Exercice 1 10 points

Nom :
Exercice 1
10 points
A. Etude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur [4 ; 20] par
f (x) = 20 − 3x + 6e0,12x
0
1. (a) Calcul de f (x) :
f 0 (x) = 0 − 3 + 6 × 0, 12e0,12x = 3 −1 + 0, 24e0,12x
(b) Résolution de : −1 + 0, 24e0,12x = 0.
Soit x dans [4; 20] . Les équations ci-dessous sont équivalentes
−1 + 0, 24e0,12x
=
0
0, 24e0,12x
=
1
e0,12x
=
ln e0,12x
1
0, 24
1
= ln
0, 24
= −ln(0, 24)
ln(0, 24)
= −
0, 12
0, 12x
x
D’où
x0 = −
ln(0, 24)
≈ 11, 89
0, 12
(c) Résolution de l’inéquation : −1 + 0, 24e0,12x > 0.
Soit x dans [4; 20] . Les inéquations ci-dessous sont équivalentes
−1 + 0, 24e0,12x
>
0
0,12x
>
e0,12x
>
1
1
24
>
ln
0, 12x
>
x
>
0, 24e
ln e0,12x
1
24
−ln(24)
ln(24)
−
0, 12
(d) Signe de f 0 (x) lorsque x varie dans [4 ; 20]
x
x0
4
Signe de f 0 (x)
2. Tableau de valeurs
x
4
8
f (x) 17,69 11.67
11,89
9,32
16
12,93
18
18,02
−
20
+
0
20
26,14
3. Tableau de variations de f
x
x0
4
Signe de f 0 (x)
−
0
17,69
20
+
26,14
Variation de f
9.32
Hervé Gurgey
1
26 mars 2009
Nom :
4. Représentation graphique :
y
1
v
1
x
5. Résolution graphique dans [4 ; 20] de l’équation f (x) = 20.
Les solutions de l’équation f (x) = 20 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite
d’équation y = 20
L’équation admet donc une solution v ≈ 18, 5
Voir ci-desssus
B. Calcul intégral
Z
On note I =
20
f (x) dx.
4
1. Calcul de I :
Une primitive de f est donnée par : F (x) = 20 × x − 3 ×
1 0,12x
x2
+6×
e
2
0, 12
3x2
+ 50e0,12x
2
Donc : I = F (20) − F (4) = 400 − 600 + 50e2.4 − 80 − 24 + 50e0,48
Donc I = 50 e2,4 − e0,48 − 256.
c’est à dire par :F (x) = 20 × x −
2. (a) Valeur moyenne Vm de la fonction f sur [4 ; 20].
Z 20
50 2,4
1
Vm =
f (x)dx =
e − e0,48 − 16
20 − 4 4
16
(b) Valeur approchée arrondie à 10−2 de Vm :
Vm ≈ 13, 40
Hervé Gurgey
2
26 mars 2009
Nom :
C. Application de la partie A
Une entreprise produit, chaque jour, entre 4 et 20 tonnes de sel pour l’industrie. On admet que lorsque x tonnes
de sel sont produites, avec 4 6 x 6 20, le coût moyen de la production d’une tonne de sel est f (x) dizaines d’euros,
où f est la fonction définie au début de la partie A.
1. Quantité de sel à produire pour que le coût moyen de production d’une tonne de sel soit minimal.
d’après le tableau de variation ci-dessus, la quantité de sel réalisant le minimum de coût moyen est : x0 ≈ 11, 89 tonnes
Le coût moyen par tonne produite serait alors environ : 93 euros
2. Quantité de sel qu’il faut produire pour que le coût moyen de production d’une tonne de sel soit de 200 euros.
D’après la question A.5. il suffit de produire environ 18,57 tonnes pour que le côut moyen soit de 200 euros
Exercice 2
10 points
Dans une société, on assemble et on installe un certain type d’équipement informatique pour les sièges sociaux de
grandes entreprises.
A Probabilités conditionnelles
L’un des éléments de l’équipement, noté élément a, provient de deux fournisseurs, le fournisseur 1 et le fournisseur
2.
75 % des éléments a d’un stock important proviennent du fournisseur 1, le teste, provient du fournisseur 2.
1 % des éléments a provenant du fournisseur 1 sont défectueux.
2 % des éléments a provenant du fournisseur 2 sont défectueux.
On prélève au hasard un élément a dans le stock.
