Traitement du Signal Bruit de la Numérisation

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
première Semestre 2002/2003
Séance 5 :
21 octobre 2002
Bruit de la Numérisation
Formule du Jour : .......................................................................1
Bruit de Echantillonage et de Numerisation ..........................2
Bruit d'Echantillonage........................................................... 3
Quanitification:..................................................................... 5
Méthodes de conversion A/N...................................................9
Méthodes Indirect : VCO....................................................... 9
Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”).............. 9
Approximation sucessive ....................................................... 10
Conversion Numérique-analogique......................................... 11
Formule du Jour :
La qualité d'un signal est souvent représentée par le "rapport signal/bruit"
(SNR en anglais).
pour x(t) = s(t) + b(t).
Le rapport signal sur bruit est défini par
Ws
ξ= W où
n
Ws est l'énergie du signal s(t) et
Wb est l'énergie du bruit b(t)
Le SNR est souvent représenté avec une échelle logarithmique appelée
décibels et noté dB.
ξdB= 10 log10 ξ
Un facteur de 3 dB est équivalent à un facteur de 2 en puissance
Bruit de la numérisation
Séance 5
Bruit de Echantillonage et de Numerisation
Soit
echantillonage :
quantification :
Conversions Analogique :
s(n) = Echant{s(t)}
(paramètre : Te)
sq(n) = Quant{s(n∆T)} (paramètres : V, q)
^s(t) = Analog{sq(n)}
(paramtres :Ta,Va qa}
Cas Continu :
Te
s(t)
^
s(t)
sq(nTe)
s(nTe)
Echant{s(t)}
Va, qa
V, q
Quant{s(n)}
Analog{sq(n)}
e(t)
–
En signal continu, le bruit de numérisation peut être calculé comme :
e(t) = s(t) – ^s(t)
T
Son energie est
WT = ∫ e(t) 2 dt
0
Pour le cas continue, l'etude des de la bruit est fait avec la theorie de la probabilité
en utilisant distribution continu des probabilité est les intégrales.
5-2
Bruit de la numérisation
Séance 5
Bruit d'Echantillonage
1
Soit f e = T = 1.
e
Xe(f) = X(f) * δfe(f) =
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Le "bruit" d'echantillonage est
f e/2
Wb 2 ∫ X e(f)2 df
-f e/2
f e/2
=2
⌠
∞

X ( f – k f e)2 df
∑
 k=1
⌡
-f e/2
fe
Mais ceci est équivalent a tout l'energie au dela de 2
∞
∞
2
Wb= 2 ∫ X e(f) df = 2 ∫ X(f) 2 df
fe/2
fe/2
Exemple : Soit x(t) avec Tranformée X(f) = 1 pour | f | ≤ F max
fe
1
Si l'echantillonage est fait à Te = f tout energie entre 2 et Fmax devient bruit.
e
f e/2
Après échantillonage, l'energie du signal : Ws = 2 ∫ X(f) 2 df
0
Energie du bruit
F max
∞
: Wb = 2 ∫ X e(f)2 df= 2 ∫ X(f) 2 df
fe/2
fe/2
5-3
Bruit de la numérisation
Séance 5
X(f)
f
–Fmax
Fe/2
–Fe/2
Ws
Rapport ξ= W
n
=
Fmax
f e/2
∫ X(f) 2 df
0
F max
∫ X(f) 2 df
fe/2
L'information d'un signal, x(t), est donc assimilé a sa variance,
σx2 = E{(x(t)–µx ) 2}
Dans ce qui suit, nous suposons que a moyenne du signal, µx = µs = µn= 0.
Donc σx2 = Wx
La variance d'un signal est une caractéristique liée à la quantité de l'information
représentée.
Le rapport signal sur bruit est défini par
Ws
ξq= W
n
σs2
= σ2
n
où σs2 est la variance du signal s(t) et
σn2 est la variance du bruit n(t)
5-4
Bruit de la numérisation
Séance 5
Quanitification:
Soit un signal x e(nT e) de plage utile (le range dynamique) V.
Pour le suivant, nous laisserons Te = 1.
V
Le signal est décomposée en 2B = q intervalles de largeur q, par
q
xq(n) = Max{(x e(nT e) – k·q + 2 < 0}
k
3q
xq
2q
q
s
–q
–2q
–3q
1
Pour une quantifiaction uniforme, la densité de probabilité est uniforme p(eq) = q
Pour les valeurs quantifiées par arrondi, µq = 0.
eq = se – sq
p(eq)
q
2
–q
2
µ=0
se
1
q
–q
2
eq
q
2
1
La variance reste σ2 = 12 q 2
5-5
Bruit de la numérisation
Séance 5
Soit un signal s(n), L'effet de la quantification est mesuré par :
q
+
s(n)
Re-Quant{s(n)}
+
e(n)
–
L'erreur est : e(n) = s(n) – sq(n)
Son energie est
N–1
∑ e(n) 2 dt
n=0
WN =
Son valeur moyenne est
Sa moyenne est
q/2
µ = E{p(e)} = ∫ p ( e ) · e de =
-q/2
q/2
q/2
1
1 1
1 1 q2 q2
= ⌠
= q. 2 ( 4 – 4 ) q 2 = 0
 q. · e de = q. 2 e2
-q/2
⌡
-q/2

