Organisation de la concentration du courrier : définition des

Transcription

1995.03
Organisation de la concentration du courrier : définition des
tournées filaires et du niveau de ségrégation du courrier
Vincent Giard *, Roland André** & Jacques Le Guluche**
* Professeur à l’ IAE de Paris (Université Paris 1 - Panthéon-Sorbonne) et à l’ENSPTT
** Administrateurs de La Poste et anciens élèves de l’ENSPTT
Résumé : L’organisation de la concentration du courrier passe par la définition simultanée
et interdépendante 1) du travail de tri effectué dans les bureaux de poste et leur centre de tri de
rattachement et 2) des tournées avec fenêtres de temps qui varient avec le niveau de tri en
bureau de poste. Une approche de scénario est utilisée pour ne s’attacher ici qu’au problème
de la définition des tournées de ramassage de l’après-midi. Ce problème présente la particularité de se poser sur une plage de temps très courte, ce qui implique que le temps de retour du
centre de tri au premier bureau de Poste de chaque tournée est sans conséquence. On est alors
en présence d’une tournée qui peut être qualifiée de filaire (et non d’une tournée en boucle).
Une modélisation du problème par la programmation mathématique est proposée et expérimentée pour résoudre un problème réel (sous GAMS). Une généralisation théorique est
proposée pour inclure la possibilité d’utilisation de plateforme de concentration du courrier
entre bureaux de poste et centres de tri et permettre en même temps la définition optimale du
parc de véhicules.
Mots-clés : tournées filaires multiples avec fenêtres de temps, conception de réseau
hiérarchisé, programmation linéaire, GAMS, La Poste.
Abstract: The organization of the mail concentration lays on the simultaneous and interdependant definition 1) of the sorting work made in post-offices and their sorting center and 2) of
the multiple vehicules routing problems with time windows that vary with the sorting level in
post offices. A scenario approach is used to focus only on the afternoon mail picking, that is to
perform during a very short period. Then the vehicule routings may be qualified as «wire-routings», instead of «loop-routings». A model using linear programming is given and used to solve
an actual problem (with GAMS). Then, a model generalization is done for including the possibility of including some «pre-sorting centers» between post-offices and the sorting center
(network design) and of defining the optimal vehicules float.
Key-words: multiple wire-routings with time windows, hierarchical network design, linear
programming, GAMS, Post.
1
Positionnement du problème.
La Poste est confrontée depuis plusieurs années à une concurrence accrue dans son activité
«courrier» (entreprises de messagerie, coursiers, télécopie, messagerie électronique, etc.) qui
l’oblige à s’adapter pour survivre. La recherche conjointe d’une diminution des coûts et d’une
amélioration de la qualité de service s’est effectuée, depuis une trentaine d’années, en privilégiant la réponse fournie par l’automatique, principalement dans les centres de tri. Cette piste a
été déjà largement explorée et continue de l’être. D’autres gisements de productivité sont loin
d’être épuisés, comme l’amélioration et l’intégration des systèmes d’information ou l’amélioration de l’organisation postale.
IAE de Paris (Université Paris 1 • Panthéon - Sorbonne ) - GREGOR - 1995.03 -
2
S’il est possible d’améliorer l’organisation d’une partie du système existant par une transformation de règles de gestion, ceci ne suffit pas dans une entreprise de réseau. En effet, s’y
cantonner fait courir le risque d’une double myopie :
- parce que les solutions envisagées peuvent améliorer localement la performance au prix
d’une induction de contraintes coûteuses dans d’autres centres productifs du réseau,
- parce qu’il n’est pas possible avec cette approche de remettre en cause de façon significative le système existant en s’inspirant de démarche de type reengineering (voir Hammer
et Champy, [9]).
La révision de la conception d’une partie du système productif1 ne devrait donc être possible
qu’après s’être assuré que les transformations envisagées n’ont pas d’incidence sur le reste du
système productif, cette précaution étant encore plus fondamentale pour une entreprise de
réseau. L’analyse doit donc porter sur des sous-systèmes dotés d’une certaine indépendance
décisionnelle et entretenant avec les autres sous-systèmes des relations facilement observables.
Cette indépendance est obtenue à La Poste grâce à un découplage des problèmes obtenu par
un accord (souvent peu formalisé) sur les caractéristiques des flux échangés entre centres de
production (bureau de poste, centres de tri, services de transport terrestre ou aérien). Ces
caractéristiques portent essentiellement sur des flux datés de courrier trié qui sont expédiés ou
reçus :
- le niveau de ségrégation d’un lot de courrier se définit à partir de caractéristiques tarifaires, morphologiques (dimension, lisibilité) et d’un ensemble prédéterminé de groupes
de destinations ; un lot élémentaire se définit par une combinaison de modalités de
chacune de ces trois caractéristiques, le lot élémentaire étant physiquement isolé (liasse,
etc.) ; il peut y avoir un regroupement de lots élémentaires dans un même conditionnement
de transport (sac, caissettes, conteneur, etc.), à condition que l’on puisse en extraire immédiatement les lots élémentaires qui le constitue ;
- les dates correspondent à des heures d’expédition ou de réception liées à des opérations
de transport terrestre ou aérien ;
- la caractéristique de volume du flux daté est plus complexe tout d’abord parce qu’il est
évident que les volumes sont aléatoires, ce qui oblige les centres de production à une
certaine flexibilité ; certaines de ces fluctuations se compensant, il est judicieux de décrire
chacun des flux défini pour le niveau de ségrégation retenu, sous la forme d’un échéancier
cumulé où :
• les dates utilisées sont les heures d’expédition ou de réception définies ci-dessus,
• le cumul s’effectue sur le temps, entre la première date utilisée et la date courante.
D’un point de vue opérationnel, le «périmètre d’autonomie» d’un centre est donc «circonscrit»
par l’ensemble des contraintes caractérisant les flux entrants dans ce centre et sortants de ce
centre et l’autonomie décisionnelle du centre est conditionnée par le respect de ces contraintes.
Cette technique de découplage sera d’autant plus fiable que les volumes utilisés ont une probabilité faible d’être dépassés. Si l’amélioration d’un sous-système productif vient modifier les
caractéristiques des flux échangés avec d’autres sous-systèmes productifs, alors il faut élargir le
périmètre d’étude jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de «propagation perceptible» de conséquences
des décisions étudiées. Bien évidemment, l’analyse de ces transformations organisationnelles
doit s’appuyer sur un point de vue économique, l’objectif étant de diminuer le coût de fonctionnement du système productif tout en améliorant la qualité de service.
La figure de la page suivante présente une analyse simplifiée d’un réseau postal hiérarchisé
utilisant des plateformes dont la vocation est, d’une part, de concentrer du courrier trié en provenance de bureaux de poste pour lui faire subir un tri complémentaire avant acheminement au
centre de tri et, d’autre part, de ventiler le courrier en provenance du centre de tri à destination
des bureaux de postes qui lui sont rattachés. Dans ce schéma de principe, dans lequel on a isolé
le sous-système «concentration», un nombre limité de centres est visualisé2 et les flèches corre1. Ce type d’analyse nécessite généralement une vision plus agrégée des gammes, des ressources et des règles de
gestion que celle utilisée lorsque l’analyse d’amélioration s’inscrit dans un périmètre strictement local.
3