Tous les éléments a ont la même probabilité d’être prélevés. On considère les événements suivants :
F1 : l’élément prélevé provient du fournisseur 1 ;
F2 l’élément prélevé provient du fournisseur 2 ;
D : l’élément prélevé est défectueux .
1. Traduction de l’énoncé :
P (F1 ) = 0, 75
PF1 (D) = 0, 01
P (F2 ) = 0, 25,
PF2 (D) = 0, 02.
2. (a) Calcul probabilités :
P (D ∩ F1 ) = PF1 (D) × p (F1 ) = 0, 75 × 0, 01 = 0, 0075 et P (D ∩ F2 ) = PF2 (D) × p (F2 ) = 0, 25 × 0, 02 =
0, 005.
(b) Probabilité que l’élément prélevé soit défectueux
P (D) = P (D ∩ F1 ) + P (D ∩ F2 ) = 0, 0075 + 0, 005 = 0, 0125
3. Probabilité que l’élément provienne du fournisseur I sachant qu’il est défectueux.
0, 0075
P (D ∩ F1 )
=
= 0, 6
PD (F1 ) =
P (D)
0, 0125
Hervé Gurgey
3
26 mars 2009
Nom :
B Loi binomiale
Dans cette question on s’intèresse à un autre élément de l’équipement, noté b.
On considère un lot important d’éléments b.
On note E l’ événement : un élément b prélevé au hasard dans le lot est défectueux .
On suppose que P (E) = 0, 025.
On prélève au hasard 20 éléments b dans le lot pour vérification. Le lot est assez important pour que l’on puisse
assimiler ce prélévement à un tirage avec remise de 20 éléments b.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélévement ainsi défini, associe le nombre d’éléments b de ce
prélévement qui sont défectueux.
1. Nature de la variable aléatoire X :
On répète 20 fois de manière indépendante une épreuve à deux issues.
L’une de ces issues : l’élément est défectueux sera appelé succès et a pour probabilité p = 0, 025
X donne le nombre de succès obtenus
Donc X est une loi binomiale de paramètre 20 et 0, 025
X = B(20; 0.025)
2. Probabilité il y ait exactement deux éléments b défectueux.
2
P [X = 2] = C20
× 0, 0252 × 0, 97518 ≈ 0, 075
3. Probabilité que, dans un tel prélévement, il y ait au moins deux éléments b défectueux.
P [X ≥ 2] = 1 − P [X < 2] = 1 − (P [X = 0] + P [X = 1])
donc : P [X ≥ 2] = 1 − 0, 0250 × 0, 97520 − 20 × 0, 0251 × 0, 97519 ≈ 0, 38
C. Lois normales
Dans cette partie on s’intéresse au temps nécessaire pour la mise en service du système constitué par un élément
a et un élément b.
On note Ya la variable aléatoire qui, à chaque élément a prélevé au hasard dans un stock important d’éléments a,
associe le temps, en heures, nécessaire à sa mise en service.
On admet que la variable aléatoire Ya suit la loi normale de moyenne 22 et d’écart type 3.
On note Yb la variable aléatoire qui, à chaque élément b prélevé au hasard dans un stock important d’éléments b,
associe le temps, en heures, nécessaire à sa mise en service.
On admet que la variable aléatoire Yb suit la loi normale de moyenne 25 et d’écart type 4.
On admet que les deux variables aléatoires Ya et Yb sont indépendantes.
On note Z la variable aléatoire qui à tout système constitué par un élément a et un élément b prélevés au hasard dans
les stocks, associe le temps nécessaire, en heures, à sa mise en service.
On admet que Z = Ya + Yb .
1. Justification du fait que la variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 47 et d’écart type 5.
On a : E[Z] = E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] = 22 + 25 = 47
Et : var[Z] =√var[X + Y ] = var[X] + var[Y ] = 32 + 42 = 25
Donc :σZ = 25 = 5
On sait de plus que la somme de deux lois normales indépendantes est une loi normale
Donc : la variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 47 et d’écart type 5
2. Probabilité qu’un système constitué par un élément a et un élément b prélevés au hasard dans les stocks, soit
mis en service en moins de
50 heures.
Z − 47
50 − 47
On a : P [Z < 50] = P
<
5
5
Donc : P [Z < 50] = P [T < 0, 6] où T est une loi N (0, 1)
Donc : P [Z < 50] = (D’après la table de la loi normale))
Hervé Gurgey
4
26 mars 2009