Thèse d`actuariat - Ressources actuarielles

Transcription

Mémoire présenté devant l’ENSAE ParisTech
pour l’obtention du diplôme de la filière actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires
le _____________________
Par :
Valentin AMIOT et Dorothée PAGES
Titre:
Pricing de CDO avec le modèle de Lévy
Application aux pricing de dérivés de crédit exotiques
Confidentialité :
 NON
 OUI (Durée :  1 an  2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Membre présent du jury de l’Institut
des Actuaires
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Entreprise :
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Directeur de mémoire en entreprise :
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Invité :
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mise en ligne sur un site de
diffusion de documents actuariels
(après expiration de l’éventuel délai de
confidentialité)
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Bibliothèque :
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Signature du candidat
Thèse d’actuariat
Valentin Amiot et Dorothée Pagès
Pricing de CDO avec le modèle de Lévy, Application au pricing de dérivésde
crédit exotiques
01/06/2011
Mémoire d’actuariat présenté à l’institut des actuaires et encadré par M. Mohamed Selmi, analyste
quantitatif au sein de Société Générale CIB.
Abstract
Après avoir connu un important succès dans la première moitié des années 2000, la formule de
pricing standard des CDO fondée sur le modèle gaussien à un facteur fut fortement critiquée
suite à la crise financière. En effet le smile de corrélation déduit de ce modèle est fortement
croissant avec la séniorité ce qui indique que les évènements extrêmes (défaut des tranches les
moins risqués) sont mal modélisés. Nous proposons dans ce mémoire une formule de pricing
s’appuyant sur les processus à saut de Lévy. En effet, après avoir implémenté ces deux méthodes,
le modèle de Lévy permet d’obtenir une courbe de corrélation implicite plus plate. Ainsi nous
concluons que ce modèle est plus précis pour calculer les tranches de CDO bespoke (plus faible
erreur d’interpolation).
Remerciements :
Nous tenons à remercier l’encadrant de notre mémoire, M. Mohamed Selmi, pour son
soutien et ses conseils dans la réalisation de notre sujet.
Contents
Introduction ................................................................................................................................................................... 1
Partie 1.
I.
Le marché du crédit................................................................................................................................ 2
Le risque de crédit ........................................................................................................................................... 2
A.
Définition du risque de crédit .............................................................................................................................................. 2
B.
Typologie des risques de crédit ............................................................................................................................................. 3
C.
Risque de crédit et régulation .............................................................................................................................................. 3
D.
Les dérivés de crédit ............................................................................................................................................................ 4
E.
Le marché du risque de crédit et ses évolutions depuis la crise .............................................................................................. 6
II.
Modélisation du risque de crédit ................................................................................................................... 9
A.
Approche structurelle .......................................................................................................................................................... 9
B.
Approche par intensité de défaut ....................................................................................................................................... 15
C.
Réconciliation des deux approches : modèles à variables latentes ........................................................................................ 18
III.
Les Credit Defaut Swap ...........................................................................................................................20
A.
Présentation...................................................................................................................................................................... 20
B.
Evaluation d’un CDS ..................................................................................................................................................... 20
C.
Valeur Mark to Market d’un CDS ............................................................................................................................... 22
D.
Triangle de crédit .............................................................................................................................................................. 23
IV.
Les Collateralised Debt Obligation ........................................................................................................24
A.
Du portefeuille d’actifs au CDO ...................................................................................................................................... 24
B.
Modélisation..................................................................................................................................................................... 27
C.
Valorisation des tranches de CDO .................................................................................................................................. 29
Partie 2.
I.
Modèle gaussien à un facteur ..............................................................................................................31
Présentation du modèle ................................................................................................................................31
A.
Définition ......................................................................................................................................................................... 31
B.
Modélisation du défaut ..................................................................................................................................................... 35
II.
Evaluation par la méthode de Monte Carlo ..............................................................................................36
A.
Simulation des temps de défaut ......................................................................................................................................... 36
B.
Nombre de simulation et temps de calcul ........................................................................................................................... 37
III.
Evaluation par formule fermée ...............................................................................................................39
A.
Résolution dans un cadre homogène ................................................................................................................................... 39
B.
Approximation par la loi de Poisson ................................................................................................................................ 40
C.
Calcul de l’intégrale des pertes par l’approximation de Gauss-Hermite ............................................................................. 42
IV.
V.
Evaluation à l’aide d’une formule récursive ..........................................................................................43
Application dans un cadre inhomogène.....................................................................................................45
A.
Exemple introductif .......................................................................................................................................................... 45
B.
Cas général ....................................................................................................................................................................... 46
VI.
Corrélation implicite des tranches de CDO..........................................................................................49
A.
Impact de la corrélation sur le prix des tranches ................................................................................................................ 49
B.
Corrélation implicite ......................................................................................................................................................... 51
C.
Base corrélation ................................................................................................................................................................ 52
D.
Smile de corrélation .......................................................................................................................................................... 53
E.
L’échec du modèle standard .............................................................................................................................................. 54
Partie 3.
Modèle de Lévy.....................................................................................................................................55
I.
Cadre générique .............................................................................................................................................55
II.
Application......................................................................................................................................................58
A.
Le modèle de Lévy pour la loi Gamma augmentée ............................................................................................................ 58
B.
Calibration des paramètres du modèle ............................................................................................................................... 62
III.
Lois alternatives .........................................................................................................................................64
A.
La loi Gaussienne Inversée augmentée .............................................................................................................................. 64
B.
Le modèle CMY augmenté ............................................................................................................................................... 65
D.
Commentaires................................................................................................................................................................... 66
Partie 4.
I.
Résultats .................................................................................................................................................67
Calcul de spreads ...........................................................................................................................................67
A.
Présentation des données ................................................................................................................................................... 67
B.
Résultats du pricing .......................................................................................................................................................... 68
II.
III.
Impliciteurs de corrélation ...........................................................................................................................70
Pricing de dérivés exotiques ....................................................................................................................72
Conclusion ....................................................................................................................................................................76
Annexes.........................................................................................................................................................................77
I.
Théorie des copules .......................................................................................................................................77
II.
Démonstration, approximation de Poisson...............................................................................................79
III.
Quadrature de Gauss ................................................................................................................................80
IV.
Propriété des processus de Lévy.............................................................................................................82
Bibliographie ................................................................................................................................................................84
Introduction
Introduction
Dans le cadre de la couverture du risque de contrepartie, l’équipe Credit Portfolio
Management de la Société Générale gère un portefeuille de dérivés de crédit (CDS, CDO) afin de
réduire l’exposition de la banque face à ses clients corporates, institutionnels et bancaires. Tandis
que l’équipe structuration est en charge de la mise en place d’opérations de protection à travers
les CDO et dérivés de crédit exotiques, le mémoire est supervisé par M. Mohamed Selmi, analyste
quantitatif, qui, en amont, est en charge de la réalisation et de la validation de modèles de pricing
innovants.
Les dérivés de crédit permettant à la banque de sortir une partie du risque de contrepartie de
son bilan agissent comme des contrats d’assurance. La compréhension des mécanismes financiers
sous-tendus par ses produits ainsi que les méthodes de leur évaluation font donc appel à des
compétences actuarielles. L’objectif du mémoire est l’implémentation d’un pricer de CDO basé
sur de nouveaux modèles et notamment le modèle de Lévy.
L’enjeu de la tarification des tranches de CDO consiste donc à correctement modéliser les
corrélations entre les évènements de défaut des instruments de dette sous-jacents. Ainsi à l’instar
des options vanilles pour lesquelles on déduit une volatilité implicite par inversion de la formule
de pricing retenue, on s’intéresse ici à déduire la corrélation implicite sous-tendue par le prix de
marché de chaque tranche de CDO. La corrélation implicite n’étant pas monotone (pas de
bijection pour les tranches mezzanine), le calcul s’effectue à partir de la base correlation. Après
interpolation entre les différents strikes standard pour une maturité donnée, les bases corrélations
obtenues sont en général croissantes avec les tranches. On parle d’un smile de corrélation.
La formule standard de pricing des CDO repose sur le modèle gaussien à un facteur. Or le
pricing des CDO dans ce cadre est très sensible au smile de corrélation. Ce problème est encore
plus prononcé sur les CDO bespokes et CDO square car leur évaluation s’effectuent à partir de
l’interpolation de la courbe de smile. Afin de résoudre cet inconvénient et avoir un prix de dérivés
structurés peu sensible à la corrélation, le mémoire propose d’étudier de nouvelles approches de
pricing notamment le modèle de Lévy.
La distribution d’un processus de Lévy est en effet caractérisée par la composante de saut des
processus sous-jacents. En intégrant cette composante dans la modélisation des corrélations entre
les émetteurs du CDO, les modèles de Lévy à un facteur permettent d’obtenir des courbes de base
correlation plus plate i.e. moins sensible à ce paramètre. L’objectif du mémoire sera donc de
retrouver ce résultat à partir de données de marché et d’effectuer une analyse comparée des
différents modèles de pricing.
Page |1
Le marché du crédit
Partie 1. Le marché du crédit
I.
Le risque de crédit
Le risque de crédit est l’une des plus ancienne forme de risque présente sur les marchés de
capitaux et tient une part importante dans le risque global auquel sont confrontées les banques.
Lourd de conséquence, il est donc soumis à une règlementation stricte visant à en indiquer et
contrôler une bonne gestion. C’est pourquoi la modélisation de ce risque tient une place
importante dans l’activité bancaire actuelle et est nécessaire à l’évaluation des dérivés de crédit
que nous étudierons ici. Dans cette première partie, nous nous attachons à définir le risque de
crédit et à en dégager les différents aspects. Nous abordons ensuite les deux approches
principales utilisées pour évaluer les dérivés de crédit sur les marchés : l’approche structurelle
d’une part et l’approche par intensité d’autre part. Nous présenterons pour terminer deux des
principaux dérivés de crédit : les Credit Default Swap et les Collateralized Debt Obligation.
A. Définition du risque de crédit
Le risque de crédit, également appelé risque de contrepartie, se définit comme le risque que
l’emprunteur ne rembourse pas la dette qu’il a contracté que ce soit une créance commerciale,
une obligation, un prêt bancaire, etc. Il ne s’arrête pas seulement au défaut de paiement sur le
principal et/ou les intérêts mais comprend également un retard sur ces mêmes paiements, le
risque sur le taux de recouvrement – c’est-à-dire la part du crédit remboursée en cas de défaut –
et aussi un risque de dégradation de la qualité en fonction de la notation qui lui est attribué par les
agences de notation et qui peut varier au cours du temps.
On le distingue des deux autres risques majeurs auxquels sont soumises les grandes
institutions financières : le risque de marché et le risque opérationnel. Tandis que le risque de
marché englobe l’ensemble du risque lié aux variations de la valeur d’un actif (ou d’une dette)
détenu par une banque, le risque opérationnel regroupe tous les risques inhérents à des
défaillances humaines ou de systèmes internes, ainsi qu’aux pertes liées à des évènements
extérieurs (fraudes, incendies…).
Page |2
B. Typologie des risques de crédit
Divers types de risques de crédit peuvent être distingués selon les instruments financiers
considérés. On se base ici sur la typologie réalisée par (Gouriéroux, et al., 2007) :






Instruments financiers basés sur un échéancier contractuel de remboursement. Les crédits classiques
entrent dans cette catégorie. Le risque se réalise en cas de non-exécution d’un paiement prévu :
absence de paiement, paiement partiel ou report de paiement.
Instruments financiers dont l’échéancier des paiements (dates et/ou montants) n’est pas connu a
priori. Ce risque existe pour des instruments à vue, des crédits à taux variable, des instruments ne
portant que sur l’intérêt, des instruments rachetables.
Produit dont le paiement est fonction de certaines conditions. L’ensemble des options, des swaps de
crédit relatifs à des entreprises, les crédits-bails. Le risque provient ici du risque de défaut d’une
contrepartie, et non du risque de défaut sur l’instrument lui-même.
Le risque de crédit issu du risque de change. La dévaluation d’une devise engendre un risque de crédit.
Les décotes. Bien que ne constituant pas un défaut au sens strict, la perte de valeur d’un instrument
rend le placement moins attrayant et laisse supposer une probabilité de défaut accrue. Il peut exister
une forte propagation des décotes rendant très probable la survenance simultanée de décotes
multiples. On parle alors de corrélation de décote. Au niveau du portefeuille, la diversification peut
atténuer ce risque. Dans le cas d’une décote, il n’est donc pas nécessaire que le défaut se réalise pour
que le risque de crédit affecte négativement la valeur d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs.
Les lignes de crédit. La ligne de crédit que l’on définit comme l’autorisation (droit de tirages) donnée
par une banque à un emprunteur de tirer des fonds jusqu'à un plafond fixé, pendant une période
donnée, peut engendrer un risque de crédit. Dans une mauvaise situation financière, l’emprunteur peut
accroitre l’utilisation de sa ligne et donc l’exposition au défaut. Le risque passe alors par l’augmentation
endogène de cette exposition.
C. Risque de crédit et régulation
Depuis 1988 et les accords de Bâle I, les acteurs du système bancaire sont soumis à des
contraintes d’adéquation de leur capital aux risques qu’ils supportent. Cette adéquation qui
mesure la quantité de fonds propres nécessaire aux banques pour faire face à leurs pertes
inattendues passe notamment par le respect du ratio Cook ou ratio de solvabilité que l’on définit
comme :
(
∑
(
)1
)
Tier 1 comprend : le capital, les réserves, les primes d’émission tandis Tier 2 englobe les dettes subordonnées et
certains instruments hybrides.
1
Page |3
Avec :
(
)
(
)
2
La pondération dépend alors du risque présenté par l’actif considéré (nature de la
contrepartie, type d’engagement).
Sous Bâle I, la prise en compte des investissements en tranches de titrisation est assez limitée.
Aucune distinction n’est faite selon la note externe de la tranche (pondération à
) et les
tranches non notées ou notées
doivent être déduites des fonds propres.
Les accords de Bâle II (juin 2004) viennent renforcer le contrôle du risque de crédit. La
mesure du risque de crédit ne s’appuie plus seulement sur le type de contrepartie mais sur la
qualité de crédit de l’emprunteur. Il est également créé une disposition spécifique pour les
titrisations.
D. Les dérivés de crédit
Les premiers dérivés de crédit sont apparus sur les marchés au milieu des années 90, et sont
échangés exclusivement sur les marchés de gré à gré3. Bien que représentant une part réduite sur
l’ensemble du marché, ce sont eux qui ont connu la plus forte expansion depuis leur création.
L’émergence de tels produits résulte du besoin accru des institutionnels de se protéger
efficacement contre le risque de contrepartie et de répondre aux exigences croissantes de la
règlementation prudentielle dans ce domaine.
1. Présentation
Ce sont des instruments dont le sous-jacent est un actif de type crédit, par exemple une
créance ou une obligation, et dont le but est de transférer tout ou partie du risque inhérent à ce
sous-jacent à une ou plusieurs contreparties sans avoir à échanger l’actif de base. Ils permettent
ainsi de séparer le risque de crédit et le risque de marché et donc de pouvoir gérer de nouvelles
lignes de crédits sans avoir à en supporter le risque. Ils assurent aux institutions une couverture
efficace et un refinancement plus flexible. Leur utilisation est multiple. Par exemple ils offrent
l’opportunité de couvrir un risque jugé trop important tout en maintenant une bonne relation
commerciale avec des clients corporate. Mais ils permettent également aux institutions financières
de réduire leur coût en capital règlementaire et donc d’améliorer leur rentabilité sur fond propre
en se dégageant de certains risques ou d’avoir accès à des refinancements à taux faibles. Ils sont
aussi très utilisés en gestion de portefeuille pour améliorer la qualité des portefeuilles de dette en
désigne la valeur Mark to Market , c’est-à-dire la différence entre le prix de marché de l’actif et son prix
(
) désigne les moins-values latentes sur cet actif.
d’achat. Ainsi
désigne le coefficient à
appliquer sur le notionnel de l’actif (le nominal d’une obligation par exemple), il varie selon le type d’actifs considéré.
3 La standardisation en cours du marché des CDS pourrait conduire à la constitution d’un marché listé recourant à
une chambre de compensation. Sur le marché américain, certains CDS sont déjà collatéralisés
2
Page |4
diversifiant les positions ou pour maintenir une couverture sur les actifs déjà présents dans les
portefeuilles. Dans l’industrie des Hedge Fund ils offrent des opportunités d’arbitrage et une
amélioration du rendement par le biais d’effets de levier.
Parmi les dérivés de crédit, deux grandes familles sont à distinguer. D’une part les
instruments sur nom unique qui ne portent que sur une seule entité et d’autre part les instruments
de portefeuille multi-sous-jacents. La première famille contient en particulier, tous les contrats qui
permettent aux acheteurs de se prémunir contre un évènement de crédit (un Credit Default Swap
ou un Credit Link Note par exemple) ainsi que les dérivés sur différentiel de taux qui permettent
de se couvrir contre les fluctuations des écarts de taux entre les obligations risquées et sans risque
(un Credit Spread Forward ou option par exemple). Concernant les produits multi-sous-jacents, il
y a des produits qui sont une extension directe des produits sur noms uniques (Two-way CDS ou
Basket Default Swap) et les produits plus complexes issus de la titrisation de portefeuilles de
produits mono-sous-jacents (Collateralized Debt Obligation).
2. Les principaux investisseurs du marché
Les quatre principaux investisseurs sur ce type de produits sont : les gestionnaires de
portefeuille au sein des banques d’investissement, les gestionnaires d’actifs, les assureurs vie (et
les Monoliners4) ainsi que les fonds d’investissement. Les objectifs de ces acteurs sur le marché
du risque de crédit sont tous différents et sont résumé dans le tableau suivant :
Acteurs du marché
gestionnaire de portefeuille
(banque d'investissement)
Gestionnaire d'actifs
Assureur vie / Monoliners
Fonds d'investissement
Objectifs

principalement acheteur de protection

couverture contre la trop forte
concentration des portefeuilles de prêt

vendent de la protection pour financer
leur couverture et diversifier leur
portefeuille

principalement vendeur de protection

capacité à personnaliser les dérivés de
crédit

position short sur les marchés

marché des CDO : principalement
intéressé par les tranches Mezzanine

principalement vendeur de protection

leviers attractifs

intéressé par les tranches Senior et
Super-senior (les moins risqués,
généralement noté AAA)