spondent à des opérations d’acheminement mobilisant des ressources de transport terrestre ou
aérien. Mais ce schéma n’est pas seulement un schéma de transport, car les caractéristiques des
Clients
Clients Clients
Clients
Boîtes à lettres
Boîtes à lettres
Bureau de Poste
Clients Clients
Boîtes à lettres
Bureau de Poste
Plateforme
Clients
Clients
Boîtes à lettres
Bureau de Poste
Bureau de Poste
CONCENTRATION Plateforme
Centre de tri
Centre de tri
Plateforme
Bureau de Poste
Clients
Plateforme
Bureau de Poste
Clients Clients
Clients
Bureau de Poste
Clients
Bureau de Poste
Clients Clients
Clients
flux (ségrégation du courrier) varient d’un noeud à l’autre du réseau. En effet, l’une des
caractéristiques remarquables des entreprises de réseau (Giard, [6]) est l’importance des degrés
de liberté dans la localisation de certains traitements, contrairement aux entreprises classiques
dont les unités de production sont difficilement interchangeables pour des raisons techniques
(par exemple, l’emboutissage ne peut se faire que dans un atelier de presse). Pour un service
postal, il est impossible d’isoler le problème d’acheminement de celui du tri car les deux
problèmes sont très fortement interdépendants compte tenu des ressources limitées des bureaux
de poste pour traiter «à la commande» des volumes importants, des temps de transport relativement incompressibles et de l’impact du niveau de ségrégation retenu sur le volume à transporter
(les contenants ayant d’autant moins de chances d’être saturés que la ségrégation du courrier est
forte).
Les réflexions présentées ici s’attachent à l’analyse de transformations possibles du soussystème «concentration» liées à l’éventuelle introduction de plateformes. Le problème
théorique posé est celui de la détermination simultanée :
- α) des plateformes rattachées à un centre de tri, ces plateformes étant sélectionnées dans
un ensemble prédéterminé de candidats ;
- β) de l’assignation des bureaux de poste aux plateformes, chaque bureau de poste n’étant
rattaché qu’à une seule plateforme (ou, à défaut, directement au centre de tri) ;
- γ) du niveau de tri effectué dans les bureaux de poste et plateformes, ce travail ayant une
incidence sur l’heure de disponibilité du courrier trié et/ou sur les ressources mobilisées ;
- δ) du nombre de véhicules nécessaires, les véhicules dont on envisage l’utilisation étant
limités en capacité (cette capacité n’étant pas nécessairement la même pour tous les véhicules) ;
- ε) de l’assignation des bureaux de poste aux véhicules, un bureau de poste n’étant desservi
que par un véhicule1 ;
2. Un même centre joue le rôle d’émetteur ou de destinataire de flux mais les flux émis et les flux reçus sont différents. La représentation retenue est liée à un suivi des flux et autorise la duplication d’un même centre en fonction
du rôle joué (émetteur / récepteur).
1. Il est évident que si le volume à transporter excède la capacité d’un camion, le problème ne se pose que sur
l’excédent.
4
- ζ) de l’ordre dans lequel chaque véhicule dessert les bureaux de poste qui lui sont affectés,
étant entendu que l’enlèvement s’effectue, pour chaque bureau de poste dans une fenêtre
de temps (qui dépend en réalité des niveaux de tri) ; une caractéristique essentielle du
problème est que le retour du véhicule à la tête de ligne s’effectue en temps (et coût)
masqué car on ne s’intéresse ici qu’aux acheminements de fin d’après-midi (contraints
«en propagation» par les tournées aériennes entre centres de tri), ce qui rend ce problème
différent de celui des tournées multiples classiques.
Ce problème est d’une redoutable complexité mais il est modélisable par la programmation
linéaire en utilisant un mécano de formulations classiques, sauf pour le point ζ qui nous a obligé
à mettre au point un modèle spécifique de tournées qualifiées de filaires (à notre connaissance,
ce cas de figure n’ayant pas été traité dans la littérature de recherche opérationnelle). Notre
travail étant de nature exploratoire, il a fallu simplifier le problème sans le dénaturer. Les simplifications retenues sont les suivantes.
- On a supposé connue la solution des sous-problèmes α, β, ce qui revient au même que de
traiter un problème sans plateforme. En pratique, le nombre de candidats au rôle de plateforme étant très restreint, la simplification du sous-problème α n’est pas trop pénalisante
car il suffit d’explorer les quelques scénarios possibles de localisation et du nombre de
plateformes (pour l’instant le système des plateformes n’existe pour l’acheminement du
courrier dans le système postal français qu’à l’état embryonnaire) ; on présentera cependant une formalisation générale de ce problème au §4, mais celle-ci est numériquement
moins performante que l’approche des scénarios. Le rattachement de certains bureaux de
poste à une plateforme plutôt qu’à une autre (solution du sous-problème β) peut s’avérer
plus critiquable mais vraisemblablement l’incidence des erreurs d’affectation effectuée
avec «bon sens» est limitée économiquement.
- On a supposé connue en outre la solution du sous-problème γ, ce qui fixe les temps de
traitement et les fenêtres de temps de passage des véhicules (il s’agit là du scénario faisant
l’objet de l’étude). Les liens entre une plateforme et son centre de tri sont assez rigides en
ce sens que les arrivées au centre de tri se déduisent mécaniquement des flux émis par la
plateforme et du temps de transport entre ces deux localisations. Il s’ensuit (avec solutions
supposées connues pour les sous-problèmes α et β) que le problème de l’organisation
optimale de la concentration se décompose en autant de problèmes indépendants relatifs
aux sous-systèmes des bureaux de postes rattachés à une plateforme ; on peut ajouter que
d’un point de vue formel, chacun de ces problèmes est identique au problème de l’organisation d’une sous-concentration sans plateforme.
- on a donc retenu de résoudre simultanément de manière optimale les problèmes δ à ζ pour
un ensemble de bureaux de postes rattachés à une plateforme, pour un jeu d’hypothèses
de niveaux de tri effectués dans les bureaux de poste et la plateforme. Ce travail repose sur
une optimisation en univers certain, s’appuyant sur le modèle décrit au § 2-3 ; il est
évident qu’il conviendrait :
• dans un premier temps, de généraliser aux autres plateformes d’un scénario cohérent,
• dans un second temps, de vérifier la robustesse des solutions proposées dans le soussystème de la concentration (tournées filaires et tris opérés dans les bureaux de poste
et plateforme) par une étude simulatoire.
Il est évident que le travail ne devrait pas s’achever là et qu’il faut une analyse économique
suivant la technique classique du bilan différentiel (en univers certain ou en espérance mathématique) par rapport à la situation actuelle, puisque les transformations de caractéristiques de
flux déplacent la charge de travail dans l’espace et dans le temps, ce qui a des implications sur
les ressources à mobiliser dans le sous-réseau de concentration, tout comme dans le centre de
tri :
- Des approches relativement efficaces sont disponibles pour analyser l’organisation d’un
centre de tri pour faire face à une demande de traitements, pour un niveau d’équipements
donné (voir Giard & Triomphe, [7]). Elles peuvent être utilisées sans difficulté pour faire
un bilan différentiel du centre de tri entre la solution actuelle (supposée optimisée, pour
5
ne pas fausser la comparaison) et de la solution nouvelle pour déterminer la variation de
coût de fonctionnement induite dans le centre de tri.
- Le bilan différentiel de la concentration est sans doute plus difficile à opérer car il faut
regarder en détail l’impact exact, par rapport à la situation actuelle, de la variation dans le
temps et en volume de la charge de travail dans chaque bureau de poste, sur le personnel
présent. Il est à peu près certain que des estimations «à coup de standard» ne permettent
