rappel de maths fi

INSTITUT D’ETUDES POLITIQUES
4ème
Année, Economie et Entreprises
2005/2006
C.M. : M. Godlewski
FINANCE
Mathématiques Financières
Intérêts Simples
Définitions et concepts
L’intérêt est la rémunération d’un prêt. Cette rémunération est dite à intérêts
simples lorsque les intérêts ne s’ajoutent pas au capital pour porter eux mêmes
intérêt.
L’intérêt simple est versé à l’issue du contrat et il est calculé au pro rata
temporis, soit proportionnellement à la durée du prêt.
Soit une somme V0 placée pour un an à taux d’intérêt annuel à terme échu r.
Au bout d’un an cette somme devient V1 (valeur acquise) et vaut
V1 = V0 + V0 r = V0 (1 + r).
Soit une somme V0 placée à intérêts simples pendant n années. Au bout de
cette période, la valeur acquise Vn vaut
Vn = V0 + n(rV0 ) = V0 (1 + nr).
Soit une somme V0 placée à intérêts simples pendant m mois. Au bout de
cette période, la valeur acquise Vm vaut
m
mr
(rV0 ) = V0 (1 +
).
12
12
Soit une somme V0 placée à intérêts simples pendant j jours. Au bout de
cette période, la valeur acquise Vj vaut (l’année dite commerciale comporte par
hypothèse 360 jours)
Vm = V0 +
j
jr
(rV0 ) = V0 (1 +
).
360
360
L’intérêt obtenu par un placement à intérêts simples au taux r pendant j
jours, noté i vaut
Vj = V0 +
i=
V0 rj
V0 j
j
(rV0 ) =
=
.
360
360
360/r
Formules de base
Soit une somme V0 placée sur j jours au taux d’intérêt simple r
– la valeur acquise par V0 au bout de j jours est
µ
¶
rj
Vj = V0 1 +
360
1
– la valeur actuelle de Vj , notée V0 est
V0 =
Vj
rj
1 + 360
– le taux d’intérêt r, connaissant la somme initiale, la somme finale et la durée
de placement, est
Vj − V0 360
V0
j
r=
– la durée de placement en jours j, connaissant la somme initiale, la somme
finale et le taux est
Vj − V0 360
V0
r
– le montant total des intérêts acquis, noté R est
j=
R=
V0 rj
360
Intérêts précomptés et taux effectif de placement
On peut evisager le versement des intérês au moment du versement du capital. On parle alors d’intérêts précomptés. Il en résulte que le placement est
effectué à un taux effectif différent du taux d’intérêt annoncé, qui conventionnellement correspond à des intérêts versés à l’issue du contrat.
Soit le placement d’une somme V0 au taux annuel r, sur j jours, les intérêts
étant précomptés.
Au jour du placement de V0 , on reçoit le taux r0
V0 rj
,
360
r0 =
on place effectivement
µ
0
V0 − r = V0
rj
1−
360
¶
.
Le taux effectif de placement, noté re est
¡
¢
rj
V0 − V0 1 − 360
360
¡
¢
re =
,
rj
j
V0 1 − 360
re =
r
rj .
1 − 360
2
Intérêts Composés
Définitions et concepts
Un capital est dit placé à intérêts composés lorsque à l’issue de chaque période
de placement les intérêts s’ajoutent au capital, et portent eux mêmes intérêt au
taux du contrat inital (capitalisation des intérêts).
Par convention on suppose que l’on est en intérêts composés lorsque le placement excède une année. La règle générale est que l’intérêt soit payé à terme échu,
soit à la fin de chaque année de placement.
Soit une somme V0 , placée sur n années au taux d’intérêt annuel à terme échu
r. Au bout d’un an, cette somme devient V1
V1 = V0 + rV0 = V0 (1 + r),
la somme V1 porte intérêt pendant la seconde année et devient V2
V2 = V1 (1 + r),
et on peut écrire
V2 = V0 (1 + r)2 .