A la fois acheteur et vendeur

Arbitrage sur les marchés

trading basique : bonds vs. Protection

intéressé par les rendements attractifs
mais plus risqués des tranches Equity
4 Les Monoliners sont des compagnies d’assurances qui apportent un rehaussement de crédit aux intervenants des
marchés financiers. Ils assurent uniquement le risque lié à des titres de dettes. En clair, le Monoliner (généralement
noté AAA) fait bénéficier une obligation de son propre rating en garantissant irrévocablement et sans condition aux
investisseurs le paiement des intérêts et le remboursement du capital.
Page |5
E. Le marché du risque de crédit et ses évolutions depuis la crise
La première moitié des années 2000 a vu l’explosion du marché du crédit comme en
témoigne l’augmentation des volumes5 ainsi que la diversification des instruments. Le
développement de ces produits a en effet été fortement poussé d’une part par la standardisation
des contrats menés par l’ISDA et d’autre part par les institutions financières dans la mesure où
ces dérivés leur permettent d’ajuster leur ratio de solvabilité mais également de libérer des fonds
propres. Ils permettent en effet aux établissements de crédit de sortir une partie du risque de
contrepartie de leur bilan et agissent donc comme des contrats de réassurance.
1. Evolution du marché des CDS
L’essentiel de l’encours du marché se répartit entre les CDS (environ 75% du marché du
crédit) et les CDO (environ 20%). Ces produits connaissent un développement relativement
tardif. En effet, jusqu’en 1998, le développement du marché des Dérivés de Crédit était
handicapé par la multitude des documentations utilisées par chaque contrepartie. A partir de cette
date, l’ISDA (International Swaps & Derivatives Association) a mis en place une documentation
standard qui permet de traiter les CDS dans le cadre d’un ISDA Master Agreement. Ce fut une
étape essentielle dans le développement des Dérivés de crédit du fait de la rapidité de mise en
place des opérations et ainsi de la nette amélioration de la liquidité de ce marché.
Le processus de standardisation est alors étendu grâce à des compléments à la définition de
l’ISDA concernant notamment les obligations convertibles (mai 2001) ou encore la définition des
évènements de crédit (novembre 2001).
Le graphique suivant montre l’explosion du marché depuis le lancement des produits en 2001
et son net repli depuis la crise financière (pic en juin 2007). En effet, les dérivés de crédit suite à la
crise des subprimes ont eu tendance à attirer les suspicions des investisseurs et ont fortement
perdu en attractivité.
Le volume des encours en produits dérivés de crédit s’élève à 62 173,2 Mds USD fin juin 2007 selon l’ISDA,
l’International Swap & Derivatives Association (http://www.isda.org/statistics/historical.html)
5
Page |6
ISDA Market Survey
Adjusted for double-countin, semiannual data, all surveyed contracts,
2001-2010
70 000,00
60 000,00
50 000,00
40 000,00
30 000,00
20 000,00
10 000,00
1H10
2H09
1H09
2H08
1H08
2H07
1H07
2H06
1H06
2H05
1H05
2H04
1H04
2H03
1H03
2H02
1H02
2H01
1H01
-
Credit default swaps Outstanding, Notional amounts in billions of US dollars
Néanmoins, dans le contexte des nouvelles exigences de Bâle III, ces produits, par leur
capacité à piloter les exigences de fonds propres, conservent un intérêt certain pour les
investisseurs institutionnels.
Le marché des CDS dépasse en effet largement en volume la taille du marché dit « Cash ».
Cela résulte du fait que pour un notionnel donné, plusieurs institutions financières peuvent avoir
des expositions similaires par le biais d’instruments financiers. Par exemple, une banque A peut
être long d’un CDS envers une banque B et en même temps short sur le même notionnel envers
une banque C. En l’absence de chambre de compensation, le volume du marché du crédit est
alors artificiellement gonflé.
En raison de l’opacité de ce marché, les régulateurs européens et surtout américains ont lancé
depuis 2009 un vaste mouvement de réformes afin de rendre ce marché à la fois plus transparent
et plus liquide tout en diminuant le risque de contrepartie total. Ainsi, même s’il est toujours
négocié sur des marchés OTC, le segment des CDS commence à se standardiser. Les principales
mesures amorcées depuis 2009 sont:
i.
ii.
La création de la Trade Information Warehouse (TIW) : une nouvelle entité destinée à centraliser
l’information sur les contrats CDS et à évaluer les volumes échangés. Rattachée à la
Depositary Trust and Clearing Corporation (ou DTCC, la chambre de compensation et de
règlement américaine), cette structure devra assurer le matching des transactions CDS entre
deux contreparties ;
Afin de limiter le gonflement des volumes échangés (non compensation des trades), les
régulateurs incitent les institutions financières à recourir aux services des deux prestataires
Markit et Optima en charge de la compression des deals. Vivement encouragé par la FED,
l’objectif est triple : réduire le risque de contrepartie, les besoins en refinancement et le risque
opérationnel.
Page |7
iii.
iv.
Le renforcement de l’ISDA dans la standardisation des contrats CDS et dans la mise en place
de nouveaux protocoles : le Big Bang Protocol (avril 2009) aux Etats-Unis et le Small Bang
Protocol (juillet 2009) en Europe.
Le lancement d’initiatives visant la mise en place de chambre de compensation sur le marché
des CDS. A titre d’exemple, aux Etats-Unis, la Security Exchange Commission (SEC)
autorise désormais l’Intercontinental Exchange (ICE) et le Chicago Mercantile Exchange
(CME) à compenser les indices de CDS américains. Bien que les CDS soient toujours traités
de gré à gré, une Central Counterparty (CCT) s’intercale entre l’acheteur et le vendeur. Les
avantages de la compensation sont multiples. Outre la diminution évidente du risque de
contrepartie, les banques ont la possibilité d’agréger les positions (netting) ; la publication des
prix et volumes améliore la transparence et la liquidité du marché. Enfin les régulateurs sont
désormais tenus informés des volumes et des participants et donc des risques sur le marché
du crédit.
2. Evolution du marché des CDO
Les CDO ABS (Asset Back Security), en particulier les CDO RMBS (Residential Mortgage
Backed Securities) ont été les principaux vecteurs de propagation de la récente crise financière6.
Après avoir connu un franc succès dans la première moitié des années 2000, la crise entraîne un
net repli des volumes échangés comme le montre l’histogramme suivant :
Nous constatons notamment sur ce graphique qu’entre 2007 et 2008, en plein cœur de la
crise, les volumes traités de CDO ont diminué de
. Les Residentials Mortgage Backed Securities
ont quasiment disparu.
Cf. Rapport du FMI : “Credit Market Turmoil Makes Valuation Key”,
http://www.imf.org/external/pubs/ft/survey/so/2008/res0115a.htm
6
Page |8
II.
Modélisation du risque de crédit
Il est usuel de distinguer l’approche structurelle de l’approche sous forme réduite lorsque l’on
s’intéresse à la modélisation du risque de crédit. La première approche, basée sur le célèbre article
de Robert C. Merton7, s’intéresse à la structure et à la valorisation du capital de l’entreprise ainsi
qu’à la part de la dette dans le passif du bilan. L’approche sous forme réduite quant à elle ne
repose que sur la modélisation des temps de défaut, aucune variable financière n’est prise en
considération. La présentation que nous faisons ici se base sur (Braouézec, et al., 2007).
A. Approche structurelle
1. Modélisation de la structure du capital
Dans cette approche, le défaut d’une société est effectif dès lors que la valeur des actifs de
la société franchit un certain seuil de dette. En effet, en cas de liquidation d’une firme, le fruit
de la vente des actifs servira à rembourser les créanciers par ordre de priorité.
Dans son article fondateur, Robert Merton va étudier en détail le cas d’une entreprise
émettant une obligation zéro-coupon de nominal (dette de l’entreprise) pour une maturité . Il
s’inspire alors d’un article de Black and Scholes en comparant cette obligation avec une option
européenne.
On suppose alors que la valeur des actifs de la firme
évolue selon la dynamique suivante :
La solution de cette équation différentielle stochastique est alors de la forme suivante :
(
(
))(
)
(
)
Où désigne le taux sans risque et la volatilité implicite du processus
paramètres et
, un mouvement brownien standard.
désignent deux
Le graphique ci-dessous présente un exemple de trajectoire possible de la valeur de l’actif en
fonction du temps. Bien sûr cette dernière dépend des paramètres de taux d’intérêt et de
volatilité. Pour cette représentation graphique, nous avons choisi :
-
7
Cf. (Merton, 1974)
Page |9
Evolution de la valeur de l'actif
3,5
3
Valeur de l'actif
2,5
2
1,5
A
1
0,5
0
0,00
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Temps
On peut alors établir une analogie entre cette obligation zéro-coupon et une option
européenne. En effet, on peut montrer que la dette totale et les actions de l’entreprise (l’Equity)
se comportent en fait comme des produits dérivés dont le sous-jacent est , la valeur du capital
de l’entreprise et de strike .
En supposant que le défaut ne peut être déclaré avant la maturité , étudions les deux cas de
figure suivant à la date :
i.
ii.
Supposons que
. Dans ce cas, les actionnaires sont en mesure de rembourser l’intégralité
de et récupèrent
sous forme de dividendes. Les détenteurs de l’obligation quant à eux
récupèrent le nominal .
Supposons que
. Dans ce cas le montant restant de l’actif ne suffit pas à courvrir le
remboursement du nominal. Les actionnaires ne touchent rien alors que les créanciers obligataires
récupèrent l’intégralité de du capital ( ) et deviennent propriétaire de l’entreprise.
Il est à noter que le taux de recouvrement
est aléatoire et dépend de la réalisation de
à la date
. Si l’on note , la valeur de l’equity (les actions) à maturité et
bond (la dette) de l’entreprise, il apparaît alors que :


{
{
}
}
(
la valeur des
)
{
}
(
)
Page |10
Ainsi l’Equity peut être valorisé comme un Call européen de sous-jacent , de strike et de
maturité
tandis que la dette risquée peut se modéliser comme la différence entre la dette
certaine ( ) et un Put européen, de sous-jacent et de strike . Enfin, en supposant que le
marché est complet et sans arbitrage8, il existe une unique manière de rendre martingale le sousjacent actualisé. On peut donc utiliser la formule classique de Black-Scholes pour évaluer le prix
du Call européen :
(
[
)
(
) ]
(
(
)
)
(
)
Avec :

( )
(




√
∫
) (
, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
)(
)
√
(
√
) la distance à la maturité.
( ) désigne l’espérance risque-neutre
De la même manière, la valeur de la dette à la date
hypothèses de Black-Scholes :
(
(
)
)
(
(
(
peut s’écrire dans le cadre des
) ]
(
)
(
)
(
))
On remarque que, puisque la valeur de la dette risquée
est égale à celle de la dette sans
risque de défaut (nominal ) moins un Put, le montant du risque de crédit est celui d’un Put
européen. Ainsi si les détenteurs de l’obligation zéro-coupon veulent se couvrir contre ce risque,
ils doivent acheter un put de nominal , de maturité sur le sous-jacent .
Enfin puisque la dette et les actions sont évaluées simultanément, le modèle de Merton établit
un lien entre le marché du crédit et celui de l’Equity pouvant être à la base de stratégies
d’arbitrage de structure de capital.
De manière plus générale, dans les modèles sous forme structurelle, l’évènement de défaut
correspond au franchissement de la valeur
du capital d’une barrière
qui peut être une
constante (Merton classique, la barrière est assimilée’ à un Strike), une fonction déterministe du
temps, ou même un processus stochastique. Il est important de noter que la continuité de la
trajectoire
signifie que le défaut arrive de « manière continue ». Il est donc prévisible. Nous
introduisons plus loin les processus de Lévy qui possèdent une composante en saut et permettent
donc de lever cette critique.
]
L’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA)est classique en finance et s’écrit :
]
. Autrement dit en AOA, un actif gratuit à l’instant 0 et de valeur positive ou nulle à maturité ne peut
que valoir 0 à maturité.
8
Page |11
2. Construction de la structure par terme des spreads
Une fois la valorisation de l’Equity et des Bonds en place, nous cherchons à construire la
probabilité risque neutre de défaut à l’horizon . Cette probabilité repose sur trois notions : le
taux interne de rendement, le spread de crédit et la structure par terme des spreads :

On appelle taux de rendement interne à la date d’une obligation de maturité
( ) solution de l’équation :
(yield ou Internal Rate of Return) le taux actuariel
∑
Où
(
)
(
)
est le prix plein coupon de l’obligation et le montant du coupon.

On appelle spread de crédit ( ) à la date pour une obligation de maturité
l’écart entre le taux de rendement interne de l’obligation ( ) et le taux sans risque .
( )
( )
. Il correspond donc à la prime de risque que le détenteur de l’obligation
perçoit pour compenser le risque de crédit qu’il supporte.