pas d’approcher les conséquences d’une telle transformation et qu’un modèle de simulation paramétrable (sur tableur en univers certain ou sur logiciel de simulation en univers
aléatoire) s’avérera nécessaire.
- Le bilan global de cette transformation passe par la consolidation du bilan différentiel du
sous-système de concentration et de celui du centre de tri.
- Le résultat du bilan différentiel est attaché à un scénario de la localisation du tri, qui influe
sur le volume transporté (le remplissage des contenants dépendant du niveau de ségrégation du courrier) et sur le travail effectué dans chaque noeud du réseau (ce qui joue sur les
fenêtres de temps). En final, il faudra comparer les bilans différentiels des scénarios
étudiés, ce qui implique que la solution de référence soit toujours la même. En pratique,
le nombre de scénarios est limité principalement par les caractéristiques des machines du
centre de tri, par l’obligation d’avoir trié le courrier urgent avant l’heure d’expédition aux
autres centres de tri et par les caractéristiques du courrier à traiter (degré de mécanisation
possible, etc.).
Ce travail exploratoire ne constitue donc qu’une étude de faisabilité méthodologique de la
partie un peu novatrice de l’organisation de tournées filaires avec contraintes de capacité et
fenêtres de temps.
2
Modélisation des tournées filaires avec contraintes de
capacité et fenêtres de temps.
Ce problème est une variante du problème de tournées multiples avec contraintes de capacité
et de fenêtre de temps. Ce dernier est dérivé du problème connu sous le nom de «problème du
voyageur de commerce» qui consiste à chercher la définition optimale d’une tournée dans n
villes différentes possibles, en ne passant qu’une seule fois dans chacune de ces villes, avant de
revenir dans la ville de départ. Pour comprendre la formulation à laquelle on aboutit, il est
préférable de repartir du problème du voyageur de commerce1.
2-1
Formulation du problème de base du voyageur de commerce par la
programmation linéaire en nombres entiers
Une formulation de ce problème est possible par la programmation linéaire en nombres
entiers (qui est la seule à autoriser toutes les extensions de modélisation nécessaires ici) où la
variable binaire xij vaut 1 si l’on part de la ville i pour se rendre dans la ville j et 0, dans le cas
contraire. Pour obtenir une tournée, il faudra :
- partir une fois et une seule de la ville i, ce qui implique :
n
∑ x ij = 1
Relation 1
j=1
- arriver une fois et une seule dans la ville j, ce qui implique :
n
∑ x ij = 1
Relation 2
i=1
1. Une bibliographie récente sur l’ensemble de ces problèmes, comportant 500 références, peut être trouvée dans
Laporte et Osman [12] qui présentent une classification générale de ces problèmes.
6
Le nombre de tournées possibles est élevé, puisqu’il y en a (n-1)!, si aucun couple «origine
- destination» n’est, a priori, exclus. L’introduction d’un critère permet de juger l’intérêt de ces
solutions alternatives. Les critères habituellement retenus sont ceux de minimisation du coût
global de la tournée (ou de la durée totale de la tournée ou de la distance totale parcourue). Si
l’on note cij, le coût (ou le temps ou la distance) du transport de i vers j, le critère à optimiser est :
Min
n
n
∑
∑ c ij x ij
Relation 3
i=1 j=1
j≠i
où la restriction j ≠ i interdit de pouvoir quitter une ville pour se rendre dans cette même ville.
Cette formulation n’empêche pas la création de plusieurs tournées partielles au lieu d’une
tournée unique globale. En effet, si l’on cherche à définir une tournée entre les 6 villes α, β, γ,
δ, ε et ζ, il est évident qu’une solution constituée des deux tournées partielles α→β→γ→α et
δ→ε→ζ→δ respecte les contraintes définies par les relations 1 et 2, puisque chaque ville ne sera
qu’une seule fois ville d’origine et une seule fois ville de destination. Plusieurs solutions sont
possibles pour prévenir la création de telles tournées partielles.
La première solution consiste à ajouter de nouvelles contraintes pour empêcher la formation
d’une tournée partielle ; par exemple, pour empêcher la formation de la tournée α→β→γ→α,
il suffit d’ajouter la contrainte xαβ + xβγ + xγα < 3. La généralisation de cette solution implique
n–1
la création de
k
∑ C n contraintes. Une solution opérationnelle alternative efficace (proposée
k=2
par Padberg & Rinaldi, [14]) consiste à :
- partir d’une formulation dans laquelle ces contraintes additionnelles sont relaxées,
- puis à examiner la solution trouvée pour lister les tournées partielles obtenues et à introduire dans la formulation du problème, les contraintes empêchant la formation de ces
tournées partielles,
- puis à résoudre le nouveau problème et à recommencer le processus si de nouvelles
tournées partielles sont apparues.
La seconde solution (due à Miller et al. [13]) est celle qui habituellement proposée. Elle se
caractérise par l’introduction de la variable θi qui s’interprète comme le rang de la ville i dans
la tournée. Si l’on définit arbitrairement la ville départ comme étant la ville 1, la dernière ville
à placer aura le rang n (et donc la plus grande différence possible entre deux rangs est n-1) ; dans
ces conditions :
- si la tournée implique de partir de i pour se rendre en j (c’est-à-dire si xij = 1), alors θi <
θj, ce qui s’écrit encore θi - θj < 0,)
- si la tournée implique de partir de i pour se rendre dans une ville différente de j (c’est-àdire si xij = 0), alors on peut avoir aussi bien θi < θj que θi >θj, ce qui peut s’écrire θi - θj
< n, puisque la différence maximale de rang entre les villes restant à placer est égale à n-1
ces deux contraintes se résument facilement par la Relation 4 dont le second membre est nul si
xij = 1 et égal à n, si xij = 0 :
θi - θj < n(1-xij), pour i ≥1, j > 1 et j ≠ i
Relation 4
On peut noter que cette relation n’est pas appliquée au dernier transport fermant la boucle (j=1)
car son application aux étapes d’une boucle implique nécessairement que l’une des paires de
deux villes successives de cette boucle conduise à avoir une valeur positive du membre gauche
et une valeur nulle du membre droit, ce qui est interdit dans cette relation.
On privilégiera ici une troisième solution, qui sera préférée à la précédente car il sera nécessaire, dans la suite, de connaître l’heure d’arrivée du véhicule dans la ville1. Il s’agit d’une variante de la solution précédente (basée sur l’idée que toute transformation monotone croissante
des θi aboutit aux mêmes résultats) qui utilise les temps de transport tij ; dans ce cas, les variables
7
θi correspondent aux heures d’arrivées dans les villes i (on pose θ1 = 0). Avec une date d’arrivée
θi et un temps de séjour obligatoire (lié à un travail de transbordement, par exemple, mais qui
peut être nul) κi à l’étape i, la date de départ de i est [θi + κi]. Dans ces conditions :
- si la tournée implique de partir de i pour se rendre en j (c’est-à-dire si xij = 1), alors la date
d’arrivée en j ne peut être inférieure au cumul de la date d’arrivée en i, augmentée du
temps de séjour en i et du temps de transport entre i et j : θj ≥ [θi + κi + tij],
- si l’on ne se rend pas en j en partant de i, il n’y a pas de relation entre θi et θj (la date θi
pouvant être aussi bien antérieure que postérieure à la date θj).
Ces deux cas de figure peuvent se décrire par la Relation 5, qui comporte une constante K arbitrairement élevée :
θ1 = 0 et [θi + κi + tij] - θj ≤ K(1 - xij), pour i ≥1, j> 1 et j ≠ i
Relation 5
Avec cette solution, il ne peut y avoir de création de tournées partielles mais, sans contrainte
additionnelle, rien n’interdit à un θj d’être supérieur à la date de départ de l’étape précédente i
augmenté du temps de transport entre i et j. Pour forcer l’égalité et conserver à θj sa signification, il faut contraindre :
- toutes les heures d’arrivée θi, et par voie de conséquence celle de la dernière étape, à être
n


