières, entre
20 et 40% pour les anneaux Lassell et Adams, et entre 40 et 70% pour les anneaux Galle
et Le Verrier (Colwell et Esposito, 1990). Tout comme les anneaux d’Uranus, les anneaux
de Neptune ont une réflectivité assez faible : les particules réfléchissent moins de 5% de la
lumière incidente. Ceci laisse à penser que les particules des anneaux de Neptune ne sont
pas non plus composées de glace d’eau, mais plutôt de carbone issu de la décomposition
de glace de méthane par le plasma magnétosphérique (Miner et al., 2007).
1.3
1.3.1
Problématique générale
Pourquoi des disques ?
Le concept des disques dans l’Univers a été plus ou moins à la mode selon les époques.
Dans l’Antiquité, ils étaient dans l’esprit de tous : la Terre était plate, et le Soleil n’était
qu’un simple disque lumineux traversant le ciel. La sphéricité de la Terre fut proposée
par les premiers philosophes grecs. Parmi eux, un certain Anaxagoras émit l’idée que le
Soleil n’était pas le chariot du dieu Hélios, mais était en fait une gigantesque boule de feu,
plus grande que le Péloponnèse (Sider, 1973). Cette hérésie lui valu d’être emprisonné et
condamné à mort, mais il fut sauvé par l’intervention de Périclès.
Au Moyen-Âge, tout n’était que sphères, en particulier avec la théorie des orbes
de cristal. Les disques furent remis au goût du jour avec la découverte des anneaux de
Saturne. On l’a vu précédemment, c’est Galilée qui est le premier à les avoir vus, mais
pas à les identifier comme tel. C’est Christiaan Huygens qui en 1655 observe que Saturne
« est entourée par un anneau mince et plat qui ne touche nulle part la planète et qui
est incliné sur l’écliptique ». Viendront ensuite les observations des premières galaxies au
xviiie siècle, dont la première description en tant que disque sera faite par Harlow Shapley
dans les années 1920. Les théories de formation des planètes et des étoiles dans les disques
d’accrétion et les disques protoplanétaires viendront compléter le tableau.
De manière générale, presque tout ce qui est en rotation dans l’Univers finit un jour
ou l’autre par devenir un disque. En effet, l’aplatissement d’un système en rotation est
le résultat de l’action opposée de deux forces fondamentales : la gravitation et la force
centrifuge. La première a tendance à compresser le système dans toutes les directions, alors
que la rotation, à condition qu’elle soit suffisamment rapide, s’oppose à la compression
mais uniquement dans la direction perpendiculaire à l’axe de rotation. En conséquence,
le système s’aplatit le long de cet axe. Dans certains systèmes, un troisième composant
vient empêcher l’aplatissement : ce peut être les forces de pression comme dans le cas
d’une étoile, ou une importante dispersion de vitesse comme dans les galaxies elliptiques.
En plus de ce phénomène d’aplatissement du système, un autre processus intervient
et qui tend a étaler le système : les collisions entre particules. En effet, si l’on considère des
particules en rotation autour d’une masse centrale, le gradient de vitesse de rotation en48
traine des collisions entre particules : c’est ce que l’on appelle le cisaillement képlérien. Ces
collisions résultent en un transfert de moment cinétique depuis les zones intérieures vers
les zones extérieures du disques, entraînant sont étalement (Brahic, 1977). Ce processus
physique est traité plus en détail au chapitre 3.
1.3.2
Les enjeux de l’étude des anneaux planétaires
1.3.2.1
Des disques bien particuliers
Nous venons de voir que de nombreux types de disques ont été identifiés dans l’Univers, avec de grandes disparités en terme de taille, de masse ou encore de composition.
On peut en particulier noter un certain nombre de critères selon lesquels les anneaux
planétaires se démarquent.
Tout d’abord, ces disques ont un rapport d’aspect très faible, de l’ordre de 10−6 .
Pour se donner une idée de la chose, cela reviendrait à une feuille de papier format A4 d’à
peine un dixième de micron d’épaisseur ! À titre de comparaison, un disque d’accrétion a
un rapport d’aspect généralement de l’ordre de 10−1 − 10−2 (Bell et al., 1995).
Un tel aplatissement est caractéristique d’un disque dynamiquement vieux. Les
temps caractéristiques sont de l’ordre de la période orbitale, qui dans le cas de Saturne est
de l’ordre de la dizaine d’heures. Même si nous verrons que l’âge des anneaux est sujet à
discussion, on peut tout de même estimer que les particules qui les composent ont effectué
plusieurs milliards de rotation. Comparer le degré d’évolution dynamique des anneaux et
d’une galaxie reviendrait en quelque sorte à comparer un fossile et un nouveau né.
1.3.2.2
Un laboratoire de l’espace
L’un des grands avantages des anneaux planétaires, c’est qu’il sont là, juste à côté
de nous, à quelques centaines de millions ou quelques milliards de kilomètres. Une broutille à l’échelle de l’Univers. Cette proximité nous permet d’avoir à notre disposition une
très grande quantité de contraintes observationnelles, qui nous ont été fournies dans un
premier temps par les observations au sol, puis dans un deuxième temps par les sondes
d’exploration spatiale. Ces dernières nous ont en particulier permis d’obtenir des données
dont la précision est sans comparaison avec ce que l’on peut espérer obtenir depuis la
Terre.
En dépit des immenses progrès réalisés dans les techniques d’observation spatiale,
des structures comme les disques d’accrétion ou les disques protoplanétaires sont bien
trop éloignées pour que l’on puisse pour l’instant en avoir des observations très détaillées
(figures 1.6 et 1.7). Et l’on imagine mal à l’heure actuelle envoyer une sonde d’exploration
en direction d’une étoile autre que la nôtre. En comparaison, Saturne a vu le passage de
Pioneer 11 en septembre 1979, de Voyager i en novembre 1980, et de Voyager ii en août
1981.
Depuis juillet 2004, la sonde internationale Cassini-Huygens est en orbite autour de
Saturne. Avec pas moins de 12 instruments à son bord, dans de multiples longueurs d’onde
(radar, IR, UV, visible), cette mission a d’ores et déjà fourni une quantité astronomique
de données sur la planète, ses satellites, et ses anneaux. Par exemple, les caméras du
49
système ISS 1 ont réalisé plusieurs centaines de milliers de clichés, à des résolutions qui
descendent jusqu’à la centaine de mètres (figure 1.16) !
Figure 1.16 – Un exemple de cliché à très haute résolution réalisé par la caméra ISS/NAC à bord de
la sonde Cassini, lors de son insertion orbitale autour de Saturne (crédits : NASA/JPL/Space Science
Institute).
L’immense quantité de données obtenues depuis une trentaine d’années, sur les
quatre systèmes d’anneaux a d’une part grandement suscité l’intérêt des scientifiques,
tout en leur fournissant d’autre part des contraintes très précises lors du développement
de modèles théoriques. Le chercheur américain Richard J. Terrile a dit un jour qu’il était
aussi difficile d’interpréter autant de données que de boire avec une lance à incendie.
L’intérêt des scientifiques est grand car la compréhension des phénomènes qui régissent l’évolution des anneaux planétaires pourrait jeter les bases de la mécanique céleste
des milieux continus, d’une dynamique céleste prenant en compte des effets collectifs,
et pourrait nous permettre d’envisager sous une toute autre perspective l’évolution des
1. Imaging Science Subsystem
50
autres disques astrophysiques. À commencer par celui qui est à l’origine de notre Système
Solaire.
1.4
Les points abordés dans ce manuscrit
Au cours de mon stage de fin d’études, j’ai pu toucher de près l’étude des anneaux
planétaires. Ce que je pensais être un sujet depuis longtemps compris et résolu, s’est
trouvé être une mine d’interrogations et de perspectives intéressantes, qui m’ont incité
à entreprendre une thèse sur le sujet. Sujet donc, qui est vaste non seulement dans la
diversité des aspects que l’on peut étudier, mais aussi dans la multiplicité des approches
possibles. Je me suis personnellement intéressé à trois problèmes en particulier, avec une
approche basée sur les simulations numériques.
1.4.1
Origine des anneaux de Saturne
Au risque de paraître un peu Candide aux yeux du lecteur averti, je dois avouer
que je fut fort surpris en apprenant que la question de l’origine des anneaux de Saturne
était toujours un grand sujet de débat au sein de la communauté scientifique concernée.
La question de leur formation pose implicitement celle de leur âge. Nous verrons en effet au Chapitre 3 que les observations actuelles laissent à penser que les anneaux sont
relativement jeunes, de l’ordre de quelques centaines de millions d’années.
Comme nous l’avons vu, toutes les planètes géantes ont leur propre système d’anneaux, mais celui de Saturne se démarque des autres par son ampleur. Les anneaux de
Jupiter, Uranus et Neptune doivent très vraisemblablement leur existence à la destruction
ou l’érosion de satellites. Même si le lien avec les satellites semble avéré pour les anneaux
diffus E et G de Saturne, il ne tient pas pour les anneaux principaux A, B et C.
Historiquement, trois scénarios principaux ont été proposés pour expliquer la formation des anneaux principaux de Saturne :
(1) reste de la sous-nébuleuse de Saturne ;
(2) destruction de comètes sous l’effet des forces de marées exercées par la planète ;
(3) destruction d’un satellite lors d’un impact catastrophique par une comète.
Après avoir détaillé chacun de ces mécanismes, nous verrons que les scénarios (2)
et (3) se heurtent chacun à un flux cométaire insuffisant si l’on considère le flux actuel.
Nous étudierons alors si le Bombardement Météorique Tardif, qui est une période d’une
dizaine de millions d’années au cours de laquelle de nombreux objets de la ceinture de
Kuiper primordiale ont déferlé à travers le Système Solaire, peut apporter un éclairage
nouveaux sur ces scénarios. Ceci fait l’objet du Chapitre 2.
1.4.2
Évolution visqueuse des anneaux
Plusieurs mécanismes conditionnent l’évolution des anneaux planétaires, à plus ou
moins grande échelle, et avec des importances relatives variables. Par exemple, les effets
radiatifs de type Poynting-Robertson, qui affectent principalement les particules de petite
51
taille, vont être très importants pour les anneaux diffus, mais joueront un rôle mineur
dans le cas d’anneaux denses tels ceux de Saturne, pour lesquels la taille des particules
ne descend pas en-dessous du centimètre.
L’un des effets dynamique important est celui de l’étalement visqueux du disque.
Nous verrons que cet étalement est en fait le résultat d’un transfert de moment cinétique
lors des collisions entre particules, mais aussi par le biais des effets collectifs dus à l’autogravité du disque. L’une des possibilités pour étudier ce phénomène consiste à considérer
que le disque est en fait un fluide en écoulement, pour lequel le transfert de moment
cinétique et la dissipation d’énergie sont représentés par une viscosité. Plus la viscosité
est forte, plus le transfert de moment cinétique est important et plus le disque s’étale.
La question de l’étalement visqueux des anneaux est très importante dans la compréhension globale du système, car contraindre les échelles de temps d’évolution du disque
peut nous donner des informations sur l’âge des anneaux et donc nous fournir des informations concernant l’époque de leur formation. L’évolution visqueuse des anneaux de Saturne
a déjà fait l’objet d’études dans le passé, mais avec un modèle de viscosité constante qui
ne saurait représenter correctement les paramètres du disque et leur évolution au cours
du temps. Pourtant, de nombreuses études ont permis de développer des modèles précis
de la viscosité des anneaux denses planétaires, avec la prise en compte de multiples effets
physiques, notamment l’auto-gravité.
Dans le Chapitre 3, nous verrons comment la prise en compte d’un modèle de viscosité réaliste modifie l’évolution visqueuse d’un anneau dense, et particulièrement des
anneaux de Saturne. En utilisant un modèle numérique simple mais non trivial, nous
étudierons l’évolution du disque sur des échelles de temps de l’ordre de l’âge du Système
Solaire, et nous verrons dans quelle mesure l’évolution du disque est affectée lorsque l’on
modifie certains de ses paramètres.
1.4.3
Formation des petites lunes de Saturne
Les planètes géantes du Système Solaire possèdent toutes de nombreux satellites,
mais leur nombre et leur diversité est particulièrement remarquable autour de Saturne. La
question de la formation des satellites est importante car elle concerne directement notre
compréhension de la formation du Système Solaire. Les études menées jusqu’à présent
indiquent que les satellites majeurs se sont formés en même temps que leur planète il y a
4,7 milliards d’années.
Néanmoins, une population de petites lunes, orbitant à proximité du bord extérieur
des anneaux de Saturne, se démarque des autres satellites. Ce sont de petits objets de
quelques dizaines de kilomètres de diamètre, ils ont des formes irrégulières, sont très peu
denses, et présentent d’étonnantes similarités spectroscopiques avec les anneaux. De plus,
ils semblent triés par ordre de masse en fonction de la distance à la planète.
Le bord externe de l’anneau A se trouve à proximité de la limite de Roche, au delà
de laquelle l’accrétion du matériau des anneaux devient possible. Des preuves de cette
accrétion ont d’ailleurs été mises en évidence au niveau des satellites Pan et Atlas. Sous
l’effet de l’étalement visqueux étudié au chapitre 3, le matériau des anneaux s’étale vers
l’extérieur, et pourrait donc être amené à traverser la limite de Roche. Dans le Chapitre
4, nous verrons à l’aide de simulations numériques si un modèle simple d’accrétion des
52
particules des anneaux en satellites permet de reproduire les propriétés de la population
de satellites observée.
53
54
Chapitre 2
Formation des anneaux planétaires
What are you waiting for ?
What do you think you were created for ?
Kilmister et al. (1993)
Lorsque l’on s’intéresse à la formation des anneaux planétaires, il y a deux questions qui s’imposent immédiatement : comment ? et quand ?. En effet, on cherche tout
d’abord à identifier le mécanisme responsable de la formation des anneaux : restes du
disque dans lequel s’est formée la planète ? Satellites de la planète détruits pour une raison ou une autre ? Origine extérieure au système (e.g. capture et destruction d’objets en
provenance des confins du Système Solaire). Ensuite, et ce pour contraindre l’histoire du
système solaire, quelle est l’époque de la formation : en même temps que la planète ?
récemment ? dernière version d’un système en perpétuelle régénération ? Ces informations
sont relativement bien contraintes pour Jupiter, Uranus et Neptune. En ce qui concerne
Saturne, la question est encore loin d’être tranchée. . .
2.1
Jupiter, Uranus et Neptune
2.1.1
Formation des anneaux de Jupiter
2.1.1.1
L’anneau principal
Comment ?
On pense que le matériau qui constitue l’anneau principal provient des lunes Métis
et Adrastée. En effet, l’anneau est proche de ces deux satellites, et le fort potentiel gravitationnel de la planète concentre les trajectoires des nombreux astéroïdes qui passent à
proximité, avec pour conséquence un intense bombardement des satellites proches de la
planète. Comme ces satellites sont relativement petits, leur potentiel gravitationnel n’est
pas suffisamment fort pour retenir tous les débris éjectés lors de collisions, dont une partie
peut alors se mettre en orbite autour de la planète.
55
Chapitre 2. Formation des anneaux planétaires
Quand ?
L’anneau lui-même subit également les effets du focus gravitationnel de la planète,
et la taille de ses particules diminue au gré des collisions. Les rayons solaires chauffent les
particules, et ce d’autant plus efficacement que la particule est petite. La particule réémet
l’énergie dans toutes les directions ce qui provoque un ralentissement des particules, qui
tombent alors progressivement vers la planète : c’est l’effet Poynting-Robertson. On estime
que les poussières de l’anneau principal tombent sur la planète en ∼ 1 000 années, voire
moins (Burns, 1981). L’anneau principal est donc probablement approvisionné en continu
en matériau provenant des satellites, car sinon ils disparaitraient en des échelles de temps
bien petites devant les 4,5 milliards d’années de Jupiter.
2.1.1.2
Le halo
Comment ?
Les propriétés optiques du halo laissent à penser qu’il est principalement composé
de particules de poussières micrométriques (Meier et al., 1999; Burns et al., 2004). Cette
poussière provient vraisemblablement de l’anneau principal et des collisions qui y ont
lieu. Par effet Poynting-Robertson, les particules tombent progressivement vers la planète.
Lorsqu’elles atteignent la distance de 122 150 km, elles rentrent en résonance de Lorentz
3 :2 avec le champ magnétique de la planète, c’est-à-dire qu’elles effectuent 3 révolutions
autour de la planète pendant que le champ magnétique en effectue 2. Les poussières
sont alors légèrement poussées hors du plan des anneaux. Par effet résonant, l’éjection
des particules hors du plan équatorial est amplifié, et l’anneau atteint rapidement une
épaisseur de l’ordre de 20 000 km. À 100 450 km de la planète se situe la résonance de
Lorentz d’ordre 2 :1. Elle est bien plus forte que la résonance 3 :2, et les poussières sont
ici irrémédiablement éjectées de l’anneau, puis détruites dans l’atmosphère de la planète
(Burns et al., 1985; Schaffer et Burns, 1992).
Quand ?
Le halo étant intimement lié à l’anneau principal, il est dépendant de la régénération
de ce dernier par du matériau provenant des lunes Amalthée et Thébé, sous peine d’être
détruit en quelques milliers d’années.
2.1.1.3
Les anneaux gossamer
Comment ?
La source du matériau qui compose les anneaux gossamer est relativement similaire
à celle qui alimente l’anneau principal et le halo (Burns et al., 1999). L’épaisseur de ces
anneaux (plusieurs milliers de kilomètres) est due au fait que les satellites Amalthée et
Thébé sont sur des orbites inclinées. En effet, Amalthée réalise des excursions verticales
de 4 140 km de part et d’autre du plan équatorial de Jupiter, ce qui s’accorde bien avec
les 4 000 km d’épaisseur de l’anneau gossamer d’Amalthée. Il en va de même pour Thébé,
avec des excursions radiales de 8 800 km. L’épaisseur de l’anneau gossamer de Thébé
n’est que de 8 380 km, mais l’extension de l’anneau située au-delà de l’orbite du satellite
atteint bien les 8 800 km d’épaisseur.
56
Quand ?
Comme pour l’anneau principal, la rapide destruction du matériau qui compose les
anneaux gossamer sous l’effet des radiations solaires implique qu’ils sont approvisionnés
en continu par de nouveaux impacts sur les lunes Amalthée et Thébé.
2.1.2
Formation des anneaux d’Uranus
2.1.2.1
Anneaux denses
Comment ?
La particularité des anneaux denses d’Uranus ( ! "! #! $! %! &, 4, 5 et 6) est leur
très faible extension radiale. En effet, les collisions entre les particules qui les composent
devraient étaler chaque annelet (voir Chapitre 3), ce qui implique qu’un mécanisme les
confine. Comme on le verra au Chapitre 4, les interactions entre un disque et un satellite
amènent les 2 objets à se repousser mutuellement. Donc, si l’on place deux satellites de
part et d’autre de l’anneau, il s’en retrouve confiné (Goldreich et Tremaine, 1979b). Les
satellites impliqués dans le confinement sont alors qualifiés de « bergers ». Cette situation
se retrouve en particulier pour l’anneau % qui est entouré des lunes Cordélia et Ophélie
(Porco et Goldreich, 1987). Cordélia est aussi le berger extérieur de l’anneau $, et Ophélie
est le berger extérieur de l’anneau # (Porco et Goldreich, 1987). Aucune autre lune de
plus de 10 km de diamètre n’a été identifiée à proximité des autres anneaux, laissant leur
confinement encore inexpliqué (Smith et al., 1986).
Quand ?
Comme l’anneau % repousse ses satellites bergers (voir Chapitre 4), la position actuelle desdits satellites permet de contraindre l’âge de l’anneau. Esposito et Colwell (1989)
ont calculé un âge maximal de 600 millions d’années. Il est donc probable que les anneaux
aient été continuellement approvisionnés en matériau. L’espérance de vie d’un satellite
de la taille de Puck (∼ 162 km de diamètre) vis-à-vis du bombardement météoritique est
de quelques milliards d’années, beaucoup moins pour un satellite plus petit (Esposito,
2002). En conséquence, la population actuelle des petites lunes d’Uranus (voir Chapitre
4), ainsi que les anneaux denses, pourraient bien être le fruit de la destruction d’une population d’objets de tailles comparables à celle de Puck (Esposito et Colwell, 1989). Chaque
satellite serait initialement détruit en plusieurs fragments, dont la taille diminuerait progressivement par cascade collisionnelle (Esposito, 2002). Ceci expliquerait en particulier
les similitudes de ces anneaux en terme de profondeur optique, et donc de propriétés de
particules.
2.1.2.2
Anneaux diffus
Comment ?
Les anneaux diffus d’Uranus ' et ( pourraient être liés à une ceinture de petites
lunes dont les collisions mutuelles serviraient de source de matériau (Esposito et Colwell,
1989). Cette ceinture de petites lunes n’a pas été observée, mais ceci est dû à leur faible
profondeur optique. Seule la poussière, qui représente une bien plus grande section efficace,
57
est observable. L’origine des anneaux extérieurs et ! n’est pour l’instant pas élucidée.
Leurs similarités avec les anneaux E et G de Saturne suggèrent qu’ils sont peut-être
alimentés en matériau par un satellite (Showalter et Lissauer, 2006).
Quand ?
La durée de vie de la poussière qui constitue les anneaux diffus est estimée à ∼
100 − 1 000 années (Esposito et Colwell, 1989). Ils sont donc probablement alimentés
encore à l’heure actuelle en matériau par une hypothétique ceinture de petites lunes.
2.1.3
Formation des anneaux de Neptune
Comment ?
Des variations azimutales aussi importantes que les arcs de l’anneau Adams sont très
rares dans les anneaux planétaires. Les spokes observées dans l’anneau B de Saturne en
sont l’un des uniques exemples. Les arcs de l’anneau Adams sont vraisemblablement des
agrégats denses de matériau, c’est-à-dire une accumulation de poussières sur des objets
plus gros. Ces objets, au gré des collisions, seraient à leur tout source des plus petites
particules (Smith et al., 1989). Plusieurs théories ont été avancées pour expliquer le confinement des arcs, faisant souvent intervenir le satellite Galatée, mais aucune ne s’est révélée
véritablement concluante.
– L’anneau Adams est en résonance de corotation en inclinaison d’ordre 42 :43 avec
Galatée (voir Chapitre 4 pour plus de détails sur les résonances). Cette résonance
crée 42 positions de stabilité dans l’anneau, tous les 8◦ de longitude (Goldreich
et al., 1986; Porco, 1991). Cette théorie a été infirmée par des observations du
mouvement moyen de l’anneau par les télescope Hubble et Keck (Dumas et al.,
1999; Sicardy et al., 1999).
– L’anneau Adams est également en résonance en excentricité.
– Il a été suggéré qu’une lune orbiterait au sein de l’anneau, créant des arcs entre
ses points de Lagrange (Lissauer, 1985). Les observations de la sonde Voyager
2 ont néanmoins permis d’établir des contraintes fortes sur la taille et la masse
d’éventuelles lunes non observées, ce qui ne semblait pas compatible avec la théorie
énoncée (Smith et al., 1989).
Comme pour Uranus, l’origine des autres anneaux de Neptune est probablement liée à la
destruction d’une population de petites lunes (Burns et al., 2001).
Quand ?
D’importantes variations des arcs de l’anneau Adams ont été identifiées depuis les
observations de Voyager 2 (de Pater et al., 2005). Si l’arc Fraternité semble ne pas trop
avoir évolué, l’intensité relative des arcs Égalité 1 et 2 semblent s’être inversée, probablement par échange de matériau entre les deux structures. L’arc Courage semble être
aujourd’hui 8◦ en amont de sa position relative à l’arc Fraternité, ce qui pourrait indiquer
qu’il a sauté d’une position de stabilité à une autre dans la résonance 42 :43. L’arc Liberté a pratiquement disparu en 2003 (Showalter et al., 2005). Ces observations indiquent
que les anneaux de Neptune évoluent très rapidement, et de ce fait on pense qu’ils sont
relativement récents.
58
2.2
Le cas de Saturne
Même si toutes les planètes géantes du Système Solaire ont des anneaux, force est
de constater que les anneaux de Saturne se démarquent, que ce soit du point de vue
du nombre de structures que de la quantité de masse mise en jeu. On a vu que les
anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune doivent très probablement leur existence à des
éjectas de matière libérés par des satellites au cours de collisions. Les systèmes d’anneaux
générés par ce processus sont néanmoins plutôt diffus, hormis quelques structures denses,
et constitués de poussières en quantités importantes. De plus, la masse estimée de ces
systèmes est assez faible : ∼ 1016 kg pour Jupiter, ∼ 1015 kg pour Uranus et ∼ 1015 kg
pour Neptune (Namouni et Porco, 2002; Miner et al., 2007). Il est donc peu probable
que ce procédé soit également à l’origine des anneaux de Saturne, surtout au niveau des
anneaux principaux. En effet, ils sont dépourvus de poussières, et leur masse est de l’ordre
de ∼ 3 × 1019 kg.
2.2.1
Origine des anneaux diffus
2.2.1.1
L’anneau E
Comment ?
L’origine du matériau constituant l’anneau E de Saturne a pu être récemment confirmée par la sonde Cassini. Le satellite Encelade était suspecté depuis longtemps (Baum
et al., 1981), mais il n’était jusqu’alors pas clair quel processus était mis en jeu. Il se
trouve que le pôle sud de ce satellite présente une importante activité géologique, et génère un panache de petites particules qui s’étend jusqu’à plusieurs milliers de kilomètres
au-dessus de la surface (Porco et al., 2006). L’étude des particules composant l’anneau a
montré qu’elles sont très similaires à celle éjectées par Encelade (Brilliantov et al., 2008;
Kempf et al., 2008; Postberg et al., 2008; Hedman et al., 2009).
La taille des particules qui composent l’anneau est également directement lié au
processus qui l’alimente. En effet, pour que les particules éjectées au niveau du pôle
sud viennent alimenter l’anneau, il faut qu’elles se libèrent totalement de l’attraction du
satellite, ce qui nécessite qu’elles aient une vitesse suffisante. La modélisation de l’éjection
de particules à travers une fissure semble indiquer que la vitesse d’éjection d’une particule
est d’autant plus grande que la particule est petite (Schmidt et al., 2008). Ce gradient de
vitesse en fonction de la taille des particules a été confirmé par les observations (Hedman
et al., 2009). L’anneau E est composé principalement de particules de quelques microns,
riches en glace, ce qui constitue également le panache d’Encelade.
Quand ?
L’anneau E est alimenté par le satellite Encelade, et il est donc probablement aussi
vieux que le satellite lui-même. Ce satellite s’étant vraisemblablement formé en même
temps que la planète (voir Chapitre 4), on peut donc penser que l’anneau E existe depuis
plusieurs milliards d’années.
59
2.2.1.2
L’anneau G
Comment ?
La source du matériau de l’anneau G a également été identifiée à l’aide de la sonde
Cassini. Les observations réalisées ont identifié un arc à proximité du bord interne de
l’anneau, s’étendant sur ∼ 250 km de large et confiné sur 60◦ de longitude par l’action du
satellite Mimas (Hedman et al., 2007). Cet arc est constitué essentiellement de poussières,
mais des études photométriques ont révélé qu’il abrite également une population de corps
plus gros. Les collisions entre ces petits corps seraient à l’origine de la poussière contenue
dans l’arc. Sujettes à l’influence de la magnétosphère de Saturne, ces poussières peuvent
être soufflées hors de l’arc, formant ainsi le reste de l’anneau G.
Quand ?
Les petits corps qui composent l’arc brillant situé vers le bord interne de l’anneau
G sont probablement les restes d’un objet plus gros qui aurait été détruit (Charnoz et al.,
2009a). Les connaissances actuelles ne permettent pas de situer à quel moment cet évènement aurait pu avoir lieu.
2.2.2
Scénarios de formation des anneaux principaux
Plusieurs scénarios ont été proposés pour expliquer la formation des anneaux principaux de Saturne. En 1847, Edouard Roche proposait qu’un satellite, situé à la position
actuelle des anneaux, ne pourrait résister aux effets de marée causés par la planète et serait donc désintégré, fournissant ainsi le matériau nécessaire aux anneaux (Roche, 1847).
Ce résultat avait la particularité de considérer le satellite en tant que fluide. . .Un siècle
plus tard, Jeffreys (1947) remarqua que, le satellite étant solide, il présente des forces de
cohésion interne. Sous la condition que son diamètre soit inférieur à 200 km, ces forces
dominent l’auto-gravité du satellite, empêchant sa destruction par les effets de marée. Depuis lors, 3 principaux scénarios alternatifs ont été proposés. Ils font l’objet de la section
qui suit.
2.2.2.1
Formation des anneaux dans la sous-nébuleuse de Saturne
Comment ?
Comme on le verra plus en détail au chapitre 4, on pense que les satellites majeurs des
planètes géantes de notre système solaire se sont formés en même temps que leur planète,
et dans un environnement proche de celle-ci. Même si les étapes de la formation d’une
planète géante ne sont pas toutes encore parfaitement contraintes, on sait qu’un embryon
planétaire, lorsqu’il atteint une masse d’environ 10 − 30M♁ s’entoure d’une enveloppe de
gaz qui s’effondre progressivement pour former un disque autour de la planète : c’est ce
que l’on appelle la « sous-nébuleuse »(Estrada et al., 2008).
On estime que les satellites principaux des planètes géantes se forment dans cette
sous-nébuleuse, à partir de deux composants principaux : glaces et roches. Ces éléments,
initialement sous forme de poussières micrométriques couplées dynamiquement au gaz
de la sous-nébuleuse, sont amenés à se coller les uns aux autres lors de collisions à faible
60
vitesse relative (Voelk et al., 1980; Weidenschilling, 1984; Nakagawa et al., 1986). Progressivement, ces particules grossissent par coagulation et coalescence. Quand la température
dans la sous-nébuleuse devient suffisamment basse, la vapeur peut se condenser à la surface des particules et contribuer à leur croissance. Progressivement, ces particules tombent
dans le plan équatorial du disque (Goldreich et Ward, 1973). Dans les régions de formation
des satellites, ces particules ont pu continuer à grossir par accumulation de poussières et
de débris (Cuzzi et al., 1993; Mosqueira et Estrada, 2003a).
Une partie de l’énergie d’une planète en formation est dissipée par rayonnement.
Cette perte d’énergie refroidit l’enveloppe de la planète, et celle-ci se contracte. Cet effet
est contrebalancé par l’accrétion de nouveau matériau et par la contraction du gaz par gravitation. Lorsque la sous-nébuleuse est entièrement dissipée (par accrétion sur la planète
et vent solaire), la dissipation d’énergie n’est plus compensée, et la planète se contracte
jusqu’à atteindre sa taille finale (Lissauer et al., 2009). Au moment où la sous-nébuleuse
de Saturne aurait été entièrement dissipée, on estime que la surface de la planète se situait
aux environs de la position actuelle de l’anneau B (Pollack et al., 1977). Ceci permettrait
d’expliquer la formation initiale du bord extérieur abrupt de l’anneau B, maintenu ensuite
par le satellite Mimas (Goldreich et Tremaine, 1978a).
D’autre part, la condensation des éléments invoqués dans ce scénario ne peut se faire
que si le disque se refroidit suffisamment. De fait, les silicates vont être les premiers à se
condenser, et ce alors que le gaz de la sous-nébuleuse n’est pas encore entièrement dissipé.
Or, la condition d’équilibre hydrostatique 1 impose que la vitesse du gaz est légèrement
inférieure à la vitesse képlérienne locale de façon à maintenir le gradient de pression. Les
particules ne sont pas soumises au gradient de pression, mais vont interagir avec le gaz.
– si les particules sont petites (e.g. des poussières), elles se mettent à tourner avec
le gaz. Leur vitesse devient alors sous-képlérienne, et elles sont alors soumises à
une accélération gravitationnelle résiduelle qui les fait spiraler vers la planète.
– dans le cas de grosses particules (e.g. planètes ou satellites en formation), celles-ci
vont subir une sorte de « vent de face »faisant diminuer leur vitesse orbitale et
causant une perte d’énergie, qui là encore amène les particules à spiraler vers la
planète.
C’est ce que l’on appelle le gas drag (Whipple, 1972, 1973; Weidenschilling, 1977)
Ce processus pourrait avoir été responsable de l’élimination des silicates du disque,
alors que les glaces, se condensant uniquement vers la fin de vie du disque, n’auraient pas
ou peu été affectées. Ceci expliquerait la composition actuelle des anneaux de Saturne
(> 99% de glace d’eau). Au niveau de Jupiter, les échelles de temps de refroidissement du
disque étant environ un ordre de grandeur plus importantes que pour Saturne (Pollack et
Reynolds, 1974; Lunine et Stevenson, 1982), les glaces n’auraient jamais pu se condenser
avant que la sous-nébuleuse ne soit entièrement dissipée. À l’inverse, ces échelles de temps
seraient plus courtes pour Uranus et Neptune, permettant la condensation des glaces plus
tôt et leur élimination par gas drag (Pollack et al., 1976).
Enfin, les observations spectroscopiques effectuées sur les anneaux et les satellites
1. Un système est à l’équilibre hydrostatique lorsque les forces de gravitation (qui ont tendance à
comprimer le système) y sont intégralement compensées par un gradient de pression de direction opposée
(qui a tendance à étendre le système).
61
ont montré que la forme du spectre des anneaux est relativement similaire à celui des
satellites de taille intermédiaire. Ceci tendrait à prouver que tous deux ont été formés
dans des conditions similaires.
Quand ?
Les mécanismes invoqués dans ce scénario sont liés à la formation même du Système
Solaire. Les anneaux ainsi formés seraient vieux de ∼ 4,5 milliards d’années.
Problèmes
Ce scénario pose plusieurs problèmes. En particulier, il se base sur l’hypothèse forte
que les glaces se sont condensées suffisamment tard dans l’histoire de la formation de la
planète pour ne pas avoir été éliminées par les interactions avec le gaz du disque. Une
étude précise de ce point serait nécessaire pour en tester la probabilité.
Deuxièmement, ce scénario ne permet pas d’expliquer la présence d’un certain
nombre de petits lunes qui ont été observées à l’intérieur des anneaux (voir Chapitre
4). Plusieurs explications ont été proposées :
– il pourrait s’agir de d’objets accrétés au niveau de positions de résonances avec
d’autres satellites (Pollack et Consolmagno, 1984) ;
– des observations récentes réalisées par la sonde Cassini ont permis de confirmer des
résultats de simulations numériques indiquant que Pan et Atlas étaient initialement des objets d’environ un tiers de leur taille actuelle ayant accrété le matériau
des anneaux. Les corps initiaux pourraient être des débris issus de la destruction
d’un objet plus gros (Charnoz et al., 2007; Porco et al., 2007).
– ces petites lunes sont peut-être des embryons de satellites qui auraient migré dans
les anneaux par gas drag.
Enfin, certaines hypothèses, notamment la non-élimination des particules de glace
par gas drag, nécessitent une coordination quasi parfaite de certains évènements, mettant
en doute la faisabilité du mécanisme proposé.
En conséquence, bien que ce scénario propose des explications intéressantes concernant la composition des anneaux, l’unicité du cas de Saturne, et les similitudes de composition entre les anneaux et certains satellites, il est moins populaire aujourd’hui. Néanmoins, il n’a pas non plus fait l’objet de nombreuses études permettant de véritablement
le confirmer ou l’infirmer.
2.2.2.2
Formation par destruction de comètes par effets de marée
Ce scénario se base sur la destruction d’une ou plusieurs grosses comètes lors d’une
rencontre proche avec la planète (Dones, 1991).
Comment ?
La limite de Roche est définie comme la distance en-dessous de laquelle les effets de
marées dus à la planète dépassent la cohésion interne d’un corps, menant à la destruction
de ce dernier. C’est une distance qui dépend donc à la fois de la masse de la planète, mais
aussi du matériau qui constitue le corps considéré.
62
L’énergie de liaison d’un corps peut être assurée de deux façons différentes, selon sa
taille et sa composition. Pour un petit corps, elle est fournie par la résistance intrinsèque
du matériau qui constitue le corps. Pour un corps plus gros, c’est la gravitation qui entre
en jeu. Pour un corps constitué principalement de glace, tel une comète, la transition se
situe autour de 130 km (Dobrovolskis, 1990).
Considérons une comète de rayon r < 130 km et de masse m située sur une orbite
parabolique par rapport à la planète telle qu’elle passe sous la limite de Roche. Le gradient
du potentiel gravitationnel de la planète à travers le diamètre de la comète entraine
sa destruction en un certain nombre de débris. La moitié des fragments obtenus (ceux
correspondant à l’hémisphère dirigé vers la planète) auront des vitesses inférieures à la
vitesse d’échappement locale, et sont alors capturés sur des orbites faiblement liées à la
planète.
Si la comète est sur une orbite hyperbolique, une quantité moindre de matériau est
capturées. Des simulations numériques ont montré que dans ce cas de figure, une fraction
f de la masse de la comète est capturée sur des orbites liées à la planète, d’apocentres
inférieurs à D, avec (Dones, 1991)
2
+ Gm/D
1 0,5v∞
−
,0 .
f = max
2
1,8∆E
J
I
(2.1)
∆E = Gmr/d2 est la différence de potentiel gravitationnel par unité de masse à travers
la comète, où d est la distance minimale d’approche de la comète.
Quand ?
La question de l’époque de la formation des anneaux de Saturne via le mécanisme
évoqué ci-dessus dépend du nombre d’objets à détruire. L’équation 2.1 implique qu’au
maximum 50% de la masse de la comète peut être capturée via ce mécanisme. Considérant
que la masse actuelle des anneaux est estimée à au moins une masse de Mimas (Esposito
et al., 1983b), l’hypothèse d’un géniteur unique des anneaux implique que ce serait un
objet de taille r > 200 km. Un tel objet traverse la zone de Roche de Saturne environ une
fois tous les 200 à 600 millions d’années, mais la plupart de ces objets arrivent avec des
vitesses trop importantes, ou ne passent pas assez près de Saturne pour permettre une
mise en orbite de matériau autour de la planète.
À l’heure actuelle, seuls trois gros Centaures 1 sont sur des orbites qui croisent celle
de Saturne : Chiron, Pholus et 1995 SN55 2 (Zahnle et al., 2003). Ce sont des objets
de rayon ∼ 75 − 90 km (Fernández et al., 2002), et donc de masse ∼ 1,60 − 2,75 ×
1018 kg, en supposant que ces objets sont des sphères de densité 0,9 (c’est-à-dire composés
essentiellement de glace d’eau).
Étant donnée la masse de ces objets, il faut en capturer plusieurs dizaines pour
espérer implanter suffisamment de matériau autour de Saturne afin de former les anneaux
1. On appelle Centaures les astéroïdes glacés qui gravitent autour du Soleil entre Jupiter et Neptune.
2. Cet objet n’a pas été définitivement identifié comme un Centaure, car il n’a été observé que
14 fois entre le 20 septembre et le 26 octobre 1995 (JPL Small-Body Database Center http://ssd.jpl.
nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=1995SN55). Son orbite n’étant pas suffisamment contrainte, il est pour l’instant
qualifié de « Centaure perdu ».
63
actuels. (Dones, 1991) a réalisé une série de simulations de type Monte-Carlo pour étudier
l’issue de rencontres proches entre Saturne et des Centaures. Il en ressort qu’en moyenne,
les Centaures dont le rayon est r > 90 km traversent la zone de Roche 1 une fois tous
les 28 millions d’années. Les anneaux auraient donc pu être progressivement alimentés en
matériau par une succession de gros Centaures.
En considérant le flux cométaire actuel, Dones (1991) estime qu’entre 0,1 et 1 masses
de Mimas seraient capturées sur 4 milliards d’années, la plupart du matériau étant amené
par un nombre minimal d’objets de grand rayon r, de faible distance d’approche d et de
faible vitesse relative à l’infini v∞ .
Problèmes
Ce scénario pose un certain nombres de problèmes. Tout d’abord, l’unicité des anneaux de Saturne n’est pas expliquée par ce scénario. A priori, Jupiter est au moins aussi
capable que Saturne, sinon plus, de capturer et détruire des comètes par effet de marée. Pourtant ses anneaux sont bien moins massifs que ceux de Saturne, et comme on le
verra au Chapitre 3, il est peu probable que les anneaux des autres planètes géantes aient
été beaucoup plus denses dans le passé, à moins d’un mécanisme de destruction inconnu
n’ayant pas eu lieu dans l’environnement de Saturne.
D’autre part, le flux cométaire est très mal contraint sur l’âge du Système Solaire.
Dans son étude, Dones (1991) utilise des distributions de tailles de Centaures suivant des
lois de puissance de type N (r) ∝ r−2 , r−2,5 , ou r−3 , et que ces distributions de taille
s’étendent jusqu’à des tailles de 250, 500 ou 1 000 km. Néanmoins, il semblerait que
la population de Centaures suive plutôt une loi de distribution assez raide de type r−q
avec q ≥ 3, ce qui impliquerait que les gros Centaures soient des objets finalement assez
rares. Si la population actuelle de Centaures est représentative de la population moyenne
au cours de l’âge du Système solaire, les taux de rencontres utilisés par Dones (1991)
seraient probablement trop élevés, rendant difficile la formation des anneaux de Saturne
par ce scénario.
Le scénario de formation des anneaux de Saturne par destruction de comètes par
effets de marées possède deux avantages principaux :
– le géniteur des anneaux est naturellement amené sous la limite de Roche du fait
de ses paramètres orbitaux ;
– la composition des anneaux (> 99% de glace) est liée à la composition des comètes
détruites.
Dones (1991) estime que les fragments ainsi capturés formeraient un anneau à une distance
d’environ 2RY , soit ∼ 120 000 km. Les anneaux auraient ensuite rempli tout l’espace qu’ils
occupent actuellement par étalement visqueux (voir Chapitre 3).
2.2.2.3
Formation par destruction d’un satellite
Ce troisième scénario propose que les anneaux de Saturne aient été formés lors d’un
impact catastrophique d’une comète sur un satellite se trouvant initialement sous la limite
de Roche (Pollack et al., 1973; Pollack, 1975; Harris, 1984).
1. La zone de Roche est la région située entre la planète et la limite de Roche.
64
Comment ?
La formation des anneaux de Saturne à la suite de la destruction d’un satellite
nécessite d’aborder 2 questions : (1) Comment amener le satellite sous la limite de Roche ?
et (2) Comment détruire le satellite ?
(1) Les mécanismes de formation des satellites sont aujourd’hui suffisamment bien connus
pour répondre à la première question. La formation du satellite à proprement parler
sort du propos de cette thèse, et ne sera pas abordé en détail. Deux mécanismes
principaux ont été avancés :
– balayage de poussières et de débris, suivi de l’accrétion d’autres embryons de satellites favorisée par un déplacement du satellite dans le disque par gas drag (Cuzzi
et al., 1993; Mosqueira et Estrada, 2003a,b).
– accrétion dans un disque appauvri en gaz, à partir des débris issus de collisions
entre planétésimaux (Estrada et Mosqueira, 2006)
Une fois le satellite formé (au-delà de la limite de Roche), plusieurs mécanismes,
dépendant de la taille du satellite, peuvent entraîner sa migration dans la zone de
Roche de la planète. Si le satellite est relativement petit (< 500 km), c’est le gas drag
qui domine et le fait spiraler vers la planète (Mosqueira et Estrada, 2003b).
Lorsque le satellite est plus gros, il excite des ondes de densité dans les parties intérieures et extérieures du disque (Goldreich et Tremaine, 1979a, 1980; Lin et Papaloizou, 1979, voir également le Chapitre4 de ce manuscrit). Chaque partie du disque
applique en retour un couple au satellite, qui tend à le repousser. De manière générale, le couple du disque extérieur est supérieur à celui du disque intérieur, et le
satellite migre en direction de la planète. C’est ce que l’on appelle la migration de
type i (Ward, 1986).
Lorsque la sous-nébuleuse est suffisamment appauvrie en gaz, les échelles de temps
de migration des satellites deviennent supérieures à la durée de vie du disque. Leur
migration est donc stoppée avant qu’il ne tombent totalement sur la planète. Il
apparaît donc possible pour un satellite d’être amené à l’intérieur de la limite de
Roche de sa planète.
(2) Comme on l’a vu, la destruction d’un satellite de taille > 200 km devient difficile
à effectuer par les seuls effets de marée de la planète (Jeffreys, 1947). Par exemple,
un satellite d’à peine 100 km de diamètre peut survivre au-delà de 100 000 km
de Saturne (Goldreich et Tremaine, 1982), soit au niveau de l’anneau B actuel. De
même, un satellite de la taille de Mimas ne serait détruit qu’en-dessous de 76 000 km
de Saturne, c’est-à-dire dans les environs de l’anneau C actuel (Davidsson, 1999).
La destruction du satellite nécessite donc un autre mécanisme, à savoir un impact
catastrophique 1 causé par un objet extérieur au système saturnien.
Quand ?
Une fois le satellite amené sous la limite de Roche, et que la sous-nébuleuse a été
entièrement dissipée, la migration du satellite prend un nouveau tournant. En effet, les
1. Un impact est qualifié de « catastrophique » lorsque l’objet impacté se retrouve intégralement
pulvérisé à l’issue de l’impact.
65
marées de Saturne entraînent une variation du demi-grand axe as du satellite, à un taux
(Murray et Dermott, 1999) :
3k2p ms Rp5
da
= signe (as − async )
dt
Q
ó
G
Mp as11
(2.2)
où ms est la masse du satellite, k2p , Qp , Rp , Mp et async sont respectivement le nombre de
Love, le facteur de dissipation, le rayon, la masse et la position de l’orbite synchrone de
la planète.
En conséquence, si le satellite se trouve en-deçà de l’orbite synchrone, il migre vers la
planète, et inversement. Il est intéressant de noter que le taux de variation du demi-grand
axe est d’autant plus élevé que le satellite est proche de la planète. En conséquence, si le
satellite migre vers la planète, cette migration va avoir tendance à s’accélérer, alors que si
il s’en éloigne, elle aura tendance à décélérer. La situation la plus favorable semble donc
être celle d’un satellite situé légèrement au-delà de l’orbite synchrone, mais se pose alors
la question de savoir en combien de temps le satellite atteint la limite de Roche.
Ceci peut être estimé en intégrant l’équation 2.2. La valeur des paramètres pour
Saturne sont RY = 60 330 km, MY ≈ 568,46 × 1024 kg, k2Y = 0,3 et async ≈ 110 000 km
(Campbell et Anderson, 1989; Dermott et al., 1988). La valeur du facteur Qp , qui quantifie
la dissipation des effets de marée dans la planète, est en revanche assez mal contrainte.
Dermott et al. (1988) suggèrent que QY > 1,6 × 104 , alors que celui de Jupiter est estimé
à 105 − 106 (Peale, 2003). À titre d’exemple, un satellite de 3 masses de Mimas, avec
QY = 105 , migre depuis l’orbite synchrone jusqu’à la limite de Roche en un peu moins
d’un milliard d’années. Un satellite de 5 masses de Mimas parcourrait cette distance en à
peine 600 millions d’années. Dans ce scénario, les anneaux de Saturne auraient donc été
formés au cours du premier milliard d’années du Système Solaire.
Problèmes
Deux problèmes principaux se posent. Tout d’abord, on ne veut a priori ne former
des anneaux massifs qu’autour de Saturne. Il faut donc que la probabilité d’impact soit
suffisamment grande pour pouvoir en effet former les anneaux de Saturne, mais également
suffisamment faible pour que cela ne soit pas le cas pour les autres planètes géantes. Un
autre point concerne la taille de l’impacteur impliqué dans la destruction du satellite. Un
impact catastrophique sur un satellite de plusieurs centaines de kilomètres de diamètre
nécessite probablement un impacteur de taille conséquente. Ceci peut être évalué à partir
des résultats de simulations d’impacts catastrophique (e.g. Benz et Asphaug, 1999).
Le rapport f entre la masse du plus gros fragment après impact et la masse de
l’objet initial est donnée par (Benz et Asphaug, 1999) :
A
B
Q
f = −s
− 1 + 0,5,
Q∗D
(2.3)
où s ≈ 0,6 pour la glace, Q est l’énergie spécifique d’impact 1 et Q∗D est l’énergie critique de
1. L’énergie spécifique d’impact est l’énergie cinétique de l’impacteur par unité de masse
66
destruction. Cette énergie, aussi appelée seuil de destruction catastrophique, correspond
à l’énergie pour laquelle le satellite est pulvérisé en plusieurs fragments (possiblement
réaccrétés sur l’objet) dont le plus gros a une masse exactement égale à la moitié de la
masse du corps parent. Cette énergie peut être estimée par la relation suivante (Benz et
Asphaug, 1999) :
(2.4)
Q∗D = Q0 Rsα + BρRsβ .
où Rs est le rayon du satellite. Les 2 termes de cette relation représentent les 2 régimes
distincts qui assurent la cohésion du satellite : (1) résistance du matériau qui compose le
satellite (terme de gauche avec α < 0), et (2) auto-gravité du satellite (terme de droite
avec β > 0). Un impact destructif est obtenu lorsque f ≤ 0,5. Les paramètres Q0 , α, B
et β sont obtenus par Benz et Asphaug (1999) à l’aide de courbes d’ajustement de leurs
résultats de simulations. La valeur limite, f = 0,5, correspond à Q∗D = Q 1 .
La vitesse de l’impact Vi , considérant que l’impacteur arrive de l’infini sur un satellite
en orbite circulaire de demi-grand axe as , est :
Vi ≈
ó
3
GM
2 .
+ v∞
as
(2.5)
Le facteur 3 est dû au focus gravitationnel de la planète auquel s’ajoute le carré de la
vitesse orbitale du satellite (Lissauer et al., 1988). Si l’impact a lieu aux environs de
l’orbite synchrone de Saturne, soit as ≈ 110 000 km, on obtient une vitesse d’impact
Vi ≈ 32 km/s.
En utilisant cette vitesse d’impact et les équations 2.3 et 2.4, on obtient que la
destruction d’un satellite de 1, 3, et 5 masses de Mimas nécessite un projectile de ∼ 17,
31, et 39 km respectivement.
Le flux de corps importants passant à proximité de Saturne est assez mal contraint.
Néanmoins, en extrapolant les résultats de Zahnle et al. (2003) concernant le flux actuel
observable et la distribution de taille des comètes dans le Système Solaire, il apparaît
très peu probable qu’un tel évènement ait pu avoir lieu au cours des cent derniers millions
d’années (Harris, 1984). Le flux cométaire dans le Système solaire n’étant pas correctement
contraint sur 4 milliards d’années, la question se pose de savoir si un tel évènement n’a
pas pu avoir lieu plus tôt dans l’histoire du Système Solaire.
2.2.2.4
Problématique : les anneaux de Saturne ont-ils pu être créés au cours
du Bombardement Massif Tardif ?
Les deux scénarios précédents, proposant la formation des anneaux de Saturne soit
par la destruction de comètes via les marées de Saturne, soit par la destruction d’un
satellite au cours d’un impact catastrophique, souffrent du même problème : le flux cométaire actuel est beaucoup trop faible, rendant leur formation récente par ces scénarios
improbable. Faut-il pour autant les mettre de côté ?
Si l’on regarde de plus près l’histoire du bombardement des planètes géantes du
Système Solaire, on peut faire un constat intéressant. Ceci peut être étudié en particulier
1. L’équation 2.3 n’est donc valable que pour des énergies spécifiques d’impact telles que Q ≤ Q∗D
67
à l’aide de considérations de la densité de surface et de la distribution de taille des cratères
identifiés sur les satellites réguliers des planètes géantes (Smith et al., 1981, 1982; Lissauer
et al., 1988; Zahnle et al., 2003).
D’un côté, Zahnle et al. (2003) dérivent un flux d’impacteurs à partir d’un modèle
de distribution des comètes écliptiques (Levison et al., 2000). Pour la distribution de taille
des impacteurs, ils utilisent des fonctions compatibles avec soit les cratères du satellite
Ganymède, soit les cratères du satellite Triton, soit la distribution actuelle des comètes
écliptiques. À partir de ces hypothèses, ils calculent un taux de cratérisation sur le satellite
Japet entre 2×10−16 km−2 .an−1 et 8×10−15 km−2 .an−1 (en tenant compte uniquement des
cratères de diamètre D > 10 km). Si on intègre ce résultat sur l’age du Système Solaire,
la densité actuelle de cratères de diamètre D > 10 km devrait être entre 10−6 km−2 et
3,5 × 10−5 km−2 .
D’un autre côté, Smith et al. (1982) avancent une densité de cratères de diamètre
D > 10 km d’environ 2,3 × 10−3 km−2 , et Neukum et al. (2005) proposent une densité de
8 × 10−4 km−2 . Ces valeurs sont environ 100 à 2 000 fois supérieures à celles obtenues par
Zahnle et al. (2003) à l’aide du flux de comètes actuelles. Il semblerait donc que ce flux
ait été bien plus important dans le passé.
Le satellite Japet comporte un certains nombre de bassins dont les éjecta recouvrent
sa crête équatoriale (voir Chapitre 4). La modélisation de cette crête semble indiquer
qu’elle se serait formée plusieurs centaines de millions d’années après l’accrétion du satellite (Castillo-Rogez et al., 2007). L’intense bombardement mis en évidence plus haut
aurait donc été un évènement tardif, c’est-à-dire intervenant bien après la formation du
Système Solaire.
Le fait que ce Bombardement Massif Tardif (BMT) ait réellement eu lieu ou non
est un sujet fortement débattu au sein de la communauté scientifique. Le « Modèle de
Nice 1 », développé par Tsiganis et al. (2005), propose une explication intéressante quant
à l’origine de ce BMT.
La ceinture de Kuiper est une zone située au-delà de l’orbite de Neptune en 30 et
55 UA. C’est une région en forme d’anneau, qui entoure le Système Solaire, et que l’on
pourrait comparer à la ceinture d’astéroïdes mais 20 fois plus large et 20 à 200 fois plus
massive. Elle est aujourd’hui constituée principalement de petits corps composés de glace
de méthane, d’ammoniac ou d’eau ainsi que d’au moins 3 objets plus gros, récemment
qualifiés de « planètes naines » : Pluton, Makemake et Haumea (Stern et Colwell, 1997;
Tegler et Romanishin, 1998; Delsanti et Jewitt, 2006).
La ceinture de Kuiper était à l’origine une zone 100 à 1 000 fois plus massive qu’aujourd’hui, appelée disque trans-neptunien. Cette zone aurait été déstabilisée lorsque Saturne traversa la résonance 2 :1 de moyen mouvement avec Jupiter, provoquant ainsi le
déferlement d’une très grande quantité d’objets massifs à travers tout le Système Solaire.
Les anneaux de Saturne ont-ils pu être formés à cette époque ?
1. L’origine du nom de ce modèle provient du fait qu’il a été développé en partie par une équipe de
chercheurs de l’Observatoire de Nice - Côte d’Azur.
68
2.3
Étude de la possible formation des anneaux de
Saturne au cours du Bombardement Massif Tardif
Nous allons étudier si le Bombardement Massif Tardif peut apporter un éclairage
nouveau sur les scénarios de formation des anneaux de Saturne que nous avons passés
en revue. Tout d’abord nous allons voir quel est le flux d’objets passant à proximité de
Saturne dans cette période, et la distribution de taille de ces objets. Puis nous verrons
comment cela influe sur les scénarios de destruction de comètes d’une part, et de destruction d’un satellite d’autre part.
2.3.1
Flux et distribution de taille lors du BMT
2.3.1.1
Probabilité de collision d’un objet avec Saturne
Le nombre de collisions avec Saturne par unité de temps t est donné par
V2
2
.
Ps (t, n) = ps (t, n) 1 + esc_sat2 RY
V (t, n)∞
B
A
(2.6)
Vesc_sat est la vitesse de libération de Saturne 1 et n = (1, . . . , N ) correspond à chacun
des corps issus des simulations du BMT réalisées par Gomes et al. (2005). Chaque objet
est caractérisé par son demi-grand axe a (t, n), son excentricité e (t, n) et son inclinaison
i (t, n), ce qui permet de calculer sa probabilité géométrique de collision avec Saturne
ps (t, n) et sa vitesse à l’infini V (t, n)∞ , moyennées sur toutes les configurations orbitales
possibles au cours d’un cycle de précession d’une orbite. Ce calcul est effectué à l’aide
des résultats de Wetherill
(1967) et d’un2code numérique développé par Farinella et Davis
1
2
(1992). Le terme 1 + Vesc_sat /V (t, n)2∞ est le facteur de focus gravitationnel.
La probabilité cumulative d’impact pcs (t) est donnée par :
pcs (t) =
Ú t
0
ps (t′ ) dt′ ,
(2.7)
où ps (t) est la valeur moyenne de ps (t, n) moyennée sur les N objets, pondérée par la
probabilité de collision Ps (t, n). L’évolution de pcs au cours du temps est représentée
sur la figure 2.1. La probabilité cumulative d’impact augmente brusquement vers ∼ 850
millions d’années, puis atteint un pallier vers ∼ 900 millions d’années. Le BMT aurait
donc bien eu lieu plusieurs centaines de millions d’années après la formation du Système
Solaire, mais n’aurait duré que ∼ 50 millions d’années.
La probabilité totale d’impact à t = 109 années est pcs (t = 109 années) = 8,41 ×
−15
10
km−2 . Cette valeur est en bon accord avec celle donnée par Levison et al. (2000),
5,6 × 10−15 km−2 , estimée à partir de la configuration actuelle des planètes géantes et
1. La vitesse de libération est la vitesse minimale que doit atteindre théoriquement un corps pour
s’éloigner indéfiniment d’un autre corps malgré l’attraction gravitationnelle de ce dernier.
69
Figure 2.1 – Évolution au cours du temps de la valeur moyenne de la probabilité cumulative d’impact
par objet sur Saturne.
de la population de comètes écliptiques. La valeur moyenne de la vitesse à l’infini des
impacteurs, calculée de façon similaire à ps , est V∞ = 4,69 km s−1 . Pour les comètes
écliptiques du Système Solaire actuel, la valeur est V∞ ∼ 3 km s−1 .
Au vu de ces comparaisons, il semble que la dynamique des comètes ne soit pas
significativement influencée par la position des planètes géantes. L’impact du BMT tient
donc plus vraisemblablement à la grande quantité d’objets ayant traversé le Système
Solaire à cette époque.
2.3.1.2
Distribution de taille des impacteurs
Il est important de connaître la taille des impacteurs ayant traversé le système de
Saturne au moment du BMT pour deux raisons : (1) connaître la masse qui peut être
implantée autour de Saturne dans le scénario de destruction de comètes par effet de marée,
et (2) estimer la probabilité de destruction d’un satellite pour le scénario éponyme.
2.3.1.2.1 Comptage de cratères avec des pincettes
Une façon de remonter à la taille des objets ayant traversé le Système Solaire au
moment du BMT est de regarder la distribution des cratères à la surface des satellites.
En effet, la forme d’un cratère dépend directement, entre autre, de la taille de l’impacteur
(Melosh, 1989). Néanmoins, l’observation de cratères est une opération complexe dont il
faut bien mesurer les limites de validité.
En effet, le comptage de cratères (i.e. nombre de cratères d’un diamètre donné)
nécessite d’avoir de bonnes observations à disposition, et même dans ce cas c’est une
opération qui peut se révéler assez subjective (l’estimation visuelle de la taille d’un cratère
70
pouvant être très variable d’une personne à l’autre). Le problème du comptage d’un type
d’objet dans une image est un problème bien connu qui ne se limite pas au cas des
cratères : détections de sources sur des observations X/Gamma, comptage de cellules
sur des données médicales, etc. . .L’automatisation de la procédure est souvent délicate
car les objets à reconnaître ont souvent des formes complexes, variables et difficilement
modélisables. Pour cette raison il est généralement intéressant et judicieux de comparer
plusieurs résultats relatifs à un même objet d’observation, un satellite dans notre cas.
D’autre part, comme dans notre cas nous cherchons les cratères causés par des
impacteurs au moment du BMT, il faut pouvoir identifier l’âge du cratère. Ceci peut se
révéler complexe car d’une part, un cratère peut être déformé et altéré par des impacts
ultérieurs, et d’autre part le resurfaçage du satellite peut tout bonnement faire disparaître
un certain nombre de cratères.
Le comptage de cratère est donc à considérer comme un moyen d’obtenir une estimation de la distribution de taille des impacteurs, mais ne peut en aucun cas fournir
un relevé précis et définitif. Bien qu’imprécise, c’est néanmoins la méthode permettant
d’obtenir l’estimation la plus précise des propriétés des objets ayant traversé le Système
Solaire au moment du BMT.
2.3.1.2.2 Choix du satellite
Parmi les satellite en orbite autour de Saturne (voir le Chapitre 4 pour plus de
détails), c’est Japet qui semble le plus susceptible d’avoir enregistré le BMT de façon
fiable.
Tout d’abord, il semble bien avoir été présent dans l’environnement de Saturne
au moment du BMT. En effet, c’est un satellite qui présente une forme fossile : il est
à l’équilibre hydrostatique, et effectue une rotation sur lui-même en 16 h environ. Ceci
indique qu’il présentait une solide lithosphère à l’époque où le satellite tournait plus vite
qu’à l’heure actuelle (Castillo-Rogez et al., 2007). D’autre part, ce satellite a dû bénéficier
d’une importante source de chaleur, capable de faire fondre son intérieur. Ceci indique
qu’au moment de sa formation, des éléments radioactifs à vie courte, de type Al26 étaient
présents en abondance, ce qui n’est possible que si ce satellite s’est formé au cours des 5
premiers millions d’années du Système Solaire (Castillo-Rogez et al., 2007).
D’un point de vue de la cratérisation, celle-ci ne devrait pas avoir été trop altérée car
le Satellite n’a vraisemblablement pas eu d’activité endogénique au-delà de 200 millions
d’années après sa formation (Castillo-Rogez et al., 2007). Enfin, c’est le satellite de Saturne
qui présente la surface la plus cratérisée (Porco et al., 2005b, voir aussi la figure 2.2), et
l’on bénéficie de nombreuses observations de ce satellite grâce aux sondes Voyager et
Cassini (Smith et al., 1982; Castillo-Rogez et al., 2007; Giese et al., 2008).
2.3.1.2.3 Distribution de taille des cratères sur Japet
Pour estimer la taille des impacteurs, nous allons utiliser trois catégories de cratères,
selon leur diamètre : (1) les cratères de plus de 10 km, (2) ceux de plus de 100 km, et (3)
les bassins de plus de 300 km.
(1) le nombre par unité de surface de cratères de diamètre supérieur à 10 km a été
évalué à 2,3 × 10−3 km−2 par Smith et al. (1982), à l’aide d’une extrapolation en
71
Figure 2.2 – Le satellite Japet, observé par la sonde Cassini (crédits NASA/JPL)
loi de puissance du nombre de grands cratères. Cette valeur a été réévaluée par
Neukum et al. (2005) par comptage direct de cratères sur les images Cassini. La
figure 2 de ce papier est reproduite sur la figure 2.3). On peut en extraire la valeur
∼ 3 ± 1 × 10−4 km−2 pour les cratères de diamètre supérieur à 10 km.
Figure 2.3 – Densité de surface des cratères observés sur le satellite Japet, en fonction de leur diamètre.
D’après Neukum et al. (2005).
Les valeurs diffèrent donc d’un ordre de grandeur entre les deux auteurs ! Nous allons
néanmoins utiliser la valeur de Neukum et al. (2005), car un comptage direct est
vraisemblablement plus précis que l’extrapolation d’une loi d’ajustement (même si,
comme nous l’avons signalé, le comptage direct reste très subjectif).
72
(2) la densité de surface des cratères de diamètre supérieur à 100 km peut également
être extrait de la figure 2.3. La valeur obtenue est ∼ 7 ± 1 × 10−6 km−2 .
(3) Giese et al. (2008) ont identifié environ 7 bassins de diamètre supérieur à 300 km
sur la partie brillante de Japet. Au moins 2 bassins ont également été observés sur la
partie sombre du satellite (Denk et al., 2008). Ce comptage pouvant être incomplet,
le nombre total de bassins de diamètre supérieur à 300 km est vraisemblablement de
l’ordre de 10 − 15 (Tilmann Denk, communication privée dans le cadre de Charnoz
et al. (2009b)).
La conversion entre la taille du cratère et la taille de l’impacteur est réalisée à l’aide
du modèle développé par Melosh (1989). Il en ressort que les cratères de 10, 100 et 300
km sont créés respectivement par des impacteurs de 250 m, 2,9 km et 6,5 km de rayon
(voir Charnoz et al. (2009b), section 4.1, pour plus de détails).
2.3.1.2.4 Estimation de la distribution de taille des objets du disque transneptunien
La ceinture de Kuiper présente un déficit de masse par rapport au disque initial
qu’était le disque trans-neptunien (Gladman et al., 2001b; Morbidelli et Brown, 2004).
Deux mécanismes principaux ont été proposés pour expliquer ce déficit de masse : concassage par collisions, et élimination dynamique. Le premier scénario entre en conflit avec
la distribution de taille de la Ceinture Intermédiaire 1 et du Nuage de Oort 2 (Charnoz et
Morbidelli, 2007). Le déficit de masse dans la ceinture de Kuiper est donc vraisemblablement le résultat d’un processus dynamique, ce qui a la particularité de ne pas altérer la
distribution de taille. Les objets qui composaient le disque trans-neptunien suivaient donc
la même distribution de taille que la ceinture de Kuiper actuelle, mais étaient 100 à 1 000
fois plus nombreux (ce facteur correspond au déficit de masse de la ceinture de Kuiper).
Suivant ces considérations, Charnoz et Morbidelli (2007) proposent la distribution
de taille suivante pour les objets qui composaient la ceinture de Kuiper primordiale :

 dN
dr
 dN
dr
∝ r−3,5 , r < 100 km,
∝ r−4,5 , r > 100 km,
(2.8)
où N (r) est le nombre d’objets de rayon plus grand que r.
La densité de surface de cratères obtenue avec cette distribution d’objets est en bon
accord avec les observations sauf pour les cratères de diamètre supérieur à 10 km (Charnoz
et al., 2009b, Table1 colonnes 1 et 3). Cette distribution est finalement légèrement modifiée
pour reproduire plus fidèlement les observations des cratères de diamètre inférieur à 10
km, et le nombre de bassins de diamètre supérieur à 300 km. La nouvelle distribution,
1. La Ceinture Intermédiaire est une région située au-delà de la ceinture de Kuiper, constituée
d’objets dont les excentricités peuvent atteindre 0,8 et les inclinaisons dépasser les 40◦
2. Le Nuage de Oort est un vaste ensemble sphérique de corps situé à environ 50 000 UA du Soleil.
La limite externe de cet ensemble formerait la frontière gravitationnelle du Système Solaire, à environ
une année-lumière du Soleil.
73
baptisée « Iapetus Scaled Distribution » ou ISD prend la forme suivante :

dN


 dr
dN
dr


 dN
dr
∝ r−2,5 , r < 7,5 km,
∝ r−3,5 , 7,5 km < r < 100 km,
∝ r−4,5 , r > 100 km,
(2.9)
Ces deux distributions sont représentées sur la figure 2.4.
Figure 2.4 – Distribution de taille des objets composant la ceinture de Kuiper primordiale. La courbe
en pointillées est la formulation originale de Charnoz et Morbidelli (2007), la la courbe en trait plein en
est une version reproduisant plus fidèlement les observations.
2.3.2
Le BMT et le scénario par destruction de comètes
Dans le cadre de ma thèse, je me suis principalement intéressé à l’influence du BMT
sur le scénario impliquant la destruction d’un satellite. En conséquence, seuls les résultats
principaux seront présentés pour le scénario basé sur la destruction de comètes par effet
de marées. Le lecteur désireux d’en savoir plus est invité à consulter la section 5.1 de
Charnoz et al. (2009b).
Comme on l’a vu précédemment, pour chaque objet passant à proximité de la planète, une partie des débris de l’objet détruit par effets de marée se retrouve en orbite
liée à la planète. Les débris capturés représentent une fraction f de la masse de l’objet
initial (équation 2.1). Pour estimer la masse totale implantée au cours du BMT on évalue,
à partir des données des simulations du BMT, la distribution des vitesses à l’infini des
comètes passant à proximité des planètes géantes. Cette distribution est représentée sur
la figure 2.5 sous forme cumulative.
74
Figure 2.5 – Fraction (cumulative) des objets de la ceinture de Kuiper primordiale qui impactent chacune
des planètes géantes avec une vitesse à l’infini inférieure à une vitesse donnée.
On peut ensuite calculer deux quantités en fonction de la distance minimale d’approche q et la vitesse à l’infini V∞ : le nombre de comètes qui passe à proximité de la
planète N (q, V∞ ), et la fraction de la masse d’une comète de rayon rc capturée en orbite
autour de la planète f (q, V∞ , rc ). Ceci est réalisé en divisant l’espace des distances minimales d’approche en 100 intervalles de 1 à 2,5RY , et la vitesse à l’infini en 100 intervalles
de 0 à 10 kms−1 . La masse totale implantée autour de Saturne est le produit f × N × mc
où mc = 4/3πrc3 ρc est la masse de la comète de densité volumique ρc = 1 000 kg m−3 .
Un total de 100 simulations de type Monte-Carlo est réalisé pour chaque planète
géante. Les valeurs moyennes et médianes de la masse implantée sont ensuite évaluées.
Les résultats sont reportés dans la table 2.1.
La différence entre les valeurs moyennes et médianes de masses implantées est due
au fait que la plus grosse partie de la masse est amenée par un petit nombre de gros
objets. La première chose que l’on peut constater est que la masse implantée autour de
Saturne est très importante : plusieurs dizaines de masses de Mimas (table 2.1). La chose
surprenante est que Saturne est la planète qui capture le moins de masse ! Neptune doit
son important taux de capture au fait que c’est la plus dense des planètes géantes, et son
rayon de Hill est donc très grand devant son rayon physique. D’autre part c’est la planète
située le plus près de la ceinture de Kuiper et elle voit donc passer beaucoup plus d’objets
que les autres planètes.
Ce constat pose un problème important car d’après ce scénario toutes les planètes
géantes auraient vu se former un système d’anneau dense, et même plus important que
75
Table 2.1 – Masse et moment cinétique moyen/médian implantés autour de chacune des planètes géantes.
Les valeurs sont moyennées sur 100 simulations de type MOnte-Carlo. Les masses sont en unité de masses
de Mimas, les distances en unités de rayon planétaire, et GM = 1 pour chaque planète.
Masse implantée
sous le rayon de Hill
de la planète
avec apocentre sous
50 rayons planétaires
avec apocentre sous
20 rayons planétaires
Jupiter
Mmoy = 245,59
Mmed = 139,98
Γmoy = 0,54
Γmed = −0,06
Mmoy = 0
Mmed = 0
Mmoy = 0
Mmed = 0
Saturne
Mmoy = 47,99
Mmed = 15,53
Γmoy = −1,83
Γmed = −0,03
Mmoy = 6,5
Mmed = 0
Mmoy = 0
Mmed = 0
Uranus
Mmoy = 132,37
Mmed = 87,52
Γmoy = −1,99
Γmed = 0,11
Mmoy = 3,76
Mmed = 0
Mmoy = 32,57
Mmed = 0
Neptune
Mmoy = 247,97
Mmed = 207,67
Γmoy = −5,33
Γmed = 0,18
Mmoy = 29,02
Mmed = 0
Mmoy = 12,25
Mmed = 0
celui de Saturne. Ceci ne semble pas provenir d’une mauvaise modélisation du BMT étant
donné que la distribution des cratères de Japet est correctement reproduite. Peut-on
identifier un mécanisme qui diminuerait l’efficacité de la destruction par effets de marée
au niveau des planètes géantes autres que Saturne ?
– une partie du matériau devrait être capturée sur une orbite prograde, l’autre partie
sur une orbite rétrograde, en proportions similaires (Zahnle et al., 1998; Levison
et al., 2000). Le moment angulaire total des débris capturés devrait donc être
proche de 0. Le calcul effectué à partir des 100 simulations donne des valeurs non
nulles (table 2.1, 3e et 4e lignes) et très variables. Comme pour la masse, le moment
cinétique est principalement apporté par un petit nombre de gros objets. Ceci est
dû au fait que, d’une part, le moment cinétique est directement proportionnel
à la masse de l’objet, et d’autre part les gros objets déposent leurs fragments
sur des orbites de plus faible excentricité, qui ont donc un moment cinétique
plus important (voir l’équation (7) de Charnoz et al. (2009b)). Le résultat des
simulations indique que l’on devrait obtenir des systèmes d’anneaux progrades et
d’autres rétrogrades, ce qui n’est pas le cas dans le Système Solaire.
– pour toute les planètes géantes, la majorité des débris capturés ont des apocentres
situés à plusieurs centaines de rayons planétaires (Table 2, voir aussi la figure 5
de Charnoz et al. (2009b)). Ces orbites ont des excentricités extrêmes pouvant
atteindre 0,99, rendant le matériau instable et possiblement éjecté de la sphère
d’influence de la planète par des petites perturbations.
– une partie du matériau capturé pourrait être détruit lors de collisions avec les
satellites, et ces derniers sont particulièrement nombreux autour de Sature (voir
Chapitre 4).
– le modèle utilisé ici pour la destruction des comètes est celui de Dones (1991),
qui suppose que l’issue de la destruction est une multitude de petits fragments
situés chacun sur leur propre orbite képlérienne. D’autres modèles de destruction
(Dobrovolskis, 1990; Davidsson, 1999; Holsapple et Michel, 2008) suggèrent au
contraire que l’objet initial serait détruit en quelques gros débris qui seraient plus
difficiles à capturer en orbite. Le modèle de collision dépend de la structure et de
la cohésion interne de l’objet parent, qu’il est malheureusement assez difficile à
76
contraindre.
– il se peut qu’un mécanisme ait conduit à la destruction des anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune, mais n’aurait pas (ou dans une moindre mesure) affecté
Saturne.
En conclusion, le scénario de destruction de comètes au moment du Bombardement
Massif Tardif semble être un processus efficace de formation d’anneaux denses autour des
planètes géantes du Système Solaire. Néanmoins, il semblerait que le processus soit le
moins efficace pour Saturne, qui pourtant est la seule planète aujourd’hui à conserver un
système d’anneaux importants. Une étude plus précise de la destruction des comètes et
de l’efficacité de capture par les planètes est nécessaire.
2.3.3
Le BMT et le scénario par destruction d’un satellite
Nous allons à présent étudier dans quelle mesure le BMT pourrait être une époque
judicieuse pour la destruction d’un satellite situé sous la limite de Roche de la planète.
2.3.3.0.5 Évolution orbitale du satellite
Nous avons vu précédemment que plusieurs mécanismes de migration dans la sousnébuleuse (gas drag, migration de type i) permettent d’amener un satellite primordial de
Saturne sous sa limite de Roche. Une fois la sous-nébuleuse dissipée, le satellite va être
amené à migrer par interaction de marée avec la planète, à un taux da/dt donné par
l’équation 2.2. Pour pouvoir former des anneaux à la suite de sa destruction, le satellite
doit être situé sous la limite de Roche au moment du BMT, soit 700 millions d’années
après la formation du Système Solaire (Gomes et al., 2005). Comme la masse des anneaux de Saturne est estimée être de l’ordre d’une à plusieurs masses de Mimas (Esposito
et al., 1983b), il est naturel de penser que le satellite éventuellement détruit aurait été
de plusieurs masses de Mimas. La migration de tels satellites est représentée sur la figure
2.6.
On constate que si le satellite se situe en-dessous de la limite de Roche au moment où
la sous-nébuleuse de Saturne s’est dissipée, il va rapidement tomber sur la planète (figure
2.6, carrés et triangles rouges). Seul un satellite d’une masse de Mimas serait encore
présent au moment du BMT, à 700 millions d’années (figure 2.6, diamants rouges). Les
satellites dont le demi-grand axe initial est situé légèrement au-delà de l’orbite synchrone
migrent vers l’extérieur plus lentement, du fait de la dépendance du taux de migration
en as−11/2 (équation 2.2). À l’époque du BMT, les satellites de 1 et 3 masses de Mimas se
trouveraient à ∼ 122 000 km et ∼ 132 000 km de la planète respectivement (figure 2.6,
diamants et triangles noirs). Le satellite de 5 masses de Mimas se trouve très légèrement
au-delà de la limite de Roche. Néanmoins si l’éjection des débris du satellite est isotrope,
alors une partie du matériau éjecté pourrait tout à fait se retrouver sous la limite de
Roche. Le reste du matériau aurait alors été possiblement réaccrété en un satellite qui,
par interaction avec le disque aurait ensuite migré vers l’extérieur (figure 2.6, carrés noirs).
Tout ceci est néanmoins à tempérer vis-à-vis de l’incertitude qui entoure la valeur du
facteur de dissipation QY . Les migrations de la figure 2.6 ont été obtenues avec QY = 105 ,
mais la valeur réelle pourrait être plus faible (Valery Lainey, communication personnelle).
77
Figure 2.6 – Migration de satellites de 1, 3 et 5 masses de Mimas, sous l’effet des marées avec Saturne.
Deux demi-grands axes initiaux sont étudiés : a0 = 108 000 km et a0 = 115 000 km. L’orbite synchrone
de Saturne est fixée à R = 112 000 km et on a utilisé QY = 105 .
Pour contraindre l’incertitude liée avec ce facteur, on peut étudier quelles valeurs de QY
permettrait qu’un satellite, situé initialement légèrement au-delà de l’orbite synchrone,
soit toujours sous la limite de Roche au bout de 700 millions d’années de migration. Ceci
est représenté sur la figure 2.7.
Plus le facteur de dissipation est important, moins le satellite migre (figure 2.7 et
équation 2.2). Pour un facteur de dissipation de l’ordre de 5×105 , la migration des satellites
est quasi nulle sur 700 millions d’années. Les valeurs minimales de QY pour lesquelles un
satellite est bien sous la limite de Roche à t = 700 millions d’années sont 2,1 × 104 ,
6,2 × 104 et 10,4 × 104 , pour des satellites de 1, 3 et 5 masses de Mimas respectivement
(figure 2.7, lignes verticales).
En conclusion, la présence d’un satellite de plusieurs masses de Mimas sous la limite
de Roche au moment du BMT nécessite les conditions suivantes :
– le satellite doit être situé légèrement au-delà de la limite de Roche au moment de
la dissipation de la sous-nébuleuse de Saturne ;
– si la masse du satellite est s im1 − 3 masses de Mimas, un facteur de dissipation de
l’ordre de ∼ 104 est suffisant, ce qui est en accord avec l’estimation QY > 1,6×104
indiquée par Dermott et al. (1988) ;
– la masse du satellite ne peut dépasser 4 − 5 masses de Mimas que si le facteur de
dissipation est plutôt de l’ordre de 105 ce qui semble moins plausible.
78
Figure 2.7 – Demi-grand axe d’un satellite après 700 millions d’années de migration pour différentes
masses de satellites et différentes valeurs du facteur de dissipation QY . Le demi-grand axe initial des satellites est a0 = 115 000 km.Les lignes verticales représentent la valeur minimale du facteur de dissipation
nécessaire pour qu’un satellite d’une masse donnée soit sous la limite de Roche au moment du BMT.
2.3.3.0.6 Probabilité de destruction du satellite
Après avoir montré qu’il semble possible de maintenir un satellite de plusieurs masses
de Mimas sous la limite de Roche jusqu’à l’époque du BMT, nous allons à présent étudier
la probabilité qu’un tel satellite soit effectivement détruit par l’un des objets de la ceinture
de Kuiper primordiale.
Comme on l’a vu précédemment, le satellite est pulvérisé lors de l’impact si le ratio
f entre la masse du plus gros fragment et la masse totale de l’objet initial (équation 2.3)
est inférieur à 0,5. Ceci, combiné aux résultats de Benz et Asphaug (1999) nous a permis
de déterminer la taille de l’impacteur nécessaire pour détruire un satellite de 1, 3 et 5
masses de Mimas : 17, 31 et 39 km respectivement.
Le nombre total d’objets de rayon rc qui impactent un satellite de rayon rs au cours
du BMT correspond au produit du nombre d’objets de taille rc disponibles dans le disque
primordial Nc (rc ), de la probabilité cumulative d’impact pcs ≈ 8,41 × 10−15 , du facteur
de focus gravitationnel, et de la section efficace géométrique de la comète et du satellite,
soit (Colwell, 1994) :
Y
NBMT (rs , rc ) = Nc (rc ) × 8,41 × 10−15
1
2
2
42
3
Y
Vesc
1
 rs + r c