Enfin on appelle structure par terme des spreads, l’échéancier des spreads de
( )
crédit, i.e. la fonction :
Puisque la dette émise (zéro coupon) n’implique pas le versement de coupons , alors (en
prenant un taux d’actualisation exponentiel) :
( )(
)
Et puisque nous avons également :
(
)
(
(
)
(
)
(
))
On a donc :
( )(
)
(
)
(
[
En définissant le ratio de quasi-dette : (
que
(
)
(
( )
( )
(
)
)
)
(
)]
et en remarquant
), on en déduit :
( )(
Puisque :
(
)
)
(
)
(
)
(
)
.
On obtient donc l’équation de la structure par terme des spreads :
( )
( )
[
( (
)
(
)
(
))]
Page |12
Structure par terme des spreads
0,05
Spread
0,04
0,03
K<A
0,02
K>A
0,01
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Maturité
Nous formulons ici quelques remarques concernant le comportement asymptotique de la
structure par terme des spreads dans le modèle de Merton.
A très court terme, et si (
maturité
pour
continuité de la trajectoire de
nuls pour
)
, alors pour une obligation émise à la date
et de
on est sûr que l’émetteur ne fera pas défaut étant donné la
. Par conséquent la prime de risque et donc le spread doivent être
suffisamment petit. A l’inverse si (
l’obligation émise à et de maturité
)
, on est certain pour
que
fera défaut. Le spread tend alors vers l’infini.
La limite des modèles structurels à la Merton est donc qu’ils ne permettent pas d’engendrer
des spreads de taux courts finis et non nuls. Cette limite est vérifiée dès lors que l’on suppose que
suit une trajectoire continue. Les processus à saut permettent notamment de lever cet
inconvénient.
A très long terme, quand la maturité
, alors la valeur d’un Put européen de maturité
tend vers . Ainsi, étant donné que la valeur du risque de crédit est égale à ce Put, le spread de
crédit doit également tendre vers pour une maturité qui tend vers l’infini.
Page |13
3. Construction de la probabilité de défaut
Comme nous l’avons vu, il y a défaillance de l’entreprise dès lors que la valeur de l’actif du
bilan devient inférieure à la valeur des dettes que l’on peut simplifier par le montant du passif
défalquer des fonds propres (l’Equity). Dès lors, il y a défaut dès que :
(
)
La probabilité risque neutre de défaut entre et
(
)
( )
s’écrit alors :
( )]
(
)
(
[
)
(
( )
)
√
(
)
(
)
√
]
Avec :
(
Donc
(
)
(
Enfin si on note
) (
)
(
√
(
( ))
(
))(
)
(
)
)
la probabilité risque neutre de défaut à l’horizon , nous avons :
(
)
(
(
)
(
√
)(
)
)
{
Page |14
Evolution de la probabilité de défaut selon la maturité
0,9
0,8
Probabilité de défaut
0,7
0,6
0,5
0,4
r-sigma²/2<0
0,3
r-sigma²/2>0
0,2
0,1
0
-0,1
0
5
10
15
20
25 30
Maturité
35
40
45
50
Ainsi alors qu’intuitivement on pourrait penser que puisque le spread tend vers quand
tend vers l’infini, alors la probabilité de défaut tend également vers , il n’en est rien car cette
conclusion dépend du signe de
.
Maintenant que nous avons développé le cadre général des modèles structurels à la Merton,
intéressons-nous à un autre type d’approche, les modèles sous formes réduites qui eux ne se
basent sur aucune variable économique et financière.
B. Approche par intensité de défaut
Dans ce type d’approche, seul le temps de défaut est modélisé et l’évaluation de la
jambe fixe et de la jambe variable des dérivés de crédit en découlent facilement. Dans ce cadre, le
taux de recouvrement des entreprises est considéré comme une variable exogène du modèle et est
donc connu à chaque date. Il est important de noter qu’ici on n’utilise aucune variable
économique. En particulier, le défaut est modélisé indépendamment de la valeur liquidative de
l’entreprise. On introduit alors le paramètre principal du modèle : l’intensité de défaut, notée .
Pour une date donnée et un intervalle de temps infinitésimal
défaut survienne entre et
vaut :
( )
, la probabilité que le
( )
Et la probabilité de survie est donc donnée par :
( )
( )
Page |15
] en intervalles de temps, on obtient donc la probabilité de survie
En découpant l’intervalle
à la date comme le produit des probabilités de survivre sur chacun des petits intervalles de
temps :
( )
()
∏(
)
D’où :
( ))
(
∑ (
( )
)
En considérant le développement limité à l’ordre de 1 de cette relation, on obtient :
( ))
(
Puis on passe en temps continue en faisant tendre
( )
)
vers
( ∫ ( )
Et la probabilité que le défaut survienne à la date
(
( )
∑(
)
:
)
est donc :
( ∫ ( )
)
Et on vérifie bien les conditions suivantes :
-
est croissante
Et les conditions aux limites :
( )
( )
Page |16
Probabilité de défaut
100,00%
90,00%
80,00%
Probabilité
70,00%
60,00%
Probabilité
de défaut
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
0
5
10
15
20
25
30
Maturité
35
40
45
50
Les deux approches que nous venons de présenter pour modéliser le risque de crédit semble
assez éloignées puisque, comme nous venons de le voir, le défaut est totalement imprévisible et
indépendant des variables financières liées à l’entreprise dans l’approche sous forme réduit tandis
qu’il est prévisible et repose sur la valeur liquidative de la firme dans l’approche à la Merton.
Ces deux approches sont néanmoins compatibles si l’on affine certaines des hypothèses du
modèle de Merton. Si il est clair que le défaut est prévisible dès lors que l’on suppose que la
dynamique de est un processus log normal en temps continu, cette conclusion n’est plus vraie
si l’on se place en temps discret, i.e. si l’investisseur a un accès parcellaire à l’information. Cette
hypothèse est d’ailleurs plus vraisemblable. Dans les faits, le risque de défaut est drivé par la
diffusion spontanée et inattendue d’informations financières sur les marchés. L’investisseur ne
connait pas à chaque instant la capacité exacte de remboursement de son débiteur.
Page |17
C. Réconciliation des deux approches : modèles à variables latentes
Les modèles à variables latentes permettent de faire le lien entre les modèles structurels et
l’approche sous forme réduite. En suivant la méthodologie de (Frey, et al., 2001), un modèle à
variable latente se définit par le couple (
) et vérifie la propriété suivante :
Avec :



( ), une variable aléatoire de Bernouilli représentant l’indicatrice de défaut du nom à
l’horizon ;
la variable latente (variable aléatoire de distribution marginale continue) ;
un seuil.
)
Une propriété remarquable est que deux modèles à variables latentes (
) et (
)
(
). Nous pouvons ainsi établir un lien entre
sont équivalents dès lors que : (
l’approche structurelle et l’approche sous forme réduite.
En reprenant modèle de Merton développé précédemment, nous avons vu qu’il y a défaut
à l’horizon , si la valeur des actifs ne permettait pas de couvrir le nominal de la dette. La
probabilité risque neutre de défaut à l’horizon comme :
(
)
(
)
Où :

(
) (
√
)
, on suppose ici que
afin que la probabilité de défaut soit une
fonction croissante la maturité .