κ
+
∑  i'
∑ t i' j x i' j  , diminué du

j=1
i' = 1 
temps de transport entre la ville i et la ville 1, tête de tournée ;
n
inférieures ou égales au temps de transport total
n
n


Relation 6
∑  κ i' + ∑ t i' j x i' j  - ti1, pour i > 1

j=1
i' = 1 
- toutes les dates d’arrivée θj, et par voie de conséquence celle de la première étape, à être
supérieures ou égales au temps de transport entre la ville 1, tête de tournée, et la ville j.
Relation 7
θj ≥ t1j, pour j> 1
θi ≤
Examinons maintenant la transformation de ce problème de base en un problème de détermination optimale de tournées multiples. Ce problème se rencontre classiquement lorsqu’on
organise plusieurs tournées de distribution (ou de ramassage) à partir (ou à destination) d’un
même dépôt.
2-2
Création de tournées multiples à partir d’une même ville, avec
contraintes de capacité et fenêtres de temps.
Le problème de l’organisation de tournées à partir d’un même dépôt est une variante du
problème précédent (voir [4] et [11]). Il consiste à définir q tournées, partant toutes de la même
ville (par convention ici, la ville 1), étant entendu que toutes les autres villes doivent être visitées
une fois et une seule. Cette définition de tournées doit tenir compte en outre :
- de la contrainte de capacité (exprimée en volume ou en poids ou en unité d’oeuvre) à
laquelle est assujetti chacun des véhicules, repérés par l’indice h, effectuant une tournée ;
chaque véhicule se caractérise par sa capacité uh et chaque ville visitée, par une utilisation
de capacité υ i associée au chargement de marchandises toutes en provenance (ou à destination) du dépôt (il n’y a donc pas de transbordement à effectuer dans la ville du dépôt) ;
le problème étudié porte soit globalement sur des livraison, soit globalement sur des
enlèvement mais ne mélange pas les deux1 ;
1. Cette formulation est voisine de celle proposée par Boden et Goldberg [1] ; elle prend en compte les temps de
chargement ou de déchargement et, surtout, conserve à tous les ti le statut d’heure de départ exact (et non de
borne supérieure de cette heure de départ pour un sous-ensemble de villes de fin de tournées).
1. La formulation du problème mixte peut être trouvée dans Desrochers et al. [4] et Derosiers et al. [5] et la
complexité de cette formulation, dans Tsitsiklis [16].
8
- des contraintes de respect des heures d’ouverture des dépôts de destination.
Les variables de commande du problème (xij) comportent en plus l’indice h ; cette variable
binaire xijh vaut 1 seulement si le camion h part de i pour se rendre en j et vaut 0, dans le cas
H
contraire (ce qui conduit à retenir la liaison i vers j lorsque ∑ x ijh = 1 ). Dans ces conditions,
h=1
la fonction-objectif (relation 3) doit être remplacée la Relation 8 :
n
n
Min ∑
H
∑ c ij ∑ x ijh
i=1 j=1
j≠i
Relation 8
h=1
Pour obtenir q tournées partant de la ville 1, il faut transformer les relations 1 et 2, en imposant, pour cette seule ville, d’avoir q villes de destination et d’être elle-même ville de destination
à partir de q autres villes. On obtient alors les relations 9 à 12.
- partir q fois de la ville 1 (avec q ≤ H) :
n
H
∑
∑ x 1 jh = q
Relation 9
j = 2h = 1
- partir une fois et une seule de chaque ville i autre que la ville 1 (cette ville 1 restant une
destination j possible) :
H
n
∑ x ijh = 1 , pour i > 1 et i ≠ j
∑
Relation 10
j = 1h = 1
- arriver q fois dans la ville 1 :
n
H
∑ ∑ x i1h = q
Relation 11
i = 2h = 1
- arriver une fois et une seule dans chaque ville j autre que la ville 1 (cette ville 1 restant
une origine j possible) :
H
n
∑ ∑ x ijh = 1 , pour j > 1
Relation 12
i = 2h = 1
- il faut en outre s’assurer que le camion h qui part d’une ville k est bien celui qui y est
arrivé, ce que force la Relation 13 :
n
n
∑ x ikh = ∑ x kjh , pour k = 1 à n et h = 1 à H
i=1
Relation 13
j=1
Il faut également forcer le respect de la contrainte de capacité de chaque camion ; ceci est
n
réalisé par la relation 14, dans laquelle ∑ x ijh = 1 implique que le camion h passe par la ville
j=1
i:
n
n
i=2
j=1
∑ υ i ∑ x ijh ≤ u h , pour h = 1 à H
Relation 14
On peut ajouter qu’il n’y a pas lieu de créer de variables xijh, dès lors que le chargement cumulé
des villes i et j excède la capacité du camion uh, c’est-à-dire que υ i + υ j > u h .
9
La relation 5 qui oblige l’heure d’arrivée dans une ville à être postérieure à celle de départ de
la ville précédente doit être adaptée au cas de tournées multiples ; il suffit de tenir compte du
H
fait que ∑ x ijh = 1 si le véhicule partant de i se rend en j, ce qui conduit à la relation 15.
h=1
θ1 = 0 et [θi + κi + tij] - θj ≤ K(1 -
H
∑ x ijh ), pour i ≥1, j> 1 et j ≠ i
Relation 15
h=1
Dans une ville i, on supposera qu’il n’est possible d’effectuer un transbordement que sur la
fenêtre de temps [ θ min , θ max ] , cette fenêtre étant supposée unique1. Ces contraintes s’écrivent :
i
i
θ min ≤ θ i et θ i ≤ θ max , pour i > 1
i
i
Relation 16
et remplacent les relations 6 et 7 de la page 7 car, d’un point de vue numérique, il n’y a plus lieu
d’imposer que le temps de la tournée soit strictement une somme de temps de transport et de
chargement ; dans le cas contraire, il faut ajouter à la relation 16, la relation 17 :
θi ≤
2-3
n
H