1
+


2 4,69 km s−1
1 km


 
(2.10)
En combinant cette équation avec la distribution de taille des impacteurs (équation 2.9),
on peut calculer le nombre d’impacts de comètes d’une taille donnée sur un satellite, en
fonction de la taille de ce dernier. Ceci est représenté sur la figure 2.8.
79
Figure 2.8 – Nombre d’impacts d’une comète de taille donnée (en ordonnée) sur un satellite de taille
donnée (en abscisse). La ligne en pointillées correspond à la limite f = 0,5 au-dessus de laquelle le satellite
est détruit.
La courbe en pointillés rouges sur la figure 2.8 représente le seuil de destruction,
c’est à dire la taille minimale de comète causant un impact catastrophique (obtenue
avec f = 0,5). Il ressort de cette étude qu’un satellite de 1, 3 et 5 masses de Mimas
(rs ≈ 200, 300 et 350 km) subit environ 2,6, 1,5 et 1 impacts catastrophiques (figure 2.8).
La formation des anneaux de Saturne par destruction d’un satellite semble donc avoir été
possible à l’époque du Bombardement Massif Tardif.
2.4
Conclusion et perspectives
Nous avons vu que le Bombardement Massif Tardif, correspondant à un déferlement
à travers le Système Solaire des objets de la ceinture de Kuiper, causé par la traversée
par Saturne de la résonance 2 :1 de Jupiter ∼ 700 millions d’années après la formation
du Système Solaire, apporte des éclairages intéressants sur les scénarios de formation des
anneaux de Saturne
2.4.1
Le scénario de destruction de comètes par effets de marée
Le modèle de destruction de comète par les effets de marée exercés par la planète sur
un corps lors d’une rencontre proche, développé par Dones (1991) puis revisité par Dones
et al. (2007), concluait à la capture de 0,1 à 1 masses de Mimas avec le flux cométaire
actuel. Nous avons vu qu’un scénario similaire, mais basé sur le flux cométaire au moment
du Bombardement Massif Tardif, permettait la capture de ∼ 40 fois plus de masse autour
de Saturne (table 2.1.
80
Ce scénario apporte une réponse intéressante concernant l’absence de silicates dans
les anneaux de Saturne (Cuzzi et Estrada, 1998; Poulet et al., 2003; Nicholson et al., 2005).
Bien que ceci soit encore sujet à discussion, les grosses comètes sont vraisemblablement
des objets différenciés, c’est-à-dire constitués d’un cœur en silicates et d’un manteau en
glace. À titre d’exemple, un satellite comme Encelade ne mesure que 250 km de rayon,
mais semble bien être différencié (Schubert et al., 2007; Thomas et al., 2007b). Lorsque la
comète s’approche de la planète, son centre de masse, localisé au niveau de son cœur plus
dense, possède une énergie totale positive, et donc se déplace sur une orbite hyperbolique.
Le matériau localisé dans le manteau ne possède qu’une faible différence d’énergie, proportionnelle à sa distance au centre de masse (voir l’expression de ∆E dans l’équation 2.1).
Lorsque la comète est brisée par les effets de marée, le matériau qui est le plus facilement
capturé est celui qui se situe donc le plus loin du centre de masse. De ce fait, les débris
du manteau de glace seraient préférentiellement restés en orbite autour de la planète.
Néanmoins, ce scénario présente également un problème de taille. En effet les autres
planètes géantes auraient par ce mécanisme capturé encore plus de matériau que Saturne,
ce qui s’oppose au constat que les anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune sont diffus. Pour
expliquer ce paradoxe, on pourrait penser que la modélisation du flux d’impacteurs au
moment du BMT est erronée, mais ceci semble peu probable étant donné que la densité de
cratères du satellite Japet est correctement reproduite. Le problème vient probablement
plutôt d’une insuffisante modélisation des processus de capture, ou de l’instabilité du
matériau implanté. Enfin, il se peut également qu’un phénomène physique, pour l’instant
non identifié, ait contribué à éliminer les anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune, tout
en préservant ceux de Saturne. En l’absence de connaissances supplémentaires sur ces
points, il apparaît peu probable que les anneaux de Saturne aient pu être créés suivant ce
mécanisme.
2.4.2
Le scénario de destruction d’un satellite
2.4.2.1
Formation des anneaux de Saturne
L’hypothèse que les anneaux de Saturne aient été formés via un impact catastrophique sur un satellite avait déjà fait l’objet d’un certain nombre d’études (Pollack et al.,
1973; Pollack, 1975; Harris, 1984). Néanmoins, l’estimation de la masse des anneaux (1
à plusieurs masses de Mimas) a mis en lumière la nécessité de briser soit plusieurs petits
satellites, soit un seul gros objet. Or la réalisation d’un impact destructif sur un gros
satellite ne peut se faire que via un impacteur de taille significative : ∼ 20 km pour briser
un satellite d’une masse de Mimas. Le flux cométaire actuel est insuffisant pour qu’un tel
impact ait pu se produire avec une probabilité raisonable.
Nous avons vu qu’à l’époque du BMT, une très grande quantité d’objets de la
ceinture de Kuiper primordiale a bombardé l’environnement des planètes géantes. L’estimation de la probabilité de collision entre un satellite et une comète à une époque a
révélé qu’un satellite de 1, 3 et 5 masses de Mimas subirait environ 3, 2, et 1 impact
destructif pendant toute la durée du BMT. La formation des anneaux de Saturne semble
donc bien avoir été réalisable par destruction d’un satellite au moment du BMT, quelques
700 millions d’années après la formation du Système Solaire.
81
Ce scénario présente néanmoins un inconvénient concernant la composition des anneaux. En effet, comme on l’a dit, un satellite de plusieurs centaines de kilomètres aurait
vraisemblablement été différencié. Lors de l’impact d’une comète, les ondes sonores générées par la collision pourraient avoir traversé le manteau de glace, rebondi sur le cœur
dense en silicates, et pulvérisé l’enveloppe du satellite. Ce genre de processus a été mis en
évidence dans les simulations de formation de la Lune ou du système Pluton-Charon (Canup, 2005). Il est donc possible que le résultat de l’impact soit la formation d’un anneau
de glace à partir des débris du manteau, au milieu duquel se serait retrouvé le cœur en
silicates. La question se pose alors de savoir ce que serait devenu ce cœur. Par interaction
avec le disque, couplée aux marées de Saturne, il devrait migrer dans le disque, mais la
direction et le taux de migration nécessiteraient une étude en détail.
2.4.2.2
Et les autres planètes géantes dans tout ça ?
Ce scénario de destruction d’un satellite au cours du BMT semble apporter une
réponse intéressante à la question de la formation des anneaux de Saturne. Néanmoins
l’on est en droit de se demander si un tel processus n’aurait pas pu avoir lieu autour de
Jupiter, Uranus et Neptune. À cette effet, nous allons regarder un paramètre fondamental
du processus, à savoir la survie du satellite sous la limite de Roche jusqu’à l’époque du
BMT, soit ∼ 700 millions d’années. La migration d’un satellite de 3 masses de Mimas
dans l’environnement de chacune des planètes géantes est représentée sur la figure 2.9.
Figure 2.9 – Migration d’un satellite de 3 masses de Mimas dans l’environnement dynamique des quatre
planètes géantes du Système Solaire. Le satellite est placé initialement à une distance égale à 2 rayons
planétaires, et le facteur de dissipation est fixé à 105 . Le satellite ne peut pas survivre autour d’Uranus et
Neptune (carrés et croix), car ces planètes ont leur limite de Roche située en-deçà de l’orbite synchrone.
Le satellite autour de Jupiter semble capable de survivre tour juste assez longtemps (diamants).
La limite de Roche pour la glace est placée à 2,45 rayons planétaires. De ce fait,
82
Uranus et Neptune ont leur orbite synchrone située au-delà de la limite de Roche, et le satellite tombe sur la planète en quelques millions d’années (figure 2.9, carrés et croix). Dans
le cas de Saturne, le satellite migre lentement vers l’extérieur et se situe confortablement
sous la limite de Roche au moment du BMT (figure 2.9, triangles).
Le cas de Jupiter est moins tranché. Son orbite synchrone est, comme pour Saturne,
située sous la limite de Roche, mais la région située entre ces deux limites est bien plus
étroite pour Jupiter que pour Saturne. La probabilité qu’un satellite se trouve dans le
bonne région au moment du BMT est donc fortement réduite pour Jupiter. D’autre part,
dans le cas représenté sur la figure 2.9, le satellite se situe initialement légèrement sous
l’orbite synchrone de Jupiter. De ce fait le satellite tombe sur la planète, mais moins vite
que dans le cas d’Uranus et de Neptune, et pourrait survivre tout juste jusqu’à l’époque
du BMT (figure 2.9, diamants). Néanmoins, la densité moyenne des satellites de Jupiter
est supérieure à celle des satellites de Saturne, indiquant une composition plus riche en
silicates. De ce fait, si l’on utilise une densité de 2 000 kg m−3 pour les satellites de Jupiter,
on obtient une limite de Roche pour les silicates située à ∼ 2,14 rayons planétaires, soit
en-dessous de l’orbite synchrone située à ∼ 2,24 rayons planétaires. Ceci est à tempérer
par le fait que Jupiter semble présenter une plus forte dissipation que Saturne, avec un
facteur de dissipation d’au moins 105 , et atteignant même possiblement 106 (Peale, 2003).
La migration du satellite devrait donc être beaucoup plus lente, allongeant ainsi sa durée
de vie. Il semble donc difficile de conclure en ce qui concerne une possible formation
d’anneaux denses autour de Jupiter par destruction d’un satellite au moment du BMT.
Le fait de placer le satellite initialement à une distance égale à 2 rayons planétaires
est purement arbitraire. Ceci entraîne une remarque en particulier pour le cas de Jupiter,
car on peut imaginer une situation où le satellite serait initialement au-delà de l’orbite
synchrone tout en étant sous la limite de Roche. Néanmoins, dans le cas de Jupiter l’écart
entre ces deux limites est bien plus étroit que pour Saturne, et du fait de la migration
vers l’extérieur la survie du satellite sous la limite de Roche de Jupiter pendant 700
millions d’années, même avec une position initiale au-delà de l’orbite synchrone, semble
peut probable.
2.4.3
La question reste ouverte
En conclusion de cette étude, on peut affirmer que le Bombardement Massif Tardif
apparaît comme une époque appropriée à la formation d’anneaux denses au niveau des
planètes géantes de notre Système Solaire. De nouveaux éclairages ont été apportés, à la
fois sur le scénario impliquant la destruction de comètes et sur celui basé sur la destruction
d’un satellite.
Néanmoins, force est de constater que chacun des scénarios possède son lot d’ambiguïtés, et il serait bien difficile d’être ici catégorique sur le mécanisme qui aurait permis
la formation des anneaux denses de Saturne. Une étude plus précise des mécanismes de
capture et de destruction des comètes par effet de marée, mais aussi de la migration d’un
cœur dense au sein d’un anneau formé à partir des débris de son enveloppe, pourraient
permettre de trancher la question plus nettement.
On peut également envisager de contraindre la formation des anneaux en essayant
d’estimer leur âge. En effet, savoir s’ils sont plutôt vieux ou jeunes pourraient nous donner
83
des indications sur les évènements ayant conduit à leur formation. Pour cela, il va falloir
s’intéresser à l’évolution des anneaux, de façon à déterminer s’ils représentent un disque
très évolué (et donc « vieux »), ou si au contraire ils apparaissent comme étant dans les
premiers stades de leur évolution (et donc « jeunes »). Ceci fait l’objet du chapitre suivant.
84
Icarus 199 (2009) 413–428
Contents lists available at ScienceDirect
Icarus
www.elsevier.com/locate/icarus
Did Saturn’s rings form during the Late Heavy Bombardment?
Sébastien Charnoz a,∗ , Alessandro Morbidelli b , Luke Dones c , Julien Salmon a
a
b
c
UMR AIM, Université Paris Diderot/CEA/CNRS, CEA/SAp, Centre de l’Orme des Merisiers, 91191 Gif-Sur-Yvette Cedex, France
Université de Nice Sophia Antipolis, Observatoire de la Côte d’Azur, OCA, B.P. 4229, 06304 Nice Cedex 4, France
Southwest Research Institute, 1050 Walnut St., Suite 300, Boulder, CO 80302, USA
a r t i c l e
i n f o
a b s t r a c t
Article history:
Received 24 April 2008
Revised 29 September 2008
Accepted 18 October 2008
Available online 25 November 2008
Keywords:
Planetary formation
Comets
Saturn, rings
Kuiper Belt
The origin of Saturn’s massive ring system is still unknown. Two popular scenarios—the tidal splitting
of passing comets and the collisional destruction of a satellite—rely on a high cometary flux in the past.
In the present paper we attempt to quantify the cometary flux during the Late Heavy Bombardment
(LHB) to assess the likelihood of both scenarios. Our analysis relies on the so-called “Nice model” of
the origin of the LHB [Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., Levison, H.F., 2005. Nature 435, 459–461;
Morbidelli, A., Levison, H.H., Tsiganis, K., Gomes, R., 2005. Nature 435, 462–465; Gomes, R., Levison, H.F.,
Tsiganis, K., Morbidelli, A., 2005. Nature 435, 466–469] and on the size distribution of the primordial
trans-neptunian planetesimals constrained in [Charnoz, S., Morbidelli, A., 2007. Icarus 188, 468–480]. We
find that the cometary flux on Saturn during the LHB was so high that both scenarios for the formation of
Saturn rings are viable in principle. However, a more detailed study shows that the comet tidal disruption
scenario implies that all four giant planets should have comparable ring systems whereas the destroyed
satellite scenario would work only for Saturn, and perhaps Jupiter. This is because in Saturn’s system,
the synchronous orbit is interior to the Roche Limit, which is a necessary condition for maintaining
a satellite in the Roche Zone up to the time of the LHB. We also discuss the apparent elimination of
silicates from the ring parent body implied by the purity of the ice in Saturn’s rings. The LHB has also
strong implications for the survival of the saturnian satellites: all satellites smaller than Mimas would
have been destroyed during the LHB, whereas Enceladus would have had from 40% to 70% chance of
survival depending on the disruption model. In conclusion, these results suggest that the LHB is the
“sweet moment” for the formation of a massive ring system around Saturn.
 2008 Elsevier Inc. All rights reserved.
1. Introduction
The origin of Saturn’s main ring system is still an unsolved
question of modern planetary science. Whereas the origin of the
rings of Jupiter, Uranus and Neptune, as well as of the dusty E and
G rings of Saturn, seems to be linked to the presence of nearby
moonlets (via their destruction or surface erosion, see Esposito,
1993; Colwell, 1994; Burns et al., 2001; Hedman et al., 2007;
Porco et al., 2006), the unique characteristics of Saturn’s main
rings still challenge all scenarios for their origin. Saturn’s main
rings have a mass of the order of one to several Mimas masses
(Esposito et al., 1983; Esposito and Eliott, 2007; Stewart et al.,
2007) and are mainly composed of pure water ice, with only a
few contaminants (Cuzzi and Estrada, 1998; Poulet et al., 2003;
Nicholson et al., 2005).
Historically, three main scenarios for the origin of Saturn’s rings
have been suggested and are still debated. They can be summarized as follows:
*
Corresponding author.
E-mail address: [email protected] (S. Charnoz).
0019-1035/$ – see front matter
doi:10.1016/j.icarus.2008.10.019

2008 Elsevier Inc. All rights reserved.
(1) A satellite was originally in Saturn’s Roche Zone and was destroyed by a passing comet (Pollack et al., 1973; Pollack, 1975;
Harris, 1984).
(2) A massive comet (a Centaur object) was tidally disrupted during a close and slow encounter with Saturn (Dones, 1991;
Dones et al., 2007).
(3) The rings are the remnants of Saturn’s sub-nebula disk (Pollack
et al., 1973; Pollack, 1975).
The third scenario is less popular today, mainly because of the
strong difference in the average chemical composition of Saturn’s
rings compared with Saturn’s classical satellites (Harris, 1984)
which (in this scenario) should have originated from the same
disk. In the present paper, we will deal only with scenarios #1
and #2, which strongly depend on the passage of one, or several,
big “comets” very close to Saturn. A key question is: When might
such events have been possible?
The rings’ rapid evolutionary processes (viscous spreading of
the A ring, Esposito, 1986; surface darkening due to meteoritic impacts, Doyle et al., 1989; Cuzzi and Estrada, 1998) have argued for a
young ring system, perhaps less than 108 years old. This contrasts
414
S. Charnoz et al. / Icarus 199 (2009) 413–428
with the fact that the current rate of passing comets is far too low
for either of the scenarios above to have been likely during the last
billion years of the Solar System history (Harris, 1984; Dones, 1991;
Lissauer et al., 1988). However, some recent re-evaluations and
numerical modeling of ring evolutionary processes suggest that
the rings may be older than previously thought: the viscosity in
the dense rings seems now to be smaller than previously estimated, which results in longer spreading timescales (based on
numerical modeling of gravity wakes, see Daisaka et al., 2001);
Monte Carlo simulations of regolith growth show that an efficient re-surfacing of the ring particles is possible (Esposito and
Eliott, 2007), which may provide a solution to the surface darkening problem.
In addition, recent Cassini observations suggest the existence of
macroscopic bodies in the ring system. More specifically, the detection of “propeller”-shaped structures in Saturn’s A ring implies
the presence of 50–100 m bodies in Saturn’s A ring (Tiscareno et
al., 2006; Sremčević et al., 2007; Tiscareno et al., 2008) and the
strange shapes of Pan and Atlas (Charnoz et al., 2007; Porco et al.,
2007) show that 10–20 km bodies denser than ice (now covered
with ring particles) were probably present during the formation
of the rings. The existence of these macroscopic bodies gives new
support to a scenario of ring origin through the catastrophic disruption of a massive progenitor.
So the debate over the age of Saturn’s ring system is still open,
and the possibility that the rings are as old as the Solar System
must be considered seriously and examined in the light of recent
advances in our understanding of Solar System formation and evolution.
Clearly, a key element for any formation scenario of Saturn’s
rings is the bombardment history of the giant planets. This has
been investigated in several papers, with considerations based on
the surface density and size distribution of the craters on the regular satellites of the giant planets (Smith et al., 1981, 1982; Lissauer
et al., 1988; Zahnle et al., 2003). In Zahnle et al. (2003) the current impactor flux is derived from a model of the distribution
of ecliptic comets (Levison et al., 2000). For the impactors’ size
distribution, functions compatible with either Ganymede’s craters,
Triton’s craters or present day ecliptic comets are assumed. With
these assumptions, Zahnle et al. derive a cratering rate on Iapetus
that is between 2 × 10−16 km−2 year−1 and 8 × 10−15 km−2 year−1
(for craters with diameter D > 10 km). Integrated over the age of
the Solar System, these rates would imply a current density of D >
10 km craters that is between 10−6 km−2 and 3.5 × 10−5 km−2 .
Smith et al. (1982) report a D > 10 km crater surface density of
about 2.3 × 10−3 km−2 , and Neukum et al. (2005) report a surface density of about 8 × 10−4 km−2 . These numbers are 100
to 2000 times larger than the value estimated in Zahnle et al.
(2003), which argues that the present day comet-flux is much
lower than in the past. In other words, it argues that the satellites of the giant planets, like our Moon, experienced an intense
bombardment in the past. When this bombardment happened is
difficult to say, in the absence of direct chronological measurements. However, the fact that the ejecta blankets of the basins on
Iapetus overlap Iapetus’ equatorial ridge, together with the model
result that this ridge formed several hundred My after the accretion of the satellite (Castillo et al., 2007), suggest that the heavy
bombardment of the giant planets satellites was late, as for the
Moon.
Thus, in this paper we assume that the Late Heavy Bombardment (LHB) was a global event that concerned not only the Moon
and the planets in the inner Solar System, but also the giant planets and their satellites, as predicted by the so-called “Nice model”
(Tsiganis et al., 2005; Gomes et al., 2005; Morbidelli et al., 2005).
In Section 2 we briefly review the Nice model and in Section 3
we use it to compute the collision probability of trans-neptunian
planetesimals with the objects in Saturn’s system. In Section 4 we
discuss the possible size distributions of the impactors using constraints from (a) the Nice model, (b) the populations of comet-size
objects in the Scattered Disk and in the Oort Cloud and (c) the
crater record on Iapetus. With these premises, in Section 5 we assess the likelihood that the comet tidal disruption scenario and the
satellite collisional disruption scenario occurred during the LHB. In
the last section, we discuss the pros and cons of each scenario,
with considerations on the uniqueness of Saturn’s ring system and
on the missing silicate problem, i.e., the purity of the water ice in
Saturn’s rings.
2. The “Nice model” of the LHB
A comprehensive model for the origin of the LHB has been
recently proposed. This model—often called the “Nice model”—
quantitatively reproduces not only most of the LHB’s characteristics
(Gomes et al., 2005), but also the orbital architecture of the giant planet system: orbital separations, eccentricities, inclinations
(Tsiganis et al., 2005), the capture of the Trojan populations of
Jupiter (Morbidelli et al., 2005) and Neptune (Tsiganis et al., 2005;
Sheppard and Trujillo, 2006), the origin of the current structure of
the Kuiper Belt (Levison et al., 2008) and the capture of the irregular satellites of Saturn, Uranus and Neptune (Nesvorný et al.,
2007). In the Nice model, the giant planets are assumed to be
initially on nearly-circular and coplanar orbits, with orbital separations significantly smaller than those currently observed. More
precisely, the giant planet system is assumed to lie in the region
from ∼5.5 AU to ∼14 AU, and Saturn is assumed to be closer to
Jupiter than their mutual 1:2 mean motion resonance. A planetesimal disk is assumed to exist beyond the orbits of the giant planets,
on orbits whose dynamical lifetime is at least 3 My (the supposed
lifetime of the gas disk). The outer edge of the planetesimal disk
is assumed to be at ∼34 AU and the disk’s total mass is ∼35
Earth masses. With the above configuration, the planetesimals at
the inner edge of the disk evolve onto Neptune-scattering orbits
on a timescale of a few million years. Consequently, the migration of the giant planets proceeds at a very slow rate, governed
by the slow planetesimal escape rate from the disk. Because the
planetary system would be stable in the absence of interactions
with the planetesimals, this slow migration continues for a long
time, slightly slowing down as the unstable disk particles are removed from the system. After a long time, ranging from 350 My to
1.1 Gy in the simulations of Gomes et al. (2005)—which is consistent with the timing of the LHB, approximately 700–750 My after
planet formation—Jupiter and Saturn eventually cross their mutual 1:2 mean-motion resonance. This resonance crossing excites
their eccentricities to values slightly larger than those currently
observed. The small jump in Jupiter’s and Saturn’s eccentricities
destabilizes the motion of Uranus and Neptune, however. The ice
giants’ orbits become chaotic and start to approach each other.
Thus, a short phase of encounters follows the resonance-crossing
event. Consequently, both ice giants are scattered outward, onto
large eccentricity orbits (e ∼ 0.3–0.4) that penetrate deeply into
the disk. This destabilizes the full planetesimal disk and disk particles are scattered all over the Solar System. The eccentricities of
Uranus and Neptune and—to a lesser extent—of Jupiter and Saturn,
are damped in a few My due to the dynamical friction exerted by
the planetesimals. Thus, the planets decouple from each other, and
the phase of mutual encounters rapidly ends. During and after the
eccentricity damping phase, the giant planets continue their radial migration, and eventually reach their final current orbits when
most of the disk has been eliminated.
In the framework of this model, the LHB on the giant planets
and their satellites is caused by the trans-neptunian planetesimals
as they are dislodged from their primordial disk. Conversely, the
415
bombardment of the terrestrial planets has also a (possibly dominant) contribution by asteroids escaping from the main belt as
Jupiter and Saturn crossed their mutual 1:2 mean motion resonance and started to migrate toward their current relative location
(Gomes et al., 2005; Strom et al., 2005). In the following section
we use this model to quantify the impact rate at Saturn during the
LHB.
3. Impact rate at Saturn during the LHB
We consider the reference simulation of the Nice model, illustrated in Gomes et al. (2005). From the output of that simulation
we get the orbital elements semi-major axis, eccentricity, and inclination a(t , n), e (t , n), i (t , n) as a function of time t for each of
the N particles (n = 1, . . . , N), as well as for the giant planets. For
every a(t , n), e (t , n), i (t , n) the geometric intrinsic collision probability with Saturn p s (t , n) and the relative unperturbed velocity
V ∞ (t , n) are computed, averaging over all possible orbital configurations occurring during a precession cycle of the orbits. This
calculation is accomplished following Wetherill (1967), and using
a numerical code implemented by Farinella and Davis (1992) and
kindly provided to us. The number of collisions per unit time with
Saturn, P s (t , n), is given by:
¶
µ
2
V esc
_sat
P s (t , n) = p s (t , n) 1 +
R 2s ,
V (t , n)2∞
pc s (t ) =
p s (t ′ ) dt ′
Saturn
N LHB
(rs rc )
µ
µ
1
= N c (rc ) × 8.41 × 10−15 1 +
2
(1)
where R s is Saturn’s radius (set to 58,210 km, as an average of Saturn’s equatorial and polar radii, Yoder, 1995); V esc_sat is the escape
2
2
velocity from Saturn’s surface; and (1 + V esc
_sat / V ∞ (t , n) ) represents the so-called gravitational focusing factor. For each time t,
we then compute the average of p s (t , n) (called p s (t )) and of
V ∞ (t , n)2 (called V ∞ (t )2 ) over the N particles, weighted by the
collision probability P s (t , n). The cumulative impact probability pc s
at Saturn at time t:
Zt
Fig. 1. Time evolution p s (t ) (km−2 ): the cumulative mean intrinsic impact probability per particle at Saturn.
(2)
0
is shown in Fig. 1 (notice that in the computation of the average, p s (t , n) = 0 for particles that are not Saturn crossers or are no
longer active in the simulation). The surge at 850 My corresponds
to the trigger of the Late Heavy Bombardment and the achievement of a quasi-stationary value at ∼900 My indicates that the
overall duration of the LHB at Saturn is about 50 My. Note that
850 My is the time at which the giant planets instability occurred
in the reference simulation of Gomes et al. (2005); the lunar basins
chronology shows that in the real Solar System the instability may
have occurred at 700 My. At the end of the computation, we get
pc s (109 years) = 8.41 × 10−15 . This is the intrinsic collision probability with Saturn per particle in the disk. For comparison, Levison
et al. (2000) report that for today’s configuration of giant planets, the total intrinsic probability of ecliptic comets with Saturn is
5.6 × 10−15 , which is quite close to our estimate above. As for the
mean V ∞ our calculation gives 4.69 km/s, whereas for the current Solar System the mean V ∞ of ecliptic comets is ∼3 km/s.
These comparisons show that the dynamics of comets is weakly
dependent on the orbits of the Giant Planets so that, at the time
of the LHB, it was similar to that at the current time. Thus the
terrific bombardment at the LHB time relative to the current bombardment was simply due to the huge number of planetesimals
available at that time, as the primordial massive disk was dispersed.
Given the integrated intrinsic collision probability and relative
velocity reported above, the total number of impacts suffered by a
satellite of Saturn with radius rs during the LHB by a planetesimal
with radius rc is computed as (Colwell, 1994):
V esc
4.69 km/s
¶2 ¶µ
rs + rc
1 km
¶2
, (3)
where V esc is the escape velocity from Saturn’s potential well at
the satellite orbital distance, and N c (rc ) is the total number of
planetesimals of radius rc in the primordial disk. Equation (3) is
simply interpreted as the number of particles, times the intrinsic
impact probability, times the focusing factor at the satellite’s location, times the geometrical cross section. The factor of 2 in the
denominator of the gravitational focusing factor in Eq. (3) accounts
for the different geometry of a flux of impactors onto a satellite or
ring around a massive planet than onto the planet itself (Morfill
et al., 1983; Colwell, 1994; Cuzzi and Estrada, 1998). Both gravitational focusing factors are approximations to the true enhancement
of the impacting flux which depends on the details of the orbits
of the impactors. However, our results are quite insensitive to the
exact form chosen, and we prefer to use a single formula for all
bodies with fixed parameters for simplicity. Note that the number
of impacts on Saturn itself is simply obtained by removing the 12
factor from the focusing factor of Eq. (3), by setting rs to Saturn’s
radius and V esc to V esc_sat . By doing this, we find that the number of bodies from the primordial Kuiper Belt has a probability of
0.17% to strike Saturn, smaller than the 0.28% probability found by
Levison et al. (2000), due to the higher velocity at infinity during
the instability of the Nice model.
4. Cratering rate on Saturn’s satellites
In this section, we assume that bodies that impacted Saturn’s
system come from the primitive trans-neptunian disk, in agreement with the LHB scenario of the Nice model (Tsiganis et al.,
2005; Gomes et al., 2005). As a first attempt, we assume that
the planetesimals in this disk had the size distribution inferred by
Charnoz and Morbidelli (2007). The validity of the LHB model with
this size distribution is tested against the crater record of Iapetus,
which we describe first, because Iapetus is believed to be Saturn’s
satellite with the oldest surface (see below). Finally, to obtain a
better match with the data, we introduce a slight amendment to
the size distribution of Charnoz and Morbidelli (2007).
4.1. Crater record on Iapetus
In order to benchmark a LHB model for Saturn’s system, we
need to compare the cumulative impact rate predicted by the
416
Fig. 2. The two primordial size distributions of the trans-neptunian disk considered in the present paper. The CM07 distribution (taken from Charnoz and Morbidelli, 2007)
was originally proposed as a good match for producing today’s Kuiper Belt, Scattered Disk, and Oort Cloud. The Iapetus-scaled distribution (ISD) is a modification of CM07
in order to account for (i) craters observed on Iapetus and (ii) the lack of comets with D < 15 km in the inner Solar System (Zahnle et al., 2003). Error bars located at
R = 0.29 km, 2.9 and 6.5 km show the acceptable range of values for reproducing the abundance of craters on Iapetus, as reported in the second column of Table 1 (see
Section 4.2).
model with the crater density on the satellite surfaces that are
older than the LHB (i.e. 4.0 Gy).
Unfortunately, the saturnian system is a dangerous place for
satellites: due to its high mass, Saturn’s gravitational focusing is
effective, and comets falling into Saturn’s potential well are accelerated to high velocities before they reach Saturn’s satellites. These
velocities can be of the order of 30 km/s at a few Saturn radii
(about 6 times the impact velocity in the Asteroid Belt). For this
reason it has been argued for a long time that the majority of Saturn’s regular satellites might not be primordial (Smith et al., 1982;
Zahnle et al., 2003). If this is true, the surfaces of these satellites
may not have recorded the totality of the bombardment history
of the Saturn system. So our reference satellite must be chosen
carefully. Iapetus may be a good candidate: its fossil shape (corresponding to a hydrostatic body with a 16-h rotation period) implies
the presence of a strong lithosphere when the satellite was still rotating faster than today (Castillo et al., 2007). Moreover, a strong
heat source is required to be active at the time of Iapetus’ fast
rotation in order to melt its interior; this implies that when the
satellite formed, short-lived radioactive elements such as 26 Al had
to be present in large abundance, which in turn implies that the
satellite formed not later than 5 million years after the formation
of the first Solar System solids (Castillo et al., 2007). In addition, Iapetus might have had no endogenic activity since 200 My after its
formation (Castillo et al., 2007). Finally, Iapetus has the most heavily cratered surface of all of Saturn’s regular satellites (Porco et al.,
2005). Thus, all these arguments strongly suggest that the surface
age of Iapetus is comparable to the age of Saturn itself. Fortunately,
the surface of Iapetus has been observed at high resolution by
both Voyager (Smith et al., 1982) and Cassini (Castillo et al., 2007;
Giese et al., 2008), so we can take advantage of a large amount of
good data. For all these reasons, reproducing the main characteristics of the Iapetus crater record is a good test for constraining any
bombardment scenario. We will use three observational tests:
• The surface density of craters with diameter D larger than 10 km: it
was estimated to be 2.3 × 10−3 km−2 by Smith et al. (1982),
using a power law extrapolation calibrated on the number of
larger craters. It has been recently re-evaluated in Neukum et
al. (2005) using direct counts from Cassini images of Iapetus’
Table 1
Resulting cratering rates for CM07 and Iapetus-scaled size distribution of Kuiper Belt
objects (see Fig. 2) during the LHB on Iapetus.
Observation
Required
impactor
radiusa
Simulation
with CM07
distribution
Simulation
with ISD
distribution
Surface density of
D > 10 km craters on
Iapetus (km−2 )
3 ± 1 × 10−4 b 250 m
3 × 10−3
2.0 × 10−4
Surface density of
D > 100 km craters on
Iapetus (km−2 )
7 ± 2 × 10−6 b 2.9 km
7.7 × 10−6
6.5 × 10−6
Number of D > 300 km
basins on Iapetus
10–15c
6.7
13
6.5 km
a
The required impactor radius is computed using the Melosh (1989) cratering
model.
b
From Fig. 2 of Neukum et al. (2005).
c
Extrapolated from D > 300 km basins found on Iapetus’ leading side (Giese et
al., 2008).
dark terrains. From Fig. 2 in Neukum et al. (2005), we read
∼3 ± 1 × 10−4 km−2 craters with diameter D > 10 km. We will
use the latest published value (Neukum et al., 2005), although
we are aware that crater counting is a particularly difficult task
that could be very author-dependent.
• The surface density of craters with diameter D larger than 100 km:
from Fig. 2 of Neukum et al. (2005) we read off 7 ± 1 ×
10−6 km−2 .
• The number of basins larger than 300 km diameter: Giese et al.
(2008) report that about 7 basins with D > 300 km are observed on Iapetus’ bright side. Crater counting also reveals at
least two basins on the dark side (Denk et al., 2008), although
this count could be still incomplete. A reasonable range could
be that between 10 and 15 D > 300 km basins are present on
Iapetus’ surface (Tilmann Denk, private communication).
These numbers are reported in the second column of Table 1.
To convert crater diameter into an impactor size, we use the model
by Melosh (1989). We assume that the impact velocity on Iapetus is 7.4 km/s, which is the square root of the quadratic sum
of Iapetus’ orbital velocity, Iapetus’ escape velocity, the escape
velocity from Saturn at Iapetus’ distance, and the mean velocity
at infinity of the projectiles (see Section 2). Note that Zahnle et
al. (2003) give a mean impact velocity on Iapetus of 6.1 km/s,
which is slightly smaller than our value because of the somewhat smaller velocities at infinity that are typical of presentday ecliptic comets encountering Saturn. We assume that both
Iapetus and the impactors have densities close to 1000 kg/m3
(Jacobson et al., 2006). The model also depends on the transient
crater diameter D tr , which may differ from the observed diameter D, when D is larger than a critical diameter D t (Melosh, 1989;
Cintala and Grieve, 1998). When D > D t the crater is called “complex” and a correction factor must be applied on D. For Iapetus
leading face, the transition diameter from simple to complex crater
is D t = 11 ± 3 km (Giese et al., 2008). So D = 10 km craters could
be considered as simple craters with D tr = 10 km. Conversely,
100 km and 300 km diameter craters are complex and Giese et
al. (2008) recommend D tr = D /2.7 = 37 and 111 km respectively.
With these numbers, the projectile sizes are derived following
Melosh (1989): impactors with radii of 290 m, 2.9 km and 6.5 km
are needed to form D = 10 km, 100 km and 300 km craters on Iapetus, respectively. Therefore, we assume that the crater densities
reported above correspond to the cumulative impact rate over Saturn’s history for projectiles of these sizes. We use these numbers
below to test the validity of our LHB model.
4.2. The initial size distribution of planetesimals in the trans-neptunian
disk
In the Nice model of the LHB the reservoir of the giant planet
impactors is the massive trans-neptunian disk extending up to ∼35
AU (see Section 2). This disk is the progenitor of the current Kuiper
Belt. So, we can use the size distribution of the Kuiper Belt to
infer the size distribution in the primordial disk. It is now well
accepted that the current Kuiper Belt shows a deficit of mass relative to its primordial content. The current mass of the Kuiper Belt
is estimated to be 0.01 to 0.1 Earth masses (Bernstein et al., 2004;
Gladman et al., 2001; Petit et al., 2006), whereas the estimated initial mass is about 10-30 M⊕ (Stern and Colwell, 1997; Kenyon and
Bromley, 2004; see Morbidelli and Brown, 2004, for a review). The
mechanisms proposed to explain this mass deficit can be grouped
into two broad categories, each of which implies a different initial
size distribution: (i) collisional grinding scenarios or (ii) dynamical
depletion scenarios. In the collisional grinding scenarios (see e.g.,
Kenyon et al., 2008, for a review) the initial population of big objects (with average radii r > 100 km) was never significantly larger
than today’s population (bodies of such size cannot be destroyed
by collisions; Davis and Farinella, 1997), and the missing mass was
entirely carried by small bodies, which are easy to fragment. From
the quantitative point of view, if the collisional grinding scenario is
correct, the primordial size distribution at the big size end had to
be the same as the current one, culminating with 1–2 Pluto-size
bodies (Pluto’s diameter ∼2400 km). The current steep size distribution (differential power law index q ∼ −4.5, now valid only
down to bodies with diameters of ∼100 km; Bernstein et al., 2004;
Fuentes and Holman, 2008) had to be valid down to meter-size
bodies (Kenyon and Bromley, 2001). However, it has been recently
shown (Charnoz and Morbidelli, 2007) that such a primordial distribution would raise a problem for both the Scattered Disk (SD
hereafter) and the Oort Cloud (OC hereafter) which also originated,
like the Kuiper Belt, from the same planetesimal disk. In fact, because of the effective collisional grinding imposed by the steep size
distribution, both the SD and the OC would now be deficient in
1–10 km comets by a few orders of magnitude, relative to the current population estimates derived from the flux of Jupiter-family
and long-period comets.
417
This problem is solved if one assumes that the mass depletion
of the Kuiper Belt is due to dynamical processes and not to collisional grinding. In the Nice model, only a tiny fraction of the
original disk planetesimals (of order ∼0.1%) was implanted into
the current belt during the large-eccentricity phase of Neptune’s
evolution, and survived there up to the present time (Levison et al.,
2008). Because dynamical processes are size-independent, the Nice
model—as well as any other dynamical depletion model—requires
that the initial size distribution in the disk was the same as that
observed today in the KB, but multiplied by a size-independent
factor (corresponding to the current mass deficit factor, of order of
100 to 1000). Thus, inspired by the current Kuiper Belt size distribution (Bernstein et al., 2004), Charnoz and Morbidelli (2007)
assumed:
( dN
dr
dN
dr
∝ r −3.5 , for r < 100 km,
∝ r −4.5 , for r > 100 km,
(4)
and showed that in this case both the Scattered Disk and the
Oort Cloud would contain a number of 1–10 km objects consistent
with the population estimates obtained from the observed fluxes
of comets.
In order to have ∼30 M⊕ of planetesimals in the outer Solar
System, with the size distribution of Eq. (4), about 300 Pluto-sized
bodies had to be present initially. This distribution is called CM07
hereafter (Fig. 2, dotted line). Using the intrinsic collision rates
derived in Section 2, and assuming that comets with r > 290 m
produce craters with D > 10 km, the resulting surface density of
craters with D > 10 km would be 0.0023/km2 . This compares well
with the crater density estimated by Smith et al. (1982). However, as we said in Section 4.1, the crater density computed in
Neukum et al. (2005) might be more correct, and it is almost an
order of magnitude smaller (see Table 1, fourth column). The resulting surface density of D > 100 km craters is 7.7 × 10−6 /km2 ,
in very good agreement with Neukum et al. (2005). Concerning
basins with D > 300 km, our model predicts a number of ∼6.7, in
reasonable agreement with the estimates (between 10 and 15 in
total, see Section 4.1).
This essentially validates, at least at the order of magnitude
level, the Nice model of the LHB with the disk planetesimal size
distribution of Eq. (4). Below, we discuss a slight amendment of
the size distribution that allows us to achieve a better match with
the Neukum et al. (2005) count of D = 10 km craters, and with
the number of basins on Iapetus’ surface
4.3. An Iapetus-scaled size distribution
As we have seen, the Nice model of the LHB, with the size
distribution of Eq. (4), might overestimate the number of craters
caused by projectiles ∼300 m in radius. The crater records on
Jupiter’s satellites indeed suggest that the population of comets
with diameter <20 km have a substantial deficit compared to a
power law extrapolation with an exponent q = −3.5 (as in Eq. (4)),
calibrated on the number of large bodies (Zahnle et al., 2003). In
fact the exact location of the knee in the crater size-distribution
is uncertain and could be anywhere between 1 and 20 km diameter (Lowry et al., 2003; Zahnle et al., 2003). This deficit of small
size objects may be due to cometary disruption in the inner Solar
System, or could be primordial, reflecting the size distribution of
bodies in the Scattered Disk (see e.g., Whitman et al., 2006, for
a discussion). Several authors agree that the cumulative powerlaw index of the size distribution of comets with diameters less
than 15 or 20 km is in the range −1.4 to −1.6 (Donnison, 1986;
Lowry et al., 2003; Zahnle et al., 2003; Whitman et al., 2006;
Fernández and Morbidelli, 2006). So a cumulative exponent of
−1.5 (corresponding to a −2.5 differential index) will be used
418
as an intermediate value, for comets with diameter smaller than
15 km.
After testing different possibilities, and assuming that the original distribution was a combination of simple power laws, we adopt
the following “Iapetus Scaled Distribution” (ISD hereafter):

dN

∝ r −4.5 , for r > 100 km,

 dr
dN
∝ r −3.5 , for 7.5 km < r < 100 km,
dr


 dN
∝ r −2.5 , for r < 7.5 km,
dr
(5)
with 800 Pluto-sized bodies (see Fig. 2, distribution in bold line).
With this size distribution, the number of D > 300 km basins
on Iapetus increases to 13, in good agreement with what is observed (between 10 and 15 basins on Iapetus) and the density of
craters with D > 10 km and D > 100 km shifts to 2.0 × 10−4 km−2
and 6.5 × 10−6 km−2 respectively, in very good agreement with
the Neukum et al. estimates (Section 4.1 and Table 1, fifth column). Moreover, we stress that the assumption of the existence of
∼800 Pluto-size objects (instead of 300) is also in better agreement with the Nice model (which implies ∼1000 Plutos in the
disk, see Levison et al., 2008).
Notice that the size distribution in Charnoz and Morbidelli
(2007) (see Eq. (4)) was derived from considerations on the number of 500-m comets in the Oort Cloud and in the Scattered Disk.
With the distribution of Eq. (5), the number of 500-m objects is
decreased by a factor of 7.5, relative to the distribution of Eq. (4).
On the other hand, the shallower distribution of Eq. (5) would give
less collisional grinding than estimated in Charnoz and Morbidelli,
so that the final numbers of 500-m comets in the Oort Cloud and
in the SD would probably agree within a factor of a few with the
values in CM07. Moreover, if the shallow distribution of cometary
nuclei is due to their physical disruption before they reach Saturn’s
system, Eq. (5) should be interpreted as the size distribution of the
projectiles on Saturn’s system, and not as the original size distribution in the planetesimal disk. The latter can still have a slope with
q ∼ −3.5, as in Eq. (4) and in Charnoz and Morbidelli (2007).
Using a size distribution with three slopes may seem artificial,
at first sight, just to match the Iapetus’ crater density. However,
we remind the reader that this size distribution comes from selfconsistent considerations with the formation of the Kuiper Belt,
Scattered Disk and Oort Cloud, which imposes the two slopes beyond R = 7.5 km (Charnoz and Morbidelli, 2007). The slope below
7.5 km is severely constrained by the crater record on Iapetus (see
Fig. 2). This is illustrated by the error bars displayed in Fig. 2 (error bars are derived from the uncertainties reported in the second
column of Table 1). We note that these are very narrow ranges,
and that the three constraints on Iapetus’ craters are met by a
same slope of our size distribution, suggesting this is quite robust
in the frame of our assumptions: (1) KBOs are the primary source
of impactors on Iapetus and (2) the 12 term in front of the focusing
factor in Eq. (3) is correct (see Section 3). In the case the 12 factor
is wrong (an should be replaced by 1), we can still get a very good
fit to the data using the size distribution of Eq. (5), but scaling it
to 600 Pluto-sized bodies (rather than 800), and the results of the
paper remain unchanged.
Fig. 3. Fraction of particles starting in the primordial trans-neptunian disk impacting
the giant-planet’s surface with velocity at infinity smaller than a given value.
tion of one, or several, comets passing inside Saturn’s Roche Zone
on a hyperbolic orbit with a low asymptotic velocity ( V ∞ ). During
the tidal disruption event, the orbital energy is spread among the
fragments. As a consequence, a fraction of the comet’s fragments
can be captured on bound orbits around the planet, while the rest
escape from the sphere of influence of the planet (Dones, 1991).
Then, the collisions among the captured fragments circularize the
fragments’ orbits, reduce the semi-major axes, and grind the fragments down to smaller sizes. Subsequently, dissipation in physical
collisions flattens the particle swarm into a thin disk, forming a
ring system of centimeter-to-meter-sized particles. In this scenario
the incoming comets must pass close enough to Saturn and with a
sufficiently low relative velocity at infinity. On the basis of simple
energetic considerations, the fraction of cometary material that is
captured onto a bound orbit with initial apocenter distance smaller
than R stab is (Dones, 1991):
f =
2
0.91 E − GMs / R stab − 0.5V ∞
1.81 E
,
(6)
where 1 E = GMs rc /q2 stands for the difference in orbital energy
across a comet with radius rc , whose closest approach distance to
the center of Saturn is q. The fraction of mass that is captured
depends on (i) the distance of closest approach, (ii) the comet’s radius, and (iii) on the velocity at infinity. R stab must be smaller than
Saturn’s Hill radius. To estimate the total implanted mass, we first
compute the distribution of V ∞ of passing comets from the numerical simulations of the Nice model. This distribution is shown
in cumulative form in Fig. 3. Then, for each size bin in the comet
size distribution, we compute two arrays in (q, V ∞ ):
• N (q, V ∞ ): the number of comets approaching the planet,
5. Implications for the origin of Saturn’s ring system
On the basis of the Nice model for the LHB and the projectile
size distribution given in Eq. (5), we now revisit the two main scenarios for the formation of Saturn’s rings.
5.1. Scenario 1: Tidally disrupted comets
As suggested in Dones (1991) and in Dones et al. (2007), a possible scenario for the formation of Saturn’s rings is the tidal disrup-
which can be a non-integer quantity, as it is obtained by multiplying the encounter probability P (q, V ∞ ) by the number of
comets in the size distribution of Eq. (5). This quantity is the
same for comets of all sizes.
• f (q, V ∞ , rc ): The mass fraction of a comet (with radius rc ,
passing at pericenter q with a velocity V ∞ ) that is captured
onto a planetocentric orbit, as given by Eq. (6).
The pericenter distance q was binned in 100 bins ranging from
1 Rs to 2.5 Rs and V ∞ was binned in 100 bins between 0 and
419
Fig. 4. Mass injected into Saturn’s Hill sphere via tidal disruption of comets. Top: Cumulative distribution of debris’ apocenters. Note the pericenters are between 1 and 2
planetary radii. Bottom: Mass injected as a function of the comet size. The ISD distribution of impactors was used here (see Section 4.3 and Fig. 2).
Table 2
Statistics on masses and angular momentum implanted below R stab for 100 simulations of comets passing around each of the giant planets. Masses are in units of Mimas’
mass, distance in units of the planet’s radius, and GM = 1 for each planet.
Implanted mass
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptune
Below the planet
Hill radius
Mean mass = 245.591
Median mass = 139.978
1 sigma mass dispersion =
212.126
Mean mass = 47.9874
85.0293
Mean mass = 132.369
169.888
Mean mass = 247.969
216.153
Mean angular momentum =
0.541337
Mean angular momentum =
−1.82926
Mean momentum = −1.98800
Mean momentum = −5.32988
Median momentum =
−0.0628934
Median momentum =
−0.0270548
Median momentum =
0.113855
Median momentum =
0.181543
Angular momentum standard
deviation = 23.1733
deviation = 7.56165
deviation = 35.9674
deviation = 46.3779
With apocenter below
50 planet radii
Mean mass = 0.
Median mass = 0.
0/100 events
Mean mass = 6.50
Median mass = 0.
3/100 events
Mean mass = 3.76
Median mass = 0.
15/100 events
Mean mass = 29.02
Median mass = 0.
35/100 events
With apocenter below
20 planet radii
Mean mass = 0.
Median mass = 0.
0/100 events
Mean mass = 0.
Median mass = 0.
0/100 events
Mean mass = 2.57
Median mass = 0.0
4/100 events
Mean mass = 12.25
Median mass = 0.0
4/100 events
10 km/s. The total implanted mass is obtained by summing all bins
of F × N × mcomet (with the comet mass 4/3π rc3 × 1000 kg/m3 ). Because it turns out that most of the implanted mass is provided by
the most massive bodies (objects with radii from 500 to 2000 km;
see Fig. 4) during rare events (i.e. with the total expected number of events N < 1), we decided to use a Monte Carlo simulation,
in the spirit of Dones (1991), in which we determine the number of events using a random number generator and considering
that the fractional part of N is the probability for the last event to
happen. Obviously the use of the Monte Carlo approach is significant only for the cases with N 6 1, but—as we said above—these
rare events are those that carry most of the mass (lower panel of
Fig. 4). In total we did 100 Monte Carlo simulations for each planet
and computed the mean and median mass implanted as a function
of R stab (see Table 2).
The fact that the mean and median values appear very different is precisely an indication that most of the mass is carried in
events with a probability to happen smaller than unity. This is also
illustrated by the large dispersion of the values. We find that the
mass captured around Saturn by tidal splitting of passing comets
is big, of order of tens of times of the mass of Mimas, at least for a
large initial apocenter distance R stab . We repeated the calculations
for the other giant planets and, ironically, Saturn turns out to be
the planet that captures the smallest amount of material, whereas
Neptune is the planet that captures the largest amount. This is
a consequence of several factors: Neptune is the densest and the
most distant of all the giant planets, so that the ratio between its
physical radius and its Hill radius is the smallest (for instance, Neptune’s Hill radius is about 4700 planetary radii whereas Saturn’s
Hill radius is only 1100 planetary radii). Note also that Neptune’s
Hill radius is about twice as large as Saturn’s Hill radius in physical units. All this results in a larger efficiency of capture: indeed,
a little algebra with Eq. (6) shows that f increases with smaller
values of q (comparable to the planet’s radius) and larger values
of R stab (comparable to the planet’s Hill sphere). In addition, because Neptune is the closest planet to the outer planetesimal disk
(at least from the time of the triggering of the LHB) the number of
comets passing close to Neptune is the largest among all four giant
planets. In conclusion, the tidally disrupted comet scenario seems
to work, in principle, during the LHB, but it has a big problem: it
predicts that all giant planets should have acquired rings at least
as massive as Saturn’s.
Unless the LHB model is totally wrong in predicting the relative
fluxes of comets in the vicinity of the giant planets (this seems
420
Fig. 5. Distribution of apocenters (total mass of cometary debris with orbit’ apocenters are below a given distance) for material injected into the Hill Sphere of the four giant
planets. Masses are in units of Mimas. For each planet, 10 different LHB events were generated (using a Monte-Carlo procedure), and averaged to produce this plot.
unlikely because, as we remarked in Section 2, the dynamics of
the comets in the Nice model is very similar to the current one,
so that it is not very sensitive to the exact planetary evolution; in
other words: how could comets encounter Saturn but not Jupiter,
Uranus and Neptune?), something must make the tidal disruption
scenario much less efficient than it seems at a first examination.
A possible explanation for a lower efficiency is that tidally disrupted comets should be roughly half on prograde orbits and half
on retrograde orbits with respect to the planet (Zahnle et al., 1998;
Levison et al., 2000). Thus the total angular momentum of the
debris of all comets taken together should be close to zero. Consequently, collisional damping—which changes a and e but preserves
the total angular momentum—should cause the fall of most of the
material onto the planet. To test this effect, the implanted total
orbital momentum carried by the trapped material was also computed (Table 2). It is defined as:
J tot =
X
fragments: f
q
r × mf GMs af 1 − e 2f ,
¡
¢
(7)
where mf , af and e f are the total mass, semi-major axis and eccentricity of the ensemble of objects captured from the splitting of
one comet, and r is set to be +1 or −1 at random with equal
probabilities. Statistics on the distribution of implanted angular
momentum are reported in Table 2. Positive and negative angular
momentum mean prograde and retrograde rotation, respectively.
We see again that large variations are possible and that on average, as for the total implanted mass, the final angular momentum
budget is dominated by a few rare events involving massive objects
because: (i) the angular momentum is directly proportional to the
mass of the incoming body and (ii) the biggest comets implant
their fragments on orbits with lower values of eccentricity, which
in turn have a larger angular momentum, increasing the relative
weight of the largest incoming bodies. We see also that the standard deviation of the implanted angular momentum exceeds by
far the its average value. It is then impossible to predict a-priori
what the sign of the total angular momentum of the resulting ring
system will be. If such an explanation was valid to explain the
origin of planetary rings in our Solar System, we should observe
some rings orbiting in the prograde direction, and others in the
retrograde direction, which is obviously not the case. So, this explanation does not seem to work.
Another possible explanation is suggested by Table 2 (two last
rows) and highlighted in the top panel of Fig. 5. For all giant planets, the vast majority of the material captured from the tidal disruption events has an initial apocenter distance larger than several
hundred times the planetary radius, namely orbital eccentricities
larger than 0.99. Material on such high eccentricity orbits may be
very unstable and small perturbations (collisions or gravitational
perturbations) may eject it from Saturn’s sphere of influence. The
distribution of apocenter distances (from which we derived the
distribution of eccentricities) is computed simply by assuming a
uniform distribution of orbital energies for the fragments (Eq. (6)
is based on this assumption; see Dones, 1991), and varying the
value of R stab acting like the value of apocenter. The apocenter distribution falls abruptly within a few tens of planetary radii. In fact,
a little algebra shows that the minimum comet radius for implanting material with apocenter smaller than R stab is R min ≈ q2 / R stab
(assuming V ∞ = 0, the most optimistic case, see Dones, 1991).
For Saturn we obtain R min = 62 km, 1200 km, and 3016 km for
R stab = 1000, 50 and 20 R s , respectively. Since KBOs with radii
larger than 2500 km are very rare in our impactor distribution
(Eq. (5)), no mass can be implanted on orbits with apocenter distances below 20 Saturn radii, resulting in eccentricities larger than
0.9 (since the pericenter is around 1 planetary radius). So, given
that most of the captured mass consists of fragments on nearlyparabolic orbits, it is difficult to say which fraction of this material
could survive tiny perturbations (solar perturbations, perturbations
from passing planetesimals or scattering from the regular satellites
of the planets may eject the material from the saturnian system).
Also, a fraction of the captured material may collide with the satellites of the planet.
A third possible explanation is that the Dones (1991) model of
tidal capture assumes that the incoming body breaks into an infinite number of particles, each on its own keplerian orbit. Models
of tidal disruptions can be very different, depending on the material strength and structure (e.g., rubble pile or solid body) and
for the moment we have no idea of the internal structure of primordial bodies of the large Kuiper Belt objects. However, some
studies of tidal splitting (Dobrolovskis, 1990; Davidsson, 1999;
Holsapple and Michel, 2008) suggest that one main fracture fault
appears in the body structure and thus the body could split into a
few big objects rather than into a huge number of small particles.
These big objects could be more likely to return to infinity as they
contain a significant fraction of the total energy of the incoming
progenitor, which is positive.
A final possibility is that the rings of Uranus, Neptune and
Jupiter, are destroyed by some processes in less than 4.5 Gy, which
would explain why they are so tenuous today. However, this would
not explain why they all four rotate in the prograde direction,
given that numerical simulation suggest near equal probabilities
for prograde or retrograde rings (see above, and Table 2). How-
ever, a substantial mass delivery to the four giant planets seems
unavoidable, and its consequence are not still understood. Because
of conservation of angular momentum and collisional evolution,
a fraction of this exogenic material may end in the planet’s Roche
Zone, but what fraction? On which timescale? On what orbits? For
the moment we do not know and this deserves to be studied in
the future.
In summary, it is likely that tidal disruption is only part of the
story, but not the full story in the formation of rings, and that
other, low-efficiency factors should enter into the game. We will
return to this in the discussion section.
5.2. Scenario 2: Collisional destruction of a primordial satellite
Given that the estimated mass of Saturn’s rings (e.g., Esposito
et al., 1983; Esposito and Eliott, 2007; Stewart et al., 2007) is typical of Saturn’s main satellites (of the order of Mimas’ mass), it has
been proposed that Saturn’s rings could have been produced by
the break-up of an ancient satellite, destroyed by a passing comet
(Pollack et al., 1973; Pollack, 1975; Harris, 1984). Before estimating
the impact probabilities, we must comment on some intrinsic difficulties of this scenario. One of the most difficult points is: how
to bring a satellite with a radius of order of 200–400 km inside
Saturn’s Roche Zone? Another point is: could a satellite survive
and remain in the Roche Zone until the LHB begins, 700 My after
planet formation? We try to address these two questions below.
5.2.1. Implanting a satellite in Saturn’s Roche Zone
In recent years, it has been proposed that regular satellites
of the giant planets form in “gas-starved” circumplanetary disks
(Canup and Ward, 2002, 2006). This model is appealing for two
reasons: (i) it explains why the total mass of a satellite system
scales approximately linearly with the mass of the central planet,
with a typical mass ratio of ∼10−4 (corresponding to ∼1500 Mimas’ masses for Saturn’s system) and (ii) it predicts a relatively late
formation of the surviving satellites, consistent with the observation that Jupiter’s satellite Callisto appears not to be differentiated.
In the Canup and Ward scenario, the satellites suffer an inward
type-I migration through the circumplanetary disk, and all satellites that form early are lost by collision onto the planet. When
the circumplanetary nebula disappears, type-I migration stops and
the surviving satellites remain frozen on the orbits that they have
achieved at the time. In this context, it is not unlikely that a satellite is eventually found inside the planet’s Roche Zone, brought
there by type-I migration but not driven all the way into the planet
because of the timely disappearance of the disk (see e.g., Fig. 1 in
the Supplementary Online Material of Canup and Ward, 2006).
5.2.2. Survival in Saturn’s Roche Zone
Once in Saturn’s Roche Zone at distance a0 , and after the
dissipation of Saturn’s sub-nebula, the satellite’s orbit and internal structure would be affected by the tidal interaction with the
planet. Given that the dissipation of the nebula happened within
∼10 million years, while the LHB happened about 700 million
years later, it is important to address what may happen to a
satellite Saturn’s Roche Zone during this long time interval. We
comment below on two critical aspects: (1) tidal splitting and (2)
tidally driven migration.
it migrated into the Roche Zone, the particles would have suffered an intense aerodynamic drag due to the gas that still had
to be present in order to drive the migration of the satellite. Consequently, solid material would have been rapidly evacuated into
the planet. In summary, a debris disk resulting from a satellite destruction created prior to the dissipation of the nebula would not
survive. On the other hand, studies of tidal splitting show that a
spherical satellite, assembled outside the Roche Limit and brought
close to the planet, would survive quite deep inside the planet’s
classical Roche Zone, mainly because it is solid and not liquid
(Holsapple and Michel, 2006). In a model relevant for spheres on
circular and spin-locked orbits, Dobrolovskis (1990) showed that
the fracture regime depends on the relative values of the tensile strength, T , to the satellite’s internal pressure P 0 (Davidsson,
1999):
P0 =
2
3
G πρs2 R 2s .
(8)
For a satellite with R s ∼ 250 km and ρp = 1000 kg/m3 , we get
P 0 ∼ 8.7 × 106 Pa. As a rule of thumb, we assume T ∼ 3 × 107 Pa,
halfway between pure rock and pure ice (Dobrolovskis, 1990).
Thus, depending on the fracture regime, the distance for tidal
splitting could be well inside the Roche Zone—between 0.6 to 1.3
planetary radii (Eqs. (5) to (11) of Davidsson, 1999), i.e., below
76,000 km in the case of Saturn. We also note that another similar
model suggests that a 100 km radius satellite can survive undisrupted at 100,000 km from Saturn’s center, i.e., where the B ring
currently lies (Goldreich and Tremaine, 1982). So it seems that a
satellite with dimensions comparable to Mimas may survive deep
inside the classical Roche Zone: it could be elongated in Saturn’s
direction, but not broken. Moreover, even if tidal splitting occurred,
the process might not grind a satellite all the way into small particles; instead, big chunks of material, with stronger tensile strength,
might survive undestroyed (Keith Holsapple, private communication).
So it seems unavoidable that a destruction process different
from tidal splitting is required to break the satellite into small
particles, even if the satellite was originally in the Roche Zone.
A cometary impact during the LHB could be a solution, as discussed in Section 5.2.3. We note also that satellites, some with
radii approaching 100 km, orbiting in the Roche Zone of their hosting planet are not so rare in the Solar System, strengthening the
above arguments: Phobos orbits deep inside Mars’ Roche Zone,
Amalthea orbits in Jupiter’s Roche Zone; Pan and Daphnis orbit
in Saturn’s Roche Zone; and Naiad, Thalassa, Despina, Galatea, and
Larissa orbit in Neptune’s Roche Zone. We come back to this point
in Section 6.2.2.
5.2.2.2. Orbital evolution inside the Roche Zone When a satellite is
close to a planet, it raises a tidal bulge which, in turn, induces an
orbital migration of the satellite itself. The migration direction depends on the satellite’s position, a0 , relative to the Synchronous
orbit as (as ∼ 112,000 km for Saturn, assuming a planetary rotation period of ∼10 h, 40 min). If a0 < as then the satellite’s
semi-major axis, a(t ), decays due to transfer of angular momentum to the planet. Conversely, for a0 > as a(t ) increases due to
angular momentum transfer to the satellite. The time evolution of
a(t ) is given by (Murray and Dermott, 1999):
da
5.2.2.1. The tidal splitting of the satellite A popular—but simplistic—
idea is that if a satellite enters a planet’s Roche Zone, it is rapidly
destroyed because of tidal stresses, so that its fragments should
eventually form a ring. However, simple arguments may refute
such a scenario: on the one hand, if the satellite were ground
to small particles, with sizes of order of mm to cm, as soon as
421
dt
= sign(a − as )
3k2p ms G 1/2 R 5p
1/ 2
Q p mp a11/2
,
(9)
where ms , mp , R p , and G, stand for the satellite’s mass, the planet’s
mass, the planet’s radius, and the gravitational constant, respectively; Q p and k2p stand for the dissipation factor and the Love
number of the planet. For Saturn k2p is reasonably well known,
422
Fig. 6. Orbital evolution of satellites, under Saturn’s tides, with different masses and assuming Q p = 105 . Satellites exterior to synchronous orbit start with a0 = 115,000 km,
and satellites interior to synchronous orbit start with a0 = 108,000 km.
because it is linked directly to the J 2 gravitational moment and
spin frequency of the planet (k2P ∼ 0.3 for Saturn; Dermott et
al., 1988). However, the value of Q p that describes all dissipative
processes in the planet’s interior is very uncertain. Several indirect estimates exist, but they are still badly constrained: Dermott
et al. (1988) suggest Q p > 1.6 × 104 because of the proximity
of Mimas to Saturn. More recently, Castillo et al. (2008) suggest
that 2 × 10−6 < k2P / Q p < 3.5 × 10−5 , yielding 8.6 × 103 < Q p <
1.5 × 105 for k2P ∼ 0.3. For comparison, Jupiter’s Q p is typically
considered to be ∼105 , but a value as high as 106 cannot be excluded (Peale, 2003). Moreover, the value of Q p may have varied
by orders of magnitude over the age of the Solar System (Wu,
2005).
We performed several integrations of Eq. (9) varying the satellite’s mass and the value of Q p (Fig. 6). The satellite was started
close to Saturn’s synchronous orbit to allow a maximum residence
time in the Roche Zone (so that a lower bound for Q p is derived):
we assume a(t = 0) to be either 115,000 km or 108,000 km (recall
that as ∼ 112,000 km). For a satellite more massive than Mimas
and starting below the synchronous orbit, and for any value of
Q p < 3 × 105 , the orbital decay is so rapid that the satellite would
hit the planet before the LHB. Conversely, if a satellite starts exterior, but close, to the synchronous orbit, it may survive inside the
Roche Zone up to the LHB epoch, for a wide range of Q p values.
More precisely, for masses of 1, 3 and 5 Mimas’ masses, Q p must
be larger than 3 × 104 , 8 × 104 and 3 × 105 , respectively, in order
for the satellite to survive in the Roche Zone up to the LHB epoch
(Fig. 7). All these values are within acceptable ranges of our actual knowledge of Saturn’s ring mass and Q p . We also note that
the B ring, which is the most massive of Saturn’s rings, lies precisely around the Synchronous orbit, which may suggest that the
putative satellite was destroyed there.
In conclusion, it is possible that a satellite of a few Mimas
masses can survive for 700 My in Saturn’s Roche Zone, provided it
was close to, but outside of, the Synchronous orbit when Saturn’s
sub-nebula disappeared, and that Q p > 105 in average during the
first 700 My of Saturn’s history.
5.2.3. Number of destructions and survival probabilities of Saturn’s
satellites
We now assume that a satellite is in Saturn’s Roche Zone at
the time of the LHB and we quantify its probability of destruction during the LHB. The typical impact velocity, Vi , of a satellite
on a circular orbit with a comet coming from infinity is V i ∼
2 1/ 2
(3GMp /a + V ∞
)
(neglecting the satellite’s gravitational focusing;
the factor 3 in front of GMp /a comes from the gravitational focusing of the planet plus the squared orbital velocity of the satellite,
Lissauer et al., 1988), yielding V i ∼ 32 km/s at ∼110,000 km. This
is about 6 times the impact velocity in the Asteroid Belt. Thus,
collisions so close to Saturn are particularly destructive. We now
need to estimate the impactor size required to destroy the satellite. Unfortunately, to our knowledge, no experiment or numerical
model of collisions at such a high impact velocity is available in
the literature, so we extrapolate from results obtained for icy bodies impacting at 3 km/s, as given in Benz and Asphaug (1999) using
hydrocode simulations. Comparison of Q ∗ at different impact velocities shows only small variations of Q ∗ (for V ranging from 0.5
to 3 km/s), so values of Q ∗ from Benz and Asphaug (1999) could
be considered about the right order of magnitude at ∼30 km/s
(M.J. Burchell and A. Lightwing, private communication). The mass
ratio, f , of the largest fragment to parent body is approximated by
(Benz and Asphaug, 1999, Eq. (8)):
f = −s
µ
Q
Q∗
¶
− 1 + 0.5,
(10)
where Q is the specific impact energy (the kinetic energy per
unit mass in the center-of-mass frame) and the Q ∗ is the critical energy for destruction. The value of s is ∼0.6 for ice (Benz and
Asphaug, 1999). Q ∗ is taken from Eq. (6) of Benz and Asphaug
(1999). We note that f is positive only for Q / Q ∗ < 11/6 and so,
one may wonder the validity of this equation. In the regime of
f ∼ 0.5, which we use here, Eq. (10) has the advantage of being a
very good fit to the Benz and Asphaug (1999) simulations. Other
models could be used like the Fujiwara et al. (1977) disruption
threshold ( f ∝ Q −1.24 ), but they do not match hydrocode simulations very well. So we think that Eq. (10) is good enough for the
present paper. Strictly speaking, a catastrophic collision is defined
423
Fig. 7. Final semi-major axis, as a function of Saturn’s dissipation factor Q p , after 700 My of tidal evolution for different satellite masses, all starting at a0 = 115,000 km.
Dot-dashed line designates the minimum Q p value for a satellite needed to stay in Saturn’s Roche Zone for 700 My for the three different satellite masses shown.
Fig. 8. Number of comet impacts during the LHB, on a satellite located at 100,000 km from Saturn. The population of impacting comets has the ISD size distribution (see
Fig. 2). The dashed grey line shows the minimum comet size for disruption in a single impact, according to the Benz and Asphaug (1999) shattering model for icy bodies.
See Section 5.2.3 for details.
as one with Q such that f 6 0.5. Using f = 0.5 in Eq. (10) (equivalent to Q = Q ∗ ) and assuming an impact velocity of 32 km/s,
we find that, for a progenitor mass of 1, 3 and 5 Mimas masses
(⇔200, 300, 350 km radius), the projectile must be ∼17, 31 and
39 km respectively for catastrophic disruption (assuming that the
comet and satellite’s densities are both 1000 kg/m3 ). The number
of such events is computed using Eq. (3), using the impactor size
distribution of Eq. (5) (see Section 4.2). The results are displayed in
Fig. 8. A ring progenitor with, 1, 3 and 5 Mimas mass would suffer ∼2.6, 1.5 and 1 catastrophic impacts. So these results suggest
that if a satellite had been located inside Saturn’s Roche Zone, and
with mass comparable to or a few times that of Mimas, it could
have been destroyedduring the LHB with a substantial probability.
The fragments would have been scattered around the progenitor’s
424
Table 3
Number of destructions of Saturn’s satellites during the LHB, using different disruption models with the Iapetus-scaled size distribution of the primordial Kuiper Belt
population (see Fig. 2).
Name
Distance
(km)
Radius
(km)
Number of
disruptions:
B&A modela
Survival
probability
B&A model
Number of
disruptions: Melosh
crater modelb
Survival
probability
Melosh model
Number of
disruptions: Zahnle
crater modelc
Survival
probability
Zahnle model
Ring progenitor
Pan
Atlas
Prometheus
Pandora
Epimetheus
Janus
Mimas
Enceladus
Telesto
Calypso
Tethys
Dione
Rhea
Hyperion
Titan
Iapetus
Phoebe
100,000
133,583
137,700
139,400
141,700
151,400
151,500
185,600
238,100
294,700
294,700
294,700
377,400
527,100
1,464,099
1,221,850
3,560,800
12,944,300
320
14
15
43
40
56
89
198
252
12
10
533
561
764
146
2575
736
110
1.02
3.13
2.97
2.62
2.58
2.28
2.19
0.73
0.34
1.08
1.10
0.08
0.05
0.01
0.06
0.00013
0.00112
0.019
0.36
0.044
0.051
0.073
0.076
0.10
0.11
0.48
0.71
0.33
0.33
0.92
0.95
0.99
0.94
0.9998
0.9988
0.981
4.07
37.37
32.25
20.86
19.98
11.42
10.63
3.04
0.62
4.31
3.92
0.28
0.098
0.039
0.74
0.00011
0.0061
0.07
0.017
0
0
0
0
0
0
0.05
0.54
0.013
0.020
0.75
0.91
0.96
0.47
0.999887
0.993924
0.932
7.09
25.15
22.19
18.29
17.26
10.72
11.08
4.46
0.992
2.86
2.52
0.59
0.21
0.10
0.87
0.00062
0.019
0.085
0.00083
0
0
0
0
0
0
0.011
0.37
0.057
0.08
0.55
0.81
0.90
0.41
0.9994
0.9806
0.9184
a
The specific destruction energy is taken from Benz and Asphaug (1999); destruction is defined so that the mass of the largest fragment is less than 50% of the parent’s
body mass.
b
Crater with same diameter as the parent body, using the crater scaling law of Melosh (1989).
Crater with same diameter as the parent body, using the crater scaling law of Zahnle et al. (2003). Survival probabilities are computed according to Eq. (12). Note that
the survival probability is simply exp(−Number of Disruptions), see Section 5.2.3.
c
orbit inside Saturn’s Roche Zone, and could have not reaccreted,
because of the combination of (i) the planet’s strong tides and (ii)
the intense perturbation by the close and massive core stirring up
the debris disk. This would have led to the formation of a massive disk, with a mass equal, or comparable to, the parent body’s
mass.
Given that all tools are set, it is also interesting to compute
the “number of destructions” that Saturn’s current satellites would
have suffered. They are reported in Table 3. For comparison with
previously published works, we also report the results obtained
adopting two additional criteria for satellite disruption: those of
Melosh (1989) and Zahnle et al. (2003). In these papers it was assumed that a satellite is destroyed if a crater is formed with a
diameter equal to the satellite’s diameter, and the Melosh (1989)
and Zahnle et al. (2003) models are, in fact, two different scaling
laws to convert from projectile-size to crater-size. More significant
than the number of destructive impacts is the probability P s that
a satellite avoids all disruptive collisions. This is computed as follows: Time is divided into N equal small time steps. For each time
step i the probability N i of a disruptive impact is computed as
before. Thus, the probability for not having a disruptive impact
during the time step is 1 − N i (the time step is chosen short
enough so that N i < 1 for any i). So the total probability for not
having a disruptive impact during the full evolution of the system
is:
Ps =
N
Y
(1 − N i ).
(11)
i =1
Now, assuming a uniform probability distribution, any time step
could be arbitrarily divided into η equally spaced intervals, so that
(1 − N i ) could be replaced by (1 − N i /η)η with η being an arbitrarily large number. In the limit where η tends to infinity, this result
tends to e − N i . So finally, the final survival probability is simply
given by:
Ps =
n
Y
e − N i = e − N total ,
(12)
i =1
where N total is the total number of impacts on a satellite, as
computed before. These probabilities are also reported in Table 3
(conditions of destruction are displayed in the legend of Table 3).
Using any of the three criteria for satellite disruption, we find that
Iapetus, Titan, Phoebe, Dione, Rhea, and Tethys would survive with
a high probability (note however that Phoebe may be a captured
satellite and so should not have formed in Saturn’s sub-nebula,
see Johnson and Lunine, 2005; Porco et al., 2005). The case of
Enceladus is less clear because, depending on the disruption criterion adopted, it could have a survival chance between 37% (Zahnle
model) and 71% (Benz and Asphaug model). Conversely, Mimas and
all the satellites interior to its orbit have a very small probability of
having escaped a disruptive collision. Most likely all these satellites
reaccreted after the LHB from the debris of progenitor satellites.
These results compare well with the Zahnle et al. (2003) results
for the case with the impactor distribution “A” and scaled to Iapetus’ surface (sixth column in Table 5 of Zahnle et al., 2003), which
also predicts that Mimas would be the only big satellite of Saturn
destroyed since the formation of Iapetus’ surface, whereas Enceladus is a more ambiguous case. However, we note that Smith et
al. (1982) predict a much larger destruction rate, in which Enceladus, and even Tethys, are unlikely to survive. We note here that
whatever the model and the assumptions (present work; Zahnle
et al., 2003; Smith et al., 1982), Mimas is expected to have been
destroyed at least once during Solar System history. Only in the
Lissauer et al. (1988) work is Mimas expected to have survived,
but it seems that the Lissauer et al. (1988) study suffers a number
small problems, leading to low disruptions frequencies, in particular by assuming a much too large value of V ∞ (see comments by
Zahnle et al., 2003).
6. Discussion
We have shown that the enormous flux of small bodies during
the Late Heavy Bombardment could have been responsible for the
origin of Saturn’s rings, either via tidal splitting of large comets, or
via the collisional destruction of a primitive satellite in the Roche
Zone. We now try to compare the pros and cons of these two
scenarios with respect to two extreme characteristics: (i) the low
abundance of silicates in Saturn’s rings and (ii) the obvious fact
that only Saturn has a massive ring system.
6.1. The problem of silicates
Saturn’s rings are mainly composed of pure water ice, with
very few silicates (Cuzzi and Estrada, 1998; Poulet et al., 2003;
Nicholson et al., 2005). However, some silicates may be hidden
in the bulk of the massive B ring (Esposito and Eliott, 2007;
Stewart et al., 2007). Are there means, in the frame of the two
scenarios discussed above, to avoid the presence of a large fraction of silicates in the ring? At first sight, we would expect that
both scenarios would produce rings with a much larger fraction
of silicates than inferred from observations, because both satellites
and comets typically have a larger silicate/ice ratio of order unity
(Johnson and Lunine, 2005).
However, we have seen (Section 5) that big planetesimals
(comets), or big satellites, are required to be progenitors of the
rings in both scenarios. These big bodies could be differentiated:
for example, Enceladus, a body with a radius of only 250 km,
seems to be differentiated (Schubert et al., 2007; Thomas et al.,
2007). This is the case for Dione (500 km in radius; Thomas et
al., 2007) as well. However, generally speaking, it is not known
whether outer Solar System planetesimals with radii of hundreds
of kilometers are differentiated, although some models suggest it
is indeed the case for the biggest ones (McKinnon et al., 2008).
In a differentiated body, ice and rock are segregated from each
other: denser material is concentrated in the body’s core, whereas
the mantle is made of lower density material, like ice. Therefore a
differentiated progenitor might be the solution for forming a ring
system of pure ice, provided that a process exists to separate the
ice in the mantle from the silicates embedded in the core, and get
rid of the latter. We investigate this question for the two scenarios.
6.1.1. The tidal splitting scenario
In the model of big comets disrupted by tides, a separation
between the core and the mantle material could be a natural outcome of the tidal splitting process. Indeed, after the splitting of
the body, the material most easily trapped on bound orbits is that
which is the furthest away from the body’s center of mass on the
planet-facing side. Indeed, whereas the center of mass has a positive total energy, and therefore travels on a hyperbolic orbit, the
surface material has a small energy difference, proportional to the
distance from the center of the body (see Eq. (6)), that may result
in bound orbits for the surface fragments. So we expect that the
tidal splitting scenario leads to the preferential capture of surface
and mantle material, with a high ice/silicate ratio, whereas the silicate core is lost to unbound orbit. Of course all this would need
to be quantified with a numerical model of tidal splitting of a differentiated body.
6.1.2. The destroyed satellite scenario
For the case of the satellite destruction scenario, some interesting solutions may also exist to explain the silicate deficit. Whereas
a satellite with a few Mimas masses may be hit a few times by 25km comets and be completely destroyed, Fig. 8 shows that it may
be hit several hundred times by 1-km comets (or smaller). A satellite larger than 200 km could be differentiated and be composed
of a dense silicate core surrounded by an icy mantle. If the satellite
is differentiated, the intense cometary flux may have “peeled off”
the satellite of its icy shell, and left a disk of debris surrounding
a “naked core” containing the initial silicate content of the satellite. It may be possible that in such an event, the core survives
undisrupted, whereas the mantle is shattered away, because the
impact shock wave is reflected at the boundary between the core
and mantle. This is indeed what happens in simulations of formation of the Moon or of the Pluto–Charon system (Canup, 2005), in
which the target’s core appears to remain undisrupted after the
impact, whereas part of its mantle is scattered into space. Other
425
studies (Asphaug et al., 2006) show that in planetary embryo collisions, the outer layers are preferentially stripped off. So, as far
as we know, it is not impossible that the icy debris would be put
in orbit around Saturn, forming a narrow and dense ring, in the
middle of which the “naked” core would be embedded. So, after
the destruction, we could expect to have the satellite’s core surrounded by two rings (inner and outer) on both sides of the core’s
orbit. The total mass of the debris rings (inner + outer) would be
comparable to the core’s mass. Such a configuration could be very
unstable, because the core would gravitationally interact with the
icy ring, and might remove it from the Roche Zone. However, this
is a complex scenario that deserves detailed modeling in order to
infer whether the naked core would migrate away from the ring
region due to the tidal interaction with the debris. This should be
considered as a quite hypothetical way to eliminate silicates that
will be investigated in the future. So for the moment there is no
obvious way of eliminating silicates in the frame of this scenario.
6.2. Massive rings around other giant planets?
One of the most puzzling mysteries about giant planets is why
Saturn is the only planet with a massive ring-system A scenario of
Saturn ring formation should give an answer to this question, and
this issue can be used as a criterion for its validation.
6.2.1. The tidal splitting scenario
The scenario of tidal splitting suffers from a severe problem:
we have shown in Section 5.1 that the capture rate around Saturn
is the lowest among giant planets, because of the combined effect
of Saturn’s low density, its large distance from the original planetesimal disk compared to Uranus or Neptune, and also its low
mass compared to Jupiter. Whatever the size distribution of incoming objects, Saturn is expected to receive the lowest quantity
of material. So we are in quite a paradoxical situation with the
tidal splitting scenario: if Saturn acquired its massive ring system
through this mechanism, we would expect that the other three giant planets would have rings even more massive than Saturn! How
can we solve this problem?
We have already discussed in Section 4.1 possible reasons for
which the amount of material captured from splitting events in
the ring region could be much smaller than we calculated. More
specific studies are required to clarify this issue. But we do not
see a priori any reason for which the capture efficiency would be
high at Saturn and low at Jupiter, Uranus and Neptune. So, either
the capture efficiency is high for all planets and all planets have
massive rings (which is obviously not the case) or the capture efficiency is low for all planets, and Saturn’s rings could not form by
the tidal disruption mechanism. We note, however, that if Jupiter
had icy rings, they probably would not survive over the age of the
Solar System (Watson et al., 1962), so we cannot discard the idea
that Jupiter could have had massive rings in the past.
6.2.2. The destroyed satellite scenario
For this model, a key aspect is the survival of the satellite in
the planet’s Roche Zone for 700 My, up to the time of the LHB.
As explained in Section 5.2.2, tidal interaction with the host planet
may lead to a rapid migration toward the planet (if the satellite
starts below the synchronous orbit) or away from the planet (if
the satellite starts above the synchronous orbit). However, the two
configurations (above and below the synchronous orbit) are not
equivalent: due to the term proportional to a−11/2 in the equation
for the migration rate (Eq. (9)), the orbital decay of a satellite below the synchronous orbit is an accelerating mechanism, leading
to a rapid fall onto the planet. So a critical parameter to estimate if a satellite can survive 700 My in the planet’s Roche Zone
is the position of the planet’s Synchronous Orbit relative to the
426
Fig. 9. Tidal migration of a 3 Mimas’ mass satellite, starting at 2 planetary radii for all four giant planets. Q = 105 has been assumed for all planets.
Roche Limit. The synchronous orbits of Jupiter, Saturn, Uranus and
Neptune are located, respectively, at R synch = 2.24, 1.86, 3.22, 3.36
planet’s radii. Since the classical Roche Zone is located at R Roche =
2.456 × R p × (ρplanet /ρmaterial )1/3 (where R p is the planetary radius, ρplanet is the planet’s density and ρsatellite is the satellite’s
density; Roche, 1847; Chandrasekhar, 1969), and assuming satellites with material density of 1 g/cm3 , we obtain R Roche = 2.70,
2.24, 2.79, 2.89 planetary radii for Jupiter, Saturn, Uranus and Neptune, respectively. We observe that only Jupiter and Saturn have
their Synchronous Orbit below their Roche Limit whereas Uranus
and Neptune have their synchronous orbit above their Roche Limit.
Therefore it is almost impossible for Uranus and Neptune to maintain a Mimas-sized satellite inside their Roche Zone up to the
onset of the LHB, as illustrated in Fig. 9. One may note that today
Neptune shelters a number of moderate-size satellites inside its
Roche Zone (Naiad with D ∼ 58 km, Thalassa D ∼ 80 km, Despina
D ∼ 148 km, Galatea D ∼ 158 km, and Larissa D ∼ 190 km, where
D is the mean diameter), that would have been disrupted during
the LHB (the expected numbers of destructive impacts are 8.0, 7.4,
6.6, 5.2, and 3.6 for Naiad, Thalassa, Despina, Galatea and Larissa,
respectively, assuming their present locations) and would not have
reaccreted if they were at their present locations at the time of the
LHB. A recent study on the orbital evolution of Neptune’s satellites (Zhang and Hamilton, 2008) shows that due to their small
masses, they tidally migrate on long timescales (∼Gy), and it is
plausible that at the time of LHB these satellites would have been
above the Roche Limit and below Neptune’s synchronous orbit
(as seen in Fig. 2 of Zhang and Hamilton, 2008). A moon with a
mass comparable, or larger than, Mimas (⇔ D ∼ 400 km) would
fall onto Neptune in a few 108 years (e.g., Fig. 9). In consequence
average-sized moons, like those today around Neptune, could have
formed below the Synchronous orbit (and above the Roche Limit),
then been disrupted while they were still beyond the Roche Limit,
reaccreted, and finally tidally migrated inward to their present
locations within Neptune’s Roche Zone. Such a scenario is supported by the results of Zhang and Hamilton (2008). A similar
scenario may hold also for Uranus’ moons Ophelia (D = 32 km)
and Cordelia (D = 26 km).
The case of Jupiter is less clear. Jupiter’s synchronous orbit is
slightly below its Roche Limit for ice, and it seems, a priori, to
be in a similar situation as Saturn. However, R synch / R Roche is 0.91
for Jupiter whereas it is 0.76 for Saturn (assuming that the satel-
lites have the density of water ice). Consequently, the region in the
planet’s Roche Zone which is above the Synchronous Orbit is somewhat wider for Saturn. Finally, we note that the mean density of
Jupiter’s satellites is higher than for Saturn’s satellites and is more
representative of silicates than of ice. By setting the satellite density to 2 g/cm3 we obtain a Roche radius for silicates at Jupiter
of ∼2.14R p , which is below Jupiter’s synchronous orbit, at 2.24R p .
However, the large mass of Jupiter makes the migration slower and
whereas the four main Galilean satellites have a high density, Amathea’s density is only 0.857 ± 0.099 g/cm3 (Anderson et al., 2005),
somewhat softening the above arguments. So no definitive conclusion can be drawn for Jupiter.
In conclusion, it seems that in the frame of the satellite disruption scenario, Saturn is the planet with the most obvious chance to
shelter a massive satellite (a couple of Mimas’ masses) inside the
Roche region for a long time, whereas this is almost impossible for
Uranus and Neptune. The case of Jupiter is somewhat intermediate
between Saturn’s case and Uranus–Neptune’s case.
7. Conclusion: the LHB is the “sweet moment”
We have studied the conditions to form Saturn’s massive ring
system during the Late Heavy Bombardment (LHB). In particular,
we have quantified the probabilities associated with two often invoked scenarios: (i) the tidal splitting of a massive comet and (ii)
the destruction of a satellite located in the Roche Zone. The impact rates on a satellite and the probability of passing comets
within the planet’s Roche radius have been evaluated from numerical simulations of the LHB, in the frame of the Nice Model
(Tsiganis et al., 2005; Gomes et al., 2005; Morbidelli et al., 2005).
The size distribution of the planetesimals involved in the LHB has
been estimated from the crater record on Iapetus, and is consistent
with size distributions derived from studies of the evolution of the
Kuiper Belt, Scattered Disk and Oort Cloud from the primitive disk
(Charnoz and Morbidelli, 2007). We have shown that the flux of
trans-neptunian planetesimals through Saturn’s system during the
LHB was high enough for both scenarios to be valid.
For the two scenarios we have given a list of conditions and
caveats. It appears that:
• For the tidal splitting scenario: the major caveat is that Saturn appears to be the planet that receives the least amount
of material. Thus, in the frame of the LHB, if Saturn acquired
its massive rings through delivery of material by tidal splitting of passing comets, we would expect the other three giant
planets to also have massive rings, which is obviously not the
case. This conundrum is independent of models of tidal capture, and comes simply from the specific dynamics of planetesimals from the trans-neptunian disk (it is even independent of the details of the dynamics of the planets in the Nice
model). In contrast, this model offers a natural explanation for
the missing silicates problem, since the capture of material
is dominated by the tidal splitting of massive objects, which
would presumably be differentiated. In fact, a differentiated
body would have its outer mantle tidally stripped more easily than its high density core.
• For the model of a destroyed satellite, we have shown that according to our current knowledge of satellite formation (see
the work of Canup and Ward, 2006), it could be possible to
bring a satellite inside the planet’s Roche Zone through type-I
migration during the early phases of giant planet formation.
If the Synchronous orbit is below the Roche Limit, then it is
possible to maintain the satellite inside the Roche Limit for
700 My (the time of the LHB onset). Saturn is the planet where
such an event is the most probable due to its synchronous orbit being well below its Roche Limit. Then, at the time of the
LHB, a ∼20–30 km comet could destroy the satellite with a
probability larger than 75% (depending on the satellite’s size,
see Fig. 8). On the flip side, there is no obvious way to eliminate the silicates ejected from the disrupted satellite, so that
the missing silicate problem remains open, although we suggest a speculative mechanism (see Section 6.2.2)
• The LHB also has interesting implications for Saturn’s satellites: Mimas and all smaller satellites would not have survived the LHB. These satellites could be in fact bodies that
re-accreted after the LHB. Enceladus has a roughly 50% chance
of survival. Iapetus would have survived the LHB, and its big
basins may have formed during this period.
In conclusion, we think that the LHB is the ‘sweet moment’ for
formation of a massive ring system around Saturn. On the basis of
simple arguments we find that the scenario of a destroyed satellite gives a substantially more coherent explanation of the fact that
Saturn’ rings are unique by mass in the Solar System. Nevertheless,
both scenarios deserve and require more detailed numerical modeling of tidal and collisional disruption in order to be able to give
a more definite answer for the origin of Saturn’s rings.
Acknowledgments
The authors would like to thank M.J. Burchell and A. Lightwing
for very enlightening comments on the physics of ice fracture, as
well as K. Holsapple and P. Michel for useful discussions about the
physics of tidal disruption. We would like also to thank our reviewers J. Colwell and A. Harris whose comments increased the quality
of the paper. This work was supported by Université Paris 7 Denis
Diderot and the NASA Planetary Geology and Geophysics Program.
References
Anderson, J.D., Johnson, T.V., Schubert, G., Asmar, S., Jacobson, R.A., Johnston, D.,
Lau, E.L., Lewis, G., Moore, W.B., Taylor, A., Thomas, P.C., Weinwurm, G., 2005.
Amalthea’s density is less than that of water. Science 308, 1291–1293.
Asphaug, E., Agnor, C.B., Williams, Q., 2006. Hit-and-run planetary collisions. Nature 439, 155–160.
Benz, W., Asphaug, E., 1999. Catastrophic disruptions revisited. Icarus 142, 5–20.
Bernstein, G.M., Trilling, D.E., Allen, R.L., Brown, M.E., Holman, M., Malhotra, R.,
2004. The size distribution of trans-neptunian bodies. Astron. J. 128, 1364–1390.
Erratum: Astron. J. 131, 2364.
427
Burns, J.A., Hamilton, D.P., Showalter, M.R., 2001. Dusty rings and circumplanetary
dust: Observations and simple physics. In: Grün, E., Gustafson, B.A.S., Dermott,
S.F., Fechtig, H. (Eds.), Interplanetary Dust. Springer-Verlag, Berlin, pp. 641–725.
Canup, R.M., 2005. A giant impact origin of Pluto–Charon. Science 307, 546–550.
Canup, R.M., Ward, W.R., 2002. Formation of the Galilean satellites: Conditions of
accretion. Astron. J. 124, 3404–3423.
Canup, R.M., Ward, W.R., 2006. A common mass scaling for satellite systems of
gaseous planets. Nature 411, 834–839.
Castillo, J.C., Matson, D.L., Sotin, C., Johnson, T.V., Lunine, J.I., Thomas, P.C., 2007.
Iapetus’ geophysics: Rotation rate, shape and equatorial ridge. Icarus 190, 179–
202.
Castillo, J.C., Johnson, T.V., Matson, D.L., 2008. Mimas’ orbital evolution constrains
tidal dissipation in cold icy satellites. Icarus, submitted for publication.
Chandrasekhar, S., 1969. Ellipsoidal Figures of Equilibrium. The Silliman Foundation
Lectures. Yale Univ. Press, New Haven, CT.
Charnoz, S., Morbidelli, A., 2007. Coupling dynamical and collisional evolution of
small bodies. 2: Forming the Kuiper Belt, the Scattered Disk and the Oort Cloud.
Icarus 188, 468–480.
Charnoz, S., Brahic, A., Thomas, P., Porco, C., 2007. The equatorial ridges of Pan and
Atlas: Late accretionary ornaments? Science 318, 1622–1624.
Cintala, M.J., Grieve, R.A.F., 1998. Scaling impact melting and crater dimensions: Implications for the lunar cratering record. Meteorit. Planet. Sci. 33, 889–912.
Colwell, J.E., 1994. The disruption of planetary satellites and the creation of planetary rings. Planet. Space Sci. 42, 1139–1149.
Cuzzi, J.N., Estrada, P.R., 1998. Compositional evolution of Saturn’s rings due to meteoroid bombardment. Icarus 132, 1–35.
Daisaka, H., Tanaka, H., Ida, S., 2001. Viscosity in dense planetary rings with selfgravitating particles. Icarus 154, 296–312.
Davidsson, B.J.R., 1999. Tidal splitting and rotational breakup of solid spheres.
Icarus 142, 525–535.
Davis, D.R., Farinella, P., 1997. Collisional evolution of the Edgeworth–Kuiper Belt
objects. Icarus 125, 50–60.
Denk, T., Neukum, G., Schmedemann, N., Roatsch, T.H., Wagner, R.J., Giese, B., Perry,
J.E., Helfenstein, P., Turtle, E.P., Porco, C.C., 2008. Iapetus imaging during the
targeted flyby of the Cassini spacecraft. Lunar Planet. Sci. 39. #2533.
Dermott, S.F., Malhotra, R., Murray, C.D., 1988. Dynamics of the uranian and saturnian satellite systems—A chaotic route to melting Miranda? Icarus 76, 295–334.
Dobrolovskis, A.R., 1990. Tidal disruption of solid bodies. Icarus 88, 24–38.
Dones, L., 1991. A recent cometary origin for Saturn’s rings? Icarus 92, 194–203.
Dones, L., Agnor, C.B., Asphaug, E., 2007. Formation of Saturn’s rings by tidal disruption of a Centaur. Bull. Am. Astron. Soc. 39. #7.07.
Donnison, J.R., 1986. The distribution of cometary magnitudes. Astron. Astrophys.
167, 359–363.
Doyle, L.R., Dones, L., Cuzzi, J.N., 1989. Radiative transfer modeling of Saturn’s outer
B ring. Icarus 80, 104–135.
Esposito, L.W., 1986. Structure and evolution of Saturn’s rings. Icarus 67, 345–357.
Esposito, L.W., 1993. Understanding planetary rings. Annu. Rev. Earth Planet. Sci. 21,
487–523.
Esposito, L.W., Eliott, J.P., 2007. Regolith growth and pollution on Saturn’s moons
and ring particles. Bull. Am. Astron. Soc. 39. #7.09.
Esposito, L.W., O’Callaghan, M., West, R.A., 1983. The structure of Saturn’s rings:
Implications from the Voyager stellar occultation. Icarus 56, 439–452.
Farinella, P., Davis, D.R., 1992. Collision rates and impact velocities in the main asteroid belt. Icarus 97, 111–123.
Fernández, J.A., Morbidelli, A., 2006. The population of faint Jupiter family comets
near the Earth. Icarus 185, 211–222.
Fuentes, C.I., Holman, M.J., 2008. A SUBARU archival search for faint trans-neptunian
objects. Astron. J. 136, 83–97.
Fujiwara, A., Kamimoto, G., Tsukamoto, A., 1977. Destruction of basaltic bodies by
high-velocity impact. Icarus 31, 277–288.
Giese, B., Denk, T., Neukum, G., Roatsch, T., Helfenstein, P., Thomas, P.C., Turtle,
E.P., McEwen, A., Porco, C.C., 2008. The topography of lapetus’ leading side.
Icarus 193, 359–371.
Gladman, B., Kavelaars, J.J., Petit, J.-M., Morbidelli, A., Holman, M.J., Loredo, T., 2001.
The structure of the Kuiper Belt size distribution and radial extent. Astron.
J. 122, 1051–1066.
Goldreich, P., Tremaine, S., 1982. The dynamics of planetary rings. Annu. Rev. Astron.
Astrophys. 20, 249–283.
Gomes, R., Levison, H.F., Tsiganis, K., Morbidelli, A., 2005. Origin of the cataclysmic
Late Heavy Bombardment period of the terrestrial planets. Nature 435, 466–469.
Harris, A., 1984. The origin and evolution of planetary rings. In: Greenberg, R.,
Brahic, A. (Eds.), Planetary Rings. Univ. Arizona Press, Tucson, pp. 641–659.
Hedman, M.M., Burns, J.A., Tiscareno, M.S., Porco, C.C., Jones, G.H., Roussos, E., Krupp,
N., Paranicas, C., Kempf, S., 2007. The source of Saturn’s G ring. Science 317,
653–656.
Holsapple, K.A., Michel, P., 2006. Tidal disruptions: A continuum theory for solid
bodies. Icarus 183, 331–348.
Holsapple, K.A., Michel, P., 2008. Tidal disruptions. Icarus 193, 283–301.
Jacobson, R.A., and 13 coauthors, 2006. The gravity field of the saturnian system
from satellite observations and spacecraft tracking data. Astron. J. 132, 2520–
2526.
428
Johnson, T.V., Lunine, J.I., 2005. Saturn’s moon Phoebe as a captured body from the
outer Solar System. Nature 435, 69–71.
Kenyon, S.J., Bromley, B.C., 2001. Gravitational stirring in planetary debris disks. Astron. J. 121, 538–551.
Kenyon, S.J., Bromley, B.C., 2004. The size-distribution of Kuiper Belt objects. Astron.
J. 128, 1916–1926.
Kenyon, S.J., Bromley, B.C., O’Brien, D.P., Davis, D.R., 2008. Formation and collisional
evolution of Kuiper Belt objects. In: Barucci, M.A., Boehnhardt, H., Cruikshank,
D.P., Morbidelli, A. (Eds.), The Solar System Beyond Neptune. Univ. Arizona Press,
Tucson, pp. 293–313.
Levison, H.F., Duncan, M.J., Zahnle, M.J., Holman, M., Dones, L., 2000. Planetary impact rates from ecliptic comets. Icarus 143, 415–420.
Levison, H.F., Morbidelli, A., VanLaerhoven, C., Gomes, R., Tsiganis, K., 2008. Origin
of the structure of the Kuiper Belt and dynamical instability in the orbits of
Uranus and Neptune. Icarus 196, 258–273.
Lissauer, J.J., Squyres, S.W., Hartmann, W.K., 1988. Bombardment history of the Saturn system. J. Geophys. Res. 93, 13776–13804.
Lowry, S.C., Fitzsimmons, A., Collander-Brown, S., 2003. CCD photometry of distant
comets. III. Astron. Astrophys. 397, 329–343.
McKinnon, W.B., Prialnik, D., Stern, S.A., Coradini, 2008. Structure and evolution of
Kuiper Belt objects and Dwarf planets. In: Barucci, M.A., Boehnhardt, H., Cruikshank, D.P., Morbidelli, A. (Eds.), The Solar System Beyond Neptune. Univ. Arizona Press, Tucson, pp. 213–241.
Melosh, H.J., 1989. Impact Cratering: A Geological Process. Oxford Univ. Press, New
York.
Morbidelli, A., Brown, M.A., 2004. The Kuiper Belt and the primordial evolution of
the Solar System. In: Festou, M.C., Keller, H.U., Weaver, H.A. (Eds.), Comets II.
Univ. Arizona Press, Tucson, pp. 175–191.
Morbidelli, A., Levison, H.H., Tsiganis, K., Gomes, R., 2005. Chaotic capture of
Jupiter’s Trojan Asteroids in the early Solar System. Nature 435, 462–465.
Morfill, G.E., Fechtig, H., Grün, E., Goertz, C.K., 1983. Some consequences of meteoroid impacts on Saturn’s rings. Icarus 55, 439–447.
Murray, C.D., Dermott, S.F., 1999. Solar System Dynamics. Cambridge Univ. Press,
New York.
Nesvorný, D., Vokrouhlický, D., Morbidelli, A., 2007. Capture of irregular satellites
during planetary encounters. Astron. J. 133, 1962–1976.
Neukum, G., Wagner, R., Denk, T., Porco, C., and the Cassini Imaging Team, 2005. The
cratering record of the saturnian satellites Phoebe, Tethys, Dione and Iapetus in
comparison: First results from the analysis of ISS imaging data. Lunar Planet.
Sci. 36. Abstract #2034.
Nicholson, P.D., French, R.G., Campbell, D.B., Margot, J.-L., Nolan, M.C., Black, G.J.,
Salo, H.J., 2005. Radar imaging of Saturn’s rings. Icarus 177, 32–62.
Peale, S.J., 2003. Tidally induced volcanism. Celest. Mech. Dynam. Astron. 87, 129–
155.
Petit, J.-M., Holman, M.J., Gladman, B.J., Kavelaars, J.J., Scholl, H., Loredo, T.J., 2006.
The Kuiper Belt luminosity function from mr = 22 to 25. Mon. Not. R. Astron.
Soc. 365, 429–438.
Pollack, J.B., 1975. The rings of Saturn. Space Sci. Rev. 18, 3–93.
Pollack, J.B., Summers, A., Baldwin, B., 1973. Estimates of the sizes of the particles
in the rings of Saturn and their cosmogonic implications. Icarus 20, 263–278.
Porco, C., and 34 co-authors, 2005. Cassini Imaging Science: Initial results on Phoebe
and Iapetus. Science 307, 1237–1242.
Porco, C., and 21 co-authors, 2006. Cassini observes the active south pole of Enceladus. Science 311, 1393–1401.
Porco, C.C., Thomas, P.C., Weiss, J.W., Richardson, D.C., 2007. Physical characteristics
of Saturn’s small satellites provide clues to their origins. Science 318, 1602–
1607.
Poulet, F., Cruikshank, D.P., Cuzzi, J.N., Roush, T.L., French, R.G., 2003. Composition
of Saturn’s rings A, B, and C from high resolution near-infrared spectroscopic
observations. Astron. Astrophys. 412, 305–316.
Roche, E.A., 1847. Académie des sciences et lettres de Montpellier. Mém. Sect. Sci. 1,
243–262.
Schubert, G., Anderson, J., Bryan, J.T., Palguta, J., 2007. Enceladus: Present internal structure and differentiation by early and long term radiogenic heating.
Icarus 188, 345–355.
Sheppard, S.S., Trujillo, C.A., 2006. A thick cloud of Neptune Trojans and their colors.
Science 313, 511–514.
Smith, B.A., and 26 co-authors, 1981. Encounter with Saturn: Voyager 1 imaging
science results. Science 212, 163–191.
Smith, B.A., and 26 co-authors, 1982. A new look at the Saturn system: The Voyager
2 images. Science 215, 504–537.
Sremčević, M., Schmidt, J., Salo, H., Seiß, M., Spahn, F., Albers, N., 2007. A belt of
moonlets in Saturn’s A ring. Nature 449, 1019–1021.
Stern, S.A., Colwell, J.E., 1997. Collisional erosion in the primordial Edgeworth–
Kuiper Belt and the generation of the 30–50 AU Kuiper Gap. Astron. J. 490,
879–882.
Stewart, G.R., Robbins, S.J., Colwell, J.E., 2007. Evidence for a primordial origin of
Saturn’s rings. Bull. Am. Astron. Soc. 39. #7.06.
Strom, R.G., Malhotra, R., Ito, T., Yoshida, F., Kring, D.A., 2005. The origin of planetary
impactors in the inner Solar System. Science 309, 1847–1850.
Thomas, P.C., Burns, J.A., Helfenstein, P., Squyres, S., Veverka, J., Porco, C., Turtle, E.P.,
McEwen, A., Denk, T., Giese, B., Roatsch, T., Johnson, T.V., Jacobson, R.A., 2007.
Shapes of the saturnian icy satellites and their significance. Icarus 190, 573–
584.
Tiscareno, M.S., Burns, J.A., Hedman, M.M., Porco, C.C., Weiss, J.W., Dones, L.,
Richardson, D.C., Murray, C.D., 2006. 100-metre-diameter moonlets in Saturn’s
A ring from observations of propeller structures. Nature 440, 648–650.
Tiscareno, M.S., Burns, J.A., Hedman, M.M., Porco, C.C., 2008. The population of
propeller’s in Saturn’s A ring. Astron. J. 135, 1083–1091.
Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., Levison, H.F., 2005. Origin of the orbital
architecture of the giant planets of the Solar System. Nature 435, 459–461.
Watson, K., Murray, B.C., Brown, H., 1962. The stability of volatiles in the Solar
System. Icarus 1, 317–327.
Wetherill, G.W., 1967. Collisions in the asteroid belt. J. Geophys. Res. 72, 2429–2444.
Whitman, K., Morbidelli, A., Jedicke, R., 2006. The size distribution of dormant
Jupiter family comets. Icarus 183, 101–114.
Wu, Y., 2005. Origin of tidal dissipation in Jupiter. II. The value of Q. Astrophys.
J. 635, 688–710.
Yoder, C.F., 1995. Astrometric and geodetic properties of Earth and the Solar System. In: Global Earth Physics: A Handbook of Geophysical Constants, vol. 1.
AGU Ref. Shelf, pp. 1–31.
Zahnle, K., Dones, L., Levison, H.F., 1998. Cratering rates on the Galilean satellites.
Icarus 136, 202–222.
Zahnle, K., Schenk, P., Levison, H., Dones, L., 2003. Cratering rates in the outer Solar
Zhang, K., Hamilton, D.P., 2008. Orbital resonances in the inner neptunian system.
II. Resonant history of Proteus, Larissa, Galatea, and Despina. Icarus 193, 267–
282.
Chapitre 3
Évolution visqueuse d’un disque
circumplanétaire
But you know where you came from
You know where you’re going
And you know where you belong
(Morrissey et al., 1984)
Nous avons vu dans le chapitre précédent que la formation des anneaux de Saturne
semble avoir eu lieu tôt dans l’histoire du Système Solaire. Aucun scénario ne permet
pour l’instant d’expliquer une formation récente. Les anneaux de Saturne seraient donc
vieux de plusieurs milliards d’années. Pour autant, un certain nombre de constats viennent
s’opposer à cette idée.
3.1
Une situation paradoxale ?
Si l’on regarde de plus près l’état des anneaux actuels, on peut en arriver à la
conclusion qu’ils ne sont pas plus vieux que quelques centaines de millions d’années.
Deux constats en particulier : leur faible pollution météoritique, et leur rapide étalement
visqueux.
3.1.1
Pollution par bombardement météoritique
Étant donnée leur grande extension radiale (∼ 70 000 km), les anneaux de Saturne
représentent une formidable surface collectrice vis-à-vis des des multiples objets qui traversent notre Système Solaire. Si les anneaux sont vieux de 4 milliards d’années, ils ont
donc dû subir un nombre considérable d’impacts (bien que le flux météoritique sur l’âge
du Système Solaire soit assez mal contraint).
101
Chapitre 3. Évolution visqueuse d’un disque circumplanétaire
Les impacts de météorites sur les particules des anneaux peuvent produire des
éjecta en grande quantité. Néanmoins la poussière et les débris résultant de ces collisions sont éjectés à des vitesses bien inférieures à la vitesse d’échappement des anneaux
(∼ 27 km.s−1 ). Les éjecta ne sont donc pas irrémédiablement propulsés hors des anneaux,
mais sont simplement projetés d’un endroit des anneaux à un autre, avec pour conséquence
une structuration des anneaux et une modification de leur composition. Ce processus est
appelé « transport balistique ».
Ces impacts de micro-météorites font perdre du moment cinétique au disque, ce qui
entraîne une chute rapide du matériau sur la planète. Cuzzi et Durisen (1990) ont calculé
par exemple que, en prenant des valeurs nominales pour la masse du disque et le flux
météoritique, l’anneau C devrait chuter sur la planète en ∼ 107 − 108 années.
D’autre part, si les anneaux ont été si intensément bombardés, on devrait retrouver
trace de ces météorites dans leur composition, et donc dans leur signature spectroscopique.
En effet, ces objets contiennent de grandes quantités de silicates et de matériaux carbonés.
Pour autant, les observations menées à l’aide de l’instrument VIMS de la sonde Cassini
ont révélé que les anneaux sont composés quasi strictement de glace d’eau dans sa forme
cristalline. L’absence dans le spectre de la signature d’autres glaces telles que CO2 ou CH4
indique que ces espèces ne sont pas présentes au-delà de quelques dixièmes ou centièmes
de pour-cents (Nicholson et al., 2008; Cuzzi et al., 2009). Les anneaux de Saturne sont
donc extrêmement peu pollués.
Cuzzi et Estrada (1998) ont étudié l’évolution de la composition des anneaux sous
l’effet du bombardement météoritique et du transport balistique. Partant d’un anneau
composé uniquement de glace d’eau, ils ont estimé que la composition des anneaux actuels
serait obtenue au bout de seulement ∼ 3 − 4 × 108 années.
Du point de vue du bombardement météoritique, les anneaux de Saturne seraient
donc vieux d’au plus quelques centaines de millions d’années.
3.1.2
Destruction des anneaux par étalement visqueux
Les particules qui composent les anneaux de Saturne subissent d’incessantes collisions qui ont plusieurs effets :
– elles dissipent l’énergie par leur caractère inélastique,
– elles transfèrent le moment cinétique du disque vers l’extérieur,
– elles transfèrent la masse du disque vers l’intérieur.
En réaction à ces effets, le disque s’aplatit et s’étale (Lynden-Bell et Pringle, 1974). Ceci
est présenté plus en détail à la section 3.2.2.
Dans l’approche hydrodynamique d’un disque (voir section 3.2.1.2), la dissipation
d’énergie et le transfert de moment cinétique sont reliés à une viscosité : plus la viscosité
est forte, plus le disque s’étale vite. On peut dès lors définir un temps caractéristique
d’étalement correspondant au temps nécessaire pour qu’un disque s’étale sur une largeur
∆R avec une viscosité ν : ∆t = (∆R)2 /ν.
La viscosité de l’anneau A a été mesurée égale à ∼ 4 × 10−2 m2 s−1 (Tiscareno et al.,
2007). Cet anneau s’étend sur environ 15 000 km, de sorte que l’on peut estimer son âge
comme étant ∆t = (1,5 × 107 )2 /(4 × 10−2 ) ≈ 1,8 × 108 années. L’anneau A ne serait
102
donc pas plus vieux qu’une centaine de millions d’années, ce qui est également l’âge des
anneaux estimé à partir de l’étude de leur pollution météoritique.
3.1.3
Problématique : contraindre l’évolution des anneaux.
On vient donc de voir que d’une part la formation des anneaux de Saturne semble
avoir eu lieu tôt dans l’histoire du Système Solaire, et d’autre part les observations actuelles indiquent qu’il ne seraient pas plus vieux que quelques centaines de millions d’années. Comment expliquer ce paradoxe ?
Tout d’abord, on peut suggérer que les anneaux sont effectivement jeunes et qu’ils
ont été formés par un scénario qui reste pour l’instant inconnu. On peut au contraire
persister dans l’idée qu’ils ont été formés il y a plusieurs milliards d’années, et que leur
apparence jeune tient à une modélisation insuffisante et une mauvaise compréhension de
leur évolution sur le très long terme.
Concernant la faible pollution météoritique, on peut suggérer que les polluants ont
été éliminés par un mécanisme non encore identifié. Il se peut par exemple que l’étalement
visqueux transporte différemment les particules de glace et les polluants, contribuant
à l’élimination de ces derniers. Des simulations de type Monte-Carlo de croissance de
régolite 1 ont mis en évidence un possible resurfaçage efficace des particules (Esposito et
Elliott, 2007), ce qui pourrait expliquer les observations spectroscopiques. Ou peut-être
encore que le flux météoritique a été particulièrement faible autour de Saturne.
Pour ce qui est de l’étalement visqueux, on pourrait penser que l’anneau A est bel
et bien récent, mais que le reste des anneaux est vieux. Néanmoins rien à l’heure actuelle
ne permettrait d’expliquer sa récente formation. On peut d’autre part se demander à
quel point un temps caractéristique est véritablement représentatif de l’âge du système.
Surtout que la viscosité devrait vraisemblablement varier avec les paramètres du disque
qui évoluent au cours du temps. Il est donc primordial d’étudier ce processus sur le long
terme et avec une précision accrue.
3.2
État de l’art concernant l’étude des anneaux planétaires
3.2.1
Outils d’étude de la dynamique d’un disque de particules
L’étude de l’évolution d’un disque peut se faire de multiples façons. Les observations
peuvent fournir des données précises mais ne donnent qu’un instantané du système et non
un historique. Pour remonter dans le temps et comprendre comment l’on peut en arriver
à l’état donné par les observations, il faut modéliser de façon théorique les phénomènes
physiques qui régissent l’évolution du système. Les équations obtenues ne sont néanmoins
pas toujours facilement solubles, ou alors au prix de simplifications parfois importantes.
1. Le régolite désigne une couche de matériau diffus et hétérogène qui recouvre certaines roches.
Ce terme regroupe tout ce qui est poussières, terre, débris de roche, et autre matériaux de ce genre. LE
régolite est présent sur Terre, sur la Lune, sur certains astéroïdes ainsi que sur d’autres planètes.
103
Les simulations numériques permettent de dépasser ces problèmes en offrant la possibilité d’étudier ces équations sans passer par une résolution explicite. Les solutions obtenues ne sont évidement pas parfaites en raison de la précision numérique finie. La solution
sera d’autant plus fiable que la précision sera accrue, mais ceci peut vite avoir un coût
exponentiel en terme de complexité temps et mémoire.
Au final, chaque approche possède ses avantages et ses inconvénients, et il convient
souvent de les associer. Au cours de cette thèse j’ai utilisé principalement l’outil numérique. Pour simuler numériquement un disque composé de particules, deux approches sont
possibles. On peut soit regarder les interactions impliquant chaque particule du disque :
c’est l’approche N-corps, soit considérer le disque dans son ensemble et l’assimiler à un
fluide en écoulement : c’est l’approche hydrodynamique.
3.2.1.1
Les codes N-corps
Le principe d’un code N-corps consiste à considérer le disque comme un ensemble de
particules en mouvement et à regarder leur évolution sous l’effet de différents processus
physiques. Ces codes sont généralement très précis car ils étudient en détail l’évolution
des propriétés des particules qui composent les anneaux. Néanmoins, ce sont des codes
très couteux en terme de complexité temps et mémoire car pour simuler un anneau dense
tel que les anneaux de Saturne il faut considérer un grand nombre de particules, ce qui
nécessite de calculer un nombre grandissant d’interactions.
Les particules sont donc généralement placées dans des « boîtes » en 2 ou 3 dimensions, la boîte étant ensuite reproduite de façon périodique tout autour de la boîte
principale. On ne simule alors véritablement qu’une portion localisée de l’anneau. La boîte
est centrée à une distance donnée de la planète, et on étudie les particules situées dans
un intervalle ∆R de distance, ∆θ de longitude et/ou ∆z dans la direction verticale. Cette
boîte peut ensuite être amenée à orbiter autour de la planète à la vitesse orbitale de son
centre.
De nombreux travaux ont été menés en suivant cette approche. Par exemple Brahic
(1977) considère un système à 3 dimensions dans lequel les particules se déplacent dans
le champ gravitationnel d’un corps central. Toutes les particules sont identiques et ne
s’attirent pas mutuellement : seuls les effets des collisions sont pris en compte. Ces simulations mettent en jeu seulement 100 particules pendant une durée maximale de ∼ 1 000
orbites. Dans le cas de particules orbitant autour d’un corps central, le temps dynamique
du système peut être représenté par la période orbitale caractéristique du système. Pour
le cas particulier de Saturne, une période orbitale correspond à ∼ 10 heures, de sorte que
les simulations de Brahic (1977) représentent une durée totale de ∼ 1,1 années.
Wisdom et Tremaine (1988) considèrent les mêmes effets que Brahic (1977) mais
prennent en compte pour les collisions un facteur de restitution dépendant de la vitesse
d’impact. Ils simulent l’évolution de 40 particules sur plusieurs dizaines de périodes orbitales. Salo (1992b) réalise des simulations similaires à celles de Wisdom et Tremaine
(1988) mais avec plusieurs milliers de particules de tailles différentes, sur une durée de
∼ 26 orbites. Salo (1995) inclut pour la première fois les interactions gravitationnelles
mutuelles entre particules. Il simule une système de 1000 particules identiques sur une
dizaine de périodes orbitales.
104
Ces codes sont donc très adaptés pour simuler des effets limités dans l’espace et
dont les temps caractéristiques d’évolution sont de l’ordre de la période orbitale : viscosité
(Wisdom et Tremaine, 1988; Daisaka et al., 2001), instabilités gravitationnelles (Daisaka
et Ida, 1999), collisions de petites lunes dans le cœur de l’anneau F (Charnoz, 2009), surstabilité visqueuse (Salo et al., 2001), accrétion de particules des anneaux à l’équateur
des satellites Pan et Atlas (Charnoz et al., 2007). . .
L’évolution des moyens de calcul a permis de pousser ces simulations sur un plus
grand nombre d’orbites, ou avec plus de particules, ou en incluant à la fois les interactions
mutuelles entre particules et des distributions de tailles de particules. Néanmoins, ces
codes ne permettent pas de dépasser des zones de simulations plus grandes que quelques
km2 , ou de simuler beaucoup plus que quelques milliers d’orbites. De plus, simuler l’évolution de l’intégralité d’un anneau planétaires nécessiterait de prendre en compte plusieurs
milliards de particules, et étudier cette évolution sur l’âge du Système Solaire (∼ 4, 7
milliards d’années) nécessiterait de simuler plus de 1016 orbites ! C’est évidemment complètement impossible avec les moyens de calcul actuels.
3.2.1.2
L’approche hydrodynamique
Dans un anneau planétaire, le libre parcours moyen λ des particules (distance parcourue par une particule entre deux collisions) est généralement bien plus petit que l’extension radiale du disque. En effet, pour un anneau relativement dense, on peut considérer que l’écart moyen entre deux particules co-orbitales est de l’ordre de la taille des
particules, qui est très petite devant l’extension radiale de l’anneau. Par exemple, pour
Saturne, la taille typique des particules est de l’ordre du centimètre, largement inférieure
aux 75 000 km d’extension radiale du système d’anneaux principal.
Si les propriétés du disque ne varient pas trop rapidement avec la distance à la
planète, on peut choisir une échelle radiale λ ≪ ∆a ≪ L, où L est l’échelle sur laquelle
les propriétés du disque changent de façon notable. Sur une distance ∆a, les particules
vont avoir des propriétés cinématiques telles que leurs propriétés physiques vont pouvoir
être analysées de façon globale et collective. Cet aspect de la dynamique des disques
satisfait les conditions permettant d’utiliser une description fluide du système (Boyd et
Sanderson, 1969; Stewart et al., 1984).
Ceci constitue ce que l’on appelle l’approche hydrodynamique. Dans ce cas on ne
considère pas les interactions entre particules à proprement parler, mais on modélise leurs
effets de façon globale. Par exemple, les collisions ayant pour effet de dissiper l’énergie du
système et de transporter le moment cinétique du disque, on peut modéliser leurs effets
par le biais d’une viscosité.
L’évolution du disque est alors calculée à partir des équations de continuité, et de
conservation de la masse et du moment cinétique. Ceci nécessite de définir une densité
et une vitesse pour le fluide, c’est-à-dire de moyenner la masse des particules et leur
vitesse de déplacement sur la surface ou le volume du disque. Ces équations s’écrivent
alors respectivement
dρ
∂ui
+ρ
=0
(3.1)
dt
∂xi
105
∂P
∂U
∂
∂
dui
=−
−ρ
+2
(ρνeij ) +
ρ
dt
∂xi
∂xi
∂xj
∂xi
C3