√
est une variable normale centrée réduite (on peut donc poser
], désigne la probabilité risque neutre.
;
Appliqué à un modèle à intensité déterministe, le défaut est déclaré lorsque
date
. Nous avons vu dans la sous partie, Approche par intensité de défaut, que :
(
)
( ∫ ( )
à une
)
Où ( ) désigne l’intensité de défaut telle que :
( )
( )
En se plaçant sous la probabilité risque neutre, nous avons par équivalence des deux modèles à
variables latentes :
(
)
(
(
)
)
(
)
Page |18
(
On peut alors impliciter
( ∫ ( )
)
)
:
( ∫ ( )
[
)]
En réinjectant cette formule dans l’expression de l’égalité (
trouvons :
(
)
(
(
(
(
)
(
( ∫ ( )
), nous
)])
( ∫ ( )
]
))
( ∫ ( )
])
)
(
)
[
((
)
(
(
])
))
∫ ( )
)
Il est maintenant nécessaire d’appliquer ces éléments de théorie à la modélisation de réels
dérivés de crédit. Après avoir expliqué le fonctionnement des CDS, nous nous pencherons sur la
construction des CDO.
Page |19
III.
Les Credit Defaut Swap
A. Présentation
Comme nous l’avons vu dans la première partie, le marché des CDS est le premier marché
des dérivés de crédit synthétique tant au niveau de l’historique qu’au niveau des volumes. Depuis
une décennie, il a tendance à se standardiser et les produits qu’il propose sont très liquides. En
effet, les maturités et les périodicités de paiement ont été régularisées9 et le marché indique le
bid/ask du spread correspondant à chacun de ces contrats. Les maturités standards sont 1 an, 2
ans, 3 ans, 5 ans, 7 ans, 10 ans, et le produit le plus liquide est celui de maturité 5 ans, ce qui
n’empêche pas les autres points d’être tout de même assez liquides.
Les CDS sont des produits dérivés de crédit échangés sur les marchés de gré à gré. C’est un
contrat entre un acheteur et un vendeur dont le fonctionnement est similaire à celui d’une police
d’assurance et qui permet le transfert du risque de crédit lié à un émetteur de dette quelconque.
Ainsi, l’acheteur de protection qui souhaite s’assurer en cas d’un évènement de crédit du sousjacent paie une prime périodique – appelée spread – au vendeur de protection qui s’engage en
contrepartie à rembourser les pertes provoquées par l’évènement lorsque celui-ci survient.
Lorsqu’on parle d’évènements de crédit, il ne s’agit pas seulement de faillite (bankruptcy) mais il
faut aussi considérer les défauts de paiement (failure to pay) et les restructurations de la dette
(restructuring) par exemple. Naturellement, plus le risque de crédit est élevé plus le spread augmente.
Le contrat du CDS est défini par les éléments suivants :
-
Un sous-jacent, c'est-à-dire l’émetteur de dette contre lequel on souhaite couvrir le risque
de défaut.
Un nominal N qui correspond au montant couvert par le contrat.
Une date de maturité T jusqu’à laquelle la protection s’applique.
Un spread contractuel
exprimé en point de base (1bps=0,01%) payé périodiquement
par la partie vendeuse de protection.
Un taux de recouvrement implicite
sur la base duquel est coté le CDS et qui
correspond au taux de pertes auquel on s’attend.
B. Evaluation d’un CDS
L’évaluation d’un CDS, se décompose en deux phases : la valorisation de la jambe fixe
(premium leg) et la valorisation de la jambe variable (default leg). La présentation que nous faisons ici,
s’inspire de (Braouézec, et al., 2007).
9
Cf. Le Big Bang Protocol et le Small Bang Protocol dans la partie : Evolution du marché des CDS.
Page |20
1. Valorisation de la jambe fixe
Par analogie avec les swaps de taux, on appelle jambe fixe la partie du CDS qui concerne
le paiement de la prime périodique.
On se place à une date à laquelle on souhaite évaluer la valeur de la prime. On se confronte à
deux situations distinctes :
-
Soit le défaut à eu lieu à une date antérieure
et la prime n’est pas payée.
Soit le défaut n’a pas encore eu lieu et l’acheteur de protection verse une prime d’un montant
La valeur de la prime à la date
est donc égale à l’espérance actualisée du payoff à cette date :
[
Où
(
)
]
est le taux d’actualisation à la date
La valeur de la jambe des primes à la date
donc :
s’obtient en sommant sur toutes les périodes, on a
(
∑ [
)
]
Or d’après la partie précédente :
[
]
(
)
( )
)
( ∫
( )
( ∫
D’où
( )
∑
( ∫
∑
( ∫ ( ( )
)
( ))
)
)
∑
Intuitivement, on voit que
est un taux d’actualisation ajusté du risque. Finalement notons :
∑
Et on obtient que :
Page |21
Le facteur
ou Risky Basis Point Value est la sensibilité de la valeur de la jambe fixe
au spread, c'est-à-dire l’augmentation de
relativement à une augmentation du spread de
point de base.
2. Valorisation de la jambe variable
La jambe variable correspond au montant versé par le vendeur de protection au moment
du défaut. De ce point de vue, deux cas peuvent se produire :
-
Le défaut est constaté à la date
: il doit couvrir la perte engendrée par l’évènement de crédit. Il
) à la partie acheteuse.
verse donc (
Le défaut n’est pas constaté à la maturité et le vendeur n’a rien à payer.
Vu de la date initiale, le temps de défaut n’est pas connu mais nous l’avons modélisé dans le
paragraphe précédent. La valeur de la jambe de protection est donc égale à l’espérance risque
neutre actualisée du paiement.
(
)
∑ (
) (
∑ (
) ( )
]
) (
Ainsi pour évaluer un CDS, on a besoin de connaître
besoin d’hypothèses supplémentaires sur sa forme.
)
pour toutes les maturités. On a donc
On peut par exemple supposer que ce paramètre est :
-
Constant
Constant par palier
De forme polynomiale
Un polynôme d’exponentielle
C. Valeur Mark to Market d’un CDS
Pour un acheteur de protection, la valeur Mark to Market d’un CDS à un temps
intermédiaire est la différence entre la jambe variable (ce qu’il reçoit) et la jambe fixe (ce qu’il
paie) :
( )
( )
( )
Page |22
Or à cette date, le spread de marché est le spread censé annuler la valeur Mark to
Market d’un nouveau CDS qui démarre en soit :
( )
D’où finalement, comme on est entré dans un CDS à la date
( )
(
avec un spread contractuel
:
)
Ainsi, au premier ordre, RBPV est la sensibilité de la valeur du CDS au spread de marché. On
peut voir cette valeur comme la durée espérée résiduelle pendant laquelle le contrat à encore
cours. C’est en quelque sorte une duration risquée qui dépend du moment où l’évènement de
crédit survient et donc du paramètre du modèle .
D. Triangle de crédit
Cette relation est très précieuse car elle permet de relier facilement l’intensité au spread et
au taux de recouvrement. On suppose pour la démontrer que l’intensité de défaut est constante
ce qui constitue une grosse approximation mais qui se révèle en pratique très utile.
A la date initiale, on entre dans un CDS au spread de marché , ce spread est celui qui annule la
valeur Mark to Market à cette date, la valeur des jambes fixe et variable sont donc égales vu de
cette date. On a donc :
( )
( )
(
(
)
)
Ainsi, comme est donné par le marché et que est estimé par les desks de trading de CDS, on
peut utiliser cette relation pour calibrer le paramètre à tout moment.
Bien sûr, cette relation doit être réajustée si on considère que l’intensité n’est pas constante mais
seulement déterministe voire stochastique.
Page |23
IV.
Les Collateralised Debt Obligation
Maintenant que nous avons introduit les principes de base des CDS, nous pouvons nous
pencher sur la construction de s CDO.
A. Du portefeuille d’actifs au CDO
On appelle titrisation la technique de gestion qui consiste à créer une société ad hoc, que l’on
appelle SPV (special purpose vehicle) et qui va :
-
acheter un ensemble de créances peu liquides (par exemple un portefeuille de prêts immobiliers
accordés par une banque à ses clients). Ce portefeuille va constituer l’actif du SPV,
émettre d’autres créances de « format » plus adapté à des investisseurs. Ces créances émises constituent
le passif du SPV et capturent la totalité du risque de crédit du portefeuille de créances qui se trouve à
l’actif.
La titrisation présente un intérêt évident pour les banques puisqu’elle leur permet de
transférer leur excès de risque de crédit à des investisseurs, de la même manière que les
particuliers transfèrent le risque de sinistre aux compagnies d’assurances. La vente d’une partie de
leurs risques sur les marchés permet alors aux banques de réduire leur capital réglementaire.
Cependant les produits titrisés intéressent également beaucoup les investisseurs. En effet ce type
de produit permet de booster les rendements et d’accéder à des actifs illiquides habituellement
réservés aux seules banques (prêts, etc.).
La banque crée ainsi le SPV qui achète des créances qu’elle détient passivement à son
bilan, et les packagent pour en faire des titres qui seront ensuite vendus aux investisseurs.
Un CDO est donc un instrument de dette issu d’un mécanisme de titrisation permettant à
l’investisseur d’acquérir une exposition sur un portefeuille composé d’autres instruments de dette
(CDS, obligation, prêts, etc).
1. Exemple de construction d’un CDO
L’exemple suivant permet de comprendre comment se construit un CDO à partir d’un
portefeuille de « bonds ». On considère le portefeuille suivant :
Nominal (MUSD)
12
36
180
36
12
6
18
300
Rating
AA/Aa2
A/A2
BBB/Baa2
BB/Ba2
B/B2
CCC/Caa
NR
Pourcentage(%)
4%
12%
60%
12%
4%
2%
6%
100%
Coupon
8,00%
8,50%
9,00%
10,00%
16,00%
17,00%
18,00%
10,00%
Spread (bps)
100
150
200
300
900
1000
1100
300
Page |24
Le nominal total du portefeuille est 300 MUSD. Les bonds le composant sont classés
selon leurs ratings qui déterminent leur spread (croissant avec le risque de défaut, donc
décroissant avec la note). Les spreads sont extraits du marché. Les coupons sont la somme du
spread avec le taux LIBOR (ici 7%).
Le spread du portefeuille total est alors la somme des spreads des bonds pondérés par
leur poids dans le portefeuille. A partir de ces données, on peut calculer la prime de risque de
crédit comme le produit du nominal du portefeuille avec le spread du portefeuille. Ici la prime
vaut 300 MUSD*300‰ = 9 MUSD.
Pour un nominal de 300 MUSD, ce portefeuille rapporte chaque année 9 MUSD de plus
que s’il avait été investi dans le taux sans risque LIBOR. Cette prime compense donc le risque de
défaut des produits sous-jacents.
Supposons maintenant que le détenteur du portefeuille souhaite libérer du cash en revendant
une partie de son portefeuille. Sur un nominal de 300 MUSD, il conserve 45 MUSD et cède les
255 MUSD restants. En particulier, il est prêt à renoncer à une partie de la prime de risque contre
le transfert d’une partie du risque de crédit aux investisseurs. Le portefeuille est ainsi coupé en
trois tranches :
-
la tranche Equity est associée aux premiers 45 MUSD du portefeuille de [0 ; 15%]. Cette tranche,
conservée par l’investisseur est rémunéré avec 6 MUSD de prime de risque (sur les 9 au total).
la tranche Mezzanine est associée aux 30 MUSD suivants i.e. de [15%; 25%]. Cette tranche est
rémunérée par 1,5 MUSD de la prime de risque.
la tranche Senior est associée aux 225 MUSD restants dans le portefeuille [25% ; 100%]. Cette tranche
est rémunérée par le 1,5 MUSD restant de la prime de risque.
Le CDO construit à partir du portefeuille initial se résume donc ainsi :
Nominal (MUSD)
Type
225 Senior
30 Mezzanine
45 Equity
300
Pourcentage (%) Coupon
Spread (bps)
Prime de risque
75%
7,67%
0,67%
10%
12,00%
5,00%
15%
20,33%
13,33%
100%
10%
3%
1,5
1,5
6
9
Le spread de la tranche A se calcule alors comme :
Le coupon s’obitent en ajoutant le taux LIBOR de 7%.
Dans les faits le détenteur du portefeuille (une banque) crée une institution ad hoc (une SPV ou
Special Purpose Vehicle) indépendante à laquelle elle transfère le portefeuille.
Le SPV a donc à son actif le portefeuille initial et à son passif les différentes tranches de CDO
vendues aux investisseurs.
Page |25
2. CDO Cash, CDO synthétique
Suivant le type des actifs constituants le portefeuille du CDO, on parle de :
-
-
CDO cash si le SPV investit sur des produits du type obligations, crédits bancaires ou des ABS.
Comme dans l’exemple, le SPV doit sortir du cash pour acheter le portefeuille. On dit que la structure
du capital a été émise. Pour les CDOs cash, on observe donc un transfert total de propriété et de
risque de crédit ;
CDO synthétique : le SPV s’expose à des crédits via des instruments du type CDS. Il n’y a pas de
rachat d’obligation ou de prêts par exemple, le SPV entre directement dans des CDS. Ici il n’y a pas de
transferts de propriétés mais simplement transfert de risque de crédit.
Si le portefeuille de référence est défini à l’initiation de la transaction et ne bouge plus, on
parle de CDO qui s’oppose aux CDO managés. Un gérant désigné à la possibilité d’effectuer un
certain nombre de transactions sur le portefeuille de référence10. La Figure 1 Construction d'un CDO,
schéma récapitulatif résume la construction d’un CDO synthétique sur CDS.
Pertes du portefeuille
CDS
La probabilité que les pertes
du portefeuille atteignent cette
zone est déterminant pour le
pricing de la tranche. Cette
probabilité
dépend
des
probabilités individuelles de
défaut des CDS et de la
correlation entre les noms.
CDS
CDS
Non émis
CDS
Loss
…
Détachement B
…
CDS
Single tranche
(mezzanine)
Attachement A
CDS
CDS
Non émis
CDS
Probabilité
Figure 1 Construction d'un CDO, schéma récapitulatif
10
Il retient en général une position sur une des tranches basses du deal et est rémunéré par une commission.
Page |26
B. Modélisation
La titrisation se fait surtout de manière synthétique, c'est-à-dire par le biais de dérivés de
crédit, ce qui implique que le SPV rentre directement dans des contrats de CDS (plutôt que
d’acheter des obligations), et investit dans un collatéral (typiquement une obligation notée AAA
qui présente donc un risque de défaut très faible) qui assure le paiement du taux LIBOR.
Ces titres émis par le SPV sont des obligations collatéralisées (c'est-à-dire assurées) par les
créances à l’actif du SPV. Chacun de ces titres est donc une Collateralized Debt Obligation. En
général, ces titres vont exposer les investisseurs à différentes tranches du risque total du
portefeuille de créances. Comme pour le CDS, il y a un vendeur et un acheteur de protection. Le
contrat d’une tranche k de CDO comporte :
-
un portefeuille sous-jacent de I noms (i.e. émetteurs de dette), chacun de nominal Ni, pour i = 1,2…I ;
un point d’attachement, noté KA (strike bas) ;
un point de détachement, noté KB (strike haut) ;
-
Un spread contractuel pour la tranche k, noté
Une maturité et des dates de paiements,
;
.
Notons CDSi le CDS émis sur le nom i, et notons τi la date de défaut de i. La perte cumulée du
CDO est exprimée en pourcentage de la taille totale du portefeuille, c’est-à-dire ∑
. Notons :
∑
(
)
Avec :
∑
Le poids du nominal de l’émetteur i dans le nominal total du portefeuille. Les trois tranches
standard d’un CDO sont :
-
la tranche equity : [0 ; KA] ;
la tranche mezzanine : [KB ; KA] ;
la tranche senior : [0 ; KB].
Pour comprendre le déroulement des paiements entre acheteurs et de protection des
différentes tranches, étudions le cas de la tranche equity. A l’initiation du CDO, la perte cumulée
du portefeuille est nulle, c’est-à-dire que L0 est nulle. Tant qu’aucun défaut n’est constaté, le
vendeur de protection ne verse rien à l’acheteur de protection. Toutefois, dès qu’un défaut est
constaté, par exemple le nom i, le vendeur de protection paie
( – ) à l’acheteur de
protection. L’acheteur de protection verse, lui, à intervalles de temps régulier un spread
contractuel, noté Sc,k, au vendeur de protection sur le notionnel restant. A la différence d’un CDS,
le notionnel de chaque tranche est variable. En effet, à la date t = 0, le notionnel de la tranche
equity est égal à KA. En revanche, lorsqu’il y a eu quelques défauts mais que la tranche equity est
toujours active à la date t, le notionnel est égal à
. Comme pour le CDS, le montant payé
Page |27
à la date t est égal à (
positif. Dès que
equity prend fin.
)
sur une base annuelle et se poursuit tant que (
) est
, le contrat entre l’acheteur et le vendeur de protection de la tranche
Le CDO ne s’arrête pas pour autant. C’est désormais la tranche mezzanine qui prend le relais
jusqu’à ce que
, puis la tranche senior.
Payoff d'une tranche de CDO
100%
80%
60%
40%
20%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Pertes du portefeuille
Si l’on considère une tranche CDO caractérisée par une borne inférieure
et une borne
∑
supérieure
du montant total du CDO
. Par définition la tranche subit une perte
à la data t si et seulement si :
La perte cumulée
( ) d’une tranche (A, B) où
( )
(
( )
et
)
(
(
)
(
s’écrit :
)
)
La perte cumulée d’une tranche de CDO a donc le même profil qu’un Call-spread (cf. figure).
La structure par terme de l’intensité stochastique ayant été calibré, la probabilité risque neutre
de défaut d’un émetteur l’est aussi. En revanche, rien n’est dit à ce stade sur la dépendance des