κ
+
∑  i'
∑ t i' j ∑ x i' jh  - ti1, pour i > 1 et θj ≥ t1j, pour j> 1

h=1
i' = 1 
j=1
n
Relation 17
Adaptation du modèle précédent aux tournées multiples filaires.
Un certain nombre de problèmes de transport se caractérisent par l’acheminement de marchandises à destination (ou en partance) d’une localisation vers un ensemble de localisations mais,
à la différence du problème de tournées multiples, le temps de transport pour se rendre de la
dernière localisation desservie par le véhicule, à la localisation initiale n’a aucune incidence sur
la performance de la solution. Ce cas de figure se rencontre dans des problèmes très contraints
par le temps comme on en rencontre, par exemple, dans l’acheminement postal en provenance
de bureaux de postes et à destination du centre de tri auxquels ces bureaux de poste sont
rattachés ; en effet, dans ce problème, le retour au bureau de poste initial (ou à tout autre «tête
de tournée») s’effectue en temps masqué. La généralisation du juste-à-temps fait que des
problèmes similaires se posent de plus en plus dans la distribution des marchandises.
La solution de ce problème passe par une adaptation du modèle introduit au § 2-2. Elle passe
par la création d’une localisation fictive (i = n+1) se trouvant à une distance nulle de toutes les
localisations (2 ≤ i ≤ n) et qui joue un rôle symétrique de la localisation «tête de tournée filaire»:
tous les camions en partent, tout comme tous les camions arrivent à la «destination finale de
tournée filaire» (voir illustration page 11). Dans ces conditions, il suffit d’adapter les variables
et les relations 8 à 12, ce qui donne :
- les variables pertinentes du problème posé sont données dans le tableau suivant (qui
permet également de visualiser les ensembles utilisés dans les sommations des relations
qui suivent) :
- les villes d’origine de la fonction à optimiser comportent maintenant la localisation fictive
et pas la «destination finale de tournée filaire» :
n+1
Min ∑
n
H
∑ c ij ∑ x ijh
i=2 j=1
j≠i
Relation 18
h=1
- arriver q fois dans la localisation «destination finale de tournée filaire» (j = 1), la localisation fictive «tête de tournée filaire» (i = n+1) étant exclue comme origine possible:
1. Dans le cas contraire, il suffit de travailler en relaxant les contraintes de fenêtres de temps, puis de vérifier que
les contraintes relaxées sont respectées et, seulement dans la négative, d’introduire les contraintes que la solution
relaxée viole.
10
Tableau 1 :
Destination
Origine
1
(«destination finale
de tournée filaire»)
1
2
... i ...
n
n+1
(«tête de tournée
filaire»)
2
... j ...
n
x2,1h
... xi1h ...
xn1h
... xi2h ...
xn2h
... x2jh ...
... xijh ...
... xnjh ...
x2nh
... xinh ...
xn+1,1h
xn+1,2h
... xn+1,jh ...
xn+1,nh
n
n+1
filaire»)
H
∑ ∑ x i1h = q
Relation 19
i = 2h = 1
- arriver une fois et une seule dans chaque ville j autre que la localisation «destination finale
de tournée filaire» (j = 1), laquelle est exclue comme origine possible, et de la localisation
fictive «tête de tournée filaire» (j = n+1), laquelle reste autorisée comme origine possible :
n+1 H
∑ ∑ x ijh = 1 , pour 1 < j < n + 1 et i ≠ j
Relation 20
i = 2h = 1
- partir q fois de la localisation fictive «tête de tournée filaire» (i = n+1), à destination d’une
autre ville que celle qui est «destination finale de tournée filaire» (j = 1)1 :
n
H
∑
∑ x n+1, jh = q
Relation 21
j = 2h = 1
- partir une fois et une seule de chaque ville i autre que la localisation «destination finale de
tournée filaire» (i = 1), laquelle reste autorisée comme destination, et la localisation fictive
«tête de tournée filaire» (i = n+1), laquelle est exclue comme destination :
n
∑
H
∑ x ijh = 1 , pour 1 < i < n + 1 et i ≠ j
Relation 22
j = 1h = 1
Ces contraintes ne suffisent pas, il faut reprendre les autres contraintes du problème décrit au
§ 2-2, à savoir :
- la contrainte permettant de s’assurer que c’est bien le même camion qui arrive et part
d’une même ville (relation 13), en faisant varier k seulement de 2 à n, ce qui donne la relation 23 :
n+1
n
∑ x ikh = ∑ x kjh , pour k = 2 à n et h = 1 à H
i=2
Relation 23
j=1
- la contrainte forçant à respecter la capacité de chaque camion (relation 14),
1. Il peut être toutefois plus efficace numériquement d’accepter plus de contraintes pour faciliter l’exploration
n
combinatoire, en remplaçant la relation 21 par :
∑ x n+1, jh ≤ 1 , pour h = 1 à H (l’inégalité ≤ pouvant être transj=2
formée en inégalité stricte < si l’on impose l’utilisation de tous les véhicules, comme c’est le cas avec la relation
n
21) ; cette transformation implique en outre de remplacer la relation 19 par :
n
∑ x n+1, jh = ∑ x i1h
j=2
i=2
11
- les contraintes forçant à respecter les fenêtres de temps (relation 16) sont conservées mais
celles destinées à calculer les heures de passage et à empêcher tout circuit (relation 15)
doivent être adaptées :
H
θn+1 = 0 et [θi + κi + tij] - θj ≤ K(1 - ∑ x ijh ), pour 1< i ≤ n+1, 1≤ j <n+1 et j ≠ iRelation 24
h=1
- si l’on veut toujours conserver à θj la signification d’une d’arrivée au plus tôt, il faut
ajouter la relation 25 (il s’agit d’une adaptation de la relation 17, qui ne s’impose pas d’un
simple point de vue numérique) :
θi ≤
3
n
n
H