d
∂ui
1
(ρE) = − P
+ 2ρν eij eij −
dt
∂xi
3
A
∂ui
+ ρξ
∂xi
B2
∂
+
∂xi
A
κρ ∂E
kB ∂xi
2
∂uj
ξ− ν ρ
3
∂xj
4
A
B
∂ui
∂xi
D
(3.2)
B2 

+ ρĖc
(3.3)
Dans ces équations, ρ représente la densité volumique du fluide et u (ui , uj ) est la
vitesse du fluide. U est le potentiel gravitationnel dû à la planète, et x (xi , xj ) est le système
de coordonnées. Les paramètre ν, ξ et κ représentent la viscosité cinématique, la viscosité
dynamique et la conductivité thermique respectivement. eij = 0,5 (∂ui /∂xj + ∂uj /∂xi )
est le tenseur de cisaillement. P et E représentent la pression et l’énergie interne, par
unité de masse. Ėc est le taux de perte d’énergie due aux collisions inélastiques.
Au cours de ma thèse, je me suis basé sur cette approche pour étudier l’évolution
d’un anneau dense planétaire dans son ensemble, sur des échelles de temps de l’ordre de
l’âge du Système Solaire. La mise en œuvre est détaillée dans la suite de ce chapitre.
3.2.2
Étalement visqueux d’un disque
Dans cette partie nous allons étudier les processus physiques mis en jeu dans un
anneau planétaire dense, composé de particules macroscopiques, et non perturbé par
d’éventuelles interactions avec des objets extérieurs au disque.
3.2.2.1
Des collisions qui dissipent l’énergie
Les particules qui composent un disque tournent plus ou moins vite selon leur distance à la planète : c’est la rotation différentielle. Dans le cas d’un disque purement
képlérien, une particule située à la distance R du ñ
centre du corps central de masse M
(étoile, planète) tourne à la fréquence orbitale Ω = GM/R3 : plus une particule est près
de la planète, plus elle orbite vite. Lors de son mouvement, une particule va donc rattraper
les particules qui sont sur des orbites légèrement extérieures à la sienne, générant ainsi
des collisions. Comment cela impacte-t-il le disque ?
Les collisions entre particules sont en partie inélastiques, ce qui a pour effet de
dissiper l’énergie du système. La dissipation peut être quantifiée par un coefficient de
restitution normal ǫn , où 0 ≤ ǫn ≤ 1. Ce coefficient représente le taux de diminution
de la composante normale de la vitesse relative des particules au cours d’une collision.
L’énergie cinétique du système est également dissipée par friction de surface, ce qui réduit
la composante tangentielle de la vitesse relative. Ceci résulte en un transfert d’énergie
entre le mouvement aléatoire des particules et leur rotation propre, et vice-versa.
Étudions plus en détail l’effet des collisions sur la composante normale. Dans un
anneau planétaire dense, la vitesse d’impact est de l’ordre de la dispersion de vitesse
radiale des particules σr . L’énergie cinétique par unité de masse dissipée dans le disque lors
106
d’une collision est donc de l’ordre de σr2 (1 − ǫ2n ). En notant ωc la fréquence de collisions,
on peut obtenir le taux de dissipation énergétique due au collisions :
-
2
1
∂σr2 -∝ −ωc σr2 1 − ǫ2n
∂t -perte
(3.4)
L’effet des collisions est donc d’entraîner le système vers un état de plus basse énergie, à
un taux dépendant du nombre de collisions entre particules (ωc ), de la vitesse d’impact
(σr ), et des propriétés des particules composant le disque (car ǫn dépend du matériau).
3.2.2.2
Étalement du disque
Considérons deux particules de même masse mp , situées sur des orbites circulaires.
Leur énergie totale est
E = mp (E1 + E2 )
(3.5)
et le moment cinétique par unité de masse de l’ensemble est J = J1 + J2 avec
Ji2
GM
Ei =
−
2
2Ri
Ri
et
Ji =
ñ
GM Ri
(3.6)
(3.7)
Une variation de l’énergie d’une particule entraîne donc une variation de son moment
cinétique Ji et de sa position Ri . Dans le cas d’orbites circulaires, on peut considérer que
les transitions dues aux collisions vont consister au passage d’une orbite circulaire à une
autre. Dans ce cas, une variation de l’énergie de la particule peut s’exprimer en terme de
variation de moment cinétique :
dE
J
= 2 =Ω
(3.8)
dJ
R
La variation de E due à une variation de R peut être ignorée car dans le cas d’une orbite
circulaire on a
J2
∂E -GM
=− 3 + 2 =0
(3.9)
∂R J = const
R
R
Une petite variation du moment cinétique de chaque particule, tout en conservant
le moment cinétique total dJ = dJ1 + dJ2 = 0, entraîne une variation d’énergie
B
A
dE2
dE1
dJ1 +
dJ2
dE = mp
dJ1
dJ2
B
A
√
1
1
= mp dJ1 (Ω1 − Ω2 ) = mp GM dJ1
− 3/2
3/2
R1
R2
(3.10)
Dans le cas où R1 > R2 , comme les collisions sont dissipatives on a dE < 0, de sorte que
la particule
qui est sur l’orbite extérieure gagne du moment cinétique (dJ1 > 0). Comme
√
J ∝ R, la particule se retrouve sur une orbite encore plus extérieure (Lynden-Bell et
Pringle, 1974; Stewart et al., 1984).
107
L’effet des collisions entre particules est donc d’amener le système vers un état
de plus basse énergie par échange de moment cinétique depuis les particules les plus
intérieures vers celles les plus extérieures. On peut également montrer que la diminution d’énergie du système s’accompagne d’un transfert de masse vers l’intérieur. Ainsi, la
configuration d’énergie minimale est un état limite dans lequel une particule de masse infinitésimale transporte l’intégralité du moment cinétique dans une orbite circulaire située
à une distance infinie, tandis que l’intégralité de la masse restante est transportée vers le
centre du disque (Lynden-Bell et Pringle, 1974). Sous l’effet des collisions, un disque de
particules va donc s’étaler.
3.2.2.3
Cisaillement et viscosité
Considérons un cylindre d’axe vertical rempli d’un liquide au repos. À l’instant
initial, on met le cylindre en rotation à la vitesse angulaire Ω0 = cte. Tout d’abord, seules
les couches de fluide immédiatement en contact avec les parois du cylindre se mettent en
mouvement et acquièrent la vitesse angulaire du cylindre. Cet écoulement de fluide est
caractérisé par la vitesse angulaire
Ω(r, t) =
v(r, t)
r
(3.11)
où la vitesse locale v de l’écoulement est perpendiculaire au rayon r du cylindre.
L’écoulement se propage vers les couches de fluides les plus intérieures, jusqu’à atteindre une rotation de la totalité du fluide contenu dans le cylindre. La quantité de
mouvement du cylindre s’est donc propagée, par diffusion radiale, aux couches de fluides
successives. Il existe donc une force de friction entre la paroi du cylindre et les différentes
couches de fluide : c’est la contrainte de cisaillement 1 . Le transport de la quantité de
mouvement est assuré par une grandeur caractéristique du fluide : la viscosité.
Dans un anneau planétaire, la rotation différentielle génère des collisions qui se font
tangentiellement : les particules se « roulent » les unes sur les autres, de sorte que le disque
subit une contrainte de cisaillement. Il y a alors un transfert de quantité de mouvement
dans la direction radiale. Comme le moment cinétique L et la quantité de mouvement p
d’une particule sont reliés par L = R × p (ici × représente le produit vectoriel), il ressort
donc que les collisions entre particules vont avoir pour effet de transporter le moment
cinétique du disque.
Plaçons-nous dans un repère local à la distance R0 et tournant autour de la planète.
Dans le cas purement képlérien, ce repère tourne à la fréquence Ω (R0 ). Dans ce repère,
la vitesse orbitale à une distance R s’écrit Uθ = [Ω (R) − Ω (R0 )] R. En introduisant
x = R − R0 il vient
3
Uθ ≈ − Ω (R0 ) x.
(3.12)
2
1. La contrainte de cisaillement est une contrainte appliquée de façon parallèle ou tangentielle au
matériau, par opposition à une contrainte normale qui est appliquée perpendiculairement.
108
Le taux de cisaillement s s’écrit alors
s=
3
∂Uθ
= − Ω (R0 )
∂x
2
(3.13)
Le taux d’augmentation de l’énergie cinétique par unité de masse est alors
-
∂σr2 -∝ νs2 ,
∂t gain
(3.14)
où ν est la viscosité cinématique. Le cisaillement gravitationnel a donc pour effet, par le
biais du cisaillement gravitationnel qu’il impose, de « chauffer » les anneaux.
Les collisions ont donc un double effet : elles chauffent le disque en prélevant l’énergie
mécanique d’ensemble du cisaillement du disque et pour la transférer aux particules qui
gagnent de l’énergie cinétique (augmentation de leur vitesse de dispersion), énergie qui
est ensuite rayonnée dans l’espace par ces particules, contribuant ainsi au refroidissement
du disque.
3.2.3
La viscosité d’un anneau dense planétaire.
La viscosité d’un disque gazeux, tel qu’un disque d’accrétion, est très différente de
celle d’un disque circumplanétaire. En effet, ces derniers sont composés de particules macroscopiques (et non pas de gaz et de poussières), ce qui fait que les effets radiatifs et
relatifs à la pression sont fortement négligeables par rapport aux effets gravitationnels.
Les résultats obtenus dans le cas des disques gazeux ne sont donc pas simplement transposables au cas des anneaux planétaires denses. Dans cette section nous allons voir de
façon plus précise quelles sont les différentes sources de transfert de moment cinétique, et
les différentes viscosités associées.
Figure 3.1 – Les différents modes de transport du moment cinétique. (a) Transport local. (b) Épicycle
d’une particule (pas de transport). (c) Transport non-local.
3.2.3.1
Transport « local » de moment cinétique
La composante « locale » du transport de moment cinétique est liée au mouvement
aléatoire des particules (Fig. 3.1a). Le terme « local » est utilisé pour indiquer qu’il
n’est pas nécessaire de séparer la position des particules lors d’une collision. Quand une
particule, entre deux collisions, traverse la ligne imaginaire en pointillés (Fig. 3.1a), elle
109
emporte avec elle le moment cinétique moyen par particule, depuis sa région d’origine vers
sa région d’arrivée.
À cause de la rotation différentielle, la particule arrive dans une région où la vitesse
moyenne est plus faible que dans sa région d’origine. La particule a donc un léger excès de
moment cinétique par rapport aux particules qui l’entourent. Ce moment cinétique sera
transféré à l’écoulement au cours des collisions suivantes. Il y a donc un effet de traction
entre les différentes régions d’un disque, les parties les plus internes (externes) tendant à
accélérer (freiner) les parties les plus externes (internes), caractéristiques d’une contrainte
de cisaillement.
La dynamique d’un disque peut être caractérisée par l’importance relative de la
fréquence de collision ωc et la fréquence orbitale d’une particule Ω (il s’agit en fait de
quantifier le nombre de collisions par orbite subies par une particule). Si ωc ≫ Ω, le
disque est un fluide visqueux dont la viscosité cinématique est ν ≃ σr2 /ωc . Si par contre
on a ωc . Ω, alors l’orbite d’une particule entre deux collisions est une courbe et la
viscosité n’est plus isotrope. Pour des valeurs arbitraires du rapport Ω/ωc , l’amplitude de
la viscosité est alors de l’ordre de (Goldreich et Tremaine, 1978b) :
νl ≃
σr2
1
,
ωc 1 + Ω2 /ωc2
(3.15)
Les particules du disques oscillent autour du plan équatorial du disque à une fréquence de l’ordre de Ω. Le nombre moyen de collisions subies par une particule lorsqu’elle
traverse le disque est de l’ordre de la profondeur optique τ . On a donc ωc /Ω ≃ τ et il
vient :
σ2 τ
.
(3.16)
νl = r
Ω 1 + τ2
3.2.3.2
Transport « non-local » de moment cinétique
Dans un système collisionnel dense tel que les anneaux de Saturne, le libre parcours
moyen d’une particule est du même ordre de grandeur que la taille physique de la particule,
et le moment cinétique transféré lors d’une collision sur une distance de l’ordre de la taille
d’une particule est donc important. Ce transfert de moment cinétique se fait via des ondes
sonores se propageant à travers les particules (Fig. 3.1c).
Il est ici nécessaire de séparer les positions des particules lors de la collision. Ce
mode de transport est donc qualifié de « non-local ». Considérons le transport de moment
cinétique à travers la ligne en pointillés de la figure 3.1, en se limitant aux collisions
impliquant 2 particules dont les centres sont de part et d’autre de la ligne (Fig. 3.1c).
Le nombre N de particules qui traversent cette ligne, par unité de temps et de longueur,
est approximativement N = (Σ/mp ) σr , où Σ est la densité de surface du disque. Pour
ne compter que les particules réellement intersectées par la ligne en pointillés, il faut
multiplier la densité de flux de particules N par un facteur 2rp /λ où λ = σr /ωc est le libre
parcours moyen des particules et ωc est la fréquence de collisions.
La quantité maximale de moment cinétique ∆J transportée sur une distance radiale
de l’ordre de la taille d’une particule est ∆J = mp 2rp s. Le tenseur de cisaillement intégré
verticalement s’écrit Pxy = N ∆J. Par identification avec la relation hydrodynamique
110
Pxy = Σνnl s, on en déduit la viscosité νnl associée au transport non-local de moment
cinétique (Shukhman, 1984) :
νnl = 4Ωrp2 τ
(3.17)
3.2.3.3
L’auto-gravité d’un disque
Jusqu’à présent nous n’avons pas considéré les interactions entre particules. La prise
en compte de l’auto-gravité du disque, c’est-à-dire des forces gravitationnelles exercées
entre les particules modifie de façon importante la dynamique globale du disque, mais de
façon variable. En effet, le potentiel gravitationnel d’une seule particule est très faible.
Aussi l’auto-gravité aura des effets importants d’un point de vue collectif, c’est-à-dire
quand un grand nombre de particules vont être mises en jeu, ce qui est justement le cas
des anneaux planétaires denses.
3.2.3.3.1 Importance de l’auto-gravité
A faible profondeur optique, c’est-à-dire quand il y a peu de particules par unité de
volume, les effets collectifs de l’auto-gravité sont négligeables devant le chauffage gravitationnel dû aux rencontres proches (Cuzzi et al., 1979a,b; Hämeen-Anttila, 1984; Petit
et Henon, 1987; Ohtsuki, 1992). À plus forte densité, l’auto-gravité verticale moyenne
devient comparable ou peut même dépasser la composante verticale de la force centrale
causée par la planète. Ceci résulte en une augmentation importante de la fréquence de collisions, et une diminution de l’épaisseur du disque (Salo et Lukkari, 1982; Shu et Stewart,
1985; Araki et Tremaine, 1986; Wisdom et Tremaine, 1988).
Un anneau très dense va également être sujet à des instabilités gravitationnelles. Ces
instabilités se manifestent par la formation de modifications temporaires de la densité de
surface, appelées « self-gravity wakes » (Salo, 1992a). Plus on s’éloigne de la planète, plus
son potentiel gravitationnel est faible, de sorte que des particules peuvent commencer à
se coller les unes aux autres. Les particules dans une wake vont alors former de petits
agrégats (Salo, 1995).
De manière générale, la prise en compte de l’auto-gravité entraîne une très forte
augmentation de la viscosité, étant donnée l’augmentation de la fréquence d’impacts,
l’agitation gravitationnelle de l’ensemble des particules, et surtout à cause du couple
gravitationnel exercé par les wakes qui entraîne un mouvement collectif des particules
(Daisaka et al., 2001).
Un paramètre utile pour caractériser l’importance de l’auto-gravité vis-à-vis des
forces de marées dues à la planète, est le rapport entre le rayon de Hill 1 mutuel pour une
paire de particules et la somme de leurs rayons physiques (Lynden-Bell et Kalnajs, 1972;
Daisaka et al., 2001) :
RHill
=
rh =
R1 + R2
A
ρ0
3ρ
B1/3 3
a (1 + µ)1/3
,
R 1 + µ1/3
4
(3.18)
1. La sphère de Hill d’un objet A orbitant autour d’un objet B plus massif définit sa zone d’influence
gravitationnelle, c’est-à-dire la zone dans laquelle il est capable de capturer un éventuel troisième corps
C de masse négligeable, sans que celui-ci soit capturé par le corps B. La sphère de Hill d’un objet est
donc d’autant plus grosse que sa masse est grande, et qu’il est éloigné de l’objet massif.
111
où ρ est la densité de la planète, a est le demi-grand axe, µ = m1 /m2 où mi est la masse
de la particule i de densité ρ0 . Dans le cas de particules identiques de masse m0 et rayon
R0 , l’expression précédente peut s’écrire :
A
M
rh = 0,82
5,69 × 1026 kg
B−1/3 A
ρ0
900 kg/m3
B1/3 3
a
.
100 000 km
4
(3.19)
En considérant des particules de glace, ρ0 = 900 kg/m3 , les anneaux de Saturne
correspondent à rh = 0,6 − 1,1 depuis le bord interne de l’anneau C, jusqu’au bord
externe de l’anneau A.
3.2.3.3.2 Effets de l’auto-gravité sur les collisions
À faible profondeur optique, l’effet principal de la gravité réside dans les rencontres
proches entre paires de particules, qui se comportent comme des collisions parfaitement
élastiques : l’énergie cinétique totale est conservée, tandis que la modification des orbites
des particules transfère l’énergie depuis le champ de vitesse systématique vers des mouvements aléatoires. Ce chauffage supplémentaire est efficace seulement
ñ si la dispersion de
vitesse σ est plus faible que la vitesse de libération mutuelle vlib = 2Gm0 /R0 . Ainsi, si
on ne considère que ce type de collisions, le système devrait évoluer naturellement vers un
état où σ ∼ vlib (Safronov, 1969; Cuzzi et al., 1979a,b). Cependant, si les collisions sont
capables de maintenir σ > vlib , alors les effets des rencontres proches sont négligeables.
L’importance des rencontres proches peut être exprimée en termes d’une limite supérieureñpour l’épaisseur du disque, H < Hlib , où l’épaisseur géométrique effective du disque
H = 12éz 2 ê représente l’épaisseur totale d’une couche uniforme ayant la même dispersion verticale que la véritable distribution (z désigne l’axe vertical). À faible profondeur
√ 3/2
optique on a H ≈ 2σ/Ω. En utilisant vlib ≈ 24rh R0 Ω, on obtient
Hlib ≈
2σ
3/2
≈ 10rh R0
Ω
(3.20)
Si on considère un coefficient de restitution constant ǫn ≤ 0,5, les impacts à eux
seuls maintiennent H/R0 ≈ 5 (Salo, 1995), de sorte que les rencontres gravitationnelles
dominent les collisions pour rh > 0,7.
3.2.3.3.3 Auto-gravité verticale
Dans un système très dense (forte profondeur optique τ et facteur de remplissage
ρ/ρ0 ), les effets collectifs de l’auto-gravité deviennent importants. Premièrement, la composante verticale de l’auto-gravité, Fz , peut devenir plus forte que la composante correspondante du champ de force central dû à la planète, Fc = −Ω2 z. Considérons le cas
simplifié d’une couche homogène composée de particules identiques, et d’épaisseur H. À
l’intérieur de cette couche, de densité ρ, l’équation de Poisson donne
Fz (z) = −2πG
Ú z
−z
ρ(z ′ )dz ′ = −
112
4πGΣz
H
(3.21)
En supposant que la distribution de masse verticale suit un profil gaussien, la composanteñverticale de l’auto-gravité à proximité du plan équatorial est plus grande d’un
facteur 6/π, si le rapport Fz /Fc est paramétré en termes de H comme défini précédemment. De façon similaire à Hlib , on peut définir Hfz , l’épaisseur d’un système vérifiant
Fz ∼ Fc :
Hfz
= 65τ rh3 .
(3.22)
R0
Pour des valeurs caractéristiques de l’anneau B de Saturne, rh ∼ 0,8, τ ∼ 1,5, la composante verticale de l’auto-gravité domine le potentiel gravitationnel central si H/R0 < 50.
Des simulations numériques incluant l’auto-gravité ont montré que cette force verticale supplémentaire tend à réduire l’épaisseur du disque H de façon significative (Wisdom
et Tremaine, 1988; Salo, 1991). Ceci est dû d’une part à l’augmentation de la fréquence
verticale, et d’autre part, de façon indirecte, à l’augmentation de la dissipation. Ceci a
pour conséquence d’augmenter fortement la viscosité, quelle que soit la valeur de la profondeur optique τ . Il y a néanmoins d’autres effets de l’auto-gravité qui vont générer une
augmentation encore plus importante de la viscosité. Ils sont traités dans le paragraphe
suivant.
3.2.3.3.4 Les « self-gravity wakes 1 »
De prime abord, on pourrait penser que les composantes de l’auto-gravité situées
dans le plan du disque vont avoir moins d’importance que la composante verticale, car
les composantes radiales et azimutales pourraient se compenser en partie. Néanmoins,
Toomre (1964) a montré qu’un disque de particules auto-gravitant, et animé d’une rotation différentielle, est localement instable vis-à-vis de la croissance de perturbations
axisymétriques si la composante radiale de la dispersion de vitesse σr devient inférieure à
une valeur critique :
3,36GΣ
3,36GΣ
σrcrit =
=
,
(3.23)
κ
κ
où κ représente la fréquence épicyclique (dans le cas képlérien on a κ = Ω). Cette valeur
critique est idéale pour mesurer où se situe un disque donné vis-à-vis du seuil d’instabilité.
Ceci est réalisé via le facteur de Toomre Q :
Q=
σr κ
σr
=
.
crit
σr
3,36GΣ
(3.24)
Dans le cas où le disque serait composé de particules identiques, il vient :
σr
≈ 10Qτ rh3 .
R0 Ω
(3.25)
De même que pour la composante verticale de l’auto-gravité, on peut dire que dès que
l’auto-gravité devient importante, le système est également proche de l’instabilité collective dans le plan : Fz /Fc > 1 correspond à Q < 2,5.
1. La traduction de « self-gravity wakes » en « sillons d’auto-gravité » n’étant pas véritablement
consacrée, j’ai choisi de conserver la dénomination anglaise du phénomène qui, elle, est consacrée.
113
Que se passe-t-il quand le disque atteint cet état de quasi-instabilité ? L’effondrement
gravitationnel s’oppose au mouvement aléatoire des particules, ce qui empêche l’agglomération à petite échelle, tandis que la rotation différentielle détruit les agglomérats plus
importants. Dès lors que le facteur de Toomre devient de l’ordre de quelques unités (i.e.
Q ≥ 2 − 3), l’instabilité collective est évitée et le système devient globalement uniforme.
Le principal effet de la gravité réside alors dans les rencontres entre paires de particules
qui agitent et augmentent la dispersion de vitesse.
Néanmoins, si la profondeur optique, et donc la densité de surface Σ, augmentent
suffisamment, ou si l’on s’intéresse à une partie du disque située plus loin de la planète,
le facteur de Toomre Q est susceptible de passer sous la limite de quelques unités. Dans
ce cas, la gravité collective, associée à la rotation différentielle, entraîne la formation de
structures en forme de sillons qui se forment et disparaissent sur des échelles de temps
de l’ordre de la période orbitale. L’importance de ces structures provient de l’association
de l’auto-gravité et de la rotation différentielle (Goldreich et Lynden-Bell, 1965; Toomre,
1981), qui a pour effet d’amplifier de façon significative les petits sillons cinématiques qui
se créent à la suite de petites fluctuations de densité.
3.2.3.3.5 Condition d’apparition des wakes dans les anneaux planétaires
Les self-gravity wakes sont en fait une superposition d’ondes de type Julian-Toomre,
excitées autour de chaque particule. Même si ces structures sont temporaires, ce qui diffère
de l’augmentation de la réponse stable d’un disque en orbite autour d’un corps central
étudié dans le cas d’un disque circumstellaire par Julian et Toomre (1966), cette analogie
est démontrée par les similitudes entre les fonctions d’auto-corrélation. Ces similitudes
justifient également d’appeler ces structures wakes (sillons), en dépit de l’absence d’un
corps perturbateur.
Dans le cas des anneaux planétaires, la dissipation due aux collisions partiellement
inélastiques fournit un mécanisme naturel de refroidissement, qui mène à un état d’équilibre statistique où Q ∼ 1 − 2, caractérisé par une régénération continue de wakes. La
formation de self-gravity wakes dans le cas des anneaux de Saturne a été étudiée en premier par des simulations de Salo (1992a), et a été ensuite confirmée par plusieurs autres
études (Richardson, 1994; Daisaka et Ida, 1999; Ohtsuki et Emori, 2000).
Pour les anneaux de Saturne, la condition pour l’apparition des self-gravity wakes,
Q < 2, correspond à (Salo, 1995; Ohtsuki et Emori, 2000; Salo et al., 2004)
τ > τmin ≈ 0,2
3
a
108 m
4−3 A
ρ0
900 kg/m3
B−1
,
(3.26)
ce qui donne τmin ≈ 0,3 − 0,1 depuis le bord interne de l’anneau C jusqu’au bord externe
de l’anneau A, dans le cas de particules composées de glace d’eau.
3.2.3.3.6 La viscosité gravitationnelle
Quand les wakes se forment dans le disque, la viscosité totale est dominée par le
transfert de moment cinétique lié aux couples gravitationnels exercés par les wakes (viscosité gravitationnelle), et par le transfert associé au mouvement à grande échelle des
wakes (qui s’ajoute à la viscosité locale, dont l’autre contribution est liée au mouvement
114
aléatoire des particules). La contribution de la viscosité non-locale à la viscosité totale est
alors négligeable.
Par simple analyse dimensionnelle, la viscosité gravitationnelle devrait être de l’ordre
de L2 Ω, où L est l’échelle radiale du transport de moment cinétique, et LΩ est le moment
tangentiel associé. La distance typique entre 2 wakes, tirée de simulations par Salo (1995)
et Daisaka et Ida (1999) est de l’ordre de la longueur d’onde critique de Toomre (Toomre,
1964). Dans le cas képlérien, cette longueur critique λcr est :
λcr =
4π 2 GΣ
.
Ω2
(3.27)
En identifiant cette longueur critique et l’échelle de transport du moment cinétique, on
obtient L ∝ GΣ/Ω2 , puis νgrav ∝ G 2 Σ2 /Ω3 . Daisaka et al. (2001) ont déterminé à partir
de simulations un facteur de proportionnalité, obtenant pour la viscosité gravitationnelle
l’expression
1
G 2 Σ2
νgrav ≈ C(rh ) 3 ,
(3.28)
2
Ω
avec C(rh ) = 26rh5 . Ils ont également montré que dans le cas où l’auto-gravité du disque devient importante, la composante locale de la viscosité devient du même ordre de grandeur
que la composante gravitationnelle. Ceci est du au fait que les instabilités gravitationelles induisent un mouvement d’ensemble des particules. Le transport local de moment
angulaire, qui on l’a vu est lié au mouvement des particules, se trouve alors amplifié.
L’auto-gravité du disque a donc pour effet de réguler la composante locale du transfert
de moment cinétique (Daisaka et al., 2001).
3.3
Nouvelle approche : évolution visqueuse d’un
disque avec un modèle de viscosité réaliste
Les codes N-corps présentés dans la section précédente ont permis de déterminer de
façon précise la viscosité d’un anneau planétaire auto-gravitant. Néanmoins, l’évolution
de l’anneau dans son ensemble, sous l’effet de cette viscosité, et sur des échelles de temps
de l’ordre de l’âge du Système Solaire, n’a encore jamais été étudiée. Ceci fait l’objet de
cette section.
3.3.1
La méthode
3.3.1.1
L’approche 1D
De façon à pouvoir étudier l’évolution du disque sur de longues échelles de temps
(de l’ordre du milliard d’années), j’ai choisi de restreindre le modèle à la seule dimension
radiale : toutes les quantités sont moyennées dans les directions azimutales et verticales.
La physique s’en retrouve donc légèrement simplifiée, mais l’utilisation d’un modèle simple
non-trivial possède l’avantage de fournir des résultats facilement interprétables. L’objectif
de ce travail est de voir pour la première fois comment la prise en compte d’un modèle
de viscosité physiquement réaliste influence l’évolution d’un anneau planétaire dans sa
115
globalité, sur l’âge du système solaire. De plus, cette approche a déjà été utilisée dans le
cadre des disques protoplanétaires, avec d’importants résultats à la clé (Takeuchi et al.,
1996; Alibert et al., 2005).
Pour calculer l’évolution de la densité de surface Σ (R, t) d’un annelet élémentaire
situé à la distance R du centre de la planète, et au temps t, j’ai utilisé une approche
similaire à celle de Pringle (1981). Le disque est sans pression, et on se place dans le cadre
purement képlérien. Premièrement, l’équation de conservation de la masse s’écrit :
R
∂Σ
∂
+
(RΣvr ) = 0,
∂t
∂R
(3.29)
où vr (R, t) est la vitesse radiale. Deuxièmement, l’équation de conservation du moment
cinétique s’écrit :
A
B
2
∂ 1 2 2 1 ∂ 1 3
∂Ω
1 ∂
νΣR3
.
ΣR Ω +
ΣR Ωvr =
∂t
R ∂R
R ∂R
∂R
(3.30)
Comme on se restreint au cas purement képlérien, la fréquence orbitale s’écrit Ω =
GM/R3 et la vitesse radiale est vr = RΩ. En combinant les équations 3.29 et 3.30 on
obtient une seule équation pour l’évolution temporelle de la densité de surface du disque :
ñ
∂Σ
3 ∂ √ ∂ 1 √ 2
R
νΣ R
=
∂t
R ∂R
∂R
C
3.3.1.2
D
(3.31)
Le modèle de viscosité
3.3.1.2.1 Formulation
Comme présenté précédemment, on distingue trois contributions à la viscosité :
– un composant local ou translationnel lié au transport de moment cinétique par
transport des particules : νtrans (voir section 3.2.3.1),
– un composant non-local ou collisionnel lié au transport de moment cinétique à
travers les particules lors des collisions : νcoll (voir section 3.2.3.2),
– un composant gravitationnel lié à la modification du mouvement des particules
en présence de « self-gravity wakes » : νgrav (voir section 3.2.3.3.6).
La viscosité du disque étant liée aux effets collectifs dû à l’auto-gravité, il est nécessaire de déterminer si ces effets vont être importants ou non. Ceci est mesuré par le
facteur de Toomre Q (Toomre, 1964) :
Q=
Ωσr
,
3,36GΣ
(3.32)
où σr est la composante radiale de la dispersion de vitesse. Toomre (1964) a montré
que le disque devient gravitationnellement instable, c’est-à-dire que les effets collectifs
dus à l’auto-gravité deviennent importants, quand Q . 1. Néanmoins, les simulations
numériques ont montré que les self-gravity wakes commencent à se former lorsque Q . 2
(Salo, 1995).
Suivant ces considérations, le modèle de viscosité adopté est le suivant :
116
Q<2
G 2 Σ2
Q>2
σr2
1
0,46τ
1+τ 2
νtrans
1
26rh5 Ω3
2
νcoll
rp2 Ωτ
rp2 Ωτ
νgrav
2 2
1
26rh5 GΩΣ3
2
0
2Ω
2
Table 3.1 – Les différentes composantes de la viscosité dans le cas d’un disque auto-gravitant (Q < 2)
ou non-auto-gravitant (Q > 2)
Dans le cas non-auto-gravitant, la viscosité translationnelle dépend de la composante
radiale de la dispersion de vitesse. Des simulations numériques (Salo, 1995; Daisaka et
Ida, 1999) et des considérations analytiques (Ohtsuki, 1999) ont montré que la forme
de σr varie selon les paramètres du disque. Si rh . 0,5, la dispersion de vitesse est
régulée par les collisions et dans ce cas σr ∼ 2rp Ω. Dans le cas contraire où rh & 0,5,
la dispersion de
ñ vitesse devient de l’ordre de la vitesse de libération des particules et on
a alors σr ≃ Gmp /rp . Pour le cas particulier des anneaux de Saturne, on a rh & 0,5,
donc ñ
dans toute la suite la composante radiale de la dispersion de vitesse est fixée à
σr = Gmp /rp .
3.3.1.2.2 Variation de la viscosité avec les paramètres du disque
Il est intéressant de regarder comment les différentes composantes de la viscosité
varient avec les paramètres du disque, ainsi que leur importance relative. Le tableau 3.1
montre que la viscosité dépend en particulier de la densité de surface du disque Σ, de la
distance à la planète R, et de la taille des particules rp . La variation des trois composantes
de la viscosité, pour différentes valeurs de ces paramètres, est représentée dans la figure 3.2.
Les viscosités translationnelle et collisionnelle augmentent avec la taille des particules. La
viscosité translationnelle croît avec la distance, alors que la viscosité collisionnelle décroît
avec la distance. La viscosité collisionelle croît strictement avec la densité de surface. Du
fait de sa dépendance en τ /(1 + τ 2 ), la viscosité translationnelle dans le cas non-autogravitant possède un point d’inflexion dont la position dépend de la taille de particules.
Dans le cas auto-gravitant, la viscosité translationnelle croît strictement avec la densité de
surface. Il ressort de ces courbes que la viscosité du disque est très sensible aux paramètres
du disque. Lors de son évolution, ces paramètres vont être amenés à évoluer, ce qui va
donc modifier la viscosité, et donc modifier l’évolution du disque. Une étude précise de
ces phénomènes s’impose donc.
Un autre phénomène concerne l’autogravité du disque. Le facteur de Toomre Q, qui
permet de mesurer l’importance des effets collectifs dus à l’autogravité, est inversement
proportionnel à la densité de surface. Quand le disque s’étale visqueusement, sa densité
de surface va diminuer, avec pour conséquence l’augmentation de Q. Ainsi, une région du
disque initialement auto-gravitante (AG) sera susceptible de devenir non-auto-gravitante
(NAG), avec à la clé une modification importante de sa viscosité. Étudions ceci d’un peu
plus près.
La figure 3.3 représente, dans l’espace des paramètres (R, Σ), les valeurs théoriques
117
Figure 3.2 – Viscosités translationnelle (en noir) et collisionnelle (en rouge) théoriques pour différentes
tailles de particules. La courbe noire en points est le cas auto-gravitant. Haut : variation avec la distance
à la planète. Bas : variation avec la densité de surface.
de la viscosité totale, dans les cas auto-gravitant et non-auto-gravitant. La ligne en pointillés νAG = νNAG représente le jeu de paramètres (R, Σ) pour lequel ces viscosités sont
égales, et la ligne en pointillés Q = 2 représente la transition entre les régimes autogravitant (sous la courbe) et non-auto-gravitant (au-dessus de la courbe). Ce graphe
permet d’identifier deux modifications différentes de la viscosité au cours d’une transition
d’un régime à l’autre :
118
Figure 3.3 – Valeurs relatives de la viscosité totale pour un disque dans les régimes auto-gravitant (νAG )
et non-auto-gravitant (νNAG ), et position de la transition entre les deux régimes (courbe Q = 2). La
courbe en pointillés νAG = νNAG indique le jeu de paramètres (R, Σ) pour lequel les viscosités théoriques
totales sont égales.
– près de la planète, une diminution de la densité de surface, causant une transition
de la zone rose vers la zone bleue, va entraîner une augmentation de la viscosité,
car dans ces zones νAG < νNAG ;
– loin de la planète, une diminution de la densité de surface, causant une transition
de la zone verte vers la zone jaune, va entraîner une diminution de la viscosité,
car dans ces zones νAG > νNAG .
Lors de son évolution visqueuse, le disque devrait donc avoir des comportements différents
près et loin de la planète lors de transitions entre le régime auto-gravitant et non-autogravitant.
3.3.1.3
Le code HYDRORINGS
3.3.1.3.1 Méthode de résolution
L’équation 3.31 n’étant pas soluble analytiquement dans le cas d’une viscosité dépendant de R et Σ, il est nécessaire de la résoudre numériquement. Pour ce faire, j’ai développé
avec Sébastien Charnoz un code numérique modulable, baptisé HYDRORINGS. C’est un
code 1D à éléments finis et à grille alternée. En effet, l’équation 3.31 est une équation aux
dérivées partielles linéaire, qui se prête bien à une résolution par éléments finis. Cette méthode consiste à rechercher une solution approchée d’une équation aux dérivées partielles
sur un domaine discret avec conditions aux bords. La densité de surface est évaluée sur
un maillage divisé en N cellules de taille égale. L’utilisation d’un maillage constant a été
choisie car, l’ensemble du disque étant soumis au même phénomène (à savoir le couple
visqueux), il n’y a a priori pas de raison de raffiner plus particulièrement telle ou telle
119
région du disque.
L’évolution de la densité de surface est calculée en estimant les flux de masse à
travers les bords gauche et droit de chacune des cellules de la grille. En effet, en intégrant
l’équation 3.31 sur la largeur de la cellule dR, la variation dΣi de la densité de surface
dans la cellule numéro i et sur un temps dt s’écrit :

dΣi = 
1
Flux Ri +
dR
2
2
1
− Flux Ri −
dR
2
Surface de la cellule
2
 dt.
(3.33)
Le flux de masse au temps t et à la distance R de la planète s’écrit :
Flux (R) = 6π
C
√
∂ 1 √ 2
R
νΣ R .
∂R
D
(3.34)
3.3.1.3.2 Choix de l’intégrateur numérique
Le choix de l’intégrateur numérique se base sur trois exigences : précision, stabilité,
et rapidité. Il n’y a évidemment pas d’intégrateur miracle, et chacun possède ses avantages
et inconvénients vis-à-vis de chacune des exigences. Le problème à résoudre peut s’écrire
sous la forme du problème (P) suivant :


 ∂Σ
∂t


(R, t) = f (R, t, Σ (R, t)))
(P )
(3.35)
Σ (t = 0, R) = Σ0 (R)
Nous avons utilisé dans HYDRORINGS un intégrateur Runge-Kutta d’ordre 2 (RK2).
Les méthodes de type Runge-Kutta consistent à écrire une solution approchée du problème
(équation + conditions limites), où n’interviennent que des évaluations de la fonction f ,
sans passer par ses dérivées. L’avantage de cette méthode est que la solution conduit à
une erreur qui est du même ordre que celle du développement en série de Taylor de (P).
Chaque méthode de Runge-Kutta consiste à écrire Σ(t + dt), solution approchée de (P),
sous la forme d’une combinaison linéaire de Σ(t) et de valeurs de la fonction f de telle
manière que le développement en série de Taylor de cette combinaison linéaire algébrique
soit égale au développement en série de Taylor de Σ(t + dt) jusqu’à un ordre fixé. L’ordre
en question donne l’ordre de la méthode Runge-Kutta, soit 2 dans notre cas.
La méthode RK2 de résolution de (P) s’écrit :
Σn+1 = Σn + 12 (k1 + k2 ) dt
(3.36)
tn+1 = tn + dt
où Σn+1 est l’approximation RK2 de Σ (tn+1 ), et
k1 = f (tn , Σn )
1
k2 = f tn +
dt
, Σn
2
120
2
+ 21 k1 dt
(3.37)
La méthode RK2 consiste à calculer
A
dt
Σ R, t +
2
B
1
= Σ (R, t) + k1 dt,
2
(3.38)
puis
A
B
1
dt
+ k2 dt.
Σ (R, t + dt) = Σ R, t +
2
2
(3.39)
Dans un premier temps, les flux entrant et sortant de chaque cellule sont calculés
à partir des valeurs des paramètres à l’instant t. Ce flux est alors multiplié par dt/2 et
l’on obtient une estimation de la densité de surface à t + dt/2. Un nouveau flux est alors
calculé à partir des paramètres à l’instant t + dt/2. On peut alors obtenir le profil de
densité de surface à t + dt. C’est une sorte d’approche en deux temps de la solution.
3.3.1.4
Tests et validation du code HYDRORINGS
Pour valider le fonctionnement du code HYDRORINGS, j’ai réalisé plusieurs tests
visant à éprouver sa précision numérique d’une part, et la possibilité de retrouver des
résultats connus d’autre part.
3.3.1.4.1 Précision numérique
Tout d’abord, j’ai vérifié que le code conserve numériquement la masse du système.
Pour ce faire, j’ai placé une disque initial au profil arbitraire dans une grille dont les
conditions aux bords sont telles que le matériau ne peut franchir les frontières de la grille :
le disque est « emprisonné »dans la grille. Le code fait ensuite évoluer visqueusement le
disque, et la masse du disque est calculée à partir de la densité de surface fournie par le
code numérique.
L’échelle de temps visqueuse initiale est ∆R2 /ν ∼ 11 500 années pour un disque de
largeur initiale ∆R = 3 000 km. Après 100 millions d’années d’évolution, soit quelques
9 000 temps dynamiques, la masse du disque est égale à sa valeur initiale jusqu’à la
précision machine (10−18 kg). Le code HYDRORINGS conserve numériquement la masse
du système.
D’autre part, comme l’équation 3.31 est issue de l’équation de conservation du moment cinétique, le code devrait par construction conserver le moment cinétique du système,
tout du moins tant que le disque n’a pas atteint les extrémités de la grille où les conditions
au bord sont susceptibles de modifier le moment cinétique du disque. Pendant l’intervalle
de temps où le disque s’étale librement entre les limites de la grille, j’ai calculé, toujours
avec la densité de surface fournie en sortie du code numérique, que le moment cinétique
du disque est également conservé par le code jusqu’à la précision de la machine.
3.3.1.4.2 Reproduction des résultats de Pringle (1981)
De nombreuses études ont été réalisées sur l’étalement visqueux des disques astrophysiques, en particulier des disques d’accrétion (Lynden-Bell et Pringle, 1974; Bath et
Pringle, 1981; Pringle, 1981). Pour valider le comportement physique du code HYDRO-
121
RINGS, j’ai cherché à reproduire les résultats analytiques de Pringle (1981) concernant
l’étalement d’un disque à viscosité constante.
L’évolution de la densité de surface d’un disque à viscosité constante ν au cours du
temps est donné par (Pringle, 1981) :
1 + x2
m
I1
exp
−
Σ (x, τ ) =
4
πR02 τ x1/4
τ
A
B
3
2x
τ
4
(3.40)
où x = R/R0 avec R0 la position initiale du disque, m est la masse initiale du disque,
τ = 12νt/R02 est une forme adimensionnée du temps t, et I1/4 est la fonction de Bessel
modifiée d’ordre 1/4. Cette équation est valable pour une répartition de masse initiale
Σ (R, t = 0) = mδ (R − R0 ) / (2πR0 ), c’est à dire que le disque initial est un Dirac en
R = R0 . L’évolution de cette densité de surface au cours du temps est représentée sur la
figure 3.4.
Figure 3.4 – Représentation de la solution analytique de l’étalement visqueux d’un disque à viscosité
constante, à différents temps d’évolution. Gauche : D’après Pringle (1981). Droite : résultats obtenus
avec le code Hydrorings, pour une viscosité ν = 0,1 m2 s−1 .
Le résultat obtenu avec le code Hydrorings est en accord avec le réultat analytique
de Pringle (1981), ce qui nous permet de valider le bon fonctionnement du code. On
peut noter quelques différences, dues au fait que d’une part le disque initial dans le code
Hydrorings n’est pas exactement un Dirac à cause de la résolution finie de la grille, et
d’autre part à une condition aux limites vraisemblablement différente au niveau du bord
intérieur (dans la simulation présentée ici, le matériau est bloqué au niveau de la planète).
3.3.1.5
Protocole de simulation
3.3.1.5.1 Le modèle standard
De façon à pouvoir étudier l’influence de certains paramètres du disque sur son
évolution, j’ai défini un modèle dit standard reprenant les valeurs des paramètres les plus
génériques possibles, et qui servira de référence aux autres simulations.
Disque initial
122
L’état initial des anneaux de Saturne est faiblement contraint. Il dépend en particulier du scénario de formation des anneaux qui, nous l’avons vu, reste encore très
controversé. Par exemple, le scénario de destruction d’un satellite par une comète lors
du LHB nécessite que ledit satellite soit légèrement au-delà de l’orbite synchrone de Saturne, soit ∼ 110 000 km, mais en-deçà de la limite de Roche pour la glace d’eau, soit
∼ 138 000km (Charnoz et al., 2009b, voir aussi le chapitre 2). En dehors de cela, aucune
contrainte concernant les valeurs initiales de la largeur du disque, de sa position, de son
profil de densité de surface, n’est disponible. Dans un souci de simplicité et de généralité,
les conditions initiales sont donc choisies comme suit.
– Forme
Le disque initial est un anneau étroit de largeur ∼ 3 000 km, et de profil gaussien.
Le fait de prendre un disque initialement étroit permet de mieux observer son
étalement.
– Position
Suivant les conclusions de Charnoz et al. (2009b), le disque initial est centré
à R = 110 000 km. De plus, cette distance est proche du milieu du système
d’anneaux actuels, et semble donc un choix assez général.
– Masse
On estime que la masse actuelle des anneaux de Saturne est de l’ordre de la masse
de Mimas, soit ∼ 3,75 × 1019 kg (Esposito et al., 1983b). Il est donc naturel de
penser que la masse initiale des anneaux était égale au moins à cette valeur. Néanmoins, étant donné que le bombardement météoritique est susceptible d’apporter
une quantité importante de matériau aux anneaux (Cuzzi et Estrada, 1998), la
masse des anneaux aurait pu être modifiée de façon importante au cours du temps.
Néanmoins, comme la quantité de masse apporté par ce mécanisme dépend directement du flux d’impacteurs dont la valeur sur 5 milliards d’années est inconnue,
nous choisissons de fixer la masse initiale du disque à une masse de Mimas.
Taille des particules
La taille actuelle des particules qui composent les anneaux de Saturne s’étend du
millimètre pour les plus petits, jusqu’à quelques dizaines de mètres pour les plus grosses.
La distribution de taille des particules varie selon la position dans les anneaux (Table 3.2),
de sorte que l’on a par exemple moins de grosses particules dans l’anneau C que dans
l’anneau B (Charnoz et al., 2009a). Il est en plus possible que, sur une orbite donnée,
des particules de différentes tailles coexistent. La taille des particules devrait également
évoluer au gré des collisions (Longaretti, 1989; Albers et Spahn, 2006).
Malheureusement, le modèle de viscosité que l’on va utiliser ne permet pas d’utiliser
une distribution de taille, mais nécessite de fixer une seule taille de particules. Shu et
Stewart (1985) ont montré qu’une distribution de taille N (rp ) ∝ rp−α , avec R1 < rp < R2,
peut être
√ représentée par une seule taille de particules équivalente Re , caractérisée par
Re = 3R2 /π. En prenant R2 ∼ 10 m, il vient Re ∼ 5 m. Goldreich et Tremaine (1982)
suggèrent une taille équivalente rp = 1 m, ce qui est aussi une taille de particules communément utilisée dans de nombreuses simulations N-corps. Etant donnée l’incertitude
autour de ce paramètre, le modèle standard sera constitué de particules de rayon rp = 1 m.
123
Région
Distribution de taille N (rp )
Anneau C
rp−3,1
Anneau B
Anneau A
rp−2,75