temps de défaut.
Les acteurs du marché des CDO ont formulé une manière de coter les tranches en termes de
« corrélation implicite », l’équivalent de la volatilité implicite sur les marchés des options sur
actions. En pratique, les acteurs de marché implicitent la corrélation des tranches equity pour
plusieurs strikes et maturités avec le modèle gaussien à un facteur. C’est ce modèle standard que
nous reprenons. La corrélation implicite qui en résulte porte le nom de base corrélation.
Page |28
C. Valorisation des tranches de CDO
A la date
(
le spread payé par l’acheteur de protection est égal à
vendeur de protection quant à lui paie
) Le
à l’acheteur de protection, qui n’est autre que
l’incrément de la perte dans la tranche pendant la période.
Pour une tranche définie par des strikes
et
note sa valeur actuelle nette sous la forme :
, une maturité
(
et un spread contractuel
, on
)
En supposant un cadre gaussien à un facteur et en supposant que les dépendances se résument à
une unique corrélation , la valeur actuelle nette de la tranche
] est égale à :
(
)
( )
(
)
En rappelant que :
( )
∑[
(
)]
( )
La valeur de la jambe fixe est l’espérance de la somme actualisée des cash-flows
. Et en
rappelant que :
(
)
∑[
(
)
∫
(
)]
La valeur de la jambe variable est l’espérance actualisée de l’accroissement de perte
.
Le pricing d’une tranche de CDO est alors semblable à celui d’un CDS et se décompose en trois
étapes :
-
Estimation de la jambe de défaut (
cumulée due à l’évènement de crédit.
-
( ), ou Premium Leg) où l’acheteur de protection
Calcul de la valeur présente de la jambe fixe (
paie, périodiquement une marge ajustée avec un nominal décroissant.
Déduction du Marked-to-Market (MtM) d’un acheteur de CDO qui est par définition la différence entre
ces deux jambes. Le break-even ou marge ATM d’une tranche CDO est par définition la marge qui
annule ce MtM.
-
, ou Default Leg).On estime ici la valeur présente de la perte
Page |29
Par conséquent les hypothèses de modélisation pour calibrer les intensités de défaut et les
corrélations entre les noms composant le portefeuille, impactent le calcul de la jambe variable et
donc impacte le prix de la tranche.
Dans la partie suivante nous développons le modèle standard de pricing dit gaussien à un
facteur.
Page |30
Modèle gaussien à un facteur
Partie 2. Modèle gaussien à un facteur
I.
Présentation du modèle
La première partie de ce mémoire nous a permis d’aboutir aux temps de défaut individuels de
chaque nom. Il s’agit maintenant d’introduire une structure de dépendance entre les différents
sous-jacents pour parvenir à calculer le prix du produit final. Dans la suite, nous étudierons le
modèle standard de marché : le modèle gaussien à un facteur et sa mise en pratique pour la
valorisation des CDO.
A. Définition
(Li, 2000)11 est le premier à utiliser la notion de copule pour évaluer les produits dérivés de
crédit multi-sous-jacents. Ce modèle permet d’introduire une structure de dépendance entre les
différents noms du portefeuille et de calculer la loi jointe des temps de défaut à partir des lois
marginales qui sont déjà connues.
Ce modèle simple exprime la valeur de l’actif en fonction d’une part d’un facteur commun
d’autre part d’un facteur individuel propre à chaque nom. Nous avons donc :
et
√
√
Où l’on suppose que
sont indépendant et identiquement distribués selon une loi normale
centrée et réduite. Il est alors aisé de vérifier qu’il en est de même pour
En effet :
]
]
]
√
]
√
Et
( )
( )
( )
( )
]
(
[
(
)
√ (
)
]
)
Par indépendance entre
David Li est un actuaire chinois pionnier dans l’utilisation des copules dans le pricing des produits dérivés tantôt
encensé par la presse financière, son modèle et le mauvais usage qu’il en fut fait furent sévèrement jugés (« Recipe for
Disaster: The Formula That Killed Wall Street » lors de la crise financière 2007/2008 :
http://www.wired.com/techbiz/it/magazine/17-03/wp_quant
11
Page |31
De plus, il est facile de voir que la corrélation entre deux noms est égale à
(
(
)
(
)
[(
(
)
[(√
(
)
(
)
)
( ) ( )
])(
[ ])]
)(√
√
√
)]
]
Par indépendance des variables entre elles.
Ainsi la dépendance entre les noms est résumée à travers un seul paramètre en relation avec un
facteur commun unique
qui représente en quelque sorte l’état global de l’économie. Si celui-ci
est faible représentant une économie en mauvais état, les probabilités de défaut seront alors
élevée et inversement si ce facteur est élevé. Il correspond alors au risque systémique et est le
risque idiosyncratique porté par chaque nom.
Cette modélisation implique que la corrélation est la même pour chaque couple (
) ce qui
est une hypothèse assez forte mais qui permet d’avoir une forme simple pour la matrice de
variance-covariance du vecteur ( )
:
(
Finalement on note
(
) où
)
est la loi normale multivariée de dimension
rho1
rho2
0.35
0.30
0.25
v
v
u
u
rho3
0.20
rho4
0.15
0.10
0.05
v
v
u
u
0.00
Figure 2 - Densité d'une loi normale bivariée pour rho = 0.1 ; 0.3 ; 0.7 ; 0.9
Page |32
Or, la théorie des copules12 affirme que si est une fonction de répartition multivariée de marges
continues alors il existe une unique fonction copule telle que :
(
)
( ( )
D’après ce qui précède la copule des ( )
(
)
(
))
peut donc s’écrire :
(
( )
(
rho1
))
rho2
16
14
12
10
u
v
u
v
8
rho3
rho4
6
4
2
u
v
u
v
0
Figure 3 - Densité d'une copule gaussienne biavariée pour quatre valeurs de corrélation
12
Cf. Théorie des copules en annexe, en particulier le théorème de Sklar.
Page |33
Les graphiques suivant illustrent la répartition d’une copule gaussienne bivariée pour différentes
valeurs de la corrélation :
A l’aide des copules, nous avons pu exprimer la loi jointe des grâce aux lois marginales
de chaque noms. A partir de là, nous allons pouvoir calculer la loi jointe des temps de défaut et
ainsi parvenir à la valorisation des produits dérivés de crédit.
Page |34
B. Modélisation du défaut
Nous nous intéressons ici aux probabilités de défaut conditionnellement au facteur commun
Dans un modèle de type Merton, nous avons vu que le nom était en défaut si sa valeur passait
en dessous d’un certain seuil
Nous avons donc :
( )
(
|
( )
(√
√
( )
(
( )
(
)
|
√
)
√
√
√
)
)
Plaçons nous par ailleurs dans le cadre d’un modèle à intensité constante. A l’horizon la
probabilité de défaut est donnée par :
(
)
(
)
Cette égalité nous donne la loi marginale que nous notons
du temps de défaut du nom .
Considérons l’équivalence suivante :
( )
( )
Les deux probabilités de défaut sont égales si et seulement si :
( )
( ( ))
( )
( )
( ( ))
(
(
))
Finalement :
( )
(
(
(
))
√
√
)
p. 35
II.
Evaluation par la méthode de Monte Carlo
Les méthodes de Monte Carlo bien connues en finance permettent de calculer des valeurs
numériques à partir de générations aléatoires. Il s’agit donc de simuler des évènements décrits
par des lois de probabilité afin de pouvoir en déterminer l’espérance ou la variance. La méthode
repose sur la loi des grands nombre qui assure la convergence des estimateurs statistiques à
condition que le nombre de scénarii générés soit suffisamment grand. Nous allons dans cette
partie, présenter la mise en place de ce procédé et les résultats obtenus.
A. Simulation des temps de défaut
La méthode repose dans ce cas sur les modèles à intensité et il s’agit de modéliser la loi jointe
des temps de défaut. Nous nous plaçons alors dans le cadre simplifié où les intensités de défaut
sont constantes. Les lois marginales sont donc données par :
(
)
(
)
( )
Or comme nous l’avons vu auparavant, la probabilité de défaut peut aussi être exprimée de la
manière suivante :
(
(
(
)))
Finalement nous arrivons à une formule explicite du temps de défaut :
( ))
(
De plus, nous connaissons la loi jointe des
√
fournie par le modèle gaussien à un facteur :
√
Où ( )
est un vecteur de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées
selon une loi normale centrée réduite. est également gaussienne standard et indépendante des
.
Nous pouvons à partir de ces informations parvenir au prix final de la tranche en suivant les
étapes suivantes. Il faut commencer par simuler le facteur systémique
et les
facteurs
idyosynchratiques selon une loi normale de d’espérance nulle et de variance 1. Il est ensuite
possible d’en déduire les variables aléatoires
à l’aide du facteur de corrélation entré comme
paramètre. Il est également nécessaire de connaître les intensités de défaut, ce qui est fait à l’aide
de la relation du triangle de crédit et grâce aux taux de recouvrement et spreads de chaque nom
fournis par le marché. A partir de ces résultats, et de la formule ci-dessus, nous sommes capables
de déterminer le temps de défaut de tous les noms dans le panier.
p. 36
Maintenant, que nous avons accès aux temps de défaut, il est facile de calculer à chaque date
la perte globale sur le portefeuille. Il suffit en effet de comparer à , si
alors le nom a
fait défaut et il suffit d’ajouter le nominal
au montant de la perte. Nous pouvons ainsi
reconstituer le montant des pertes à chaque date de paiement.
Il ne reste plus alors qu’à calculer la valeur de la jambe fixe et de la jambe variable du CDO
pour finalement en déduire le spread.
B. Nombre de simulation et temps de calcul
Cette méthode est très efficace car elle ne s’appuie que sur les hypothèses du modèle et ne
réclame aucune autre approximation. En suivant les différentes étapes et en les répétant un
nombre de fois suffisamment élevé, la moyenne empirique des spreads obtenus pour chaque
scenario est assurée de converger vers la vraie valeur du prix. Cependant, que signifie un nombre
de fois suffisamment élevé et quels en sont les conséquences sur le temps de calcul ?
Considérons un panier de noms. Pour la simulation d’un scénario, le tableau suivant liste les
opérations à effectuer et la dépendance en temps de calcul qui y correspondent.
Opérations
Génération de
Temps de calcul
lois normales
Linéaire en
Calcul des
Linéaire en
Calcul des
Linéaire en
Calcul du vecteur des pertes
Linéaire en
Calcul du spread
Linéaire en
Total
Linéaire en
Finalement, le temps de calcul dépend linéairement du nombre de noms dans le portefeuille
et du nombre de dates de paiements. Il faut ensuite prendre en compte le nombre de simulations
utilisées pour aboutir au résultat. Au bout du compte, le temps de calcul est une fonction linéaire
de
.
Il est alors clair que cette méthode n’est pas la plus rapide. Par exemple, si on considère un
panier d’une centaine de noms, il faut choisir un nombre de simulations de l’ordre de 100 000 si
l’on veut assurer la convergence du résultat. Si la maturité est de 3 ans et que les paiements sont
trimestriels, il faut calculer les pertes du portefeuille pour 12 dates. Il faudra alors environ un
nombre d’opérations de l’ordre de cent millions pour obtenir le spread du CDO. Le temps de
p. 37
calcul dépend ensuite de la fréquence du ou des processeurs de la machine utilisée mais est
surement important (de l’ordre de 2 minutes).
Nous avons résumé les informations précédentes dans le graphique suivant. Il représente les
résultats obtenus et le temps de calcul associé en fonction du nombre de simulation.
Evaluation par méthode de Monte Carlo
Prix
Limite
Temps de calcul
0,19
12
0,185
0,18
8
Spread
0,175
0,17
6
0,165
4
0,16
Temps de calcul (min)
10
2
0,155
1 000 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
90 000
80 000
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
5 000
1 000
500
100
50
0
10
0,15
Nombre de simulations
Il faut noter que l’échelle des abscisses est logarithmique. C’est pourquoi la courbe a un profil
exponentiel (la dépendance étant linéaire). Nous voyons que pour un nombre de simulations
faibles, le prix obtenu est assez éloigné de la valeur réelle. Puis la courbe oscille autour de la limite
avec des oscillations dont la fréquence est de moins en moins importante avec le nombre de
scenarii pris en compte. Ce graphique prouve que la méthode converge mais qu’elle n’est pas
adaptée en raison du temps de calcul qui devient très important quand le nombre de simulations
est élevé.
Nous devons donc remettre en question l’utilisation de ce procédé et considérer d’autres
méthodes permettant d’accroître la rapidité des calculs.
p. 38
III.
Evaluation par formule fermée
Etant donné les limites évoquées par la méthode de valorisation de Monte-Carlo, la
résolution de l’équation de pricing par formule fermée et méthode numérique de calcul des
intégrales permet une plus grande précision et une amélioration considérable des temps de calcul.
A. Résolution dans un cadre homogène
Les simulations étant coûteuses en calcul, d’autres méthodes permettent de calculer
directement la structure par terme des pertes espérées. En effet la connaissance de cette structure
permet de déduire le spread de chaque tranche comme le montre l’équation suivante :
∑
(
)
∑
(
[
( )
)
(
[
)]
( )]
Nous présentons ici une première méthode dite d’inversion de la fonction caractéristique des
pertes en utilisant
Puisque :
( )
( ( )
)
( ( )
)
Il vient que :
( )]
( )]
[( ( )
∑ (
)
( )
]
(
) ( ( )
)
)]
(
[
( )
)
]
∑
( ( )
)
( )
( )]
∑ (
) ( ( )
)]
(
)[
∑
( ( )
)]
( )
) ne sont pas directement calculables puisque la perte réalisée
Les termes ( ( )
dépend, dans le modèle à un facteur, de la réalisation de . Pour résoudre ce problème, nous
présentons une première méthode dans un cadre simplifié où tous les noms du portefeuille sont
tels que
.
Dans ce cadre la perte réalisée est donc égale au nombre de défaut multiplié par
( )
(
(
):
) ( )
Avec ( ), le nombre de défaut à la date .
p. 39
B. Approximation par la loi de Poisson
En notant ( ), la probabilité de défaut de chaque CDS pris individuellement
(conditionnellement à la réalisation du facteur commun , les CDS sont indépendants), la
probabilité d’avoir défauts dans un portefeuille de taille suit une loi binomiale telle que :
( )
|
]
( )
|
]
( ) ( ) (
(
( ))
( ) (
)
( ))
Le calcul de ( ) à l’instant t s’obtient de la façon suivante :
( )
(
|
(
|
)
( )
( )
[
√
]
( ))
(
( )
√
[
Avec
)
]
( ), probabilité de défaut définie par:
( )
(
)
( )
(
{ ∫
( )
)
}
Les ( ) sont déduits des spreads extraits du marché à la date t pour chaque CDS ainsi
que des recovery rates estimés par la relation suivante :
( )
( )
En définissant :
( )
( )
Il vient que13:
( )
13
|
]→
( )
( )
Cf. Démonstration, approximation de Poisson, en annexe.
p. 40
On calcule alors l’espérance des pertes cumulées conditionnellement à une réalisation
( )|
]
∑ (
) ( ( )
)]
|
(
)[
∑
( ( )
:
)]
|
( )
( )|
]
( )|
]
]
( )
|
) ( ( )
(
)]
)[
∑
)]
|
)
(
)
( )
( )
)
( )
)
[(
( )
( )
(
]
)
)
|
( )
( )
]
( )
( )
∑
[
( )
)]
]
∑
[
∑
|
( )
(
]
( ( )
∑
( )
]
( )
( )
[
[(
( ( )
∑
( )
( )
( )|
(
∑
( )
( )|
) ( ( )
∑ [(
( )
]
( )
On en conclut que :
( )|
]
(
)[
( )
( )
]
∑
[
( )
(
)
( )]
( )|
∫
√
∫
(
)
( )
( )
∑
( )
Enfin en utilisant la propriété d’espérance conditionnelle et comme
( )]
( )
(
]
):
] ( )
( )|
]
p. 41
C. Calcul de l’intégrale des pertes par l’approximation de Gauss-Hermite
Le calcul de l’intégrale précédente se fait en utilisant la quadrature de Gauss-Hermite14. On
effectue le changement de variable
( )]
:
√
∫
[ ( )|
√ ]
On a alors :
( )]
√
[ ( )|
∑
√
]
Les sont alors calculées comme les n racines du nème polynôme d’Hermite
pondérations
sont celles obtenues à partir :
( ) et les
√
(√
14
)
Cf. Quadrature de Gauss en annexe. La programmation de cette fonction est extraite de (Press, et al., 2007)
p. 42
IV.
Evaluation à l’aide d’une formule récursive
L’approximation de Poisson bien que plus rapide qu’une méthode Monte Carlo présente tout
de même des défauts numériques. Nous allons dans cette partie présenter une formule récursive
qui permet de retrouver les probabilités d’une loi binomiale. Par ailleurs cette formule sera
facilement extensible au cas des portefeuilles inhomogènes et représente donc en ce sens une
solution idéale.
Rappelons que nous sommes toujours dans le cas où tous les noms du portefeuille ont le
même nominal et le même taux de recouvrement et qu’il s’agit de calculer la probabilité
que noms soient en défaut . Nous disposons des probabilités de défaut individuelles de
défaut notées . Nous omettrons l’indice pour des raisons évidentes de clarté.
Pour arriver à ce résultat, nous allons travailler par récurrence sur le nombre de noms dans le
panier. Commençons par un panier à un nom.
La probabilité qu’il n’y ait aucun défaut est donnée par :
Et la probabilité qu’il y ait un défaut :
Maintenant, rajoutons un nom dans ce portefeuille. La probabilité qu’il n’y ait aucun défaut
est donnée par la formule suivante :
(
)(
)
(
)
La probabilité qu’il y ait un défaut se décompose en deux parties : soit le nom 1 fait défaut et
pas le nom 2 soit le nom 2 fait défaut et pas le nom 1.
(
(
)
)
(
)
Et enfin la probabilité qu’il y ait deux défauts :