∑  κ i' + ∑ t i' j ∑ x i' jh 

h=1
i' = 1 
j=1
- ti1, pour 1< i ≤ n+1
Relation 25
Exemple d’application.
Nous allons illustrer l’utilisation du modèle du § 2-3 par l’étude de la collecte du courrier sur
le département de l’Essonne en France. Pour répondre à la logique de traitement du courrier en
flux tiré à partir du centre de tri, une solution consiste à créer des plates-formes permettant
d’homogénéiser la présentation du courrier. Il faut alors déterminer le nombre de plates-formes
et leur zone d’action. Comme on le verra au § 4-2, ce problème peut être résolu de façon optimale. Afin de se limiter ici au problème du transport, on a fixé arbitrairement le nombre de
plates-formes et les bureaux qui y sont rattachés, en étudiant différents scénarios.
Il existe 90 bureaux de poste assurant la collecte du courrier dans le département de
l’Essonne. Compte tenu de la géographie du département le nombre de plates-formes ne peut
être inférieur à cinq. L’une d’entre-elles est située à Arpajon. Nous lui avons affecté 18 bureaux
pour des raisons de proximité et de topographie. Ces mêmes critères justifient le rattachement
des bureaux restant aux quatre autres plates-formes. Le problème posé par la concentration sur
Arpajon est bien un problème de tournées filaires car chaque camion part d’un bureau de poste
non prédéterminé, dessert d’autres bureaux de poste (non prédéterminés) et achemine le courrier
vers cette plate-forme en respectant des contraintes de fenêtres de temps, de capacité ; en outre,
il n’y a pas dans ce schéma d’exploitation postale de retour au point de départ dans la plage de
temps «tendue» considérée.
3-1
Le problème posé.
Pour résoudre ce programme de recherche opérationnelle, nous avons utilisé le logiciel
qui s’appuie sur une séparation du modèle et des données et offre la possibilité d’une
description algébrique aisée (voir Brooke et al. [2]), le solveur utilisé étant OSL (voir le
programme et les données au § 6). L’objectif est de minimiser la distance totale parcourue pour
collecter le trafic des 18 bureaux vers la plate-forme d’Arpajon (une fonction de coût aurait pu
être utilisée mais sans rien changer au problème).
GAMS
Les contraintes horaires sont définies par des fenêtres de temps. L’heure de passage au plus
tôt dans les bureaux correspond à l’heure limite de dépôt, opposable aux clients, augmentée du
temps de traitement du courrier dans le bureau. Ce temps est conditionné par le niveau de tri
réalisé dans les bureaux (comme expliqué au § 1). Pour simplifier cet exemple, l’heure limite
inférieure retenue pour l’ensemble des bureaux concernés est 16h. L’heure de passage au plus
tard se déduit mécaniquement de la contrainte imposée par la plate-forme. L’heure limite
d’arrivée à la plate-forme diminuée du temps de trajet entre celle-ci et le bureau concerné détermine la limite supérieure de la fenêtre de temps. Un temps forfaitaire de chargement est défini
pour chaque bureau en fonction du trafic.
Les contraintes de capacité sont dépendantes du trafic collecté et de la capacité des véhicules
disponibles (la capacité utilisée est la même pour tous les camions). Le trafic se mesure en
12
nombre de structures contenant des caissettes (ou des bacs) de courrier car dans le département
de l’Essonne, le courrier est entièrement conteneurisé. Chaque caissette (ou bac) contient un
flux unique de courrier défini par des caractéristiques morphologiques, géographiques et tarifaires. Le volume de courrier collecté dans un bureau dépend donc du nombre de séparations
qui lui est demandé. Ce nombre sera fonction des hypothèses retenues sur le niveau de tri dans
les bureaux (comme expliqué au § 1). On a utilisé un distancier entre les établissements
concernés. L’ensemble des données utilisées est fourni au § 6.
3-2
Résultats.
LA VILLE DU BOIS
MARCOUSSIS
LIMOURS
MONTLHERY
BRIIS
FORGES
EGLY
BP FICTIF
ARPAJON
BRUYERES
MAROLLES
BOISSY
St VRAIN
BREUILLET
St CHERON
BOURAY
CHAMARANDE
DOURDAN
LARDY
ETRECHY
Le nombre de véhicules est une variable exogène à cette étape du modèle. Pour obtenir le
résultat optimal qui va être décrit dans ce paragraphe, on a fait varier le nombre de véhicules
jusqu’ à satisfaction des contraintes horaires et de capacité. Le résultat optimal obtenus sont
donnés à la page suivante. Le programme généré par GAMS comporte 514 équations et 1613
variables. La solution est constitué de quatre tournées filaires totalisant 85 kilomètres. Pour la
première tournée, par exemple, le camion passe à Dourdan à 16h, heure de passage au plus tôt
et en repart à 16h10 après 10 minutes de chargement et il arrive à Saint Chéron à 16h19 après
avoir parcouru 9 Km (vitesse théorique de 60 km/H). Cet horaire respecte la fenêtre de temps
définie entre 16h et 18h20. En réalité, pour les valeurs de dates de départ ont été recalculées au
plus tôt car la relation 25 n’a pas été utilisée ; cette «sophistication» (coûteuse en temps de
calcul) ne s’imposait pas vraiment, dans une perspective de système interactif d’aide à la décision visant à négocier les contraintes de fenêtres de temps.
En effet, l’un des intérêts du modèle réside dans l’interactivité de son utilisation :
- les résultats laissant apparaître une concentration précoce de l’arrivée des camions à la
plate-forme d’Arpajon, il est possible de retarder l’heure limite supérieure de passage
dans certains bureaux afin d’améliorer l’offre de service, ce qui est indispensable dans le
cadre d’une chrono-compétition exacerbée ;
- le faible taux global de remplissage de certains camions permet éventuellement d’envisager l’utilisation de véhicule à capacité réduite et de réaliser ainsi une économie sans
modifier le résultat de l’optimisation en terme kilométrique.
Les données utilisées sont des moyennes annuelles, ce qui convient pour un modèle en
univers certain. Bien évidemment, ce type d’étude doit être complétée par une simulation en
univers aléatoire, afin de tester la robustesse de la solution retenue. Signalons enfin que pour
IAE de Paris (Université Paris 1 • Panthéon - Sorbonne ) - GREGOR - 1995.03 N° de
ligne
Bureau
Heure limite
inférieure
Heure de
passage
Heure limite
supérieure
Distance
parcourue
(Km)
1
Dourdan
16H
16H
18H20
0
1
St Chéron
16H
16H19
18H20
9
1
Breuillet
16H
16H29
18H20
14
1
Boissy
16H
16H37
18H20
17
1
Arpajon
16H40
16H48
19H
23
2
Etréchy
16H
16H
18H20
0
2
Chamarande
16H
16H10
18H20
5
2
Lardy
16H
16H20
18H20
10
2
Bouray
16H
16H27
18H20
12
2
St Vrain
16H
16H38
18H20
18
2
Marolles
16H
16H46
18H20
21
2
Arpajon
16H40
16H58
19H
28
4
Marcoussis
16H
16H
18H20
0
3
La VDB
16H
16H10
18H20
5
3
Montlhéry
16H
16H17
18H20
7
3
Arpajon
16H40
16H33
19H
13
4
Limours
16H
16H
18H20
0
4
Forges
16H
16H09
18H20
4
4
Briis
16H
16H16
18H20
6
1
Bruyères
16H
16H30
18H20
15
4
Egly
16H
16H39
18H20
19
4
Arpajon
16H40
16H46
19H
21
13
Taux
d’occupation du
camion
83%
100%
66%
83%
résoudre des problèmes de taille plus conséquente, deux simplifications limitant numériquement le problème ont été testées avec succès :