rp−(2,75−2,90) rp < 10 m
rp−(5−10)
rp > 10 m
Table 3.2 – Variation de la distribution de taille des particules dans les anneaux principaux de Saturne
(Charnoz, 2009)
Conditions aux limites
La grille radiale s’étend de R = 65 000 km à R = 140 000 km. Les conditions aux
limites sont choisies de manière à être aussi physiques que possible. Au niveau de la limite
intérieure, on considère que, quand le matériau passe en-dessous de R = 65 000 km, il
chute rapidement sur la planète, et qu’il est donc perdu pour le disque. Au niveau de
la limite extérieure, on considère que le matériau a franchi la limite de Roche pour la
glace, et qu’il commence à former des petites lunes qui n’interagissent plus visqueusement
avec le disque. Ces petites lunes interagissent néanmoins avec le disque par le biais des
résonances, mais ceci est pour l’instant négligé et sera étudié au Chapitre 4.
D’un point de vue numérique, on identifie la masse passant par les bords des cellules
0 et N (où N est le nombre de cellules de la grille) entre les instants t et t+dt. Cette masse
est alors instantanément ôtée de ces cellules, de sorte que la densité de surface y reste
constante. On fixe initialement la densité dans ces cellules extrêmes à 0, qui agissent donc
comme des puits qui emmagasinent toute le masse perdue par le disque. Notons aussi que
le matériau perdu par le disque emmène avec lui le moment cinétique qui lui est associé.
3.3.1.5.2 Comparaison avec un disque à viscosité constante et uniforme.
Pour analyser correctement mes simulations avec le modèle de viscosité variable,
j’ai également réalisé des simulations avec un disque dont la viscosité est constante et
uniforme : on la fixe initialement, elle est identique en tout point du disque, et ne varie
pas avec le temps. J’ai choisi une valeur de 0,1 m2 s−1 , ce qui représente environ dix
fois la viscosité au cœur de l’anneau A actuel (Tiscareno et al., 2007). C’est une valeur
arbitraire, mais il convient de noter que dans le cas d’une viscosité constante, la valeur
de la viscosité ne modifie pas le profil d’étalement, mais influe seulement sur les échelles
de temps visqueuses : plus la viscosité choisie sera élevée, plus le disque s’étalera vite.
3.3.1.5.3 Paramètres étudiés
Les paramètres dont on étudie l’évolution au cours du temps sont les suivants :
– le profil de densité de surface du disque ;
– la masse totale du disque (calculée à partir de la densité de surface), de façon à
évaluer la masse perdue par le disque au cours du temps ;
– la masse perdue par le disque à travers les limites de la grille.
124
3.3.2
Résultats : évolution visqueuse des anneaux de Saturne
sur 5 Milliards d’années
Nous allons à présent étudier l’étalement visqueux du modèle standard, avec le code
HYDRORINGS, et en utilisant soit le modèle de viscosité présenté précédemment, soit
un modèle de viscosité constante et uniforme.
3.3.2.1
Début de l’évolution (0 − 105 années)
L’évolution du disque sur les cent premiers milliers d’années d’évolution est représenté sur la figure 3.5. Le disque avec viscosité constante est représenté par la ligne en
pointillés, et le disque avec le modèle de viscosité non-constante est représenté en traits
pleins. Pour rappel, le disque initial est identique pour les 2 disques : une gaussienne de
largeur ∼ 3 000 km centrée en R = 110 000 km, et de masse égale à une masse de Mimas
soit 3,75 × 1019 kg (figure 3.5a).
Figure 3.5 – Évolution du profil de densité de surface du disque Σ pour un disque à viscosité constante
(ligne en pointillés) et non constante (ligne pleine). (a) Disque initial. (b) À 103 années d’évolution. (c)
À 104 années d’évolution. (b) À 105 années d’évolution.
3.3.2.1.1 Profil d’étalement
Le disque avec une viscosité constante (ligne en pointillés) s’étale en conservant la
forme de gaussienne initiale, avec des bords doux et progressifs. Au contraire, le disque
avec le modèle de viscosité variable (ligne pleine) adopte rapidement un profil bombé avec
125
formation de bords très raides (figure 3.5b). Ceci peut s’expliquer par le fait que, dans le
cas du modèle de viscosité non constante, ν est une fonction croissante de la densité de
surface Σ, de sorte que la viscosité est forte au cœur du disque, et faible vers les bords du
disque. En conséquence, le coeur du disque s’étale plus vite que ses bords, de sorte qu’une
grande quantité de matériau est envoyée depuis le cœur du disque vers ses extrémités.
Comme la viscosité est initialement faible au niveau des extrémités du disque, elles ne
peuvent évacuer tout ce matériau qui vient s’accumuler aux bords du disque (figure 3.5b,
ligne pleine).
On constante également que le pic de densité du disque avec une viscosité constante
reste au niveau du centre du disque, alors que le disque avec une viscosité variable possède
un maximum de densité décalé vers la planète (figure 3.5d).
3.3.2.1.2 Vitesse d’étalement
Dans ces premiers temps d’évolution, le disque avec une viscosité variable semble
s’étaler plus rapidement que le disque avec viscosité constante : à 105 années d’évolution, la
largeur du disque est de ∼ 1,5 × 104 km pour le disque à viscosité variable, et 104 km pour
le disque à viscosité constante (figure 3.5d). Ceci peut s’expliquer en comparant les viscosités des deux disques. Initialement, la viscosité dans le centre du disque à viscosité variable
est ν ∼ 100 m2 s−1 , contre seulement 0,1 m2 s−1 pour le disque à viscosité constante. Il est
donc normal que le disque à viscosité variable s’étale plus rapidement. Rappelons néanmoins que la valeur choisie pour la viscosité du disque à viscosité constante est purement
arbitraire, et que cette valeur n’influe que sur la vitesse caractéristique d’étalement, et
non sur le profil d’étalement.
Il est par contre intéressant de constater que, à 105 années d’évolution, la viscosité
au cœur du disque à viscosité non constante a chuté fortement et n’est plus que de
0,8 m2 s−1 , soit cent fois plus faible qu’initialement. L’étalement du disque devrait donc
progressivement ralentir au fur et à mesure que la viscosité va continuer à diminuer, du fait
de la diminution de la densité de surface du disque. Le rapport des vitesses d’étalement
des deux disques devrait donc s’inverser sur des échelles de temps plus longues. Ceci est
étudié dans le paragraphe suivant.
3.3.2.2
Évolution à long terme (106 − 5 × 109 années)
La suite de l’évolution du disque, entre un million et cinq milliards d’années, est
représentée sur la figure 3.6. Le disque avec un modèle de viscosité constante est toujours
représenté en pointillés, et le disque avec un modèle de viscosité variable est représenté
par les courbes en trait plein.
On peut voir que le rapport des vitesses d’étalement évoqué précédemment s’est
en effet inversé : le disque avec une viscosité constante est maintenant bien plus étalé
que le disque avec le modèle de viscosité variable (figure 3.6a). Le disque avec le modèle
de viscosité variable ne remplit sa « zone habitable » qu’au bout d’un milliard d’années
(figure 3.6c). A cette époque, le disque avec viscosité constante n’est plus visible, sa densité
de surface moyenne étant de l’ordre de 5 × 10−5 kg m−2 (figure 3.6c). La forme du disque
avec le modèle de viscosité variable est très différente de la gaussienne initiale, avec un
pic de densité vers l’intérieur et un plateau faiblement dense vers l’extérieur (figure 3.6d).
126
Figure 3.6 – Evolution du profile de densité de surface du disque Σ pour un disque à viscosité constante
(ligne en pointillés) et non constante (ligne pleine). (a) À 106 années d’évolution. (b) À 108 années
d’évolution. (c) À 109 années d’évolution. (b) À 5 × 109 années d’évolution.
On peut noter que le disque avec viscosité variable évolue très peu entre 1 et 5
milliards d’années (figure 3.6c-d). Ceci est dû à la faible densité de surface moyenne, et
donc à la faible viscosité du disque, comparé au disque initial. Après un milliard d’années,
la viscosité moyenne du disque est ∼ 10−3 m2 /s.
Cette étude montre que la prise en compte d’un modèle de viscosité qui varie avec
les propriétés du disque permet à un système d’anneaux denses de survivre sur 5 milliards
d’années dans l’environnement dynamique de Saturne, alors que le disque est détruit
en quelques centaines de millions d’années lorsque la viscosité est constante (même si ce
temps est relatif à la valeur choisie pour la viscosité constante). En particulier, l’étalement
visqueux du disque est non-linéaire.
3.3.2.3
Évolution des bords des anneaux
Regardons à présent un peu plus précisément les bords du disque avec viscosité
variable. Avec un modèle de viscosité constante, on a vu que les bords doux et progressifs
du profil gaussien initial sont conservés tout au long de l’étalement du disque (figure 3.5).
Au contraire, le profil des bords du disque est modifié de façon importante dans le cas du
disque avec une viscosité variable. Initialement, la région proche des bords du disque est
non-auto-gravitante car la densité de surface y est très faible. Quand le disque commence
à s’étaler, une importante quantité de matériau est transporté depuis le cœur du disque
vers les bords. La densité de surface y augmente alors rapidement et ils deviennent auto127
gravitants. Au fur et à mesure que l’étalement du disque se poursuit, la densité de surface
près des bords diminue, et ils finissent par redevenir non-auto-gravitants.
On a vu précédemment que les transitions entre les régimes auto-gravitant et nonauto-gravitant entrainent une modification de l’amplitude de la viscosité, avec des disparités selon la distance à la planète (figure 3.3). La position de ces transitions pour le disque
avec viscosité variable à 5 milliards d’années d’évolution est représentée sur la figure 3.7.
Figure 3.7 – Densité de surface du disque à 5 milliards d’années d’évolution (courbe noire en trait plein)
et régime d’auto-gravité. Les régions du disque dont la densité de surface est au-dessus de la courbe en
pointillés « Q = 2 » sont auto-gravitantes, celles qui sont en-dessous sont non-auto-gravitantes.
On constate sur la figure 3.7 que les bords internes et externes du disque se situent
dans deux zones de propriétés différentes. Au niveau du bord interne, le passage du régime auto-gravitant au régime non-auto-gravitant, soit de la zone rose à la zone bleue,
provoque une augmentation de la viscosité, car dans ces régions νNAG > νAG . De plus,
dans cette région c’est la viscosité collisionnelle qui domine, et la viscosité du disque est
alors inversement proportionnelle à R : plus on s’approche de la planète, plus la viscosité
est importante (figure 3.2). Ceci a pour effet de lisser le bord interne (figure 3.8 gauche).
Au niveau du bord externe, c’est l’inverse qui se produit. Loin de la planète, le
passage du régime auto-gravitant au régime non-auto-gravitant, soit de la zone verte à
la zone jaune, provoque une diminution de la viscosité, car dans ces régions νNAG <
νAG . La chute de viscosité est presque d’un facteur 100 (figure 3.2). Regardons ce qui
se passe au niveau du flux, qui rappelons-le est proportionnel à ∇ (νΣ) (équation 3.34).
Quand la viscosité est constante, on a ∇ (νΣ) = ν∇Σ, de sorte que le flux ne dépend
plus que du gradient de densité. Avec une viscosité variable, ceci n’est plus vrai et on a
∇ (νΣ) = ν∇Σ + Σ∇ν, de sorte que le flux dépend à la fois du gradient de densité, mais
aussi du gradient de viscosité. Comment varient ces deux termes lorsque le bord devient
non-auto-gravitant ?
128
Figure 3.8 – Zoom sur les bords interne (haut) et externe (bas) du disque. Le bord interne est lisse,
alors que du matériau s’accumule près du bord externe.
– Magnitude de ν∇Σ : comme le bord est raide, le gradient de densité est plus fort
au niveau du bord que dans le cœur de l’anneau. Néanmoins, quand le bord redevient NAG, la viscosité diminue fortement et amortit le fort gradient de densité.
Ce terme diminue donc fortement quand le disque devient non-auto-gravitant
– Magnitude de Σ∇ν : dans le régime NAG, la viscosité varie comme νtrans ∝ R3/2
et νcoll ∝ R−3/2 , alors que dans le régime AG, on a ν ≈ 2νtrans ∝ R19/2 (table 3.1).
En conséquence, le gradient de viscosité est bien plus faible dans le régime NAG
que dans le régime AG. Ce terme diminue donc fortement quand le disque devient
non-auto-gravitant.
Globalement, le flux de matériau est plus fort dans le zone proche du bord, qui est
auto-gravitante, qu’au niveau du bord à proprement parler, qui lui est non-auto-gravitant.
Ceci entraîne une accumulation du matériau légèrement en amont du bord (figure 3.8
droite).
3.3.2.4
Temps caractéristiques d’étalement
Nous avons vu que les temps d’étalement sont très variables entre les disques à
viscosité constante et variable. Même s’il est important de garder à l’esprit que la vitesse
d’étalement du disque à viscosité constante est directement liée à la valeur arbitraire
choisie pour le viscosité, on peut néanmoins essayer d’y trouver une explication analytique.
Pour ce faire nous allons voir si l’on peut trouver des solutions approchées de l’équation
3.31.
Dans un processus de diffusion classique (chaleur, quantité de matière), la déviation
standard de la distribution de masse, ∆R2 , augmente linéairement au cours du temps, de
sorte que ∆R2 /ν est proportionnel au temps. Cette quantité est tracée sur la figure 3.9,
pour les disques à viscosité constante et non-constante. Afin d’éviter tout effet de bord,
on se restreint à l’intervale de temps 0 < t < 5 × 106 années, où le disque n’a pas encore
atteint les limites de la grille de simulation (figure 3.5).
129
Figure 3.9 – Évolution du rapport largeur du disque sur viscosité ∆R2 /ν en fonction du temps, pour un
disque à viscosité constante (ligne en pointillés) et à viscosité variable (ligne en trait plein). Les triangles
et les diamants sont des points issus des simulations. On remarque que ∆R2 /ν reste proportionnel au
temps t.
On définit la largeur du disque comme suit :
2
∆R =
qN
i=1
(Ri − Rc )2 Σi
,
qN
i=1 Σi
(3.41)
où N est le nombre de cellules de la grille et Rc est le centre du disque défini par :
qN
Ri Σi
.
i=1 Σi
i=1
Rc = q
N
(3.42)
Pour le disque à viscosité variable, on utilise une viscosité moyenne définie de manière
similaire par :
Ø
Ø
Mi ,
(3.43)
Mi νi /
< ν >=
i
i
où Mi = 2πRi dRΣi est la masse dans la cellule de largeur dR.
On peut observer sur la figure 3.9 que, en dépit de la variation importante de la
viscosité du disque à viscosité variable au cours de l’évolution du système, la quantité
∆R2 /ν reste précisément proportionnelle à t à tout instant. Néanmoins, il est important
de noter que, cette quantité variant fortement au cours du temps, son utilisation en tant
qu’estimation « à la louche » du temps caractéristique d’étalement du disque à partir
des paramètres initiaux du disque se révèle très fortement imprécise, et ne peut servir à
estimer la durée de vie du disque.
Regardons à présent comment varie la largeur du disque au cours du temps. Pour un
130
disque dans le régime AG, la viscosité est dominée par les composantes translationnelle et
gravitationnelle, de sorte que l’on a ν ∝ Σ2 (table 3.1). En adoptant une description très
générale du disque, on peut l’assimiler à un bloc de matériau de largeur L, de masse M0 ,
et centré en R = R0 . Dans ce cas, la densité de surface du disque s’exprime simplement
comme Σ = M0 / (2πR0 L). En utilisant le résultat du paragraphe précédent, L2 /ν ∝ t,
on obtient L4 ∝ t. Pour vérifier ce résultat quasi-analytique, cette quantité est tracée sur
la figure 3.10. On observe que l’on obtient une relation de proportionnalité parfaite, qui
valide ce résultat.
Figure 3.10 – Évolution de la largeur du disque à viscosité variable dans le régime auto-gravitant, en
fonction du temps. Les diamants sont des points issus de simulations. La relation de proportionnalité
obtenue indique que la largeur du disque croît comme t1/4 .
Pour un disque à viscosité constante, la relation L2 /ν ∝ t donne directement L2 ∝ t.
En conclusion, la largeur d’un disque à viscosité constante croît comme t1/2 , alors que celle
d’un disque à viscosité variable dans le régime auto-gravitant croît comme t1/4 . Le temps
caractéristique d’étalement du disque à viscosité variable est donc bien plus important
que celui à viscosité constante.
3.3.2.5
Évolution de la masse du disque
Les conditions aux limites sont fixées de telle sorte que le matériau qui atteint les
limites de la grille de simulation est instantanément ôté du disque, soit parce que l’on
considère qu’il est détruit sur la planète (limite interne), soit parce qu’il s’accrète en
petites lunes quand il franchit la limite de Roche (limite externe). Le disque perd donc
progressivement du matériau. Dans cette section, j’analyse le temps de vidage du disque
et étudie l’influence de l’auto-gravité sur ce phénomène.
131
3.3.2.5.1 Évolution de la masse totale du disque
On peut calculer la masse totale du disque Mdisk à partir de sa densité de surface
selon :
Ú ∞
Mdisk =
Σ (R) 2πRdR.
(3.44)
0
Comme la densité de surface est échantillonnée sur une grille divisée en N cellules, cette
formule devient :
Mdisk =
N
−1
Ø
i=0
1
2
2
Σi π Ri+1
− Ri2 .
(3.45)
L’évolution de la masse totale du disque, calculée à partir de l’équation 3.45, est représentée sur la figure 3.11, pour les disques à viscosité constante et variable. On remarque une
évolution en plusieurs étapes pour le disque à viscosité variable (courbe en trait plein).
Tout d’abord la masse du disque reste constante, tant que le disque ne s’est pas étalé
jusqu’aux limites du domaine de simulation. Ensuite, vers 2 × 107 années d’évolution, la
masse du disque commence à décroître : le disque a atteint la limite extérieure (figure 3.6b,
courbe en trait plein). Dans un troisième temps, vers 109 années d’évolution, le disque
atteint la limite intérieure de la grille (figure 3.6c, courbe en trait plein), et la perte de
masse est amplifiée.
Figure 3.11 – Évolution de la masse du disque au cours du temps, pour un disque à viscosité constante
(courbe en pointillés) et variable (courbe en trait plein). Le disque à viscosité constante est détruit en un
milliard d’années, alors que le disque à viscosité variable contient encore un tiers de sa masse à 5 milliards
d’années d’évolution.
On remarque que le disque à viscosité constante est détruit en environ un milliard
d’années (figure 3.11, courbe en pointillés), alors que le disque à viscosité variable ne
perd que 60% de sa masse initiale en cinq milliards d’années d’évolution. Contrairement
aux estimations de survie des anneaux planétaires faites à viscosité constante, cette étude
132
montre que la prise en compte d’un modèle de viscosité physiquement réaliste permet au
disque d’être encore massif après une évolution de l’ordre de l’âge du Système Solaire.
3.3.2.5.2 Influence de la masse initiale
Dans cette section nous étudions l’influence de la masse initiale du disque. Dans
les simulations présentées jusqu’à présent, la masse initiale du disque était fixée à une
masse de Mimas, soit 3,75 × 1019 kg, ce qui est l’ordre de grandeur de la masse estimée
des anneaux actuels (Esposito et al., 1983a). On pourrait penser de prime abord que le
résultat du paragraphe précédent, à savoir la survie de 30% de la masse du disque lorsque
l’on prend en compte le modèle de viscosité réaliste, est directement lié à la valeur choisie
pour la masse initiale du disque. En effet, si la masse initiale du disque est plus faible,
sa masse finale ne le sera-t-elle pas également ? Pas forcément, car une diminution de la
masse du disque implique une diminution de sa densité de surface, donc une viscosité plus
faible, donc une évolution plus lente ! L’effet inverse interviendrait avec une masse finale
plus importante. Il devient donc impératif de contraindre comment la masse finale du
disque évolue en fonction de sa masse initiale. J’ai donc étudié l’évolution d’une série de
disques identiques en tout point, si ce n’est leur masse initiale, que j’ai fait varier de une
à dix fois la masse de Mimas. L’évolution de la masse de ces disques au cours du temps
est représentée sur la figure 3.12.
Figure 3.12 – Évolution de la masse du disque au cours du temps, pour différentes masses initiales. Si
l’on augmente la masse initiale du disque, la perte de masse est fortement augmentée au début, mais
ralentit rapidement, au point que tous les disques atteignent une masse similaire au bout de 5 milliards
d’années d’évolution.
On peut voir sur la figure 3.12 que le fait d’augmenter la masse initiale du disque
augmente très fortement la chute de la masse du disque. Par exemple, le disque dont la
masse initiale est de dix fois la masse de Mimas (soit 3,75 × 1020 kg) perd ∼ 3 × 1020 kg
133
au cours des cent premiers millions d’années de son évolution, ce qui représente 80% de
sa masse (figure 3.12, courbe en trait plein) ! Il est en particulier intéressant de noter que
pour obtenir des anneaux ayant la masse actuelle des anneaux de Saturne, ces derniers ne
devraient pas être plus vieux que quelques centaines de millions d’années, avec une masse
initiale de 2 masses de Mimas ou plus (figure 3.12)
Sur des échelles de temps plus longues, on constate sur la figure 3.12 que même pour
le disque le plus massif, la perte de masse chute rapidement. Au bout de cinq milliards
d’années d’évolution, tous les disques ont une masse similaire, proche de ∼ 1,5 × 1019 kg.
La masse initiale du disque influence fortement le début de son évolution, mais sa masse
au bout de plusieurs milliards d’années d’évolution n’est que marginalement affectée. En
conclusion, il ne semble possible de remonter à la masse initiale des anneaux que s’ils
sont jeunes, car cette information se perd sur des échelles de temps de l’ordre de l’âge du
Système Solaire.
3.3.2.5.3 Modélisation analytique
Voyons à présent si l’évolution de la masse du disque peut se formaliser analytiquement. Pour cela, adoptons une démarche similaire à celle utilisée pour déterminer des
temps caractéristiques d’étalement, et distinguons le cas où le disque est auto-gravitant
ou non-auto-gravitant.
Régime auto-gravitant
Initialement, le disque est auto-gravitant. Comme on a vu à la section 3.3.2.4, on peut
écrire en première approximation que la largeur du disque L vérifie L2 ∝ (M0 / (2πR0 L))2 t,
soit L4 ∝ M02 t. Cette relation peut être utilisée pour estimer la masse perdue par le disque.
En effet, si l’on se place dans le cas où le disque est suffisamment étalé pour remplir toute
sa « zone habitable », c’est-à-dire depuis le rayon de la planète jusqu’à la limite de Roche,
sa largeur L devient constante. On peut alors identifier que la suite de l’étalement du
disque est en fait une perte de masse, étant donné que les conditions aux limites sont
telles que tout le matériau qui franchit les limites de la grille est perdu par le disque.
Comme t ∝ L4 /M02 , L = cte =⇒ tvidage ∝ 1/M02 , où tvidage est le temps caractéristique de
vidage du disque.
Pour vérifier ce résultat, le temps nécessaire pour que la masse initiale du disque soit
divisée par 2 est représenté sur la figure 3.13, pour différentes masses de disque initiales.
On obtient une relation de proportionnalité, qui valide le résultat : dans le régime autogravitant, le disque se vide sur une échelle de temps proportionnelle à l’inverse du carré
de sa masse initiale.
Régime non-auto-gravitant
Dans le régime non-auto-gravitant, la viscosité gravitationnelle νgrav est nulle, et les
viscosités translationnelle νtrans et collisionnelle νcoll ont des amplitude similaires (figure
3.2). La dépendance de ces deux quantités en fonction de la densité de surface Σ est
νtrans = γβΣ/ (1 + β 2 Σ2 ) avec β = 3/ (4rp ρp ) et γ = 0,46σr / (2Ω), et νcoll = rp2 ΩβΣ. La
134
Figure 3.13 – Temps nécéssaire pour que le disque perde la moitié de sa masse initiale M0 , en fonction
de la masse initiale. Les diamants sont des points issus de simulations.
viscosité totale peut donc s’écrire :
ν = νtrans + νcoll =
1
AΣ + CΣ3
,
1 + β 2 Σ2
(3.46)
2
où A = β rp2 Ω + γ et C = rp2 Ωβ 3 . En utilisant la même approximation que précédemment Σ ≈ M0 / (2πR0 L), et en utilisant L2 ν ∝ t, on obtient :
L5 + aL3
∝ t,
c (b2 L2 + 1)
(3.47)
ñ
avec a = (βM0 / (2πR0 ))2 , b = A/C (2πR0 /M0 )2 et c = C (M0 / (2πR0 ))3 .
En utilisant des valeurs de paramètres standards pour les anneaux de Saturne (L ≈
4
10 km, R0 ≈ 105 km, rp = 1 m, ρp = 900 kg m−3 ) on obtient L5 ≈ 1035 km5 , aL3 ≈
1021 km5 , b2 L2 ≈ 102 . L’équation 3.47 se simplifie alors en :
L5
L3
t∝ 2 2 =
cb L
A (M0 / (2πR0 ))
(3.48)
On obtient alors un temps de vidage qui vérifie tvidage ∝ 1/M0 ≫ 1/M02 . Il ressort donc
que le temps caractéristique de vidage d’un disque non-auto-gravitant est bien plus grand
que celui d’un disque auto-gravitant, d’où la diminution de la perte de masse observée
dans la figure 3.12.
135
3.3.2.5.4 Masse d’un disque entièrement non-auto-gravitant
Nous avons vu que, indépendamment de la masse initiale, la masse du disque au
bout de plusieurs milliards d’années d’évolution est toujours proche de ∼ 1,5 × 1019 kg.
On vient de voir dans le paragraphe précédent que le ralentissement de la perte de masse
du disque peut être relié au fait que au fur et à mesure de son évolution, sa densité de
surface diminue et de plus en plus de parties du disques deviennent non-auto-gravitantes.
Ultimement, il devrait atteindre un état où il est entièrement non-auto-gravitant, mais
comme son évolution ne fait que ralentir au fur et à mesure qu’il se rapproche de cet état,
on peut se demander si cet état sera véritablement atteint. En d’autres termes, un disque
totalement non-auto-gravitant est une sorte d’état asymptotique du disque ?
Calculons la masse d’un disque qui serait intégralement non-auto-gravitant. Pour
ce faire, on utilise le facteur de Toomre Q qui, rappelons-le, mesure l’importance des
instabilités gravitationnelles dans le disque. La transition entre les régimes AG et NAG
étant fixée à Q = 2, la condition pour que le disque soit entièrement non-auto-gravitant
s’écrit :
Ωσr
> 2.
(3.49)
∀R, Q =
3,36GΣ
En utilisant Ω = GMY /R3 et σr =
de surface du disque :
ñ
ñ
Gmp /rp , on obtient une condition sur la densité
ö
õ
õ MY m p
ô
∀R, Σ < 0,15
rp
R−3/2 .
(3.50)
Si le disque est entièrement non-auto-gravitant, alors sa masse vérifie :
Mdisque < MNAG ≈ 1,032 × 1019 kg.
(3.51)
Dans les simulations étudiant l’influence de la masse initiale, la masse du disque
au bout de 5 milliards d’années d’évolution était 1,34 − 1,46 × 1019 kg pour des masses
initiales allant de 1 à 10 masses de Mimas. Comme ces masses sont supérieures à la valeur
obtenue pour MNAG , si le raisonnement précédent est valide alors ces disques devraient
être encore partiellement auto-gravitants. C’est en effet le cas, comme observé sur la figure
3.7.
En conclusion il ressort de cette étude que, indépendamment de sa masse initiale, le
disque subit un début d’évolution rapide lorsqu’il est dans le régime auto-gravitant. Au
fur et à mesure qu’il s’étale, des zones de plus en plus importantes du disque deviennent
non-auto-gravitantes, et son évolution ralentit progressivement.
3.3.2.5.5 Flux de masse à travers les bords du disque
Après avoir étudié l’évolution de la masse du disque dans son ensemble, intéressonsnous à présent à la perte de masse du disque par ses bords interne et externe. Y a-t-il une
grande différence entre la masse qui chute sur la planète (bord interne), et la masse qui
traverse la limite de Roche (bord externe) ? Nous revenons ici au modèle standard, dont
la masse initiale est égale à une masse de Mimas.
À chaque pas de temps, les flux de masses à travers les limites de la grille sont
enregistrés. La masse (cumulative) traversant les limites interne et externe de la grille est
136
représentée sur la figure 3.14. Les courbes en pointillés, qui représentent la perte de masse
du disque à viscosité constante, sont tronquées à t ∼ 109 années, date à laquelle le disque
est presque entièrement vide de matière
Figure 3.14 – Perte de masse (cumulative) du disque à travers les limites intérieure (surface de la planète)
et extérieure (limite de Roche) de la grille, pour un disque à viscosité constante (courbes en pointillés)
et variable (courbes en traits pleins). Les courbes du disque avec viscosité constantes sont tronquées à
t ∼ 1,5 × 109 années car le disque était vide à ce moment là (voir figure 3.11). Dans les deux cas, le disque
perd plus de masse à travers la limite de Roche (graphe de droite) que sur la planète (graphe de gauche).
.
Comme on l’a vu lors de l’étude de l’évolution de la masse du disque, les disques à
viscosité constante et variable subissent une évolution différente de leur perte de masse.
Pour le disque à viscosité constante, les deux limites de la grille sont atteints quasi simultanément, vers 106 années d’évolution. Au contraire, pour le disque à viscosité variable, les
limites sont atteintes séparément, et de façon plus tardive que pour le disque à viscosité
variable (encore une fois, ceci est à mettre en regard de la valeur arbitraire choisie pour la
viscosité du disque à viscosité constante) : la limite extérieure est atteinte vers 20 millions
d’années d’évolution, alors que la limite intérieure n’est atteinte qu’au bout d’environ 800
millions d’années d’évolution. Ceci peut être expliqué par le fait que la viscosité du disque,
lorsqu’il est dans le régime auto-gravitant, croît comme R19/2 . En conséquence, l’extérieur
du disque s’étale plus vite que l’intérieur.
Notons que, comme une grande quantité de matériau s’accumule à proximité du bord
extérieur raide, la perte de masse à travers la limite extérieure de la grille est abrupte. Ceci
n’apparaît pas clairement sur la figure 3.14 en raison du format log-log qui a tendance à
aplatir les variations.
3.3.2.6
Modification des paramètres du disque
Après avoir étudié l’évolution visqueuse du modèle standard, étudions à présent
comment est modifiée cette évolution lorsque l’on change certains paramètres du disque,
tels que la taille des particules, ou les conditions initiales.
3.3.2.6.1 Variation de la taille des particules
Dans le modèle standard, nous avons fixé une taille de particule rp = 1 m. Ce
paramètre influe à la fois :
137
– sur la viscosité : dans le régime non-auto-gravitant la viscosité est une fonction
croissante de rp ;
– sur le facteur de Toomre : pour une densité donnée, plus les particules sont grosses
plus le disque est susceptible d’être non-auto-gravitant.
On peut donc s’attendre à une modification de l’évolution du disque lorsque l’on fait
varier ce paramètre. Pour ce faire, j’ai réalisé plusieurs simulations basées sur le modèle
standard, mais avec des tailles de particules allant de 1 cm à 10 m.
Influence sur l’évolution de la densité de surface
L’évolution de la densité de surface du disque au cours du temps, pour différentes
tailles de particules, est représentée sur la figure 3.15. Le modèle standard, étudié dans
toute la section précédente, est représenté par la courbe en bleu clair. À 1 million d’années
d’évolution (figure 3.15a), la densité de surface du disque est peu affectée par la variation
de la taille des particules. Ceci est dû au fait que dans ces premiers instants de l’évolution
du disque, la densité de surface moyenne est encore suffisamment importante pour que
la majeure partie du disque soit dans le régime auto-gravitant, régime où la viscosité
ne dépend pas de la taille des particules. On peut néanmoins remarquer que pour les
particules les plus grosses, les zones en forme de rampe près des bords sont entrées dans
le régime non-auto-gravitant, ce qui modifie le profil de la densité de surface (figure 3.15a,
courbes bleu foncé et rouge).
Figure 3.15 – Évolution de la densité de surface du disque au cours du temps, pour différentes tailles de
particules : 1 cm (courbe noire), 1 m (courbe bleu clair), 2,5 m (courbe verte), 5 m (courbe bleu foncé)
et 10 m (courbe rouge).
Au bout de 100 millions d’années d’évolution (figure 3.15b), le disque avec des par138
ticules de 10 m a une forme parabolique (courbe rouge), alors que les autres disques ont
un profil standard avec un pic vers l’intérieur et des densités plus faibles vers l’extérieur.
A 1 milliard d’années d’évolution(figure 3.15b), le disque avec des particules de 5 m a
également un profil parabolique. Afin de distinguer les zones des disques qui sont encore
auto-gravitantes, la densité de surface des disques normalisée par rp , à 1 milliard d’années d’évolution, est représentée sur la figure 3.16. La courbe en pointillés représente la
transition Q = 2 entre les régimes AG et NAG, également normalisée par rp .
Figure 3.16 – Densité de surface à t = 109 années, normalisée par rp , pour différentes tailles de particules :
1 m (courbe bleu clair), 2,5 m (courbe verte), 5 m (courbe bleu foncé) et 10 m (courbe rouge). Le cas
rp = 1 cm n’est pas représenté pour des raisons d’échelles. La courbe noire en pointillés représente
la transition Q = 2 entre les régimes AG et NAG, également normalisée par rp . Les disques avec des
particules de taille inférieure à 2,5 m sont encore partiellement auto-gravitants, dans la région autour
du pic de densité. Les disques avec des particules de 5 et 10 m sont par contre entièrement non-autogravitants.
Les disques avec des particules de 5 et 10 m (courbes bleu foncé et rouge), ont une
densité de surface située sous la transition Q = 2, et sont donc entièrement non-autogravitants. En revanche, les disques dont la taille de particules est inférieure à 2,5 m sont
encore partiellement auto-gravitants, dans la région située autour du pic de densité. À 5
milliards d’années d’évolution (figure 3.15d), seuls les disques avec des particules de 1 cm
et 1 m restent partiellement auto-gravitants.
Deux régimes d’étalement ressortent de cette étude. En particulier, la présence d’un
pic de densité décalé vers l’intérieur est caractéristique d’un disque partiellement autogravitant, alors qu’un disque entièrement non-auto-gravitant a un profil parabolique avec
un pic central de densité. Quand tous les disques sont non-auto-gravitants, les disques
avec des particules plus grosses évoluent plus vite car dans ce régime la viscosité croît
avec rp . En conséquence, la figure 3.15d peut être interprétée comme les différents stades
d’évolution du disque.
139
Influence sur l’évolution de la masse du disque
Après avoir étudié l’effet d’une variation de la taille des particules sur l’évolution
de la densité de surface du disque, regardons à présent comment la masse du disque
est impactée. La masse finale des disques, ainsi que les pertes de masse par les limites
intérieure et extérieure de la grille sont indiquées dans la table 3.3.
Table 3.3 – Influence de la taille des particules sur l’évolution de la masse du disque. La masse initiale
des disques est 3,75 × 1019 kg
.
Rayon des
Masse finale
Masse tombant
Masse traversant
particules
du disque
sur la planète
la limite de Roche
(m)
(1019 kg)
(1019 kg)
(1019 kg)
0,01
1,45
0,46
1,84
1
1,34
0,61
1,80
2,5
1,63
0,61
1,51
5
1,46
0,69
1,60
10
0,93
0,93
1,89
La masse finale du disque est peu affectée par la variation de la taille des particules,
excepté le cas rp = 10 m où la valeur plus faible de la masse finale s’explique par la forte
augmentation des viscosités translationnelle et collisionnelle dans le cas NAG. Le disque
avec des particules de 2,5 m est un cas intermédiaire entre un disque dont la viscosité
reste forte car il reste dans le régime auto-gravitant (pour rp . 1 m), et un disque qui
devient rapidement non-auto-gravitant mais dont la viscosité est entretenue par la grande
taille des particules (pour rp & 5 m).
La perte de masse par la limite interne de la grille croît avec rp , car dans cette
région et dans le régime NAG, c’est la viscosité collisionnelle qui domine et celle-ci croît
avec rp . La perte de masse par la limite externe de la grille décroît puis croît avec rp
car l’augmentation de la taille des particules accélère le passage du disque dans le régime
non-auto-gravitant, avec pour conséquence une diminution de la viscosité qui ne s’atténue
que pour des très grosses particules (typiquement pour rp & 5 m). Là encore, on peut
relever le statut intermédiaire du disque avec des particules de 2,5 m.
3.3.2.6.2 Influence du profil initial du disque
Nous allons maintenant voir comment évolue le disque lorsque l’on fait varier les
conditions initiales. Dans cette section, la taille des particules est fixée à rp = 1 m.
Position initiale
Faisons dans un premier temps varier la position initiale du disque, toutes choses
étant identiques par ailleurs. Dans le modèle standard, le centre du disque est placé initialement à R0 = 110 000 km de la planète. Étudions deux autres cas : R0 = 90 000 km
et R0 = 130 000 km.
140
La densité de surface des 3 disques, à t = 0 et t = 5×1019 années, est représentée sur
la figure 3.17. L’évolution de la masse des disques est listée dans la table 3.4. À 5 milliards
d’années d’évolution, les disques situés initialement à 90 000 et 110 000 km de la planète
on atteint un profil de densité de surface similaire (figure 3.17 droite, courbes en trait
plein et pointillés). Par contre les flux de masse à travers les limites internes et externes
de la grille sont inversés : le disque situé initialement à R0 = 90 000 km perd sa masse
préférentiellement sur la planète, alors que le disque situé initialement à R0 = 110 000 km
perd une quantité de masse similaire mais à travers la limite de Roche (table 3.4).
Figure 3.17 – Densité de surface à t = 0 (à gauche) et t = 5 × 1019 (à droite), pour des disques placés
initialement à 90 000 (courbes en traits pleins), 110 000 (courbes en pointillés), 130 000 (courbes en
points) km de la planète.
Le disque situé initialement à R0 = 130 000 km atteint la limite extérieure de la
grille très rapidement, en ∼ 105 années, et perd plus de masse que les deux autres disques.
Ceci est dû au fait que, tant que le disque reste auto-gravitant, la viscosité translationnelle
augmente très fortement avec R (figure 3.2). Ce disque n’atteint jamais vraiment la surface
de la planète en 5 milliards d’années d’évolution.
Table 3.4 – Influence de la position initiale du disque sur l’évolution de sa masse. La masse initiale du
disque est 3,75 × 1019 kg
Position
Masse finale
Masse tombant
Masse traversant
initiale
du disque
sur la planète
la limite de Roche
(km)
(1019 kg)
(1019 kg)
(1019 kg)
90 000
1,39
1,58
0,78
110 000
1,34
0,61
1,79
130 000
0,92
4 × 10−4
2,83
Tous les disques ont une masse finale de l’ordre de 1019 kg, ce qui reste proche du
modèle standard. La variation de la position initiale de l’anneau n’influe donc véritablement que sur la répartition de la perte de masse du disque entre la surface de la planète
et la limite de Roche.
141
Largeur initiale
Dans le modèle standard, la largeur initiale du disque est ∆R = 3 000 km. Nous
étudions ici comment cette largeur initiale influe sur l’étalement du disque. Pour ce faire,
on réalise plusieurs simulations dans lesquelles on modifie la déviation standard σ de la
gaussienne initiale. La masse initiale du disque reste inchangée, de sorte que la densité de
surface du disque initial va être modifiée. La densité de surface initiale et à 5 milliards
d’années d’évolution, pour des largeurs initiales de disque égales à 0,5σ, σ, 2σ et 5σ, est
représentée sur le figure 3.18.
Figure 3.18 – Densité de surface à t = 0 (gauche) et t = 5 × 109 années (droite), pour différentes largeurs
de disque initiales. La densité de surface du disque à 5 milliards d’années n’est pas affectée par la largeur
initiale du disque (toutes les courbes sont confondues).
On remarque que, bien que les largeurs initiales des disques soient très variables, le
profil de densité de surface à 5 milliards d’années n’est pas affecté (figure 3.18droite). Ceci
est dû au fait que plus le disque initial est large, plus faible est sa densité, donc plus faible
est sa viscosité, et donc plus lente est son évolution. En conséquence, les disques les plus
étroits s’étalent plus vite et finissent par rattraper les disques initialement plus larges
qui ont évolué plus lentement. On remarque donc que, comme pour la masse initiale,
l’évolution du disque sur des temps de l’ordre du milliard d’années est insensible à la
largeur initiale du disque.
Répartition initiale du matériau
Dans le modèle standard, nous avons supposé que le matériau composant le disque
initial était réparti dans un seul et même anneau. Nous étudions ici l’implication de cette
hypothèse en testant un scénario où le disque initial serait formé de deux sous-anneaux
distincts. La masse totale du disque est néanmoins la même dans les deux cas. L’évolution
de la densité de surface de ce disque est représentée sur la figure 3.19.
Les deux sous-anneaux sont distants de 10 000 km, et la masse totale du disque
est également répartie entre les deux sous-anneaux. En conséquence, l’anneau extérieur a
une densité de surface légèrement inférieure à celle de l’anneau intérieur car la surface du
disque (∼ 2πRdR) croît avec la distance à la planète. Les deux sous-anneaux s’étalent de
façon similaire, avec formation de bords raides (figure 3.19, courbe en points). Au bout
d’un million d’années, les deux sous-anneaux ont complètement fusionné (figure 3.19,
142
Figure 3.19 – Densité de surface d’un disque formé initialement de deux sous-anneaux distincts, à t = 0
(trait plein), t = 105 années (points) et t = 106 années (pointillés). Les deux sous-anneaux initiaux
contiennent chacun la moitié de la masse totale du disque (le disque extérieur a une densité légèrement
inférieure à celle du disque intérieur car la surface du disque dS ≈ 2πRdR augmente avec la distance à la
planète). Les deux sous-anneaux s’étalent chacun de manière semblable et fusionnent au bout de ∼ 106
années. La suite de l’évolution est identique à celle du modèle standard.
courbe en pointillés). La suite de l’évolution est identique à celle du modèle standard
composé d’un seul anneau initial. La répartition du matériau dans le disque initial ne
semble donc pas avoir d’influence sur l’étalement du disque.
3.4
Conclusions
Nous avons étudié dans ce chapitre l’étalement d’un disque circumplanétaire dense
sous l’effet de sa viscosité, en prenant en compte un modèle de viscosité physiquement
réaliste variant avec les paramètres du disque, et prenant en compte en particulier les
effets liés à l’auto-gravité. Nous avons montré que, sur des échelles de temps de l’ordre
de l’âge du Système Solaire, l’étalement du disque est alors très différent de ce qui était
jusqu’alors estimé à l’aide de modèles de viscosité constante.
3.4.1
Profil d’étalement
Pour un disque à viscosité constante, le profil initial du disque est conservé tout au
long de l’étalement. L’utilisation du modèle de viscosité variable nous a permis de mettre
en évidence deux profils d’étalement distincts, liés à l’auto-gravité du disque :
– quand le disque est auto-gravitant, il développe un pic de densité vers l’intérieur,
et une zone extérieure de plus faible densité qui s’établit à la limite de l’instabilité
143
gravitationnelle (Q ∼ 2).
– quand le disque est totalement non-auto-gravitant, il adopte un profil parabolique
avec un pic central de densité.
Nous avons également estimé des échelles de temps d’évolution. Dans le cas d’un disque
auto-gravitant, la largeur du disque varie en t1/4 , contrairement à une évolution en t1/2
pour un disque à viscosité constante. La prise en compte d’un modèle de viscosité réaliste
donne lieu à des temps caractéristiques d’étalement bien plus importants que pour un
disque à viscosité constante.
3.4.2
Masse du disque
Partant d’une masse initiale de l’ordre de la masse du Mimas (3,75 × 1019 ), le disque
avec viscosité constante est détruit en moins d’un milliard d’années (même si cette échelle
de temps est à relativiser en raison de la valeur arbitraire choisie pour la viscosité de ce
disque). Au contraire, le disque avec viscosité variable n’est pas détruit en 5 milliards
d’années d’évolution : sa masse finale est ∼ 1019 kg (figure 3.11).
La masse initiale du disque n’influe que sur le début de l’étalement : une masse
plus forte augmente la perte de masse du disque lors des premières centaines de millions
d’années, puis ralentit fortement. Sur des échelles de temps de l’ordre du milliard d’années,
la masse finale du disque est toujours de l’ordre de ∼ 1019 kg, pour des masses initiales
allant de 1 à 10 masses de Mimas (figure 3.12). Nous avons mis en évidence deux temps
caractéristiques de vidage, selon que le disque est auto-gravitant ou non. Dans le cas
auto-gravitant, le temps caractéristique de vidage du disque est tvidage ∝ 1/M02 (où M0
est la masse initiale du disque, figure 3.13). Dans le cas non-auto-gravitant, ce temps
caractéristique devient tvidage ∝ 1/M0 . Le temps caractéristique de vidage d’un disque
non-auto-gravitant est donc bien supérieur à celui d’un disque auto-gravitant.
Nous avons montré qu’un disque initialement auto-gravitant subit une perte de
masse qui ralentir progressivement, de sorte que le disque converge vers un état asymptotique qui correspond à la masse d’un disque qui remplirait la zone « habitable » des
anneaux et serait totalement non-auto-gravitant (Q > 2). Nous avons calculé qu’un tel
disque aurait une masse ∼ 1019 kg, en accord avec les masses des disques à 5 milliards
d’années d’évolution obtenues dans les simulations.
3.4.3
Insensibilité aux conditions initiales
Nous avons fait varier plusieurs paramètres initiaux du disque : sa position, sa largeur, et sa répartition de masse en un ou plusieurs anneaux.
– la position initiale du disque ne modifie pas son évolution de façon significative.
Néanmoins, elle modifie la répartition de la perte de masse à travers les limites de
la grille : plus le disque initial est proche de la planète, et plus il perd de masse
par la limite intérieure. Au contraire, plus il est loin, et plus il perd de masse à
travers la limite de Roche.
– la largeur initiale du disque, et la répartition de la masse initiale en un ou plusieurs
sous-anneaux, ne modifie pas l’évolution à long terme du disque. Dans le premier
cas, les disques les plus étroits sont plus denses, donc plus visqueux. Ils s’étalent
144
donc plus rapidement et finissent par rattraper les disques initialement plus larges.
Dans le deuxième cas, les sous-anneaux s’étalent normalement et finissent par
fusionner en quelques millions d’années.
Dans toutes les simulations réalisées avec le modèle de viscosité variable, nous
n’avons pas pu obtenir une destruction totale du disque sur 5 milliards d’années. Il semble
donc possible que les anneaux de Saturne aient pu survivre 5 milliards d’années vis-à-vis
de l’étalement visqueux. De plus, s’ils sont effectivement vieux de plusieurs milliards
d’années, il serait difficile de remonter à leur état initial, car il n’a d’influence que sur les
premières phases de l’évolution du disque.
3.5
3.5.1
Ouverture
Les anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune
Les anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune sont aujourd’hui bien moins denses
que les anneaux de Saturne. À titre d’exemple, la profondeur optique caractéristique
des anneaux de Jupiter est de l’ordre de ∼ 10−5 , alors qu’elle est plutôt de ∼ 0,5 dans
l’anneau A de Saturne (Ockert-Bell et al., 1999; Ferrari et al., 2009). De plus, les anneaux
des autres planètes géantes sont composés principalement de poussières, alors que les
anneaux de Saturne en sont presque dépourvus (Charnoz, 2009).
Dans les simulations présentées au sein de ce chapitre, nous avons vu que, sous le
seul effet de l’étalement visqueux, un système d’anneau initialement massif le reste sur
des échelles de temps de l’ordre du milliard d’années, du fait d’un régime asymptotique
non-auto-gravitant dans lequel l’évolution du disque est considérablement ralentie. En
conséquence, il apparaît peu probable que les anneaux de Jupiter, Uranus et Neptune
aient été beaucoup plus massifs dans le passé, jusqu’au point d’être auto-gravitants, à
moins d’avoir été détruits par un processus n’étant pas intervenu dans le cas de Saturne.
3.5.2
Comparaison avec les observations - Age visqueux des anneaux
Il est intéressante de comparer les résultats des simulations réalisées aux observations, de façon à estimer à quel point les profils de densité obtenus sont proches de l’état
actuel des anneaux. Ceci pourrait en particulier nous renseigner sur leur âge. Nous avons
représenté sur la figure 3.20 le PPS 1 obtenu avec la sonde Voyager, qui donne une mesure
de la profondeur optique des anneaux de Saturne, que l’on estime proportionnelle à la
densité de surface. On représente également la densité de surface de deux disques : l’un
avec des particules de 1 m à 5 milliards d’années d’évolution, et l’autre avec des particules
de 5 m à 15 millions d’années d’évolution.
On remarque que le profil général est semblable : un pic de densité vers l’intérieur, est
un plateau de faible densité vers l’extérieur (figure 3.20, courbes en points et en pointillés).
Ce plateau, à la limite de l’instabilité gravitationnelle, rappelle fortement l’anneau A
actuel, dans lequel ont été observées des wakes caractéristiques de ces instabilités (Ferrari
1. Photo-Polarimeter Spectrum
145
Figure 3.20 – Profil de profondeur optique issue du PPS voyager (trait plein) et densité de surfaces d’un
disque avec des particules de 1 m à 5 milliards d’années d’évolution (courbes en points) et d’un autre
disque avec des particules de 5 m à 15 millions d’années d’évolution (courbes en pointillés).
et al., 2009). Par contre, au niveau de la position du pic central, des différences sont
notables : le disque avec des particules de 5 m possède un pic central situé à la position de
l’anneau B actuel, alors que le disque avec des particules de 1 m a un pic de densité situé
plutôt au niveau de l’anneau C actuel. La division Cassini n’est pas reproduite, mais son
existence est très certainement liée à l’action du satellite Mimas (Goldreich et Tremaine,
1978a).
Il est intéressant de noter que le disque avec des particules de 5 m n’a que 15 millions
d’années d’évolution. Cette comparaison tendrait à montrer que les anneaux de Saturne
actuels ressemblent plutôt à un disque d’une dizaine de millions d’années, du point de vue
de l’étalement visqueux. Néanmoins, à l’heure actuelle aucun scénario ne peut expliquer
une formation des anneaux de Saturne si récemment dans l’histoire du Système Solaire.
On se confronte ici aux limites du modèle utilisé. Seul l’étalement visqueux a été pris en
compte, et on ne peut donc pas conclure avec fermeté concernant l’âge des anneaux de
Saturne. On peut seulement affirmer que les anneaux actuels ressemblent visqueusement
à un disque jeune.
On peut également remarquer que dans les simulations présentées, une structure
similaire à l’anneau C n’est jamais obtenue. La transition abrupte entre l’anneau C et
l’anneau B (figure 3.20, courbe en trait plein) n’est jamais reproduite dans nos simulations.
L’anneau C ne semble donc pas être une conséquence de l’étalement visqueux, mais plutôt
d’un autre processus physique. En particulier, le bombardement météoritique, capable
d’éjecter de grandes quantités de matériau sur des distances importantes, pourrait être
une explication (Cuzzi et Estrada, 1998).
146
3.5.3
Évolution visqueuse des anneaux actuels
Malgré l’impossibilité de conclure avec précision concernant l’âge des anneaux de
Saturne, on peut néanmoins s’intéresser à leur évolution future. Pour ce faire, étudions
l’étalement d’un modèle simple des anneaux actuels. Il est important de garder à l’esprit
que de multiples autres effets physiques participent à l’évolution des anneaux, et que l’on
cherche ici à évaluer le futur visqueux des anneaux. En particulier, les interactions avec les
satellites de Saturne sont une importante source de structuration des anneaux, qui sera
abordée dans le chapitre suivant.
On modélise les anneaux actuels par une suite de blocs de densité variable : un
premier bloc situé entre R = 74 000 km et R = 92 000 km et de densité Σ = 100 kg m−2
(l’anneau C), un second bloc situé entre R = 92 000 km et R = 117 000 km et de densité
Σ = 1000 kg m−2 (l’anneau B), une division entre R = 117 000 km et R = 122 000 km (la
division Cassini), et un troisième bloc situé entre R = 122 000 km et R = 136 000 km et de
densité Σ = 400 kg m−2 (l’anneau A). Dans un souci de généralité, la taille des particules
est fixée à rp = 1 m. L’évolution du disque sur un milliard d’années est représenté sur la
figure 3.21.
Figure 3.21 – Évolution d’un modèle simple des anneaux de Saturne actuels. (a) Profil initial. (b)
À 4 millions d’années d’évolution. (c) À 600 millions d’années d’évolution. (d) À 1 milliard d’années
d’évolution. L’anneau B remplit rapidement la division Cassini, et engloutit l’anneau C en quelques
centaines de millions d’années. Le profil du disque à 1 milliard d’années d’évolution rappelle fortement le
profil obtenu avec le modèle standard.
En l’absence de l’action de Mimas, l’anneau B remplit la division Cassini et rejoint
l’anneau A en quelques millions d’années (figure 3.21b). L’anneau C est englouti, également par l’anneau B, en 600 millions d’années (figure 3.21c). Ceci vient abonder dans le
147
sens que l’anneau C n’est pas un produit de l’étalement visqueux, mais d’un autre processus physique. On peut noter que le profil du disque à 1 milliard d’années d’évolution est
très similaire à celui obtenu dans le cadre de l’étude du modèle standard (figures 3.6c-d
et 3.21d).
Au bout d’un milliard d’années d’évolution la masse du disque, initialement de
∼ 2,2 × 1019 kg, est de ∼ 1,6 × 1019 kg. Il semble donc que les anneaux de Saturne ne
devraient pas être détruits d’ici à un milliard d’années, du point de vue de l’étalement
visqueux.
148
Icarus 209 (2010) 771–785
Icarus
journal homepage: www.elsevier.com/locate/icarus
Long-term and large-scale viscous evolution of dense planetary rings
J. Salmon a,*, S. Charnoz a, A. Crida b, A. Brahic a
a
b
UMR AIM, Université Paris Diderot/CEA/CNRS, CEA/SAp Orme des Merisiers, bat. 709, 91191 Gif-Sur-Yvette Cedex, France
Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, Centre for Mathematical Sciences, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, UK
a r t i c l e
i n f o
Article history:
Received 8 December 2009
Revised 25 May 2010
Accepted 31 May 2010
Available online 10 June 2010
Keywords:
Disks
Planetary rings
Saturn, Rings
a b s t r a c t
Planetary rings are common in the outer Solar System but their origin and long-term evolution is still a
matter of debate. It is well known that viscous spreading is a major evolutionary process for rings, as it
globally redistributes the disk’s mass and angular momentum, and can lead to the disk’s loosing mass by
infall onto the planet or through the Roche limit. However, describing this process is highly dependent on
the model used for the viscosity. In this paper we investigate the global and long-term viscous evolution
of a circumplanetary disk. We have developed a simple 1D numerical code, but we use a physically realistic viscosity model derived from N-body simulations (Daisaka et al., 2001), and dependent on the disk’s
local properties (surface mass density, particle size, distance to the planet). Particularly, we include the
effects of gravitational instabilities (wakes) that importantly enhance the disk’s viscosity. This method
allows to study the global evolution of the disk over the age of the Solar System.
Common estimates of the disk’s spreading time-scales with constant viscosity significantly underestimate the rings’ lifetime. We show that, with a realistic viscosity model, an initially narrow ring undergoes
two successive evolutionary stages: (1) a transient rapid spreading when the disk is self-gravitating, with
the formation of a density peak inward and an outer region marginally gravitationally stable, and with an
emptying time-scale proportional to 1=M 20 (where M0 is the disk’s initial mass), (2) an asymptotic regime
where the spreading rate continuously slows down as larger parts of the disk become non-self-gravitating due to the decrease of the surface density, until the disk becomes completely non-self-gravitating. At
this point its evolution dramatically slows down, with an emptying time-scale proportional to 1/M0,
which significantly increases the disk’s lifetime compared to the case with constant viscosity. We show
also that the disk’s width scales like t1/4 with the realistic viscosity model, while it scales like t1/2 in the
case of constant viscosity, resulting in much larger evolutionary time-scales in our model. We find however that the present shape of Saturn’s rings looks like a 100 million-years old disk in our simulations.
Concerning Jupiter’s, Uranus’ and Neptune’s rings that are faint today, it is not likely that they were much
more massive in the past and lost most of their mass due to viscous spreading alone.
Ó 2010 Elsevier Inc. All rights reserved.
1. Introduction
Saturn’s rings are one of the most puzzling object of the Solar
System. They have been studied for over 400 years since their discovery by Galileo in the early 17th century, but still many key
questions remain unanswered. In particular, how old the rings
are is still a matter of debate. While published scenarios for their
origin suggest an early formation in the history of the Solar System: (1) remnant of Saturn’s sub-nebula disk (Pollack et al.,
1973), (2) tidal disruption of a comet (Dones, 1991; Charnoz
et al., 2009b), (3) destruction of a satellite inside Saturn’s Roche
zone (Pollack et al., 1973; Harris, 1984; Charnoz et al., 2009b),
observations and theoretical arguments such as the viscous
spreading of the A ring in a few hundred million years (Esposito,
* Corresponding author.
E-mail addresses: [email protected] (J. Salmon), [email protected] (S. Charnoz),
[email protected] (A. Crida), [email protected] (A. Brahic).
0019-1035/$ - see front matter Ó 2010 Elsevier Inc. All rights reserved.
doi:10.1016/j.icarus.2010.05.030
1986), or the low meteoritic pollution of the rings (Cuzzi and Estrada, 1998), lead to the conclusion that they must be quite young.
Thus we are in a paradoxical situation.
The rings’ evolution is regulated through three main physical
processes. (1) Viscous spreading: particle collisions dissipate energy while conserving the total angular momentum, resulting in
the spreading of the disk with the mass being transferred inward
and the angular momentum outward (Lynden-Bell and Pringle,
1974; Goldreich and Tremaine, 1982), (2) interactions with the planet’s satellites at resonances (Goldreich and Tremaine, 1979), and
(3) meteoritic bombardment (Cuzzi and Estrada, 1998). All these
processes modify the disk’s angular momentum and transport
material, which can thus leave the disk when it reaches the planet’s radius or crosses the Roche limit where it can start to be accreted into small moons (Charnoz et al., 2010). These processes can
then cause a drop of the disk’s mass. Seeing how they strongly
influence the possible lifetime of the rings, the paradox stated
above must come from an insufficient understanding of these
772
J. Salmon et al. / Icarus 209 (2010) 771–785
processes on the long term and from a lack of models. A more detailed and global study of these processes over long time-scales is
needed.
While process (3) is specific to Saturn’s rings, processes (1) and
(2) are common to other disks in the universe, for instance protoplanetary disks, accretion disks, or galaxies. But Saturn’s rings are
particular in the sense that they are devoid of gas and composed
only of macroscopic particles, so that pressure and radiative effects
can be neglected compared to gravitational effects. Consequently,
while the approach remains valid, results on the evolution of a gaseous disk under the aforementioned processes cannot be directly
transposed to Saturn’s rings but have to be studied considering
their specificities.
The viscous spreading of a disk has already been studied, particularly accretion disks (Lynden-Bell and Pringle, 1974; Bath and
Pringle, 1981; Pringle, 1981). However, this process is highly
dependent on the model used to describe the disk’s viscosity. Several important works have been published on local properties of
the rings (Wisdom and Tremaine, 1988; Salo, 1992; Richardson,
1994; Daisaka and Ida, 1999; Ohtsuki and Emori, 2000; Daisaka
et al., 2001), resulting in precise estimates of the viscosity dependence on the disk’s parameters (surface density, particle properties, . . .), but these local properties have not been studied yet on
large spatial and temporal scales. In this paper we focus our study
on the viscous spreading of the disk considering a physically realistic viscosity model and the evolution of the whole disk. Eventually, constrain the evolution of the rings will require to consider
many different physical processes, but this is for now well beyond
current computer capacity. Moreover, questions such as the
spreading rate of the rings, the amount of material falling onto
the planet or leaving the rings through their outer limit, are important issues that still need to be addressed.
Published estimates of the rings’ viscous age are viscous timescales Dr2/m that give the time needed for a ring with constant viscosity m to reach the width Dr. However, we can expect the viscosity of the rings to be a rapidly varying function of the disk’s local
properties (surface mass density, ring particle’s radius, distance
to the planet), so that such time-scales might be substantially
inaccurate.
In this work we study the effects of a time-dependent and
space-dependent viscosity model on the long-term viscous evolution of the complete ring system. We perform 1D numerical simulations, along the radial direction, of the disk’s viscous evolution.
This implies simplifications of the physics but allows for simulations over many dynamical times (typically the age of the Solar
System). As a consequence, our results will be a first-order study
of the global viscous evolution of dense planetary rings. However,
it may give us clues to understand what has led to the rings we can
observe today. Moreover, this approach has already been used with
important results in the study of protoplanetary disks (e.g. Takeuchi et al., 1996; Alibert et al., 2005).
In Section 2 we describe the viscosity model and the numerical
procedure. In Section 3 we study the viscous evolution of an initially narrow ring over 5 billion years using two models: constant
viscosity (hereafter CV) and non-constant viscosity (hereafter
NCV), and develop analytical time-scales to describe the disk’s evolution. In Section 4 we analyse the influence of ring parameters. In
Section 5 we summarise the results and discuss the evolution of today’s rings of Saturn in the light of these results.
2. Numerical method and viscosity model
In this section we present the hydrodynamical equations
describing the evolution of the rings, the viscosity model we use,
and the principles of the numerical code we have developed. While
adopting a very general approach, we present our results for the
case of Saturn’s rings.
2.1. Basic equations
We use a 1D approach to study the viscous evolution of a Keplerian pressureless disk. To compute the evolution of the surface
density R(R, t) of an elementary annulus of the rings located at distance R from the planet and at time t, we use the same approach as
Pringle (1981). The equation of mass conservation reads:
R
@R @
ðRRv R Þ ¼ 0;
þ
@t @R
ð1Þ
where vR(R, t) is the radial velocity. The angular momentum conservation reads:
@
1 @
1 @
ðRR2 XÞ þ
ðRR3 Xv R Þ ¼
@t
R @R
R @R
mRR3
@X
;
@R
ð2Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
where X ¼ GM=R3 is the orbital frequency, with G the gravitational constant and M the planet’s mass, and m is the kinematic viscosity. Combining Eqs. (1) and (2) and replacing X by its expression
we get a single equation for the temporal evolution of the surface
density:
@ R 3 @ pffiffiffi @ pffiffiffi
R
mR R :
¼
R @R
@R
@t
ð3Þ
2.2. Viscosity model
2.2.1. Description of the model
The viscosity of a disk is related to angular momentum transport through particle interactions. The angular momentum flux
reads (Lynden-Bell and Pringle, 1974)
U ¼ 3pRXR2 m:
ð4Þ
Using the Boltzmann equation, one can derive this angular
momentum flux as (Takeda and Ida, 2001)
@
@U
ð2pRRRU h Þ ¼ ÿ
;
@t
@R
ð5Þ
where Uh is the mean tangential velocity averaged azimuthally. The
viscosity can then be computed by estimating the angular momentum flux and inverting Eq. (4).
Angular momentum transport can be divided in three components, each one related to a specific viscosity. The translational viscosity mtrans is related to the transport of angular momentum due to
the random motion of particles (usually referred to as the ‘‘local”
component, see Goldreich and Tremaine (1978)). Due to their finite
size, angular momentum is also transported via sound waves travelling between the centres of colliding particles (usually referred to
as the ‘‘non-local” component). This is represented by the collisional viscosity mcoll (Araki and Tremaine, 1986; Wisdom and Tremaine, 1988). Finally, angular momentum is transported by
gravitational scattering of particles due to the presence of selfgravity wakes (Salo, 1992, 1995; Richardson, 1994; Daisaka and
Ida, 1999; Ohtsuki and Emori, 2000). This is represented by the
gravitational viscosity mgrav.
The self-gravity wakes are gravitational aggregates induced by
the effects of both self-gravity and collisional damping of particles.
Outside of a wake, particles move randomly, but inside their motion becomes coherent, which yields systematic motion with large
bulk viscosity (Salo, 1995; Daisaka and Ida, 1999). The wakes modify the angular momentum transport, and thus the viscosity,
through the gravitational torque (Larson, 1984) and the wake motion (Lin and Pringle, 1987). Two regimes must then be considered,
whether the disk is gravitationally stable (no wakes) or not. This is
measured by the Toomre Q parameter (Toomre, 1964)
Q¼
Xrr
3:36GR
ð6Þ
;
where rr is the particle radial velocity dispersion and G is the gravitational constant. Even though Toomre showed that the disk is
gravitationally unstable for Q [ 1, N-body simulations by Salo
(1995) showed that wakes start to form for Q [ 2.
In our simulations, we use the following formulations for the
viscosity components. We set the transition between the two regimes, self-gravitating and non-self-gravitating (hereafter SG and
NSG), strictly at Q = 2.
m ¼ mtrans þ mcoll þ mgrav ;
ð7Þ
with
mtrans ¼
8 2
< rr 0:462s
if Q > 2;
2X 1þs
: 1 26r 5 G2 R2
2
h
X3
if Q < 2;
mcoll ¼ r2p Xs 8Q ;
mgrav ¼
0 if Q > 2;
mtrans if Q < 2;
ð8Þ
ð9Þ
ð10Þ
where s = 3R/(4rpqp) is the optical depth with rp and qp the particle’s radius and density. r h is a dimensionless parameter equal to
the ratio of the particle’s Hill radius rh to its physical diameter:
r h ¼ r h =ð2r p Þ with rh = (2mp/(3Ms))1/3R, and mp is the particle’s mass.
It’s basically a dimensionless measure of the distance to the planet,
while the optical depth serves as a dimensionless measure of the
disk’s surface mass density.
In the NSG regime (Q > 2), the translational viscosity is an analytical result from Goldreich and Tremaine (1978) (Eq. (8), top),
and the collisional viscosity is an analytical result from Araki and
Tremaine (1986) (Eq. (9)). In the SG regime (Q < 2) (Eqs. (8), bottom
and (10), bottom), we use the results of Daisaka et al. (2001), as
they are the first to include the effects of the wakes in the calculation of the viscosity. They performed multiple 3D shearing box Nbody simulations, including the effects of self-gravity wakes, with
1m-radius particles. Their set of parameters includes high and low
densities, which is suitable to track the rings’ evolution in a large
variety of physical conditions. Note that although the collisional
viscosity is also enhanced in the presence of wakes, its value is
about one order of magnitude smaller than the translational and
gravitational viscosity in that case, according to the simulation results of Daisaka et al. (2001). Thus we use the same prescription for
the collisional viscosity whether the disk is gravitationally stable or
not.
The parameter rh is also expressed in Daisaka et al. (2001) as
jF grav j=jF coll j ¼ 4r h 2 , where Fgrav is the self-gravity force between
particles, and Fcoll is the impulsive force exerted on particles during
collisions. This can be used to evaluate the velocity dispersion rr. If
r h < 0:5; F coll dominates and the velocity dispersion is the relative
Keplerian velocity between particles rr = 2rpX. Conversely, if
r h > 0:5; F grav dominates and the velocity dispersion
is regulated
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
to be the particle’s surface escape velocity rr ¼ Gmp =rp (Salo,
1995; Daisaka and Ida, 1999; Ohtsuki, 1999). For Saturn’s rings
we have
r h J 0:5 so in the following we always consider that
rr ¼ Gmp =rp . Note that we do not consider here the effects of
thermal conduction that could modify the velocity dispersion.
Toomre’s Q parameter depends on the disk’s local properties: it
decreases with surface mass density R and distance to the planet R.
Some parts of the disk may then be gravitationally stable while
others are not, and we can expect theses regions to undergo distinct evolutions. As the disk evolves, the surface density will decrease because of the disk’s spreading, and the Toomre Q
773
parameter will increase. Then regions initially self-gravitating
may become non-self-gravitating as the disk evolves, leading to local modifications of the viscosity. Note that with the adopted prescription of the velocity dispersion, Q is also proportional to rp. So a
disk with bigger particles will be more likely to become non-selfgravitating.
2.2.2. Viscosity dependence on ring parameters
The viscosity components depend on several parameters that
are likely to vary within the rings: particle radius, surface mass
density and distance to the planet (Eqs. (8) and (9)). Even though
this model may be used for any planetary ring, we are most interested in Saturn’s rings. Here we discuss the resulting viscosity for
the specific case of Saturn. As an example, we plot in Fig. 1 the variation of mtrans and mcoll, for a constant value of the surface density
(400 kg mÿ2, the surface density of today’s A ring, Tiscareno
et al., 2007), with respect to R and for different values of rp.
Both translational and collisional viscosities increase with particle radius, but they have opposite dependences on the distance
to the planet: the collisional (translational) viscosity decreases (increases) with R. In the SG regime, the particle radius does not modify the value of the viscosity itself, but it impacts Toomre’s Q
parameter which controls the areas of the rings that are in the
SG regime.
As the disks spreads, its surface density will decrease. Transitions from SG to NSG regimes might thus occur, leading to important variations of the viscosity. To identify the effect of a selfgravity-regime-transition on the viscosity, we study the relative
magnitude of the theoretical viscosities in the two regimes, and
analyse the position of the transition Q = 2 in the space of parameters (R, R). The result is plotted in Fig. 2, for particles with rp = 1 m.
A transition between the SG to the NSG regime will occur at a
given distance R when the surface density R goes below the limit
represented by the dashed-black curve for which Q = 2. Close to
the planet, the transition from the pink to the dark blue region will
lead to an increase of the viscosity, because in these regions
mSG < mNSG. Far from the planet, the transition from the green to
the yellow region will lead to a decrease of the viscosity, because
in these regions mSG > mNSG. The transitions between the two behaviours occurs at R 78,000 km.
This might be explained by looking into the particle velocity
dispersion.
Inside a wake, this velocity is the escape velocity:
rr ¼ Gmp =rp . In the absence of wakes, the velocity dispersion is
Fig. 1. Radial evolution of the viscosity for different ring particle sizes. The surface
density is set to 400 kg mÿ2. The translational viscosity (black curves) increases
with the distance to the planet, while the collisional viscosity (red curves) decreases
with the distance. The translational viscosity can be several orders of magnitude
larger in the self-gravitating case (black dotted line). (For interpretation of the
references to color in this figure legend, the reader is referred to the web version of
this article.)
774
Fig. 2. Relative magnitude of the total viscosity mtrans + mcoll + mgrav in the selfgravitating and non-self-gravitating regimes, and position of the regime transition.
The dashed-curves are the transition between the self-gravitating and non-selfgravitating regimes at Q = 2, and the set of parameters (R, R) for which the