D’une façon générale, à la fin de la ne année, la somme placée devient
Vn = V0 (1 + r)n .
La formule de base est générale. Elle reste valide si la période de capitalisation
des intérêts n’est pas annuelle. On convient alors que n est le nombre de périodes
et r le taux d’intéret échu versé pour une période.
Formules de base
Soit une somme V0 placée sur n périodes au taux d’intérêt échu r pour une
période.
– la valeur acquise par V0 au bout de n années est notée Vn
Vn = V0 (1 + r)n
– la valeur actuelle de Vn , notée V0
Vn
= Vn (1 + r)−n
(1 + r)n
– le taux d’intérêt, connaissant la somme initiale, la somme finale et la durée
de placement est
V0 =
r
r=
n
Vn
−1=
V0
3
µ
Vn
V0
¶ n1
− 1.
– la durée du placement, connaissant la somme initiale, la somme finale et le
taux est
ln VVn0
ln(Vn ) − ln(V0 )
n=
=
ln(1 + r)
ln(1 + r)
– le montant total des intérêts acquis au cours du placement d’une somme V0
au taux r pendant n années, noté R est
R = V0 ((1 + r)n − 1)
Taux équivalents et taux proportionnels
Un capital V0 placé au taux annuel r devient
V1 = V0 (1 + r),
et si ce même capital V0 est placé pendant un an, mais que les intérêts sont
capitalisés p fois dans l’année, au taux rp , la valeur acquise devient
V10 = V0 (1 + rp )p .
Les deux taux sont dits équivalents si les deux valeurs acquises au bout
d’un an sont égales.
Soit
V10 = V1 ,
d’où
V0 (1 + r) = V0 (1 + rp )p ,
et le taux annuel r équivalent au taux rp capitalisé p fois dans l’année est
r = (1 + rp )p − 1,
et le taux rp d’une période capitalisé p fois dans l’année, équivalent au taux
annuel r est
1
rp = (1 + r) p − 1.
On appelle taux proportionnel au taux annuel r, correspondant à une
période p fois plus petite que l’année, un taux d’intérêt rp , calculé au pro rata
temporis
r
rp = .
p
4
Emprunts indivis
Définitions et concepts
Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès d’un seul prêteur. Un
tel emprunt fait l’objet d’un remboursement selon différentes modalités fixées
contractuellement, appelées modalités d’amortissement.
L’emprunteur verse au prêteur des intérêts à intervalles réguliers sur le capital
détenu au cours de la période écoulée, et rembourse le capital emprunté soit en
une seule fois à l’échéance soit en plusieurs fois.
On appelle annuités la suite des réglements effectués à intervalles de temps
égaux. Si l’intervalle est d’un mois on parle de mensualités, si l’intervalle est d’un
trimestre on parle de trimestrialités, etc.
Remboursement par annuités constantes
Lorsque les n annuités du remboursement A d’un capital K emprunté au
taux annuel r sont égales entre elles, on parle de remboursement par annuités
constantes.
La somme des valeurs actuelles des annuités A est égale au capital emprunté.
A
A
A
+
+ ··· +
,
1
2
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)n
µ
¶
1
1
1
K=A
+
+ ··· +
,
(1 + r)1 (1 + r)2
(1 + r)1
K=
1 − (1 + r)−n
.
r
Cette formule est généralisable ; si l’emprunt est remboursé mensuellement
(trimestriellement), il convient d’utiliser pour le calcul un taux d’intérêt mensuel
(trimestriel).
On peut déduire de la formule générale :
– le montant de l’annuité constante, connaissant le capital emprunté, la durée
de l’emprunt et le taux d’intérêt
K=A
A=K
r
1 − (1 + r)−n
– la durée de l’emprunt, connaissant le capital emprunté, le montant de l’annuité constante de remboursement et le taux d’intéret
¡
¢
− ln 1 − Kr
A
n=
ln(1 + r)
5
– le taux d’intérêt d’un emprunt, connaissant le capital emprunté, la durée de
l’emprunt et le montant de l’annuité constante de remboursement, à partir
de
K −A
1 − (1 + r)−n
=0
r
Remboursement par fractions constantes du capital
Soit un emprunt de montant K contracté pour n années au taux d’intérêt r.