- utiliser un échéancier ne retenant, pour chaque bureau, que le tiers ou la moitié des
bureaux les plus proches ;
- partir de fenêtres de temps larges (relaxation «molle» de ces contraintes) et à le resserrer
en cas de violation de ces contraintes.
4
Extensions du modèle.
La généralisation du modèle proposé au § 2-3, peut s’effectuer en deux étapes : intégration
de la détermination optimale du parc (§ 4-1) et celle de la localisation des plateformes (§ 4-2).
4-1
Détermination du parc optimal.
Dans le problème de la détermination optimale des tournées avec contraintes de capacité et
fenêtres de temps présenté au § 2-2, il est possible de supprimer les relations 9 et 11, c’est-àdire de ne pas fixer a priori le nombre de véhicules utilisés pour déterminer le nombre de véhicules qui minimise le coût total (ce nombre étant souvent 1) ; il suffit de les remplacer par la
Relation 26 :
IAE de Paris (Université Paris 1 • Panthéon - Sorbonne ) - GREGOR - 1995.03 n
H
n
∑ ∑ x i1h = ∑
i = 2h = 1
14
H
∑ x 1 jh
Relation 26
j = 2h = 1
Dans le cas de tournées filaires, cette relation 26 doit être adaptée, ce qui donne :
H
n
n
∑ ∑ x i1h = ∑
i = 2h = 1
H
∑ x n+1, jh
Relation 27
j = 2h = 1
Ce remplacement ne présente d’intérêt réel que si l’on ajoute dans la fonction de coût utilisée
les charges fixes des véhicules utilisés, lesquelles peuvent se définir comme une quote-part
(calculée sur la période implicitement retenue dans le problème posé, pour être compatible avec
les coûts variables proportionnels) de l’amortissement et de l’entretien des véhicules utilisés
ainsi que de charges salariales des conducteurs de ces véhicules.
Cette transformation implique :
- la création des variables binaires yh associées aux véhicules disponibles pour les tournées
(yh = 1 si le véhicule h est mis en service et yh = 0, dans le cas contraire) ;
- l’introduction de contraintes pour forcer la variable yh à prendre la valeur 1 si véhicule h
est mis en service, ce qui est obtenu par la relation 28 dont le second membre est nécessairement supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1 :
yh ≥
n
∑ x i1h ⁄ n , pour h = 1 à H
Relation 28
i=2
- l’introduction de la charge fixe gh dans la fonction-objectif si le véhicule h est mis en
service, ce qui se traduit par une transformation de la relation 8, qui devient :
n+1 n
H
H
Min ∑ ∑ c ij ∑ x ijh + ∑ g h y h
i=2j=1
4-2
h=1
Relation 29
h=1
Détermination optimale des plateformes à retenir.
La généralisation du problème à la détermination optimale des plateformes choisies dans un
ensemble de m plateformes possibles, repérées par l’indice p s’inspire de la démarche développée au § 4-1. Elle est donnée à titre indicatif car il semble évident que la démarche des
scénarios contrastés soit numériquement préférable, pour des raisons exposées en page 4.
Cette transformation implique :
- les variables de commande xijh doivent être adaptées, pour tenir compte du fait qu’il existe
maintenant plusieurs «destinations finales de tournée filaire» ; les variables pertinentes du
problème posé sont données dans le tableau suivant (qui permet également de visualiser
les ensembles utilisés dans les sommations des relations qui suivent) :
- la création des variables binaires zp associées aux plateformes possibles (zp = 1 si la plateforme p est mis en service et zp = 0, dans le cas contraire) ;
- l’introduction de la charge fixe1 wp dans la fonction-objectif si la plateforme p est mise en
service, ce qui se traduit par une transformation de la relation 29, qui devient :
1. La transformation en une fonction intégrant en outre une charge variable proportionnelle ou non à l’importance
des flux traités ne pose guère de problème (voir [15]) mais cette complication ne semble pas essentielle ici. En
outre, cette charge fixe intègre implicitement ici le coût du transport de la plateforme au centre de tri ; là encore,
il est possible de compliquer le modèle si cela s’avère indispensable.
15
Tableau 2 :
Destination
Origine
k=1àm
1àm
m+1
... i ...
n
n+1
filaire»)
xm+1,kh
... xikh ...
xnkh
Min
∑
H
n
... j ...
... xm+1, jh ...
... xi,m+1,h...
... xijh ...
xn,m+1,h
... xnjh ...
xn+1,kh
n+1
m+1
xn+1,m+1,h
... xn+1, jh ...
H
m
∑ c ij ∑ x ijh + ∑ g h y h + ∑ w p z p
i = m+1j = 1
h=1
h=1
n
n+1
filaire»)
xm+1,nh
... xinh ...
xn+1,nh
Relation 30
p=1
- la relation 27 doit être adaptée pour que le nombre total de véhicules qui part du bureau
fictif soit égal à celui qui arrive dans l’ensemble des plateformes :
n
H
∑
∑ x n +1, jh =
n
m
H
∑
∑
∑ x ijh
Relation 31
i = m + 1 j = 1h = 1
j = m + 1h = 1
- il faut arriver une fois et une seule dans chaque ville j autre que la localisation fictive «tête
de tournée filaire» (j = n+1) et les «destinations finales de tournée filaire» (j = 1 à m), les
localisations «destinations finales de tournée filaire» étant exclues comme origine
possible ; cette adaptation de la relation 20 donne :
H
n+1
∑ x ijh = 1 , pour m + 1 ≤ j ≤ n
∑
Relation 32
i = m + 1h = 1
- il faut aussi partir une fois et une seule de chaque ville i autre que la localisation fictive
«tête de tournée filaire» (i = n+1) et les «destinations finales de tournée filaire» (i = 1 à m),
la localisation fictive «tête de tournée filaire» étant exclue comme destination ; cette adaptation de la relation 22 donne :
n
∑
H
∑ x ijh = 1 , pour m + 1 ≤ i ≤ n
Relation 33
j = 1h = 1
- la contrainte de capacité (relation 14 de la page 8) reste inchangée,
- les contraintes de fenêtres de temps (relation 16 de la page 9) restent inchangées,
- les contraintes forçant l’heure d’arrivée dans une ville à être postérieure à l’heure de
départ de la ville précédente, augmentée du temps de transport entre ces deux villes (relation 24 de la page 11), doivent être adaptées :
H
θn+1=0 et [θi+κi+tij] - θj ≤ K(1 - ∑ x ijh ), pour m< i ≤ n+1, 1 ≤ j <n+1 et j≠i Relation 34
h=1
5
Bibliographie.
[1]
L. Bodin, B. Goldberg, «Classification in vehicle routing and scheduling», networks,
1988, n° 11, pp 97-108.
[2]
A. Brooke, D. Kendrick & A. Meeraus, GAMS : a user guide, The Scientific Press, 1988.
16
[3]
N. Curien et al., Economie et management des entreprises de réseau, Economica, 1992.
[4]
M. Desrochers, J. K. Lenstra & M. W. P. Savelsbergh, «Vehicle Routing with Time
Windows: Optimization and Approximation», in Golden & Assad, [8], pp. 65-84.
[5]
J. Desrosiers, M. Sauvé & F. Soumis, «Lagrangian relaxation methods for solving the
minimum fleet size multiple traveling salesman problem with time windows», Management Scinece, vol 34, n° 8, pp.1005-1022, Août 1988
[6]
V. Giard, «Gestion de production et entreprises de réseau», La lettre du Manager de
Réseau, n°5, pp. 2-6, 1er trimestre 1994.
[7]
V. Giard & C. Triomphe, «Investissement et flexibilité organisationnelle», papier de
recherche 94.01 du GREGOR (centre de recherche de l’IAE de Paris), à paraître dans
RAIRO, AFCET, Paris.
[8]
J. B. Golden & A. A. Assad, Vehicule routing: Methods and studies, Elsevier North
