Estimation de la fiabilité

Gestion des opérations de maintenance
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Cours 10 & 11: Estimation et amélioration de la fiabilité
Pascal CLÉMENT, ing., M. ing.
Département de génie mécanique
ÉTS
Cours 10 & 11: Estimation et amélioration de la fiabilité
• Estimation des lois de fiabilité
par les méthodes graphiques
Loi exponentielle
Loi de Weibull
• Décomposition d’un système
• Configurations en série, en
parallèle et mixte
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Estimation de la fiabilité – Méthodes graphiques
Calcul du
De la fonction cumulative de hasard (évolution du taux de
défaillance) ou
Du pourcentage cumulatif de défaillances (fonction de répartition)
L'application de l'une de ces fonctions sur des papiers graphiques à
échelle fonctionnelle, appropriés à chaque loi donne une droite si
la loi est la bonne.
F ( x)
f (x)
1.0
P( x ≤ a)
x=a
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Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle
Méthode pouvant être utilisée quelque soit le type de données.
Méthodologie:
Classer les échantillons par ordre croissant de durée de
vie (TBF).
Attribuer des rangs k à chaque échantillon correspondant
à ces TBF dans l'ordre inverse.
Calculer la valeur de hasard = 100/k pour chaque rang k
des éléments défaillants seulement
Calculer les valeurs de hasard cumulatif.
Si l’essai a été arrêté pour certains échantillons, mais
qu’ils n’ont pas failli, on tiendra compte de leur rang, mais
pas du hasard cumulatif dans le calcul.
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Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle
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Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle
Tracer ces valeurs de hasard cumulatif en fonction des
TBF sur un papier de loi exponentielle.(On utilise un
papier Team 13-011)
Si on obtient une droite, la loi est exponentielle.
Le MTTF correspond au temps correspondant à un
hasard cumulatif de 100% (ou % de défaillance de
63.2%).
L'échelle de pourcentage cumulatif de défaillance peut
être utilisée pour déterminer le temps avant qu'un
certain % de population ne fasse défaut.
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Estimation de la fiabilité – Loi exponentielle
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Estimation de la fiabilité
Si une droite ne peut être interpolée sur le graphe exponentiel à
partir des données. Alors, il faut considérer une autre loi.
1600
Hasard cumulatif
1400
Ta u x d e d é f a illa n c e
c r o is s a n t
1200
1000
800
Ta u x d e d é f a illa n c e c o n s ta n t
( lo i e x p o n e n tie lle )
600
400
Ta u x d e d é f a illa n c e
d é c r o is s a n t
200
0
0
200
400
600
800
1000
Du r é e
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Exercice 10.1 – Estimation de la fiabilité
• 8 circuits imprimés sont mis en test et on note leur durée de bon
fonctionnement, soit : 148 h, 200 h, 288 h, 890 h, 50 h, 100 h, 400
h, 550 h.
• Vérifiez que la fonction de défaillance répond à une loi
exponentielle et calculez la durée de vie moyenne.
Réponse:La loi est exponentielle, MTTF = 320 heures
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Exercice 10.2 – Estimation de la fiabilité
•
•
•
L’historique de 20 joints en opération est examiné afin de déterminer leur
durée de vie. On a remarqué les fuites sur 13 joints après les durées
d’utilisation suivantes ( en mois) : 32, 39, 58, 66, 70, 75, 88, 106, 109, 130, 155,
185, 210. Les 7 joints restants n’ont pas montré de défaillances et les
observations ont été stoppées, pour raisons diverses, après les temps
d’utilisation suivants (en mois) : 65, 75, 88, 94, 102, 110, 150 mois. Aucun
bris n’a été constaté sur ceux-ci.
Vérifiez si la distribution est exponentielle.
Réponse: la loi n’est pas exponentielle
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Estimation de la fiabilité – Loi de Weibull
La technique du traçage est la même que pour la loi exponentielle.