theoretical viscosities in the two regimes are equal.
the difference of orbital speed between two particle distant by
2rp:rr = 2rpX. Far from the planet, the velocity in a wake is greater,
while close to the planet the difference of orbital velocity dominates. Equalizing the two expressions shows a transition around
R 84,000 km, which is in good agreement with the transition observed in Fig. 2.
2.3. A simple code
2.3.1. Numerical procedure
We have developed a 1D finite elements code on a staggered
mesh: the surface density is estimated on a regular grid, and its
evolution is computed by estimating the mass fluxes at the inner
and outer edges of each bin of the grid. This allows a second-order
accuracy in space derivatives.
By integrating Eq. (3) over the bin width dR, the variation over a
time step dt of the surface density in the bin i is given by:
dRi ¼
"
ÿ
ÿ
#
Flux Ri þ dR
ÿ Flux Ri ÿ dR
2
2
dt;
Bin Surface Area
ð11Þ
The flux at time t reads:
FluxðRÞ ¼ 6p
pffiffiffi pffiffiffi
@
R
mR R :
@R
ð12Þ
It is estimated using a second-order (in space and time) explicit
Runge–Kutta scheme.
As in any numerical procedure we cannot study scales smaller
than the grid resolution (100 km per bin). As a result we do not
expect to see small-scale instabilities such as self-gravity wakes,
or viscous overstabilities (Latter and Ogilvie, 2009), appear in our
simulations. Moreover, as we use a constant value for the velocity
dispersion, we do not satisfy the conditions for viscous instabilities
to appear. Anyway the purpose of this work is to study the rings
evolution on large scales, and even though the full resolution of
the hydrodynamics equations in 2 or 3D would be desirable (e.g.
like in Baruteau and Masset (2008) and Masset and Casoli
(2009)), such codes are limited to short time-scales. We keep the
main physical ingredients in this 1D model, allowing us to perform
simulations over 5 billion years.
2.3.2. Validation
To validate numerically the behaviour of our code we check that
the system’s mass is numerically conserved. We perform a simulation starting with an initially narrow ring with Gaussian shape and
an arbitrary initial mass. The boundary conditions are set so that
material cannot pass through the limits of the domain: the disk
is ‘‘trapped” inside the domain. We let the ring evolve viscously
and compute the total mass of the disk using the output surface
density. The initial viscous time-scale DR2/m is 11,500 years for
DR = 3000 km. After 100 million years of evolution (about 9000
viscous time-scales), the mass is equal to its original value down
to the machine precision (10ÿ18). Our code numerically conserves
the system’s mass.
Eq. (3) includes the equation of angular momentum conservation, so by construction our code should also conserves angular
momentum, as long as the disk has not reached the domain’s limits
where the boundary conditions cause modification of the disk’s
angular momentum. During the period where the disk spreads
freely between the domain’s limits, we have checked that angular
momentum is also numerically conserved down to machine
precision.
In order to validate the general behaviour of the code, we investigated the solution given by Pringle (1981) for the viscous spreading of an accretion disk with constant viscosity. Our numerical
results are in good agreement with the analytical solution, even
though slightly different because the width of the radial grid does
not allow to define an initial ring with a perfect Dirac distribution.
3. Viscous spreading with variable viscosity
Here we study the viscous evolution of a ‘‘standard model”
using CV and NCV models. We present first the disk initial conditions, then the viscous evolution over 5 billions years, and finally
we focus on the evolution of the disk’s mass.
3.1. Description of the standard model
3.1.1. Initial profile
The initial state of Saturn’s rings is dimly constrained, as it depends on the formation scenario, which is still subject to discussions. For instance the scenario based on the destruction of a
satellite via a cometary impact implies that the satellite that created the rings must be outside the synchronous orbit and inside
the Roche limit for ice at the time of the impact (Charnoz et al.,
2009b). But we have no further constraints on the initial rings
width, position, surface mass density, particle size distribution . . .
For the sake of simplicity and generality, the initial conditions
are defined as follows:
Initial surface density profile. We consider at t = 0 that the disk is
a narrow ring 3000 km wide with Gaussian profile. This is useful
to study its evolution over several viscous time-scales. The ring
centre is set slightly outside the synchronous orbit
(110,000 km), which is more or less the middle of today’s ring
system. The influence of the initial profile is studied in Section 4.
Particle radius. The particle radius of today’s rings ranges from a
few centimetres to several metres. There are also radial variations,
and on the same orbit different sizes of particles may coexist (Cuzzi
and Pollack, 1978; Cuzzi et al., 1980; Porco et al., 2008). Particle
sizes should also evolve through collisions (Albers and Spahn,
2006). Unfortunately the viscosity model developed by Daisaka
et al. (2001) does not include a particle size distribution, but a fixed
particle radius rp. Marouf et al. (1983) showed that particles in Sata with a 3 for
urn’s rings follow a power law Nðrp Þ / r ÿ
p
R1 < rp < R2. Shu and Stewart (1985) then computed that this distribution can be represented
by a single equivalent particle radius Re
pffiffiffi
given by Re ¼ 3R2 =p . For R2 10 m we get Re 5 m. Goldreich
and Tremaine (1982) suggests an equivalent radius rp = 1 m, which
is also a common value in many N-body simulations. Considering
the uncertainty around an equivalent particle size, we choose
775
rp = 1 m for our standard model, and discuss the effect of particle
size in Section 4.
Initial disk mass. Considering that today’s rings mass is estimated to be about Mimas’ mass (Esposito et al., 1983), one can assume that the initial disk mass was at least Mimas’ mass. But on the
other hand meteoritic bombardment is believed to bring a large
amount of mass into the rings (Cuzzi and Estrada, 1998), which
could substantially modify the rings’ mass. For these reasons we
use in our standard model an initial mass equal to Mimas’ mass,
and study the initial mass influence in Section 3.3.
3.1.2. Constant viscosity values
To analyse our results with the NCV model, we also perform
simulations with a constant and uniform viscosity model. Assuming that the rings were denser in the past, which would increase
their viscosity, we choose a value of 0.1 m2 sÿ1, which is about
ten times the viscosity of today’s A ring (Tiscareno et al., 2007).
Anyway, in the CV case, the value of the viscosity does not modify
the density profile, but only the viscous time-scales.
3.1.3. Boundary conditions
The radial domain ranges from R = 65,000 km to R = 140,000 km
(R = 0 is the centre of Saturn). The boundary conditions are set as
follows: material is released from the disk when it passes the domain’s limits. For the inner boundary we consider that the material
falls onto the planet and is destroyed, and for the outer boundary
we consider that the material crosses the Roche limit and starts
to be accreted in small moons that do not interact viscously with
the disk. They should however interact with the disk at resonances,
but this is beyond the scope of this paper. This has been investigated by Charnoz et al. (2010).
We remove the material passing through the domain’s limits,
and the corresponding angular momentum, by setting the surface
density of the first and last bins to zero at t = 0, and at each time
step we equalise the inward and outward fluxes in these bins. As
a result, the total flux on the first and last bins is 0, and all material
entering these bins is immediately removed, along with the corresponding angular momentum. No torque is exerted on the ring by
the boundary.
3.2. Viscous spreading over 5 billion years
In this section we study the evolution of the standard model,
using constant and variable viscosities, over the age of the Solar
System (5 billion years).
3.2.1. Relevant parameters
To analyse our results we study the evolution of three
quantities:
The surface–density profile.
The total mass of the disk, derived from the surface density, in
order to track the mass lost during the viscous spreading.
The total mass passing through the left and right limits of the
domain.
3.2.2. Early evolution (0–105 years)
In Fig. 3 the surface density at different times for both CV and
NCV models is plotted: at 0 and after 103, 104 and 105 years of evolution. As in Section 2.3.2, the initial spreading time-scale is about
11,500 years.
In the CV case, the disk edges remain smooth during the spreading, while steep edges are created in the NCV case (Fig. 3b). In this
latter case, m being an increasing function of R, the viscosity is high
in the centre and low at the edges. Thus the centre spreads faster
than the edges. As a result, a lot of material is transported from
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 3. Disk surface density at different evolution times for variable (solid line) and constant (dashed line) viscosities. (a) Initial profile. (b) At 1000 years of evolution. (c) At
104 years of evolution. (d) At 105 years of evolution. The disk with variable viscosity spreads faster and does not keep the original shape of the density profile.
776
the core towards the edges, but the edge itself fails to spread this
great amount of material and is ‘‘overwhelmed” by material coming from the core (Fig. 3b, solid line). As a result, the surface density
rapidly increases close to the edges, which become steep.
At the beginning the NCV disk appears to spread faster than the
CV disk: after 105 years of evolution (Fig. 3d), the disk width is
about 1.5 104 km in the NCV case, and 104 km in the CV case.
This can be explained by the fact that the initial value for the CV
model is too small. The computed viscosity at the rings centre is
initially 100 m2 sÿ1, much larger than the 0.1 m2 sÿ1 value we
use for the CV model. But after 105 years of evolution the viscosity
drops to 0.8 m2 sÿ1. Thus whereas the initial spreading of the
NCV disk is very rapid due to high viscosity, as soon as the disk
has spread, the viscosity drops and the evolution slows down
dramatically.
3.2.3. Evolution over 5 billion years
In Fig. 4 the surface mass density at 106, 108, 109 and
5 109 years is plotted.
We see here that the CV disk has spread much faster than the
NCV disk (Fig. 4a). After 1 billion years, the CV disk is no longer visible because almost all material has been spread out of the rings
(Fig. 4c and d). Its average surface density is 5 10ÿ5 kg mÿ2.
The NCV disk has evolved significantly, and memory of the Gaussian initial conditions has been completely lost.
The NCV disk evolves only very little from 1 to 5 billion years.
This is due to a drop of the viscosity because of the surface mass
density being now much lower than initially, resulting in a much
slower evolution. After 1 billion years of evolution, the rings viscosity is 10ÿ3 m2 sÿ1.
In conclusion, this study illustrates that spreading time-scales
estimated using only DR2/m with a constant viscosity (Goldreich
and Tremaine, 1982; Esposito, 1986), are quite inaccurate when
compared with our numerical simulations that include a realistic
viscosity model. As a result the viscous spreading rate of the rings
is far from being linear.
3.2.4. Evolution of the disk’s edges
Initially, due to the Gaussian shape we use, the disk’s edges are
smooth. Due to a low surface density, the region close to the edges
is initially in the non-self-gravitating regime. When the disk starts
to spread, material is transported from the core toward the less viscous edges. This increases the surface density close to the edges,
which then become self-gravitating. As the disk continues to
spread, the surface density close to the edges decreases. Eventually, the edges become non-self-gravitating again.
As mentioned in Section 2, the transitions from SG to NSG areas
should lead to changes in the spreading of the disk, with different
behaviours depending on the distance to the planet. Close to the
planet, this leads to an increase of the viscosity (see Fig. 1 black
dashed and dotted lines), which becomes inversely proportional
to R: the closer to the planet, the higher the viscosity (as it is in this
case dominated by the collisional component). As a result, the inner edge is smoothed (Fig. 5, top).
Far from the planet, the opposite process occurs. Here, the transition from SG to NSG results in the viscosity dropping by a factor
100. The material flux is proportional to r(mR) (Eq. (3)). When
the viscosity is constant, this can be rewritten as mrR, so that
the flux depends only on the surface density gradient. With variable viscosity, this simplification is no longer valid: the flux depends on the gradient of both the viscosity and the surface
density: r(mR) = (rm)R + m(rR).
Firstly, in the NSG regime, the viscosity dependence on R is
mtrans / R3/2 and mcoll / Rÿ3/2, while in the SG regime m mtrans /
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 4. Disk surface density at different evolution times with variable (solid line) and constant (dashed line) viscosities. (a) At 1 Myr of evolution. (b) At 100 Myr of evolution.
(c) At 1 Gyr of evolution. (d) At 5 Gyr of evolution. The disk with constant viscosity is emptied in 109 years, while the disk with variable viscosity remains massive over 5 Gyr
with a density peak inward and lower densities outward.
777
Fig. 7. Evolution of the ratio disk’s width over viscosity, against time, for a disk with
constant (dashed line) and variable (solid line) viscosity. The diamonds and
triangles are data points from simulations. Note how DR2/m remains proportional to
time.
In Fig. 6 the disk’s surface density at t = 1 Gyr is plotted over the
map of the different viscosity regimes as a function of R and R. It
shows in particular that the outer plateau closely follows the limit
Q = 2. Note that this marginally gravitationally stable plateau is
similar to Saturn’s A ring, which is known to be slightly gravitationally unstable, with the regular appearance and disappearance
of self-gravity wakes (Ferrari et al., 2009).
Fig. 5. Zoom on the disk’s edges close to the domain’s limits. The inner edge is
smooth and progressive (top), while the outer edge is sharp (bottom).
3.2.5. Spreading time-scales
We look for semi-analytical solutions of Eq. (3) to address the
difference of spreading time-scales between the disk with constant
and variable viscosities. In a classical mass diffusion process the
standard deviation of the mass distribution DR2, increases linearly
with time, so that DR2/m is proportional to time. In Fig. 7 we plot
this quantity for the CV and NCV disks. In order to avoid any
boundary effect, we restrict the analysis to the t < 5 106 years
where the disk has not yet reached the domain’s limits.
The width of the ring is defined as
DR2 ¼
P
ÿ R Þ 2 Ri
P c
;
i ðRi
i
Ri
ð13Þ
where Rc is the ‘‘centre of the disk” defined by
P
Ri Ri
Rc ¼ Pi
;
i
Ri
ð14Þ
For the disk with variable viscosity, we have used the mean viscosity, weighted by the bin’s mass
Fig. 6. Disk’s surface density at t = 5 Gyr (solid black curve), and self-gravitating
regime. Regions of the disk for which the surface density is above the dashed-curve
‘‘Q = 2” are self-gravitating, while those below are non-self-gravitating.
R19/2 (Eqs. (8) and (9)). As a result, the viscosity gradient is much lower in the NSG regime than in the SG regime. Secondly, due to the presence of a steep edge, the density gradient is larger close to the edge
than in the core. However, when the edge enters the NSG regime,
the viscosity significantly decreases and damps the large surface
density gradient. Globally, the material flux is greater close to the
outer edge than at the edge, which causes material to accumulates
and creates the observed plateau (Fig. 5, bottom).
These opposite behaviours can be more appreciated using the
self-gravity-regime-transition diagram presented in Section 2.2.2.
P
Mi mi
hmi ¼ Pi
;
i Mi
ð15Þ
where Mi = 2pRidRRi is the bin’s mass and dR is the bin’s width.
It is remarkable that despite the change of viscosity by several
orders of magnitude during the evolution of the system, DR2/m remains closely proportional to time at any instant (Fig. 7). However,
this expression can no longer be used as a ‘‘rule of thumb” to estimate, with the initial disk’s parameters, the spreading time-scales
as the viscosity drops sharply during the ring’s evolution.
For a disk in the self-gravitating regime, the viscosity is dominated by the translational and gravitational components, and can
be expressed as m / R2. In a rough description we assume that
the disk is a slab of material of width L and centred on R = R0. In
that case, the surface density can be expressed as R = M0/(2pR0L),
where M0 is the disk’s initial mass. Using L2/m / t we can then write
L4 / t. To check the validity of this relation, the disk’s width evolu-
778
In Fig. 9 is plotted the evolution of the disk’s mass over 5 billion
years, with the CV and NCV models. The NCV case can be divided
into three successive steps. First the disk’s mass remains constant
as no material has yet reached the domain’s limits. Second, at
2 107 years the disk reaches the domain’s outer limit and its
mass starts to decrease. As seen in the previous section, the disk
spreads with a lot of material being stacked close to the stiff outer
edge. As a result, a lot of mass is rapidly lost by the disk when it
reaches the domain’s outer limit. Third, at 109 years, the disk
reaches the domain’s inner limit and the mass loss is increased.
While the disk is completely emptied in a few 100 million years
in the CV case, the disk mass is still 1 1019 kg after 5 billion
years in the NCV case. It seems then possible for planetary rings
to survive viscously over the age of the Solar System in the dynamical environment of Saturn when considering a physically realistic
viscosity model.
Fig. 8. Disk width evolution against time with variable viscosity. The diamonds are
data points from simulations. Note how DR4 remains proportional to time, so that
the disk’s width scales like t1/4.
Fig. 9. Disk mass as a function of time, for a disk with variable (solid line) and
constant (dashed line) viscosity. The disk with constant viscosity is emptied in
109 years, while a third of the initial mass remains at 5 Gyr in the disk with
variable viscosity.
tion against time is plotted in Fig. 8. We obtain a perfect proportionality relation.
For a disk with constant viscosity, we directly get L2 / t. Inverting this relation we get that the width of a disk with constant viscosity increases as t1/2, while with variable viscosity it increases as
t1/4. The spreading time-scale of a disk with variable viscosity is
then much larger than that of a disk with constant viscosity.
3.3.2. Initial mass influence
One can argue that the survival of 1019 kg of material at the
end of the disk’s evolution is only valid for the set of initial parameters considered here, in particular the initial mass of
3.75 1019 kg. With a lower initial mass, there would be less
material to evacuate from the disk. But it would also decrease
the surface density and the viscosity, and thus would slow down
the loss of material. The opposite behaviour would occur with a
higher initial mass. Then it raises the question: how does the disk’s
final mass depend on the initial mass?
Today’s mass of Saturn’s rings have been evaluated to be similar
to Mimas’ mass, or probably more (Esposito et al., 1983). Even if
meteoritic flux is expected to bring a significant amount of material to the disk (Cuzzi and Estrada, 1998), it seems natural to assume that the rings initial mass was larger than their present
mass. Anyway, to address this question we performed a series of
simulations starting with initial masses ranging from 1 to 10 Mimas masses. Results are plotted in Fig. 10.
The disk that starts with 10 Mimas masses (i.e. 3.75 1020 kg )
loses 3 1020 kg in the first 100 million years: that is 80% of its initial mass! So the initial mass of the disk does modify the spreading
speed and the amount of material ejected: adding more mass to
the initial disk enhances the viscosity and a large amount of material is then ejected from the disk very rapidly. In particular, it is
interesting to note that in order to form rings with a mass close
to Mimas’ mass (i.e. 3 1019 kg ), they should not be older than
1 billion years old, starting from 10 Mimas masses.
3.3. Mass evolution
Once the disk reaches the domain’s limits (either inner or outer), it empties out. We describe below the emptying time-scale
and show that it is strongly dependant on the disk’s initial mass
and self-gravitating regime.
3.3.1. Disk mass
The total mass of the disk is given by:
M disk ¼
Z
1
0
RðRÞ2pR dR:
ð16Þ
On a discrete grid, this equation becomes
M disk ¼
Nÿ1
X
i¼0
Ri p R2iþ1 ÿ R2i ;
where N is the number of bins in the grid.
ð17Þ
Fig. 10. Disk mass as a function of time, for different initial disk masses. With a
higher initial mass, the loss-of-mass rate is increased initially but drops down over
time, so that all disk’s mass are comparable after 5 Gyr of evolution.
779
Finally the emptying time-scale verifies t empty / 1=M0 1=M 20 .
As a result the emptying time-scale is much larger in the NSG regime than in the SG regime. In the following section we investigate
the transitions between these two regimes, in terms of disk’s mass.
Fig. 11. Timescale for a 2-fold decrease of the disk mass. The diamonds are data
points from simulations. Note that it is proportional to 1=M20 , where M0 is the initial
disk mass.
On a larger time-scale, the loss rate drops. Interestingly, the emptying rate of all disks slows down significantly during the ring’s evolution. After 4 billion years, no further significant evolution is seen,
and at 5 billion years, all disk masses are 1.5 1019 kg.
3.3.3. Analytical insight
We investigate whether asymptotic laws can be used to describe the evolution of the mass lost by the disk, in the self-gravitating and non-self-gravitating regime.
Self-gravitating regime. Initially the disk is fully self-gravitating.
As showed in Section 3.2.5 we can then write that L2 / (M0/
(2pR0L))2t. Finally we get L4 / M20 t.
We can use the above law to estimate the mass lost by the disk.
Assuming that the disk fills the entire area available for its spreading, we get L = constant and the further ‘‘widening” of the rings is
equivalent to a loss-of-mass, because all material passing through
the domain’s boundaries is removed from the disk. Using the above
expression we can express a time-scale for the emptying of the
disk tempty / 1=ðM20 Þ.
To compare this law with our simulations, the time needed for
the disk’s mass to be half the initial mass, against 1=M 20 , is plotted
in Fig. 11 for initial masses of 1, 2, 5 and 10 masses of Mimas. We
obtain a relation of proportionality that confirms the above analytical study: in the self-gravity regime the disk is emptied on a timescale inversely proportional to the square of its initial mass. Is this
relation still valid for a disk in the non-self-gravitating regime?
Non-self-gravitating regime. In the NSG regime, the gravitational
viscosity is 0 and the collisional and translational viscosities have
comparable magnitudes (see Fig. 1). Their dependence on R is
mcoll ¼ r2p XbR with b = 3/(4rpqp), and mtrans = cbR/(1 + b2R2) with
c = 0.46rr/(2X). The total viscosity is then
m ¼ mcoll þ mtrans ¼
AR þ C R3
1 þ b2 R2
;
ð18Þ
where A ¼ bðr 2p X þ cÞ and C ¼ r2p Xb3 . Using the same simple
approximation R = M0/(2pR0L) and using L2/m = Kt (K is a proportionality constant) we get
L5 þ aL3
2
cðb L2 þ 1Þ
¼ Kt;
ð19Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
where a ¼ ðbM0 =ð2pR0 ÞÞ2 ; b ¼ A=C ð2pR0 =M 0 Þ and c = C(M0/
(2pR0))3.
For standard parameters of Saturn’s rings (L 104 km,
R0 105 km, rp = 1 m, qp = 900 kg mÿ3) we get L5 1035m5, aL3 1021m5, b2L2 102. We can then simplify Eq. (19) as:
Kt L5
2
cb L2
:
ð20Þ
3.3.4. Mass of a fully non-self-gravitating disk
As the disk spreads, the surface density drops down and larger
parts of the disk (near the edges) become marginally self-gravitating. We should then see the emptying time-scale drop significantly
over time. Fig. 10 shows indeed an initial rapid emptying of the
disk, which then considerably slows down. All disk’s mass even
seem to converge toward a limiting mass.
We have shown in the previous paragraph that the emptying
time-scale is much increased when the disk is in the NSG regime.
In order to find the transition between the SG and NSG regimes,
we look for a condition on the disk’s mass for a disk to be self-gravitating or not. We investigate this condition in the case where the
disk fills the entire area available for its spreading (that is from the
planet’s radius to the Roche limit). We then use the Toomre’s Q
parameter to describe the self-gravitating regime of the disk.
This parameter is a measure of the gravitational stability of the
disk. As mentioned earlier we consider here that the transition between the SG and NSG regimes occurs for Q = 2. The disk is then
fully non-self-gravitating if:
8R; Q ¼
Xrr
> 2:
3:36Gq
R ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð21Þ
Using X ¼ GM=R3 and rr ¼ Gmp =rp we find that the disk is
completely NSG if the surface density verifies
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Mmp ÿ3=2
8R; R < 0:15
:
R
rp
ð22Þ
Then using (16) and for the specific case of Saturn, we find that
the disk is completely in the non-self-gravitating regime if its total
mass verifies
Mdisk < M NSG 1:032 1019 kg;
ð23Þ
In the simulations presented in this section, the disk’s mass at
t = 5 Gyr is 1.34 ÿ 1.46 1019 kg for initial masses of 1–10 Mimas’ masses. Theses masses are larger than MNSG which should
indicate that they are still in the self-gravitating regime (at least
partially). This is indeed the case as seen in Fig. 6.
In conclusion, it seems that whatever the initial mass, the disk
undergoes an initial rapid evolution when it is self-gravitating. This
evolution continuously slows down as larger parts of the disk become marginally self-gravitating. Eventually, the disk will becomes
entirely NSG, and will undergo a very slow evolution. The wakes
observed in Saturn’s A ring (Ferrari et al., 2009) indicate that the
ring is still self-gravitating, at least in some regions.
3.3.5. Mass fluxes through boundaries
In this section, we consider again the previous standard model
with constant and variable viscosities, starting with 1 mass of Mimas. We investigate the mass lost by the disk through the inner
and outer domain’s limits, and whether theses two quantities are
comparable or not. This can give clues on the mass falling onto
the planet or crossing the Roche zone, the latter being for instance
available for accretion into satellites (Charnoz et al., 2010).
At each time step, the mass fluxes at the limits of the domain
are tracked. Results are plotted in Fig. 12. The dashed line, representing the mass flow for the CV model, is truncated at 1 billion
years of evolution, because at that point the disk was almost emptied out of its material (see Fig. 9), which caused the numerical
code to stop.
780
the impact on the evolution of the surface density and the disk’s
mass, and on the mass fluxes through the boundaries.
Fig. 12. Mass passing through domain boundaries (cumulative) with variable (solid
line) and constant (dashed line) viscosities. The data for the disk with constant
viscosity is truncated at t = 1.5 Gyr, as the disk was empty at that time (see Fig. 9).
Whatever the viscosity model, the disk loses much more mass through the Roche
limit (bottom graph) than by infall onto the planet (top graph).
NCV and CV models behave very differently. For the CV disk, both
limits of the domain are reached at about the same time, 106 years.
For the NCV disk, both limits are reached much later and not simultaneously: the outer limit is reached after 20 million years, while the
inner limit is reached only after 800 million years. This is due to the
much larger viscosity far from the planet, as the translational component scales like R19/2 in the self-gravitating regime.
Another feature, not visible in the log–log format, is the very
sudden release of material through the outer limit (due to the stiff
outer edge, see Section 3.2.4) compared to a smoother and more
progressive release through the inner edge (due to the smooth inner edge).
4. Influence of ring parameters
In order to validate our results of Section 3, we now perform
additional simulations, varying the disk parameters. In the following, only the variable viscosity model (see Section 2.2) is
considered.
4.1. Influence of ring particles radius
The viscosity model, and our 1-dimensional approach requires
the fixing of the value of the particle size. In this section, we study
the influence of this parameter.
We perform several simulations of the ‘‘standard model”, with
single particle sizes ranging from 0.01 to 10 m, and investigate
4.1.1. Influence on surface density evolution
For a NSG disk, the viscosity increases with particle radius (see
Section 2.2.2). For a SG disk, the translational viscosity does not depend on the particle radius. However, the particle radius increases
Toomre’s Q parameter. As a result the disk is more likely to become
NSG with bigger particles in regions with lower surface densities,
i.e. close to the edges. Thus, different spreading regimes may then
be expected whether the disk remains SG during spreading or not.
In Fig. 13 the surface mass density of the disk at different times,
and for several particle sizes, is plotted.
At 1 million years (Fig. 13a), the surface density is not significantly affected by particle size, except the disk with 10 m-radius
particles (red curve). The ramps close to the disk extremities are
due to transitions from the SG regime to the NSG regime (see
Section 3.2.4).
At 108 years (Fig. 13b) the disk with 10 m-radius particles has
evolved very differently from the other disks. This disk has a parabolic shape whereas the disks with smaller particles have a surface
density peak inward and lower densities in the outer regions. This
latter shape is specific of a disk that is still partially self-gravitating
(in the peak region).
At 109 years (Fig. 13c), the disk with 5 m-radius particles is also
completely in the NSG regime and its shape is very similar to the
disk with 10 m-radius particles. The disk with 2.5 m-radius particles is in the SG regime only in the region located between the discontinuity at 75,000 km and the beginning of the outer ramp at
95,000 km. The surface density of each disk, normalised to rp, is
plotted on Fig. 14, along with the transition between the SG and
NSG regimes (Q = 2), also normalised to rp (black dashed line).
The dark blue and red curves, corresponding to the disks with
5 m and 10 m-radius particles, are below the dashed line, indicating that they are entirely no longer in the SG regime. The light blue
and green curves, corresponding to the disk with 1 m and 2.5 m-radius particles, are still partially in the SG regime, in the regions
where the surface density is above the black dashed line. At
5 109 years (Fig. 13d), only the disks with 0.01 m-radius and
1 m-radius particles are still partially self-gravitating.
Two spreading regimes clearly appear. In particular, the inner
peak of the surface density is characteristic of a disk that is still
partially self-gravitating, whereas a parabolic shape is characteristic of a fully non-self-gravitating disk.
Increasing the particles size slows down the initial outer
spreading, but when all disks are completely NSG, the disks with
the larger particles spread faster, as viscosities in the NSG regime
are an increasing function of rp. As a result, Fig. 13d can be interpreted as different evolutionary steps in the disk’s life.
4.1.2. Influence on disk mass evolution
The final disk mass for all particle radii is indicated in Table 1.
The final mass of the disk is not much affected by the change of
particles size, except the disk with 10 m-radius particles because of
the strong enhancement of the translational and collisional viscosities in the NSG regime. The disk with 2.5 m-radius particles is
intermediate between a disk whose viscosity remains high because
it remains in the SG regime (for rp [ 1 m), and one that rapidly enters the NSG regime, but whose viscosity is supported by large particles (for rp J 5 m).
The inner mass flux increases with the particle radius because
of the increase of the collisional viscosity. The outer mass flux increases when the disk enters rapidly the NSG regime (rp J 5 m),
because of the increase of the translational viscosity with rp in
the NSG regime. Here again the intermediate state of the disk with
2.5 m-radius particles can be pointed out.
781
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 13. Disk surface density at different times and for different particle radii: 0.01 m (black), 1 m (light blue), 2.5 m (green), 5 m (dark blue), 10 m (red). (a) After 1 Myr of
evolution. (b) After 100 Myr of evolution. (c) After 1 Gyr of evolution. (d) After 5 Gyr of evolution. The disks with larger particles enter more rapidly the non-self-gravitating
regime. A disk still partially self-gravitating has a specific shape with an inward peak and an outer plateau corresponding to the non-self-gravitating area. (For interpretation
of the references to color in this figure legend, the reader is referred to the web version of this article.)
Table 1
Influence of particle radius on the evolution of the disk’s mass. Initial mass is
3.75 1019.
Particle radius (m)
Final disk mass (1019 kg)
Mass through inner edge (1019 kg)
Mass through outer edge (1019 kg)
Fig. 14. Surface density at t = 109 years normalised by the ring particle radius for
different particle radii: 1 m (light blue), 2.5 m (green), 5 m (dark blue), 10 m (red).
The case rp = 0.01m has been remove for scaling purpose. The black dashed line is
the transition at Q = 2 between the self-gravitating to the non-self-gravitating
regime normalised by the ring particle’s radius. The disks with 1 m and 2.5 mradius particles are still partially in the self-gravitating regime (in the peak), while
the disks with 5 m and 10 m-radius particles are entirely in the non-self-gravitating
regime. (For interpretation of the references to color in this figure legend, the reader
is referred to the web version of this article.)
4.2. Influence of the initial surface density profile
In this section we study the influence of different initial surface–density profiles. We modify one parameter at a time, and analyse its influence on the viscous spreading over 5 billion years, and
on the evolution of the disk’s mass.
0.01
1.45
0.46
1.84
1
1.34
0.61
1.80
2.5
1.63
0.61
1.51
5
1.46
0.69
1.60
10
0.93
0.93
1.89
4.2.1. Influence of initial mean radius
First we change the initial position of the disk by shifting the
surface density maximum. While our standard model is defined
with a mean radius of 110,000 km, we study two other cases:
90,000 km and 130,000 km, which more or less covers the total
area of today’s rings.
The surface density at t = 0 and at 5 billion years is plotted in
Fig. 15. The final disk masses are listed in Table 2.
At 5 billion years, the disks starting at 90,000 km and
110,000 km have reached a similar surface–density profile, and
comparable disk mass. The mass fluxes through the disk’s boundaries have opposite behaviours: while the disk starting at
90,000 km loses its mass preferentially through its inner boundary,
the disk starting at 110,000 km loses quite the same amount of
mass but through the outer boundary (Table 2).
The disk that starts at 130,000 km reaches the outer boundary
very rapidly, in about 105 years, and loses a larger amount of mass
than the other two. This is due to the fact that when the disk is SG,
the translational viscosity is greatly increased at high radius, and
also to the fact that the disk starts closer to the Roche limit. As a
result its final surface density is globally lower than that of the
other two disks. This disk never reaches the planet within 5 billion
years.
782
Fig. 16. Surface density evolution over the first million year for an initial ring
composed of two ringlets (plain line). Both ringlets contain the same mass, but the
outer one has lower surface densities because the ring’s surface (2pRdR) increases
with distance. Both ringlets spread similarly (dashed line). The two sub-rings merge
in 106 years (dotted line), after which the spreading continues as in the case with
a single initial ring.
Fig. 15. Influence of initial position on surface density evolution. Top: Initial
profiles. Bottom: At t = 5 Gyr. When the initial ring is farther from the planet it loses
more mass, as it is then closer to the Roche limit (see Fig. 12).
to R = 110,000 km. We choose to put the exact same mass in both
ringlets, so their initial maximal surface density is different (because the surface of a bin increases with R). The two sub-rings
are distant of 10,000 km (peak to peak). The first million years of
the evolution of the disk is plotted in Fig. 16.
The two sub-rings merge in a few hundred thousand years, and
then the evolution goes on very similarly to the case with only one
initial ring. The final mass of the disk after 5 billion years of evolution is 1.34 1019 kg, very close to what we obtained in Section 3.
The mass passing through the boundaries is unaffected. The initial
shape of the rings seems then to have very little effect on their
long-term evolution.
5. Summary and discussion
Table 2
Influence of initial disk position on the evolution of the disk’s mass. Initial mass is
3.75 1019 kg.
Initial position (km)
Final disk mass (1019 kg)
Mass through inner edge (1019 kg)
Mass through outer edge (1019 kg)
90,000
1.39
1.58
0.78
110,000
1.34
0.61
1.79
130,000
0.92
4 10ÿ4
2.83
Eventually, all disks still have a mass close to 1 1019 kg, much
like in the standard model of Section 3. The main effect of changing
the disk’s initial position is to modify the material fluxes through
the boundaries, and increasing the initial radius increases the mass
loss through the outer edge.
4.2.2. Influence of initial width
In this section we change the initial width of the disk by adjusting r, the standard deviation of the Gaussian. We compare the results of our standard model to simulations with standard
deviations 0.5r, 2r and 5r.
The modification of the initial width of the disk has no significant impact on the evolution over 5 billion years. The most narrow
disk, that starts with the highest surface density, spreads more rapidly than the others and catches them up in a few ten thousand
years of evolution.
4.2.3. Influence of initial mass repartition
Here we study a scenario where the initial material is distributed in two ringlets instead of one. We assume a Gaussian profile
for both of them and use initial positions symmetrical with respect
5.1. Viscous age of the rings
We have investigated the effect of a non-constant realistic viscosity model on the global viscous spreading of dense planetary
rings over 5 billion years. Our main result is that using a physically
realistic viscosity model introduces important changes in the disk’s
spreading over time. We identified two distinctively different
spreading regimes, whether the disk is self-gravitating or not.
When the disk is self-gravitating, it develops a surface density peak
inward and an outward tail with lower surface density and which
is marginally gravitationally stable (Q 2), whereas a totally nonself-gravitating disk has a parabolic profile with a central maximum. The disk’s spreading is only significantly affected through
modification of the particle radius, because bigger particles increase the Toomre’s Q parameter.
Contrary to a continuous spreading of the disk with constant
viscosity, resulting in an emptying in 500 Myr (depending on
the constant viscosity value), the spreading rate of the non-constant viscosity (NCV) disk significantly decreases over time, allowing for a survival of an important part of the disk over 5 billion
years. We have shown in particular that with variable viscosity
in the self-gravitating regime, the disk’s width increases like t1/4,
much slower than in a constant viscosity case where the width increases like t1/2.
The final state of the disk seems somewhat independent of various initial parameters such as initial width, position, and surface
density profile. Moreover, it appears that whatever the initial mass
of the disk, the disk always undergo a rapid initial emptying, which
progressively slows down. We showed that this evolution can be
related to the disk’s self-gravitating regime, with emptying timescales proportional to 1=M20 in the self-gravitating regime, and 1/
M0 in the non-self-gravitating regime. The disk’s mass drops continuously until it reaches the mass of a disk filling the area from
the planet’s radius up to the Roche limit, and with a surface density
so that every part of the disk
ffi marginally gravitationally stable
qffiffiffiffiffiffiffiis
Mm
(Q 2), yielding R < 0:15 rp p Rÿ3=2 . We computed that for the
specific case of Saturn this mass is 1019 kg, in good agreement
with our simulation results (Fig. 10). Afterwards, the disk evolves
very slowly because of the very low viscosity in the NSG regime,
compared to the SG regime, for meter-sized particles.
In all our simulations starting with a disk mass about one Mimas’ mass or more, we could not achieve a total emptying of the
rings in 5 billion years. Most of the mass is lost through the Roche
limit, except when the initial disk is located below 100,000 km,
where most of the mass is lost via infall onto the planet. The survival of Saturn’s rings against viscous spreading over the age of
the Solar System seems then possible, and during its evolution a
lot of material would have been made available for the accretion
of satellites (Charnoz et al., 2010).
The rings of Jupiter, Uranus and Neptune are today much less
dense and massive than Saturn’s rings. Moreover, they are composed mainly of dust, while Saturn’s rings have typical particle
sizes of 1 cm. For instance, the normal optical depth of the Jovian
ring system is 10ÿ5, while the optical depth of Saturn’s A ring is 0.1 (Ockert-Bell et al., 1999; Ferrari et al., 2009). In our simulations,
we showed that under viscous spreading an initially massive ring
system remains massive over time because of the very slowly
evolving asymptotic regime when the disk becomes marginally
self-gravitating. Under these considerations, it seems unlikely that
the rings of the other giant planets could have been dense enough
to be self-gravitating (Q < 2) in their past.
5.2. Comparison with observation
It is interesting to compare the current rings of Saturn with the
surface–density profiles we obtain in our simulations. We have
plotted in Fig. 17 the ring optical depth s from the Voyager
photo-polarimeter spectrum (PPS), as it may be proportional to
the surface mass density in low s regions. We have also plotted
the disk surface density at t = 1.5 108 years for the disk with
5 m-radius particles. Apart from the Cassini Division, which is
thought to have been created by Mimas’ 2:1 resonance (Goldreich
and Tremaine, 1978) and the C ring, we note several similarities.
Firstly, the global shape is in good agreement, with a maximum
inward and lower surface densities toward the outer limits of the
783
rings, with the peak corresponding to the B ring and the outer plateau to the A ring. This plateau is marginally gravitationally stable
(Q 2), which is coherent with the several observations of wakes
in the A ring (Ferrari et al., 2009). The position of the maximum
is much more inward later in our simulations at 109 years. This
favours the hypothesis that Saturn’s rings are young, but this could
also be explained by the imperfections of the viscosity model we
use (the mass has been transferred inward too rapidly), or also to
other physical effects we have not considered in our study, or to
unknown initial conditions. A change in the particle radius would
also modify significantly the optical depth profile.
We can note also that in our simulations we never recover anything similar to the C ring. This could be due to an important modification of the particle size in this region, but this is unlikely as
particle size distributions show a greater power index for the C ring
than for the B ring, so that there should be less large particles in the
C ring than in the B ring (Charnoz et al., 2009a, Section 17.2.1.1).
Moreover this modification of the ring particle size would not explain the very steep transition from the B ring to the C ring. This
transition may however suggest that the C ring is a product of another physical process. For instance, meteoritic bombardment is
though to be capable of projecting large amounts of material over
significant distances (Cuzzi and Estrada, 1998). The C ring could
then be ejecta from the bombardment of the B ring. This would
in turn agree with the observed similarities in the spectral signatures of the B and C rings as observed by Cassini VIMS (Nicholson
et al., 2008).
Although today’s rings mostly resemble a 100 million-years old
disk when compared to our simulations, their formation so recently in the history of the Solar System is yet to be explained. In
this work we have considered only the viscous torque, so that we
can only say that today’s rings viscously look like a 100 millionyears old disk. Other important physical effects have to be included
in order to fully constrain the evolution time-scales of the rings.
For instance, a satellite located between the planet and the initial
rings could importantly slow down the inward spreading of the
rings via resonant interactions, which apply a repulsive torque to
the disk (Meyer-Vernet and Sicardy, 1987). Conversely, outer satellites could also substantially reduce the rings outward spreading.
These interactions would consequently reduce the mass lost by
the disk through its outer boundary. Considering that in our simulations, most of the mass is lost through this boundary, satellite
interactions appear as a process that could significantly increase
the survival of the rings. However these interactions should increase the mass lost by the disk from its inner boundary, because
of the repulsive torque applied by the satellite on the disk. Inclusion of satellite interactions would then be important to quantify
the impact on the mass lost by the disk.
5.3. Viscous spreading of current rings
Fig. 17. Voyager PPS profile (plain line) and disk surface density at
t = 1.5 108 years for rp = 5 m (dashed line). Both shapes are similar, with a peak
inward and lower densities outward.
While the aim of our work was not to reproduce today’s rings
but to understand the effects of a realistic viscosity model over
long time-scales, we applied our model to an initial set of parameters that roughly reproduces today’s rings of Saturn: a first slab
from 74,000 km to 92,000 km with R = 100 kg mÿ2 (the C ring), a
second slab from 92,000 km to 117,000 km with R = 1000 kg mÿ2
(the B ring), a gap from 117,000 km to 122,000 km (the Cassini
Division) and a third slab from 122,000 km to 136,000 km with
R = 400 kg mÿ2 (the A ring). We choose a particle radius of 1 m. Results are plotted in Fig. 18.
In this configuration, the total rings’ mass is 2.2 1019 kg and
only the A and B rings are self-gravitating, the C ring being not
dense enough. The average initial viscosities are 10ÿ4 m2 sÿ1 for
the C ring, and 10ÿ2 m2 sÿ1 for the B and A rings, which is in good
agreement with observational results (Tiscareno et al., 2007).
784
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 18. Current rings surface density evolution. (a) Initial profile. (b) At 4 Myr of evolution. (c) At 600 Myr of evolution. (d) At 1 Gyr of evolution. The B ring rapidly fills the
Cassini Division, and overwhelms the C ring in 1 Gyr. As in the previous simulations, the disk evolves with a peak inward and a marginally self-gravitating outer plateau (see
Fig. 6).
The Cassini Division is filled in about 4 million years, because of
a rapid outward spreading of the B ring (Fig. 18b). This emphasises
the role of the 2:1 Mimas resonance in the existence of the Cassini
Division (Schwartz, 1981; Esposito et al., 1987). The inner spreading of the B ring is much slower. The C ring, because of its very low
viscosity, evolves very little. It is completely ‘‘eaten” by the B ring
in approximately 600 million years (Fig. 18c).
It is interesting to note that the shape of the surface density at
109 years is very similar to what we obtain with our standard model (Fig. 13c–d, light-blue curve, and 18d), even though the initial
surface density profiles where very different in the two simulations. The final state of the rings seems then very independent of
the initial conditions.
After 1 billion years of evolution, the mass of the disk is still
1.6 1019 kg. It seems then, as we have seen in Section 3, that Saturn’s rings could very well be viscously old, but they are also not
likely to disappear in the next billion years.
5.4. Perspectives
An important improvement to this work would be to include a
particle size distribution in the viscosity model. Indeed, we have
seen in Section 4 that only the ring particle radius significantly affects the spreading of the rings as it impacts the positions of the
transitions between the self-gravitating and non-self-gravitating
regimes, for a given surface density. This means that if particle segregation occurs in the rings, this could lead to modification of the
viscous behaviour of some regions of the rings.
While the viscous spreading is a key physical phenomenon for
the evolution of Saturn’s rings, it will be affected by other effects
such as resonant torques with satellites. Many structures of the
rings are known to be the result of resonant interactions with
the satellites of Saturn (Esposito et al., 1987). The repulsive torque
exerted by outer satellites could also significantly alter the spreading of the disk (Salmon et al., 2009).
These structures, for instance density waves, locally modify the
density and thus the viscosity. How material is transported
through these waves could gives us clues on the suggested ‘‘recycling” of the rings, which could be responsible for the apparent
low meteoritic pollution of the rings (Cuzzi and Estrada, 1998). It
would also be important to constrain the long term influence of
these resonant interactions, and see if they increase the possible
lifetime of Saturn’s rings or if they contribute to their destruction.
Acknowledgments
We would like to thank Dr. Anais Rassat for her careful reading
of this paper and her very useful comments and suggestions. We
would like also to thank Pierre-Yves Longaretti, and an anonymous
referee, for their very useful review that contributed to increase
the quality of this paper. This work was supported by the Commissariat à l’Énergie Atomique and Université Paris Diderot.
References
Albers, N., Spahn, F., 2006. The influence of particle adhesion on the stability of
agglomerates in Saturn’s rings. Icarus 181, 292–301.
Alibert, Y., Mousis, O., Benz, W., 2005. Modeling the jovian subnebula. I.
Thermodynamic conditions and migration of proto-satellites. Astron.
Astrophys. 439, 1205–1213. arXiv:astro-ph/0505367.
Araki, S., Tremaine, S., 1986. The dynamics of dense particle disks. Icarus 65, 83–109.
Baruteau, C., Masset, F., 2008. Type I planetary migration in a self-gravitating disk.
Astrophys. J. 678, 483–497.
Bath, G.T., Pringle, J.E., 1981. The evolution of viscous discs. I – Mass transfer
variations. Mon. Not. R. Astron. Soc. 194, 967–986.
Charnoz, S., Dones, L., Esposito, L.W., Estrada, P.R., Hedman, M.M., 2009a. Origin and
evolution of Saturn’s ring system, pp. 537–573.
Charnoz, S., Morbidelli, A., Dones, L., Salmon, J., 2009b. Did Saturn’s rings form
during the late heavy bombardment? Icarus 199, 413–428. 0809.5073.
Charnoz, S., Salmon, J., Crida, A., 2010. The recent formation of Saturn’s moonlets
from viscous spreading of the main rings. Nature, 465, 752–754.
Cuzzi, J.N., Estrada, P.R., 1998. Compositional evolution of Saturn’s rings due to
meteoroid bombardment. Icarus 132, 1–35.
Cuzzi, J.N., Pollack, J.B., 1978. Saturn’s rings: Particle composition and size
distribution as constrained by microwave observations. I – Radar
observations. Icarus 33, 233–262.
Cuzzi, J.N., Pollack, J.B., Summers, A.L., 1980. Saturn’s rings – Particle composition
and size distribution as constrained by observations at microwave wavelengths.
II – Radio interferometric observations. Icarus 44, 683–705.
Daisaka, H., Ida, S., 1999. Spatial structure and coherent motion in dense planetary
rings induced by self-gravitational instability. Earth Planets Space 51, 1195–
1213. arXiv:astro-ph/9908057.
Daisaka, H., Tanaka, H., Ida, S., 2001. Viscosity in a dense planetary ring with selfgravitating particles. Icarus 154, 296–312.
Dones, L., 1991. A recent cometary origin for Saturn’s rings? Icarus 92, 194–203.
Esposito, L.W., 1986. Structure and evolution of Saturn’s rings. Icarus 67, 345–357.
Esposito, L.W., Harris, C.C., Simmons, K.E., 1987. Features in Saturn’s rings.
Astrophys. J. Suppl. 63, 749–770.
Esposito, L.W., Ocallaghan, M., West, R.A., 1983. The structure of Saturn’s rings –
Implications from the Voyager stellar occultation. Icarus 56, 439–452.
Ferrari, C., Brooks, S., Edgington, S., Leyrat, C., Pilorz, S., Spilker, L., 2009. Structure of
self-gravity wakes in Saturn’s A ring as measured by Cassini CIRS. Icarus 199,
145–153.
Goldreich, P., Tremaine, S., 1978. The formation of the Cassini Division in Saturn’s
rings. Icarus 34, 240–253.
Goldreich, P., Tremaine, S., 1979. The excitation of density waves at the Lindblad
and corotation resonances by an external potential. Astrophys. J. 233, 857–871.
Goldreich, P., Tremaine, S., 1982. The dynamics of planetary rings. Annu. Rev.
Astron. Astrophys. 20, 249–283.
Harris, A.W., 1984. The origin and evolution of planetary rings. In: Greenberg, R.,
Brahic, A. (Eds.), IAU Colloq. 75: Planetary Rings, pp. 641–659.
Larson, R.B., 1984. Gravitational torques and star formation. Mon. Not. R. Astron.
Soc. 206, 197–207.
Latter, H.N., Ogilvie, G.I., 2009. The viscous overstability, nonlinear wavetrains, and
finescale structure in dense planetary rings. Icarus 202, 565–583.
Lin, D.N.C., Pringle, J.E., 1987. A viscosity prescription for a self-gravitating accretion
disc. Mon. Not. R. Astron. Soc. 225, 607–613.
Lynden-Bell, D., Pringle, J.E., 1974. The evolution of viscous discs and the origin of
the nebular variables. Mon. Not. R. Astron. Soc. 168, 603–637.
Marouf, E.A., Tyler, G.L., Zebker, H.A., Simpson, R.A., Eshleman, V.R., 1983. Particle
size distributions in Saturn’s rings from Voyager 1 radio occultation. Icarus 54,
189–211.
785
Masset, F.S., Casoli, J., 2009. On the horseshoe drag of a low-mass planet. II.
Migration in adiabatic disks. Astrophys. J. 703, 857–876.
Meyer-Vernet, N., Sicardy, B., 1987. On the physics of resonant disk–satellite
interaction. Icarus 69, 157–175.
Nicholson, P.D., and 15 colleagues, 2008. A close look at Saturn’s rings with Cassini
VIMS. Icarus 193, 182–212.
Ockert-Bell, M.E., Burns, J.A., Daubar, I.J., Thomas, P.C., Veverka, J., Belton, M.J.S.,
Klaasen, K.P., 1999. The structure of Jupiter’s ring system as revealed by the
Galileo imaging experiment. Icarus 138, 188–213.
Ohtsuki, K., 1999. Evolution of particle velocity dispersion in a circumplanetary
disk due to inelastic collisions and gravitational interactions. Icarus 137,
152–177.
Ohtsuki, K., Emori, H., 2000. Local N-body simulations for the distribution
and evolution of particle velocities in planetary rings. Astron. J. 119,
403–416.
Pollack, J.B., Summers, A., Baldwin, B., 1973. Estimates of the sizes of the particles in
the rings of Saturn and their cosmogonic implications. Icarus 20, 263–278.
Porco, C.C., Weiss, J.W., Richardson, D.C., Dones, L., Quinn, T., Throop, H., 2008.
Simulations of the dynamical and light-scattering behavior of saturn’s rings and
the derivation of ring particle and disk properties. Astron. J. 136, 2172–2200.
Pringle, J.E., 1981. Accretion discs in astrophysics. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 19,
137–162.
Richardson, D.C., 1994. Tree code simulations of planetary rings. Mon. Not. R.
Astron. Soc. 269, 493–511.
Salmon, J., Charnoz, S., Crida, A., Brahic, A., 2009. Simulations of Saturn’s rings
evolution over 5 billion years with variable viscosity and satellite interactions.
In: AAS/Division for Planetary Sciences Meeting Abstracts.
Salo, H., 1992. Gravitational wakes in Saturn’s rings. Nature 359, 619–621.
Salo, H., 1995. Simulations of dense planetary rings. III. Self-gravitating identical
particles. Icarus 117, 287–312.
Schwartz, M.P., 1981. Clearing the Cassini Division. Icarus 48, 339–342.
Shu, F.H., Stewart, G.R., 1985. The collisional dynamics of particulate disks. Icarus
62, 360–383.
Takeda, T., Ida, S., 2001. Angular momentum transfer in a protolunar disk.
Astrophys. J. 560, 514–533. arXiv:astro-ph/0108133.
Takeuchi, T., Miyama, S.M., Lin, D.N.C., 1996. Gap formation in protoplanetary disks.
Astrophys. J. 460, 832–847.
Tiscareno, M.S., Burns, J.A., Nicholson, P.D., Hedman, M.M., Porco, C.C., 2007. Cassini
imaging of Saturn’s rings. II. A wavelet technique for analysis of density waves
and other radial structure in the rings. Icarus 189, 14–34. arXiv:astro-ph/
0610242.
Toomre, A., 1964. On the gravitational stability of a disk of stars. Astrophys. J. 139,
1217–1238.
Wisdom, J., Tremaine, S., 1988. Local simulations of planetary rings. Astron. J. 95,
925–940.
164
Chapitre 4
Formations des petites lunes de
Saturne
Jupiter and Saturn
Oberon, Miranda and Titania
Neptune, Titan,
Stars can frighten
(Barrett et al., 1967)
4.1
4.1.1
Origine des satellites des planètes géantes du Système Solaire
Satellites « réguliers » et « irréguliers »
Avant de faire l’inventaire des satellites des planètes géantes de notre Système Solaire, un peu de vocabulaire s’impose. On distingue en effet deux types de satellites, selon
leur scénario de formation. Un satellite sera dit :
– « régulier » (regular en anglais) s’il s’est formé dans la région du disque protoplanétaire située à proximité de la planète. Cette région est appelée la « sousnébuleuse » de la planète. Ces satellites ont une orbite prograde, c’est-à-dire qu’ils
parcourent leur orbite dans le même sens que le sens de rotation propre de leur
planète.
– « irrégulier » (irregular en anglais) s’il s’est formé loin de la planète, et qu’il a
ensuite été capturé par le champ gravitationnel de la planète. Ces satellites se
trouvent généralement loin de leur planète, et leurs orbites sont souvent excentriques, inclinées et rétrogrades (c’est-à-dire qu’ils parcourent leur orbite dans le
sens opposé au sens de rotation propre de leur planète).
Ce point étant clarifié, intéressons-nous de plus près à cette multitudes d’objets qui
tiennent compagnie aux planètes de notre Système Solaires.
165
Chapitre 4. Formations des petites lunes de Saturne
4.1.2
Les satellites de Jupiter, Uranus et Neptune
4.1.2.1
Jupiter
Jupiter, plus grosse planète de notre Système Solaire, possède pas moins de 63
satellites identifiés, séparés en plusieurs groupes selon leurs caractéristiques. De ces 63
satellites, 8 sont réguliers. Les 4 plus massifs, appelés satellites galiléens et formant le
groupe principal, sont Io, Europe, Ganymède, et Callisto (figure 4.1). Ils représentent à
eux seuls plus de 99% de la masse en orbite autour de Jupiter. Les satellites galiléens
ont une forme sphérique, et sont si massifs qu’ils seraient rangés dans la catégorie des
« planètes naines » si ils étaient directement en orbite autour du Soleil. Ganymède est
même plus grand que Mercure.
Figure 4.1 – Les satellites galiléens de Jupiter. De gauche à droite : Io, Europe, Ganymède, Callisto
.
Les 4 autres satellites réguliers de Jupiter forment le groupe d’Amalthée, et orbitent
très près de la planète (à moins de 3RX ) : Métis, Adrastée, Amalthée et Thébé. Ces lunes
sont intimement liées aux anneaux de Jupiter, dont elles empêchent la destruction (Burns
et al., 1999, 2004).
Les 55 autres satellites sont irréguliers et sont situés loin de Jupiter (au-delà de
100RX ). Thémisto, le groupe Himalia (5 satellites) et Carpo sont progrades. Les 48 autres
sont sur des orbites rétrogrades, d’excentricité moyenne ∼ 0,2, et d’inclinaison pouvant
atteindre plusieurs dizaines de degrés. Ils sont regroupés en 3 familles principales : le
groupe Carme (17 satellites), le groupe Ananke (16 satellites) et le groupe Pasiphae (13
satellites).
4.1.2.2
Uranus
Uranus possède 27 satellites identifiés, répertoriés en trois groupes. Par ordre de
distance à la planète, on trouve tout d’abord un ensemble de 13 petites lunes de quelques
dizaines de kilomètres de rayon. Le plus gros d’entre eux, Puck (figure 4.2), ne mesure
que ∼ 80km de rayon. Comme dans le cas de Jupiter avec le groupe Amalthée, ces petits
corps sombres sont intimement liés aux anneaux d’Uranus, dont l’origine serait attribuée
à la fragmentation d’une ou plusieurs de ces petits lunes dans le passé (Esposito, 2002).
166
Cordélia et Ophélia jouent le rôle de « satellites bergers » vis-à-vis de l’anneau , et Mab
serait à l’origine de l’anneau ! (Showalter et Lissauer, 2006).
Plus loin se trouvent les 5 lunes principales d’Uranus : Miranda, Ariel, Umbriel,
Titania et Obéron (figure 4.2). Ce sont des objets assez sombres, 10 à 1000 fois moins
massifs que la Lune (Jacobson et al., 1992), et dont l’axe de rotation est tout aussi incliné
que celui de leur planète. Les plus grosses de ces lunes sont probablement différenciées,
c’est-à-dire composées d’un cœur rocheux entouré d’un manteau de glace. Titania et
Obéron abritent peut-être un océan d’eau liquide à l’interface entre le cœur et le manteau
(Hussmann et al., 2006).
Figure 4.2 – Uranus et ses 6 plus gros satellites. De gauche à droite : Puck, Miranda, Ariel, Umbriel,
Titania et Obéron
.
Les 9 satellites restant sont des satellites irréguliers qui, comme dans le cas de
Jupiter, orbitent bien plus loin de leur planète que le reste des satellites (à plus de 160RZ ).
8 d’entre eux sont sur des orbites rétrogrades, seul Margaret est sur une orbite prograde.
Notons que ce dernier a l’une des plus fortes excentricités de toutes les lunes du Système
Solaire (∼ 0,66).
4.1.2.3
Neptune
Neptune est la planète géante de notre Système Solaire qui possède le moins de
satellites : 13. Parmi eux, 6 sont des satellites réguliers : Naïad, Thalassa, Despina, Galatée,
Larissa et Protée. Comme dans le cas d’Uranus, ces petits satellites sont intimement liés
167
aux anneaux de Neptune. Par exemple Naïade et Thalassa orbitent entre les anneaux de
Galle et de LeVerrier (Smith et al., 1989), dont Despina est probablement un satellite
berger (Miner et al., 2007). Galatea joue un rôle important dans le confinement des 5 arcs
qui constituent l’anneau d’Adams (Miner et al., 2007).
Seules les deux plus grosses de ces lunes ont pu être observées avec une résolution
suffisante pour en discerner les détails de leur surface. Larissa (∼ 100 km de rayon) est
de forme allongée. Protée, bien qu’il mesure plus de 200 km de rayon, est moins allongé
mais n’est pas véritablement sphérique non plus (figure 4.3)(Smith et al., 1989). Ceci est
assez surprenant quand on voit que d’autres satellites de taille similaire sont parfaitement
sphériques, comme par exemple Miranda autour d’Uranus (∼ 130 km de rayon), ou Mimas
autour de Saturne (∼ 95 km de rayon, voir plus loin).
Figure 4.3 – Les satellites Larissa (à gauche) et Protée (à droite), imagés par la sonde Voyager 2
Neptune possède également 7 satellites irréguliers, parmi lesquels Triton (figure 4.4).
Ce satellite possède la particularité d’être doté d’une véritable atmosphère, tout comme
Titan autour de Saturne (voir section suivante), composée principalement d’azote. En
1986, la sonde Voyager 2 observa des formes évoquant des nuages dans cette fine atmosphère (Smith et al., 1989). Composé d’un cœur rocheux et d’un manteau glacé, il abrite
peut-être également un océan profondément enfoui sous sa surface (Hussmann et al.,
2006).
Néréid est la troisième plus grosse lune de Neptune, placée sur une orbite prograde
et fortement excentrique (∼ 0,7). Des 5 lunes restantes, Sao et Laomedeia sont sur des
orbites progrades, tandis que Halimède, Psamathe et Neso sont sur des orbites rétrogrades.
Ces deux derniers sont les satellites du Sysème Solaire qui orbitent le plus loin de leur
planète : il leur faut 25 années pour parcourir une orbite complète, et ils sont situés à plus
de 48 millions de kilomètres de leur planète, soit près de 2 000R[ .
4.1.3
Formation des satellites réguliers
4.1.3.1
Jupiter
On pense que les satellites galiléens se sont formés en même temps que Jupiter,
dans sa sous-nébuleuse. Ils pourraient être les restes d’un ensemble de satellites de masses
comparables à celles des satellites galiléens qui se sont formés tôt peu après la formation
168
Figure 4.4 – Le satellite Triton
.
de la planète (Canup et Ward, 2002; Mosqueira et Estrada, 2003a; Alibert et al., 2005;
Canup et Ward, 2009). Des simulations ont montré qu’un disque d’à peine 2% de la masse
de la sous-nébuleuse de Jupiter est nécessaire pour former ses satellites existants (Canup
et Ward, 2009). Il se peut donc qu’il y ait eu plusieurs générations successives de satellites
galiléens qui, par migration de type I dans le disque se seraient écrasés sur la planète.
Les satellites galiléens actuels seraient la dernière génération produite, et leur propriétés
reflètent les conditions qui régnaient à la fin de la formation de Jupiter.
En effet, la formation d’Europe et des autres satellites galiléens a probablement eu
lieu en même temps que la dissipation de la nébuleuse solaire, soit au moins plusieurs
millions d’années après la formation des premiers corps solides du Système Solaire. La
formation de Jupiter nécessite environ 5 million d’années (Hubickyj et al., 2005), et les
observations de disques autour d’autres étoiles indique des temps de vie d’environ 3 millions d’années pour la nébuleuse (Haisch et al., 2001). Le fait que Callisto n’ait pas fondu
(à cause de l’énergie produite par les éléments radiogéniques emmagasinés au cours de
son accrétion) lorsqu’il s’est formé implique que les satellites ont terminé leur accrétion
au plus tôt 4 millions d’années avant la formation des inclusions riches en calcium et
aluminium 1 (McKinnon, 2006; Barr et Canup, 2008). Ces échelles de temps suggèrent
que les radioisotopes à vie courte étaient présents en faible quantité lorsque la dernière
1. Les calcium-aluminium rich inclusions ou CAI sont des minéraux qui sont parmi les premiers à
se condenser dans le disque protoplanétaire. Leurs anomalies isotopiques fournissent des renseignements
sur les conditions de formation des objets du Système Solaire
169
génération de satellites galiléens s’est formée (Canup et Ward, 2009).
L’origine des 4 autres satellites réguliers de Jupiter est plus incertaine. Amalthée
s’est probablement formé au-delà de son orbite actuelle et s’est ensuite rapproché de
Jupiter, mais il se peut aussi qu’il ait été capturé par Jupiter (Anderson et al., 2005). Les
9 satellites irréguliers ont probablement été capturés par la planète peu de temps après
sa formation (Sheppard et al., 2005).
4.1.3.2
Uranus
Le ratio glace/roche des 5 plus gros satellite d’Uranus (Miranda, Ariel, Umbriel,
Titania, et Obéron) serait proche de 1 (Brown et al., 1991). Différents modèles ont été
proposés pour expliquer les propriétés de ces satellites. La plupart font référence à la
présence d’un disque autour de la planète peu après sa formation, et dans lequel se seraient formés les satellites (Pollack et al., 1991). En effet, nous avons vu que les satellites
d’Uranus ont en commun avec leur planète la forte inclinaison de leur axe de rotation.
Il est donc naturel de penser que ces satellites se sont formés dans le plan équatorial de
la planète, dans un disque résultant de l’impact sur Uranus d’un objet de la taille de la
Terre (Stevenson, 1984).
4.1.3.3
Neptune
Du côté de Neptune, il est probable que Triton, placé sur une orbite rétrograde et
quasi-circulaire, ait été capturé gravitationnellement via un mécanisme d’interaction à 3
corps. Dans ce scénario, Triton est le survivant d’un système binaire qui aurait été séparé
lors d’une rencontre avec Neptune (Agnor et Hamilton, 2006). Son orbite de capture a
dû être vraisemblablement très excentrique, perturbant ainsi les satellites intérieurs qui
auraient alors été détruits par collisions mutuelles (Goldreich et al., 1989). La population actuelle des satellites intérieurs se serait donc formée à partir des débris d’anciens
satellites, une fois l’orbite de Triton circularisée (Banfield et Murray, 1992). Des simulations numériques ont montré qu’il y a une probabilité de 0,41 que Halimède et Néréide
soient rentrés en collision dans le passé (Holman et al., 2004). De plus, ces deux satellites présentent des similitudes de couleurs, indiquant que Halimède pourrait bien être un
fragment de Néréide (Grav et al., 2004).
4.1.4
Origine des satellites irréguliers
Chacune des planètes géantes de notre Système Solaire possède son lot de satellites
irréguliers : 55 pour Jupiter, 9 pour Uranus et 7 pour Neptune. Ces satellites sont caractérisés par des orbites fortement excentriques et inclinées, et se situent généralement
très loin de leur planète. Il est très peu probable que ces objets se soient formés par accrétion dans la sous-nébuleuse de leur planète respective, car leurs propriétés orbitales
ne sont pas compatibles avec un tel scénario. Il est bien plus vraisemblable qu’ils se sont
formés ailleurs dans le système solaire, avant d’être capturés gravitationnellement par leur
planète (Jewitt et Haghighipour, 2007). De quel type d’objets pourrait-il s’agir ?
170
Des simulations numériques de formation planétaires ont montré que la plupart
des planétésimaux formés à proximité d’une planète en formation sont éjectés (Gladman
et Duncan, 1990). Les satellites irréguliers pourraient donc être des astéroïdes ou des
comètes d’orbites héliocentriques proches qui sont parvenus à éviter l’éjection dynamique
intervenant au cours de la formation d’une planète. Ils pourraient également être des
objets provenant de la ceinture de Kuiper, dont les orbites auraient été perturbées lors de
la migration des planètes géantes (voir Chapitre 2). Trois mécanismes ont été proposés
pour expliquer la capture de ces satellites irréguliers.
Capture par pull-down
Le mécanisme de pull-down, proposé pour le cas spécifique de Jupiter, correspond à
un grossissement brutal de la planète (Heppenheimer et Porco, 1977), augmentant brutalement son rayon de Hill. Des satellites temporaires de la planète en formation se retrouveraient alors capturés de façon permanente sur des orbites liées et rétrogrades.
La capture de satellites irréguliers progrades est un peu plus complexe. Un satellite
situé à ∼ 0,85 rayons de Hill de Jupiter, et proche des points de Lagrange L1 et L2,
pénètre dans une région de capture temporaire où il rentre en résonance d’éviction (Saha
et Tremaine, 1993). Le demi-grand axe du satellite se met alors à osciller. Si ce dernier
poursuit sa migration et dépasse la limite de stabilité à ∼ 0,45 rayons de Hill, il sera
capturé de façon permanente sur une orbite prograde. Les satellites irréguliers Leda,
Himalia, Lysithea, et Elara ont probablement été capturés par ce mécanisme (Vieira Neto
et al., 2006).
Capture par gas drag
Dans un processus de capture par gas drag, l’objet est freiné dans son mouvement
par friction avec le gaz du disque dans lequel il se déplace. Une planète de type Jupiter en
formation possède une large enveloppe, des centaines de fois plus grosse que la planète qui
en résulte. Tout corps traversant cette enveloppe sera alors fortement ralenti par gas drag.
Dans certains cas, un objet initialement sur une orbite héliocentrique peut se retrouver
sur une orbite liée à la planète (Pollack et al., 1979).
Les objets capturés dans ce cas sont des comètes ou des astéroïdes. A noter que
l’efficacité de ce processus dépend fortement de la taille des objets. En effet, un objet
trop petit va spiraler très rapidement dans le disque et s’écraser sur la planète, alors
qu’un objet plus gros ne ressentira que faiblement les effets de friction dus au gaz et ne