Holland, 1988.
[9]
M. Hammer & J. Champy, Le reengineering, Dunod, 1993.
[10] H. L. Lawler, J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kan & D. B. Shmoys, The traveling
salesman problem - a guided tour of combinatorial optimization, Wiley, 1985.
[11] G. Laporte, «The vehicule routing Problem: an overview of exact and approximate algorithms», European Journal of Operational Research, n°59, pp. 345 - 358, 1992.
[12] G. Laporte, L. H. Osman, «Routing problems; a bibliography», working paper CRT 9452, Centre for Research on Transportation, Université de Montreal, Québec, Canada.
[13] C.E. Miller, A. W. Tucker & R. A. Zemlin, «Integer programming formulations and traveling salesman problems», Journal of the association for Computing Machinery, Vol. 7,
1960, pp. 326-329.
[14] M. Padberg & G. Rinaldi, «optimization of a 532-city Symmetric Travelling Salesman
Problem by branch and cut», OR letters, Vol 6, n°1, 1987, cité dans Schrage [15], p.233.
[15] L. Schrage, LINDO : an optimization modeling system, 4th edition, The Scientific Press,
1991.
[16] J. N. Tsitsiklis, «Special cases of traveling Salesman and Repairman Problems with Time
Windows», Networks, vol. 22, pp. 263-282, 1992.
6
Annexe : le programme GAMS.
SETS
i Localisations avec bureau fictif et centre de tri /Arpaj,Boiss, Boura,Breui,Briis,Bruye,Chama,
Dourd,Egly,Etrec,Forge,Lavil, Lardy,Limou,Marco,Marol,Montl,StChe,StVra,BPFIC/
a(i) Localisations hors bureau fictif et centre de tri /Boiss,Boura, Breui,Briis,Bruye,Chama,
Dourd,Egly,Etrec,Forge,Lavil,Lardy,Limou, Marco,Marol,Montl,StChe,StVra/
b(i) Localisations hors bureau fictif /Arpaj,Boiss,Boura,Breui,Briis,Bruye,Chama,Dourd,Egly,Etrec,Forge,
Lavil,Lardy,Limou,Marco,Marol,Montl,StChe,StVra/
c(i) Localisations hors centre de tri/Boiss,Boura,Breui,Briis,Bruye,Chama,Dourd,Egly,Etrec,Forge,Lavil,Lardy,Limou,Marco,Marol,Montl,StChe,StVra,BPFIC/
cam Camion /1*4/
ALIAS(i,j,p);
PARAMETERS
HI temps de passage au plus tot dans chaque bureau
HS temps de passage au plus tard dans chaque bureau
17
D Distance entre i et j
U Capacite de chaque camion
TTRAJ Temps de trajet entre i et j
TARRET Temps de chargement de chaque bureau
TRAF Chargement en provenance de chaque bureau
HI(i) /Arpaj 1000,Boiss 960,Boura 960,Breui 960, Briis 960,Bruye 960,Chama 960,Dourd 960,Egly 960,
Etrec 960,Forge 960, Lavil 960, Lardy 960, Limou 960, Marol 960, Marco 960, Montl 960, StVra 960, StChe
960, BPFIC 960/
HS(i) /Arpaj 1200, Boiss 1100, Boura 1100, Breui 1100, Briis 1100, Bruye 1100, Chama 1100, Dourd 1100,
Egly 1100, Etrec 1100, Forge 1100, Lavil 1100, Lardy 1100, Limou 1100, Marco 1100, Marol 1100, Montl
1100, StChe 1100, StVra 1100, BPFIC 960/
VARIABLES
X vaut 1 si liaison entre i et j est prise en charge par le vehicule CAM
Z fonction objectif
T date d’arrivee dans chaque bureau;
BINARY VARIABLE X;
EQUATIONS
DIST distance minimum de la fonction objectif
SUC vérifie que chaque bureau a un successeur (relation 22 de la page 10)
ANT vérifie que chaque bureau a un antécedent (relation 20 de la page 10)
VEHIC vérifie que c’est le même vehicule qui arrive et repart d’un bureau (relation 23 de la
page 10)
CAPA vérifie que la capacité d’un véhicule n’est pas depassée (relation 14 de la page 8)
CTC vérifie que chaque camion arrive bien au centre de tri (relation 19 de la page 10)
FICTIF verifie que chaque camion parte bien du bureau fictif (relation 21 de la page 10)
FENETRE1 impose l’heure limite inférieure de relevage (relation 16 de la page 9)
FENETRE2 impose l’heure limite supérieure de relevage (relation 16 de la page 9)
FENETRE3 impose heure de depart > heure d’arrivee + temps de chargement (relation 24
de la page 11)
DIST .. Z=E= SUM ((c(i),b(j),cam), D(i,j)*X(cam,i,j));
SUC(a(i)) .. SUM((b(j),cam),X(cam,i,j)) =E=1;
ANT(a(j)) .. SUM((c(i),cam),X(cam,i,j)) =E=1;
VEHIC(cam,a(p)) .. SUM(c(i), X(cam,i,p))- SUM (b(j), X(cam,p,j))=E=0;
CAPA (cam) .. SUM(a(i),(TRAF(i)*SUM(b(j),X(cam,i,j))))=L=U(cam);
CTC .. SUM((cum,a(i)),X(cam,i,"arpaj"))=E=4;
FICTIF .. SUM((cum,a(j)),X(cam,"BPFIC",j))=E=4;
FENETRE1(i) .. T(i)=G= HI(i);
FENETRE2(i) .. T(i) =L= HS(i);
FENETRE3(c(i),b(j)) .. T(i)+TARRET(i)+TTRAJ(i,j)- T(j)=L= 5000*(1-SUM(cam,X(cam,i,j)));
MODEL TOURFIL/all/;
*DONNEES
PARAMETERS
U(cam) /1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6/
TARRET(i) /Arpaj 0,Boiss 5,Boura 5,Breui 5,Briis 5,Bruye 5,Chama 5,Dourd 10,Egly 5,Etrec 5,Forge
5,Lavil 5,Lardy 5,Limou 5,Marco 5,Marol 5,Montl 10,StChe 5,StVra 5,BPFIC 0/
18
TRAF(i) /Arpaj 0,Boiss 1,Boura 1,Breui 1,Briis 1,Bruye 1,Chama 1,Dourd 2,Egly 1,Etrec 1,Forge 1,Lavil
1,Lardy 1,Limou 1,Marco 1,Marol 1,Montl 2,StChe 1,StVra 1/;
TABLE D(i,j)
Arpaj
Boiss
Bour
Breu
Briis
Bruye
Chama
Dourd
Egly
Etrec
Forge
Lavil
Lardy
Limou
Marco
Marol
Montl
StChe
StVra
BPFICTIF
Arpaj
100
06
10
07
12
05
14
21
02
14
14
08
12
17
09
07
06
12
10
00
Boiss
06
100
10
03
14
05
11
17
06
08
16
14
08
19
15
07
12
08
10
00
Bour
10
10
100
13
24
15
07
26
10
08
26
18
02
29
19
08
16
17
06
00
Breu
07
03
13
100
11
05
14
14
05
11
13
15
11
16
16
10
13
05
13
00
Briis
12
14
24
11
100
09
25
18
13
19
02
16
22
05
11
21
14
10
24
00
Bruye Chama Dour
05
14
21
05
11
17
15
07
26
05
14
14
09
25
18
100
16
19
16
100
23
19
23
100
04
14
19
13
05
18
11
26
16
13
22
29
13
05
25
14
30
16
14
23
29
12
15
24
11
20
27
10
14
09
19
13
27
00
00
00
Egly
02
06
12
05
13
04
14
19
100
14
15
10
12
18
11
07
08
10
10
00
TTRAJ(i,j)=1*d(i,j);
OPTION RESLIM=600;
OPTION ITERLIM = 1000000;
OPTION OPTCR=0.1;
OPTION MIP=OSL;
SOLVE TOURFIL USING MIP MINIMIZING Z;
Etrec
14
08
08
11
19
13
05
18
14
100
21
22
10
24
23
15
20
09
14
00
Forge
14
06
26
13
02
11
26
16
15
21
100
16
24
04
13
23
16
12
25
00
Lavil
08
14
18
15
16
13
22
29
10
22
16
100
20
20
05
15
02
20
18
00
Lardy Limou Marco Marol Montl StChe StVra
12
17
09
07
06
12
10
08
19
15
07
12
08
10
02
29
19
08
16
17
06
11
16
16
10
13
05
13
22
05
11
21
14
10
24
13
14
14
12
11
10
15
05
30
23
15
20
14
13
25
16
29
24
27
09
27
12
18
11
07
08
10
10
10
24
23
15
20
09
14
24
04
13
23
16
12
25
20
20
05
15
02
20
18
100
27
21
10
18
16
08
27
100
15
24
18
15
27
21
15
100
16
03
21
19
10
24
16
100
13
15
03
18
18
03
13
100
18
16
16
15
21
15
18
100
18
08
27
19
03
16
18
100
00
00
00
00
00
00
00
1995.03
Organisation de la concentration du courrier :
définition des tournées filaires et du niveau de
ségrégation du courrier
Vincent Giard, Roland André & Jacques Le Guluche
Les papiers de recherche du GREGOR sont accessibles
sur INTERNET à l’adresse suivante :
http://www.univ-paris1.fr/GREGOR/
Secrétariat du GREGOR : Claudine DUCOURTIEUX ([email protected])
20

Organisation de la concentration du courrier : définition des

Transcription

Documents pareils

FICHE DE POSTE : CONDUCTEUR PL

Agent de distribution postale

Jean-Marie BIGARD Didier GUSTIN Marc JOLIVET Jean

chauffeur livreur de marchandises

Centre de tri de LA POSTE à Saint-Ouen

gaspard mary poppins

Christelle GALLEGO

Les métiers de la poste