β est la pente de la courbe. On obtient sa valeur en faisant passer une
droite par le point de référence parallèle à celle obtenue. On lit sa
valeur sur l'échelle de forme.
On peut tirer du graphe d'autres informations telles que le % de
défectueux après un certain temps (établissement des garanties).
θ correspond au temps pour 63.2% de défaillances ou 100% de
hasard cumulatif, ce n'est pas MTBF.
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Estimation de la fiabilité – Loi de Weibull
β
β
Point de référence
θ
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Exercice 10.3 – Estimation de la fiabilité
En utilisant les données de l’exemple précédent,
Calculez les paramètres en utilisant un modèle
Weibull.
Déterminez le pourcentage de défectuosités
qui seront apparues au terme de la garantie qui
est de 45 mois.
Réponse: β = 2.12, θ = 130 mois; 10% de
défectuosités au bout de 45 mois.
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Calcul de MTBF
• Il se calcule en utilisant une loi Gamma.


E(t )= MTBF = θ × Γ1+ 1 
 β
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Estimation de la fiabilité
• Loi Gamma :
∞
Γ ( x ) = ∫ t x −1e− t dt ,
x>0
0
Note : La loi Gamma peut être approximée par le polynôme et/ou le
graphique de l’acétate suivante.
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Estimation de la fiabilité
Loi Gamma
y = 0,0729x6 - 1,1593x5 + 7,5457x4 - 25,255x3 + 45,769x2 - 42,388x+ 16,486
Gamma(X)
100
10
1
0,1
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
X
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Exercice 10.4 – Estimation de la fiabilité
En considérant les résultats de l’exercice
précédent, calculez l ’espérance de vie.
Réponse: MTBF = 115 mois.
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Estimation de la fiabilité
On trouve les papiers graphiques sur le site www.weibull.com
L’autre option du gaphique de Weibull utilise le pourcentage de
défaillances cumulatives dans le temps (au lieu du hasard cumulatif).
Les données sont rangées par ordre croissant de durée de vie.
La fonction de répartition de défaillances est estimée soit
par la méthode des rangs médians (échantillons
de petites tailles)
par la méthodes des rangs moyens (plus
couramment utilisée).
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Estimation de la fiabilité
Méthode des rangs médians:
F(i)= 100 (i-0.3)/(n+0.4)
Méthode des rangs moyens
F(i) = 100 i/(n+1)
où n est le nombre d ’échantillons considérés et i le
rang considéré (le rang i correspond au rang k inversé).
Les résultats sont ensuite reportés sur l’échelle de
pourcentage (%) de défaillances (au lieu de l’échelle de hasard
cumulatif).
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Exercice 10.5 – Estimation de la fiabilité
On a mis en fonctionnement 9 roulements à billes pour tester une
nouvelle série. Les résultats sont les suivants (en heures): 801,
312, 402, 205, 671, 1150, 940, 495 et 570.
Déterminez la loi qui régit ces données, en utilisant
les méthodes de fonction hasard, de fonction de
répartition à partir des rangs moyens, à partir des
rangs médians.
Calculez le MTBF
Calculez la fiabilité des roulements au bout de 600 h.
Réponse: β = 1.8, θ = 630 heures, MTBF = 605 h,
R(600) = 45%
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Estimation de la fiabilité
Loi de Weibull
Facteur de position positif
Facteur de position négatif
Distributions mélangées
Loi Normale
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Estimation de la fiabilité
ν représente l’instant initial pour lequel F(t) = 0.
Si ν est différent de 0, les données ne se linéarisent
plus dans les graphiques de Weibull.
Lorsque ν est positif, on identifie facilement celui-ci
d’après l’asymptote temporelle.