pourra pas être ralenti suffisamment pour être capturé. Ce scénario pourrait expliquer la
formation du groupement de satellites Himalia (Ćuk et Burns, 2004)
Capture par interaction à trois corps
L’existence de familles dynamiques de satellites prouve que ces derniers ont subi des
collisions avec d’autres objets depuis l’époque où ils ont été capturés. Ces collisions entre
petits corps pourraient même bien être à l’origine de la capture de ces satellites irréguliers.
En effet, les interactions à l’intérieur de la sphère de Hill de la planète peuvent conduite à
une conversion d’énergie cinétique en d’autres formes d’énergie (chaleur par exemple) au
171
cours de collisions. Cette énergie cinétique pourrait aussi être emportée par l’un des deux
corps lors d’une rencontre proche (Colombo et Franklin, 1971; Weidenschilling, 2002).
Alternativement, un gros objet binaire pourrait être séparé à l’approche d’une planète, l’un des composant devenant lié à la planète, et l’autre étant éjecté, emmenant avec
lui l’excès d’énergie cinétique du système (Agnor et Hamilton, 2006). Comme une grande
quantité d’objets de la ceinture de Kuiper sont probablement des objets binaires (Stephens et Noll, 2006, peut-être 10% voir plus), ils pourraient bien être à l’origine de la
population de satellites irréguliers observés à l’heure actuelle..
Enfin, la capture de quasi-satellites pourrait être une possibilité de former des satellites irréguliers. Ces objets sont des corps en résonance co-orbitale 1 :1 avec la planète.
Environ 5 à 20% des planétésimaux dispersés par une planète en formation deviennent
des quasi-satellites, et une fraction importante de ces objets traversent la sphère de Hill
de la planète avec des faibles vitesses relatives (Kortenkamp, 2005). Ceci en fait des bons
candidats à la formation de satellites irréguliers.
4.1.5
Le cas de Saturne
4.1.5.1
Zoologie
Je traite le cas de Saturne à part car, nous allons le voir, la diversité des objets
orbitant autour de la planète mérite d’être traitée en détail. Nous l’avons vu, les autres
planètes géantes du système solaire possèdent quelques dizaines de satellites identifiés,
dont les tailles s’étendent de quelques dizaines de kilomètres pour les plus petits, à plusieurs milliers de kilomètres pour les plus gros.
Les lunes de Saturne sont très nombreuses et variées. On y trouve de très petits objets
de taille inférieure au kilomètre, jusqu’à des satellites de plusieurs milliers de kilomètres,
dépassant en taille la planète Mercure. Saturne possède 62 lunes confirmées (24 régulières
et 38 irrégulières), mais seules 13 d’entre elles dépassent les 50 km de diamètre. Elles sont
généralement réparties en 10 groupes partageant des caractéristiques orbitales similaires.
Lunes dans les anneaux
Plusieurs objets ont été observés orbitant à l’intérieur même du système d’anneaux
de Saturne. En juillet 2009, un objet de 300 m de diamètre a été identifié, orbitant à
480 km du bord externe de l’anneau B. Plusieurs objets similaires ont été observés dans
l’anneau A, mesurant de 40 à 500 m de diamètre. Ces objets ne sont pas assez gros pour
ouvrir un sillon sur leur orbite, et ne parviennent à vider qu’une zone restreinte autour
d’eux. Ceci crée une structure appelée propeller (Sremčević et al., 2007). On estime que
plusieurs milliers de propellers plus grands que 0,8 km, et plusieurs millions de taille
supérieure à 0,25 km peuplent l’anneau A (Tiscareno et al., 2008).
Deux objets plus gros ont été identifiés : Pan (∼ 30 km de diamètre) et Daphnée
(∼ 8 km de diamètre), orbitant respectivement à l’intérieur des divisions d’Encke et de
Keeler. Contrairement aux propellers, ces deux objets sont suffisamment gros pour avoir
ouvert les divisions dans lesquelles ils orbitent actuellement (figure 4.5).
Satellites bergers
172
Figure 4.5 – Le satellite Daphnée, orbitant dans la division de Keeler.
Les satellites berges sont appelés ainsi car ils jouent un rôle important dans la
structuration des anneaux, qu’ils confinent par leur action et empêchent leur destruction
(ce point sera traité plus en détail dans le paragraphe au sujet des résonances). Outre Pan
et Daphnée qui, on l’a vu, créent les divisions d’Encke et de Keeler, on trouve également
Prométhée et Pandore répartis de part et d’autre de l’anneau F.
Satellites co-orbitaux
Des satellites co-orbitaux sont des satellites qui se trouvent sur des orbites très
proches, séparées d’à peine quelques kilomètres. Deux satellites de Saturne sont dans cette
configuration : Janus et Épiméthée, ce dernier étant légèrement plus petit que l’autre
(Porco et al., 2007). Comme ils sont sur des orbites très proches, leur vitesse relative
est très faible, mais ultimement celui qui se trouve à l’intérieur va rattraper l’autre.
Néanmoins, au lieu de rentrer en collision, ces deux satellites échangent leurs orbites
régulièrement, à quelques années d’intervalle (Spitale et al., 2006).
Satellites majeurs
Saturne possède 8 satellites majeurs. Le premier, Mimas, a la particularité de présenter un énorme cratère, Herschell, mesurant près d’un tiers du diamètre du satellite
(figure 4.6a). Plus loin, on trouve Encelade qui est le plus petit des objets du Système
Solaire à présenter une activité géologique. On trouve en particulier au niveau de son pôle
sud un ensemble de fractures appelées « rayures de tigre », d’où s’échappent des jets de
vapeur et de poussière (figure 4.6b). Il a été identifié que ces jets fournissent en continu
du matériau à l’anneau E (Porco et al., 2006).
Au-delà de Mimas se trouvent un ensemble de petits satellites qui forment le groupe
des Alkyonides : Méthone, Anthe et Pallène. Mesurant à peine quelques kilomètres de
diamètre, ce sont parmi les plus petits satellites de Saturne. Au-delà se trouve Thétys qui
possède, comme Mimas, un très gros cratère de 400 km de diamètre à sa surface, appelé
Odyssée (figure 4.6c). Autre particularité de sa surface, elle possède un véritable système
de canyons, appelé Itacha Chasma, et qui s’étend sur plus de 270 ◦ (Moore et al., 2004).
La densité de Thétys (970 kg m−3 ) est inférieure à celle de l’eau, ce qui indique qu’elle
est composée principalement de glace d’eau et d’une petite fraction de roches (Thomas
173
Figure 4.6 – Les satellites majeurs de Saturne. (a) Mimas, et le cratère Herschell. (b) Encelade. Les
lignes de fracture à sa surface sont appelées les « rayures de tigre » , et laissent s’échapper en continu de
la vapeur et des poussières qui viennent alimenter l’anneau E. (c) Thétys. (d) Dionée.
et al., 2007a). Thétys possède également deux satellites Troyens 1 : Télesto, situé au point
L4, et Calypso, situé au point L5 (Ural’Skaya, 1998).
Vient ensuite Dionée (figure 4.6d). Une grande partie de sa surface est fortement
cratérisée, mais elle est également recouverte d’un réseau étendu de creux et de linéaments 2 , vestiges d’une ancienne activité tectonique (Wagner et al., 2009). Des mesures
de champ magnétique ont indiqué que Dionée est une source de plasma pour la magné1. Un corps est qualifié de Troyen lorsqu’il orbite au point de Lagrange L4 ou L5 d’un objet plus
gros. L’exemple le plus connu est celui des astéroïdes Troyens situés sur l’orbite de Jupiter. Dans le
Système Solaire, la présence de satellites Troyens n’a pas été observée ailleurs qu’autour de Saturne.
2. En géologie, un linéament est un élément morphologique rectiligne, tels que vallées, rides, escarpements, sillons. . .
174
tosphère de Saturne, indiquant que son activité géologique n’est pas totalement arrêtée
(Schenk et Moore, 2009). Tout comme Thétys, Dionée possède également deux satellites
Troyens : Hélène, situé au point de Lagrange L4, et Pollux, situé au niveau du point L5
(Ural’Skaya, 1998).
Plus loin, au-delà de l’anneau E de Saturne, orbite Rhéa (figure 4.7a). C’est le
deuxième plus gros satellite de Saturne, et il fut un temps supposé qu’il avait son propre
système d’anneaux, ce qui en aurait fait un objet unique dans le Système Solaire. En effet,
la sonde Cassini a détecté une diminution des électrons dans l’onde de plasma du satellite,
qui se forme quand le plasma en co-rotation de la magnétosphère de Saturne est absorbé
par le satellite. Cette diminution pourrait être due à la présence de poussières concentrée
en quelques anneaux diffus situés à l’équateur du satellite (Jones et al., 2008). Ceci vient
néanmoins d’être infirmé par une étude des images Cassini de environnement du satellite
(Tiscareno et al., 2010).
À plus d’un million de kilomètres de Saturne se trouve Titan, le plus gros de tous
ses satellites (figure 4.7b). C’est même le deuxième plus gros satellite de tout le Système
Solaire, juste derrière Ganymède. Il a en plus la particularité de posséder une véritable
atmosphère dense, composée principalement d’azote, ainsi que de méthane en faible quantité. Cette atmosphère est suffisamment dense pour générer des nuages, qui ont été observés principalement du côté de son hémisphère sud (Porco et al., 2005a). Néanmoins,
il semble que cela soit saisonnier, et que les nuages devraient devenir plus nombreux du
côté de l’hémisphère Nord (Rodriguez et al., 2009). Titan est également le seul satellite à
présenter des nappes de liquide à sa surface, sous la forme de lacs de méthane situés du
côté de ses pôles Nord et Sud (Stofan et al., 2007). A titre de comparaison, le lac le plus
important, Kraken Mare, est plus grand que la Mer Caspienne.
Objet relativement incongru, Hypérion est le plus proche voisin de Titan (figure
4.7c). Pourtant, il serait bien difficile de dégager une quelconque ressemblance entre ces
deux corps. En effet, Hypérion est bien plus petit : il ne mesure que ∼ 270 km de diamètre,
contre ∼ 5 150 km pour Titan. Sa forme est très irrégulière, et sa densité moyenne de
∼ 550 kg m−3 indique que sa porosité dépasse 40%, même en supposant qu’il est composé
uniquement de glace. Sa surface est énormément cratérisée, avec en particulier un nombre
important de cratères de 2 à 10 km de diamètre, faisant penser à une éponge. Autre
incongruité, c’est le seul satellite dont la rotation est chaotique, c’est-à-dire qu’il n’a pas
de pôles ou d’équateur bien défini (Thomas et al., 2007a). Il est tout bonnement impossible
de prévoir sa rotation (Thomas et al., 1995).
Japet est le dernier satellite majeur de Saturne (figure 4.7d). Il présente la particularité d’avoir une forme de coquille de noix, avec une sorte de crête haute de 20 km
qui parcourt presque entièrement son équateur (Porco et al., 2005b). Sa surface est très
variable entre une face leading très sombre et une face trailing très brillante (Porco et al.,
2005b). La source de ce matériau sombre pourrait être un vaste anneau très diffus situé
juste à l’intérieur de l’orbite de Phoebe (voir le paragraphe sur les satellites irréguliers),
dont l’origine pourrait être due à des poussières et de la glace arrachées à Phoebe au cours
d’impacts avec des comètes (Verbiscer et al., 2009).
Satellites irréguliers
175
Figure 4.7 – Les satellites majeurs de Saturne (suite). (a) Rhéa. (b) Titan. (c) Hypérion. (d) Japet.
Comme toutes les planètes géantes du Système Solaire, Saturne possède son lot de
satellites irréguliers. Ils sont répartis en trois groupes :
– le groupe Inuit, constitué de 5 lunes progrades dont la plus grosse est Siarnaq
(Gladman et al., 2001a; Grav et Bauer, 2007, ∼ 40 km) ;
– le groupe Gallic, constitué de 4 lunes progrades. Tarvos, est à l’heure actuelle
le satellite le plus éloigné de Saturne qui soit sur une orbite prograde (Gladman
et al., 2001a; Grav et Bauer, 2007) ;
– le groupe Norse, constitué de 29 lunes rétrogrades (Gladman et al., 2001a; Grav
et Bauer, 2007). Ces satellites ont des tailles toutes inférieures à la dizaine de
kilomètres, excepté Ymir (∼ 18 km), et surtout Phoebe (∼ 200 km). Ce dernier
est probablement un objet de la ceinture de Kuiper ou un Centaure, capturé par
Saturne (Jewitt et Haghighipour, 2007).
176
4.1.5.2
Origine des satellites réguliers de Saturne
Les satellites irréguliers de Saturne ont une origine commune à ceux des autres planètes géantes du Système Solaire (voir section 4.1.4). Qu’en est-il des satellites réguliers ?
Les propellers sont probablement les morceaux issus de la destruction d’un plus
gros objet (Sremčević et al., 2007). Comme on l’a vu au Chapitre 2, la formation des
anneaux par collision catastrophique est un scénario assez probable. Si l’on combine tous
les propellers identifiés dans une sorte de ceinture observée au sein de l’anneau A, on
obtient une sphère de ∼ 10 km de rayon. Il apparait donc possible que ces propellers
soient issus de la destruction d’un objet de la taille de Pan (Sremčević et al., 2007).
En ce qui concerne les satellites principaux, ils se sont probablement formés en même
temps de Saturne dans son disque d’accrétion. À l’aide de simulations numériques, Mosqueira et Estrada (2003a) reproduisent la formation, dans la sous-nébuleuse de Saturne,
de Japet en 106 − 107 années, et de Titan en 104 − 105 années. Leur modèle reproduit
également la formation d’Hypérion juste au-delà du rayon de centrifugation de Saturne,
le satellite étant alors capturé en résonance par un proto-Titan en formation.
D’autre part, le ratio entre la masse d’une planète géante et celle de ses satellites
est ∼ 10−4 pour toutes les planètes géantes de notre Système Solaire. Canup et Ward
(2006) ont montré que cette propriété est le résultat naturel d’une compétition entre deux
processus physiques : le flux de gaz qui tend à faire grossir les satellites, et la destruction
de ces satellites sur la planète par migration dans le disque de gaz.
4.1.5.3
Une population singulière de petites lunes.
Si l’origine des propellers, des satellites majeurs, et des satellites irréguliers de Saturne, est à l’heure actuelle assez bien contrainte, il est une population de satellites dont
l’origine reste encore inconnue. Il s’agit des petites lunes situées entre le bord externe de
l’anneau A, et le premier satellite majeur Mimas : Atlas, Prométhée, Pandore, Epiméthée
et Janus (figure 4.8).
La comparaison visuelle avec les satellites majeurs de Saturne est frappante : ces
petites lunes ont des formes allongées très peu sphériques et ressemblent plutôt à des gros
cailloux. Pour pousser un peu plus loin la comparaison, intéressons-nous à leur caractéristiques physiques. Elles sont répertoriées dans la table 4.1.
Table 4.1 – Propriétés des petites lunes de Saturne
Lune
Demi-grand axe (km)
Diamètre (km)
Masse (1018 kg)
Densité
Atlas
137 670
30,2
0,46
Prométhée
6,6 × 10−3
139 380
86,2
0,16
0,48
Pandore
141 720
80,6
0,14
0,51
Épiméthée
151 422
113,4
0,53
0,69
Janus
151 472
179,2
1,9
0,63
177
Figure 4.8 – Les petites lunes de Saturne. (a) Atlas. (b) Prométhée. (c) Pandore. (d) Épiméthée. (e)
Janus.
Ce sont donc des objets de petite taille, ne dépassant par les 200 km de diamètre pour
les plus gros. Plus que leur petite masse, c’est surtout leur densité qui est remarquable. En
178
effet, elles est très faible, de l’ordre de 0,4 − 0,6. Pour rappel, la densité de la glace d’eau
est ∼ 0,9. Une si faible densité ne peut s’expliquer que si ces objets sont extrêmement
poreux.
Dans la Table 4.1, les satellite sont rangés par ordre de distance à Saturne. Il semble
néanmoins que la masse des satellites augmente avec la distance. Cela est-il valable pour
les autres satellites ? Pour le vérifier, la masse des petites lunes et des satellites principaux
de Saturne, en fonction de leur demi-grand axe, est représenté sur la figure 4.9.
Figure 4.9 – Masse des satellites de Saturne en fonction de leur distance à la planète.
Cette figure fait apparaître deux informations. Premièrement, il semble bien y avoir
un agencement orbital des masses des satellites. Deuxièmement, deux populations distinctes apparaissent, avec les petites lunes d’un côté (de Atlas à Janus), et les satellites
majeurs d’autre part (de Mimas à Rhéa). Face à de telles disparités, il est naturel de
penser que ces petites lunes forment une population singulière, et qu’elles ont probablement été formées par un processus bien différent de celui qui est à l’origine des satellites
majeurs.
4.1.6
Problématique : peut-on reproduire la formation des petites lunes de Saturne à partir des anneaux ?
D’un point de vue dynamique, ces lunes doivent être relativement jeunes (quelques
dizaines de millions d’années tout au plus). En effet, à cette distance des anneaux, le
couple exercé par le disque sur les satellites est très fort et entraîne une rapide migration
de ces lunes vers l’extérieur (Lissauer et Cuzzi, 1982; Poulet et Sicardy, 2001, voir aussi la
179
section suivante sur les résonances). Pour qu’elles soient aujourd’hui si près des anneaux,
c’est qu’elles n’ont pas migré pendant un temps très long, et qu’elles se sont donc formées
assez récemment.
D’autre part, en ce qui concerne la composition de ces lunes, elle est très proche de
celle des particules qui composent les anneaux (Poulet et al., 2003; Coradini et al., 2009).
Se pourrait-il que ces lunes aient été formées à partir de particules des anneaux ? Les
anneaux actuels se situent dans une zone où les effets de marée dus à la planète sont trop
importants pour que des particules des anneaux puissent s’agglomérer durablement. Audelà d’une certaine distance, le rapport de forces s’équilibre puis s’inverse, et l’accrétion
devient possible. La zone qui sépare ces deux régimes s’appelle la limite de Roche, et
est définie pour chaque type de matériau. En effet, chaque type de matériau possède sa
propre force de cohésion, et pourra résister à des effets de marées plus ou moins importants,
déplaçant ainsi la limite de Roche.
Définir avec précision la position de la limite de Roche est difficile car il faut parfaitement contraindre les propriétés du matériau ainsi que les effets de marée. Des simulations
numériques ont montré qu’au-delà de ∼ 142 000 km, le matériau qui compose les anneaux
devient gravitationnellement instable et forme rapidement, en quelques orbites, des aggrégats de quelques centaines de mètres (Karjalainen et Salo, 2004; Karjalainen, 2007).
Au contraire, en-dessous de ∼ 138 000 km, l’accrétion est inefficace (Karjalainen, 2007;
Canup et Esposito, 1995). Ceci permet de définir une sorte de « région de Roche », située
à ∼ 140 000 ± 2 000 km, où l’accrétion du matériau des anneaux devient possible.
La formation des petites lunes à partir des anneaux est donc un scénario plausible, et
séduisant car il permettrait d’expliquer les similitudes de composition entre ces deux types
d’objets, ainsi que la forte porosité des lunes qui ne seraient en fait qu’un assemblage de
particules macroscopiques, un peu comme un tas de sable compressé(Charnoz et al., 2007;
Karjalainen et Salo, 2004; Porco et al., 2007). Ceci n’a néanmoins jamais été reproduit, et
n’explique pas pourquoi ces lunes sont si jeunes, ni leur singulière relation masse-distance
(figure 4.9). Peut-on expliquer ces phénomènes à l’aide des simulations numériques ?
4.2
Modélisations des interactions disque-satellite
Dans le scénario présenté ci-dessus, les petites lunes de Saturne sont créées au bord
externe des anneaux. Si près du disque, elle vont subir une forte interaction avec celui-ci.
4.2.1
Décomposition du potentiel du satellite
Dans le chapitre 3 nous avons étudié l’évolution d’un disque circumplanétaire sous
l’effet de sa viscosité, qui est une modélisation du transport du moment cinétique dans le
disque. La présence de satellites rajoute un potentiel perturbateur qui va également causer
des échanges de moment cinétique entre le disque et le satellite. Les interactions entre un
disque et objet secondaire ont déjà été largement étudiées, et ce dans divers domaines de
l’astrophysique : étoiles dans une galaxie, planète dans un disque circumstellaire. . . Nous
allons ici nous intéresser plus particulièrement au cas de l’interaction entre des anneaux
planétaires et un satellite.
180
Considérons un disque à 2 dimensions situé dans le plan équatorial d’un système
de coordonnées (r, θ, z). Toutes les quantités seront moyennées verticalement, ce qui ne
constitue une approximation raisonnable que si les quantités varient peu dans cette direction. Considérant le très faible rapport d’aspect d’un disque circumplanétaire comme
les anneaux de Saturne (extension radiale ∆R ∼ 70 000 km, épaisseur H ∼ 10 m, soit un
rapport d’aspect H/∆R ∼ 10−7 ), cette hypothèse est valide dans notre cas. Le disque,
symétrique
ñ azimutalement en l’absence de perturbations, tourne à la vitesse angulaire
Ω (r) = GM/r3 , où G est la constante de gravitation et M est la masse de la planète
centrale.
Considérons maintenant un satellite de masse Ms , de demi-grand axe a et d’excentricité e. On suppose que l’inclinaison du satellite est nulle et qu’il orbite donc dans le
plan équatorial de la planète. Au premier ordre en excentricité, on peut écrire la position
(rs , θs ) du satellite à l’instant t (Chandrasekhar, 1960) :
rs = a (1 − e cos (κs t)) ,
θs = Ωs t + 2e
Ωs
sin (Ωs t)
κs
(4.1)
où κs est la fréquence épicyclique du satellite. Le potentiel gravitationnel généré par le
satellite φs s’écrit :
GMs
Ms 2
+
Ω (r) rs · r.
(4.2)
φs (r, θ, t) = −
ër − aë
M
Le second terme provient de ce que l’on se place dans un référentiel lié à la planète qui
n’est pas galiléen, et correspond au mouvement de la planète autour du centre de masse
du système {planète, satellite}.
La décomposition du potentiel du satellite en série de Fourier donne :
φs (r, θ, t) =
=
∞ Ø
∞
Ø
l=−∞ m=0
∞
∞ Ø
Ø
l=−∞ m=0
φl,m
s (r) cos (mθ − [mΩs + (l − m) κs ] t)
1
è
é2
l,m
φl,m
t
s (r) cos m θ − Ω
(4.3)
Si on se restreint à un cas où l’excentricité est faible, e ≪ 1, le terme dominant en
φl,m
est proportionnel à e|l−m| (Goldreich et Tremaine, 1980). La vitesse de groupe de la
s
composante du potentiel d’ordre (l, m) est (Goldreich et Tremaine, 1980) :
Ωl,m = Ωs +
l−m
κs
m
(4.4)
Les coefficients φl,m
s peuvent être calculés à partir des équations 4.1 et 4.2. Au premier
ordre en excentricité e, les seuls composants non évanescents sont (Goldreich et Tremaine,
181
1980) :
2
1
GMs
(4.5)
(2 − δm,0 ) bm
1/2 − f βδm,1 ,
2a
B
A
B
CA
D
3 2Bs Ωs
1 mΩs β d
GMs
m
b − fβ
δm,1 ,
e (2 − δm,0 )
+
+
−
+
= −
2a
2
κs
2 dβ 1/2
2
Ωs
κs
(4.6)
φm,m
= −
s
φsm+1,m
φm−1,m
s
GMs
= −
e (2 − δm,0 )
2a
CA
B
A
B
D
3 2Bs Ωs
1 mΩs β d
bm
δm,1 ,
−
+
−
−
1/2 − f β
2
κs
2 dβ
2
Ωs
κs
(4.7)
où δp,q est le symbole de Kronecker, f = Ω2s a3 / (GM ) et β = r/a. Les bm
1/2 sont les
coefficients de Laplace définis par :
bm
1/2
4.2.2
2Úπ
cos (mφ) dφ
√
=
.
π 0
1 − 2β cos φ + β 2
(4.8)
Position des résonances
Dans la mécanique générale, on parle de phénomène de résonance quand la fréquence
d’une perturbation est un multiple de la fréquence propre du système perturbé. L’exemple
le plus simple est celui de l’oscillateur forcé, où la résonance intervient quand la fréquence
du forçage ω est égale à ou est un multiple de la fréquence
ñ propre de l’oscillateur ω0 , aussi
appelée « pulsation de résonance »(par exemple ω0 = k/m pour un ressort de constante
de raideur k et de masse m)
Ce phénomène de résonance se retrouve dans le cas des perturbations induites par un
satellite sur un disque. Le couple du satellite est exercé par chacun des coefficients φl,m
à
s
proximité immédiate des résonances de Lindblad et de corotation, définies respectivement
par :
κ (r)
Ω (r) ±
= Ωl,m ,
m>0
(4.9)
m
et
Ω (r) = Ωl,m ,
m>0
(4.10)
Une résonance de Lindblad va agir sur le mouvement épicyclique des particules du
disque, car la fréquence de la perturbation est égale à sa fréquence épicyclique. Pour
chaque m > 0, il y a deux résonances de Lindblad : une interne (signe − dans l’équation
4.9) et une externe (signe + dans l’équation 4.9).
4.2.3
Cas képlérien non excentrique
De façon à étudier plus précisément la physique principale du système, nous allons
d’abord procéder à un certain nombre de simplifications. Tout d’abord, on se restreint au
cas purement képlérien, de sorte que la fréquence épicyclique κ est égale à la fréquence
orbitale Ω. Ceci permet de simplifier la position des résonances, qui sont maintenant
182
définies par :
Ω (r) =
et
l
Ωs ,
m±1
(4.11)
m>1
l
Ωs ,
m>1
(4.12)
m
Deuxièmement, nous négligeons l’excentricité du satellite, de façon à simplifier la
physique du problème et en étudier les composantes principales. De plus, dans le problème
qui nous intéresse, à savoir la formation des petites lunes au bord externe des anneaux, on
peut imaginer que comme les satellites seraient formés à partir des particules des anneaux
dont les orbites sont très faiblement excentriques, le satellite devrait lui aussi avoir une
très faible excentricité. Le fait de prendre une excentricité nulle a pour effet d’annuler
toutes les composantes du potentiel en m Ó= l (équations 4.6 et 4.7). La position des
résonances de Lindblad et de corrotation est alors définie par :
Ω (r) =
Ω (r) =
et
m
Ωs ,
m±1
(4.13)
m>1
(4.14)
Ω (r) = Ωs
La position, en demi-grand axe, d’une résonance de Lindbald est donc donnée par :
m±1
r=a =
m
3
m
42/3
rs ,
m > 1,
(4.15)
la résonance de corrotation correspond aux particules situées sur l’orbite du satellite.
4.2.4
Couple exercé par le satellite sur le disque
Une fois les positions des résonances identifiées, calculons maintenant le couple appliqué par le satellite en chacune de ces résonances. Il convient tout d’abord de distinguer
deux types de résonances. En effet, la distance entre deux résonances successives d’ordre
m et m + 1 est donnée par
am
=
am+1
3
=
C
m+1
m
42/3
(m + 1)2
m (m + 2)
rs
C3
D2/3
m+2
m+1
−→ 1
m→∞
42/3
rs
D−1
(4.16)
Lorsque m devient grand, et que l’on se rapproche donc du satellite (équation 4.15),
l’écart entre les résonances devient inférieur à la largeur de la résonance elle-même (ceci
sera précisé plus loin). On dit alors que les résonances se superposent.
Goldreich et Tremaine (1979a, 1980) ainsi que Meyer-Vernet et Sicardy (1987) ont
calculé le couple Γm exercé au niveau d’une résonance isolée d’ordre m, et la densité de
183
couple dΓ/dr correspondant à la zone où les résonances se superposent :
Ms 2
,
M
3
44
42 3
- dΓ as
′
3 2 Ms
,
- ∼ f Σ 0 as Ω s
- dr M
r − as
|Γm | ∼ f m2 Σ0 a4s Ω2s
3
4
(4.17)
(4.18)
où f et f ′ sont deux facteurs issus de l’approximation des coefficients de Laplace bm
1/2 . Ils
′
valent f ∼ 8,5 et f ∼ 2,5 (Goldreich et Tremaine, 1982). Le couple est négatif en une
résonance de Lindblad interne, positif en une résonance de Lindblad externe, de sorte que
le disque et le satellite se repoussent (voir Annexe A).
La transition entre les deux régimes, résonances isolées et résonances superposées,
intervient pour m tel que m2 α ≥ 1 où α dépend des paramètres du disque. Pour un disque
visqueux, sans pression, et auto-gravitant, on a α = max {αν , αG }, avec (Meyer-Vernet et
Sicardy, 1987) :
2
1
7
αν = µ + ν
3ma2m Ωs
3
2πΣ0 G
.
αG = ±
3mam Ωs Ωm
3
4?
(4.19)
(4.20)
ν et µ sont respectivement les viscosité cinématique et dynamique.
4.3
Simulations numériques de formation de satellites à partir des anneaux
4.3.1
Modèle numérique
4.3.1.1
Inclusion des satellites dans le code Hydrorings
Pour associer dans le code Hydrorings l’effet des satellites à celui de l’étalement visqueux, nous avons adopté une approche similaire à celle réalisée dans l’étude des disques
protoplanétaires (Takeuchi et al., 1996). Les équations de conservation du moment cinétique et de continuité s’écrivent, les quantités étant moyennées verticalement et azimutalement :
A
B
A
B
∂
∂
∂Ω
∂ 1 2 2
2πRΣ
R Ω = 2π
r3 Σν
+T
+ ur
∂t
∂r
∂R
∂R
1 ∂
∂Σ
+
(σRur ) = 0
∂t
R ∂R
(4.21)
(4.22)
où ur désigne la vitesse radiale du disque, et T (R) est la densité de couple exercée à la
distance R de la planète. En supposantñque le disque est parfaitement képlérien, ce qui
donne une fréquence orbitale Ω (R) = GM/R3 , on peut éliminer ur en combinant les
184
équations 4.21 et 4.22 et l’on obtient :
√
C
D
3 ∂ √ ∂ 1 √ 2
∂Σ
R
R
νΣ R − √
=
T
∂t
R ∂R
∂R
3π GM
(4.23)
Le premier terme dans le membre de droite représente le couple visqueux, et le deuxième
représente le couple dû au(x) satellite(s).
De façon à pouvoir résoudre cette équation dans le code Hydrorings, il faut déterminer une densité de couple en tout point de la grille. Or le formalisme développé
précédemment ne donne une densité de couple que dans le régime où les résonances se
superposent. Meyer-Vernet et Sicardy (1987) ont calculé des fonctions de répartitions, dépendantes des paramètres du disque, et qui donnent la façon dont le couple du satellite se
répartit dans le disque au niveau de la résonance. Pour un disque visqueux, sans pression,
et auto-gravitant, la fonction de répartition a la forme d’une onde amortie, lancée à la
résonance en direction du satellite (figure 4.10).
Figure 4.10 – Fonction de répartition du couple en une résonance isolée, pour un disque visqueux, sans
pression et auto-gravitant. D’après Meyer-Vernet et Sicardy (1987).
Ces fonctions de répartition font appel à des fonctions d’Airy modifiées (MeyerVernet et Sicardy, 1987, Table I), dont le calcul est coûteux en temps de calcul. En effet, ces
fonctions de répartitions varient avec les paramètres du disque, et il faut donc les recalculer
à chaque pas de temps. De plus, ces fonctions de répartitions ne sont significatives que sur
la largeur de la résonance, c’est-à-dire quelques kilomètres tout au plus, ce qui est dans
la plupart des cas inférieur à la taille des cellules de la grille de simulation.
Suivant ces considérations, le calcul du couple du satellite sur le disque est effectué
de la façon suivante :
185
– pour chaque cellule de la grille, on identifie l’ordre minimal et maximal des résonances isolées qui sont situées dans la cellule ;
– dans le cas de résonances internes, la résonance d’ordre le plus faible est affectée au
bord gauche de la cellule, et celle d’ordre le plus élevé est affectée au bord droit
de la cellule (et inversement dans le cas de résonances externes). Ceci permet
de calculer le flux dû au couple du satellite. Cette méthode déplace légèrement
les résonances, mais ne modifie pas l’évolution du disque à grande échelle. Les
résonances d’ordre intermédiaire ne sont pas prises en compte car l’on considère
qu’elles participent au flux de matière au cœur de la cellule et non pas d’une
cellule à l’autre ;
– pour obtenir une densité de couple, le couple de chaque résonance Γm est divisé
par la largeur de la résonance Rα (Meyer-Vernet et Sicardy, 1987). Ceci uniformise
la répartition du couple dans le disque, mais ne modifie pas l’évolution du disque
à grande échelle ;
– dans le cas des résonances superposées, on utilise directement la densité de couple
donnée par l’équation 4.18.
Dans le cas où plusieurs satellites sont présents dans la simulations, les densités de couple
sont additionnées.
4.3.1.2
Évolution orbitale du satellite
4.3.1.2.1 Rétroaction du disque sur le satellite
Jusqu’à présent nous avons traité uniquement le couple exercé par le satellite sur le
disque. Néanmoins, par conservation du moment cinétique, le disque exerce une rétroaction sur le satellite qui est égale à l’opposé du couple exercé par le satellite sur le disque.
D’un point de vue numérique, on identifie dans chaque cellule de la grille les résonances
qui y sont situées, et le couple correspondant est calculé en utilisant la formule de l’équation 4.17. À la différence du calcul du couple exercé par le satellite sur le disque, on prend
en compte ici toutes les résonances, car elles participent toutes à l’évolution orbitale du
satellite. La densité de couple est obtenue de façon identique, en divisant le couple Γm par
la largeur de la résonance Rα Dans la zone où les résonances se superposent, la densité
de couple donnée par l’équation 4.18 est intégrée sur la surface des cellules de la grille qui
se situent dans cette zone.
Une fois la densité de couple calculée, l’évolution du demi-grand axe du satellite est
obtenue en calculant le transfert de moment cinétique (Takeuchi et al., 1996) :
soit
Ú
2
d 1
Ms Rs2 Ωs = − T dr,
dt
(4.24)
ó
(4.25)
dRs
2
=−
dt
Ms
Rs Ú
T dr.
GM
4.3.1.2.2 Effets de marées dus à la planète
En plus de la rétroaction du disque, il faut aussi prendre en compte l’évolution
orbitale du satellite par interaction avec la planète. Par son interaction gravitationnelle,
186
un satellite crée une déformation par effet de marée sur la planète. Ceci résulte en un
échange de moment cinétique pour le satellite. Si celui-ci se trouve en-dessous de l’orbite
synchrone de la planète, il perd du moment angulaire et voit donc son demi-grand axe
diminuer. Au contraire, si il se trouve au-delà de l’orbite synchrone, il gagne du moment
angulaire et son demi-grand axe augmente (Burns, 1977). L’orbite synchrone de Saturne
se situe à ∼ 110 000 km. En conséquence, les lunes formées au niveau du bord externe de
l’anneau A vont, par effets de marée, migrer vers l’extérieur.
L’évolution du demi-grand axe as du satellite par les effets de marée causés par la
planète est (Murray et Dermott, 1999; Poulet et Sicardy, 2001) :
5
õ
RY
das
Ms
õ G
ô
=3
k2,Y
.
dt
MY
QY as11/2
ö
(4.26)
k2,Y et QY sont respectivement le nombre de Love et le facteur de dissipation de la
planète (Saturne dans notre cas). Ces deux paramètres sont assez mal contraints. Les
valeurs adoptées sont k2,Y = 0,3 et QY = 105 (Dermott et al., 1988). La valeur de ces
paramètres a, en pratique, assez peu d’influence car la migration des petites lunes est
dominée par les interactions avec le disque.
4.3.1.3
Modèle d’accrétion
Le modèle d’accrétion du matériau des anneaux en satellite est simple : à chaque pas
de temps, on calcule le flux de masse à travers la limite de Roche, fixée à R = 140 000 km.
Cette masse est enlevée au disque et on crée instantanément un nouveau satellite de la
masse correspondante. Le satellite est découplé de l’évolution visqueuse du disque, et se
met à migrer vers l’extérieur.
Le taux de migration d’un satellite étant dépendant de sa masse (équations 4.17,
4.18 et 4.26), les satellites qui migrent vont être éventuellement amenés à se rapprocher
les uns des autres et se rencontrer. Karjalainen (2007) ont calculé à l’aide de simulations
numériques la probabilité de fusion de deux satellites. Deux agrégats de particules de
anneaux de Saturne, de masses M1 et M2 , ont une probabilité de fusion de 100% si leur
paramètre d’impact b est de l’ordre de 2,2RHill , où RHill est le rayon de Hill 1 mutuel défini
par
3
4
as,1 + as,2 M1 + M2 1/3
(4.27)
RHill =
2
3M
où as,1 et as,2 sont les demi-grand axes des satellites, et M est la masse de la planète. Si
b > 2,5RHill ou b < 1,9RHill , cette probabilité tombe à 0%. Dans le premier cas, les satellites
sont dispersés, dans le deuxième cas les satellites s’arrangent en orbite fer-à-cheval, comme
Janus et Épiméthée (Karjalainen, 2007). En conséquence, dans les simulations effectuées,
lorsque deux satellites sont distants de moins de 2,2RHill , ils sont fusionnés en un seul
1. La sphère de Hill d’un objet A orbitant autour d’un objet B plus massif définit sa zone d’influence
gravitationnelle, c’est-à-dire la zone dans laquelle il est capable de capturer un éventuel troisième corps
C de masse négligeable, sans que celui-ci soit capturé par le corps B. La sphère de Hill d’un objet est
donc d’autant plus grosse que sa masse est grande, et qu’il est éloigné de l’objet massif.
187
satellite de masse égale à la somme des masses des deux satellites fusionnés.
4.3.1.4
Modèle standard pour les simulations
Comme dans le Chapitre 3, nous définissons ici un modèle standard, dont les propriétés sont prises les plus générales possible, et qui servira de référence pour étudier
l’influence des paramètres du disque. Le disque initial est un bloc de densité constante
Σ = 400 kg m−2 , situé entre R = 122 000 km et R = 138 000 km, ce qui constitue une
représentation très générale de l’anneau A actuel (Tiscareno et al., 2007).
Le modèle de viscosité utilisé est identique à celui présenté dans le Chapitre 3, et une
taille de particule de 1m est adoptée. La grille de simulations s’étend de R = 60 000 km
à R = 141 000 km, discrétisée en 300 cellules de taille variable, de façon à raffiner la
grille dans la zone située autour de la limite de Roche, que l’on place strictement à
R = 140 000 km
4.3.2
Résultats
4.3.2.1
Évolution du système sur 5 milliards d’années
L’évolution du disque sur 5 milliards d’années est représentée sur la figure 4.11.
Initialement, le disque s’étale librement sous l’effet de sa viscosité. Il atteint la limite de
Roche au bout de ∼ 2 millions d’années, et les premières lunes sont formées (figure 4.11a).
Les lunes déforment le profil de densité de surface de l’anneau. En effet, en une résonance,
le couple exercé par une petite lune est négatif, c’est-à-dire dirigé vers l’intérieur, et
s’oppose au couple visqueux qui tend à envoyer le matériau vers les zones de plus faible
densité situées vers l’extérieur. En conséquence, le matériau s’accumule en ces points de
résonance, et crée une structure en forme de marches d’escalier.
Le processus continue, de nouvelles petites lunes sont créées, les lunes existantes
sont amenées à se rencontrer et certaines fusionnent, entraînant une augmentation de la
masse des lunes (figure 4.11b). Le couple exercé au niveau des résonances est alors plus
fort, et la structure en marches d’escalier est accentuée.
Au bout d’une centaine de millions d’années, la production de petites lune est arrêtée. Ceci est du au fait que les résonances des satellites déjà créés sont suffisamment
fortes pour repousser l’anneau en-dessous de la limite de Roche (figure 4.11c). Au bout
de plusieurs milliards d’années d’évolution, seules les lunes créées dans les premières centaines de millions d’années sont présentes, et ont continué à s’éloigner des anneaux (figure
4.11d). On retrouve la relation masse-distance : les lunes les plus éloignées du disque sont
les plus massives.
4.3.2.2
Évolution de la position du bord externe du disque
Il est intéressant de regarder l’évolution de la position du bord externe des anneaux,
de façon à distinguer les périodes où la production de satellites à lieu. Ceci est représenté
sur la figure 4.12. Le bord externe est défini comme la première cellule de la grille où la
densité de surface est inférieure à 1.
188
Figure 4.11 – Évolution de la densité de surface du disque (courbe noire) et des satellites créés à partir
des anneaux (cercles noirs). (a) À 2 millions d’années d’évolution. (b) À 50 millions d’années d’évolution.
(c) À 200 millions d’années d’évolution. (d) À 5 milliards d’années d’évolution. Le processus de formation
de nouvelles lunes s’arrête quand le disque est repoussé en-dessous de la limite de Roche.
Le disque atteint la limite de Roche en quelques millions d’années, et y reste pendant
la première centaine de millions d’années. Ensuite, deux effets se combinent : d’une part
la densité de surface du disque diminue du fait de l’étalement visqueux, donc le couple
visqueux diminue ; d’autre part la masse des lunes augmente par le bais des collisions où
elles fusionnent, et le couple qu’elles exercent au niveau de leurs résonances s’en trouve
augmenté (équations 4.17 et 4.18). Le disque reprend son extension vers l’extérieur à
certains moments (figure 4.12). Ceci intervient quand une lune s’est suffisamment éloignée
du disque par migration pour que sa résonance sorte du disque, qui se retrouve alors non
confiné, jusqu’à ce qu’une autre résonance confine à nouveau le disque.
4.3.2.3
Évolution de la masse des satellites
Intéressons-nous à présent à la fraction de la masse du disque qui se voit accrétée
en satellites. L’évolution de la masse totale des satellites créés, ainsi que de la masse du
satellite le plus gros, au cours du temps est représentée sur la figure 4.13.
La masse totale des satellites augmente continuellement pendant les 100 premiers
millions d’années. Comme on l’a vu précédemment, à cette époque le disque commence
à être repoussé sous la limite de Roche, et la production de nouvelles lunes est arrêtée
(figure 4.13, courbe en trait plein). La masse du plus gros satellite évolue ponctuellement
par le jeu de collisions au cours desquelles les satellites fusionnent. Le satellite le plus gros
atteint une masse de ∼ 1017 kg en 100 millions d’années, et ne grossira plus pendant 5
189
Figure 4.12 – Évolution de la position du bord externe du disque au cours du temps. Initialement le
disque s’étale librement jusqu’à atteindre la limite de Roche à R = 140 000 km. Le disque régresse quand
une lune devient suffisamment massive pour que le couple qu’elle exerce avec ses résonances dépasse le
couple visqueux du disque.
Figure 4.13 – Évolution de la masses totale des satellites (courbe en trait plein) et de la masse du plus
gros satellite (courbe en pointillés). La moitié de la masse totale des satellites est contenue dans le plus
gros d’entre eux (∼ 1017 kg).
190
milliards d’années (figure 4.13, courbe en pointillés).
4.3.2.4
Conclusions
Cette première simulation est riche en enseignement. Tout d’abord, le processus
de formation des satellites est auto-régulé : la formation de nouvelles lunes se poursuit
jusqu’à ce que l’une d’entre elles devienne assez massive pour contrebalancer le couple
visqueux et repousser le disque sous la limite de Roche (figures 4.12 et 4.13, courbe en
trait plein).
Les collisions entre les satellites et les fusions qui en découlent résultent en un
agencement naturel des lunes : les plus grosses sont les plus éloignées du disque (figure
4.11d). Comme toutes les lunes sont générées au même endroit (la limite de Roche),
l’agencement orbital des lunes se fait également selon leur âge : plus une lune est vieille,
plus elle a migré pendant longtemps et plus elle est loin du disque. Néanmoins, le satellite
le plus gros et le plus éloigné atteint sa masse définitive en ∼ 100 millions d’années (figure
4.13, courbe en pointillés).
4.3.3
Influence des paramètres du disque
Nous étudions à présent l’influence des paramètres du disque. Nous avons vu dans le
Chapitre 3 que la forme du disque influe très peu sur son évolution visqueuse. Par contre,
une modification de la masse du disque devrait avoir deux effets. D’une part sa densité de
surface serait augmentée, et donc le couple visqueux également. En conséquence le disque
va s’étaler plus vite, et former des lunes plus rapidement. D’autre part, plus de masse
sera mise à disposition des satellites, avec possibilité de former plus de satellites et/ou
des satellites plus gros. Il serait en particulier intéressant de regarder le rapport de force
entre un couple visqueux augmenté par la plus grande densité de surface, et des couples
résonants plus forts car générés par des satellites plus gros.
A cet effet, nous avons réalisé plusieurs simulations similaires au modèle standard,
mais pour différentes valeurs initiales de la densité de surface du disque : 1 000 kg m−2 ,
5 000 kg m−2 , et 10 000 kg m−2 .
4.3.3.1
Influence sur la position du bord externe du disque
L’évolution au cours du temps de la position du bord externe du disque, pour différentes valeurs de la densité de surface initiale du disque, est représentée sur la figure 4.14.
Le comportement général est identique dans tous les cas : le disque s’étale librement au
début jusqu’à atteindre la limite de Roche à R = 140 000 km où il se stabilise pendant
une durée plus ou moins longue selon les cas. Il est ensuite progressivement repoussé vers
l’intérieur.
La modification de la densité de surface du disque influe principalement sur les
échelles de temps. Comme pressenti, lorsque la densité de surface du disque est plus
élevée, le disque s’étale plus vite et atteint la limite de Roche plus tôt dans les simulations.
Ceci ne prend que ∼ 2 000 ans pour Σ0 = 10 000 kg m−2 , contre 2 × 106 années pour
Σ0 = 400 kg m−2 .
191
Figure 4.14 – Évolution au cour du temps de la position du bord externe du disque, pour différentes
valeurs de la densité de surface initiale du disque : 400 kg m−2 (en noir), 1 000 kg m−2 (en vert),
5 000 kg m−2 (en rouge), et 10 000 kg m−2 (en violet). Le comportement général est identique : après une
période de stabilisation du bord au niveau de la limite de Roche, le disque est irrémédiablement repoussé
vers l’intérieur.
La période de stabilisation du disque au niveau de la limite de Roche est considérablement ralentie quand la densité de surface est plus forte. En conséquence, moins de
satellites devraient avoir été produits. Ceci est étudié en détail dans le paragraphe suivant. On peut remarquer néanmoins que le disque avec Σ0 = 10 000 kg m−2 parvient à
plusieurs reprises à atteindre de nouveau la limite de Roche (figure 4.14, courbe violette).
Ceci intervient chaque fois que l’une des résonances du satellites qui confine le disque dépasse la limite de Roche et libère l’étalement du disque, et ce jusqu’à ce qu’une nouvelle
résonance vienne à nouveau confiner le disque.
4.3.3.2
Influence sur la masse des satellites formés
L’évolution au cours du temps de la masse totale des satellites, et de la masse du
plus gros satellite, pour différentes valeurs initiales de la densité de surface du disque, est
représentée sur la figure 4.15.
L’évolution de la masse totale des satellites est similaire dans tous les cas : elle
augmente régulièrement avant de s’arrêter définitivement (figure 4.15, gauche). Comme
attendu, les échelles de temps et de masse sont différentes : l’augmentation de la densité
de surface initiale du disque augmente la masse totale des satellites formés, et la formation
des satellites intervient plus tôt, mais s’arrête également plus tôt.
Il est intéressant également de regarder la fraction de la masse du disque qui est
accrétée en satellites. Ceci est listé dans la table 4.2. Dans tous les cas, la masse totale
des satellites formés est de l’ordre de 2 − 4% : seule une très faible fraction de la masse du
192
Figure 4.15 – Évolution au cours du temps de la masse totale des satellites (gauche) et de la masse du plus
gros satellite (droite), pour différentes valeurs de la densité de surface initiale du disque : 400 kg m−2 (en
noir), 1 000 kg m−2 (en vert), 5 000 kg m−2 (en rouge), et 10 000 kg m−2 (en violet). Le comportement
est similaire pour toutes les simulations : la masse totale des satellites augmente jusqu’à ce qu’un satellite
soit suffisamment massif pour repousser le disque en-dessous de la limite de Roche.
disque est utilisée pour former des satellites. Ceci implique que ce mécanisme ne soit pas
capable de produire des satellites très massifs, à moins de considérer des masses de disque
qui ne semblent pas réalistes (pour rappel, la masse actuelle des anneaux de Saturne est
estimée à quelques fois la masse de mimas, soit ∼ 1019 − 1020 kg).
Table 4.2 – Masse initiale du disque et masse totale des satellites à 5 milliards d’années d’évolution,
pour différentes valeurs de la densité de surface initiale Σ0
Σ0 (kg)
Masse du disque (kg)
Masse totale des satellites (kg)
Msatellites /Mdisque
400
6,89 × 1018
1,98 × 1017
2,87%
1 000
5 000
10 000
1,76 × 1019
6,98 × 1017
2,53 × 1020
5,83 × 1018
4,85 × 1020
1,44 × 1019
3,97%
2,3%
2,96%
Du côté de la masse du plus gros satellite, là encore, le comportement est similaire dans tout les cas. Les disques de densité 400 kg m−2 , 1 000 kg m−2 , 5 000 kg m−2 ,
et 10 000 kg m−2 forment respectivement un satellite de 1,3 × 1017 kg, 3,5 × 1017 kg,
5,4 × 1018 kg, et 9,6 × 1018 kg (figure 4.15, droite). Cette masse peut-elle être expliquée
analytiquement ?
4.3.3.3
Estimation de la masse du plus gros satellite
Comme on vient de le voir, la production de satellites a lieu jusqu’à ce qu’un satellite
soit suffisamment massif pour repousser le disque en-dessous de la limite de Roche. Cela
est dû au fait que le couple qu’il applique au niveau de ses résonances Γm est plus fort
que le couple visqueux du disque Γν . Ces couples s’écrivent (Lynden-Bell et Pringle, 1974;
193
Meyer-Vernet et Sicardy, 1987) :
Ms 2
M
42 3
4
3
Ms 2
2
4 m−1
Ω
= f m ΣR
m
M
|Γm | = f m2 ΣR4 Ω2s
3
4
(4.28)
et
|Γν | = 3πνΣR2 Ω
(4.29)
La condition pour que le bord soit confiné, |Γm | ≥ |Γν |, donne :
M
Ms ≥
(m − 1) R
ò
ν
Ω
(4.30)
où l’on a utilisé le fait que f ∼ 10 (Meyer-Vernet et Sicardy, 1987). On a vu dans le
Chapitre 3 que pour un disque auto-gravitant, la viscosité peut s’écrire ν = kΣ2 avec
k ∼ 3 × 10−7 pour 135 000 km ≤ R ≤ 140 000 km (Daisaka et al., 2001, voir également
la Table 3.1 de ce document).
En première approximation, on considère que la densité de surface à proximité du
bord extérieur du disque est une fraction β < 1 de la densité de surface moyenne du
disque Σ. Cette densité moyenne peut être exprimée comme le rapport entre la masse
initiale du disque M0 , auquel on soustrait la masse des satellites Ms , divisée par la surface
du disque S. Il faut soustraire en réalité 2 fois la masse des satellites, pour prendre en
compte l’étalement du disque vers l’intérieur, en supposant que les flux de massse vers
l’intérieur et l’extérieur sont similaires. La densité de surface à proximité du bord peut
donc s’exprimer comme :
M0 − 2Ms
Σbord ≈ β
(4.31)
S
La condition de confinement peut alors s’écrire
M0 − 2Ms
M
β
Ms ≥
(m − 1) R
S
αSΣ0
≥
S + 2α
3
où l’on a posé
βM
α=
(m − 1) R
ó
k
Ω
4
ó
k
Ω
(4.32)
(4.33)
et M0 = SΣ0 .
La relation Ms = f (Σ0 ) est représentée sur la figure 4.16. On constate que cette
analyse « avec les mains » semble convenir à forte densité de surface (Σ0 ≥ 5 000 kg m−2 ),
mais est moins vérifiée par les simulations à faible densité de surface (Σ0 ≤ 1 000 kg m−2 ).
Ceci peut s’expliquer par le fait que d’une part on a considéré la densité de surface au
bord comme constante alors qu’elle devrait sensiblement varier au cours du temps. De
plus, à faible densité de surface, le disque est susceptible de devenir plus facilement non
194
auto-gravitant, rendant l’approximation de la viscosité invalide (voir Chapitre 3).
Figure 4.16 – Estimation de la masse nécessaire Ms pour qu’un satellite confine le disque, pour différentes
valeurs de la densité de surface initiale du disque!Σ0 . Les diamants sont
" des points issus de simulations.
La loi semble convenir à forte densité de! surface Σ0 ≥ 5 000" kg m−2 , mais les résultats de simulations
s’en écartent à faible densité de surface Σ0 ≤ 1 000 kg m−2 .
4.3.3.4
Distribution de masse des satellites
Il est intéressant de regarder quelle est la distribution de masse des satellites créés
dans nos simulations, et de comparer cela à la distribution de taille des satellites actuels.
Ceci est représenté sur la figure 4.17.
On constate que les distributions de masse des satellites obtenues avec les simulations
est en assez bon accord avec la distribution réelle des petites lunes de Saturne (figure 4.17,
courbe en pointillés). Le nombre de satellites formés, et l’intervalle de masse des satellites
est assez proche des valeurs observées. En particulier, les distributions reproduisent correctement l’inflexion entre une population de petites masses, et des satellites plus massifs
moins nombreux. La variation de la densité de surface du disque déplace la position de
cette inflexion, mais conserve les pentes des courbes représentant les distributions (figure
4.17).
4.3.4
Conclusion & perspectives
4.3.4.1
Un scénario aux multiples implications
À l’aide de simulations numériques, basées sur un code 1D intégrant l’évolution
visqueuse du disque et les interactions disques-satellites via les résonances de Lindblad
195
Figure 4.17 – Distribution de masse des satellites à 5 milliards d’années d’évolution, pour différentes
densités de surface initiales : 400 kg m−2 (en noir), 1 000 kg m−2 (en vert), 5 000 kg m−2 (en rouge),
et 10 000 kg m−2 (en violet). La courbe en pointillés représente la distribution des lunes actuelles de
Saturne. Les résultats de simulations sont en assez bon accord avec la distribution réelle, tant du point
de vue du nombre de satellites créés qu’au niveau de l’intervalle de masses.
(équation 4.23), et couplé à un modèle d’accrétion simple, nous avons reproduit correctement une possible formation des petites lunes de Saturne à partir des anneaux.
Nous avons montré que permettre l’accrétion du matériau des anneaux en des satellites, au niveau de la limite de Roche, conduit à la formation d’une population d’objets
assez peu massifs (∼ 1017 − 1018 kg). Comme la densité de surface du disque diminue au
cours du temps du fait de l’étalement visqueux, la masse des satellites formés diminue
au cours du temps : plus un satellite est formé tôt, plus il est massif. Comme tous les
objets sont formés au même endroit (à R = 140 000 km), les objets les plus vieux migrent
pendant plus longtemps et se retrouvent donc plus loin de la planète. Ceci permettrait
d’expliquer la relation masse-distance observée dans la population actuelle des petites
lunes de Saturne (figures 4.9 et 4.11). Le nombre de satellites formés, et l’intervalle de
masses dans lequel ils se situent, est en accord avec la distribution de masse effectivement
observée (figure 4.17).
Nous avons montré également que le processus est auto-régulé : le disque s’étend
d’abord librement jusqu’à la limite de Roche, et la production de satellites continue jusqu’à
ce qu’un satellite soit suffisamment massif pour repousser le disque sous la limite de
Roche par le biais de ses résonances (figure 4.12. La masse du plus gros satellite semble
directement liée à la densité de surface du disque (figure4.16).
Enfin, nous avons montré que les satellites formés créent une population collisionnelle, visible par l’augmentation de la taille du plus gros satellite au cours du temps (figure
4.13, courbe en pointillés). Ceci pourrait expliquer la formation de l’anneau F : les lunes
196
formées au bord externe de l’anneau A vers 140 000 km migrent et rentrent régulièrement
en collision, avec à la clé formation de satellites plus gros. Mais comme l’accrétion n’est
pas à 100% efficace dans cette région (Canup et Esposito, 1995), des poussières sont également libérées en quantités importantes, et pourraient donc avoir formé un anneau de
poussières correspondant à l’anneau F actuel.
A l’heure actuelle, le bord externe de l’anneau A est confiné vers ∼ 137 000 km
par une résonance avec le satellite Janus. La formation de satellites est donc pour le
moment interrompue. Le processus devrait néanmoins reprendre une fois que Janus aura
suffisamment migré vers l’extérieur pour que l’anneau A s’étende à nouveau jusqu’à la
limite de Roche.
4.3.4.2
Limitations
Le travail présenté ici présente un certains nombre d’imperfections qu’il est important de prendre en compte lors de l’interprétation des résultats.
4.3.4.2.1 Excentricité des satellites
Dans les simulations effectuées, l’excentricité des satellites a été négligée, et une
partie des résonances n’a donc pas été prise en compte (voir Section 4.2). Or ces effets
pourraient modifier la migration des satellites ainsi que l’évolution du disque.
Néanmoins, nous avons réalisé plusieurs simulations prenant en compte l’évolution
de l’excentricité des satellites à la suite des interactions entre satellites. La modélisation
adoptée était de considérer ces interactions comme des rencontres proches instantanées,
entraînant une perturbation aléatoire de la vitesse des satellites (Greenberg et al., 1978).
Il en est ressorti que les satellites sont si petits, que les excursions radiales dues à l’excentricité sont de l’ordre de la taille même du satellite.
4.3.4.2.2 Interactions entre satellites
Deuxièmement, nous n’avons pas pris en compte les éventuelles interactions résonantes entre satellites. Ceci est directement lié à un problème de complexité numérique,
car le calcul de ces interactions se fait à l’aide de codes N-corps, avec lesquels il serait
impossible d’atteindre 5 milliards d’années d’évolution. Pourtant, la capture en résonance
pourrait fortement influencer les probabilités d’impact entre satellites, ce qui pourrait
ralentir l’augmentation de la masse des satellites.
Néanmoins, une étude menée pour le cas spécifique de Prométhée et Pandore a montré que, même si la capture en résonance est susceptible d’intervenir, cette configuration
n’est pas stable sur des échelles de temps de l’ordre du Million d’années (Poulet et Sicardy,
2001). Les satellites finissent par subir une rencontre proche, et éventuellement rentrer en
collision, comme cela est modélisé dans ce code. La non prise en compte des interactions
résonantes entre les satellites ne semble donc pas problématique.
Par contre, les interactions avec les satellites principaux de Saturne pourrait avoir
plus d’importance. En particulier, nous avons vu que le processus d’accrétion s’interrompt
quand un satellite suffisamment massif pour repousser les anneaux a été créé. Si ce satellite
venait à être capturé en résonance par l’un des satellites extérieurs, cela pourrait prolonger
considérablement le processus de confinement du disque.
197
4.3.4.2.3 Couple en régime linéaire
Le formalisme adopté pour le couple résonant exercé par les satellites sur le disque,
est basé sur une approximation de régime linéaire, c’est-à-dire que l’on considère que les
perturbations causées par les satellites restent linéaires. Ce régime est bien adapté pour les
petites lunes de ∼ 1017 kg, qui ne sont pas capables de confiner le disque. L’approximation
devient moins légitime pour les plus gros satellites.
La modélisation du régime non-linéaire a été étudiée par plusieurs auteurs (Borderies
et al., 1983; Hahn et al., 2009). Néanmoins, celle-ci se base sur un formalisme encore plus
complexe que celui du régime linéaire, et qui est difficilement adaptable à notre étude. De
manière générale, étant donnée sa complexité, ce formalisme a jusqu’alors été assez peu
utilisé dans les simulations numériques.
Pour l’intervalle de masses considérées dans ce travail, nous pouvons considérer que
le régime linéaire, bien qu’imprécis, constitue une bonne approximation de la physique
mise en jeu dans les interactions entre le disque et les satellites. La plus grande imprécision
concerne probablement le mécanisme de confinement du disque qui, s’il était rendu plus ou
moins contraignant par la prise en compte d’une physique plus précise, pourrait modifier
la distribution de masse des satellites créés.
198
Vol 465 | 10 June 2010 | doi:10.1038/nature09096
LETTERS
The recent formation of Saturn’s moonlets from
viscous spreading of the main rings
Sébastien Charnoz1, Julien Salmon1 & Aurélien Crida2,3
staggered mesh, solving for the surface density equation of a
Keplerian disk under the effect of viscous torque and moonlets’ gravitational torques18:
"
#
ds 3 L 1=2 L
1
1=2
1=2
~
r
(n(r)sr ){
r T(r)
dt
r Lr
Lr
3p(GM)1=2
1019
ns
oo
Enceladus
all
m
Main
s Tethys
moon
Mimas
Sm
1020
F ring
1021
Outer edge of main rings
Here r, n(r), G and M are the distance from Saturn, the local viscosity,
the gravitational constant and Saturn’s mass, respectively, and T(r) is
the sum, over all the satellites, of the local Lindblad-resonance torque
densities (Supplementary Information, section 1). A realistic viscosity
model, in which the viscosity is an increasing function of the surface
density, is used19. Because aggregates are formed at r $ RL after only a
few orbital periods (which is negligible in comparison with the timescale of viscous spreading), the accretion of ring material into aggregates is considered to occur instantaneously: at each time step, all ring
mass located beyond RL is removed from the hydrodynamical simulation and transformed into one additional aggregate.
Each aggregate (also called a moonlet) is tracked and its mass, ms,
semi-major axis, as, and eccentricity, es, tabulated (Supplementary
Information, section 2). The resultant eccentricities are so small
(,1024) that they do not influence the system’s evolution. The
semi-major axes evolve under the effects of Saturn’s tides and ring
torque according to
Mass (kg)
The regular satellites of the giant planets are believed to have
finished their accretion concurrent with the planets, about
4.5 Gyr ago1–4. A population of Saturn’s small moons orbiting just
outside the main rings are dynamically young5,6 (less than 107 yr
old), which is inconsistent with the formation timescale for the
regular satellites. They are also underdense7 ( 600 kg m23) and
show spectral characteristics similar to those of the main rings8,9.
It has been suggested that they accreted at the rings’ edge7,10,11, but
hitherto it has been impossible to model the formation process fully
owing to a lack of computational power. Here we report a hybrid
simulation in which the viscous spreading of Saturn’s rings beyond
the Roche limit (the distance beyond which the rings are gravitationally unstable) gives rise to the small moons. The moonlets’ mass
distribution and orbital architecture are reproduced. The current
confinement of the main rings and the existence of the dusty F ring
are shown to be direct consequences of the coupling of viscous
evolution and satellite formation. Saturn’s rings, like a mini protoplanetary disk, may be the last place where accretion was recently
active in the Solar System, some 106–107 yr ago.
The low density of Saturn’s small moons and their icy composition,
closeness to the rings and rapid tidal timescales have long suggested
that their origin may be linked to the planet’s icy rings. On the one
hand, the population of small moons exterior to the Roche limit (Atlas,
Prometheus, Pandora, Janus and Epimetheus) have a mass–distance
relation remarkably different from Saturn’s main satellites (Fig. 1). On
the other hand, N-body simulations10,12 show that ring material
spreading viscously beyond 142,000 km (measured from Saturn’s
centre) would be gravitationally unstable and that ,100-m aggregates
would form in less than ten orbits. Below 138,000 km, accretion
becomes inefficient12–14, so the outer edge of the region in which accretion is prevented (the ‘Roche region’) is at RL < 140,000 6 2,000 km.
This differs slightly from the classical definition of the Roche Limit
because its precise location depends on a diversity of factors, such as
the bodies’ relative sizes, spins14,15 and so on. Today, the main rings’
outermost region, the A ring, is sharply bounded at 136,775 km by
Janus’s gravitational torque5,16. However, this configuration must be
transient (,10 Myr) because the rings repel Janus and, in turn, are
pushed inwards to conserve angular momentum. As the moon
migrates outwards, the radius to which the rings’ outer edge is confined changes accordingly and may pass the nearby Roche limit.
Therefore, ring material may have spread beyond Saturn’s Roche limit
in the past, or may do so in the future.
To simulate the coupled evolution of aggregates with the rings on
long timescales (,1 Gyr), we designed a hybrid model in which two
codes are self-consistently coupled17: a one-dimensional hydrodynamical model to track the rings’ viscous evolution and an analytical
orbital model to track the aggregates. We compute the evolution of
the ring’s surface density, s(r), using a finite-element scheme, on a
Janus
1018
Epimetheus
Prometheus
Pandora
1017
1016
1015
Atlas
150
250
200
Distance from Saturn (103 km)
300
Figure 1 | Mass of Saturn’s inner moons versus distance. The names and
average diameters of the moons are indicated in the insets. Data for Mimas,
Enceladus and Tethys are also plotted, for comparison. The vertical dashed
line shows the location of the outer edge of Saturn’s A ring, at 136,750 km,
and the vertical dash–dot line indicates the location of the F ring (a ,1,000km-wide ringlet located between Prometheus and Pandora). The blue and
red lines show simple logarithmic fits to the mass–distance data for the small
moons and, respectively, the main moons. Images from the Cassini mission
(courtesy of NASA/JPL/SSI).
1
Laboratoire AIM, Université Paris Diderot/CEA/CNRS, 91191 Gif sur Yvette, France. 2Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge,
Cambridge CB3 0WA, UK. 3Université de Nice Sophia-Antipolis/CNRS/Observatoire de la Côte d’Azur, Laboratoire Cassiopée, BP4229, 06304 Nice Cedex 4, France.
752
©2010 Macmillan Publishers Limited. All rights reserved
LETTERS
NATURE | Vol 465 | 10 June 2010
1=2 5
das 3k2p ms G Rp
2as1=2 C s
z
~
11=2
1=2
dt
Qp M as
ms (GM)1=2
where Qp, k2p and Rp denote the planet’s dissipation factor, Love
number and radius, respectively (Supplementary Information,
section 1.2), and Cs is the sum of the ring torques of all first-order
Lindblad resonances of the moonlet6,18,20. When the orbital separation of two moonlets is smaller than 2.2 mutual Hill radii, they are
merged12. To test the full procedure, the formation of the protoMoon from a circumterrestrial disk was successfully reproduced21
(Supplementary Information, section 3).
The initial conditions are as follows. The A ring is initially represented by a disk extending from 122,000 km to 136,000 km with a
constant surface density, s0. The initial state of Saturn’s rings is
unknown and they could have been denser in the past22. We considered
the cases in which s0 5 400, 1,000, 5,000 and 10,000 kg m22. The case
in which s0 5 400 kg m22 (approximately the present surface density
of Saturn’s A ring) is presented in Fig. 2 with RL set to 140,000 km.
The simulation starts with no satellites, so the A ring initially
spreads freely and reaches RL in ,106 yr (Fig. 2). Then moonlets
accrete at RL from the ring material and grow through mutual
encounters. They induce step-like structures in the ring’s surface
density near the moonlets’ Lindblad resonances (Fig. 2a–d). At these
locations, the ring angular momentum is directly transferred to the
moonlets, inducing an orbital decay of the ring material and an
expansion of the moonlets’ orbit. As a consequence, the ring material
moves inwards and accumulates just interior to the resonance location, resulting in the visible step-like structures in the surface density
function. Whereas Cs increases with the moonlets’ mass, the disk’s
surface density decreases as a result of spreading and thus so do the
viscosity and the viscous torque, Cv (ref. 16). When the magnitude of
Cs becomes larger than that of Cv, the disk’s outer edge is confined
and the disk stops spreading (Fig. 2e). This happens when the largest
moon reaches a mass of ,1017 kg for s0 # 1,000 kg m22 and
,1018 kg for s0 $ 5,000 kg m22. As the moonlets’ masses increase,
the ring’s outer edge moves inwards to the position of the first
a 400
b
1018
54 Myr
300
1017
200
1016
100
1015
0
400
577 Myr
3.4 Gyr
300
1017
200
1016
100
1015
0
120
130
140
150
160
120
Distance (103 km)
e
Mass of satellites (1017 kg)
139.5
139.0
138.5
138.0
137.5
105
130
140
150
1014
160
f
140.0
Distance (103 km)
1014
1018
d
Mass of satellites (kg)
Ring surface density (kg m–2)
7.2 Myr
c
Lindblad resonance for which the torque is strong enough to
counterbalance Cv. On long timescales, owing to the decrease of
the surface density, confinement is increasingly easier, and in this
model the ring’s outer edge moves inwards to ,135,000 km after
4 Gyr for s0 5 400 kg m22. For higher values of s0, the disk undergoes more rapid viscous spreading and more massive moonlets are
formed; this ultimately shifts the disk’s edge below 130,000 km for
s0 . 1,000 kg m22. In conclusion, the current confinement of the
outer edge of Saturn’s rings seems to be the consequence of ongoing
satellite accretion occurring at the Roche limit. The outer edge jumps
from one resonance to another, depending on the local balance
between the positive viscous torque and the negative torque induced
by the population of small moons.
The moonlets migrate outwards owing to the positive torques
induced by the rings and the planet. Because, for each moonlet, these
torques are increasing functions of mass20 (Cs / ms2), the migration
rate increases accordingly and more massive moonlets migrate more
rapidly. Different migration rates lead to crossings and merging.
Because all moonlets appear at the same position (RL), a simple
orbital architecture emerges in which satellites are radially sorted:
their distance to Saturn is an increasing function of their mass, in
agreement with observations (Fig. 1). Therefore, the actual orbital
architecture of the small moons may be the direct consequence of
ring–moon interactions.
These results imply also that Saturn’s small moons are gravitational aggregates made of icy ring particles, which would explain their
very low densities. When they form, they should be initially elongated
like Hill spheres7,10, as is observed for some of the moons7. Pandora
and Epimetheus seem to deviate somewhat from this shape7, but this
could result from post-accretional restructuring. The moons’ spectral similarities with Saturn’s rings9,23 may be the direct result of their
formation within the rings, as might be their apparent lack of silicates7, as Saturn’s rings seem to be devoid of such material8,23.
The coupling of ring confinement with moonlet migration induces a
feedback on the formation rate of the moonlets. When the ring’s edge is
repelled to below RL, the production of moonlets stops (compare
106
107
108
109
2.0
1.5
Figure 2 | Time evolution of our model with
s0 5 400 kg m22. a–d, The time evolution of the
ring’s surface density (solid line) and the masses
of the moonlets (black points) as functions of the
distance from Saturn’s centre. As the ring spreads
inwards and outwards, its surface density
decreases. Ring material crossing the Roche limit
(RL 5 140,000 km here) is transformed into
moonlets. At the end of the simulation, only
1.5 3 1018 kg of the ring material remains in the A
ring, whereas 3.5 3 1018 kg is spread below
120,000 km and 1.8 3 1017 kg has been
transformed into moonlets. e, The time evolution
of the location of the ring’s outer edge, defined as
the place where the surface density drops below
1 kg m22. When the edge is confined at the
location of a moonlet’s resonance, the ring’s
viscous torque (which tends to push material
beyond the ring’s edge by transferring angular
momentum) is perfectly balanced by the
satellite’s gravitational torque, thus preventing
the ring material from spreading farther
outwards. f, Total mass transformed into
satellites as a function of time. The dashed line
shows the mass of the largest satellite.
1.0
0.5
0
1010
105
Time (yr)
106
107
108
109
1010
753
LETTERS
NATURE | Vol 465 | 10 June 2010
Received 15 December 2009; accepted 15 April 2010.
10
1.
N(>m)
2.
3.
4.
1
1015
A
1016
5.
B Sat C D
1017
1018
Mass (kg)
1019
1020
6.
7.
Figure 3 | Comparing the mass distribution of the moonlets obtained in our
simulation with observations. Cumulative mass distributions of moonlets
obtained in four simulations with different initial surface densities, fitted
with single power-law functions of the form N(.m) / m2a: case A
(s0 5 400 kg m22), a 5 0.31 6 0.06; case B (s0 5 1,000 kg m22),
a 5 0.19 6 0.01; case C (s0 5 5,000 kg m22), a 5 0.22 6 0.03; case D
(s0 5 10,000 kg m22), a 5 0.17 6 0.04. The actual population of Saturn’s
moonlets (Sat, a 5 0.27 6 0.07) is well within the range of masses and
number of bodies obtained in the simulations. We note that some of our
distributions (A, B and C) show a knee and a shallower slope at smaller sizes,
as is observed for Saturn’s small moons (Sat).
Fig. 2e and Fig. 2f). Conversely, as moonlets move away from the
planet, the location of the ring’s edge follows and satellite production
can set in again for any ring material that reaches RL. This stop-and-go
mechanism is apparent in the mass history of the satellites (Fig. 2f): it
limits their mass to about the smallest mass necessary to confine the
ring and can be analytically estimated (Supplementary Information,
section 4). The mass distributions of moonlets obtained in our simulations well match the observed distribution, having a similar logarithmic exponent and overall shape (Fig. 3). However, these results may be
affected by nonlinearities that could arise in the torques of the most
massive satellites (Supplementary Information, section 3.4). A direct
consequence of this feedback mechanism is that the mass of the largest
moon must be of the order of the mass necessary to confine the ring:
this is actually the case with Janus, the most massive of the small
moons, which confines the A ring’s outer edge5,16. The current mass
of Janus implies that the A ring surface density was between
1,000 kg m22 and 5,000 kg m22 at the time Janus formed (whereas
the ring’s total mass remains undetermined24).
Saturn’s main rings are encircled by a dusty and dynamically active
ringlet, called the F ring, which is located 140,500 km from Saturn’s
centre and whose origin is still debated. In the present work, its
presence may have a simple explanation: owing to the spreading of
the A ring, aggregates are formed at ,140,000 km and suffer subsequent collisional evolution while migrating outwards. Because
accretion should not be 100% efficient below 142,000 km (ref. 14),
colliding aggregates will release dust and produce a dusty ring with a
non-negligible mass, like today’s F ring25–27. In the current orbital