Ce raisonnement peut être maintenu jusqu’au rang
et nous obtenons les formules de
récurrence ci-dessous. La probabilité qu’il y ait zéro défaut parmi est la probabilité qu’il y en ait
zéro parmi
et que le dernier nom ne fasse pas défaut.
(
)
p. 43
De même, pour obtenir défauts parmi noms, soit il y avait déjà défauts dans le souspanier de
noms et le dernier ne fait pas défaut, soit il n’y avait que
défauts parmi
et le dernier fait défaut.
(
)
Enfin la probabilité que tous les noms aient fait défaut dans le portefeuille de
déduit directement de l’étape précédente comme suit :
noms se
Finalement, nous pouvons grâce à cette méthode obtenir la probabilité que noms aient fait
défaut pour n’importe quel portefeuille et ainsi en déduire la distribution de la loi des pertes
attendues. Bien entendu ces probabilités sont conditionnelles au facteur commun à ce stade et le
calcul se poursuit comme pour les méthodes précédentes par un déconditionnement à l’aide de la
quadrature de Gauss-Hermite.
p. 44
V.
Application dans un cadre inhomogène
Jusqu’à présent et pour des raisons de simplicité nous n’avons travaillé que dans le cadre d’un
portefeuille de noms homogènes c’est-à-dire de même nominaux et de mêmes taux de
recouvrement. En pratique cela est rarement le cas et il nous faut donc étendre la méthode
présentée ci-dessus dans le cas où le panier de noms est inhomogène.
A. Exemple introductif
] à la date et il faut
Il s’agit toujours de calculer l’espérance des pertes de la tranche
donc sommer sur l’ensemble des pertes que peut subir la tranche. A priori, cet ensemble peut
paraître complexe et vaste (en théorie les pertes possibles parcourent l’ensemble des réels positifs)
mais il existe une méthode simple permettant de détailler cet ensemble et les probabilités qui sont
associées à chacun de ces membres.
Considérons l’exemple fictif suivant :
NOMS
CDS 1
CDS 2
CDS 3
CDS 4
CDS 5
Nominal
100 000
80 000
100 000
100 000
50 000
Taux de
Perte si défaut
Probabilité de
recouvrement
défaut
60%
40 000
25%
50%
40 000
25%
40%
60 000
25%
40%
60 000
25%
20%
40 000
25%
L’espace des pertes atteignables est alors le suivant :
Pertes
0
40 000
60 000
80 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
240 000
Cas possibles
Aucun défaut
1 ou 2 ou 5
3 ou 4
(1 et 2) ou (1 et 5) ou (2 et 5)
(1 et 3) ou (1 et 4) ou (2 et 3) ou (2 et 4) ou (5 et 3) ou (5 et 4)
(3 et 4) ou (1 et 2 et 5)
(1 et 2 et 3) ou (1 et 2 et 4) ou (1 et 5 et 3) ou (1 et 5 et 4) ou
(2 et 5 et 3) ou (2 et 5 et 4)
(3 et 4 et 1) ou (3 et 4 et 2) ou (3 et 4 et 5)
(1 et 2 et 5 et 3) ou (1 et 2 et 5 et 4)
(1 et 2 et 3 et 4) ou (1 et 5 et 3 et 4) ou (2 et 5 et 3 et 4)
1 et 2 et 3 et 4 et 5
Probabilité
23,73%
23,73%
15,82%
7,91%
15,82%
3,52%
5,27%
2,64%
0,59%
0,88%
0,10%
p. 45
Il suffit alors de calculer les probabilités de défaut associées à chaque perte en considérant
l’ensemble des évènements qui y sont associées. Par exemple la perte du portefeuille peut être
égale à 40 000 si l’un des noms 1, 2 ou 5 est en défaut sans que ce soit le cas pour les quatre
autres. La probabilité associée à cet évènement est alors :
(
)
∑
∏(
)
Et de même pour les autres évènements. Il est clair que les niveaux de perte intermédiaires ne
pouvant être atteint sont associés à une probabilité nulle. Ainsi il n’est pas besoin de considérer
l’espace des pertes possibles comme continu et on peut se limiter à un nombre fini de valeurs.
B. Cas général
Nous allons généraliser cette méthode de calcul à un portefeuille quelconque de noms. Soit
le nominal associé au nom du portefeuille et son taux de recouvrement. La perte attendue
). L’incrément des niveaux de pertes pour le portefeuille
si le nom fait défaut est alors (
est alors le plus grand dénominateur commun des pertes individuelles de tous les noms du panier.
On retrouve bien ce résultat sur notre exemple ou le plus petit saut entre deux niveaux de pertes
est de
. Nous allons ainsi pouvoir détailler l’ensemble des pertes possibles que peut subir
notre portefeuille.
L’écart entre deux niveaux de perte consécutif est :
(
(
))
La perte maximale associée à ce portefeuille est :
(
∑
)
L’ensemble des pertes possibles s’écrit alors de la façon suivante :
{
}
Où
Il s’agit maintenant de calculer les probabilités associées à chaque niveau de perte contenu dans
cet espace. Nous allons comme précédemment utiliser une formule récursive. Le schéma suivant
illustre le principe de la méthode récursive de manière synthétique et permet de mieux
appréhender les formules théoriques.
p. 46
Vecteur des probabilités de perte dans un cadre homogène :
(
)
(
)
(
)
…
(
)
(
)
Probabilité que deux noms
parmi n fassent défaut :
( )
(
)]
(
…
)
(
)
(
)
(
Probabilité que k noms parmi
n fassent défaut :
Vecteur des probabilités de perte dans un cadre inhomogène :
(
)
(
Probabilité que le nominal du CDO perde 2.pgcd :
( )
]
)
(
)
(
)
(
)
Probabilité que le nominal du CDO perde N1+N2
(7PGCD) :
( )
]
Car aucun nom dans le CDO ne vaut 2PGCD.
Figure 2 Espace des pertes dans un cadre inhomogène
p. 47
)
( )
Il s’agit donc dans cette partie, de calculer
] avec
{
}. Nous allons comme précédemment raisonner par récurrence. Mais il faut dans ce cas
tenir compte à la fois de la dimension du portefeuille et de la dimension de l’espace des pertes.
Pour commencer notre calcul, nous allons raisonner sur le sous-portefeuille ne contenant
que le premier nom. Nous savons que la perte associée à ce nom vaut
(
) et nous
pouvons alors déterminer le rang
(
de cette perte dans l’espace global par
)
. La
probabilité associée à cette perte est alors :
Bien entendu la probabilité que la perte soit nulle correspond au rang
et vaut donc :
(
de l’espace des pertes
)
Etendons maintenant ce raisonnement à un panier de noms. A chaque nom dans le
portefeuille correspond un rang dans l’espace des pertes donné par la formule suivante
(
)
. Supposons que nous ayons déterminé le vecteur des probabilités sur l’ensemble de
l’espace des pertes pour le sous-portefeuille à
complet.
noms et calculons le pour le portefeuille
L’important est de remarquer que toutes les pertes ne sont pas atteignables et que le défaut du
nom ne permet d’atteindre que certains rangs et plus précisément tous ceux qui sont supérieurs
à . En effet pour que la perte
soit atteinte, soit elle était déjà atteinte et le dernier nom
(
)
survit, soit la perte
était déjà atteinte et le dernier nom
fait défaut. On voit alors que tous les rangs strictement inférieurs à
ne peuvent être impactés
par le défaut du nième nom et les formules récursives s’écrivent comme suit :
(
)
(
)
Ce nouveau vecteur de probabilité peut alors être réinjecté pour calculer le prix comme nous
l’avons vu précédemment :
( )|
]
∑ (
) ( ( )
|
)]
(
)[
∑
( ( )
|
)]
( )
Et le reste de la méthodologie (déconditionnement par la quadrature de Gauss-Hermite) reste
valable.
p. 48
VI.
Corrélation implicite des tranches de CDO
La récente explosion du marché des dérivés de crédit et l’augmentation de la liquidité des
différentes tranches standard des CDO ont conduit le marché à coter ces tranches en termes de
corrélations implicites plutôt qu’en termes de spreads. La notion de corrélation est intéressante
pour les différents acteurs de marché car elle facilite la comparaison des prix entre les différentes
tranches. Cette pratique a été inspirée par l’utilisation du modèle de Black and Scholes et des
volatilités implicites sur le marché des actions. Le but est donc de déterminer la corrélation qui
permet de retrouver le prix du marché à l’aide du modèle gaussien à un facteur.
A. Impact de la corrélation sur le prix des tranches
Nous allons ici chercher à décrire l’impact de la corrélation sur les prix des tranches standard.
Nous considérons donc un CDO à 5 tranches découpé de la manière suivante : une tranche
equity [0%,3%], puis des tranches à la séniorité croissante, [3%,6%], [6%,9%],
[9%,12%],[12%,22%].
Faire varier la corrélation revient à modifier la distribution des pertes. Intuitivement, plus
celle-ci augmente et plus la distribution présente alors des queues épaisses. Les probabilités des
évènements extrêmes sont renforcées. Si la corrélation est très élevée, le défaut d’un nom peut
rapidement entraîner celui de tous les autres, ainsi les pertes se concentrent sur les bornes de
l’intervalle : soit tous les noms font défaut soit tous survivent. Les graphiques suivants
représentent la distribution théorique des pertes du portefeuille total pour des niveaux de
corrélation différents et illustrent ces intuitions.
Distribution des pertes 1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,9
1,0
Frequence
Frequence
Histo Perte (rho = 0)
Histo Perte (rho = 0,2)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,9
1,0
Frequence
Frequence
p. 49
Il est alors logique que le prix de la tranche equity (qui ne prend en compte que la première
portion des pertes) soit une fonction décroissante de la corrélation et inversement pour la tranche
senior. En effet quand augmente, une partie du risque est transféré vers les tranches les plus
hautes, le rendement de la tranche equity diminue tandis que celui de la tranche senior doit
augmenter pour compenser cette élévation du risque.
Pour les tranches mezzanine, l’analyse est plus compliquée et l’impact de la corrélation n’est
pas aussi clair. Lorsque la corrélation est suffisamment faible, une augmentation marginale de
celle-ci accroit le risque d’une tranche intermédiaire et de ce fait son prix doit augmenter pour
rémunérer ce risque. Cependant, à partir d’un certain point, une augmentation de la corrélation
déplace le risque vers une tranche de séniorité supérieure et le prix de la tranche intermédiaire
diminue. Ainsi la fonction liant le spread d’une tranche mezzanine à la corrélation n’est pas
monotone et présente une forme de cloche.
Influence de la corrélation sur le prix des tranches
0,04
0,25
0,035
0,2
0,03
Spread
0,025
0,15
0,02
0,1
0,015
0,01
0,05
0,005
0
0
Corrélation
Tranche [3,6]
Tranche [6,9]
Tranche [9,12]
Tranche [12,22]
Tranche [22,100]
Tranche [0,3]
Figure 3 Impact de la corrélation sur les spreads de tranche
B. Corrélation implicite
Le but dans cette partie est de retrouver à partir des données de marché la corrélation utilisée
pour valoriser le CDO. Or, nous savons que le prix du produit est le spread qui annule sa valeur
du marché à la signature du contrat. Il faut donc résoudre l’équation suivante dont l’équation est
(
Où
)
(
)
est le prix de marché du produit à la date t.
Nous voyons tout de suite qu’une inversion de la formule de calcul du spread est dans ce cas
inenvisageable. Cependant, ce genre d’équation se résout facilement à l’aide de méthodes
numériques. Puisque le domaine de recherche de est connu à l’avance, nous pouvons par
exemple utiliser un algorithme dichotomique qui divise en deux l’espace des possibilités à chaque
étape et converge de manière certaine.
Le problème est ici l’unicité de la solution. Si elle est acquise pour la tranche equity – il est
clair sur le graphique que la fonction qui donne le spread en fonction de la corrélation est
strictement monotone – ce n’est pas le cas pour les tranches mezzanines pour lesquelles cette
fonction n’est pas bijective. Pour chaque niveau de spread, il existe deux corrélations possibles
permettant de parvenir au résultat.
Corrélation implicite d'une tranche mezzanine
0,045
0,04
0,035
Spread
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0,01
0,04
0,07
0,1
0,13
0,16
0,19
0,22
0,25
0,28
0,31
0,34
0,37
0,4
0,43
0,46
0,49
0,52
0,55
0,58
0,61
0,64
0,67
0,7
0,73
0,76
0,79
0,82
0,85
0,88
0
Corrélation
Tranche [3%,6%]
Spread de marché
p. 51
Dans ce cas, laquelle choisir ? Et pour quelles raisons ? Pour éviter d’avoir à se confronter à
ce problème et pour pouvoir impliciter la corrélation quelle que soit la tranche, J.P Morgan
(Ahluwalia, et al., 2004) introduit le concept de Base Corrélation.
C. Base corrélation
Cette notion a été introduite dans le but de pouvoir établir une bijection entre spread et
corrélation et repose sur l’additivité des pertes à l’intérieur du portefeuille. En effet, il est évident
que :
](
)
](
)
](
)
](
)
](
)
](
)
Et donc :
C’est-à-dire que pour calculer les pertes d’une tranche mezzanine, on peut utiliser les pertes
de deux tranches equity dont la dépendance à la corrélation est monotone. Il est alors possible de
], que l’on appelle base
reconstituer une courbe à partir des corrélations des tranches
corrélation.
Ainsi pour valoriser une tranche intermédiaire, nous avons besoin non plus d’une mais de
deux (base) corrélations : celles correspondants aux tranches equity impliquées. Il suffit ensuite de
calculer les pertes associées à chacune de ces deux tranches puis de reconstituer les pertes de la
tranche mezzanine à l’aide de la formule ci-dessus.
La reconstitution de la courbe des base corrélations à partir des données du marché utilise le
principe décrit ci-après. Tout d’abord, on utilise le prix de la première tranche
] pour
calculer sa corrélation implicite en résolvant l’équation :
(
]
)
(
]
)
L’une des pratiques communes du marché est de coter la tranche equity sous la forme 500
bps running + Upfront, c’est-à-dire que l’acheteur de protection paye tous les ans un spread de
500 bps et une somme tout de suite d’un montant égale à l’upfront (exprimé en pourcentage du
nominal). En tenant compte de cette convention, il faut résoudre :
(
)
(
)
Maintenant que l’on dispose de ce résultat , on cherche à calculer la base corrélation
] à l’aide du prix de la tranche
]. Or d’après la
associée à la tranche suivante
formule d’additivité des pertes, on a :
(
(
]
(
]
(
(
)
(
)
(
]
]
]
)
(
)
))
]
))
p. 52
Et puisque que l’on connait et
. Ainsi, de
] la seule inconnue de cette équation est
proche en proche, on obtient les corrélations successives pour chacun des points de détachement
utilisés sur le marché.
D. Smile de corrélation
Une des hypothèses du modèle gaussien à un facteur est que la corrélation est constante
quelle que soit la tranche considérée. En théorie donc, la courbe des base corrélation devrait être
horizontale. En pratique cependant, la courbe présente une déformation et est croissante en
fonction de la corrélation. C’est ce que l’on appelle le smile de corrélation similairement au smile
de volatilité constaté sur le marché des actions.
Le graphique suivant présente une des formes que peut prendre la courbe de corrélation dans
le cadre du modèle gaussien à un facteur.
Base correlation
100,00%
90,00%
Corrélation
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
Strike
Base correlation
Nous constatons tout de suite que l’écart entre la corrélation des différentes tranches est
important. Ce résultat amène des questions quant à la validité du modèle gaussien utilisé par tous
les acteurs de marché. Dans les faits, il semble que ce modèle et les erreurs de pricing qu’il
implique aient eu des conséquences non négligeables lors de la récente crise financière. Bien
qu’incohérent, c’est ce type de formule de pricing et l’usage des copules gaussiennes qui fut
promu par les régulateurs. Aujourd’hui ce modèle standard doit être remis en question.
p. 53
E. L’échec du modèle standard
Le modèle gaussien à un facteur est dit incohérent puisque l’un de ses paramètres (la
corrélation implicite) dépend de la tranche dans laquelle on se situe. Ce problème n’a pas de réelle
importance dès lors que l’on price une tranche standard. En effet dans ce cas, le point
d’attachement et de détachement coïncident avec des strikes standards et la corrélation implicite
sera déduite de réelles cotations du marché (pricing mark to market). En revanche dans le cas d’une
tranche non standard (CDO bespoke ou sur-mesure), la corrélation implicite est déduite par
extrapolation du smile de corrélation. Dans ce cas la valeur calculée pour ce paramètre est
beaucoup plus incertaine.
De plus les tranches seniors et super-seniors enregistrent des corrélations implicites très
élevées et laissent à penser que les risques de crédit sous-jacents seraient vraisemblablement mal
pris en compte dans un cadre gaussien15. Dans l’article (Lardy, et al., 2009), les auteurs proposent
d’intégrer dans la modélisation de ces tranches une composante captant le risque systémique de
défaut (a systemic default intensity). En particulier, le recours à des processus à saut permettrait
d’affiner le pricing de ces tranches et de modéliser tous les risques sous-jacents, notamment les
risques systémiques comme ceux observés lors de la crise des subprimes déclenchés par les CDO
ABS (Asset Back Securities) adossés aux fameux prêts immobiliers californiens.
Lors de la crise financière, plusieurs modèles alternatifs ont alors été proposés afin de prendre
en compte les risques systémiques. Nous pouvons citer les modèles suivants :