On souhaite rembourser chaque année une fraction constante de capital Kn .
L’annuité Ap de l’année p est égale à la somme de la fraction de capital
remboursé et des intérêts sur le capital Dp−1 dû à la fin de l’année p − 1 :
Ap =
K
+ Dp−1 r.
n
L’annuité de l’année p + 1 vaut
Ap+1 =
K
Dp r,
n
sachant
Dp = Dp−1 −
K
,
n
on a
Ap+1
µ
¶
K
K
=
+ Dp−1 −
r,
n
n
Ap+1 =
K
K
+ Dp−1 r − r,
n
n
et on a donc
K
r.
n
Les annuités de remboursement sont en progression arithmétique de raison
K
− n et de premier terme A1 = Kn + Kr.
Ap+1 = Ap −
6
Remboursement par fractions, annuités en progression géométrique
Soit un capital K emprunté au taux r sur n années, remboursable par annuités,
croissant en progression géométrique de raison (1 + i) à partir de la première
annuité.
La somme des valeurs actuelles des remboursements est égale au capital emprunté
A
A(1 + i)
A(1 + i)n−1
+
+
·
·
·
+
,
(1 + r)1
(1 + r)2
(1 + r)n
µ
¶
1
A(1 + i)
(1 + i)n−1
K=A
+
+ ··· +
,
(1 + r)1
(1 + r)2
(1 + r)n
¡ 1+i ¢n
1 − 1+r
K=A
.
r−i
K=
Remboursement en masse à la dernière échéance - création d’un
fonds d’amortissement
Chaque année l’emprunteur ne règle que les intérêts. Il peut néanmoins prévoir
le remboursement en masse du total de l’emprunt à l’échéance, en plaçant chaque
année sur un compte les sommes nécessaires. Le taux d’intérêt qu’il obtient sur ce
compte est en général inférieur au taux de l’emprunt contracté, mais l’emprunteur
conserve la liberté d’épargner ou non dans le fonds d’amortissement.
Soit l’emprunt d’un capital K au taux r sur n années. En vue d’un remboursement en masse à l’échéance, l’emprunteur épargne chaque année sur un compte
(taux d’intéret r0 ) une somme constante pour couvrir le remboursement final K.
Soit A la somme épargnée chaque année sur le fonds d’amortissement.
La valeur acquise à la date n de ces versements est
A + A(1 + r0 ) + · · · + A(1 + r0 )n−1 = K,
A
(1 + r0 )n − 1
(1 + r0 )n − 1
=
A
= K,
(1 + r0 ) − 1
r0
A=
Kr0
.
(1 + r0 )n − 1
Chaque année l’emprunteur règle des intérêts Kr sur le capital emprunté. La
charge annuelle de l’emprunteur est donc égale
Kr0
+ Kr.
(1 + r0 )n − 1
7
Rentes
Définitions et concepts
Une rente est une suite de versements effectués à intervalles de temps constants
et dont bénéficie le titulaire de la rente. Chaque versement est appelé terme de
la rente.
Si le nombre de termes est fini, on est en présence d’une rente temporaire.
Dans le cas contraire, on est en présence d’une rente perpétuelle.
On appelle date origine ou plus simplement origine de la rente la date
qui précède d’une période le versement du premier terme de la rente.
Evaluer une rente se ramène à calculer à une date donnée, appelée date
d’évaluation, et compte tenu d’un taux d’intérêt r, la valeur de la suite des
versements. L’étude des rentes est très proche de l’étude du remboursement d’un
emprunt par annuités constantes (l’analyse d’une rente étudie la position du
créancier ; l’analyse d’un emprunt étudie celel du débiteur).