configuration, the F ring is not provided with new aggregates from
the A ring because of the confinement induced by Janus. However, on
longer timescales, the dusty F ring will again be supplied with mass
when the A ring again viscously spreads. Thus, the F ring should have
always been present because of the regular renewal of its material. In
this picture, it is considered to be the dusty signature of ring material
crossing the Roche limit as a result of the global viscous spreading of
the rings. The F-ring material should be about the same age as the
nearby moonlets25, 106–107 yr, although the main rings could be older.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Mosqueira, I. & Estrada, P. R. Formation of the regular satellites of giant planets in
an extended gaseous nebula I: subnebula model and accretion of satellites. Icarus
163, 198–231 (2003).
Canup, R. & Ward, W. R. Formation of the Galilean satellites: conditions for
accretion. Astron. J. 124, 3404–3423 (2002).
Canup, R. M. & Ward, W. R. A common mass scaling for satellite systems of
gaseous planets. Nature 411, 834–839 (2006).
Estrada, P. R., Mosqueira, I., Lissauer, J. J., D’Angelo, G. & Cruikshank, D. P. in
Europa (eds McKinnon, W., Pappalardo, R. & Khurana, K.) 27–58 (Univ. Arizona
Press, 2009).
Lissauer, J. J. & Cuzzi, J. N. Resonances in Saturn’s rings. Astron. J. 87, 1051–1058
(1982).
Poulet, F. & Sicardy, B. Dynamical evolution of the Prometheus-Pandora system.
Mon. Not. R. Astron. Soc. 322, 343–355 (2001).
Porco, C. C., Thomas, P. C., Weiss, J. W. & Richardson, D. C. Physical
characteristics of Saturn’s small satellites provide clues to their origins. Science
318, 1602–1607 (2007).
Poulet, F., Cruikshank, D. P., Cuzzi, J. N., Roush, T. L. & French, R. G. Compositions
of Saturn’s rings A, B, and C from high resolution near-infrared spectroscopic
observations. Astron. Astrophys. 412, 305–316 (2003).
Coradini, A. et al. Saturn satellites as seen by Cassini mission. Earth Moon Planets
105, 289–310 (2009).
Karjalainen, R. & Salo, H. Gravitational accretion of particles in Saturn’s rings.
Icarus 172, 328–348 (2004).
Charnoz, S., Brahic, A., Thomas, P. & Porco, C. The equatorial ridges of Pan and
Atlas: late accretionary ornaments? Science 318, 1622–1624 (2007).
Karjalainen, R. Aggregate impacts in Saturn’s rings. Icarus 189, 523–537 (2007).
Ohtsuki, K. Capture probability of colliding planetesimals: dynamical constraints
on accretion of planets, satellites, and ring particles. Icarus 106, 228–246 (1993).
Canup, R. M. & Esposito, L. W. Accretion in the Roche zone: coexistence of rings
and ring moons. Icarus 113, 331–352 (1995).
Weidenschilling, S. J., Chapman, C. R., Davis, D. R. & Greenberg, R. in Planetary
Rings (eds Greenberg, R. & Brahic, A.) 367–415 (Univ. Arizona Press (1984).
Spitale, J. N. & Porco, C. C. Time variability in the outer edge of Saturn’s A-ring
revealed by Cassini imaging. Astron. J. 138, 1520–1528 (2009).
Salmon, J., Charnoz, S. & Crida, A. Long-term and large scale simulation of
Saturn’s rings viscous evolution. Icarus (in the press).
Takeuchi, T., Miyama, S. M. & Lin, D. N. C. Gap formation in protoplanetary disks.
Astrophys. J. 460, 832–847 (1996).
Daisaka, H., Tanaka, H. & Ida, S. Viscosity in a dense planetary ring with selfgravitating particles. Icarus 154, 296–312 (2001).
Meyer-Vernet, N. & Sicardy, B. On the physics of resonant disk-satellite
interaction. Icarus 69, 157–175 (1987).
Kokubo, E., Ida, S. & Makino, J. Evolution of a circumterrestrial disk and formation
of a single moon. Icarus 148, 419–436 (2000).
Charnoz, S., Morbidelli, A., Dones, J. & Salmon, A. Did Saturn’s rings form during
the Late Heavy Bombardment? Icarus 199, 413–428 (2009).
Cuzzi, J. et al. in Saturn from Cassini-Huygens (eds Dougherty, M. K., Esposito, L. W.
& Krimigis, T.) 535–573 (Springer, 2009).
Charnoz, S., Dones, L., Esposito, L. W., Estrada, P. R. & Hedman, M. M. in Saturn
from Cassini-Huygens (eds Dougherty, M. K., Esposito, L. W. & Krimigis, T.)
459–509 (Springer, 2009).
Murray, C. D. et al. The determination of the structure of Saturn’s F ring by nearby
moonlets. Nature 453, 739–744 (2008).
Showalter, M. R., Pollack, J. B., Ockert, M. B., Doyle, L. R. & Dalton, J. B. A
photometric study of Saturn’s F ring. Icarus 100, 394–411 (1992).
Charnoz, S. Physical collisions of moonlets and clumps with the Saturn’s F ring
core. Icarus 201, 191–197 (2009).
Supplementary Information is linked to the online version of the paper at
www.nature.com/nature.
Acknowledgements This work was funded by Université Paris Diderot and CEA/
IRFU/SAp. The authors thank F. Bournaud, J. Burns, L. Dones, Z. Leinhardt and
H. Throop.
Author Contributions S.C. and J.S. designed the code and analysed the results, and
A.C. was involved in the analysis of the results and provided critical contributions.
Author Information Reprints and permissions information is available at
www.nature.com/reprints. The authors declare no competing financial interests.
Readers are welcome to comment on the online version of this article at
www.nature.com/nature. Correspondence and requests for materials should be
addressed to S.C. ([email protected]).
754
202
Chapitre 5
Conclusion et Perspectives
Keep searching, keep on searching
This search goes on, on and on
(Hetfield et al., 2003)
5.1
Conclusion générale
Au cours de ma thèse, je me suis intéressé à l’étude des anneaux planétaires denses
sous plusieurs aspects. Les points abordés n’étaient pas nouveaux en tant que tels, mais
les approches utilisées l’étaient.
La question de l’origine des anneaux de Saturne alimente les débats de la communauté scientifique depuis plusieurs décennies. Dans le Chapitre 2, nous avons vu non pas
un nouveau scénario, mais une remise en question de scénarios existants en y apportant
un nouvel éclairage. Ces scénarios, basés sur la destruction de comètes par effet de marée,
ou par destruction d’un satellite par l’impact catastrophique d’une comète, se heurtaient
chacun à un flux cométaire trop faible si le flux cométaire actuel était considéré. Nous
avons montré que le Bombardement Massif Tardif est un moment adéquat, car au cours de
cette période le flux de comètes à proximité des planètes géantes a été bien plus important
qu’aujourd’hui.
Il est ressorti de notre étude que le scénario basé sur la destruction de comètes impliquerait que Jupiter, Uranus et Neptune devraient également avoir un système d’anneaux
denses (Table 2.1, ce qui n’est pas le cas à l’heure actuelle. D’un autre côté, la destruction d’un satellite de plusieurs masses de Mimas semble bien avoir été possible autour
de Saturne au moment du BMT (figure 2.8), mais pose le problème de l’absence des silicates dans les anneaux. Bien que de nouveaux inconvénients soient mis en avant, le BMT
apparaît tout de même comme une époque opportune pour la formation des anneaux de
Saturne. Ces derniers seraient donc vieux de plusieurs milliards d’années.
Cette conclusion rentre en complète opposition avec le constat actuel que les anneaux
de Saturne semblent jeunes. En particulier, l’étalement visqueux est évoqué comme un
phénomène devant conduire à la destruction des anneaux de Saturne en quelques centaines
de millions d’années. Là encore, le problème de l’étalement visqueux n’est pas nouveau,
203
Chapitre 5. Conclusion et Perspectives
puisque les premiers travaux sur la question remontent aux années 70. Sauf que les études
menées se basaient généralement sur un modèle de viscosité constante, alors que cette
grandeur est fortement dépendante des paramètres du disque. Nous avons donc repris
la question de l’étalement visqueux des anneaux planétaires denses, mais en utilisant un
modèle de viscosité physiquement réaliste, prenant en compte notamment les effets liés à
l’auto-gravité.
Nous avons montré, à l’aide d’un modèle numérique simple, que l’évolution visqueuse
du disque est fortement altérée par la prise en compte d’un modèle de viscosité réaliste.
En particulier, le disque forme des bords raides, et s’étale avec un pic de densité dans sa
partie interne, et un plateau de plus faible densité dans sa partie externe (figure 3.5). Ce
plateau se stabilise à la limite de l’instabilité gravitationnelle (Q ≈ 2, figure 3.7), tant que
le disque n’est pas totalement non auto-gravitant, état où il adopte un profil bombé avec
un pic central de densité (figure 3.15). Nous avons mis en évidence un régime asymptotique
correspondant à un disque entièrement non auto-gravitant (figure 3.12 et équation 3.51),
et ce en raison de la forte diminution de la viscosité dans ce cas par rapport au régime
auto-gravitant (figure 3.2). Il semblerait donc que les anneaux de Saturne ne soient pas
détruits par ce mécanisme sur l’âge du Système Solaire, la conséquence étant qu’il ne ne
semble pas possible qu’il y ait eu des anneaux denses et auto-gravitant autour des autres
planètes géantes.
L’étude de la formation des petites lunes de Saturne, menée au Chapitre 4, peut
être vue comme une conséquence directe du travail effectué concernant l’étalement du
disque. En effet, nous avons vu au cours de ce travail que le disque atteint rapidement, en
quelques centaines de millions d’années, la limite de Roche. Aujourd’hui, les anneaux sont
confinés à l’intérieur de cette limite par le satellite Janus. En l’absence de ce confinement,
le disque pourrait librement s’étaler au-delà de la limite de Roche et, ressentant moins les
effets de marée de Saturne, pourrait commencer à s’accréter en des corps de plus en plus
gros. Ce scénario avait déjà était suggéré à la suite d’observations des petites lunes de
Saturne, situées près du bord externe des anneaux, et dont la faible densité et les formes
irrégulières contrastent fortement avec les satellites majeurs.
En utilisant, comme pour la question de l’étalement visqueux, une approche simple
mais non triviale, reposant sur un modèle d’accrétion élémentaire, permet de reproduire
un certain nombre de résultats observationnels. En particulier, l’agencement de ces lunes
par ordre de masse croissant selon la distance à la planète, est correctement reproduit
et apporte une contrainte sur la masse du disque nécessaire pour obtenir des masses de
satellites similaires à celles observées (figures 4.11 et 4.17). Nous avons également mis en
évidence un mécanisme de régulation du phénomène, qui se poursuit jusqu’à la formation
d’un satellite suffisamment massif pour repousser le disque en-dessous de la limite de
Roche par le biais de ses résonances (figures 4.12 et 4.13). Comme le satellite migre vers
l’extérieur du fait de ces interactions résonantes, le phénomène, interrompu aujourd’hui
à cause de Janus, pourrait bien être réactivé dans le futur.
Les anneaux de Saturne m’apparaissent maintenant sous un jour nouveau, que je ne
soupçonnais pas avant la réalisation de cette thèse. Telles les deux face d’une pièce, les
anneaux et les satellites de Saturne ne seraient en fait que deux aspects d’un même objet.
Les satellites, détruits pour former des anneaux qui, en s’étalant et en se libérant de la
contrainte de marée, se ré-assemblent en satellites. Une bien belle histoire que voilà !
204
5.2
Perspectives
À l’issue de cette thèse, j’entrevois un certain nombre de travaux qui pourraient être
menés, à plus ou moins long terme, en continuité de chacun des points abordés.
5.2.1
Migration du noyau du satellite détruit
Nous avons vu en conclusion du Chapitre 2 que le résultat de l’impact catastrophique
d’une comète sur un satellite différencié serait la pulvérisation des couches extérieures de
l’objet, par rebond d’ondes sonores sur le cœur du satellite, plus dense et non détruit
(Canup, 2005). Ceci permet d’expliquer la composition des anneaux de Saturne (> 99 %
de glace d’eau), mais pose la question de savoir ce qu’aurait pu devenir ce cœur dense,
composé principalement de silicates. Ceci pourrait être étudié à l’aide du code Hydrorings.
En effet, la situation présente des similarités avec l’étude de la formation des petites
lunes de Saturne : le cœur en silicates se retrouverait, à l’issue de la collision, à proximité
d’un disque qui s’étale. Il y aurait donc des interactions résonantes entre le noyau et le
satellite. On peut néanmoins imaginer que la pulvérisation de l’enveloppe du satellite se
fasse de façon isotrope, de sorte qu’une quantité similaire de matériau serait éjectée de
part et d’autre du cœur. Ce dernier se trouverait alors coincé entre un anneau extérieur
et un anneau intérieur.
Cette situation rappelle fortement les migrations dites de Type I et II subies par
une planète dans un disque protoplanétaire. Alors que le disque intérieur pousse le noyau
vers l’extérieur, l’inverse se produit pour le disque extérieur. Le rapport de force entre
ces deux couples, opposés, devrait déterminer la migration du noyau vers l’intérieur ou
l’extérieur. Dans le premier cas, le cœur en silicates pourrait spiraler vers la planète et être
détruit, alors que dans le deuxième cas, le cœur serait peut-être l’un des satellites actuels
de Saturne, en ayant ré-accrété du matériau en traversant le disque lors de sa migration
vers l’extérieur. Charnoz et al. (2007) ont montré que l’accrétion de particules des anneaux
à la surface d’un objet est possible, même si dans le cas qu’ils étudient l’accrétion se fait
préférentiellement à l’équateur de l’objet.
Ce travail pourrait d’ailleurs être effectué en parallèle d’une étude que je suis en
train de mener sur la migration des satellites Pan et Daphnée. Ces derniers sont en effet
situés dans les divisions d’Encke et de Keeler respectivement, et se trouvent donc dans une
situation similaire. En effet ces objets se situent dans les zones extérieures des anneaux de
Saturne, et sont donc entourés d’un disque interne bien plus massif que le disque externe.
Néanmoins, la contribution principale de l’interaction résonante provient de la zone où
les résonances se superposent, qui est une région étroite de part et d’autre de l’objet.
La dissymétrie du disque n’aurait donc pas une grande influence sur la migration de ces
objets.
5.2.2
Étalement visqueux d’autres disques astrophysiques
Le code Hydrorings pourrait être facilement adapté pour étudier l’étalement visqueux d’autres disques astrophysiques. En effet, la spécialisation du code pour l’étude
des anneaux planétaires denses se retrouve au niveau du modèle de viscosité utilisé, qu’il
205
suffirait donc de modifier pour qu’il soit plus adapté à un disque de gaz tel qu’un disque
d’accrétion ou un disque protoplanétaire.
La modélisation de la viscosité d’un disque de gaz n’est pas aussi précise que pour
les anneaux planétaires. Aussi, le transport de moment cinétique dans ces disques est
généralement paramétrée à l’aide de la prescription α, introduite par Shakura et Sunyaev
(1973), et qui suppose que la viscosité ν dépend de la vitesse du son cs et de l’épaisseur du
disque H, selon ν = αcs H, avec α ≪ 1. La source de cette viscosité est en général attribuée à la turbulence (dont l’origine pourrait être des instabilités magnéto-rotationnelles,
Balbus et Hawley, 1991; Balbus et Papaloizou, 1999; Papaloizou et Nelson, 2003) et aux
instabilités gravitationnelles (Lin et Pringle, 1987; Laughlin et Bodenheimer, 1994).
Récemment, Forgan et al. (2011) ont étudié la validité de la paramétrisation α
concernant la modélisation du transport de moment cinétique dans le disque, pour différentes valeur du rapport q entre la masse du disque et la masse de l’étoile, et à q donné
pour différentes valeurs de la masse du disque. Leurs résultats montrent que la paramétrisation α est bien adaptée pour des disques de faible masse, de rapport d’aspect H/R ≤ 0,1
et de rapport q . 0,5. Pour des disques de rapport q > 0,5, les modes spirales m = 2 deviennent important et la contribution non-locale du transport de moment cinétique n’est
plus négligeable.
En l’absence de modélisation plus précise de la viscosité d’un disque de gaz, la
paramétrisation α pourrait être implémentée dans le code existant afin de simuler l’évolution visqueuse de disques de faible masse. Afin de valider le bon fonctionnement du code
Hydrorings pour le cas des disques de gaz, il serait intéressant de voir si nous pouvons reproduire les résultats de Rice et Armitage (2009). Il montrent en particulier qu’un disque
auto-gravitant atteint un état de quasi-équilibre, ce qui n’est pas sans rappeler le régime
asymptotique d’étalement d’anneaux planétaires auto-gravitants que nous avons mis en
évidence dans le Chapitre 3.
L’étude de l’évolution des disques protoplanétaires auto-gravitants est fondamentale
car on pense que la formation des planètes géantes est liée aux instabilités gravitationnelles
qui se développent dans les disques auto-gravitants. Une étude détaillée de l’évolution
de ces disques pourrait permettre d’apporter des contraintes supplémentaires dans les
mécanismes de formations de ces planètes.
5.2.3
Anneaux autour d’exoplanètes et influence sur la détectabilité de tels objets
Les anneaux de Saturne font figure d’exception dans le Système Solaire. Néanmoins,
il n’est a priori pas impossible qu’un système d’anneau similaire existe autour de planètes situées dans d’autres systèmes planétaires, c’est-à-dire des exoplanètes. L’existence
« d’exoanneaux » pourrait avoir plusieurs intérets :
– ils pourraient nous renseigner sur l’histoire du système planétaire où ces anneaux
auront été observés, car nous avons vu au Chapitre 2 que la formation des anneaux de Saturne semble être liée à des évènements bien particuliers, notamment
le Bombardement Massif Tardif. L’hypothèse privilégiée ctuellement pour la formation de la Lune est qu’elle aurait été accrétée à partir d’un disque formé à la
206
suite de l’impact d’un objet de taille comparable à celle de Mars, lorsque la Terre
était encore en formation (Kokubo et al., 2000) ;
– la présence d’un disque dense autour d’une exoplanète améliorerait ses possibilités
de détection, notamment pour une « super-Terre ». En effet la présence d’anneau
augmenterait significativement la section efficace de la planète, ainsi que son émission thermique ;
– la structure des anneaux (extension, masse, . . .) pourrait nous fournir des informations sur la planète en particulier sa masse et sa densité ;
Ce dernier point pourrait directement être étudié à l’aide du code Hydrorings. On
peut d’ores et déjà s’intéresser au type de disques susceptibles d’exister autour d’une
super-Terre. En effet, les anneaux ne peuvent « habiter » qu’entre le rayon de la planète
et la limite de Roche pour le matériau qui constitue les anneaux. Nous avons vu que cette
limite de Roche s’écrit :
A B1/3
ρp
RRoche = Rp × 2,456
.
(5.1)
ρ
En conséquence, pour une planète de taille donnée, la zone habitable pour les anneaux sera
d’autant plus grande que la densité de la planète est importante. Les super-Terre étant
des planètes de type telluriques, leur densité est bien plus importante que celle des géantes
gazeuses. À titre d’exemple, la masse volumique moyenne de la Terre est ∼ 5 515 kg m−3
contre à peine ∼ 687 kg m−3 pour Saturne.
D’autre part, comme ces planètes sont situées relativement proche de leur étoile,
elle se situent à l’intérieur de la limite des glaces. Si une super-Terre devait avoir des
anneaux, ceux-ci seraient donc vraisemblablement composé de silicates, et non de glace
d’eau comme dans le cas de Saturne. Ceci a pour effet de réduire la taille de la zone
habitable pour les anneaux (équation 5.1).
Le code Hydrorings pourrait être facilement utilisé pour étudier les échelles de temps
d’évolution d’un disque autour d’une super-Terre, et le type de planète susceptible d’abriter un système d’anneaux pendant plusieurs dizaines ou centaines de millions d’année. Les
profils de densité de surface obtenus pourraient être ensuite analysés en terme d’impact
sur la détectabilité de la planète hôte.
5.2.4
Formation de tous les satellites de Saturne ?
Le processus de formation de satellites étudié dans ce travail peut-il être appliqué
pour certains des satellites principaux de Saturne (Titan exclu, car on a vu qu’il s’est
vraisemblablement formé dans la sous-nébuleuse de Saturne) ? Quelles seraient les implications d’un tel scénario ?
Tout d’abord se pose le problème de la différenciation des satellites. En effet, les satellites plus gros sont pour la plupart composés en partie de roche, et ont des densités plus
importantes que les petites lunes. Par exemple, la densité de Thétys est 0,97, indiquant
qu’il est bel est bien composé en partie de roche et non pas seulement de glace d’eau
comme les anneaux (Thomas et al., 2007b; Nicholson et al., 2008). Mais ceci pourrait en
fait être une propriété intéressante.
En effet, dans le scénario proposant la formation des anneaux de Saturne par des207
truction d’un satellite, nous avons vu que l’absence de silicates pourrait s’expliquer par
une pulvérisation des couches externes du satellite par rebond d’ondes sonores sur le cœur
dense du satellite (Canup, 2005). On peut néanmoins supposer que lors de l’impact, le
cœur se soit fragmenté en quelques gros morceaux.
Or comme on l’a vu précédemment, le mécanisme d’accrétion des satellites au niveau
de la limite de Roche a pour conséquence que les satellites qui sont les plus éloignés du
disque sont ceux qui ont été formés en premier. On pourrait donc imaginer que les satellites
comme Mimas, Encelade ou Thétys auraient été formés en premier, et auraient emporté
avec eux les silicates contenus dans les anneaux. Néanmoins, ceci impliquerait que les
silicates soient préférentiellement emportés vers l’extérieur du disque, ce qui n’a a priori
pas de raison d’être le cas.
Un problème se pose cependant concernant la masse du disque nécessaire pour former
des satellites aussi massifs que Thétys ou Dionée (∼ 1021 kg). Nous avons vu en effet que
seule une petite fraction de la masse du disque est effectivement accrétée en satellites
(table 4.2). Ceci impliquerait donc que les anneaux aient été formés par un satellite d’une
masse près de mille fois supérieure à la masse de Mimas. Ceci pose deux problèmes vis-àvis du scénario de formation des anneaux :
– la survie d’un tel satellite sous la limite de Roche pendant 700 millions d’années
ne semble pas possible ;
– la probabilité d’impact destructif sur un satellite aussi massif est très faible (voir
figure 2.8)
La solution pourrait provenir d’un nouveau mécanisme de formation des anneaux,
annoncé par Robin Canup dans l’abstract de sa présentation au prochain DPS. Il indique
qu’un satellite de la taille de Titan, mais situé sur une orbite inférieure à ce dernier,
aurait spiralé vers la planète par intéractions avec le disque protoplanétaire, vers la fin
de la période de formation des satellites. En se rapprochant de la planète, le satellite
serait progressivement détruit par les effets de marée, un peu comme dans le scénario de
formation par destruction de comètes. Il sera intéressant de voir si un tel scénario est
capable d’implanter plusieurs milliers de masses de Mimas en orbite autour de Saturne.
D’un point de vue purement pratique, l’étude de la formation de certains satellites
majeurs à partir des anneaux nécessiterait d’ajouter au code Hydrorings un module de
mécanique orbitale pour les satellites, car les interactions entre des satellites aussi massifs
ne sont plus négligeables comme pour les petites lunes. C’est un problème épineux car
les codes de mécaniques orbitales sont des codes N-corps très couteux numériquement, et
l’étude de l’évolution du système sur plusieurs milliards d’années représente un réel défi
qu’il ne sera pas aisé de relever.
208
Bibliographie
[1] Agnor, C.B., Hamilton, D.P., 2006. Neptune’s capture of its moon Triton in a binaryplanet gravitational encounter. Nature 441, 192–194.
[2] Albers, N., Spahn, F., 2006. The influence of particle adhesion on the stability of agglomerates in Saturn’s rings. Icarus 181, 292–301.
[3] Alibert, Y., Mousis, O., Benz, W., 2005. Modeling the Jovian subnebula. I. Thermodynamic conditions and migration of proto-satellites. Astron. Astrophys. 439, 1205–1213.
[4] Anderson, J.D., Johnson, T.V., Schubert, G., Asmar, S., Jacobson, R.A., Johnston, D.,
Lau, E.L., Lewis, G., Moore, W.B., Taylor, A., Thomas, P.C., Weinwurm, G., 2005.
Amalthea’s Density Is Less Than That of Water. Science 308, 1291–1293.
[5] Araki, S., Tremaine, S., 1986. The dynamics of dense particle disks. Icarus 65, 83–109.
[6] Balbus, S.A., Hawley, J.F., 1991. A powerful local shear instability in weakly magnetized
disks. I - Linear analysis. II - Nonlinear evolution. Astrophys. J. 376, 214–233.
[7] Balbus, S.A., Papaloizou, J.C.B., 1999. On the Dynamical Foundations of alpha Disks.
Astrophys. J. 521, 650–658.
[8] Banfield, D., Murray, N., 1992. A dynamical history of the inner Neptunian satellites.
Icarus 99, 390–401.
[9] Barr, A.C., Canup, R.M., 2008. Constraints on gas giant satellite formation from the
interior states of partially differentiated satellites. Icarus 198, 163–177.
[10] Barrett, S., Mason, N., Waters, R., Wright, R., 1967. Astronomy domine, in : The Piper
at the Gates of Dawn.
[11] Bath, G.T., Pringle, J.E., 1981. The evolution of viscous discs. I - Mass transfer variations.
Mon. Not. R. Astron. Soc. 194, 967–986.
[12] Baum, W.A., Kreidl, T., Westphal, J.A., Danielson, G.E., Seidelmann, P.K., Pascu, D.,
Currie, D.G., 1981. Saturn’s E ring. Icarus 47, 84–96.
[13] Bell, K.R., Lin, D.N.C., Hartmann, L.W., Kenyon, S.J., 1995. The FU Orionis outburst
as a thermal accretion event : Observational constraints for protostellar disk models.
Astrophys. J. 444, 376–395.
209
Bibliographie
[14] Benz, W., Asphaug, E., 1999. Catastrophic Disruptions Revisited. Icarus 142, 5–20.
[15] Borderies, N., Goldreich, P., Tremaine, S., 1983. Perturbed particle disks. Icarus 55,
124–132.
[16] Boyd, T.J.M., Sanderson, J.J., 1969. Plasma dynamics. Cambridge University Press.
[17] Brahic, A., 1977. Systems of colliding bodies in a gravitational field. I - Numerical simulation of the standard model. Astron. Astrophys. 54, 895–907.
[18] Brilliantov, N.V., Schmidt, J., Spahn, F., 2008. Geysers of Enceladus : Quantitative
analysis of qualitative models. Planet. Space Sci. 56, 1596–1606.
[19] Brown, R.H., Johnson, T.V., Synnott, S., Anderson, J.D., Jacobson, R.A., Dermott, S.F.,
Thomas, P.C., 1991. Physical properties of the Uranian satellites, in : Bergstralh, J. T.,
Miner, E. D., & Matthews, M. S. (Ed.), Uranus, pp. 513–527.
[20] Burns, J.A., 1977. Orbital evolution, in : Burns, J. A. (Ed.), IAU Colloq. 28 : Planetary
Satellites, pp. 113–156.
[21] Burns, J.A., 1981. Planetary Rings, in : Beatty, J. K., Oleary, B., & Chaikin, A. (Ed.),
The New Solar System, pp. 129–142.
[22] Burns, J.A., Hamilton, D.P., Showalter, M.R., 2001. Dusty Rings and Circumplanetary
Dust : Observations and Simple Physics, in : Grün, E., Gustafson, B. A. S., Dermott,
S., & Fechtig, H. (Ed.), Interplanetary Dust. Springer, Berlin, pp. 641–725.
[23] Burns, J.A., Schaffer, L.E., Greenberg, R.J., Showalter, M.R., 1985. Lorentz resonances
and the structure of the Jovian ring. Nature 316, 115–119.
[24] Burns, J.A., Showalter, M.R., Hamilton, D.P., Nicholson, P.D., de Pater, I., Ockert-Bell,
M.E., Thomas, P.C., 1999. The Formation of Jupiter’s Faint Rings. Science 284, 1146–
1150.
[25] Burns, J.A., Simonelli, D.P., Showalter, M.R., Hamilton, D.P., Porco, C.D., Throop, H.,
Esposito, L.W., 2004. Jupiter’s ring-moon system, in : Bagenal, F., Dowling, T. E.,
& McKinnon, W. B. (Ed.), Jupiter. The Planet, Satellites and Magnetosphere, pp.
241–262.
[26] Campbell, J.K., Anderson, J.D., 1989. Gravity field of the Saturnian system from Pioneer
and Voyager tracking data. Astron. J. 97, 1485–1495.
[27] Canup, R.M., 2005. A Giant Impact Origin of Pluto-Charon. Science 307, 546–550.
[28] Canup, R.M., Esposito, L.W., 1995. Accretion in the Roche zone : Coexistence of rings
and ring moons. Icarus 113, 331–352.
[29] Canup, R.M., Ward, W.R., 2002. Formation of the Galilean Satellites : Conditions of
Accretion. Astron. J. 124, 3404–3423.
210
Bibliographie
[30] Canup, R.M., Ward, W.R., 2006. A common mass scaling for satellite systems of gaseous
planets. Nature 441, 834–839.
[31] Canup, R.M., Ward, W.R., 2009. Origin of Europa and the Galilean Satellites, in :
Pappalardo, R. T., McKinnon, W. B., & Khurana, K. K. (Ed.), Europa. University of
Arizona Press, Tucson, pp. 59–+.
[32] Cassen, P., Moosman, A., 1981. On the formation of protostellar disks. Icarus 48, 353–376.
[33] Castillo-Rogez, J.C., Matson, D.L., Sotin, C., Johnson, T.V., Lunine, J.I., Thomas, P.C.,
2007. Iapetus’ geophysics : Rotation rate, shape, and equatorial ridge. Icarus 190,
179–202.
[34] Chandrasekhar, S., 1960. Principles of stellar dynamics. Dover Publications Inc.
[35] Charnoz, S., 2009. Physical collisions of moonlets and clumps with the Saturn’s F-ring
core. Icarus 201, 191–197.
[36] Charnoz, S., Brahic, A., Thomas, P.C., Porco, C.C., 2007. The Equatorial Ridges of Pan
and Atlas : Terminal Accretionary Ornaments ? Science 318, 1622–1624.
[37] Charnoz, S., Dones, L., Esposito, L.W., Estrada, P.R., Hedman, M.M., 2009a. Origin and
Evolution of Saturn’s Ring System, in : Dougherty, M. K., Esposito, L. W., & Krimigis,
S. M. (Ed.), Saturn from Cassini-Huygens, pp. 537–573.
[38] Charnoz, S., Morbidelli, A., 2007. Coupling dynamical and collisional evolution of small
bodies. II. Forming the Kuiper belt, the Scattered Disk and the Oort Cloud. Icarus
188, 468–480. arXiv:astro-ph/0609807.
[39] Charnoz, S., Morbidelli, A., Dones, L., Salmon, J., 2009b. Did Saturn’s rings form during
the Late Heavy Bombardment ? Icarus 199, 413–428.
[40] Charnoz, S., Porco, C.C., Déau, E., Brahic, A., Spitale, J.N., Bacques, G., Baillie, K.,
2005. Cassini Discovers a Kinematic Spiral Ring Around Saturn. Science 310, 1300–
1304.
[41] Cheng, A.F., Haff, P.K., Johnson, R.E., Lanzerotti, L.J., 1986. Interactions of planetary
magnetospheres with icy satellite surfaces, in : Burns, J. A. & Matthews, M. S. (Ed.),
IAU Colloq. 77 : Some Background about Satellites, pp. 403–436.
[42] Colombo, G., Franklin, F.A., 1971. On the formation of the outer satellite groups of
Jupiter. Icarus 15, 186–189.
[43] Colwell, J.E., 1994. The disruption of planetary satellites and the creation of planetary
rings. Planet. Space Sci. 42, 1139–1149.
[44] Colwell, J.E., Esposito, L.W., 1990. A model of dust production in the Neptune ring
system. Geophys. Res. Lett. 17, 1741–1744.
211
Bibliographie
[45] Coradini, A., Capaccioni, F., Cerroni, P., Filacchione, G., Magni, G., Orosei, R., Tosi,
F., Turrini, D., 2009. Saturn Satellites as Seen by Cassini Mission. Earth Moon and
Planets 105, 289–310.
[46] Ćuk, M., Burns, J.A., 2004. Gas-drag-assisted capture of Himalia’s family. Icarus 167,
369–381.
[47] Cuzzi, J., Clark, R., Filacchione, G., French, R., Johnson, R., Marouf, E., Spilker, L.,
2009. Ring Particle Composition and Size Distribution, in : Dougherty, M. K., Esposito,
L. W., & Krimigis, S. M. (Ed.), Saturn from Cassini-Huygens, pp. 459–509.
[48] Cuzzi, J.N., Burns, J.A., Durisen, R.H., Hamill, P.M., 1979a. The vertical structure and
thickness of Saturn’s rings. Nature 281, 202–204.
[49] Cuzzi, J.N., Dobrovolskis, A.R., Champney, J.M., 1993. Particle-gas dynamics in the
midplane of a protoplanetary nebula. Icarus 106, 102–134.
[50] Cuzzi, J.N., Durisen, R.H., 1990. Bombardment of planetary rings by meteoroids - General
formulation and effects of Oort Cloud projectiles. Icarus 84, 467–501.
[51] Cuzzi, J.N., Durisen, R.H., Burns, J.A., Hamill, P., 1979b. The vertical structure and
thickness of Saturn’s rings. Icarus 38, 54–68.
[52] Cuzzi, J.N., Estrada, P.R., 1998. Compositional Evolution of Saturn’s Rings Due to
Meteoroid Bombardment. Icarus 132, 1–35.
[53] Daisaka, H., Ida, S., 1999. Spatial structure and coherent motion in dense planetary rings
induced by self-gravitational instability. Earth, Planets, and Space 51, 1195–1213.
[54] Daisaka, H., Tanaka, H., Ida, S., 2001. Viscosity in a Dense Planetary Ring with SelfGravitating Particles. Icarus 154, 296–312.
[55] Davidsson, B.J.R., 1999. Tidal Splitting and Rotational Breakup of Solid Spheres. Icarus
142, 525–535.
[56] de Pater, I., Gibbard, S.G., Chiang, E., Hammel, H.B., Macintosh, B., Marchis, F., Martin,
S.C., Roe, H.G., Showalter, M., 2005. The dynamic neptunian ring arcs : evidence for
a gradual disappearance of Liberté and resonant jump of courage. Icarus 174, 263–272.
[57] de Pater, I., Hammel, H.B., Gibbard, S.G., Showalter, M.R., 2006. New Dust Belts of
Uranus : One Ring, Two Ring, Red Ring, Blue Ring. Science 312, 92–94.
[58] de Pater, I., Lissauer, J.J., 2002. Planetary Sciences. Cambridge University Press.
[59] de Vaucouleurs, G., 1959. Classification and Morphology of External Galaxies. Handbuch
der Physik 53, 275–+.
[60] Delsanti, A., Jewitt, D., 2006. The Solar System Beyond The Planets, in : Blondel, P. &
Mason, J. (Ed.), Solar System Update. Springer, pp. 267–294.
212
Bibliographie
[61] Denk, T., Neukum, G., Schmedemann, N., Roatsch, T., Wagner, R.J., Giese, B., Perry,
J.E., Helfenstein, P., Turtle, E.P., Porco, C.C., 2008. Iapetus Imaging During the
Targeted Flyby of the Cassini Spacecraft, in : Lunar and Planetary Institute Science
Conference Abstracts, pp. 2533–2534.
[62] Dermott, S.F., Malhotra, R., Murray, C.D., 1988. Dynamics of the Uranian and Saturnian
satellite systems - A chaotic route to melting Miranda ? Icarus 76, 295–334.
[63] Di Folco, E., Thévenin, F., Kervella, P., Domiciano de Souza, A., Coudé du Foresto, V.,
Ségransan, D., Morel, P., 2004. VLTI near-IR interferometric observations of Vega-like
stars. Radius and age of α PsA, β Leo, β Pic, ǫ Eri and τ Cet. Astron. Astrophys. 426,
601–617.
[64] Dobrovolskis, A.R., 1990. Tidal disruption of solid bodies. Icarus 88, 24–38.
[65] Dones, H.C., Agnor, C.B., Asphaug, E., 2007. Formation of Saturn’s Rings by Tidal
Disruption of a Centaur, in : Bulletin of the American Astronomical Society, pp. 420–
+.
[66] Dones, L., 1991. A recent cometary origin for Saturn’s rings ? Icarus 92, 194–203.
[67] Dumas, C., Terrile, R.J., Smith, B.A., Schneider, G., Becklin, E.E., 1999. Stability of
Neptune’s ring arcs in question. Nature 400, 733–735.
[68] Elliot, J.L., Dunham, E., Mink, D., 1977. The rings of Uranus. Nature 267, 328–330.
[69] Esposito, L.W., 2002. Planetary rings. Reports on Progress in Physics 65, 1741–1783.
[70] Esposito, L.W., Colwell, J.E., 1989. Creation of the Uranus rings and dust bands. Nature
339, 605–607.
[71] Esposito, L.W., Elliott, J.P., 2007. Regolith Growth and Pollution on Saturn’s Moons
and Ring Particles, in : Bulletin of the American Astronomical Society, pp. 421–+.
[72] Esposito, L.W., Harris, C.C., Simmons, K.E., 1987. Features in Saturn’s rings. Astrophys.
J. Suppl. Ser. 63, 749–770.
[73] Esposito, L.W., Ocallaghan, M., Simmons, K.E., Hord, C.W., West, R.A., Lane, A.L.,
Pomphrey, R.B., Coffeen, D.L., Sato, M., 1983a. Voyager photopolarimeter stellar
occultation of Saturn’s rings. J. Geophys. Res. 88, 8643–8649.
[74] Esposito, L.W., Ocallaghan, M., West, R.A., 1983b. The structure of Saturn’s rings Implications from the Voyager stellar occultation. Icarus 56, 439–452.
[75] Estrada, P.R., Mosqueira, I., 2006. A gas-poor planetesimal capture model for the formation of giant planet satellite systems. Icarus 181, 486–509.
[76] Estrada, P.R., Mosqueira, I., Lissauer, J.J., D’Angelo, G., Cruikshank, D.P., 2008. Formation of Jupiter and Conditions for Accretion of the Galilean Satellites, in : "Pappalardo,
R. T., McKinnon, W. B., & Khurana, K. K." (Ed.), Europa. University of Arizona
Press, Tucson, pp. 27–+.
213
Bibliographie
[77] Farinella, P., Davis, D.R., 1992. Collision rates and impact velocities in the Main Asteroid
Belt. Icarus 97, 111–123.
[78] Fernández, Y.R., Jewitt, D.C., Sheppard, S.S., 2002. Thermal Properties of Centaurs
Asbolus and Chiron. Astron. J. 123, 1050–1055.
[79] Ferrari, C., Brooks, S., Edgington, S., Leyrat, C., Pilorz, S., Spilker, L., 2009. Structure of
self-gravity wakes in Saturn’s A ring as measured by Cassini CIRS. Icarus 199, 145–153.
[80] Forgan, D., Rice, K., Cossins, P., Lodato, G., 2011. The Nature of Angular Momentum
Transport in Radiative Self-Gravitating Protostellar Discs. Mon. Not. R. Astron. Soc.
410, 994–1006.
[81] Giese, B., Denk, T., Neukum, G., Roatsch, T., Helfenstein, P., Thomas, P.C., Turtle, E.P.,
McEwen, A., Porco, C.C., 2008. The topography of Iapetus’ leading side. Icarus 193,
359–371.
[82] Gladman, B., Duncan, M., 1990. On the fates of minor bodies in the outer solar system.
Astron. J. 100, 1680–1693.
[83] Gladman, B., Kavelaars, J.J., Holman, M., Nicholson, P.D., Burns, J.A., Hergenrother,
C.W., Petit, J., Marsden, B.G., Jacobson, R., Gray, W., Grav, T., 2001a. Discovery of
12 satellites of Saturn exhibiting orbital clustering. Nature 412, 163–166.
[84] Gladman, B., Kavelaars, J.J., Petit, J., Morbidelli, A., Holman, M.J., Loredo, T., 2001b.
The Structure of the Kuiper Belt : Size Distribution and Radial Extent. Astron. J. 122,
1051–1066.
[85] Goldreich, P., Lynden-Bell, D., 1965. II. Spiral arms as sheared gravitational instabilities.
[86] Goldreich, P., Murray, N., Longaretti, P.Y., Banfield, D., 1989. Neptune’s story. Science
245, 500–504.
[87] Goldreich, P., Tremaine, S., 1979a. The excitation of density waves at the Lindblad and
corotation resonances by an external potential. Astrophys. J. 233, 857–871.
[88] Goldreich, P., Tremaine, S., 1979b. Towards a theory for the Uranian rings. Nature 277,
97–99.
[89] Goldreich, P., Tremaine, S., 1980. Disk-satellite interactions. Astrophys. J. 241, 425–441.
[90] Goldreich, P., Tremaine, S., 1982. The dynamics of planetary rings. Annu. Rev. Astron.
Astrophys. 20, 249–283.
[91] Goldreich, P., Tremaine, S., Borderies, N., 1986. Towards a theory for Neptune’s arc rings.
Astron. J. 92, 490–494.
[92] Goldreich, P., Tremaine, S.D., 1978a. The formation of the Cassini division in Saturn’s
rings. Icarus 34, 240–253.
214
Bibliographie
[93] Goldreich, P., Tremaine, S.D., 1978b. The velocity dispersion in Saturn’s rings. Icarus
34, 227–239.
[94] Goldreich, P., Ward, W.R., 1973. The Formation of Planetesimals. Astrophys. J. 183,
1051–1062.
[95] Gomes, R., Levison, H.F., Tsiganis, K., Morbidelli, A., 2005. Origin of the cataclysmic
Late Heavy Bombardment period of the terrestrial planets. Nature 435, 466–469.
[96] Gott, III, J.R., Jurić, M., Schlegel, D., Hoyle, F., Vogeley, M., Tegmark, M., Bahcall, N.,
Brinkmann, J., 2005. A Map of the Universe. Astrophys. J. 624, 463–484.
[97] Grav, T., Bauer, J., 2007. A deeper look at the colors of the saturnian irregular satellites.
Icarus 191, 267–285.
[98] Grav, T., Holman, M.J., Fraser, W.C., 2004. Photometry of Irregular Satellites of Uranus
and Neptune. Astrophys. J. Lett. 613, L77–L80.
[99] Greaves, J.S., Wyatt, M.C., Holland, W.S., Dent, W.R.F., 2004. The debris disc around τ
Ceti : a massive analogue to the Kuiper Belt. Mon. Not. R. Astron. Soc. 351, L54–L58.
[100] Greenberg, R., Hartmann, W.K., Chapman, C.R., Wacker, J.F., 1978. Planetesimals to
planets - Numerical simulation of collisional evolution. Icarus 35, 1–26.
[101] Hahn, J.M., Spitale, J.N., Porco, C.C., 2009. Dynamics of the Sharp Edges of Broad
Planetary Rings. Astrophys. J. 699, 686–710.
[102] Haisch, Jr., K.E., Lada, E.A., Lada, C.J., 2001. Disk Frequencies and Lifetimes in Young
Clusters. Astrophys. J. Lett. 553, L153–L156.
[103] Harris, A.W., 1984. The origin and evolution of planetary rings, in : R. Greenberg &
A. Brahic (Ed.), IAU Colloq. 75 : Planetary rings, pp. 641–659.
[104] Hedman, M.M., Burns, J.A., Tiscareno, M.S., Porco, C.C., Jones, G.H., Roussos, E.,
Krupp, N., Paranicas, C., Kempf, S., 2007. The Source of Saturn’s G Ring. Science
317, 653–656.
[105] Hedman, M.M., Nicholson, P.D., Showalter, M.R., Brown, R.H., Buratti, B.J., Clark,
R.N., 2009. Spectral Observations of the Enceladus Plume with Cassini-Vims. Astrophys. J. 693, 1749–1762.
[106] Heppenheimer, T.A., Porco, C., 1977. New contributions to the problem of capture. Icarus
30, 385–401.
[107] Hetfield, J., Ulrich, L., Hammett, K., Rock, B., 2003. Frantic, in : St. Anger.
[108] Hillier, J.K., Green, S.F., McBride, N., Schwanethal, J.P., Postberg, F., Srama, R., Kempf,
S., Moragas-Klostermeyer, G., McDonnell, J.A.M., Grün, E., 2007. The composition of
Saturn’s E ring. Mon. Not. R. Astron. Soc. 377, 1588–1596.
215
Bibliographie
[109] Hämeen-Anttila, K.A., 1984. Collisional theory of non-identical particles in a gravitational
field. Earth Moon and Planets 31, 271–299.
[110] Holman, M.J., Kavelaars, J.J., Grav, T., Gladman, B.J., Fraser, W.C., Milisavljevic, D.,
Nicholson, P.D., Burns, J.A., Carruba, V., Petit, J., Rousselot, P., Mousis, O., Marsden,
B.G., Jacobson, R.A., 2004. Discovery of five irregular moons of Neptune. Nature 430,
865–867.
[111] Holsapple, K.A., Michel, P., 2008. Tidal disruptions. II. A continuum theory for solid
bodies with strength, with applications to the Solar System. Icarus 193, 283–301.
[112] Hubbard, W.B., Brahic, A., Bouchet, P., Elicer, L., Haefner, R., Manfroid, J., Roques,
F., Sicardy, B., Vilas, F., 1985. Occultation detection of a Neptune ring segment. LPI
Contributions 559, 35–37.
[113] Hubble, E., 1926. No. 324. Extra-galactic nebulae. Contributions from the Mount Wilson
Observatory / Carnegie Institution of Washington 324, 1–49.
[114] Hubickyj, O., Bodenheimer, P., Lissauer, J.J., 2005. Accretion of the gaseous envelope of
Jupiter around a 5 10 Earth-mass core. Icarus 179, 415–431.
[115] Hussmann, H., Sohl, F., Spohn, T., 2006. Subsurface oceans and deep interiors of mediumsized outer planet satellites and large trans-neptunian objects. Icarus 185, 258–273.
[116] Jacobson, R.A., Campbell, J.K., Taylor, A.H., Synnott, S.P., 1992. The masses of Uranus
and its major satellites from Voyager tracking data and earth-based Uranian satellite
data. Astron. J. 103, 2068–2078.
[117] Jeffreys, H., 1947. The relation of cohesion to Roche’s limit. Mon. Not. R. Astron. Soc.
107, 260–272.
[118] Jewitt, D., Haghighipour, N., 2007. Irregular Satellites of the Planets : Products of
Capture in the Early Solar System. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 45, 261–295.
[119] Jewitt, D.C., Danielson, G.E., 1981. The Jovian ring. J. Geophys. Res. 86, 8691–8697.
[120] Jones, G.H., Roussos, E., Krupp, N., Beckmann, U., Coates, A.J., Crary, F., Dandouras,
I., Dikarev, V., Dougherty, M.K., Garnier, P., Hansen, C.J., Hendrix, A.R., Hospodarsky, G.B., Johnson, R.E., Kempf, S., Khurana, K.K., Krimigis, S.M., Krüger, H.,
Kurth, W.S., Lagg, A., McAndrews, H.J., Mitchell, D.G., Paranicas, C., Postberg, F.,
Russell, C.T., Saur, J., Seiß, M., Spahn, F., Srama, R., Strobel, D.F., Tokar, R., Wahlund, J., Wilson, R.J., Woch, J., Young, D., 2008. The Dust Halo of Saturn’s Largest
Icy Moon, Rhea. Science 319, 1380–1384.
[121] Julian, W.H., Toomre, A., 1966. Non-Axisymmetric Responses of Differentially Rotating
Disks of Stars. Astrophys. J. 146, 810–830.
[122] Karjalainen, R., 2007. Aggregate impacts in Saturn’s rings. Icarus 189, 523–537.
216
Bibliographie
[123] Karjalainen, R., Salo, H., 2004. Gravitational accretion of particles in Saturn’s rings.
Icarus 172, 328–348.
[124] Karkoschka, E., 2001. Photometric Modeling of the Epsilon Ring of Uranus and Its
Spacing of Particles. Icarus 151, 78–83.
[125] Kempf, S., Beckmann, U., Moragas-Klostermeyer, G., Postberg, F., Srama, R., Economou,
T., Schmidt, J., Spahn, F., Grün, E., 2008. The E ring in the vicinity of Enceladus. I.
Spatial distribution and properties of the ring particles. Icarus 193, 420–437.
[126] Kilmister, L., Campbell, P., Dee, M., Wüters, 1993. Born to raise hell, in : Bastards.
[127] Kokubo, E., Ida, S., Makino, J., 2000. Evolution of a Circumterrestrial Disk and Formation
of a Single Moon. Icarus 148, 419–436.
[128] Kortenkamp, S.J., 2005. An efficient, low-velocity, resonant mechanism for capture of
satellites by a protoplanet. Icarus 175, 409–418.
[129] Kuiper, G.P., 1951. On the Origin of the Solar System, in : J. A. Hynek (Ed.), 50th
Anniversary of the Yerkes Observatory and Half a Century of Progress in Astrophysics,
pp. 357–414.
[130] Lane, A.L., West, R.A., Nelson, R.M., Wallis, B.D., Buratti, B.J., Horn, L.J., Hord, C.W.,
Esposito, L.W., Simmons, K.E., Graps, A.L., 1986. Photometry from Voyager 2 - Initial
results from the Uranian atmosphere, satellites, and rings. Science 233, 65–70.
[131] Laughlin, G., Bodenheimer, P., 1994. Nonaxisymmetric evolution in protostellar disks.
Astrophys. J. 436, 335–354.
[132] Levison, H.F., Duncan, M.J., Zahnle, K., Holman, M., Dones, L., 2000. Planetary Impact
Rates from Ecliptic Comets. Icarus 143, 415–420.
[133] Lin, D.N.C., Papaloizou, J., 1979. On the structure of circumbinary accretion disks and
the tidal evolution of commensurable satellites. Mon. Not. R. Astron. Soc. 188, 191–201.
[134] Lin, D.N.C., Pringle, J.E., 1987. A viscosity prescription for a self-gravitating accretion
disc. Mon. Not. R. Astron. Soc. 225, 607–613.
[135] Lissauer, J.J., 1985. Shepherding model for Neptune’s arc ring. Nature 318, 544–545.
[136] Lissauer, J.J., Cuzzi, J.N., 1982. Resonances in Saturn’s rings. Astron. J. 87, 1051–1058.
[137] Lissauer, J.J., Hubickyj, O., D’Angelo, G., Bodenheimer, P., 2009. Models of Jupiter’s
growth incorporating thermal and hydrodynamic constraints. Icarus 199, 338–350.
[138] Lissauer, J.J., Squyres, S.W., Hartmann, W.K., 1988. Bombardment history of the Saturn
system. J. Geophys. Res. 93, 13776–13804.
[139] Longaretti, P., 1989. Saturn’s main ring particle size distribution - an analytic approach.
Icarus 81, 51–73.
217
Bibliographie
[140] Lunine, J.I., Stevenson, D.J., 1982. Formation of the Galilean satellites in a gaseous
nebula. Icarus 52, 14–39.
[141] Lynden-Bell, D., Kalnajs, A.J., 1972. On the generating mechanism of spiral structure.
[142] Lynden-Bell, D., Pringle, J.E., 1974. The evolution of viscous discs and the origin of the
nebular variables. Mon. Not. R. Astron. Soc. 168, 603–637.
[143] Marley, M.S., Porco, C.C., 1993. Planetary acoustic mode seismology - Saturn’s rings.
Icarus 106, 508–524.
[144] McKinnon, W.B., 2006. Formation Time of the Galilean Satellites from Callisto’s State
of Partial Differentiation, in : S. Mackwell & E. Stansbery (Ed.), 37th Annual Lunar
and Planetary Science Conference, pp. 2444–2445.
[145] Meier, R., Smith, B.A., Owen, T.C., Becklin, E.E., Terrile, R.J., 1999. Near Infrared
Photometry of the Jovian Ring and Adrastea. Icarus 141, 253–262.
[146] Melosh, H.J., 1989. Impact cratering : A geologic process. Oxford Univ. Press, New York.
[147] Mercury, F., Deacon, J., May, B., Taylor, R., 1975. Bohemian Rhapsody, in : A night at
the Opera.
[148] Meyer-Vernet, N., Sicardy, B., 1987. On the physics of resonant disk-satellite interaction.
Icarus 69, 157–175.
[149] Millis, R.L., Wasserman, L.H., 1978. The occultation of BD -15 deg 3969 by the rings of
Uranus. Astron. J. 83, 993–998.
[150] Miner, E.D., Wessen, R.R., Cuzzi, J.N., 2007. Planetary Ring Systems. Springer Praxis.
[151] Moore, J.M., Schenk, P.M., Bruesch, L.S., Asphaug, E., McKinnon, W.B., 2004. Large
impact features on middle-sized icy satellites. Icarus 171, 421–443.
[152] Morbidelli, A., Brown, M.E., 2004. The kuiper belt and the primordial evolution of the
solar system, in : Festou, M. C., Keller, H. U., & Weaver, H. A. (Ed.), Comets II, pp.
175–191.
[153] Morrissey, Joyce, M., Marr, J., Rourke, A., 1984. These things take time, in : What
difference does it make ?
[154] Mosqueira, I., Estrada, P.R., 2003a. Formation of the regular satellites of giant planets
in an extended gaseous nebula I : subnebula model and accretion of satellites. Icarus
163, 198–231.
[155] Mosqueira, I., Estrada, P.R., 2003b. Formation of the regular satellites of giant planets in
an extended gaseous nebula II : satellite migration and survival. Icarus 163, 232–255.
218
Bibliographie
[156] Mundy, L.G., Looney, L.W., Welch, W.J., 2000. The Structure and Evolution of Envelopes and Disks in Young Stellar Systems, in : Mannings, V., Boss, A. P. , & Russell,
S. S. (Ed.), Protostars and Planets IV. University of Arizona Press, pp. 355–376.
[157] Murray, C.D., Dermott, S.F., 1999. Solar system dynamics. Cambridge University Press.
[158] Nakagawa, Y., Sekiya, M., Hayashi, C., 1986. Settling and growth of dust particles in a
laminar phase of a low-mass solar nebula. Icarus 67, 375–390.
[159] Namouni, F., Porco, C., 2002. The confinement of Neptune’s ring arcs by the moon
Galatea. Nature 417, 45–47.
[160] Neukum, G., Wagner, R.J., Denk, T., Porco, C.C., The Cassini Iss Team, 2005. The
Cratering Record of the Saturnian Satellites Phoebe, Tethys, Dione and Iapetus in
Comparison : First Results from Analysis of the Cassini ISS Imaging Data, in : S. Mackwell & E. Stansbery (Ed.), 36th Annual Lunar and Planetary Science Conference, pp.
2034–2035.
[161] Nicholson, P.D., French, R.G., Campbell, D.B., Margot, J., Nolan, M.C., Black, G.J.,
Salo, H.J., 2005. Radar imaging of Saturn’s rings. Icarus 177, 32–62.
[162] Nicholson, P.D., Hedman, M.M., Clark, R.N., Showalter, M.R., Cruikshank, D.P., Cuzzi,
J.N., Filacchione, G., Capaccioni, F., Cerroni, P., Hansen, G.B., Sicardy, B., Drossart,
P., Brown, R.H., Buratti, B.J., Baines, K.H., Coradini, A., 2008. A close look at Saturn’s
rings with Cassini VIMS. Icarus 193, 182–212.
[163] Ockert-Bell, M.E., Burns, J.A., Daubar, I.J., Thomas, P.C., Veverka, J., Belton, M.J.S.,
Klaasen, K.P., 1999. The Structure of Jupiter’s Ring System as Revealed by the Galileo
Imaging Experiment. Icarus 138, 188–213.
[164] Ohtsuki, K., 1992. Equilibrium velocities in planetary rings with low optical depth. Icarus
95, 265–282.
[165] Ohtsuki, K., 1999. Evolution of Particle Velocity Dispersion in a Circumplanetary Disk
Due to Inelastic Collisions and Gravitational Interactions. Icarus 137, 152–177.
[166] Ohtsuki, K., Emori, H., 2000. Local N-Body Simulations for the Distribution and Evolution of Particle Velocities in Planetary Rings. Astron. J. 119, 403–416.
[167] Papaloizou, J.C.B., Nelson, R.P., 2003. The interaction of a giant planet with a disc with
MHD turbulence - I. The initial turbulent disc models. Mon. Not. R. Astron. Soc. 339,
983–992.
[168] Peale, S.J., 2003. Tidally Induced Volcanism. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 87, 129–155.
[169] Peebles, P.J., Ratra, B., 2003. The cosmological constant and dark energy. Reviews of
Modern Physics 75, 559–606.
219
Bibliographie
[170] Petit, J., Henon, M., 1987. A numerical simulation of planetary rings. I - Binary encounters. Astron. Astrophys. 173, 389–404.
[171] Pollack, J.B., 1975. The rings of Saturn. Space Sci. Rev. 18, 3–93.
[172] Pollack, J.B., Burns, J.A., Tauber, M.E., 1979. Gas drag in primordial circumplanetary
envelopes - A mechanism for satellite capture. Icarus 37, 587–611.
[173] Pollack, J.B., Consolmagno, G., 1984. Origin and evolution of the Saturn system, in :
Gehrels, T. & Matthews, M. S. (Ed.), Saturn, pp. 811–866.
[174] Pollack, J.B., Grossman, A.S., Moore, R., Graboske, Jr., H.C., 1976. The formation of
Saturn’s satellites and rings, as influenced by Saturn’s contraction history. Icarus 29,
35–48.
[175] Pollack, J.B., Grossman, A.S., Moore, R., Graboske, Jr., H.C., 1977. A calculation of
Saturn’s gravitational contraction history. Icarus 30, 111–128.
[176] Pollack, J.B., Lunine, J.I., Tittemore, W.C., 1991. Origin of the Uranian satellites, in :
Bergstralh, J. T., Miner, E. D., & Matthews, M. S. (Ed.), Uranus, pp. 469–512.
[177] Pollack, J.B., Reynolds, R.T., 1974. Implications of Jupiter’s Early Contraction History
for the Composition of the Galilean Satellites. Icarus 21, 248–253.
[178] Pollack, J.B., Summers, A., Baldwin, B., 1973. Estimates of the sizes of the particles in
the rings of Saturn and their cosmogonic implications. Icarus 20, 263–278.
[179] Porco, C.C., 1991. An explanation for Neptune’s ring arcs. Science 253, 995–1001.
[180] Porco, C.C., Baker, E., Barbara, J., Beurle, K., Brahic, A., Burns, J.A., Charnoz, S.,
Cooper, N., Dawson, D.D., Del Genio, A.D., Denk, T., Dones, L., Dyudina, U., Evans,
M.W., Fussner, S., Giese, B., Grazier, K., Helfenstein, P., Ingersoll, A.P., Jacobson,
R.A., Johnson, T.V., McEwen, A., Murray, C.D., Neukum, G., Owen, W.M., Perry, J.,
Roatsch, T., Spitale, J., Squyres, S., Thomas, P., Tiscareno, M., Turtle, E.P., Vasavada,
A.R., Veverka, J., Wagner, R., West, R., 2005a. Imaging of Titan from the Cassini
spacecraft. Nature 434, 159–168.
[181] Porco, C.C., Baker, E., Barbara, J., Beurle, K., Brahic, A., Burns, J.A., Charnoz, S.,
Cooper, N., Dawson, D.D., Del Genio, A.D., Denk, T., Dones, L., Dyudina, U., Evans,
M.W., Giese, B., Grazier, K., Helfenstein, P., Ingersoll, A.P., Jacobson, R.A., Johnson,
T.V., McEwen, A., Murray, C.D., Neukum, G., Owen, W.M., Perry, J., Roatsch, T.,
Spitale, J., Squyres, S., Thomas, P.C., Tiscareno, M., Turtle, E., Vasavada, A.R., Veverka, J., Wagner, R., West, R., 2005b. Cassini Imaging Science : Initial Results on
Phoebe and Iapetus. Science 307, 1237–1242.
[182] Porco, C.C., Goldreich, P., 1987. Shepherding of the Uranian rings. I - Kinematics. II Dynamics. Astron. J. 93, 724–737.
220
Bibliographie
[183] Porco, C.C., Helfenstein, P., Thomas, P.C., Ingersoll, A.P., Wisdom, J., West, R., Neukum, G., Denk, T., Wagner, R., Roatsch, T., Kieffer, S., Turtle, E., McEwen, A., Johnson, T.V., Rathbun, J., Veverka, J., Wilson, D., Perry, J., Spitale, J., Brahic, A., Burns,
J.A., Del Genio, A.D., Dones, L., Murray, C.D., Squyres, S., 2006. Cassini Observes
the Active South Pole of Enceladus. Science 311, 1393–1401.
[184] Porco, C.C., Thomas, P.C., Weiss, J.W., Richardson, D.C., 2007. Saturn’s Small Inner
Satellites : Clues to Their Origins. Science 318, 1602–1607.
[185] Postberg, F., Kempf, S., Hillier, J.K., Srama, R., Green, S.F., McBride, N., Grün, E.,
2008. The E-ring in the vicinity of Enceladus. II. Probing the moon’s interior - The
composition of E-ring particles. Icarus 193, 438–454.
[186] Poulet, F., Cruikshank, D.P., Cuzzi, J.N., Roush, T.L., French, R.G., 2003. Compositions of Saturn’s rings A, B, and C from high resolution near-infrared spectroscopic
observations. Astron. Astrophys. 412, 305–316.
[187] Poulet, F., Sicardy, B., 2001. Dynamical evolution of the Prometheus-Pandora system.
[188] Prendergast, K.H., Burbidge, G.R., 1968. On the Nature of Some Galactic X-Ray Sources.
Astrophys. J. Lett. 151, L83–L88.
[189] Pringle, J.E., 1981. Accretion discs in astrophysics. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 19,
137–162.
[190] Pringle, J.E., Rees, M.J., 1972. Accretion Disc Models for Compact X-Ray Sources.
Astron. Astrophys. 21, 1–9.
[191] Rice, W.K.M., Armitage, P.J., 2009. Time-dependent models of the structure and stability
of self-gravitating protoplanetary discs. Mon. Not. R. Astron. Soc. 396, 2228–2236.
[192] Richardson, D.C., 1994. Tree Code Simulations of Planetary Rings. Mon. Not. R. Astron.
Soc. 269, 493–511.
[193] Roche, E., 1847. La figure d’une masse fluide soumise à l’attraction d’un point éloigné, in :
des Sciences et Lettres de Montpellier, A. (Ed.), Mémoires de la section des sciences.
volume 1, pp. 243–262.
[194] Rodriguez, S., Le Mouélic, S., Rannou, P., Tobie, G., Baines, K.H., Barnes, J.W., Griffith,
C.A., Hirtzig, M., Pitman, K.M., Sotin, C., Brown, R.H., Buratti, B.J., Clark, R.N.,
Nicholson, P.D., 2009. Global circulation as the main source of cloud activity on Titan.
Nature 459, 678–682.
[195] Safronov, V.S., 1969. Evolution of the protoplanetary cloud and the formation of the
Earth and planets. Nauka , NASA TTF–667.
[196] Saha, P., Tremaine, S., 1993. The orbits of the retrograde Jovian satellites. Icarus 106,
549–562.
221
Bibliographie
[197] Salo, H., 1991. Numerical simulations of dense collisional systems. Icarus 90, 254–270.
[198] Salo, H., 1992a. Gravitational wakes in Saturn’s rings. Nature 359, 619–621.
[199] Salo, H., 1992b. Numerical simulations of dense collisional systems. II - Extended distribution of particle sizes. Icarus 96, 85–106.
[200] Salo, H., 1995. Simulations of dense planetary rings. III. Self-gravitating identical particles. Icarus 117, 287–312.
[201] Salo, H., Karjalainen, R., French, R.G., 2004. Photometric modeling of Saturn’s rings.
II. Azimuthal asymmetry in reflected and transmitted light. Icarus 170, 70–90.
[202] Salo, H., Lukkari, J., 1982. Self-gravitation in Saturn’s rings. Moon and Planets 27, 5–12.
[203] Salo, H., Schmidt, J., Spahn, F., 2001. Viscous Overstability in Saturn’s B Ring. I. Direct
Simulations and Measurement of Transport Coefficients. Icarus 153, 295–315.
[204] Sandage, A., 1975. Classification and Stellar Content of Galaxies Obtained from Direct
Photography, in : Sandage, A., Sandage, M., & Kristian, J. (Ed.), Galaxies and the
Universe. the University of Chicago Press, pp. 1–55.
[205] Schaffer, L., Burns, J.A., 1992. Lorentz resonances and the vertical structure of dusty
rings - Analytical and numerical results. Icarus 96, 65–84.
[206] Schenk, P.M., Moore, J.M., 2009. Eruptive Volcanism on Saturn’s Icy Moon Dione, in :
Lunar and Planetary Institute Science Conference Abstracts, pp. 2465–2466.
[207] Schmidt, J., Brilliantov, N., Spahn, F., Kempf, S., 2008. Slow dust in Enceladus’ plume
from condensation and wall collisions in tiger stripe fractures. Nature 451, 685–688.
[208] Schubert, G., Anderson, J.D., Travis, B.J., Palguta, J., 2007. Enceladus : Present internal
structure and differentiation by early and long-term radiogenic heating. Icarus 188,
345–355.
[209] Shakura, N.I., Sunyaev, R.A., 1973. Black holes in binary systems. Observational appearance. Astron. Astrophys. 24, 337–355.
[210] Sheppard, S.S., Jewitt, D., Kleyna, J., 2005. An Ultradeep Survey for Irregular Satellites
of Uranus : Limits to Completeness. Astron. J. 129, 518–525.
[211] Shklovsky, I.S., 1967. On the Nature of the Source of X-Ray Emission of SCO XR-1.
[212] Showalter, M.R., Burns, J.A., Cuzzi, J.N., Pollack, J.B., 1987. Jupiter’s ring system New results on structure and particle properties. Icarus 69, 458–498.
[213] Showalter, M.R., Burns, J.A., de Pater, I., Hamilton, D.P., Lissauer, J.J., Verbanac, G.,
2005. Updates on the Dusty Rings of Jupiter, Uranus and Neptune. LPI Contributions
1280, 130–131.
222
Bibliographie
[214] Showalter, M.R., Lissauer, J.J., 2006. The Second Ring-Moon System of Uranus : Discovery and Dynamics. Science 311, 973–977.
[215] Shu, F.H., Stewart, G.R., 1985. The collisional dynamics of particulate disks. Icarus 62,
360–383.
[216] Shukhman, I.G., 1984. Collisional Dynamics of Particles in Saturn’s Rings. Soviet Astronomy 28, 574–585.
[217] Sicardy, B., Roddier, F., Roddier, C., Perozzi, E., Graves, J.E., Guyon, O., Northcott,
M.J., 1999. Images of Neptune’s ring arcs obtained by a ground-based telescope. Nature
400, 731–733.
[218] Sider, D., 1973. Anaxagoras on the Size of the Sun. Classical Philology 68, 128–129.
[219] Smith, B.A., Soderblom, L., Batson, R., Bridges, P., Inge, J., Masursky, H., Shoemaker,
E., Beebe, R., Boyce, J., Briggs, G., Bunker, A., Collins, S.A., Hansen, C.J., Johnson,
T.V., Mitchell, J.L., Terrile, R.J., Cook, A.F., Cuzzi, J., Pollack, J.B., Danielson, G.E.,
Ingersoll, A., Davies, M.E., Hunt, G.E., Morrison, D., Owen, T., Sagan, C., Veverka,
J., Strom, R., Suomi, V.E., 1982. A new look at the Saturn system : The Voyager 2
images. Science 215, 505–537.
[220] Smith, B.A., Soderblom, L., Beebe, R.F., Boyce, J.M., Briggs, G., Bunker, A., Collins,
S.A., Hansen, C., Johnson, T.V., Mitchell, J.L., Terrile, R.J., Carr, M.H., Cook, A.F.,
Cuzzi, J.N., Pollack, J.B., Danielson, G.E., Ingersoll, A.P., Davies, M.E., Hunt, G.E.,
Masursky, H., Shoemaker, E.M., Morrison, D., Owen, T., Sagan, C., Veverka, J., Strom,
R., Suomi, V.E., 1981. Encounter with Saturn - Voyager 1 imaging science results.
Science 212, 163–191.
[221] Smith, B.A., Soderblom, L.A., Banfield, D., Barnet, C., Beebe, R.F., Bazilevskii, A.T.,
Bollinger, K., Boyce, J.M., Briggs, G.A., Brahic, A., 1989. Voyager 2 at Neptune Imaging science results. Science 246, 1422–1449.
[222] Smith, B.A., Soderblom, L.A., Beebe, R., Bliss, D., Brown, R.H., Collins, S.A., Boyce,
J.M., Briggs, G.A., Brahic, A., Cuzzi, J.N., Morrison, D., 1986. Voyager 2 in the Uranian
system - Imaging science results. Science 233, 43–64.
[223] Smith, B.A., Soderblom, L.A., Johnson, T.V., Ingersoll, A.P., Collins, S.A., Shoemaker,
E.M., Hunt, G.E., Masursky, H., Carr, M.H., Davies, M.E., Cook, A.F., Boyce, J.M.,
Owen, T., Danielson, G.E., Sagan, C., Beebe, R.F., Veverka, J., McCauley, J.F., Strom,
R.G., Morrison, D., Briggs, G.A., Suomi, V.E., 1979. The Jupiter system through the
eyes of Voyager 1. Science 204, 951–957.
[224] Smith, B.A., Terrile, R.J., 1984. A circumstellar disk around Beta Pictoris. Science 226,
1421–1424.
[225] Spitale, J.N., Jacobson, R.A., Porco, C.C., Owen, Jr., W.M., 2006. The Orbits of Saturn’s
Small Satellites Derived from Combined Historic and Cassini Imaging Observations.
Astron. J. 132, 692–710.
223
Bibliographie
[226] Sremčević, M., Schmidt, J., Salo, H., Seiß, M., Spahn, F., Albers, N., 2007. A belt of
moonlets in Saturn’s A ring. Nature 449, 1019–1021.
[227] Stahler, S.W., Korycansky, D.G., Brothers, M.J., Touma, J., 1994. The early evolution
of protostellar disks. Astrophys. J. 431, 341–358.
[228] Stephens, D.C., Noll, K.S., 2006. Detection of Six Trans-Neptunian Binaries with NICMOS : A High Fraction of Binaries in the Cold Classical Disk. Astron. J. 131, 1142–1148.
[229] Stern, S.A., Colwell, J.E., 1997. Collisional Erosion in the Primordial Edgeworth-Kuiper
Belt and the Generation of the 30-50 AU Kuiper Gap. Astrophys. J. 490, 879–882.
[230] Stevenson, D.J., 1984. Composition, structure and evolution of Uranian and Neptunian
satellites, in : J. T. Bergstralh (Ed.), NASA Conference Publication, pp. 405–423.
[231] Stewart, G.R., Lin, D.N.C., Bodenheimer, P., 1984. Collision-induced transport processes
in planetary rings, in : R. Greenberg & A. Brahic (Ed.), IAU Colloq. 75 : Planetary
Rings, pp. 447–512.
[232] Stofan, E.R., Elachi, C., Lunine, J.I., Lorenz, R.D., Stiles, B., Mitchell, K.L., Ostro, S.,
Soderblom, L., Wood, C., Zebker, H., Wall, S., Janssen, M., Kirk, R., Lopes, R., Paganelli, F., Radebaugh, J., Wye, L., Anderson, Y., Allison, M., Boehmer, R., Callahan,
P., Encrenaz, P., Flamini, E., Francescetti, G., Gim, Y., Hamilton, G., Hensley, S.,
Johnson, W.T.K., Kelleher, K., Muhleman, D., Paillou, P., Picardi, G., Posa, F., Roth,
L., Seu, R., Shaffer, S., Vetrella, S., West, R., 2007. The lakes of Titan. Nature 445,
61–64.
[233] Takeuchi, T., Miyama, S.M., Lin, D.N.C., 1996. Gap Formation in Protoplanetary Disks.
Astrophys. J. 460, 832–847.
[234] Tegler, S.C., Romanishin, W., 1998. Two distinct populations of Kuiper-belt objects.
Nature 392, 49–51.
[235] Thomas, P.C., Armstrong, J.W., Asmar, S.W., Burns, J.A., Denk, T., Giese, B., Helfenstein, P., Iess, L., Johnson, T.V., McEwen, A., Nicolaisen, L., Porco, C., Rappaport, N.,
Richardson, J., Somenzi, L., Tortora, P., Turtle, E.P., Veverka, J., 2007a. Hyperion’s
sponge-like appearance. Nature 448, 50–56.
[236] Thomas, P.C., Black, G.J., Nicholson, P.D., 1995. Hyperion : Rotation, shape, and geology
from Voyager images. Icarus 117, 128–148.
[237] Thomas, P.C., Burns, J.A., Helfenstein, P., Squyres, S., Veverka, J., Porco, C., Turtle,
E.P., McEwen, A., Denk, T., Giese, B., Roatsch, T., Johnson, T.V., Jacobson, R.A.,
2007b. Shapes of the saturnian icy satellites and their significance. Icarus 190, 573–584.
[238] Tiscareno, M.S., Burns, J.A., Cuzzi, J.N., Hedman, M.M., 2010. Cassini imaging search
rules out rings around Rhea. Geophys. Res. Lett. 37, 14205–14209.
224
Bibliographie
[239] Tiscareno, M.S., Burns, J.A., Hedman, M.M., Porco, C.C., 2008. The Population of
Propellers in Saturn’s A Ring. Astron. J. 135, 1083–1091.
[240] Tiscareno, M.S., Burns, J.A., Nicholson, P.D., Hedman, M.M., Porco, C.C., 2007. Cassini
imaging of Saturn’s rings. II. A wavelet technique for analysis of density waves and
other radial structure in the rings. Icarus 189, 14–34.
[241] Toomre, A., 1964. On the gravitational stability of a disk of stars. Astrophys. J. 139,
1217–1238.
[242] Toomre, A., 1981. What amplifies the spirals, in : S. M. Fall & D. Lynden-Bell (Ed.),
Structure and Evolution of Normal Galaxies, pp. 111–136.
[243] Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., Levison, H.F., 2005. Origin of the orbital architecture of the giant planets of the Solar System. Nature 435, 459–461.
[244] Tyler, G.L., Eshleman, V.R., Hinson, D.P., Marouf, E.A., Simpson, R.A., Sweetnam,
D.N., Anderson, J.D., Campbell, J.K., Levy, G.S., Lindal, G.F., 1986. Voyager 2 radio
science observations of the Uranian system Atmosphere, rings, and satellites. Science
233, 79–84.
[245] Ural’Skaya, V.S., 1998. Discovering of New Satellites of Saturn. Astronomical and Astrophysical Transactions 15, 249–253.
[246] Verbiscer, A.J., Skrutskie, M.F., Hamilton, D.P., 2009. Saturn’s largest ring. Nature 461,
1098–1100.
[247] Vieira Neto, E., Winter, O.C., Yokoyama, T., 2006. Effect of Jupiter’s mass growth on
satellite capture. The prograde case. Astron. Astrophys. 452, 1091–1097.
[248] Voelk, H.J., Jones, F.C., Morfill, G.E., Roeser, S., 1980. Collisions between grains in a
turbulent gas. Astron. Astrophys. 85, 316–325.
[249] Wagner, R.J., Neukum, G., Stephan, K., Roatsch, T., Wolf, U., Porco, C.C., 2009. Stratigraphy of Tectonic Features on Saturn’s Satellite Dione Derived from Cassini ISS
Camera Data, in : Lunar and Planetary Institute Science Conference Abstracts, pp.
2142–2143.
[250] Ward, W.R., 1986. Density waves in the solar nebula - Differential Lindblad torque. Icarus
67, 164–180.
[251] Weidenschilling, S.J., 1977. Aerodynamics of solid bodies in the solar nebula. Mon. Not.
R. Astron. Soc. 180, 57–70.
[252] Weidenschilling, S.J., 1984. Evolution of grains in a turbulent solar nebula. Icarus 60,
553–567.
[253] Weidenschilling, S.J., 2002. On the Origin of Binary Transneptunian Objects. Icarus 160,
212–215.
225
Bibliographie
[254] Wetherill, G.W., 1967. Collisions in the Asteroid Belt. J. Geophys. Res. 72, 2429–2444.
[255] Whipple, F.L., 1972. On certain aerodynamic processes for asteroids and comets, in :
A. Elvius (Ed.), From Plasma to Planet, pp. 211–+.
[256] Whipple, F.L., 1973. Radial Pressure in the Solar Nebula as Affecting the Motions of
Planetesimals. NASA Special Publication 319, 355–+.
[257] Wisdom, J., Tremaine, S., 1988. Local simulations of planetary rings. Astron. J. 95,
925–940.
[258] Yoder, C.F., 1995. Astrometric and Geodetic Properties of Earth and the Solar System,
in : T. J. Ahrens (Ed.), Global Earth Physics : A Handbook of Physical Constants, pp.
1–31.
[259] Zahnle, K., Dones, L., Levison, H.F., 1998. Cratering Rates on the Galilean Satellites.
Icarus 136, 202–222.
[260] Zahnle, K., Schenk, P., Levison, H., Dones, L., 2003. Cratering rates in the outer Solar
[261] Zuckerman, B., Song, I., Bessell, M.S., Webb, R.A., 2001. The β Pictoris Moving Group.
226
Annexe A
Calcul du couple exercé par un
satellite sur le disque.
Étant données les simplifications effectuées, les seules composantes non nulles du
potentiel sont :
3 4
GMs m
r
m,m
m
φs = φs = −
b1/2
,
(A.1)
a
rs
et le potentiel total du satellite s’écrit, en notation complexe :
φs (r, θ, t) =
+∞
Ø
m=−∞
φm
s (r) exp [im (θ − Ωs t)]
(A.2)
Les équations de conservation du moment cinétique et de continuité s’écrivent, pour
un disque infiniment fin, sans pression et sans viscosité :
A
B
∂
+ U · ∇ U = − ∇ (ψ − φs ) ,
∂t
∂
(Σ) + ∇ · (ΣU) = 0,
∂t
(A.3)
(A.4)
où U (r, θ) est la vitesse du fluide, Σ est la densité de surface du disque, et ψ = GM/r
est le potentiel de la planète. On se place dans le cas de petites perturbations, c’est-à-dire
que chaque quantité peut s’écrire comme la combinaison d’un valeur fixe et d’un terme
de perturbation : U = (Ur + ur , Uθ + uθ ), Σ = Σ0 + σ. En l’absence de perturbation, et
dans l’hypothèse d’un disque non visqueux, on Ur = 0 et Uθ = rΩ.
On peut alors linéariser le système d’équations {A.3, A.4} qui s’écrit, au premier
227
Annexe A. Calcul du couple exercé par un satellite sur le disque.
ordre en perturbations :
A
B
∂
∂φs
∂
ur − 2Ωuθ = −
+Ω
,
∂t
∂θ
∂r
B
A
Ω
∂
∂
1 ∂φs
u θ + ur = −
+Ω
,
∂t
∂θ
2
r ∂θ
B
C
D
A
Σ0 ∂
∂
∂
∂uθ
σ= −
.
+Ω
(rur ) +
∂t
∂θ
r ∂r
∂θ
(A.5)
(A.6)
(A.7)
(A.8)
De façon analogue au potentiel du satellite, le développement en série de Fourier des
perturbations s’écrit :
+∞
Ø
ur (r, θ, t) =
uθ (r, θ, t) =
σ (r, θ, t) =
m=−∞
+∞
Ø
m=−∞
+∞
Ø
m=−∞
um
r (r) exp [im (θ − Ωs t)] ,
(A.9)
um
θ (r) exp [im (θ − Ωs t)] ,
(A.10)
σ m (r) exp [im (θ − Ωs t)] .
(A.11)
En injectant ces développement dans le système {A.5, A.6, A.7}, et en utilisant ∂/∂t =
−imΩs et ∂/∂θ = im, on obtient le système suivant :
C
D
d
im
(Ω − Ωs ) r + 2Ω φm
(r) = −
s (r) ,
rD
dr
C
D
1
d
m
2
uθ (r) =
Ωr + 2m (Ω − Ωs ) φm
s (r) ,
2rD
dr
C
D
d
Σ0
m
m
m
(rur ) + imuθ ,
σ (r) = −
imr (Ω − Ωs ) dr
um
r
(A.12)
(A.13)
(A.14)
avec D (r) = Ω2 − m2 (Ω − Ωs )2 . Les résonances de Lindblad sont obtenues en r tel que
D (r) = 0.
Le couple Γ exercé par le satellite sur le disque est
Γ=−
Ú Ú
Disque
(r ⊗ ∇φs ) Σd2 r
(A.15)
où ⊗ désigne le produit vectoriel. Après linéarisation et utilisation du théorème de Parseval
on obtient (Meyer-Vernet et Sicardy, 1987) :
Γ=
∞
Ø
Γm =
m=1
∞
Ø
m=1
−4πmℑ
où ℑ désigne la partie imaginaire.
228
3Ú ∞
0
4
rσ m φm
s dr ,
(A.16)
À proximité de la résonance, on a Ω ∼ Ωm et Ω − Ωs ∼ Ωm − Ωs ∼ ±Ωm /m où Ωm
est la fréquence orbitale en r = am . Le système {A.12, A.13, A.14} est alors dégénéré et
m
l’on a um
θ ∼ ± (i/2) ur , avec
um
r
im
Ωm m d
m
(r ∼ a ) = − m
±
a
+ 2Ωm φm
s (r ∼ a )
a D
m
dr
C
D
d
iΩm
m
±am + 2m φm
= − m
s (r ∼ a )
a D
dr
iΩm A
= − m
a D
C
m
D
(A.17)
m
m
où A = 2mφm
s ± a (dφs /dr). En injectant ce résultat dans les équations A.12, A.13, A.14
et A.16 on obtient
m
Γ = 4πΣ0 ℑ
AÚ
∞
0
φm
d
m m
s
(rum
u dr
r )∓
i (Ω − Ωs ) dr
2 r
C
D
B
(A.18)
Par intégration par parties, on peut écrire
Ú ∞
0
d
φm
φm
s
s
(rum
rum
)
dr
=
r
i (Ω − Ωs ) dr
i (Ω − Ωs ) r
C
D∞
0
−
Ú ∞
0
d
dr
A
φm
s
rum
r dr. (A.19)
i (Ω − Ωs )
B
Le terme entre crochets est nul car le potentiel du satellite est nul à l’infini. L’équation
A.18 s’écrit alors
m
Γ = 4πΣ0 ℜ
C
AÚ
∞
0
d
dr
A
φm
m φm
s
s
r±
um dr
(Ω − Ωs )
2 (Ω − Ωs ) r
B
D
B
(A.20)
où l’on a utilisé le fait que pour tout nombre complexe Z, on a ℑ (Z/i) = −ℜ (Z).
En supposant que la perturbation radiale ur varie rapidement à proximité de la
résonance, on peut sortir le terme entre crochets de l’intégrale, en imposant Ω ∼ Ωm . On
obtient alors
am m dφm
m2 m
s
Γm = 4πΣ0
φ ℜ
±
Ωm dr
2Ωm s
4
3Ú ∞
4πmΣ0 A
m
u
dr
ℜ
=
r
Ωm
0
C
D
3Ú ∞
0
um
r dr
4
(A.21)
En injectant l’équation A.17 dans cette expression on obtient
dr
4πmΣ0 A2
ℑ
Γm =
m
a
D
A
B
(A.22)
où on a utilisé la propriété que pour tout nombre complexe Z on a ℜ (−iZ) = ℑ (Z).
L’intégrale dans l’équation A.22 en utilisant un développement limité de D à proximité
229
de la résonance :
D (r) ∼ D (am ) + (r − am )
dD m
dD m
(a ) ∼ (r − am )
(a )
dr
dr
(A.23)
car D est nul à la résonance par construction. L’intégrale devient alors
Ú ∞
0
Ú ∞
dr
dr
∼
D
0
(r − am ) dD
(am )
dr
Ú ∞
dx
1
∼ dD m
(a ) −1 x
dr
(A.24)
où l’on a posé x = (r − am ) /am , qui est une mesure de la distance à la résonance. Pour
finir, la composante d’ordre m du couple du satellite s’écrit
B
AÚ
∞ dx
4πmΣ0 A2
Γm = m
,
ℑ
a D (am )
−1 x
(A.25)
avec D = dD/dr.
L’intégrale dans l’équation A.25 pose problème car elle n’est pas définie. Ceci s’explique en regardant la forme des lignes de courant 1 . L’équation polaire d’une ligne de
courant à proximité d’une résonance est
ρ (θ) = a
m
3
2
m
1 ± m m [ℜ (um
r ) sin (m (θ − Ωs t)) + ℑ (ur ) cos (m (θ − Ωs t))] .
a Ω
4
(A.26)
Or, on s’est placé dans le cas où um
r est purement imaginaire (équation A.17). On a alors
)
cos
(m (θ − Ωs t))) qui est alors en phase avec le potentiel
ρ = am (1 ± 2/ (am Ωm ) ℑ (um
r
m
perturbateur 2φs cos (m (θ − Ωs t)). En conséquence, les linges de courant sont alignées
avec le satellite, et le couple ne peut alors pas s’exercer pour des raisons de symétrie
(Meyer-Vernet et Sicardy, 1987).
Pour éliminer le problème posé par cette intégrale, une solution consiste à considérer que la fréquence orbitale du satellite possède une petite partie imaginaire ωsc =
Ωs (1 + iα′ ). Ceci introduit également une partie imaginaire dans D, ce qui a pour effet
de rentre um
r non purement imaginaire, et introduit donc un déphasage entre les lignes de
courant et le potentiel perturbateur (équations A.17 et A.26). La position des résonances
est alors
3
4
2 ′
m,c
m
′ −2/3
m
a = a (1 + iα )
≈ a 1 − iα
(A.27)
3
1. En mécanique des fluides, les lignes de courant sont des courbes tangentes à la vitesse du fluide
qui décrivent le mouvement du fluide.
230
La distance à la résonance est alors
=
r − am,c
am,c 1
2
r − am 1 − 32 iα′
≈
r − am 1 − 32 iα′ 3
xc =
1
am 1 − 23 iα′
1
2
am
2
(A.28)
2
1 + iα′
3
≈ x + iα
4
(A.29)
(A.30)
où on a posé α = (2/3) α′ . L’intégrale de l’équation A.25 devient alors
ℑ
AÚ
∞
−1
dx
xc
B
=
=
=
=
AÚ
∞
B
dx
ℑ
−1 x + iα
Ú ∞
αdx
−
2
−1 x + α2
Ú ∞
dx/α
−
2
−1 x /α2 + 1