Le modèle ERFL comme Enhanced Random Factor Loading (Lardy, et al., 2009)dans lequel la
corrélation dépend de manière déterministe du facteur commun. Ce modèle tient également
compte du risque systémique de défaut.

Le modèle top-down16 proposé par (Gaspard, et al., 2009) qui propose d’affiner le pricing des
CDO en introduisant un affine shot-noise permettant en particulier de capter l’impact des
évènements extrêmes.
Dans ce contexte, le but de la prochaine partie est de présenter un autre type de modèle basé
sur les processus de Lévy et qui permet de corriger le smile de corrélation et ainsi d’être mieux
adapté à la réalité.
cf. chapitre 2: Correlation, CDOS of ABS and the subprime crisis dans (Gourieroux, et al., 2009)
L’approche » top-down suppose de modéliser le panier de noms composant le CDO comme un tout. Cette
bottom-up qui, elle, modélise le rsique de crédit et les corrélations de défaut de chaque élément du panier. Cf.
(Gaspard, et al., 2009) pour les détails de modélisation qui dépasse le cadre de notre propos.
15
16
p. 54
Modèle de Lévy
Partie 3. Modèle de Lévy
Le modèle gaussien à un facteur est connu pour ne pas parvenir à correctement pricer
simultanément les différentes tranches du CDO ce qui conduit au smile de corrélation. Nous
développons dans la partie suivante le modèle de Lévy et son application pour une loi Gamma.
La Lévy base correlation obtenue donne des courbes de smile beaucoup plus plate ce qui indique
une meilleure adéquation du modèle aux données ainsi qu’un potentiel de pricing plus fin pour
les tranches bespoke (plus faible erreur d’interpolation).
I.
Cadre générique
Ce modèle17 repose également sur une approche structurelle à la Merton. L’émetteur
d’obligation fait défaut dès lors que la valeur totale de l’actif, , est inférieure à la barrière (le
montant de l’Equity), noté . On modélise alors la valeur de l’actif de la firme par :
Avec :
-
: nombre d’émetteurs d’obligations dans le CDO (on se place ici dans un cadre homogène);
(
) Processus de Lévy standards sur des intervalles de temps et
respectivement
indépendants et identiquement distribués de lois de distribution infiniment divisible et de fonction
].
de répartition
La distribution des processus
étant standards, on a par hypothèse :
{
]
]
}
D’après les propriétés des fonctions caractéristiques, on a en notant
]
]
celle du processus
:
( )
( )
Ce qui implique alors :
( )
( )
D’où l’on déduit la propriété sur la variance :
]
On remarque alors en particulier que :
La présentation du modèle repose sur (Joao Garcia, 2007) qui introduit le concept de Lévy base corrélation,
cependant le modèle générique de Lévy à un facteur vient originellement de (Albrecher, et al., 2007)
17
p. 55
Modèle de Lévy
]
]
De cette propriété, il sort que
[
[
:
[
]
] [ ]
]
[
]
[
]
] [ ]
√
[
]
]
A l’instar du modèle gaussien à un facteur, désigne bien la corrélation entre deux noms du
CDO.
est donc équivalent à un facteur commun et
à un facteur spécifique.
( ) comme :
Comme précédemment, on définit la probabilité de défaut du nom par
( )
( ( )
( ))
( ( )
(
( ( )))
( ( )))
( )
Où
désigne la fonction de distribution de la loi suivie par le processus de Lévy . D’après
les propriétés de stationnarité des incréments des processus de Lévy, on déduit en particulier
que :
.
On définit alors la probabilité à la date t de défaut du nom i conditionnellement à une réalisation
du facteur commun. On a :
(
)
( ( )
( )|
( )|
(
(
(
( )
( ( )
)
)
)
)
)
( ( ))
(
)
Au moyen de la formule récursive de la distribution des pertes 18, on peut alors construire
( ), la probabilité que noms parmi
le vecteur des probabilités de pertes à une date t. Soit
face défaut à la date sachant que
. On a alors pour
:
( )
( )(
(
)
( )
( )(
(
))
( )
( )
(
( )
(
)
)
La probabilité d’avoir défauts parmi n entreprises déconditionnée du facteur spécifique
est alors donnée par l’intégrale sur suivante :
18
Cf. Partie 2
p. 56
Modèle de Lévy
( )
Où
( )
∫
( )
désigne la fonction de répartition de la loi du processus de Lévy
. En posant
( ), la
densité du processus de Lévy, nous avons :
( )
( )
∫
( ) ( )
Enfin, partant de cette nouvelle construction des probabilités de défaut, on peut déduire
l’espérance de perte
à la date pour un portefeuille de noms.
[
]
( )
∑
( )
∑
∑
∫
( )
( ) ( )
La somme étant finie, nous pouvons alors l’inverser avec l’intégrale, ce qui donne :
[
]
∫
[
]
∫
[
( )
∑
[
|
]
( )] ( )
( ) ( )
Le calcul de cette dernière intégrale s’effectue comme précédemment en utilisant la
méthode des quadratures gaussiennes pour approximer les intégrales. Le type de quadrature
retenue dépendra alors de la loi choisie19. De cette formule, on peut alors calculer le montant
espéré des pertes à une date , pour une tranche de point d’attachement
et de point de
détachement :
[
(
)]
[
{
}]
[
{
}]
Pour une présentation détaillée des quadratures gaussiennes et des polynômes orthogonaux, on se référera au
chapitre 4.6 de (Press, et al., 2007)
19
p. 57
Modèle de Lévy
II.
Application
Le modèle de Lévy est un cadre général relativement souple. Différentes hypothèses de
modélisation peuvent alors être envisagées concernant la loi suivie par les processus de Lévy.
En suivant les résultats de (Garcia, et al., 2007), nous nous sommes focalisés sur la loi Gamma
augmentée.
A. Le modèle de Lévy pour la loi Gamma augmentée
Le modèle de Lévy à un facteur appliqué pour la loi Gamma augmentée s’écrit ainsi :
()
Pour des processus de Lévy
défini comme :
]
√
Où
que :
(
) désigne un processus Gamma de paramètres
(
)
(
( )
et
√ de densité telle
)
Avec :
( )
∫
( )
(
)
p. 58
Modèle de Lévy
Ainsi le processus ( ) suit une tendance √
soumise à des chocs aléatoires
.
Processus de Lévy
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Temps
Processus de Lévy
On déduit alors la fonction de répartition des processus de Lévy
processus Gamma :
(
)
[√
[
√
]
]
(√
√ )
On injecte ensuite la formule de la densité de
en fonction de celle des
[
√ ]
dans le calcul de l’intégral de [
].
On remarque en particulier20 que puisque:
(
√ )
[
]
√
√
On a :
(
√ )
(√ )
(√
( )
20
On rappelle que pour
(
(√
)
) alors la densité de
√ )
( (√
)√ )
est définit par : (
)
√
( )
p. 59
Modèle de Lévy
On réinjecte alors cette formule dans l’intégrale de l’espérance des pertes [
[
]
∫
∫
[
[
|
|
]
( ) ( )
]
(√ )
(√
( )
)
]
∫
[
|
]
√
]
∫
[
|
)√ )
( )
√
. Ce qui donne :
(√ )
( )
( )
(
√ )
( )
√ . Ce qui donne :
Et enfin le dernier changement de variable,
[
( (√
√
On effectue alors le changement de variable :
[
] On a :
√
√
]
(
)
( )
(
) ( )
L’intérêt de cette dernière formule est que l’on retrouve la forme usuelle permettant le calcul de
l’intégral par la méthode de la quadrature gaussienne de Gauss-Laguerre. En effet, on a bien :
( )
[
]
∫
[
]
∑ ( )
Où :
désigne le nombre de degré choisi pour approximer l’intégral par la méthode de GaussLaguerre ;
( )
désigne la
racine du polynôme de Laguerre.
désigne les pondérations obtenues par la formule :
(
où
) [
( ) est le polynôme de Laguerre à
( )]
degrés ;
( ) est la fonction définie par :
( )
( )
[
|
∑
√
√
√
]
(
( )
√
)
(
)
p. 60
Modèle de Lévy
De plus nous avons vu précédemment que :
( )
( )(
(
))
( )
(
)
Avec :
(
)
( ( ))
(
)
Par conséquent pour terminer le calcul, nous avons besoin de la formule de la fonction de
répartition
pour
( √ ) ainsi que de son inverse
.
Nous avons :
(
√
( )
( )
Où (
)
) désigne la fonction Gamma incomplète définit par :
(
)
( )
(
)
∫
L’inverse de la fonction de répartition s’obtient alors facilement :
(
( )
( )
(
( )
)
)
( ))
(
√
√
√
( )
√
(
( ))
(
) désigne la fonction inverse de la fonction Gamma incomplète. Les fonctions
Où
Gamma, Gamma incomplète et inverse de la Gamma incomplète sont toutes calculées par
méthode numérique (cf. (Press, et al., 2007) p. 256 et suivantes.).
Nous disposons donc de tous les éléments nécessaires à la correcte implémentation de ce
modèle.
p. 61
Modèle de Lévy
B. Calibration des paramètres du modèle
1. Sensibilité des prix aux paramètres du modèle
Avant de déterminer une méthode de calibration pertinente, il convient tout d’abord d’étudier
la sensibilité des prix aux paramètres du modèle. Les graphiques suivant représentent d’une part
la sensibilité du modèle au paramètre pour une corrélation constante
et d’autre part la
sensibilité au paramètre pour un paramètre
constant.
Sensibilité au paramètre a
0,018
0,24
0,016
0,239
0,014
0,238
0,01
0,237
0,008
0,006
Tranche [3,6]
Upfront
Spread
0,012
0,236
Tranche [6,9]
Tranche [9,12]
Tranche [12,22]
Tranche [22,100]
0,004
0,235
0,002
0,234
0,7
0,78
0,86
0,94
1,02
1,1
1,18
1,26
1,34
1,42
1,5
1,58
1,66
1,74
1,82
1,9
1,98
0
Tranche [0,3]
a
Sensibilité au paramètre rho
0,025
0,5
0,45
0,02
0,4
0,015
0,3
0,25
0,01
0,2
0,15
0,005
0,1
0,05
Tranche [6,9]
Tranche [9,12]
Tranche [12,22]
Tranche [22,100]
Tranche [0,3]
0,57
0,53
0,49
0,45
0,41
0,37
0,33
0,29
0,25
0,21
0,17
0,13
0,09
0,05
0
0,01
0
Tranche [3,6]
Upfront
Spread
0,35
Rho
p. 62
Modèle de Lévy
Ces graphiques permettent de tirer plusieurs conclusions d’ordre général. Tout d’abord, les
tranches les plus sensibles aux paramètres sont clairement les deux premières. Il sera donc très
pertinent de les retenir pour calibrer le modèle. Nous voyons également que les deux dernières
tranches sont quasiment insensibles au paramètre . Nous constatons aussi que l’effet de ce
paramètre sur le prix de la première tranche est l’inverse de celui sur le spread de toutes les autres
tranches (négatif pour la tranche Equity et positif pour le reste). Concernant la corrélation, nous
retrouvons les mêmes résultats que pour le modèle gaussien. Le prix de la tranche equity est
strictement décroissant en fonction de la corrélation tandis que le spread des tranches senior est
strictement croissant. L’effet de la corrélation sur les tranches Mezzanine est quant à lui toujours
ambigu.
2. Calibration du modèle
Comme nous l’avons vu, un processus de Lévy suivant une loi gamma augmentée telle que
( √ ) dépend donc de la calibration de . Deux alternatives sont alors possibles. L’une
consiste à calibrer le paramètre à partir d’un historique de données tandis que l’autre consiste
simplement à choisir avec pertinence une valeur constante pour .
Dans leur article (Garcia, et al., 2007), les auteurs calibrent à partir d’un historique sur deux
ans de donnée iTtraxx (valeurs hebdomadaires). Ils pricent successivement les tranches
]
]
]
]
]
]
et
effectue la
calibration à l’aide d’une méthode des moindres carrés pondérés ; les poids les plus importants
étant alors alloués aux deux premières tranches. Il s’agit dans un premier temps de trouver un
paramètre de corrélation global qui minimise les écarts entre les prix théoriques et les prix du
marché. Ce paramètre de corrélation est choisi à partir des données concernant la première
tranche. C’est en effet pour celle-ci qu’il est le plus pertinent : l’effet est strictement positif et la
dépendance est forte Il est alors possible de déterminer à partir des tranches restantes le
paramètre qui permet de faire correspondre au mieux les prix issus du pricing de Lévy et les
prix du marché. Un premier ajustement est réalisé à partir de la série des prix de la tranche
[3%,6%] puis, il suffit de raffiner l’estimation à l’aide des historiques des autres tranches La
corrélation étant considérée comme constante quelle que soit la date et quelle que soit la tranche,
la distance entre les prix théoriques et les prix cotés ne peut donc pas être nulle. Cette méthode
bien que visiblement adaptée requiert un temps de calcul important. Elle nécessite en effet de
calculer les prix théoriques pour chaque date (une centaine environ) et chaque tranche et pour
différentes valeurs de et de .
Une autre méthode consiste à fixer et à étudier empiriquement la variance des résultats
pour
]. Ayant constaté la convergence du paramètre vers , l’article fondateur de
(Joao Garcia, 2007) s’accorde sur cette méthode. Néanmoins, pour notre implémentation, nous
préviligierons une calibration sur un historique de spread.
p. 63
Modèle de Lévy
III.
Lois alternatives
Le modèle générique de Lévy à un facteur peut aussi s’appliquer avec d’autres lois. En
particulier la loi Gaussienne Inversée augmentée et les distributions de type CMY. A la suite de
l’article (Garcia, et al., 2007), V. Masol et W. Schoutens21 ont entrepris un travail plus approfondi
de comparaison de ces lois.
A. La loi Gaussienne Inversée augmentée
Comme pour la loi Gamma, la loi Gaussienne Inversée
paramètres
. Sa fonction caractéristique s’écrit alors :
(
)
(
)]
) repose sur les deux
(√
{
{
On définit alors le processus
(
)}
(
)} dont les variables aléatoires
suivent des lois Gaussiennes inversées. est bien un processus de Lévy car il vérifie ses
propriétés. Il est en effet infiniment divisible à incréments stationnaires et indépendants. Sa
densité s’écrit alors comme :
(
)
√
(
)
On peut alors définir la variable aléatoire
définit par :
(
(
)
)
qui suit une loi gaussienne inversée augmentée
]
Comme précédemment, on définit alors que la valeur totale de l’actif
pour la firme par :
Dans ce cadre, le calcul des probabilités déconditionnées de pertes s’effectue soit par des
méthodes numérique d’approximation des intégrales (quadrature de Gauss) soit par la méthode
des transformées de Laplace.
21
(Masol, et al., 2008)
p. 64
Modèle de Lévy
B. Le modèle CMY augmenté
Ce type de distribution repose sur les trois paramètres
fonction caractéristique :
(
)
(
)]
{
(
et
)(
)
, et a pour
]}
Là encore, ce type de distribution est infiniment divisible et l’on peut définir un processus de
{
(
)} démarrant à
Lévy
avec des incréments
stationnaires et indépendants.
En suivant l’article (Masol, et al., 2009) on peut choisir pour paramètres
)) de telle sorte que
et
( (
distribution CMY augmentée soit telle que si :
{
}, une variable suivant une
]
Alors,
]
]
(
(
)(
)
)
Enfin on peut poser le modèle CMY-Lévy augmenté, où
firme , se modélise comme :
, la valeur de l’actif pour la
Pour ce type de distribution, la fonction de répartition
, ne peut se calculer directement
avec une formule fermée. Ainsi son calcul s’effectue numériquement par inversion de la
transformée de Laplace.donnée par la formule :
̂
(
)
{
(
)(
)
]}
Pour le détail de la méthode numérique, on se réfèrera à (Abate, et al., 1995).
p. 65
Modèle de Lévy
D. Commentaires
Les différentes classes de modèles de Lévy aboutissent tous à la même conclusion principale.
Le smile de corrélation est plus plat pour les différents paramètres testés que celui obtenu avec le
modèle gaussien à un facteur. Nous n’avons pas mis en œuvre le modèle CMY mais si l’on suit
les conclusions de (Masol, et al., 2008), toutes les courbes de Levy base corrélation sont très
proches quel que soit le modèle retenu (Gamma Inverse, Gaussienne Inverse, CMY). Il en va de
même pour la sensibilité des paramètres de hedging.
Le modèle Gamma Inverse est celui préféré dans la littérature en raison de sa robustesse et
des meilleurs temps calcul obtenu pour le pricing. En particulier pour
, le processus de
Lévy pour la loi Gamma Inverse augmentée se ramène alors à une distribution exponentielle
simple. Pour cette valeur de , les résultats du pricing, nous trouvons bien un smile de corrélation
plus plat que dans le cas gaussien à un facteur. De plus la fonction de densité de la distribution
exponentielle pure présentant des queues plus épaisses que la distribution gaussienne, nous
captons alors mieux la probabilité des évènements extrêmes (risque systémique). Ce point était en
effet la principale critique faite au modèle gaussien à un facteur lors de la crise financière.
p. 66
Résultats
Partie 4. Résultats
Nous présentons dans cette partie, les résultats obtenus après implémentation22 des différents
modèles présentés. Après avoir effectué une analyse comparée du modèle gaussien à un facteur et
du modèle de Lévy pour le calcul des spreads de tranches de CDO, nous étudions les smiles de
corrélation respectifs obtenus à partir de ces deux modèles. Dans la mesure où le modèle de Lévy
permet d’obtenir une courbe de corrélation implicite plus plate, nous concluons que ce modèle
est plus précis pour calculer des tranches de CDO bespoke.
I.
Calcul de spreads
L’implémentation de ces deux modèles a été réalisée sous C++. La structure de ce mémoire
reflète bien les différentes étapes de la programmation. Nous avons tout d’abord commencé par
utiliser la méthode de Monte Carlo avant de se servir de la formule récursive. Dans un premier
temps, nous avons travaillé sur le modèle gaussien pour s’assurer que les prix obtenus étaient
cohérents avec ceux fournis par le marché. Une fois cette étape de vérification achevée, nous
avons pu ajouter la valorisation à l’aide des processus de Lévy. En effet, si la structure de
dépendance change, les étapes de calcul sont exactement les mêmes.
A. Présentation des données
Pour ce premier exercice, nous disposons d’un panier de 125 noms équipondérés et de la
courbe des bases corrélations fournie par le marché. La maturité de ce contrat est de trois ans et
les spreads individuels des CDS sont donnés en bps. Nous considèrerons que le paiement du
spread s’effectue tous les ans et que le taux de recouvrement est le même pour tous les noms égal
à 40%. Par ailleurs, le taux d’intérêt sans risque sera fixé à 2% tout au long du calcul. L’ensemble
des données date du 13/04/2011 et a été récupéré à l’aide de la plateforme Bloomberg. Le
tableau suivant, présente les inputs et la courbe de corrélation utilisée pour valoriser les
différentes tranches de ce CDO.
Noms
Poids
Spread en bps
Adecco
Aegon
Ahold
AkzoNobel
Allianz
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
50,21
114,90
65,15
42,17
44,15
Le pricer réalisé a été codé en C++. Nous avons implémenté trois méthodes différentes pour pricer les tranches de
CDO : le modèle gaussien à un facteur calculé par la méthode de Monte Carlo, le même modèle avec calcul de
l’intégral des pertes par la quadrature de Gauss-Hermite et enfin le modèle de Lévy calculé avec la quadrature de
Gauss-Laguerre.
22
p. 67
Résultats
Strike haut
Base corrélation
3%
37,46%
6%
42,34%
9%
46,84%
12%
51,76%
22%
66,08%
B. Résultats du pricing
Le but est dans cette partie de présenter et de comparer les résultats obtenus avec les
différents modèles. Pour le modèle gaussien à un facteur, nous utiliserons la courbe de
corrélation ci-dessus. En revanche, pour le modèle de Lévy-Gamma, nous considèrerons que la
corrélation est identique quelle que soit la tranche pricée et nous choisirons le paramètre en
fonction des résultats de la calibration présentés dans le paragraphe précédent. Nous disposons
de plus des prix du marché pour ce produit et nous pourrons ainsi conclure sur la qualité du
modèle employé.
Spread des tranches standard
1600
1400
1200
Spread
1000
800
600
400
200
0
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Tranche
Gaussien
3%
6%
9%
12%
22%
100%
Levy Gamma
Gaussien
Levy Gamma
1380,334
349,9464
153,9946
77,23996
30,21283
9,074065
1296,535
309,5885
145,1629
89,03902
39,0956
11,7482
Marché
1362,125
337,6928
150,3267
75,45675
28,84561
8,084551
p. 68
Résultats
Nous constatons donc que les prix trouvés avec le modèle de Lévy sont moins précis que
ceux obtenus avec le modèle gaussien à un facteur. Ce résultat semble tout à fait logique au vue
des pratiques courantes du marché. C’est en effet, le modèle gaussien à un facteur qui est
employé pour pricer ce type de produit. Nous constatons cependant quelques écarts entre les
résultats ce qui peut être dû à des erreurs numériques d’approximation du fait des méthodes
employées. Nous observons toutefois que l’ordre de grandeur des prix calculés à l’aide du modèle