Rente temporaire immédiate à termes constants
La rente est dite immédiate lorsque la date d’évaluation précède d’une période
le premier versement des n versements constants égaux à A. La date d’évaluation
est dans ce cas confondue avec la date d’origine.
La valeur de la rente à la date d’évaluation, compte tenu du taux d’intérêt r,
est V0
V0 =
A
A
A
+
+ ··· +
,
1
2
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)n
1 − (1 + r)−n
V0 = A
.
r
Rente temporaire différée à termes constants
La rente est différée lorsque la date d’évaluation précède de d périodes la date
d’origine et précède donc de (d + 1) périodes le premier des n versements égaux
à A.
La valeur de la rente à la date d’évaluation, compte tenu du taux d’intérêt r,
est Vd
Vd =
V0
A 1 − (1 + r)−n
=
.
(1 + r)d
(1 + r)d
r
Rente temporaire anticipée à termes constants
La rente est anticipée lorsque la date d’évaluation est postérieure à la date
origine de a fractions de périodes.
8
Le premier des n versements égaux à A intervient donc moins d’une période
après la date d’évaluation.
La valeur de la rente à la date d’évaluation, compte tenu du taux d’intérêt r,
est Va
Va = V0 (1 + r)a = A(1 + r)a
1 − (1 + r)−n
.
r
Rente perpetuelle immédiate à termes constants
La date d’évaluation confondue avec la date d’origine précède d’une période
le premier terme d’une suite infinie de versements tous égaux à A.
La valeur de la rente à la date d’évaluation, compte tenu d’un taux d’intérêt
r, est V0
A
A
A
+
+ ··· +
+ ...,
1
2
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)p
µ
¶
1
1
1
V0 = A
+
+ ··· +
+ ... .
(1 + r)1 (1 + r)2
(1 + r)p
V0 =
1
On est en présence d’une progression géométrique de premier terme (1+r)
, de
raison inférieure à 1 et qui comporte un nombre de termes tendant vers l’infini.
V0 = A
1
1
1 ,
(1 + r)1 1 − 1+r
1
V0 = A .
r
Rente perpetuelle différée à termes constants
La date d’évaluation précède de d périodes la date d’origine d’une rente perpétuelle composée d’une infinité de termes égaux à A.
La valeur de la rente à la date d’évaluation, compte tenu d’un taux d’intérêt
r, est Vd
Vd =
V0
A
1
=
.
d
(1 + r)
r (1 + r)d
Rente perpetuelle anticipée à termes constants
La date d’évaluation est postérieure à la date d’origine de a fractions de périodes. Le premier versement intervient donc moins d’une période après la date
d’évaluation.
La valeur de la rente à la date d’évaluation, compte tenu d’un taux d’intérêt
r, est Va
9
Va = V0 (1 + r)a =
A
(1 + r)a .
r
Fractionnement d’une rente
Si chaque année, les termes constants A d’une rente annuelle font l’objet de
p versements de montants égaux à Ap , à intervalles égaux, à la fin de chaque pe
année, on dit que la rente est fractionnée. Ainsi, une rente annuelle peut être
réglée en quatre réglements trimestriels. Le fractionnement conduit à verser par
anticipation une partie des sommes dues en fin d’année.
Soit r le taux annuel et rp le taux équivalent correspondant au pe d’année.
On a
(1 + rp )p = 1 + r,
La valeur V0 de la rente annuelle, compte tenu d’un taux d’intérêt annuel r,
pour n termes de montant A, est
1 − (1 + r)−n
.
r
La valeur V00 de la rente fractionnée, compte tenu d’un taux d’intérêt rp par
période, pour np termes constants Ap , est
V0 = A
V00 =
A 1 − (1 + rp )−n
,
p
rp
et on peut écrire
V00 =
A 1 − ((1 + rp )p )−np
,
p
rp
et on en déduit
V00
r
=
,
V0
prp
ou encore
r
V00
r
p
= V0
= V0 .
prp
rp
10