Ú ∞
dy



 − −1/α 1 + y 2 ,
Ú −1/α

dy


−
,
1 + y2
−∞

 − [Arctan (y)]∞
−1/α ,
(α > 0)
(α < 0)
= 
− [Arctan (y)]−1/α
−∞ ,
=
I
=
I
=
I
(α > 0)
(α < 0)
− [π/2 − Arctan (−1/α)] ,
− [Arctan (−1/α) − π/2] ,
− [π/2 + Arctan (1/α)] ,
− [−Arctan (1/α) − π/2] ,
− [π − Arctan (α)] ,
− [Arctan (α) − π] ,
(α > 0)
(α < 0)
(α > 0)
(α < 0)
(α > 0)
(α < 0)
≈ − π signe (α)
La composante d’ordre m du potentiel devient :
Γm = −
4π 2 mΣ0 A2
signe (α) .
am D (am )
(A.31)
Pour un disque képlérien, on a D (am ) = ±3mΩm Ωs /am , et l’on obtient l’expression finale
de la composante d’ordre m du couple du satellite :
Γm = ∓
4π 2 Σ0 A2
signe (α) .
3Ωm Ωs
231
(A.32)
Meyer-Vernet et Sicardy (1987) effectuent un calcul similaire en introduisant les
effets de friction, de pression et d’auto-gravité pour prendre en compte les particularités
du disque. Ces considérations imposent en particulier α > 0, de sorte que le couple est
négatif en une résonance interne, et négatif en une résonance externe : le disque et le
satellite se repoussent.
232
Annexe B
Autres articles publiés pendant ma
thèse
233
234
The Astronomical Journal, 140:944–953, 2010 October
°
C 2010.
doi:10.1088/0004-6256/140/4/944
The American Astronomical Society. All rights reserved. Printed in the U.S.A.
MIGRATION OF A MOONLET IN A RING OF SOLID PARTICLES:
THEORY AND APPLICATION TO SATURN’S PROPELLERS
Aurélien Crida1,2 , John C. B. Papaloizou1 , Hanno Rein1 , Sébastien Charnoz3 , and Julien Salmon3
1
Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, Centre for Mathematical Sciences, Wilberforce Road,
Cambridge CB3 0WA, UK
2 Université de Nice Sophia-antipolis/CNRS/Observatoire de la Côte d’Azur, Laboratoire Cassiopée, B.P. 4229, 06304 Nice Cedex 4, France; [email protected]
3 Laboratoire AIM-UMR 7158, CEA/CNRS/Université Paris Diderot, IRFU/Service d’Astrophysique, CEA/Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
Received 2010 February 23; accepted 2010 July 8; published 2010 August 24
ABSTRACT
Hundred-meter-sized objects have been identified by the Cassini spacecraft in Saturn’s A ring through the so-called
propeller features they create in the ring. These moonlets should migrate due to their gravitational interaction with
the ring; in fact, some orbital variations have been detected. The standard theory of type I migration of planets in
protoplanetary disks cannot be applied to the ring system as it is pressureless. Thus, we compute the differential
torque felt by a moonlet embedded in a two-dimensional disk of solid particles, with a flat surface density profile,
both analytically and numerically. We find that the corresponding migration rate is too small to explain the observed
variations of the propeller’s orbit in Saturn’s A ring. However, local density fluctuations (due to gravity wakes in
the marginally gravitationally stable A ring) may exert a stochastic torque on a moonlet. Our simulations show
that this torque can be large enough to account for the observations depending on the parameters of the rings. We
find that on timescales of several years the migration of propellers is likely to be dominated by stochastic effects
(while the former, non-stochastic migration dominates after ∼104 –105 years). In that case, the migration rates
provided by observations so far suggest that the surface density of the A ring should be on the order of 700 kg m−2 .
The age of the propellers should not exceed 1–100 million years depending on the dominant migration regime.
Key words: planet–disk interactions – planets and satellites: dynamical evolution and stability – planets and
satellites: individual (Saturn) – planets and satellites: rings
to short orbital timescales (1 year is equivalent to about 700
orbits of the A ring), it may be possible to observe the exchange
of angular momentum between the two systems. One of the most
striking discoveries of the Cassini spacecraft is the observation
of propeller-shaped features in the A ring (located between
122,000 and 137,000 km from Saturn), with a longitudinal
extent of about 3 km (Tiscareno et al. 2006, 2008; Sremčević
et al. 2007). They are most likely caused by the presence of
moonlets about 100 m in size, embedded in the ring, and
scattering ring particles (Spahn & Sremčević 2000). As they
are embedded in the ring, these small bodies should exchange
angular momentum with the ring and migrate (Crida et al.
2009). This migration could be detected by Cassini observations
through the cumulative lag, or advance with time t of the orbital
longitude φ induced by a small variation of the semimajor axis
and the angular velocity Ω (δφ = δΩ × δt), offering for the first
time the possibility to directly confront the planetary migration
theory with observations, and to give insights and constraints
on the physical properties of the rings and the moonlets.
In this paper, we address the question of the theoretical migration rate of these propellers, using both numerical and analytical
approaches. The theory is then compared with observations. In
Section 2, we review the standard theory of type I migration;
the differences between migration in protoplanetary disks and in
Saturn’s rings are explained, showing the need for a new calculation of the migration rate of embedded moonlets. This rate is
given in Section 3 for a homogeneous, axisymmetric disk with
a flat surface density profile, as a result of numerical computation in Section 3.1, and analytical calculation in Section 3.2. In
Section 4, we consider the effect of density fluctuations in the
rings, in particular the role of short-lived gravitating clumps,
also called gravity wakes, which are known to be numerous
in the A ring (Colwell et al. 2006; Hedman et al. 2007). We
1. INTRODUCTION
The theory of disk–satellite interactions has for the most
part been developed after Voyager’s encounter with Saturn. The
satellites that orbit beyond the outer edge of the rings perturb
the dynamics of the particles composing the rings. This leads
to an exchange of angular momentum between the rings and
the satellites and to the formation of density waves in the rings.
Using two different methods, Lin & Papaloizou (1979) and
Goldreich & Tremaine (1979, 1980) have calculated the total
torque exerted by a satellite on a disk interior (or exterior) to
its orbit. This torque is called the one-sided Lindblad torque
because it can be computed as the sum of the torques exerted
at Lindblad resonances with the secondary body. In the lowest
order, local approximation, the inner and outer torques are equal
and opposite: the torque exerted by a satellite on a disk located
inside its orbit is negative, with the same absolute value as the
positive torque exerted on a disk located outside the orbit.
Reciprocally, a disk exerts a torque on the secondary body.
When the strictly local approximation is relaxed, the inner and
outer torques are not exactly equal and opposite (Ward 1986).
Their sum, called the differential Lindblad torque, is generally
negative. As a consequence, the orbital angular momentum of a
body embedded in a disk decreases and so does its semimajor
axis (on circular Keplerian orbits, the orbital angular momentum
is proportional to the square root of the semimajor axis). This
is planetary migration of type I (Ward 1997). So far, this
phenomenon has been mainly studied in the frame of planets
embedded in protoplanetary gaseous disks (see Papaloizou et al.
2007 for a review).
The Cassini spacecraft has been orbiting the Saturnian ring
system since 2004, offering the possibility to observe the
coupled evolution of the ring system and the satellites. Due
944
No. 4, 2010
MIGRATION OF A MOONLET IN A RING OF SOLID PARTICLES
then conclude in Section 5 on what our model tells us on the
properties of the rings, given the observed migration rates.
2. REVIEW OF TYPE I MIGRATION AND THE
DIFFERENTIAL LINDBLAD TORQUE
In protoplanetary gaseous disks, the perturbation caused by
a terrestrial planet leads to the formation of a one-armed spiral
density wave, leading the planet in the inner disk, and trailing
behind the planet in the outer disk. This wave is pressuresupported and generally called the wake, but it has nothing to
do with the gravity wakes mentioned above: the latter are local
features, while the planet wake spirals through the whole disk.
The planet wake carries angular momentum so that the angular
momentum given by the planet to the disk is not deposited
locally (e.g., Crida et al. 2006, their Appendix C). Therefore,
the disk profile is hardly modified in this linear regime. Still, the
negative torque exerted by the outer disk on the planet through
the wake is larger in absolute value than the positive torque
from the inner disk. Without going into the details (for which
the reader is refereed to Ward 1997), the main reason the outer
disk wins over the inner disk lies in pressure effects: from the
dispersion equation of a pressure-supported wave, one finds that
the location rL,m where the wave with azimuthal mode number
m, corresponding to the mth Lindblad resonance with the planet,
is launched, is not exactly the location of the resonance given
by Kepler’s law. The shift is not symmetrical with respect to
the planet position for inner and outer resonances, but favors
the outer ones. As a consequence, the planet feels a negative
total torque, called the differential Lindblad toque, and given by
(Tanaka et al. 2002)
Tdiff = −Cq 2 Σrp 4 Ωp 2 h−2 ,
(1)
where the index p refers to the planet, rp being the radius of its
orbit and Ωp its angular velocity, q is the planet to primary mass
ratio, and Σ is the surface density of the disk in the neighborhood
of the planetary orbit. Finally, h is the aspect ratio of the disk,
being the ratio between its scale height and the distance to
the central body, being proportional to the square root of the
gas pressure. In a typical protoplanetary disk, h ≈ 0.05. The
numerical coefficient C is given by C = 2.340 − 0.099ξ , where
ξ is the index of the power law of the density profile: Σ ∝ r −ξ .
This result is robust. In particular, the value of the negative
torque is almost independent of the slope of the density profile
ξ . This is due to the so-called pressure buffer: the resonances
are shifted when the density gradient varies (Ward 1997). If
the disk were pressureless, then the expression of C would be
completely different. Also, the aspect ratio h in Equation (1)
appears because rL,m does not converge toward rp when m tends
to infinity, but toward rp (1 ± 2h/3), due to pressure effects.
To sum up, the gas pressure plays a fundamental role in type I
migration.
It should be mentioned for completeness that, in addition to
the differential Lindblad torque discussed above, the horseshoe
drag—exerted on the planet by the gas on horseshoe orbits
around the planetary orbit—plays a significant role in type
I migration (see, e.g., Ward 1991; Masset 2001; Baruteau &
Masset 2008; Kley & Crida 2008; Paardekooper & Papaloizou
2009; Paardekooper et al. 2010).
In contrast to gaseous protoplanetary disks, pressure effects
in Saturn’s rings are not important. The aspect ratio h is on
the order of 10−7 . The spiral density waves that are observed
in the A ring are gravity-supported, not pressure-supported.
945
Thus, the standard theory of type I migration does not apply. In
particular, the spiral planet wake does not appear. The interaction
of the moonlet responsible for the propeller structure with the
disk is observed to take place within a few hundred kilometers.
Resonances with m & 103 are located within this distance and
should play a significant role. However, in the standard type I
migration the important resonances have m ∼ 1/ h ∼ 107 .
Therefore, Equation (1) cannot be directly applied to a moonlet
in Saturn’s rings. A new approach is needed, adapted to the two
main characteristics of the problem: the fact that the rings are
made of solid particles and the fact that the interaction is taking
place very close to the moonlet.
3. THE RING–MOONLET INTERACTION
In this section, we compute the interaction between a moonlet
and a ring test particle. In this analysis, the gravity of the other
ring particles is neglected. This leads to the torque exerted on
the moonlet by an initially unperturbed, homogeneous ring.
In Section 3.1, the computation is performed numerically.
In Section 3.2, it is derived analytically. Both results are in
agreement, and a corresponding migration rate for the moonlet
is given and discussed in Section 3.3.
From now on, m denotes the mass of the moonlet (and not
the order of a resonance). The moonlet, has a circular orbit of
radius rm around the central planet of mass M. The gravitational
potential due to the moonlet is Ψ. The radial and azimuthal
components of the equation of motion of a ring particle in twodimensional cylindrical polar coordinates (r, φ) are
d 2r
−r
dt 2
µ
dφ
dt
¶2
=−
∂Ψ GM
− 2
∂r
r
(2)
µ ¶µ ¶
1 ∂Ψ
dφ
d 2φ
dr
=−
.
(3)
and r 2 + 2
dt
dt
dt
r ∂φ
p
The angular velocity of the moonlet is ω = GM/rm 3 . Let r0
be thepradius of the initially circular orbit of a test particle and
Ω = GM/r0 3 its angular velocity. We note b = r0 − rm is
the impact parameter and b̂ = b/rH is the normalized impact
¡ m ¢1/3
parameter, where rH = rm 3M
is the Hill radius of the
moonlet.
3.1. Numerical Computation of the Ring–Moonlet Interaction
In this section, the numerical integration of the above equations of motion is performed in order to find the trajectories
of ring particles in the presence of a perturbing moonlet in the
frame corotating with the moonlet. To measure the tiny asymmetry between the inner and the outer part of the ring, the full
equations are integrated, without linearization or simplification.
A Bulirsch–Stoer algorithm (Press et al. 1992) is used, and a
Taylor expansion is performed in the code when necessary to
subtract accurately large numbers, in order to achieve machine
double precision (10−16 ). We have checked that the Jacobi constant is conserved to this precision along the trajectories. Examples of obtained trajectories are given in Figure 1.
It is well known within the framework of the restricted threebody problem that if |b̂| is small enough the test particle has
a horseshoe-shaped orbit, while if |b̂| is larger than ∼2.5, the
test particle is circulating, and scattered into an eccentric orbit.
This can be seen in Figure 1. We perform many numerical
integrations with various b in the case of a moonlet of mass
946
CRIDA ET AL.
5
(r - r m)/r H
(r / r m) cos φ
1.001
Vol. 140
1
4
3
0.999
2
-0.01
0
0.01
(r / r m ) sin φ
0.02
0.03
0.04
Figure 1. Trajectories of test particles perturbed by a moonlet of mass
m = 3 × 10−12 M, located at (r = rm , φ = 0) (that is at (0, 1) in the plot), in
the frame corotating with the moonlet. Dashed circle: orbit of the moonlet.
m = 3 × 10−12 M, starting the particle at an azimuth |φ0 | =
3000 rH /rm = 0.3 (where the moonlet is at φ = 0). This angle is
large enough so that at this location the influence of the moonlet
is negligible and the orbital parameters of the test particle are not
disturbed, as will be checked later. We find that the horseshoe
regime occurs for b̂ < 1.8 and the scattered regime occurs
for b̂ > 2.5. For 1.774 < b̂ < 2.503, however, the trajectory
approaches the center of the moonlet to within a distance smaller
than 0.95 rH . In that case, if one assumes the moonlet is a point
mass, the test particle eventually leaves the Hill sphere, either on
a horseshoe or a circulating trajectory, but the outcome changes
several times with increasing b̂. In the case we are concerned
about here, the moonlet most likely almost fills its Roche lobe,
and therefore we stop the integration of the trajectory as soon
as the distance between the test particle and the moonlet is less
than 0.95 rH , assuming a collision.
The specific orbital angular momentum J = r 2 (dφ/dt) of
the test particles is computed along the trajectories. Angular
momentum is exchanged during the close encounter with the
moonlet. For b̂ > 2.503, the test particle is scattered onto an
eccentric orbit of larger angular momentum than the initial one,
which results in a gain in angular momentum. The variation
of orbital angular momentum along the trajectory is shown in
the bottom panel of Figure 2 for the case b̂ = 3, where the
top panel is the trajectory. The difference in angular momentum
between the initial circular orbit at φ0 = 0.3 sgn(b) and the
end of the integration, when |φ| = 0.3 again, is noted ∆J . In
the figure, only the interval −0.05 < φ < 0.05 is displayed
for convenience. Most of the exchange of angular momentum
occurs when |φ| < 0.01.
Figure 3 shows |∆J | (top thick curve) as a function of b̂,
in units of the specific angular momentum of the moonlet
Jm = rm2 ω. For 0 < b̂ 6 1.774, the horseshoe trajectory
corresponds to a U-turn toward the central planet, and to a
loss of angular momentum for the test particle. More precisely,
as for circular orbits J ∝ r 1/2 , one expects for such a U-turn
∆J /J = 12 ∆rr = −b/rm ; this is indeed the case for b̂ < 1.3.
In the case where the test particle collides with the moonlet,
we assume that it gives all its orbital angular momentum to the
moonlet: ∆J = r02 Ω − Jm , so that ∆J /J ≈ b/(2rm ). This also
appears in Figure 3. The opposite holds for b < 0.
Computing ∆J as a function of b to numerical precision
enables us to also compute the difference between the inner and
outer disk: δJ (b) = ∆J (b) + ∆J (−b). This quantity is small
with respect to ∆J (b), but nonetheless well determined and
converged in our simulations: ∆J (b) + ∆J (−b) is constant after
the encounter to a precision better than 0.5% for all |φ| > 0.02.
This validates our choice of φ0 . In Figure 3, the bottom thick
dashed curve shows δJ in the same scale as |∆J |. We see that
-0.04
-0.02
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0
0.02
0.04
2
-5
-0.02
∆ J [10 rm2ω]
-0.03
1
0
-1
-2
-3
φ
Figure 2. Top panel: trajectory of a test particle with impact parameter b̂ = 3;
the motion of the particle is toward negative φ. Bottom panel: variation of the
specific orbital angular momentum J of the same particle along its trajectory.
0.001
|∆J|num
(∆J)Eq. (32)
(δJ)num
4.92(b/rm)(∆J)num
(b/rm) Jm
(b/2rm) Jm
0.0001
1e-05
[ rm2ω ]
-0.04
1e-06
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
1
10
b / rH
Figure 3. Angular momentum exchanges during one close encounter as a
function of the impact parameter. Top, thick, red curve: ∆J (b̂), from numerical
simulations. Green, thin, dashed, straight line: ∆J (b̂), as given by Equation (32).
Bottom, thick, dark blue, long-dashed curve: δJ (b̂), from numerical simulations.
Thin, light blue, dash-dotted line: δJ (b̂) as given by Equation (34), taking ∆J
from the simulations. Yellow, thin, double- and triple-dashed lines: (b/rm )Jm ,
and (b/2rm )Jm , respectively, to compare with |∆J |.
δJ > 0 for all b > 0 and that δJ ≪ ∆J , with
δJ /∆J ≈ 5 × 10−4 b̂
(4)
for circulating trajectories, and
δJ /|∆J | ≈ 1.17 × 10−4 b̂
for horseshoe orbits. In the following subsection, the empirically
found Equation (4) is analytically derived and justified.
3.2. Analytic Model for the Ring–Moonlet Interaction
In this section, we consider only circulating trajectories.
Developing the exchange of angular momentum during an
encounter with the moonlet ∆J to second order, we can find
the asymmetry δJ .
3.2.1. Solution for the Perturbed Moonlet Orbit
Let us start again from Equations (2) and (3). The ring particle
is assumed to be on an unperturbed circular orbit of radius
No. 4, 2010
947
p
where it is implicit that the real parts of such complex expresr0 = rm + b. It orbits with angular velocity Ω = GM/r0 3
sions are to be taken, and
such that φ = Ωt, where without loss of generality we have
Z 2π/β
defined the origin of time t = 0 to be when the particle is at
1
φ = 0. Under the perturbation induced by Ψ, the particle moves
S(t) exp(−inβt)dt.
(13)
Sn =
2π 0
to r = r0 + x, and φ = Ωt + y/rm , where x and y are assumed
to be small. Linearizing Equations (2) and (3) about the circular
The periodic solution of Equation (11) is now readily written
orbit state, we obtain equations for x and y in the form
down as
n=∞
X
¯
Sn exp(inβt)
2
¯
d x
dy
∂Ψ ¯
.
(14)
x=
2
2
−
3Ω
−
2Ω
x
=
−
and
(5)
(Ω − n2 β 2 + iγ nβ)
n=−∞
dt 2
dt
∂r ¯0
We may write this in terms of a Green’s function defined through
¯
dx
d 2y
1 ∂Ψ ¯¯
.
(6)
+ 2Ω
=−
n=∞
1 X
exp(inβτ )
dt 2
dt
r0 ∂φ ¯0
G(τ ) =
.
(15)
2 − n2 β 2 + iγ nβ)
2π
(Ω
Here, the subscript 0 denotes evaluation on the unperturbed
n=−∞
particle orbit.
Then the solution for x may be written as
We suppose that the perturbation is induced by a moonlet of
Z 2π/β
mass m that is on a circular orbit of radius rm and has an angular
velocity ω. Then its azimuthal coordinate φm = ωt + φm,0 , with
x=β
S(t − t ′ )G(t ′ )dt ′ .
(16)
φm,0 being a constant. The perturbing potential
0
Gm
Ψ= q
r02 + rm2 − 2rm r0 cos(φ − φm )
(7)
becomes a function of time through substituting φ − φm =
(Ω − ω)t − φm,0 therein.
Thus, we have
¯
¯
1
∂Ψ ¯¯
1 ∂Ψ ¯¯
≡
.
(8)
r0 ∂φ ¯0
r0 (Ω − ω) ∂t ¯0
Using this in Equation (6) and integrating with respect to time,
we obtain
¯
¯
dy
Ψ
¯ ,
(9)
+ 2Ωx = −
dt
r0 (Ω − ω) ¯0
which when combined with Equation (5) gives an equation for
x in the form
¶¯
µ
¯
2ΩΨ
∂Ψ
d 2x
2
¯ = S.
+Ω x =−
+
(10)
dt 2
∂r r0 (Ω − ω) ¯0
3.2.2. Solution of the Linearized Equations
To solve Equation (10), we note that the perturbing potential
Equation (7) evaluated on the unperturbed orbits is a periodic
function of time with period 2π/|ω − Ω| = 2π/β. Thus, we
should look for a periodic response. In order to do this, we
have to introduce a small frictional term into Equation (10) to
enable transients to decay and a net torque on the moonlet to
be set up. When the frictional term is small, it is expected that
the resulting torque should not depend on it (e.g., Goldreich &
Tremaine 1980). Hence we add a frictional term γ (dx/dt) to the
left-hand side of Equation (10), where γ /Ω is a small constant
parameter so that it now reads
¶¯
µ
¯
d 2x
dx
2ΩΨ
∂Ψ
2
¯ = S. (11)
+γ
+Ω x =−
+
2
dt
dt
∂r r0 (Ω − ω) ¯0
As the potential is periodic in time we can adopt a Fourier series
of the form
n=∞
X
Sn exp(inβt)
(12)
S=
n=−∞
Note that as the orbit of a ring particle relative to the planet is
periodic, the solution given by Equation (16) includes the effects
of infinite numbers of repeating encounters. However, we wish
to consider the case when dissipative effects, although weak,
are strong enough to recircularize orbits between encounters
in which case they will be independent of each other. This
condition requires that γ /|ω − Ω| = γ /β ≫ 1. This is
equivalent to requiring that the damping timescale be short
compared to the relative orbital period between moonlet and
ring particle. On account of the length scale of the encounters
of interest being comparable to the Hill radius of the moonlet,
this is much longer than the orbital period itself, so that we may
adopt the ordering
γ /|ω − Ω| = γ /β ≫ 1 ≫ γ /Ω.
(17)
In order to make use of the above ordering, we write down
the form of the Green’s function derived in the Appendix (see
Equation (A7)) valid for 0 < t < 2π/β:
e−γ τ/2 sin(ωγ τ ) − e−γ π/β sin(ωγ (τ − 2π/β))
(18)
ωγ β[1 + e−2γ π/β − 2e−γ π/β cos(2π ωγ /β)]
p
where ωγ = Ω2 − γ 2 /4. The function is defined elsewhere
through its periodicity with period 2π/β. Making use of the
inequality Equation (17), we may replace the Green’s function
(Equation (18)) by the simple expression
G(τ ) =
G(τ ) =
exp(−γ τ/2) sin(ωγ τ )
.
ωγ β
(19)
Then the solution (Equation (16)) gives
x = A(t)e−γ t/2 sin(ωγ t) + B(t)e−γ t/2 cos(ωγ t),
(20)
where
A(t) =
1
ωγ
Z
t
S(t ′ ) exp(γ t ′ /2) cos(ωγ t ′ )dt ′
(21)
t−2π/β
and
B(t) = −
1
ωγ
Z
t
S(t ′ ) exp(γ t ′ /2) sin(ωγ t ′ )dt ′ .
t−2π/β
(22)
948
CRIDA ET AL.
To make use of the above expressions, we consider the
situation when the ring particle has a close encounter with the
moonlet at time t = 0, thus we take φm,0 = 0 (we note that
a non-zero φm,0 can be dealt with by rotating the coordinate
system and shifting the origin of time). The source term S is
then expected to be highly peaked around t ′ = 0, and almost
all of the contributions to the above integrals will occur for
|t ′ | . 2π/Ω. Furthermore, during this dynamical interaction,
dissipation will be negligible. Thus, if we are interested in times
after the main interaction, but before significant dissipation takes
place, we may set γ = 0 and extend the limits of the integration
to ±∞. However, in practice one may have to apply a cutoff
to the potential at large distances from the moonlet in order to
do that (see below). But this should not matter if the important
interaction occurs when the moonlet and ring particle are close.
Then we simply have
Z
1 ∞
A=
S(t ′ ) cos(Ωt ′ )dt ′
(23)
Ω −∞
and
Z
1 ∞
S(t ′ ) sin(Ωt ′ )dt ′ .
(24)
Ω −∞
Thus, A and B are constants representing epicyclic oscillation
amplitudes induced after the close approach of the ring particle
to the moonlet.
We remark that the approximations made in obtaining
Equations (23) and (24) relate to how dissipation is treated.
There has been no assumption that the particle trajectories are
symmetric on opposite sides of the moonlet so that curvature
effects remain fully incorporated during particle moonlet encounters. When dissipation is negligible during the encounter,
an epicyclic oscillation is established immediately afterward.
The assumption that dissipation circularizes orbits between encounters implies that we should consider approaching ring particles to be on circular orbits. The above discussion indicates that
errors associated with this assumption are exponentially small.
B=−
Vol. 140
We begin by recalling that
Ψ = −q
Gm
r02 + rm2 − 2r0 rm cos(φ − φm )
= −q
Gm
(27)
.
r02 + rm2 − 2r0 rm cos(βt)
In order to evaluate the Fourier transform as specified by
Equation (23), which was derived under the assumption that
the interaction occurs only near the closest approach, we must
truncate the potential at large |t|. As the encounter takes place
over a time ≪ 1/β, this can be achieved by replacing cos(βt) in
Equation (27) by 1−β 2 t 2 /2. Note that a dimensionless estimate
of the error involved is of order (β/ω)2 ∼ (rH /rm )2 , where rH
is the Hill radius of the moonlet. This is small enough that the
leading order asymmetry in the angular momentum transferred
to orbits with the same impact parameter on either side of the
disk can be estimated.
As the first stage in evaluating the Fourier transform of S
specified in Equation (23) that gives the epicyclic amplitude,
we evaluate
Z
1 ∞
C=
Ψ cos(Ωt)dt
Ω −∞
1
=−
Ω
Z
∞
β
−∞ Ω
Gm cos(φ)
p
(r0 − rm
)2 Ω2 /β 2
+ r0 rm
φ2
dφ
.
Ω
(28)
This can also be expressed as
2GmK0 (ξ0 )
,
(29)
√
Ωβ r0 rm
√
where ξ0 = (Ω|r0 − rm |)/(β r0 rm ) and Kj denotes the modified
Bessel function of the second kind of order j.
C=−
3.2.3. Angular Momentum Transfer
3.2.5. Total Angular Momentum Exchange
For the setup considered here, symmetry considerations imply
that S(t) is an even function of time (see below) so that B = 0.
The generation of the epicyclic oscillation is associated with an
angular momentum transfer between the moonlet and particle.
To find this, we first note that
³q
√
√ ´
(25)
∆J = GM af (1 − e2 ) − r0 ,
We may now use the above expression together with
Equation (26) to evaluate the epicyclic amplitude Equation (23)
(noting that the radial derivative is with respect to r0 with other
quantities held fixed) so obtaining
µ
·
¸
2Gm
2Ω
1
A= −
−
×
K
(ξ
)
√
0 0
Ωβr0 r0 rm
2 (Ω − ω)
¸¶
·
1
rm
.
(30)
+ K1 (ξ0 )ξ0
+
2 (r0 − rm )
where af and e are the post-encounter semimajor axis and
eccentricity of the particle, respectively. We also note that
the Jacobi constant implies that the change of the particle
orbital energy and angular momentum are related by ∆E =
GM[1/(2r0 ) − 1/(2af )] = ω ∆J . This can be used to eliminate
af in Equation (25) after which ∆J may be found correct
to second order in e ≡ A/r0 with the result that ∆J =
Ω2 A2 /[2(ω − Ω)]. This in turn may be simply determined after
evaluating A. Note that ∆J < 0 for particles interior to the
moonlet which have Ω > ω and conversely ∆J > 0 for particles
orbiting exterior to the moonlet.
3.2.4. Development of the Perturbing Potential
We now consider
S(t) = −
µ
¶¯
¯
∂Ψ
2ΩΨ
¯ .
+
∂r r0 (Ω − ω) ¯0
(26)
The associated angular momentum exchanged is then given by
¸
µ
·
2Ω
1
2(Gm)2
−
× K0 (ξ0 )
∆J = 3
2 (Ω − ω)
r0 rm (ω − Ω)3
+K1 (ξ0 )ξ0
·
1
rm
+
2 (r0 − rm )
¸¶2
.
(31)
In a strictly local approximation under which the inner
and outer sides are symmetric, the contributions from orbits
equidistant from the moonlet would cancel, leaving the net
result to be determined by the surface density profile. However,
although we have assumed the interactions are local, we did
not assume symmetry between the exterior and interior orbits.
Accordingly, we evaluate the difference in the magnitude of ∆J
evaluated from orbits equidistant from the moonlet: r0 = rm ± b.
The leading order contribution to ∆J is symmetric in b. The
lowest order contribution is antisymmetric and accordingly
leads to cancellation between the two sides. We make use of the
expansions ξ0 = 2/3−b/(2rm )+O((b/rm )2 ) and 2Ω/(Ω−ω) =
−4rm /(3b)(1 − b/(4rm )) + O(b/rm ) together with standard
properties of Bessel functions to write
µ
¶
b
64(Gm)2 rm
2
(2K
1
+
α
, (32)
∆J =
(2/3)
+
K
(2/3))
0
1
243ω3 b5
rm
949
18
16
Tc(b)*(m/M)-4/3/(Σ/Mrm-2) [Mrm2ω2]
No. 4, 2010
14
12
10
8
6
4
2
where
3 (6K1 (2/3) + 3K0 (2/3))
= 2.46.
α= +
4 (4K0 (2/3) + 2K1 (2/3)
0
(33)
The first-order term of Equation (32) was already given by
Goldreich & Tremaine (1980). It is plotted as a straight green
dashed line in Figure 3. Our expansion to second order enables
us to go further, and to give the expression of the magnitude of
the asymmetry between the two sides of the disk:
δJ
= 2α|b|/rm = 4.92|b|/rm .
∆J
(34)
It is such that for an orbit with a given impact parameter, the
angular momentum exchanged in the outer disk is the larger
one.
In the case studied numerically, we had rH = 10−4 , so that
|b|/rm = 10−4 b̂. Then, Equation (34) remarkably agrees with
the numerical fit (Equation (4)). The light blue dot-dashed curve
in Figure 3 displays 4.92 × 10−4 b̂ ∆J .
In the context of the above, we note that approximations
made in obtaining Equation (31) such as effectively starting and
truncating the interaction at some finite though large distance
from the moonlet could conceivably lead to changes comparable
to those given by Equation (34). However, such changes are
again approximately symmetric for trajectories on both sides of
the moonlet and thus approximately cancel so we do not expect
such effects to significantly alter Equation (34).
3.3. Migration Rate and Discussion
If the surface density of ring particles is Σ, the total rate of
angular momentum transferred to the moonlet is
ZZ
dJ
|ω − Ω|
=−
dr rdφ,
(35)
Σ ∆J
dt
2π
disk
where the integral is taken over the disk. The particles exterior
to the moonlet contribute negatively while those interior to the
moonlet contribute positively. The cumulative torque exerted by
the moonlet on the region of the ring located within a distance
b to its orbit then reads
Z b
Σ(rm + b′ )(∆J (b′ ))|ω − Ω|db′ .
(36)
Tc (b) =
−b
The normalized cumulative torque
¢¤
¡
±£
Tc (b) (m/M)4/3 Σ/Mrm−2
is plotted in Figure 4. The proportionality to Σ is obvious; that
Tc ∝ (m/M)4/3 is numerically verified for 3×10−15 6 m/M 6
0
1
2
3
4
5
b / rH
6
7
8
9
10
Figure 4. Cumulative torque given by Equation (36) exerted by a moonlet on
the region of the ring rm − b < r < rm + b.
3 × 10−9 , and has been already found analytically by Ward
(1991) for the horseshoe drag in a similar context.
Most of the total torque comes from scattered, circulating particles, in particular the ones with the smallest impact parameter
b̂ ≈ 2.5. This makes the total torque sensitive to the physical
size of the moonlet (taken as 0.95 rH here), as some particles
colliding with the moonlet could be circulating if it were smaller.
The role of the horseshoe drag appears to be non-negligible,
amounting to ∼4.1(Σ/Mrm−2 )(m/M)4/3 Mrm2 ω2 . The expression of Ward (1991) for the torque arising from material executing horseshoe turns, called the horseshoe drag, is for a Keplerian
disk with a flat density profile:
THS =
9 4 2
Σw ω ,
8
(37)
where w is the half-width of the horseshoe region.
In our case, w = 1.774 rH , which gives THS =
2.6 (Σ/Mrm−2 )(m/M)4/3 Mrm2 ω2 . The agreement is good because Ward’s analysis is based only on geometrical effects and
angular momentum variation in a Keplerian disk, without any
pressure effect. Therefore, it also applies in Saturn’s ring. We
remark that taking w = 2rH in Equation (37) gives a perfect
match with what we find numerically for the total horseshoe
drag.
In conclusion, from Figure 4, the total torque felt by a moonlet
of mass m on a circular orbit of radius rm around a planet of
mass M can be written as
µ
¶³ ´
m 4/3
Σ
T = −17.8
Mrm2 ω2 .
(38)
−2
M
Mrm
Note that to get the same dependency of the type I torque in
the parameters of the system, one has to assume h ∝ rH /rm
in Equation (1); however, in a protoplanetary disk, h is fixed
and independent of the mass of the secondary body, so that this
proportionality would not be justified.
The torque is related to the migration speed through T =
0.5 m rm Ω(drm /dt). Hence we deduce that
drm
Σr 2 ³ m ´1/3
rm Ω.
= −35.6 m
dt
M M
(39)
Here the migration rate is proportional to the mass of the moonlet
to the power 1/3, in contrast to standard type I migration
950
CRIDA ET AL.
where drm /dt ∝ m. A numerical application to the case of
an m = 10−18 MSaturn = 5.68 × 108 kg moonlet in orbit in
the A ring of density Σ = 400 kg m−2 at rm = 130,000 km
from Saturn gives drm /dt = −0.23 m yr−1 . Increasing the
mass by two orders of magnitude to correspond to a radius of
∼200 m speeds up the migration rate by a factor of only ∼4.5
to ∼ −1 m yr−1 .
After time t, a migrating propeller will be shifted longitudinally with respect to a corresponding non-migrating one by
a distance rm δφ = 3Ω |drm /dt| t 2 /4. For the above parameters, this gives 713 [t/(1 yr)]2 m. A shift of this magnitude is
potentially detectable on a timescale of a year to a few years
(Porco et al. 2004). Actually, migration of propellers has already been detected: during one time period of nearly a year, a
particular propeller has been seen moving outward at a rate of
∼110 m yr−1 , and during a later similar time period, the same
propeller has been seen moving inward at a rate of ∼40 m yr−1
(Tiscareno et al. 2010).
These observations are not compatible with the above theory. But we recall that the process of migration for a moonlet described above assumed a smooth particle disk with constant surface density. Here we note that there are features and
mechanisms that might produce a significantly faster migration rate, possibly in both directions inward and outward, and
non-constant in time. One can first think of a radial density
gradient: as there is no pressure buffer here, this would directly affect the balance between the torques from the inner
and outer parts of the ring. This would also affect the torque
from the horseshoe region, which could turn positive. However,
if the migration is governed by the gradient of some quantity,
it seems likely that the moonlet would have approached an
extremum in that quantity, and thus should have attained a migration rate comparable to that estimated for a constant surface
density.
Another possibility resulting in the moonlet migrating faster
than what the previous calculation indicates, and possibly outward, is a runaway migration in a planetesimal disk (see Ida
et al. 2000 and Levison et al. 2007, for a review), similar
to the type III migration of planets in protoplanetary disks
(Masset & Papaloizou 2003). In this regime, the migration of
the moonlet in the disk leads to a positive feedback on its migration rate, because of the material of the inner (resp. outer)
disk making horseshoe U-turns to the outer (resp. inner) disk.
This speeds up the migration, possibly leading to a runaway.
However, this inevitably leads to an asymmetry in the horseshoe region, while the propeller structures observed are rather
symmetrical.
Finally, the A ring of Saturn is not homogeneous. It is close
to gravitational instability, which should lead to the formation
of gravity wakes and density fluctuations. The effect of these
density fluctuations on the moonlet is studied in the following
section.
4. THE ROLE OF DENSITY FLUCTUATIONS AND
RESULTING STOCHASTIC MIGRATION
The analytic calculations and numerical simulations in the
previous chapters assume an inflow of particles on circular orbits
only perturbed by the nearby moonlet. However, we know that
Saturn’s A ring is marginally gravitationally stable (Daisaka
et al. 2001). The Toomre Q parameter (Toomre 1964), which
is a measure of the importance of self-gravity, is expected
to be on the order of 2–7, indicating that the ring particles’
mutual gravity is indeed a strong effect. It leads to the regular
Vol. 140
Table 1
Simulation Parameters
Name
L2
S1
S3
ra (m)
ρp (g cm−3 )
Σp (kg m−2 )
H (m)
N
13
0.52
1.3
0.5
0.7
0.7
885
49.7
246
5000
1000
1000
4,808
120,548
38,188
Notes. The first column identifies the simulation, following the convention of
Lewis & Stewart (2009). The second and third columns give the size (or radius)
of the particles and their density. The fourth and fifth columns give the surface
density and the size of the computational domain, respectively. The last column
lists the number of particles.
formation and dispersion of gravity wakes, which are local
density enhancements elongated in parallel directions by the
Keplerian shear. Those overdensities give rise to stochastic
forces which act on the embedded moonlet.
A very similar effect is expected to occur in protoplanetary
disks. These disks are thought to be turbulent due to their magnetorotational instability (Balbus & Hawley 1991). The turbulent
fluctuations create overdensities which interact gravitationally
with embedded small-mass planets. The stochastic forces make
the planet undergo a random walk. An analytic model of this
random walk has been derived by Rein & Papaloizou (2009).
In the following, we apply this model to moonlets embedded
in Saturn’s rings. To do that, we need to get an estimate of the
amplitude of the stochastic forces.
Here, we only calculate a first estimate of these forces.
A comprehensive parameter space survey of all possible ring
parameters is beyond the scope of this work and discussed in a
separate paper (Rein & Papaloizou 2010).
4.1. Numerical Calculations
We perform three-dimensional simulations of ring particles,
in a shearing box, similar to Salo (1995). The simulations are
done in a local cube of size H with shear periodic boundary
conditions, and the origin of the box is fixed at a semimajor
axis of a = 130,000 km. A BH tree code (Barnes & Hut
1986) is used to calculate the self-gravity between ring particles
and resolve inelastic collisions. Collisions between particles are
resolved using the instantaneous collision model and a velocitydependent coefficient of restitution given by (Bridges et al. 1984)
½
³
´−0.234 ¾
v
ǫ(v) = min 0.34 ×
,1 ,
(40)
1 cm s−1
where v is the impact speed projected on the vector joining the
centers of the two particles. The code is described in more detail
in Rein et al. (2010).
The size of ring particles is not well constrained. Therefore,
and to be able to scale to different locations in Saturn’s rings,
we perform multiple simulations. For a given simulation, all the
particles are assumed to be spherical and have the same size (or
radius), which varies from simulation to simulation from 0.52
to 13 m. The simulation parameters are listed in Table 1. The
nomenclature and physical parameters are, for easy comparison,
the same as in Lewis & Stewart (2009), as our simulations are
similar to theirs.
The moonlet is not taken into account in the simulations.
We measure the specific gravitational force f̂ (or acceleration)
felt by a passive test particle sitting at the origin. We calculate
the force in two different ways in order to avoid the singularity
at the origin and to account for the physical size of the moonlet.
In the first case, we use a cutoff at the moonlet’s radius d and
No. 4, 2010
Table 2
Simulation Results
8e-08
L2
4e-08
Simulation
0
-4e-08
-8e-08
1e-09
S3
Correlation
Time (s)
τx
τy
Dx
Dy
5000
6000
7000
9000
Cutoff
Smooth
2000
3000
4000
8000
14.97 × 10−12
9.11 × 10−12
4.1
S1
9.61 × 10−12
5.34 × 10−12
S3
Cutoff
Smooth
2000
4000
6000
10000
7.50 × 10−16
8.87 × 10−16
30.24 × 10−16
20.48 × 10−16
2.5
-1e-09
1e-10
5e-11
Q
Cutoff
Smooth
0
-5e-10
Diffusion Coefficient (m2 s−3 )
L2
5e-10
S1
951
1.92 × 10−17
1.59 × 10−17
2.26 × 10−17
1.69 × 10−17
7.2
0
-5e-11
-1e-10
0
5
10
time [orbits]
15
20
Figure 5. Azimuthal component of the specific gravitational force felt by the
moonlet in m s−2 for simulations L2, S3, and S1 (from top to bottom).
exclude all particles within that radius from the force calculation.
In the second case, we use a smoothed gravitational force per
unit mass in the form
f̂ = −
Gmpart
r̂,
|r̂|2 + d 2
(41)
where r̂ is the vector linking the origin to the particle and mpart
is the mass of the particle. The smoothing length d is set equal
to the moonlet’s size. In a self-consistent simulation, one should
include the moonlet with its real physical size. However, this
goes beyond the scope of this paper and will be considered in
future work (Rein & Papaloizou 2010). Our purpose here is to
estimate the underlying stochastic fluctuations in the migration
rate that occur independently of the moonlet. This procedure is
reasonable as long as the moonlet is in a steady state, namely
if it does not accumulate or lose a large amount of mass over
one orbit. In all our simulations we assume a moonlet size of
d = 200 m.
4.2. Results
We measure the amplitude and the correlation time of the
stochastic forces in all simulations. The results are listed in
Table 2. We also plot the time evolution of the azimuthal (y)
force component in Figure 5. Whereas the correlation time in all
simulations is almost the same, the amplitude of the stochastic
fluctuations varies by almost a factor of 103 . The forces in
the vertical direction are negligible and are not presented here.
The diffusion coefficient, being a measure of the strength of
stochastic forces, is defined as D = 2hf 2 iτ (see Rein &
Papaloizou 2009), where hf 2 i1/2 and τ are the root mean square
value and the approximate correlation time, respectively, of the
specific stochastic force in one direction.
The change in the semimajor axis a due to the effect of
stochastic forces with diffusion coefficient D after time t is
given by
∆a =
2√
Dt,
ω
(42)
where ω is the mean motion of the moonlet (Rein & Papaloizou
2009). Note that in this regime the acceleration of the moonlet
does not depend on its mass (as can be seen in Equation (41)).
Therefore, the migration rate and the diffusion coefficient are
Notes. The first column gives the name of the simulation as defined in Table 1
and the method used in the computation of the force. The second and third
columns give the correlation time in the x (radial) and y (azimuthal) directions,
respectively. The fourth and fifth columns list the diffusion coefficients. The
sixth column is the Toomre Q parameter as measured in the simulation.
independent of the mass of the moonlet; this might be an
observational indication for this migration regime.
Assuming an initial semimajor axis of a = 130,000 km
and D ∼ 10−17 m2 s−3 as found in simulation S1, one
can calculate the expected difference in the semimajor axis
after one orbit due to stochastic forces which turns out to be
∆a = 0.01 m. For simulation S3, assuming D ∼ 10−15 m2 s−3 ,
one finds ∆a = 0.11 m. For the simulation L2, assuming
D ∼ 10−11 m2 s−3 , one finds ∆a = 10.5 m. These translate
to random walks with√standard deviation given
√ as a function
of time by√∆a = 0.27 t/(1 yr) m, ∆a = 2.7 t/(1 yr) m, and
∆a = 270 t/(1 yr) m, respectively.
The results might depend on a variety of properties of the ring
particles such as the coefficient of restitution, internal density,
and size distribution. However, our results can be seen as an
upper limit on the strength of the stochastic forces.
We use the coefficient of restitution given by Equation (40).
Additional simulations have shown that reducing the coefficient
of restitution makes the system gravitationally unstable forming persistent aggregates. One could circumvent this fate by
decreasing the internal density of particles, so that they are well
within their Roche limit. And indeed, the internal densities used
in our simulations are rather high (compare to Porco et al. 2008).
However, because the simulations are close to forming persistent clumps, Q is close to unity and the gravitational wakes that
occur are as strong as they can possibly get. Thus, the forces are
as large as they can possibly get in a steady-state ring of a fixed
surface density.
4.3. Discussion
From the above, it can be seen that increasing the surface
density by factors of 4–5 changes the migration rate by two
orders of magnitude. Thus, the results clearly show that the
surface density Σ is much more important than in the regular,
type-I-like migration presented in Section 3. This can be easily
understood with a toy model. The critical unstable wavelength
λ scales linearly with Σ (Toomre 1964). If we assume a fixed
moonlet size, the ratio of the moonlet size to λ therefore
changes with Σ. In the limit where λ is much smaller than the
moonlet radius, the stochastic forces are negligible as the density
distribution is approximately homogeneous on the relevant
scales. This is the case in simulation S1. In the other limit where
λ is larger than the moonlet, the moonlet undergoes a random
walk that is similar to that of individual ring particles as seen in
simulation L2.
952
CRIDA ET AL.
The range in migration rates found in simulations shows that
over timescales of several years the migration of a moonlet of
mass m ∼ 10−16 MSaturn may be dominated by a random walk in
some situations (e.g., those in simulations S3 and L2, the latter
carried out with particles of radius 13 m). However, in regions
of the rings where the surface density is small (e.g., simulation
S1), the moonlet may be in a regular, non-stochastic migration
regime. In that case, the model from Section 3 can be applied.
This dependence offers an exciting possibility to constrain the
nature of the ring particles and the physical processes occurring
in the rings by measuring the migration of moonlets. But note
that because regular migration gives a decrease in the semimajor
axis that is linear in time, provided it continues to operate, it will
always ultimately dominate the behavior for large time because
the spreading of the semimajor axis associated with stochastic
migration increases only as the square root of time.
Presently, the number of observed migration rates is not
sufficient to draw a statistically significant conclusion. However,
the fact that the migration varies in rate and direction clearly
favors the stochastic migration model presented in this section.
Considering a migration rate of |∆a| = 100 m in t = 1 yr
in Equation (42), one finds D = 1.4 × 10−12 m2 s−3 . Taking
|∆a| = 40 m in t = 1 yr gives D = 2.2 × 10−13 m2 s−3 . This is
in the range obtained in the simulations, and tends to favor the
case of simulation L2, and Σ ∼ 700 kg m−2 in the A ring.
5. CONCLUSION
In this paper, we have calculated the differential torque exerted on a moonlet by the outer and the inner disk with a smooth,
flat surface density profile. We performed both an accurate numerical integration and a second-order analytical calculation.
These approaches were found to be in excellent agreement
where their domains of validity overlap. The migration rate
found in this case is proportional to the mass of the moonlet to
the power 1/3. It is about −1 m yr−1 for a 200 m radius moonlet
in the A ring. This is way too low to explain the observed migration of the propellers in Saturn’s rings. Nonetheless, density
fluctuations in the rings, due to their proximity to gravitational
instability, can lead to stochastic torques on a moonlet, which
may dominate on the timescale of the Cassini mission, to an
extent that depends mainly on the surface density of the rings.
These stochastic torques may account for the observations.
The possibility that the migration of propellers is induced
by stochastic processes rather than by a regular type-I-like
migration is therefore very exciting: this may help to infer
the local surface density and therefore the size of the ring
particles. Indeed, both quantities are linked through the optical
depth, which is observationally well constrained. Our estimate
of Σ ∼ 700 kg m−2 is equivalent to ∼10 m size particles in the A
ring for a single-sized population. This is in good agreement with
previous estimates of the surface density from the structure of
the gravity waves (Tiscareno et al. 2007, and references therein).
For the A ring, radio occultations of the Voyager spacecraft
(Zebker et al. 1985) find that the radius ra of particles follows:
0.1 m (assumed) < ra < 11 m, with a power index ∼ −3.
For the 28 Sgr occultation (French & Nicholson 2000), a range
1 m < ra < 20 m is found, with a power index between −2.7 and
−3, and an effective size (the single average size accounting for
the fluctuations in photon count) being about 7 m (Cuzzi et al.
2009).
Fortunately, the Cassini mission has been extended to 2017.
In the meantime, numerous observations of the propellers will
hopefully give a clear picture of their orbital evolution for a
Vol. 140
period of 10 years, representing about 10,000 orbits. This will
allow us to test the hypothesis presented in this paper, and in
particular to check whether the propellers really are in stochastic
migration, whereas first results seem to favor the stochastic
hypothesis.
Among the questions that still need to be addressed is
why all the propellers seem to be gathered in the A ring,
in places apparently devoid of density waves. Indeed the
propellers seem gathered in three narrow radial bands of
only about 1000 km width (Tiscareno et al. 2008). This is
especially surprising since the A ring is densely populated by
numerous density waves launched by the nearby small moons
(Atlas, Prometheus, Pandora, Janus, and Epimetheus). Is there
a systematic mechanism that would eject the propellers away
from density waves? Or does the present location of propellers
just reflect the initial location of the parent body, assuming that
the propeller population comprises the fragments resulting from
the destruction of an ancient moon orbiting within the rings?
If the moonlets really undergo stochastic migration, then
Equation (42) may strongly constrain the age of the propellers,
which cannot be larger than the time needed to diffuse over ∆a >
1000 km. Unfortunately, as long as D is unknown Equation (42)
does not provide any useful information. However, considering
that ∆a is proportional to the square root of the time, and
assuming that a moonlet migrates about 100 m in 1 year, one
finds that ∆a = 1000 km for t = 100 million years. Assuming
|∆a| = 40 m in 1 year, we find that it requires ∼625 million
years to diffuse over 1000 km. Note that for 200 m radius
moonlets, the spreading due to stochastic migration equates to
the contraction of the semimajor axes occurring as a result of
smooth, regular migration after ∼104 yr, and then ∆a ≈ 10 km.
Thus, it would take about a million years to migrate through
∆a = 1000 km in this case, largely through the action of the
non-stochastic, regular migration process, if that can be assumed
to operate smoothly and simultaneously with the stochastic
migration process. A 100 m radius moonlet would migrate
through only 500 km in the same period, so that the smooth,
regular migration process spreads a population of moonlets of
various sizes over 1000 km in one to two million years. These
could be the times since the catastrophic disruption of a small
moon orbiting at 130,000 km from Saturn that was broken into
smaller moonlets by a meteoritic impact. On the other hand, an
estimate of the lifetime of a Pan size moon (∼14 km in radius)
against today’s cometary flux is provided by Dones et al. (2009)
and gives a range between 100 Myr and 16 Gyr, depending on the
size distribution of impactors. Therefore, the recent occurrence
of such an event, about 4–4.5 billion years after solar system
formation, is possible. Note also that an age of about 100 Myr
is coherent with some estimates of Saturn’s ring age despite
the lack of fully satisfactory explanation for their origin (see
Charnoz et al. 2009a for a review).
We see that the question of a propeller’s migration is inextricably linked to the issue of the origin of Saturn’s moons
embedded in the rings, which is still a mystery. Porco et al.
(2007) and Charnoz et al. (2007) have jointly proposed that
small moons embedded in the rings could be aggregates of material on an initial shard denser than ice. When destroyed by
meteoritic bombardment, these could release dense chunks of
material that could explain the origin of the propellers. However, the origin of Saturn’s ring system is still a matter of debate
(Harris 1984; Charnoz et al. 2009b). Knowledge of the age of the
propellers could provide important constraints on the age of the
main ring system and its embedded moons, as there are strong
No. 4, 2010
indications that these could have about the same age, provided
these moonlets hide a dense shard (Charnoz et al. 2007; Porco
et al. 2007). Understanding the migration rate of the propellers
is therefore an important piece of this puzzle.
We thank J. Burns for stimulating discussions and the organizers of the “Dynamics of Discs and Planets” workshop at the Isaac
Newton Institute in Cambridge where these took place, as well
as M. Tiscareno for providing us with migration rates. Hanno
Rein was supported by an Isaac Newton Studentship, STFC,
and St John’s College, Cambridge. We also thank an anonymous referee for providing a speedy and constructive report.
APPENDIX
EVALUATION OF THE GREEN’S FUNCTION
Here we evaluate the Green’s function defined by
Equation (15) as
G(τ ) =
n=∞
1 X
exp(inβτ )
.
2π n=−∞ (Ω2 − n2 β 2 + iγ nβ)
(A1)
To perform the summation, we use the general result that if for
a general periodic function
g(τ ) =
n=∞
X
b(n) exp(inβt),
(A2)
n=−∞
with period 2π/β, and b(n) being defined as an integrable
function, we set
Z ∞
1
F (τ ) =
b(n) exp(inβτ )dn,
(A3)
2π −∞
then
g(τ ) = 2π
We set
b(n) =
n=∞
X
F (τ + 2π n/β).
(A4)
1
.
2π (Ω2 − n2 β 2 + iγ nβ)
(A5)
n=−∞
Then the integral in Equation (A3) defining F (τ ) is readily
performed by contour integration with the result that for t > 0
exp(−γ τ/2) sin(ωγ τ )
,
(A6)
2π ωγ β
p
otherwise F (τ ) = 0. Here ωγ = Ω2 − γ 2 /4. Using the above
to evaluate the sum in Equation (A4) as a geometric progression
yields g(τ ) ≡ G(τ ) for 0 < τ < 2π/β as
F (τ ) =
G(τ )
exp(−γ τ/2) sin(ωγ τ ) − exp(−γ π/β) sin(ωγ (τ − 2π/β))
£
¤,
=
ωγ β 1 + exp(−2γ π/β) − 2 exp(−γ π/β) cos(2π ωγ /β)
(A7)
the function is determined elsewhere by its periodicity with
period 2π/β.
953
REFERENCES
Balbus, S. A., & Hawley, J. F. 1991, ApJ, 376, 214
Barnes, J., & Hut, P. 1986, Nature, 324, 446
Baruteau, C., & Masset, F. 2008, ApJ, 672, 1054
Bridges, F. G., Hatzes, A., & Lin, D. N. C. 1984, Nature, 309, 333
Charnoz, S., Brahic, A., Thomas, P. C., & Porco, C. C. 2007, Science, 318, 1622
Charnoz, S., Dones, L., Esposito, L. W., Estrada, P. R., & Hedman, M. M. 2009a,
in Saturn from Cassini-Huygens, ed. M. K. Dougherty, L. W. Esposito, &
S. M. Krimigis (Dordrecht: Springer), 537
Charnoz, S., Morbidelli, A., Dones, L., & Salmon, J. 2009b, Icarus, 199, 413
Colwell, J. E., Esposito, L. W., & Sremčević, M. 2006, Geophys. Res. Lett., 33,
7201
Crida, A., Charnoz, S., Papaloizou, J., & Salmon, J. 2009, AAS/Division Planet.
Sci. Meeting Abstr., 41, 18.07
Crida, A., Morbidelli, A., & Masset, F. 2006, Icarus, 181, 587
Cuzzi, J., Clark, R., Filacchione, G., French, R., Johnson, R., Marouf, E., &
Spilker, L. 2009, in Saturn from Cassini-Huygens, ed. M. K. Dougherty, L.
W. Esposito, & T. Krimigis (Dordrecht: Springer), 459
Daisaka, H., Tanaka, H., & Ida, S. 2001, Icarus, 154, 296
Dones, L., Chapman, C. R., MacKinnon, B., Melosh, H. J., Kirchoff, M. R.,
Neukum, G., & Zahnle, K. J. 2009, in Saturn from Cassini-Huygens, ed. M.
K. Dougherty, L. W. Esposito, & T. Krimigis (Dordrecht: Springer), 613
French, R. G., & Nicholson, P. D. 2000, Icarus, 145, 502
Goldreich, P., & Tremaine, S. 1979, ApJ, 233, 857
Goldreich, P., & Tremaine, S. 1980, ApJ, 241, 425
Harris, A. W. 1984, in IAU Colloq. 75, Planetary Rings, ed. R. Greenberg & A.
Brahic (Tucson, AZ: Univ. Arizona Press), 641
Hedman, M. M., Nicholson, P. D., Salo, H., Wallis, B. D., Buratti, B. J., Baines,
K. H., Brown, R. H., & Clark, R. N. 2007, AJ, 133, 2624
Ida, S., Bryden, G., Lin, D. N. C., & Tanaka, H. 2000, ApJ, 534, 428
Kley, W., & Crida, A. 2008, A&A, 487, L9
Levison, H. F., Morbidelli, A., Gomes, R., & Backman, D. 2007, in Protostars
and Planets V, ed. B. Reipurth, D. Jewitt, & K. Keil (Tucson, AZ: Univ.
Arizona Press), 669
Lewis, M. C., & Stewart, G. R. 2009, Icarus, 199, 387
Lin, D. N. C., & Papaloizou, J. 1979, MNRAS, 186, 799
Masset, F. S. 2001, ApJ, 558, 453
Masset, F. S., & Papaloizou, J. C. B. 2003, ApJ, 588, 494
Paardekooper, S., Baruteau, C., Crida, A., & Kley, W. 2010, MNRAS, 401, 1950
Paardekooper, S., & Papaloizou, J. C. B. 2009, MNRAS, 394,
2283
Papaloizou, J. C. B., Nelson, R. P., Kley, W., Masset, F. S., & Artymowicz,
P. 2007, in Protostars and Planets V, ed. B. Reipurth, D. Jewitt, & K. Keil
(Tucson, AZ: Univ. Arizona Press), 655
Porco, C. C., Thomas, P. C., & Weiss, J. W. 2007, Science, 318,
1602
Porco, C. C., Weiss, J. W., Richardson, D. C., Dones, L., Quinn, T., & Throop,
H. 2008, AJ, 136, 2172
Porco, C. C., et al. 2004, Space Sci. Rev., 115, 363
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. 1992,
Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd
ed.; Cambridge: Cambridge Univ. Press)
Rein, H., Lesur, G., & Leinhardt, Z. M. 2010, A&A, 511, A69
Rein, H., & Papaloizou, J. C. B. 2009, A&A, 497, 595
Rein, H., & Papaloizou, J. C. B. 2010, A&A, submitted (arXiv:1006.1643)
Salo, H. 1995, Icarus, 117, 287
Spahn, F., & Sremčević, M. 2000, A&A, 358, 368
Sremčević, M., Schmidt, J., Salo, H., Seiß, M., Spahn, F., & Albers, N.
2007, Nature, 449, 1019
Tanaka, H., Takeuchi, T., & Ward, W. R. 2002, ApJ, 565, 1257
Tiscareno, M. S., Burns, J. A., Hedman, M. M., & Porco, C. C. 2008, AJ, 135,
1083
Tiscareno, M. S., Burns, J. A., Hedman, M. M., Porco, C. C., Weiss, J. W.,
Dones, L., Richardson, D. C., & Murray, C. D. 2006, Nature, 440, 648
Tiscareno, M. S., Burns, J. A., Nicholson, P. D., Hedman, M. M., & Porco, C. C.
2007, Icarus, 189, 14
Tiscareno, M. S., et al. 2010, ApJ, 718, L92
Toomre, A. 1964, ApJ, 139, 1217
Ward, W. R. 1986, Icarus, 67, 164
Ward, W. R. 1991, Lunar Planet. Inst. Conf. Abstr., 22, 1463
Ward, W. R. 1997, Icarus, 126, 261
Zebker, H. A., Marouf, E. A., & Tyler, G. L. 1985, Icarus, 64, 531
Planetary and Space Science 58 (2010) 1475–1488
Planetary and Space Science
journal homepage: www.elsevier.com/locate/pss
In-flight calibration of the Cassini imaging science sub-system cameras
Robert West a,n, Benjamin Knowles b, Emma Birath b, Sebastien Charnoz c, Daiana Di Nino b,
Matthew Hedman d, Paul Helfenstein e, Alfred McEwen f, Jason Perry f, Carolyn Porco b, Julien Salmon c,
Henry Throop g, Daren Wilson b
a
Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, MS 169-237, 4800 Oak Grove Drive, Pasadena, CA 91109, USA
CICLOPS/Space Science Institute, 4750 Walnut Street, Ste 205, Boulder, CO, USA
c
UMR AIM, Université Paris Diderot/CEA/CNRS, CEA/SAp, Centre de l’Orme des Merisiers, 91191 Gif-Sur-Yvette, Cedex, France
d
Department of Astronomy, Cornell University, Ithaca, NY 14853, USA
e
CRSR, Cornell University, Ithaca, NY 14853, USA
f
Lunar and Planetary Laboratory, University of Arizona, Tucson, AZ 85721, USA
g
Southwest Research Institute, Boulder, CO 80302, USA
b
a r t i c l e in fo
abstract
Article history:
Received 10 March 2010
Received in revised form
9 June 2010
Accepted 1 July 2010
Available online 23 July 2010
We describe in-flight calibration of the Cassini Imaging Science Sub-system narrow- and wide-angle
cameras using data from 2004 to 2009. We report on the photometric performance of the cameras
including the use of polarization filters, point spread functions over a dynamic range greater than 107,
gain and loss of hot pixels, changes in flat fields, and an analysis of charge transfer efficiency. Hot pixel
behavior is more complicated than can be understood by a process of activation by cosmic ray damage
and deactivation by annealing. Point spread function (PSF) analysis revealed a ghost feature associated
with the narrow-angle camera Green filter. More generally, the observed PSFs do not fall off with
distance as rapidly as expected if diffraction were the primary contributor. Stray light produces
significant signal far from the center of the PSF. Our photometric analysis made use of calibrated spectra
from eighteen stars and the spectral shape of the satellite Enceladus. The analysis revealed a shutter
offset that differed from pre-launch calibration. It affects the shortest exposures. Star photometry
results are reproducible to a few percent in most filters. No degradation in charge transfer efficiency has
been detected although uncertainties are large. The results of this work have been digitally archived and
incorporated into our calibration software CISSCAL available online.
& 2010 Elsevier B.V.. All rights reserved.
Keywords:
Instrumentation
Image processing
Photometry
Polarimetry
Experimental techniques
1. Introduction
The Cassini imaging science sub-system (ISS) consists of two
cameras on the Cassini spacecraft. The cameras were built by the
Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology. The
spacecraft was launched in October 1997, and has been in orbit
around Saturn since July 2004. The scientific and technical
background for the ISS instrument, and initial calibration tables,
including final in-flight geometric calibrations were described by
Porco et al. (2004). In this paper we focus on our in-flight
experience with emphasis on target and data selection criteria
and methods. We start by briefly describing the cameras (optics,
detectors, shutter and filters). We then discuss methods and
results for a variety of instrument in-flight calibrations. Results
are presented in the context of our calibration software package
named CISSCAL (Cassini ISS CALibration), which runs in the
n
Corresponding author. Tel.: +1 8183540479; fax: + 1 8183934619.
E-mail address: [email protected] (R. West).
0032-0633/$ - see front matter & 2010 Elsevier B.V.. All rights reserved.
doi:10.1016/j.pss.2010.07.006
interactive data language (IDL) environment. The latest versions
of the CISSCAL calibration volumes, including software, calibration files, sample calibration images and documentation, can be
found on the CICLOPS website at http://ciclops.org/sci/cisscal.php
and also at the Planetary Data System Imaging Node website at
http://pds-imaging.jpl.nasa.gov/data/cassini/cassini_orbiter/
coiss_0011_v2/extras/. All tables and digital files needed for the
calibration (except point spread functions) are bundled with the
software. In the future we plan to include the point spread
functions.
2. Camera descriptions
Porco et al. (2004) provided comprehensive descriptions of the
Cassini ISS narrow angle camera (NAC) and wide angle camera
(WAC), including schematic diagrams of the structures and
coordinate systems, filter characteristics, location of filters in
the filter wheels, summation modes, image compression, coherent noise, and other attributes. Here we very briefly mention the
R. West et al. / Planetary and Space Science 58 (2010) 1475–1488
1476
key elements most relevant to in-flight calibration. Schematic
views of the cameras appear in Figs. 1 and 2
The NAC is a reflector with a Ritchey–Chretien design to
eliminate coma out to the edge of the field. This design improves
image quality and simplifies image deconvolution since the point
spread function (PSF) should be nearly independent of position.
The WAC is a refractor, using spare optics (but new detector and
filter wheel) from the Voyager mission. Both cameras use a
1024 1024-element charge-coupled device (CCD) array detector. Image scale is 5.9907 mr/pixel for the NAC and 59.749 mr/pixel
for the WAC. Geometric distortion is small and is described by
Porco et al. (2004). The cameras contain interference filters that
were created by ion-aided deposition which produces a very
stable product, immune to humidity and insensitive to temperature variations. Each camera contains two filter wheels which are
used in tandem. Filter characteristics are listed in Tables VIII, IX
XIV and XV of Porco et al. (2004), and transmission plots are
shown in several figures of that paper. In addition polarizing
filters can be paired with filters in the opposite wheel.
3. Residual bulk image and hot pixels
The cameras are framing devices with a mechanical shutter
that controls exposure times. A radiative cooler combined with an
electrical heater keep the detectors at a constant temperature
( ÿ 90 1C). At that temperature a residual bulk image (hereafter
RBI) leaks into the potential wells with a time constant
comparable to an image readout time. This effect introduces a
residual signal that depends on previous exposure to light. To
establish a repeatable starting condition the detectors are flooded
with light from lamps near the detector and then the CCD is
clocked out to remove charge in the potential wells just before
each exposure. We call this ‘‘pre-flash’’. Although the detector
state is always initialized in the same way, charge from the preflash that leaks into potential wells during the exposure and
during readout depends on exposure time and readout rate.
Exposure times range from a few milliseconds to 1200 s and
readout rates depend on many variables and can change during
the readout. The resulting dark field is a spatially varying field
that has a complicated dependence on many variables.
Dark frames were obtained for a range of exposure times from
0 to 1200 s by performing a normal exposure procedure but
keeping the shutter closed. From these images we measure the
rate of RBI leakage as a function of time. These images, like all the
others, were first flooded by the pre-flash and then the CCD was
read out before the exposure began. Understanding the dark field
requires that the concept of ‘‘pixel’’ be refined to distinguish
physical location on the chip, and the potential well associated
with that physical location as a function of time. Once the readout
starts the potential wells are clocked (shifted at the clocking rate)
down the CCD until they reach the readout register and are then
shifted out of the readout register. As they are clocked down they
pick up charge from physical locations downstream of the
originating physical location. Our initial thinking on how to
model pre-flash RBI was outlined in Section 3.11 of Porco et al.
(2004). Our implementation is a little different than the one
described in that document. Instead of fitting a variety of dark
Fig. 1. This schematic diagram of the Cassini ISS narrow angle camera shows key optical, structural and sensor components. From Porco et al. (2004).
1477
Fig. 2. The WAC optical, structural and sensor components. From Porco et al. (2004).
exposure values to coefficients of exponential sums we simply
interpolate each pixel in the time domain. Derivation of the
interpolation values requires an inversion code that accounts for
accumulation of charge as each potential well moves over
physical locations downstream of the originating location. The
interpolation is much more stable and faster than the parameter
fitting. The derived calibration values are the number of electrons
emitted at each physical location as a function of time from the
start of the exposure. These are stored in files and later read and
interpolated to calculate output electrons for each physical
location as a function of time. The calculated dark field for pixel
[i,j], where i is the sample number (horizontal coordinate in the
image) and j is the line number (vertical coordinate), is then the
sum of the contributions of the originating location and all
locations downstream of [i,j] as given by
X
Di,j ¼
RBIði,k,t2 ÞÿRBIði,k,t1 Þ
ð1Þ
k ¼ j,1
In Eq. (1) t1 and t2 are times when the potential well
originating at physical location [i,j] enters and leaves physical
location [i,k].
This calculation requires a computation of the dwell time for a
potential well at its originating physical location and at each
downstream location as the chip is read out. Since the RBI leakage
rate decreases with elapsed time from the pre-flash, both the
entry time (the time that a potential well begins to accumulate
charge at a given physical location) and exit time must be
computed. The timing is a complicated function of the telemetry
rate, summation state (unsummed, 2 2 or 4 4), camera (NAC
or WAC), compression (lossy or lossless, and lossy parameters)
and image entropy (which depends on scene entropy, gain state
and accumulated signal). For example, if the BOTSIM image mode
is used (BOTh cameras SIMultaneous) the NAC and WAC both read
to the buffer until the buffer fills. At that point the WAC stops
reading out and only resumes when the buffer becomes available.
The interaction with the buffer causes the last part of the image to
read out more slowly than the first part and so the dark field is
higher and has a different slope (signal as a function of line
number) in the latter part of the image. The transition (line
number) where this occurs depends on the other parameters
mentioned above. Since there is a large number of possible
combinations of parameters that affect the readout rate it is
impractical to pre-compute dark images. Rather, they are created
as needed and stored in a user archive on the user’s computer. If
additional images have the same set of parameters the relevant
dark file can be retrieved from the archive more quickly than
creating a new one. For this reason a special naming convention
governs the archival dark files so that future dark calculations can
test if the relevant file is available.
Some pixels (at locations of defects in the silicon caused by
cosmic rays, gamma rays from the spacecraft radioactive thermal
power generators, or from the manufacturing process) have an
unusually high electron emission rate. These can also be treated
with Eq. (1), but in this case it is not RBI but rather electron
emission from defects. We call these ‘‘hot pixels’’. From
cumulative energetic particle or gamma-ray damage we expect
to see changes in the number and locations of these over time. We
have examined the behavior of dark frames over the 4-year period
from 2004 to 2008 and find that the RBI field has not changed but
there are changes in the hot pixel field. These changes are now
incorporated in a time-dependent dark field algorithm in CISSCAL.
Table 1 lists the dates and number of pixels in the hot pixel list.
Annealing of the silicon over time can repair defects and perhaps
accounts for the observation than a few hot pixels return to
1478
Table 1
Updates for NAC and WAC hot pixels.
Image ID range
Epoch
Number of
hot pixels
I. NAC hot pixels
N1461810061–N1461815946
N1474408984–N1471821728
N1482070223–N1482068963
N1515164115–N1515173591
N1544295065–N1544302693
N1579619227–N1579632401
N1591853188–N1591862664
2004.3
2004.7
2005.0
2006.0
2006.9
2008.1
2008.5
1548
2066
2171
2452
2580
2852
2944
II. WAC hot pixels
W1461645122–W1461648643
W1474410099–W1471821728
W1482071734–W1482070474
W1512422616–W1512411194
W1514975604–W1514981960
W1528601516–W1528610114
W1544312473–W1544320101
W1578757861–W1578770861
W1591252254–W1591256170
W1610989968–W1611003390
2004.3
2004.7
2005.0
2005.9
2006.0
2006.4
2006.9
2008.1
2008.5
2009.1
1292
1980
1949
2145
2197
2256
2337
2571
2542
2596
2-Hz estimation produces larger errors (up to several DN) near the
gaps. We expect that this could be improved with a better
algorithm for 2-Hz removal.
4. Flat fields
Fig. 3. Data number (DN) values for an eleven-pixel median average centered on
sample 512 of each line of frame W1471313083 appear in the range 71–77 DN,
increasing with line number and with a small discontinuity near line 660 caused
by a ‘‘buffer full’’ pause. Points near the bottom of the figure (all but a few are zero)
show the result of subtraction of dark image, bias subtraction (a constant value
near 71 DN) and removal of 2-Hz noise which accounts for most of the variance in
the raw values.
normal activity over time. The number of pixels identified as hot
nearly doubled between 2004 and 2009, from 1548 to 2944 in the
NAC and from 1292 to 2956 in the WAC.
An example of the dark subtraction is shown in Fig. 3.
Residuals after dark subtraction and 2-Hz removal are less than
1 DN for most pixels provided the image is uncompressed or
losslessly compressed and 12-bit encoded. Larger residuals, closer
to 1 DN, are typical when 12-to-8 encoding is used due to higher
quantization uncertainty. If there are gaps due to data losses the
Flat field refers to the relative (pixel-to-pixel) sensitivity of the
detector. There is no calibration target on the Cassini spacecraft.
To look for changes in the flat field we must rely on images of
Venus or Titan which show very little contrast. The only changes
that we are able to retrieve thus far are annular rings caused by
dust specs on the optical components near the detector (the
window on the detector package, or the quartz field flattener, for
example). One new dust ring was noted in the Venus images early
in the mission and has been part of the CISSCAL flat field ever
since.
More recent changes were all detected at Titan close flybys.
The assessment of changes in flat field is complicated by intensity
gradients due to lighting and viewing geometry and by muted
surface contrasts. However, dust rings have a characteristic
annular shape that can be identified and not confused with
background clutter. The ideal time to image Titan is when the
spacecraft is close enough that Titan’s angular diameter is much
larger than the field of view of the camera and when the camera
can point at a spot far from the terminator and limb where the
intensity gradient is small. These are also the best times for a
variety of instruments to take science data and due to the intense
competition for pointing control and data volume we have not
been able to obtain flat field images except in the NAC CB3 and
MT1 filters which are heavily used for science. We plan to
schedule future exposures to expand coverage and to sample as
many WAC filters as the resources permit. The infrequent nature
of the Titan passes and the requirement for low phase angle at
close range for these measurements means that we have a
measure of changes in the flat field at several widely spaced times
during the mission, and it is not possible to know to a finer time
sample when observed changes occurred.
Fig. 4 shows changes in the flat field (rings) due to the
accumulation of dust on the optical components near the
detector. The ring radius depends on the distance of the dust
particle to the detector. Other features in the figure may or may
not constitute changes in flat fields but some are due to
differences in lighting conditions between the two time
samples. We have also taken exposures with the calibration
lamp on the WAC. Although the lamp is not imaged, the intensity
field is highly structured across the detector. We see changes but
the interpretation is not clear. They may be due to a small
positional change in the lamp.
5. Charge transfer efficiency
The charge transfer efficiency (CTE) is a measure of how well
electrons are transferred from one line to the next as the image is
read off of the CCD. Ideally, CTE should be 1.0, meaning that none
are trapped in the silicon. However, as damage from energetic
particle and photon bombardment accumulates on the CCD the
resulting defects (charge traps) can diminish the charge transfer
efficiency, and this will have an impact on the ability to calibrate
images. The energetic particle environment during cruise and in
orbit about Saturn is considerably more benign than it is for the
Hubble Space Telescope, which operates inside the Van Allen
belts, and so degradation to the Cassini detectors is likely to be
less severe than it was for the Wide Field and Planetary Camera 2
on the Hubble Space Telescope that used the same type of
1479
Fig. 5. Results of charge transfer efficiency analysis for the NAC computed by
least-squares fits to apparent brightness as a function of line or sample number for
340 NAC images of 36 stars. The ordinate is labeled charge transfer coefficient
rather than charge transfer efficiency to call attention to the fact that these are
fitted coefficients.
Fig. 4. The top panel shows new rings associated with dust on the optical
components near the NAC detector, from a set of images in the CB3 filter. The
contrast in the image is strongly amplified. The magnitude of these features is
typically less than 1% although a few are stronger. The bottom panel identifies the
features in terms of when they were found (see numbering scheme below). The
unnumbered circled features point to features that were visible in data from the
first two Titan flybys and are present to this day (or at least Rev 93 and Rev 110;
Rev is the orbit number). The numbered circled features represent changes since
flyby Tb (2004 day 346) and the number identifies the period in which they were
found (see below). The purple circled feature was visible in images from flybys Ta
and Tb as a ‘‘broken’’ annulus. By Rev 013, the annulus had filled out on its lower
right side and had darkened. Below is a chronology of the tracked changes (epochs
of differenced images): (1)Rev 013 and Rev 017 (2005-234 and 2005-302), (2) Rev
031 and Rev 038 (2006-298 and 2007-029) [2 changes], (3) Rev 049 and Rev 052
(2007-243 and 2007-323), (4) Rev 052 and Rev 053 (2007-323 and 2007-339), (5)
Rev 055 and Rev 062 (2008-005 and 2008-085), (6) Rev 062 and Rev 093 (2008085 and 2008-324).
detectors. Charge transfer efficiency prior to launch was measured
for the Cassini devices to be 0.99994. To measure charge transfer
efficiency in flight we imaged star cluster M48 with the NAC and
the Pleiades with the WAC. The intent was to image many stars at
once, rotate the spacecraft by 301 about the optical axis and take
Fig. 6. Results of charge transfer efficiency analysis for the WAC for 86 stars on 49
images.
another image, and repeat such that we could plot the charge as a
function of line number and sample number. Fitting a straight line
to the data plotted in that fashion would yield the charge transfer
efficiency.
The results of such fits are shown in Figs. 5 and 6. The ordinate,
labeled ‘‘charge transfer efficiency’’ is actually the CTE inferred
from the difference in star flux divided by the difference in the
number of line transfers from one image to the next as the
spacecraft rotated. Some of the points on the plot are higher than
1.0. We do not believe the CTE is higher than 1.0. Rather, this plot
shows that measurement error exceeds our ability to measure
CTE with this method. The vertical bars indicate uncertainty for
each star. The uncertainties are largest for faintest stars and for
stars near the center of the image where image rotation produces
only a small change in the vertical location of the star in the
image. The resulting composite (fitted) uncertainty is 0.14 for the
NAC and 0.11 for the WAC. These uncertainties are large
compared to the difference (1.0 ÿ CTE) we are trying to measure
and so we retain the CTE measured before launch. Some
1480
degradation to CTE has probably occurred during the mission but
it is too small to detect in images up to mid-2009.
6. Photometric calibration
For photometric studies the measured data number (DN)
values must be calibrated to yield photon intensities or fluxes, and
for solar system objects the desired quantity is usually I/F where I
is the reflected intensity and pF is the incident solar flux. After
subtraction of bias and the dark values and removal of 2-Hz noise
(see Porco et al., 2004), data numbers are converted to electrons
by use of the gain constant. The cameras have four gain states, and
the gains were calibrated on a relative scale from observations of
the same target at different gain states. Electrons and photons are
related by Eq. (2) from Porco et al. (2004):
Z
ep ½i,j ¼ Cðf1 ,f2 ÞAOtðiÞFFði,j,f1 ,f2 Þ Iði,j, lÞT0 ðlÞT1 ðlÞT2 ðlÞQEðlÞdl
ð2Þ
In Eq. (2) ep[i,j] is the photo-emitted electron count at pixel
location [i,j], A is the area of the primary lens or mirror, O is the
solid angle subtended by each pixel, FF is the flat field response, f1
and f2 are filters in wheels 1 and 2, respectively, l is the
wavelength, and T0, T1 and T2 are transmission functions of the
optics and filters in wheels 1 and 2, respectively. These were
measured in the laboratory.
After the shutter closes the potential wells are clocked down
the line direction as the CCD is read out. The shutter blades move
along the sample direction. The shutter blades accelerate and
decelerate and so the exposure time t(i) can depend on sample
number. This dependence was measured before launch. We use
the ground calibration for non-uniformity of the shutter, but we
have updated the shutter offset (a constant term to be subtracted
from the tabulated shutter time) using in-flight data. Our shortest
exposure time is nominally 5 ms, but the shutter offset we
derived for the NAC is almost half of that value. The constant
exposure offsets calculated during ground calibration were 1 ms
for the NAC and less than 0.5 ms for the WAC. From Vega analysis,
we derived a NAC offset to be 2.85 ms. We used images showing
azimuthal scans along Saturnian rings to determine the WAC
offset to about 1.8 ms. Uncertainty on shutter offset is 70.25 ms.
Filter transmission curves are thought to be accurate to about
1% over most of the bandpass within 1% of the peak value.
Transmission measurements were made out to several hundred
nanometers from the central peak but accuracy of those
measurements drops to a factor of 2 or worse once the
transmission drops below about 10 ÿ 3. The purpose of in-flight
photometric calibration is to determine the best values for the
quantum efficiency of the detector, QE(l) (electrons/photon), and
the filter-dependent correction factors C(f1,f2). If the component
calibrations done prior to launch are accurate and if there are no
changes during flight, then there should be no adjustment to preflight QE and the correction factors should be very close to 1.0.
Quantum efficiency is the most difficult quantity to measure
for the camera system, it is associated with the greatest
uncertainty, and so we first modify QE(l) to achieve a better
calibration. Adjustment to QE can affect more than one filter, so
the correction terms C(f1,f2) are used to make further corrections
to individual filter combinations.
Use of Eq. (2) allows us to account fully for the shape of the
filter and optics transmission functions which should be accurately known from laboratory measurement, and to use a variety
of sources which have structure in their spectral content. This
functionality is built into the CISSCAL, which has an option for an
intensity or flux spectrum supplied by the user. We calculate the
expected electron count by integrating all terms in Eq. (2). We
compare the expected count with the observed count and modify
the QE or the correction factors based on the difference until a
weighted best fit is achieved.
All images used in this analysis were calibrated using version
3.4 of the CISSCAL calibration software. Default settings were used
for all calibration steps with the exception of bias subtraction, for
which we used the bias strip mean to estimate bias level, and
2-Hz noise removal, which we performed using a horizontally
averaged ‘‘image mean’’ to approximate the 2-Hz noise level.
Additional cosmic ray removal was also performed using a
median box filter method, excluding the photometry aperture
region surrounding each star target.
Spectrophotometric calibration targets are listed in Table 2.
We selected several sources with different spectral characteristics
to provide checks. Our primary stellar reference is the
115–2600 nm Vega spectrum from Bohlin and Gilliland (2004).
Vega is an A0 spectral type star, with flux mostly increasing
toward the blue until the Balmer discontinuity is reached at
364.6 nm. In principle the use of Eq. (2) should accommodate a
spectral discontinuity but we were not able to fit all sources as
accurately as desired and we suspect that the discontinuity is
playing a role. We therefore added observations of fourteen hotter
stars (spectral types O and B) which have reduced or no Balmer
discontinuity. These are listed in Table 2. Vega images often
required short (less than 50 ms) exposure times in broadband
filters. Exposures less than 50 ms are most sensitive to errors in
shutter offset and also to small variations in exposure time across
the image or from one exposure to the next. To minimize shutter
uncertainties, this analysis employed the in-flight values and used
only images with exposure times greater than 40 ms.
For O- and B-type stars we used spectrophotometry reported
in the VizieR catalog (Ochsenbein et al., 2000; Alekseeva et al.,
1997). Spectra from that source extend from 320 to 800 nm. At
shorter and longer wavelengths we extrapolated the flux as
follows. First, we fit a Planck function to the catalog data to
estimate surface temperature. We then selected a stellar model
flux model from the Kurucz (1993) catalog (http://www.stsci.edu/
hst/observatory/cdbs/k93models.html) corresponding to the estimated temperature and assuming solar metallicity and g¼105
cm s ÿ 2. We scaled the model spectra to the observed spectra at
both ends (typically below 320 nm and above 800 nm), and then
smoothed by 5 nm.
We also observed a G-type star HR 996 as an additional target
to help minimize the effects of spectral shape when I/F is
computed. HR 996 is fainter than Vega, so longer exposures could
be used in broadband filters, reducing errors from shutter time
variations. An even redder star (77 Tau, spectral type K0IIIb) was
also observed. The star is a double, with 78 Tau (spectral type
A7III) present in the image.
Enceladus data were used for relative (color) calibration. Over
the range of wavelengths to which the ISS cameras are sensitive,
solar system objects have a red spectrum. If we could image the
Sun the calibration to I/F would be insensitive to the instrumental
details. The geometric albedo of Enceladus is relatively flat in the
visible with diminishing reflectivity at UV and near-IR wavelengths. We use an Enceladus spectrum from the STIS instrument
on the Hubble Space Telescope (HST) provided by K. Noll (2008,
private communication). Enceladus data also gave the best signal/
noise ratio because star images cover only a few pixels.
Enceladus images were chosen for this analysis based on the
following criteria:
All images are unsummed and with 12-bit encoding.
The sub-spacecraft phase angle is less than 301.
1481
Table 2
Celestial photometric targets.
Identifier
Alternate ID(s)
Spectral type
V Mag.
Flux references
Vega
Enceladus
HR 996
a Lyr
A0V
0.3
K Cet
G5Vv (solar analog)
4.83
77 Tau
HD 28307
K0IIIb
3.847
A7III
3.409
B2IV
B3V
B8Iab
B2III
O9Iab
B0Iab
O5Ia
B3Ve
O9V
B1II
A1V
B2Iab
B1III
B0Iab
1.62
1.852
012
1.64
1.7
2.049
2.210
0.50
2.578
1.97
ÿ 1.47
1.513
0.60
1.70
Bohlin and Gilliland (2004)
Keith Noll (private communication, 2008)
Glushneva et al. (1998b) for 322.5–762.5 nm; Santos et al. (2001)
for near-IR (normalized to Glushneva et al. spectrum); Heck et al.
(1984)
from IUE for 115.3–320.1 nm
Bruzual–Persson–Gunn–Stryker catalog (Gunn and Stryker, 1983);
located online at the Hubble Space Telescope compilation of
astronomical catalogs
Burnashev (1985): 320–817 nm; Glushneva et al. (1998a):
322.5–762.5 nm;
Kharitonov et al. (1988): 322.5–757.5 nm; Glushneva et al.
(1998b): 597.5–1082.5 nm
(normalized to average of previous three); Jamar et al. (1976):
136–254 nm; Heck et al. (1984)
IUE: 115.3–320.1 nm
All spectra longward of 320 nm were taken from the Pulkovo
Spectrophotometric catalog (Alekseeva et al., 1997) with the
exception of HR1903, taken from the Southern Spectrophotometric
Standards catalog (Hamuy et al., 1992, 1994, Vizier designation
II/179); UV portion of spectra derived from Kurucz, 1993 model
and scaled to match observed data
78 Tau
HR6527,
HR5191,
HR1713,
HR1790,
HR1948,
HR2004,
HR3165,
HR472,
HR6175,
HR2294,
HR2491,
HR2618,
HR5267,
HR1903
l Sco,
Z UMa
b Ori
g Ori
z Ori
k Ori
z Pup
a Eri
z Oph
b CMa
a CMa
e CMa
b Cen
e Ori
Table 3
Image parameters for Enceladus calibration (average for each set).
Observation name
Number of
images
Target pixel
scale (km/pixel)
Phase angle
(deg.)
Sub-spacecraft
latitude
Sub-spacecraft
longitude
ISS_048EN_GLOCOLA101_PRIME
ISS_051EN_094W014PH001_PRIME
ISS_003EN_GEOLOG002_PRIME
ISS_047EN_GLOCOL001_PRIME
ISS_051EN_GLOCOLB101_PRIME
25
5
5
3
3
22
5
5
9
4
2.92
8.88
11.66
1.14
1.07
0.91
1.78
8.45
5.49
5.82
26.0
13.7
19.4
23.4
22.3
29.4
15.0
11.9
22.4
23.1
ÿ 0.3
0.3
1.1
ÿ 0.9
ÿ 0.9
ÿ 0.1
ÿ 2.2
0.0
ÿ 0.8
ÿ 0.7
87.9
94.1
93.1
205.5
216.3
241.1
197.5
239.4
226.8
239.0
The target distance is greater than 100,000 km such that entire
satellite fits within the field of view, and subtends at least 100
pixels in diameter.
There are no corrupted data or missing lines near the target.
We excluded all data outside a narrow range in geometry
(sub-spacecraft latitude o101, sub-spacecraft longitude o2501)
to minimize variations intrinsic to the surface of Enceladus.
Enceladus images used in this analysis were taken with the
anti-blooming camera bit set to ON. This imaging mode has been
seen to cause excess noise in long-exposure images. We sought to
minimize the excess noise problem by excluding images with a
high noise level. For images with exposures longer than 1 s and
fewer than 50,000 pixels on Enceladus, we measured the standard
deviation of a 1 600 pixel horizontal strip centrally located 100
pixels from the bottom of the image. If the standard deviation
exceeded 10% of the mean value the image was discarded. A
synopsis of images used in this analysis, with their associated
camera and geometry parameters appears in Table 3.
The absolute flux from Enceladus is a function of viewing
geometry, and we were not able to reproduce the nearly directly
back-scattering viewing geometry obtained for the HST observations. We assumed that color variation is a weak function of phase
angle and that we could use low-phase ISS Enceladus images
together with the HST spectra to apply color (filter A relative to
filter B) constraints. K. Noll (private communication, 2008)
observed both the leading and trailing Enceladus hemispheres
with STIS, and reported identical results, within measurement
error. This gave us some confidence that our use of Enceladus for
color calibration would be insensitive to variations in subspacecraft latitude, but we still restricted our image set to
minimize viewing geometry variations.
For the term I(i,j,l) in Eq. (2) we supplied the product of the
geometric albedo spectrum from K. Noll and the solar flux (see
Porco et al., 2004, Fig. 23). The solar flux is part of the CISSCAL
1482
Table 4
NAC photometry standard deviations.
Table 5
WAC photometry standard deviations.
Filters
Images
s1
s2
Filters
Images
s1
s2
UV1,CL2
UV2,CL2
UV2,UV3
CL1,UV3
CL1,BL2
BL1,CL2
BL1,GRN
CL1,GRN
RED,GRN
CL1,CL2
CL1,MT1
CL1,CB1
RED,CL2
HAL,CL2
RED,IR1
CL1,MT2
CL1,CB2
CL1,IR1
IR2,IR1
IR2,CL2
CL1,MT3
IR2,IR3
CL1,IR3
CL1,CB3
IR4,IR3
IR4,CL2
14
29
9
18
49
6
39
12
6
8
37
34
4
35
7
36
41
12
39
17
46
37
43
49
36
38
0.096
0.064
0.118
0.059
0.040
0.034
0.059
0.020
0.016
0.028
0.044
0.037
0.024
0.038
0.016
0.041
0.041
0.046
0.033
0.034
0.054
0.035
0.034
0.083
0.041
0.040
0.109
0.065
0.120
0.059
0.052
0.052
0.085
0.021
0.016
0.043
0.045
0.039
0.024
0.038
0.024
0.041
0.047
0.048
0.045
0.035
0.062
0.048
0.048
0.086
0.058
0.061
CL1,VIO
CL1,BL1
CL1,GRN
CL1,CL2
CL1,RED
CL1,HAL
MT2,CL2
CL1,IR1
CB2,CL2
IR2,IR1
IR2,CL2
MT3,CL2
IR3,CL2
CB3,CL2
IR4,CL2
IR5,CL2
31
70
30
58
71
41
51
3
76
85
82
48
62
38
40
22
0.025
0.043
0.074
0.066
0.065
0.046
0.027
0.019
0.032
0.020
0.036
0.051
0.050
0.027
0.028
0.023
0.062
0.066
0.083
0.078
0.079
0.064
0.053
0.027
0.036
0.029
0.061
0.059
0.050
0.031
0.033
0.023
Parameters have the same meaning as in Table 4
s1 is the standard deviation about the mean of the ratio of the measured
photoelectron generation rate to the expectation value given by Eq. (2). s2 is the
standard deviation of the ratio about the value of 1.0 (see Fig. 7).
support file package (solarflux.tab). Bias and 2-Hz noise removal
were handled as follows: for images in which the target satellite
subtends fewer than about 300 pixels in diameter, a dark-sky
mask file was created (one for each observation), and used along
with the ‘‘Image Mean’’ method of 2-Hz noise removal. For images
in which the target satellite subtends greater than about 300
pixels in diameter, no mask file was created, and the overclocked
pixel arrays were used for both 2-Hz noise and bias level removal.
A cosmic ray removal algorithm was applied to all images, and
then photometry performed in a straightforward manner: by
summing the total I/F and then dividing by the total number
of pixels on the target, npix ¼ p(rsat/pixscale)2, where rsat is
the satellite radius and pixscale is the target pixel scale in
km/pixel. This step accounted for the (1/distance)2 dependence of
the flux.
Two additional corrections were applied to the Enceladus
photometry data. First, a phase angle correction using an
Enceladus phase curve model (unpublished work by P. Helfenstein), and second, a ‘‘lost light’’ correction to recover any light
from the extended tail of the point spread function that has fallen
outside the frame. To do this, we created a synthetic image of
Enceladus subtending the same number of pixels as the source
image, and then convolved it with the PSF for that filter. Then we
could simply calculate the fraction of the resultant flux falling
outside of the camera’s field of view, and add this back to the
original image before summing. The PSF correction made less
than a 0.6% total flux difference for all images except for a single
UV1, CL2 image, for which it added 1.61%.
Measurement uncertainties were estimated from the standard
deviations of individual measurements of stars. These are listed in
Table 4 for the NAC and Table 5 for the WAC. Additional
uncertainty in the absolute calibration derives from uncertainty
reported in the literature for Vega (Bohlin and Gilliland, 2004).
The results of these steps are shown in Figs. 7–11.
Fig. 7. Measured flux from Vega from ISS (symbols) and from Bohlin and Gilliland
(2004). Wavelengths for the symbols in this figure and for other stars are effective
wavelengths calculated by convolving the filter transmission with the input
spectrum. They differ slightly from the central effective wavelengths. Several of
the filter combinations are labeled near the bottom of the plot (NAC filters in black,
WAC filters in a lighter shade).
Fig. 8. NAC photometrically calibrated results for HR 2294 (b CMa). Symbols are
ISS measurements. The solid curve longward of 320 nm is from the Pulkovo
Spectrophotometric catalog (Alekseeva et al., 1997). At shorter wavelengths it was
extrapolated as described in the text.
Fig. 9. Average whole disk relative reflectivity of Enceladus from Noll (private
communication, 2008) and from NAC images (symbols). Asterisks are for the
leading hemisphere and squares are for the trailing hemisphere. The ISS values
were normalized by integrating the Noll spectrum over system transmission for
each filter combination to obtain reference I/F values, and then scaling to the
average I/F offset for all filters. Central wavelength locations for some of the filter
pairs are indicated.
1483
Fig. 11. Photometric results for Vega and three red stars imaged by the WAC are
shown together by plotting the ratio of the observed photoelectron rate divided by
the rate calculated from Eq. (2) using our derived calibration values. In addition we
show corrections from BOTSIM images of Saturn where the requirement is to
produce the same value of I/F in both cameras. BOTSIM and red star data has been
normalized to Vega at wavelengths 4700 nm.
( 10 ÿ 7–10 ÿ 8). Our first task was to check these against observed
values in long exposures of Vega. To do this we made use of Eq.
(2). The results of this calculation and the observed electron rates
are shown in Table 6. In most cases a signal was not detected. In a
few cases where the signal was detected the observed electron
production rate was within about 25% of the rate predicted by
Eq. (2), consistent with the laboratory measurements and their
uncertainties, and with uncertainties in the stellar flux measured
from the images.
8. Polarimetric calibration
Fig. 10. NAC photometric results for Vega, Enceladus and a collection of UV-bright
stars listed in Table 2 are shown together by plotting the ratio of the observed
photoelectron production rate by the rate calculated from Eq. (2) using our derived
calibration values. Enceladus values have been normalized to the average offset
from Vega. The central wavelengths for some of the filter combinations are
indicated.
7. Red leak
The term ‘‘red leak’’ is generally used to describe transmission
of light at wavelengths far from the central wavelength of a filter.
This non-ideal behavior is mostly a concern for ultraviolet filters
because the reflected solar flux is generally much higher at long
wavelengths relative to short wavelengths. With the dual filter
wheels on the ISS cameras we could assess the blocking ability of
the UV filters at long wavelengths. Filter transmission measurements were made prior to launch. At wavelengths far from the
central wavelength the measured transmission was typically near
the limit of sensitivity of the laboratory spectrophotometer
Calibration of the linearly polarizing filters requires additional
steps because separate images for each polarizer must be
combined to form I, P and W, or I and Q depending on whether
three NAC or two WAC polarizers are used. In the previous
sentence I is the intensity, P is the degree of linear polarization
(0–1.0 or 0–100%), W is the angle the electric vector that the
polarized component makes with the camera Y-axis (closely
aligned with the spacecraft Z-axis; see Porco et al. (2004) for a
discussion of the camera coordinate system), and Q is the Stokes Q
component of polarization (Stokes, 1860; Hansen and Travis,
1974), also defined with respect to the camera Y-axis. In the NAC
the visible polarizers (which are effective from about 350 to
750 nm) are mounted so that they transmit primarily light whose
electric vector makes angle z with respect to the camera Y-axis,
where z is close to 01 (filter P0), 601 (P60) and 1201 (P120). In the
WAC there are two near-infrared polarizers at 01 (IRP0) and 901
(IRP90). The NAC also has an IRP0 filter.
The amount of light transmitted through the polarizers
depends on the state of the incident light and on the transmission
values of the parallel and perpendicular components (T1 and T2).
Both transmission values vary with wavelength. The calibration
procedure uses effective transmissions for each component
averaged over the bandpasses of the paired filters. Eq. (3)
expresses the transmission of light through the polarizers and is
the starting point for derivation of the calibration procedure
h
i
I0 ¼ 12Iu ðT1 þ T2 Þ þ Ip cos2 ðWÞT1 þ sin2 ðWÞT2
ð3Þ
1484
Table 6
Red leak results for NAC UV filters.
Filter
Combination
Expected photons
(cm ÿ 2 s ÿ 1)
Measured photons
(cm ÿ 2 s ÿ 1)
UV1,CB2
UV2,CB2
UV2,CB1
HAL,UV3
UV1,CB1
UV1,BL2
UV2,IR3
UV1,IR3
UV1,IR1
UV2,IR1
UV2,BL2
UV2,GRN
RED,UV3
UV1,GRN
IR4,UV3
IR2,UV3
BL1,UV3
0.010
0.012
0.023
0.024
0.036
0.061
0.084
0.096
0.11
0.13
0.15
0.21
0.24
0.26
0.27
1.1
4.0
No detection
No detection
No detection
No detection
No detection
No detection
No detection
No detection
0.033a
No detection
0.16b
No detection
No detection
No detection
0.22
0.87
3.6
a
b
c
Ratio
0.30
1.1
0.79
0.77
0.89
UV-filter transmission
at peak wavelength of long-wave filter
Long-wave filter transmission at
peak wavelength of UV filter
2.2 10 ÿ 7
1.8 10 ÿ 7
3.4 10 ÿ 7
2.7 10 ÿ 7
2.0 10 ÿ 7
1.4 10 ÿ 7
4.1 10 ÿ 7
2.9 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
2.2 10 ÿ 7
2.7 10 ÿ 7
3.5 10 ÿ 7
2.1 10 ÿ 7
8.8 10 ÿ 7
6.3 10 ÿ 6
1. 9 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
1.3 10 ÿ 7
c
c
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
1.5 10 ÿ 7
1.3 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
2.0 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
o1 10 ÿ 7
Very rough estimate, barely above noise.
Contaminated by cosmic rays.
We do not have a record of spectrophotometer measurements for IR3 at wavelengths shorter than 661 nm.
where I0 is the intensity of light passing through the P0 polarizer,
Iu is the unpolarized component and Ip is the linearly polarized
component of the intensity incident on the polarizer and W is the
angle the electric vector makes with the camera Y-axis. All angles
are expressed in degrees with reference to the camera Y direction.
Similar expressions for I60, I90 snf I120 are obtained with W replaced
by W ÿ60, W ÿ90 and W ÿ 120.
These expressions can be solved to yield
I ¼ Iu þIp ¼
2ðI0 þ I60 þI120 Þ
3ðT1 þ T2 Þ
ð4Þ
Ip2 ¼
2
2ðÿ2I0 þ I60 þ I120 Þ 2
ðI60 ÿI120 Þ
þ
3ðT1 ÿT2 Þ
ðT1 ÿT2 Þsinð120Þ
ð5Þ
W¼
1
3ðI120 ÿI60 Þ
Arctan
2
2sinð120Þðÿ2I0 þI60 þ I120 Þ
ð6Þ
For the infrared polarizers,
I¼
I0 þ I90
T1 þ T2
ð7Þ
I90 ÿI0
T1 ÿT2
ð8Þ
Q¼
The polarizing filters were mounted with small alignment
errors, and so the angles are not exactly 01, 601, 1201 and 901 and
the resulting equations are more complicated. The angle offsets
were measured as part of the ground calibration work and our
polarization extraction software takes this into account. Angle
offsets for the NAC are ÿ 0.51, 1.81, 0.81 and 2.31 for the P0, P60,
P120 and IRP0 polarizers, respectively. Offsets for the WAC are 0.01
and 0.91 for IRP0 and IRP90. The angle is measured clockwise from
the camera Y-axis, so an offset of 0.91 for the WAC IRP90 polarizer
means that the principal axis of the polarizer is 90.91 from the
camera Y-axis measured in the clockwise direction. The calibration
constants for the polarizers in CISSCAL are tied to the calibration
constants of the bandpass filters so that if a recalibration of the
bandpass filter results in a change, the calibrated intensity with
the polarizer (Eqs. (4) and (7)) will reflect that change. Calibration
constants for the polarizers were determined by imaging icy
satellites or Titan with the polarizers paired with each sensible
bandpass filter. Images with clear filter paired with the same
bandpass filter were also obtained, and the polarizer calibration
Fig. 12. Images in the top half show the intensity of Titan at phase angle 1061. On the
left is I/F from one NAC image (N1617163704) using the filter combination [CL1,BL2].
On the right is I/F derived from BL2 with three polarizers given by Eq. (4). In both
cases the brightest pixels correspond to I/F¼0.14. The bottom half of the image
shows the degree of linear polarization (left side) and angle of polarization. The left
image is scaled such that the brightest pixel corresponds to degree of polarization
¼75%. The angle of polarization is close to 0 (electric vector perpendicular to the sun
direction) with maximum deviation about 73.51 near the poles.
constants were obtained by requiring that the intensity be equal in
both sets of calibrated images. This exercise was performed on 3–6
targets for each sensible bandpass filter. Figs. 12 and 13 illustrate
the results with images that were not part of the calibration.
9. Point spread function
The point spread function (PSF) depends on the camera (WAC
or NAC) and on the filter combination. Images to determine the
Fig. 13. I/F values of Titan in the BL2 filter from Fig. 12 are shown as a small dot for
every pixel for the polarizer combination (using Eq. (4)) versus the clear filter CL1.
The goal of the polarization calibration is to bring the I/F value using polarizers
into agreement with the value using the CL1 filter.
PSF were obtained as part of the pre-flight calibration procedure.
However, the dynamic range of the pre-flight calibration images
was not great enough to measure the PSF out to the edges of the
detector. The PSF might also be influenced by events that occurred
after launch. Porco et al. (2004) described a contamination event
which occurred after the Jupiter flyby in 2000. The event grossly
changed the nature of the PSF for the NAC. After the contamination event the NAC was kept at an elevated temperature for many
hours to reduce the contaminant. That operation was successful
but it is possible that some residual contaminant remains,
requiring a measurement of the PSF.
In-flight measurements of the PSF were made from short
exposures of bright stars. There are not enough star images to
derive the PSF as a function of location in the image, so one PSF
was assembled from a composite of several images. Multiple
images were combined for two purposes. First, the dynamic range
of the CCD is less than what is needed to measure, in unsaturated
exposures, the PSF from the center of the star image out to several
hundred pixels from the center. Second, the PSF is unresolved by
the pixel and so multiple images with small offsets were
combined to derive the shape of the PSF at sub-pixel resolution.
To cope with the dynamic range problem we combined multiple
exposures including saturated images. Unsaturated images provided a high signal/noise measure of the PSF from its peak value
to about 0.03 of peak value. To go beyond that range we used
images which were saturated at the core of the star image but
unsaturated further out. By splicing together the unsaturated
parts of deeper exposures we were able to extend the PSF
dynamic range to 104 for most filters.
To get even greater dynamic range we used satellite images
with target diameter in the range from a few tens of pixels to
about two hundred pixels. Although these are not point sources
(and therefore the central part of the PSF cannot be derived from
them) the PSF at large distance (beyond about 2 satellite radii) can
be derived approximately because of the strong signal from a
target occupying 100–104 pixels. By combining images of
satellites having a variety of angular sizes we were able to
1485
produce a composite PSF which took advantage of the region in
each image where the signal/noise was sufficient but yet not too
close to the satellite limb. Compact targets (circular or nearly
circular) work best for this procedure and so we selected images
in the phase angle range less than 301 for the NAC and less than
451 for the WAC. The image set meeting these criteria for the WAC
was smaller than that for the NAC, and we were not able to derive
extended PSFs for many of the WAC filters.
The procedure was an iterative one. A trial extended PSF
(one that extends all the way to the edge of the frame) was used
to deconvolve a satellite image. A threshold was then established
such that image values smaller than that threshold were set to
zero. The threshold was chosen to be near the half-light point near
the bright limb, and smaller values beyond the threshold were set
to zero in accord with the idea that the background sky should be
zero. Internal to the threshold boundary the image was thought to
be from the satellite and the total was scaled to agree with the
original total. This produced an approximation to a deconvolved
image. Next the image was convolved with the trial PSF. A ratio of
the resulting image to the data image provided a basis for
improving the PSF, and the process was repeated. After three
iterations the solution would converge and the values in the
synthetic convolved image would agree with the data at large
distance. This was done for each of several satellite images with
different angular diameters, and a composite was constructed
from the results. The four NAC or six WAC diffraction spikes from
the secondary spider veins were not reproduced by this method
because the satellite image was generally larger than the width of
the diffraction spike. The diffraction spikes at large distance from
the center were restored by extrapolating from the inner core. For
this same reason the resulting PSF at large distance does not
contain detail smaller than about 100 pixels except for the
extrapolated diffraction spikes. A smoothing procedure was also
applied to reduce noise, but only in the azimuthal direction since
the detail in the radial direction is important to retain. Table 7
and 8 summarize the key findings of this effort. With these
procedures we achieved a PSF with a dynamic range greater
than 107.
A typical PSF is depicted in Fig. 14. That PSF is for the NAC
[BL1,CL2] filter combination.
Table 7
NAC in-flight PSF results.
Filter
Pair
Width at half-max
(Pixels)
Dynamic
range
Extended PSF?
Default is ‘‘Yes’’
BL1_CL2
BL1_GRN
CL1_BL2
CL1_CB1
CL1_CB2
CL1_CB3
CL1_CL2
CL1_GRN
CL1_IR1
CL1_IR3
CL1_MT1
CL1_MT2
CL1_UV3
HAL_CL2
IR2_CL2
IR2_IR1
IR2_IR3
IR4_CL2
IR4_IR3
RED_CL2
RED_GRN
RED_IR1
UV1_CL2
UV2_UV3
1.33
1.27
1.25
1.34
1.39
1.3 108
1.1 107
9.0 107
2.9 103
7.7 107
1.29
1.42
1.44
1.45
1.24
1.34
1.45
1.25
1.56
1.34
1.39
1.53
1.40
1.40
1.31
1.37
1.29
1.34
9.0 107
8.8 107
7.1 107
6.2 107
9.8 107
8.3 107
7.8 107
9.0 107
5.9 107
7.8 107
6.7 107
6.1 107
6.5 107
8.4 107
9.2 107
7.8 107
8.9 107
8.6 107
Yes
Yes
Yes
No
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
1486
Table 8
WAC in-flight PSF results.
Filter
pair
Width at half-max
(Pixels)
Dynamic
range
Extended PSF?
Default is ‘‘Yes’’
CB2_CL2
CB3_CL2
CL1_BL1
CL1_CL2
CL1_GRN
CL1_HAL
CL1_IR1
CL1_RED
CL1_VIO
IR2_CL2
IR2_IR1
IR3_CL2
IR4_CL2
IR5_CL2
MT2_CL2
MT3_CL2
1.38
1.77
1.46
1.72
1.19
1.08
1.57
1.41
1.12
1.61
4.67
1.49
1.48
1.37
1.34
1.64
3.6 107
2.1 107
2.2 107
1.8 107
4.9 107
1.4 108
4.3 107
3.4 107
2.1 107
6.3 107
3.1 106
2.6 107
3.7 107
4.7 107
1.5 108
3.6 107
No
No
Yes
Yes
Yes
No
Yes
Yes
Yes
No
No
Yes
No
No
No
No
Fig. 15. An unusual PSF, for the NAC filter pair [BL1,GRN], which has a ghost
feature a few tens of pixels away from the main peak and with an amplitude
approximately 1% of the main peak. Such a feature is also seen in the [CL1,GRN]
filter pair but not in other filter .
Fig. 14. A typical PSF for the NAC (rendered on a base-10 logarithmic scale), in this
case for filter pair [BL1,CL2]. The vertical axis is the base-10 logarithm of the PSF.
Fig. 12. The images in the top half show the intensity of Titan
at phase angle 1061. On the left is I/F from one NAC image
(N1617163704) using the filter combination [CL1,BL2]. On the
right is I/F derived from BL2 with three polarizers given by Eq. (4).
In both cases the brightest pixels correspond to I/F¼0.14. The
bottom half of the image shows the degree of linear polarization
(left side) and angle of polarization. The left image is scaled such
that the brightest pixel corresponds to degree of polarization
¼75%. The angle of polarization is close to 0 (electric vector
perpendicular to the sun direction) with maximum deviation
about 73.51 near the poles.
The NAC Green filter PSF exhibits a subsidiary peak (a ghost
image) as shown in Fig. 15.
The subsidiary peak is seen in combination with BL1 and also
with the clear filter in the first filter wheel. It is probably due to an
internal reflection. We do not understand why this would be the
case only for the Green filter. More generally, internal reflections
and stray light from the camera structure are probably responsible for the slow fall-off of the PSF at distances greater than a few
Fig. 16. Diametric profile across the horizontal direction of the NAC PSF for the
narrow-band HAL-CL2 filter combination (dashed curve) and a theoretical PSF
based on a diffraction calculation at the same mean wavelength.
pixels. Figs. 16 and 17 show how the measured PSF at red
wavelengths compares to a PSF computed from the diffraction
pattern of an annulus whose outer diameter is the diameter of the
primary and whose inner diameter is that of the secondary mount
(lamp holder in the case of the WAC). At large distance from the
center the measured PSF is orders of magnitude larger than the
diffraction-limited PSF. Heavily exposed images and images
1487
Fig. 18. Example of diagonal streak from stray light in a NAC image
(N1472601232). This streak is produced by the satellite Tethys, which lies less
than 1/2 of a NAC FOV off of the upper left corner of this image.
Fig. 17. Diametric profile across the horizontal direction of the WAC PSF for the
CL1-RED filter combination (dashed curve) and a theoretical PSF based on a
diffraction calculation at the same mean wavelength.
within 15–201 of the sun show stray light with complicated
patterns. These patterns move and change depending on the
apparent position of the light source. Our measured PSFs at large
distances are a smoothed average using several images.
There is one other filter combination that exhibits anomalous
properties. The WAC [IR2,IR1] combination has a PSF core that is
significantly wider than all other WAC filter combinations (width
at half maximum is almost five pixels). Because the WAC has a
refractive objective it was not possible to bring all wavelengths to
a common focus. The CL1 and CL2 filter thicknesses were
individually optimized for best focus with the bandpass filters
in the opposite wheel. The [IR2,IR1] combination is unable to take
advantage of that optimization.
10. Stray light
Stray light is present when light is scattered onto the detectors
by surfaces within or surrounding the cameras. Unlike the
extended point spread function, the signal due to stray light
depends not only on the pixel’s distance from the source but also
the orientation of the entire camera relative to the source. These
artifacts are therefore very difficult to model, and we have not yet
been able to develop a generic procedure for identifying or
removing them. We will therefore simply review some properties
of the stray light patterns we have identified in images taken
during the Cassini Mission.
Some of the most prominent stray-light artifacts occur when
relatively bright, compact sources (like moons or nearly edge-on
rings) lie just outside the camera’s field of view. These stray-light
artifacts can possess a great deal of fine-scale structure that
changes as the off-image object moves relative to the field of
view. For the NAC, a bright object that lies just off the edge of the
frame gives rise to bright streaks extending perpendicularly to the
relevant edge, as well as more diffuse arc-like patterns
Fig. 19. Example of the diffuse patterns observed at moderate phase in the WAC.
This image (W1486510390) shows the ansa of the E-ring at a vertically oriented
bright feature near the top of the frame. The horizontal bands and the diffuse
curving patterns extending over the image are attributed to stray light from the
bright rings and planet that lie off the top edge of this image.
(c.f. Fig. 34A of Porco et al. 2004). Also, when a bright object is
located near to the corners of the NAC frame, a bright streak can
be seen to extend diagonally across the field of view (see Fig. 18).
Similarly discrete features can be seen in some WAC images,
along with more diffuse patterns that extend over the entire field
of view (see Fig. 19). Some of the fine-scale structure in these
artifacts becomes washed out when the apparent size of the
off-axis sources is sufficiently large compared to the field of view,
but there are also cases where stray light patterns persist in the
1488
Tables 7 and 8 and dust ring maps for the WAC). We plan to
periodically update the hot pixel maps and the dust ring maps,
and to check for changes in the photometric performance and
charge transfer efficiency. Some of these, especially flat field
images for the WAC, will require images close to Titan where the
competition for spacecraft resources is intense, and it is not clear
if a sufficient number of calibration images will be obtained. In
addition, we continue to seek answers to the puzzles emerging
from this effort. We would like to be able to account for the
larger-than-expected variance of the stellar photometry. We
would like to gain an understanding of what is responsible for
the ghost image with the GRN filter and why it is not seen in other
filters.
Acknowledgements
Fig. 20. The frame-average background sky brightness levels in the NAC and WAC
as a function of angular separation from the Sun. This plot was made using a
dedicated series of observations obtained on day 196 of 2002 and day 334 of 2003,
during Cassini’s cruise towards Saturn. The background sky brightness rises by
several orders of magnitude between 70 and 201, reaching an I/F level of nearly 0.1
in the WAC when the camera is pointed within 201 from the Sun (the WAC
saturated at 151 from the sun), and the NAC pointed to within 151 of the sun. The
sky brightness in the NAC is roughly three orders of magnitude lower than it is in
the WAC.
images even when the source of the stray light is spatially
extended. (For example, diagonal bands can be seen in close-up
NAC images taken near the Saturn’s bright limb.) The techniques
required to remove these stray light patterns will therefore
necessarily be highly context-dependent, but in many cases
appropriate spatial filtering techniques should allow faint
signals to be isolated from all but the worst of the artifacts.
In addition to the various structures visible within the images,
stray light also contributes to the mean background signal in the
images. Fig. 20 shows the measured background sky brightness in
the cameras as a function of the cameras’ orientation relative to the
Sun, based on data from a specially designed imaging sequence
obtained while the spacecraft was cruising towards Saturn. These
data clearly show that the stray light levels in both cameras
increase as the camera points closer to the sun, and that the stray
light levels in the WAC are roughly three orders of magnitude
higher than those of the NAC. In the WAC at least, the stray light
levels seem to be somewhat higher in the infrared than the visible,
which implies that the surfaces responsible for scattering the
sunlight into the camera are more reflective at longer wavelengths.
Other observations demonstrate that the brightness levels in both
cameras depend not only on the angle of the camera axis relative to
the sun, but also the azimuthal orientation of the camera (such
variations are not apparent in Fig. 20 because these data come from
a limited range of azimuthal angles).
We have not yet developed a complete model of the stray light
brightness as a function of camera orientation and wavelength.
However, as a practical matter the stray light levels in the NAC are
sufficiently low that they do not seriously affect the ability of the
camera to image faint objects. By contrast, the high backgrounds
observed in the WAC (with background I/F values approaching 0.1 at
201 from the Sun) render it almost unusable for faint targets like
diffuse rings or auroras at phase angles greater than 1501 (unless the
light from the sun is blocked from the camera by the Saturn).
11. Future work
New calibration images will be taken to fill gaps in the current
calibration files (such as missing distant PSFs for some filters in
We are grateful to a number of people who have contributed to
this work: Vance Haemmerle, Charles Avis, Philip Dumont, Jeff
Cuzzi, S. Tom Elliott, Mike Evans, James Gerhard, Cynthia Kahn,
Colin Mitchell, Keith Noll (who supplied the Enceladus spectrum),
Kacie Shelton, and John Weiss. This research was carried out in
part at the Jet Propulsion Laboratory, California Institute of
Technology, under a contract with the National Aeronautics and
Space Administration.
References
Alekseeva, G.A. Arkharov, A.A. Galkin, V.D. Hagen-Thorn, E.I., Nikanorova, I.N.,
Novikov, V.V., Novopashenny, V.B., Pakhomov, V.P., Ruban, E.V., Shchegolev,
D.E. 1997. Pulkovo Spectrophotometric Catalog. VizieR Catalog: III/201.
Bohlin, R.C., Gilliland, R.L., 2004. Hubble space telescope absolute spectrophotometry of Vega from the far-ultraviolet to the infrared. Astron. J. 127,
3508–3515.
Burnashev, V.I. 1985. Catalogue of data on energy distribution in spectra of stars in
a uniform spectrophotometric system, Abastumanskaya Astrofiz. Obs. Bull. 59,
83-90. VizieR catalog III/126.
Glushneva, I.N., Doroshenko, V.T., Fetisova, T.S., Khruzina, T.S., Kolotilov, E.A.,
Mossakovskaya, L.V., Shenavrin, V.I., Voloshina, I.B., Biryukov, V.V., Shenavrina,
L.S. 1998a. Moscow Spectrophotometric Catalog of Stars. VizieR Catalog III/207.
Glushneva, I.N., Doroshenko, V.T., Fetisova, T.S., Khruzina, T.S., Kolotilov, E.A.,
Mossakovskaya, L.V., Ovchinnikov, S.L., Voloshina, I.B. 1998b. Sternberg
Spectrophotometric Catalog. VizieR Catalog: III/208.
Gunn, J.E., Stryker, L.L., 1983. Stellar spectrophotometric atlas, wavelengths from
3130 to 10800 Å. Astrophys. J. Suppl. Ser. 52, 121–153.
Hamuy, M., Walker, A.R., Suntzeff, N.B., Gigoux, P., Heathcote, S.R., Phillips, M.M.,
1992. Southern spectrophotometric standards. Astron. Soc. Pacific 104,
533–552.
Hamuy, M., Suntzeff, N.B., Heathcote, S.R., Walker, A.R., Gigoux, P., Phillips, M.M., 1994.
Southern spectrophotometric standards. 2. Astron. Soc. Pacific 106, 566–589.
Hansen, J.E., Travis, L.D., 1974. Light-scattering in planetary atmospheres. Space
Sci. Rev. 16, 527–610.
Heck, A., Egret, D., Jaschek, C., Battrick, B. 1984. IUE low dispersion spectra
reference atlas. Part 1: normal stars. IUE low dispersion spectra reference
atlas. Part 1: normal stars. ESA Special Publication: ESA SP-1052, ISSN
0379-6566.
Jamar, C., Macau-Hercot, D., Monfils, A., Thompson, G.I., Houziaux, L., Wilson, R.
1976. UV Bright Star Spectrophotometric Catalog. VizieR On-line Data Catalog:
III/39A.
Kharitonov, A.V., Tereshchenko, V.M., Knyazeva, L.N., 1988. Spectrophotometric
Catalogue of Stars. VizieR Catalog III/202. Alma-Ata, Nauka, p. 484.
Kurucz, R.L. 1993. Model Atmospheres. VizieR On-line Data Catalog: VI/39.
Originally published in: 1979 Ap. J. Supp.
Ochsenbein, F., Bauer, P., Marcout, J., 2000. The VizieR database of astronomical
catalogues. Astron. Astrophys. Suppl. 143, 23–32.
Porco, C.C., West, R.A., Squyres, S., McEwen, A., Thomas, P., Murray, C.D., DelGenio,
A., Ingersoll, A.P., Johnson, T.V., Neukum, G., Veverka, J., Dones, L., Brahic, A.,
Burns, J.A., Haemmerle, V., Knowles, B., Dawson, D., Roatsch, T., Beurle, K.,
Owen, W., 2004. Cassini imaging science: instrument characteristics
and anticipated scientific investigations at Saturn. Space Sci. Rev. 115,
363–497.
Santos, J.F.C., Jr., Alloin, D., Bica, E., Bonatto, C. 2001. Spectral Library of Galaxies,
Clusters and Stars. VizieR On-line Data Catalog: III/219.
Stokes, G.G., 1860. On the intensity of the light reflected from or transmitted
through a pile of plates. Proc. Roy. Soc. London 11, 545–557.
259
Nouveaux regards sur l’origine et
l’évolution des anneaux planétaires
Application aux anneaux de Saturne
Julien SALMON
Résumé
Bien que très différents au regard de leurs dimensions et de leurs composition, les anneaux de Saturne constituent le plus proche exemple d’un disque
astrophysique à notre disposition, et leur étude pourrait donc nous permettre
de mieux comprendre l’évolution d’autres disques plus difficiles à observer en
détails. Néanmoins, bien qu’étudiés depuis plus de 400 ans, les anneaux de
Saturne recèlent encore bien des mystères. En particulier, la question de leur
age n’est toujours pas complètement résolue. Bien que les scénarios invoqués
pour leur formation suggèrent que leur origine est contemporaine de la formation du Système Solaire, plusieurs résultats théoriques et observationnels
concluent que les anneaux ne seraient vieux que de quelques centaines de millions d’années. Au cours de ma thèse je me suis attaché à réétudier un certain
nombre de vieux problèmes, en utilisant plusieurs résultats récents obtenus
sur la formation de notre Système Solaire, ainsi que sur la modélisation de la
dynamique des anneaux planétaires.
Dans une première partie, je présente les scénarios les plus communément
admis pour la formation des anneaux de Saturne, et j’explique dans quel mesure le Bombardement Massif Tardif pourrait être une époque favorable à la
formation d’anneaux denses autour de Saturne. Dans une deuxième partie, je
présente de nouveaux résultats sur la question latente de l’évolution visqueuse
des anneaux, obtenus en implémentant un modèle de viscosité physiquement
réaliste, incluant en particulier les effets liés à l’auto-gravité du disque, dans
un code numérique simple permettant de simuler l’évolution de tous le système
d’anneaux sur des échelles de temps de l’ordre du milliard d’années. Enfin, je
montre comment le fait de permettre au matériau des anneaux de s’accréter
lorsqu’il est amené au-delà de la limite de Roche par l’étalement visqueux,
résulte en la formation d’une population de petites lunes dont les propriétés ressemblent fortement aux petits satellites de Saturne situés très près des
anneaux.
260

UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (Paris 7)

Transcription

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