de Lévy est cohérent. Il faut également noter que la précision est forcément réduite car la courbe
de corrélation pour ce modèle ne peut être connue à l’avance.
Le tableau suivant compare les prix obtenus avec le modèle gaussien et le modèle de Lévy
avec une corrélation constante quelle que soit la tranche.
3%
6%
9%
12%
22%
100%
Gaussien
Levy
Gamma
Marché
Ecart
Ecart
1380,334
440,4851
211,7506
114,8195
39,54786
1,043379
1296,535
309,5885
145,1629
89,03902
39,0956
11,7482
1362,125 -18,2092 65,58977
337,6928 -102,792 28,1043
150,3267 -61,4239
5,1638
75,45675 -39,3628 -13,5823
28,84561 -10,7023
-10,25
8,084551 7,041171 -3,66365
Globalement, nous voyons que les résultats de pricing obtenus avec le modèle gaussien sont
très largement dégradés par l’utilisation d’une corrélation identique pour chaque tranche. Nous
voyons également que les écarts pour les tranches mezzanines et sénior sont très importants. En
conclusion, nous voyons bien que les évènements extrêmes (qui correspondent aux défauts dans
les tranches de séniorité élevée) sont mal modélisés et conduisent à des erreurs de pricing. Nous
constatons également que ces erreurs sont moins importante avec le modèle de Lévy qui devrait
donc mieux prendre en compte l’occurrence d’évènements rares
p. 69
Résultats
II.
Impliciteurs de corrélation
L’intérêt du modèle de Lévy ne réside pas dans le pricing de tranches standard qui sont
encore cotés à l’aide du modèle gaussien à un facteur. Cependant, il est possible à partir des prix
de marché de recomposer la courbe de corrélation pour les deux modèles. Les données utilisées
sont des cotations JP Morgan du 09/05/2011 sur l’iTraxx série 9 de maturité 20/06/2013.
L’iTraxx est un indice sur CDS synthétiques composé d’un panier représentatif des noms les plus
liquides. Les tranches sur cet indice se décomposent de manière standard. Nous disposons donc
de six prix de marché à partir desquels nous pourrons impliciter la courbe des bases corrélation.
Courbes de corrélation
80,00%
70,00%
Base corrélation
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
3,00%
6,00%
9,00%
12,00%
22,00%
Strike haut
Base correlation pour le modèle Lévy-Gamma
Base correlation pour le modèle gaussien
Points de détachement
standard
3,00%
6,00%
9,00%
12,00%
22,00%
Spreads de marché
Base correlation pour le
modèle gaussien
1562
29,74%
283
38,03%
100
45,43%
48
52,22%
19
69,59%
Base correlation pour le
modèle Lévy-Gamma
35,75%
30,34%
29,45%
31,29%
37,84%
p. 70
Résultats
Ainsi nous voyons que la courbe des corrélations implicites est largement plus plate dans le
cadre du modèle de Lévy. Ce résultats confirme les précédents et montre que le modèle de Lévy
est le plus proche du cadre théorique d’une corrélation unique pour chaque tranche. Par ailleurs,
nous pouvons voir que cet écart est stable dans le temps. Nous disposons de l’historique des prix
de chaque tranche ainsi que des spread individuels sur une durée de un an et nous pouvons donc
reproduire la courbe des corrélations pour chaque date. Nous pouvons alors calculer la
profondeur de la courbe qui correspond à la différence entre le point le plus haut et le point le
plus bas. Les résultats sont alors présentés sur le graphique suivant :
p. 71
Résultats
III.
Pricing de dérivés exotiques
Le principal avantage d’avoir une courbe de corrélation plate est que les erreurs
d’interpolation pour les points intermédiaires sont considérablement diminuées. Ainsi, la
valorisation de tranche non standard à la demande de clients s’en trouve nettement amélioré.
Imaginons que nous souhaitions valoriser une tranche [5%-10%], nous devons alors
connaître la corrélation implicite de la tranche [0%,5%] et celle de la tranche [0%,10%].
Malheureusement, le marché ne fournit que celles des tranches [0%,3%], [0%,6%], [0%,9%],
[0%,12%] et [0%,22%]. Il nous faut alors en déduire les corrélations recherchées.
Reprenons les données de la partie précédente, nous sommes en mesure d’interpoler les bases
corrélation de tous les points de détachement intermédiaires. Nous utilisons pour cela une
formule simple d’interpolation linéaire. Par exemple, pour le point de détachement 5%, la
corrélation est calculée de la manière suivante :
(
)
Nous obtenons alors les résultats suivants :
4%
5%
7%
8%
10%
11%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
Gaussien
Lévy
32,51%
35,27%
40,50%
42,96%
47,69%
49,96%
53,96%
55,70%
57,43%
59,17%
60,91%
62,64%
64,38%
66,12%
67,85%
33,94%
32,14%
30,04%
29,75%
30,06%
30,68%
31,94%
32,60%
33,25%
33,91%
34,57%
35,22%
35,88%
36,53%
37,19%
p. 72
Résultats
L’intérêt d’avoir une courbe plate est qu’elle laisse moins de marge pour commettre des
erreurs. Supposons en effet que la vraie courbe des corrélations ne soit pas linéaire entre deux
points mais convexe ou concave, les graphiques suivants montrent que les erreurs possibles
d’interpolation sont beaucoup plus élevées dans le cas du modèle gaussien que dans celui du
modèle de Lévy-Gamma. Ces représentations ne sont que des exemples qui illustrent une erreur
éventuelle, la forme de la courbe de corrélation n’est en réalité pas connue entre deux points
intermédiaires.
Erreur commise
70,00%
Corrélation
60,00%
50,00%
Gaussien
40,00%
Courbe convexe
30,00%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
22%
20,00%
Strike haut
Erreur commise
80,00%
70,00%
Corrélation
60,00%
50,00%
Lévy
40,00%
Courbe convexe
30,00%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
22%
20,00%
Strike haut
p. 73
Résultats
Cela ne veut cependant pas dire que les erreurs possibles commises avec le modèle de Lévy
sont nulles. L’échelle des graphiques et le fait que la corrélation varie peut ont aplati les
différences.
Erreur commise
39,00%
37,00%
Corrélation
35,00%
33,00%
31,00%
29,00%
27,00%
22%
21%
20%
19%
18%
17%
16%
15%
14%
13%
12%
11%
10%
9%
8%
7%
6%
5%
4%
3%
25,00%
Strike haut
Lévy
Courbe convexe
Grâce à cette formule d’interpolation linéaire, nous pouvons à présent valoriser des tranches
non standard. Considérons par exemple les deux tranches suivantes [4%,7%], [5%,10%]. Les
corrélations utilisées sont donc :
Strike
4%
7%
5%
10%
Gaussien
Lévy-Gamma
32,51%
33,94%
40,50%
30,04%
35,27%
32,14%
47,69%
30,06%
Les prix obtenus sont alors les suivants :
[4%,7%]
[5%,10%]
Gaussien
Lévy-Gamma
191,165371
106,958135
202,680432
113,362104
Nous constatons que les résultats obtenus sont tout à fait similaires malgré un écart de
quelques bps.
p. 74
Résultats
Supposons maintenant, qu’une erreur ait été commise par rapport aux « vraies » valeurs de la
corrélation. Nous prenons alors les valeurs de corrélation à partir des courbes convexes présentée
précédemment. Le tableau suivant permet de voir l’impact d’une telle erreur sur les prix obtenus.
Gaussien
[4%,7%]
[5%,10%]
Spread
Ecart
Spread
Ecart
Interpolation
linéaire
191,165371
0,00%
106,958135
0,00%
Lévy-Gamma
Courbe
convexe
137,710121
-27,96%
96,5357874
-9,74%
Interpolation
linéaire
202,680432
0,00%
113,362104
0,00%
Courbe
convexe
192,962689
-4,79%
113,877141
0,45%
Nous voyons ainsi que les erreurs d’interpolation ont des conséquences plus graves lorsqu’il
s’agit du modèle gaussien à un facteur par rapport au modèle de Lévy Gamma.
L’intérêt de ce modèle réside donc dans la précision supplémentaire qu’il procure lorsqu’il
s’agit de traiter de produits dérivés exotiques. Son utilisation assure que les erreurs commises sur
les prix de ces produits est moins importante que celles obtenues avec le modèle gaussien à un
facteur. Celui qui l’utilise est alors en mesure de donner un prix plus près de la « vraie » valeur du
produit et d’en déduire la couverture adéquate. Les risques pris sur ce produit sont donc
diminués.
Bien que ce modèle semble efficace, depuis la crise, le consensus de marché concernant le
modèle à appliquer n’a pas changé et c’est toujours le modèle gaussien à un facteur qui est
employé pour la valorisation des CDO. Cependant, l’hypothèse des taux de recouvrement
constant a été remise en cause et ils sont maintenant en pratique considérés comme étant
aléatoires. Par ailleurs, d’autres modèles plus poussés utilisent une intensité stochastique. Il est
donc encore possible d’améliorer le cadre de modélisation en combinant ces différents éléments.
Si la complexité des calculs s’en trouve augmentée, la précision des résultats obtenus également.
p. 75
Conclusion
Conclusion
Depuis la crise financière dont les CDO RMBS ont été un important vecteur, la littérature sur
l’évaluation des dérivés de crédit est particulièrement active. Nous avons en effet vu les profonds
changements que connaissent actuellement le marché des CDS (standardisation accrue, recours
aux chambres de compensation afin de mieux réguler le risque de contrepartie) ainsi que celui des
dérivés de crédit titrisés. Ces derniers bien que critiqués connaissent encore un engouement de la
part des institutions financières. Tandis que les banques y voient un moyen de mieux piloter leur
risque de crédit et donc leur besoin en fonds propres – ce qui est au cœur des exigences de Bâle
III –, les investisseurs institutionnels quant à eux y voient un moyen d’investir dans des actifs à
haut rendement jusqu’alors illiquides (prêts, etc.).
Par conséquent la compréhension des mécanismes financiers ainsi que l’amélioration des
méthodes d’évaluation de ces produits sont des enjeux capitaux pour les actuaires. Au cours de
cette étude, nous nous sommes attachés à rappeler les cadres de la modélisation du risque de
crédit des CDS et des CDO : l’approche structurelle héritée du modèle de Merton, l’approche
sous forme réduite focalisée sur les intensités de défaut et les modèles à variable latente. En effet,
ces éléments de théorie sont des préalables indispensables pour comprendre la formule de pricing
standard qui prévaut aujourd’hui pour évaluer les dérives de crédit tittrisés. C’est en particulier
cette méthode, le modèle gaussien à un facteur, qui prévaut sur le marché des CDO synthétiques
sur lesquels nous concentrons notre étude.
Néanmoins ce modèle est fortement critiqué depuis la récente crise financière. En effet le
modèle gaussien à un facteur, reposant sur une copule gaussienne pour modéliser la loi jointe des
défauts, a du mal à correctement prendre en compte les évènements rares (défaut des tranches les
plus seniors). Cette limite se manifeste notamment dès lors que l’on étudie le smile de corrélation
du CDO qui fait correspondre à chaque prix de tranche la corrélation implicite du modèle. En
théorie cette dernière doit être constant, hors elle est croissante avec la séniorité dans le modèle
standard. Ainsi nous avons proposé dans notre étude une formule innovante de pricing fondée
sur les processus de Lévy. Dans la mesure où ces processus intègrent une partie en saut, ils sont
mieux à même de modéliser les évènements rares.
Après avoir implémenté les deux méthodes de pricing, nous avons pu confirmer ce résultat.
En effet, le pricing des tranches de CDO avec le modèle de Lévy pour la loi Gamma Inverse
augmentée donne des courbes de corrélation systématiquement plus plates que pour la formule
standard. Nous pouvons donc montrer que ce modèle permet de pricer des tranches de CDO
bespoke avec plus de précision. En effet, le smile de corrélation étant plus aplati, nous
minimisons alors les erreurs d’interpolation, étape nécessaire pour déduire la corrélation implicite
de tranches non-standards.
p. 76
Annexes
Annexes
I.
Théorie des copules
Nous rappelons ici quelques éléments de base de la théorie des copules.
]
Définition, copule bivariée : La copule bivariée,
caractéristiques suivantes :
i.
ii.
iii.
(
(
(
)
)
(
(
)
(
)
)
]
)
] est déinie par les
]
]
(
)
(
]
(
)
)
(
)
Cette définition s’étend au cas d’une copule multivariée en dimension n.
Une copule est donc déterminée soit ex-nihilo à partir de la définition précédente, soit à l’aide
d’une loi bivariée pré-existante. Dans ce cas on fait appel au théorème de Sklar du nom de celui
qui a introduit le concept copule en 1959.
Ce théorème précise le lien défini par la copule , déterminée à partir de la distribution jointe ,
entre les fonctions de répartition marginales univariées
et
et la distribution complète
bivariée .
Théorème de Sklar : soit , une distribution bivariée de marges
s’écrit :
(
)
(
(
est unique lorsque les marges
et
et
. La copule
associée à
( ( ) ( ))
)
( ))
(
)
sont continues.
Propriété, Bornes de Fréchet :
Définissons deux copules remarquables (
i.
ii.
)
La copule minimum qui a pour expression :
)
La copule maximum qui s’écrit (
] :
(
)
{
{
};
}.
Ces deux copules que l’on appelle bornes de Fréchet définissent des copules extrêmales. En
effet, on a pour toute copule , nous avons la propriété suivante :
(
)
]
(
)
(
)
(
)
Nous finissons cette annexe en définissant la copule gaussienne.
p. 77
Annexes
Définition, Copule gaussienne : La copule Gaussienne bivariée s’écrit :
(
)
Où est le coefficient de corrélation et
de corrélation fonction de .
(
(
)
(
))
la distribution normale bivariée standard de matrice
Toutes les propriétés des copules bivariées présentées peuvent s’étendre au cas multivarié.
p. 78
Annexes
II.
Démonstration, approximation de Poisson
( )
|
]
( )
|
]
( )
|
]
( )
|
]
( )
|
]
( )
|
]
( ) (
)
) (
(
(
(
)
( ) (
(
)
( ))
( ) (
(
( )) (
)
(
)
(
( )) (
)
(
)
(
( )) (
)
(
)
( )
On pose :
)
( ))
( ). Comme
( )
(
( )
(
( )
(
)
( ))
(
( ))
(
( )) (
( )
(
( )
)
)
( ))
(
( )
)
on a alors :
( )
( )
)
D’où il vient que :
( )
(
)
( )
(
( )
)
Enfin puisque :
(
( ))
)(
)
( )
Et :
(
(
)
On a bien :
( )
|
]
(
)
( ) (
( ))
→
( )
( )
p. 79
Annexes
III.
Quadrature de Gauss
On appelle quadrature une méthode numérique de calcul d’intégral suivant la forme très
générale :
∫ ( )
Les quadratures de Gauss, contrairement aux méthodes classiques qui approximent cette
intégrale en calculant les valeurs prises par () sur un intervalle d’abscisse équidistants, la calcule
en l’approchant par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine
d’intégration. Cette méthode de quadrature est exacte pour un polynôme de degré 2n-1 avec n
points pris sur le domaine d'intégration. Il est ainsi possible de choisir une pondération et une
séquence d’abscisses de telle sorte que l’intégrale soit exacte pour une certaine classe
d’intégrantes: un polynôme multiplié par une fonction de pondération ( ).
En d’autres termes, sachant ( ) et
un entier correspondant au nombre de degrés du
polynôme, il est possible de trouver un ensemble de poids ( )
et un ensemble
d’abscisses ( )
de telle sorte que l’approximation :
∫
( ) ( )
∑
( )
Soit exacte si la fonction ( ) est un polynôme.
Le calcul des poids s’effectue en résolvant23 la formule générale suivante :
⟨
|
( )
Où ( )
⟩
( )
, désigne une suite de polynômes orthogonaux permettant de construire par
récurrence la fonction de poids
cette suite pris à la racine .
( ).
( ) désigne alors la dérivée du énième polynôme de
Certaines fonctions de poids ( ) et les relations de récurrence générant les polynômes
sont remarquables. Pour notre étude, nous recourons aux polynômes de Gauss-Hermite
(déconditionnement de l’intégrale des pertes dans le modèle gaussien à un facteur) ainsi qu’au
polynôme de Gauss-Laguerre (déconditionnement de l’intégrale des pertes dans le modèle de
Lévy pour loi Gamma Inverse augmentée). En effet dans ces deux cas, un changement de
variable judicieux permet de retrouver la forme canonique de la formule de poids. Le tableau
suivant résume les caractéristiques de ces deux formes remarquables :
La démonstration de cette formule dépasse le cadre de notre propos. On se réfère à (Press, et al., 2007) pour plus
de détail.
23
p. 80
Annexes
Méthode
domaine
d'intégration
fonction de poids
( )
formule de
récurrence
générant le
polynôme
Formule du poids
Gauss-Hermite
Gauss-Laguerre
]
]
( )
( )
(
(
)
)
(
)
√
(√
)
(
) [
( )]
Il est à noter que d’autres formes remarquables existent telles les quadratures de GaussLegendre, Gauss-Chebyshev ou encore Gauss-Jacobi.
p. 81
Annexes
IV.
Propriété des processus de Lévy
Définition, Processus de Lévy : Un processus stochastique continu à droite et limité à gauche
( ) sur un espace de probabilité (
) à valeur dans
, tel que
presque
sûrement, est un processus de Lévy s’il possède les propriétés suivantes :
i.
ii.
iii.
Indépendance des accroissements : pour toute suite croissant de temps
les variables aléatoires
sont indépendants ;
Stationnarité des accroissements : la loi de
Continuité stochastique :
(|
,
ne dépend pas de ;
|
)
.
Les processus de Lévy incluent donc les mouvements browniens (trajectoires continues) et les
processus de sauts purs tels que les processus de Poisson.
Propriété, infinie divisibilité des processus de Lévy : Soit ( ) un processus de Lévy, ,
la loi de , est infiniment divisible. Réciproquement, si est une distribution infiniment
divisible, alors il existe un processus de Lévy ( ) tel que la distribution de
soit donnée .
De l’indépendance des accroissements et de la continuité stochastique, nous pouvons énoncer la
proposition suivante.
Propriété, fonction caractéristique exponentielle : Soit ( ) un processus de Lévy définie
sur
, alors
appelée fonction carctéristique exponentielle de telle que :
(
( )
)
Définition, saut de processus : Si est un processus de Lévy, ses trajectoires sont cadlags.
Soit
la version cadlag de . On définit le saut
du processus par
.
On peut alors définir la mesure de Lévy comme :
Définition, mesure de Lévy : Soit ( )
mesure de Lévy par :
( )
{
un processus de Lévy définie sur
]|
}]
(
, on définit la
)
( ) compte le nombre de sauts par unité de temps.
Pour tout processus de Lévy ( )
décrivant le saut de
par :
définie sur
, on peut définir une mesure aléatoire sur
et définie pour tout ensemble mesurable
( )
{(
)
}
]
) compte le nombre de sauts de
Pour tout ensemble mesurable
, (
entre et tels que la longueur de chaque saut est comprise dans . La mesure aléatoire
suit une loi de Poisson d’intensité de mesure ( ) :
p. 82
Annexes
[
(
]
∫
]
)
(
∫
(∫ ∫
)
(
) )
Propriété, mesure de Lévy : ( ) un processus de Lévy définie sur
que définie précédemment. On a alors les propriétés suivantes :
i.
et
sa mesure telle
{ } et vérifie :
est une mesure aléatoire définie sur
| | ( )
∫
| |
(
∫
)
| |
ii.
iii.
La mesure de saut de , notée , est une mesure aléatoire de Poisson sur
avec comme
mesure d’intensité ( ) ;
Il existe un vecteur et un mouvement brownien de dimension ( ) de matrice de covariance
tel que :
̃
Avec :
(
∫
| |
̃
)
]
{ (
∫
| |
)
(
)
]
}
̃ (
∫
)
]
| |
La décomposition de Lévy-Itô implique que pour chaque processus de Lévy, il existe un
vecteur , une matrice définie positive et une mesure positive qui définit de manière unique
) est appelé triplet caractéristique ou triplet de Lévy du
sa distribution. Le triplet (
processus . La structure des trajectoires d’un processus de Lévy permet d’obtenir le second
résultat fondamental de la théorie : l’expression de la fonction caractéristique d’un processus par
).
son triplet (
Théorème, la réprésentation de Lévy-Khintchine : Soit ( )
). Alors :
sur
avec pour triplet caractéristique triplet (
[
un processus de Lévy définie
( )
]
Avec :
( )
∫ (
| |
) (
)
Les accroissements des processus de Lévy sont appelés subordinateurs. Ils sont utilisés
comme des changements de temps pour d’autres processus de Lévy (en particulier pour les
subordinateurs browniens). On peut remarquer que les subordinateurs ne contiennent pas de
composante brownienne.
p. 83
Bibliographie
Bibliographie
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Press, W. H., et al. 2007. Numerical Recipes in C++, The Art of Scientific Computing, Third Edition.
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p. 84

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