1
σ2 = 12 q 2
Sa variance est
σ2= E{p(e)} =
q/2
∫ p(e)
-q/2
· (e–µ)2 de)
q/2
=
⌠

⌡
1
q.
· (e
q
1 1
q
– 2 ) 2 de) = q · 3 (e – 2 ) 3
-q/2
1
= 3q
[( q2 – q2 ) 3
1
= 3q
[( q83 )
q q
– ( – 2 – 2 )3
q3
+ (8 )
]
=
q/2
-q/2
]
1 q3
1 2
(
)
=
3q 4
12 q
5-6
Bruit de la numérisation
Séance 5
Le rapport signal sur bruit de quantification est défini par
Ws
ξq= W
n
L'energie Ws(N1, N 2) =
N2
∑ s 2(n).
n=N1
Si on suppose que E{s} = 0, la variance vaut l'energie moyenne.
N2
1
1
σs2 = N –N Ws = N –N
s(n) 2.
∑
1 2
1 2 n=N
1
Si E{n q} = 0,
σq2 =
N2
1
1
∑ e q(n) 2.
N1–N2 Wq = N1–N2 n=N
1
Ws
σs2
Dans ce cas, ξq= W = σ 2 .
n
q
Donc, le rapport Signal-Bruit peut être estimé par les densité de probabilité.
Par la formule précèdent :
ξq=
σs2
σs2
12
q2
q2
12
et en décibels :
σx2
σx
ξqdB= 10 log10 ξ q = 10 log 10 (12 q2 ) = 2 . 10 log10( q ) + 10 log10(12) dB
σx
≈ 20 log 10 q + 10.8 dB
Si la plage utile V du signal est décomposée en 2B intervalles de largeur q,
σx
σx
V
V
2B = q ⇔ q = 2B ⇔ log10{V/2B} = 10 log10{2B} + 20 log10{ V }
5-7
Bruit de la numérisation
Séance 5
et donc la réduction en rapport Signal-bruit entrainée par la numérisation est
ξqdB=
V
10.8 + B 10 log10(2) – 20 log 10 σ dB
x
ξqdB=
V
6B + 10.8 – 20 log10 σ dB
x
Ainsi, pour un convertisseur analogique-numérique, où B représente le nombre de
bits des valeurs de sortie, le rapport signal sur bruit de une quantification mesuré en
décibels varie linéairement avec B et augmente de 6 decibel avec chaque bit
supplémentaire.
5-8
Bruit de la numérisation
Séance 5
Méthodes de conversion A/N
Méthodes Indirect : VCO
La valeur de la tension du signal d’entrée est convertie en une fréquence par une
oscilateur commandé en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO).
La fréquence est proportionnelle à la tension.
Ensuite on compte le nombre de passage à zéro pendant ∆T.
Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”).
U0
La tension x(n∆T) d’entré est comparé à 2B – 1 valeurs du type : k 2B
déduite d’une tension de référence U0.
Le résultat est traduite en mot binaire par un décodeur logique.
U0 (tension de référence)
2n–1 comparateurs
R
x(t)
+
–
R
+
–
•
•
•
décodeur
Logique
Sortie
numérique
(codée
en
binaire)
R
+
–
R
+
–
R
Utiliser pour la vidéo, radar, etc.
5-9
Bruit de la numérisation
Séance 5
Avantage : Rapide est simple.
Inconvenance : Manque de précision.
Approximation sucessive
La tension d’entrée est comparé successivement à une succesion de 2B – 1 valeurs
U0
de référence pondérées k2N.
C’est un système bouclé qui inclut un convertisseur numérique-analogique :
x(t)
+
Σ
–
+
–
Horloge et logique
de commande
interne
•••
Convertisseur
N/A
}
Sortie
numérique
Tension de
Référence U0
5-10
Bruit de la numérisation
Séance 5
Conversion Numérique-analogique
Un convertisseur numérique-analogique est un dispositif produisant une grandeur
de sortie y qui possède 2N valeurs distinctes. Il est à loi uniforme si ces valeurs
sont régulièrement réparties sur une plage de valeurs allant de zéro à 2N · q selon la
loi :
y = q (d1 2 B-1 + d2 2 B-2 + ... + dB 2 0)
où q est le pas de quantification.
Des interrupteurs commandés par les variables binaires dk (dk = 0 interrupteur
ouvert, dk= 1 interrupteur fermé) contrôlent le passage de courants pondérés I0/ 2N
provenant de source de cournat dépendant d’une référence I0 vers un point de
sommation.
•
•
•
I0/2
d1
I0/4
d2
I0/2B
dB
I = d1I0/2 + d2I0/4 + ... + dBI0/2B
•
•
•
Dans la pratique, tous les interrupteurs ne réagissent pas exactement au même
instant. Il ne résulte des parasites de commutations (“Glitches” en anglais) qui
doivent être éliminés par filtrage.
5-11