0
0 .0 1
0 ,0 1
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1
2
0 .1
1
0 ,1
1
3
4
10
10
5
% d é f a illa n c e s
20
3
40 5
6
100
7
90
99
1000
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Estimation de la fiabilité
•Lorsque on a identifié ν, on fait le changement de variable,
pour linéariser :
t’=t-ν
•On peut répéter plusieurs fois l’opération, jusqu’à
obtention d’une droite.
•Le temps de bon fonctionnement doit être révisé :

1
E ( t ) = MTBF = θ × Γ  1 +  + ν
β

•Si cela ne fonctionne pas, cela signifie que la loi ne répond
pas à Weibull, ou bien qu’on a un mélange de lois.
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Estimation de la fiabilité - ν positif
β
ν
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Exercice 10.6 – Estimation de la fiabilité
• Une société a mis en service un équipement
électromécanique, et le service après vente s'intéresse à
sa fiabilité. Les retours fiches clients donnent les
résultats suivants (en heures): 4650, 3800, 2175, 2800,
5840, 6700, 8500, 7150, 10500, 15800, 12600, 14000,
11000, 9200, 7800, 6300, 4250, 5250 et 3300. Déterminez
les paramètres du modèle et le MTBF. Calculez la
fiabilité au temps MTBF.
Réponse: ν = 1150 h, β = 1.5, θ = 7350h, MTBF = 7772 h, R(MTBF) = 42.5%.
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Estimation de la fiabilité
• Lorsque ν est négatif, on identifie facilement celui-ci d’après
la continuation de la droite.
• La courbe dans ce cas ne coupe pas l’échelle des temps.
• On poursuit la droite et prend la valeur à laquelle elle coupe
l’échelle du temps.
• On fait le changement de variable
t ’ = t - (-| ν |) = t + ν
• On itère jusqu’à trouver une droite.
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Estimation de la fiabilité - ν négatif
β
ν
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Exercice 10.7 – Estimation de la fiabilité
• On a mis en fonctionnement un mécanisme et
obtenu les temps de bon fonctionnement
suivants (heures):
150, 700, 1000, 1400, 1600, 2000, 2150, 2350, 2500, 2650,
2750, 2950, 3050, 3150, 3250, 3350, 3450, 3600, 3700,
3800, 3900, 4000, 4100, 4200, 4300, 4400, 4500, 4600,
4700, 4800, 4900, 5000, 5200, 5400, 5600, 5700, 6000,
6200, 6600.
Calculez les paramètres du modèle.
Réponse: β = 3.6, ν= -2000 h, θ = 6 000h.
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Résumé sur la loi de Weibull
La loi de Weibull permet
de trouver la loi des durées de vie
le taux de défaillance
La fonction de fiabilité permet de déterminer les
dates de maintenance avant que les bris ne
surviennent (R(t) = 0.9).
L ’analyse des courbes (β) permet de déterminer
dans quelle période de vie on se trouve.
Si β < 1 , on applique une période de maintenance
plus légère
Si β >1, une politique de maintenance préventive
est conseillée.
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Pour améliorer la fiabilité, on peut :
jouer sur la technologie du composant, ou
bien
agencer les sous-systèmes de manière à
rendre le système plus fiable.
La plupart des systèmes peuvent être modélisés:
en série
en parallèle ou majoritaire
en attente
ou une combinaison de ces configurations.
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Système série
La fiabilité de chaque sous système a été déterminée pour une
mission donnée.
Un système est monté en série si le système tombe en panne
lorsque un seul de ses éléments tombe en panne.
La fiabilité d’un système en série est égale au produit de la fiabilité
de chaque sous-système si les défaillances sont indépendantes.
n
Rsystème = ∏ Ri
i =1
La fiabilité du système est plus petite que la plus petite des
fiabilités des composants.
R1
R2
R3
Rn
Rsys
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Exercice 10.8 – Amélioration de la fiabilité
•
Soit un système composé de 4 composants agencés en série
dont les composants opèrent dans leur période de maturité. Le
composant 1 suit une loi de weibull avec β = 3, θ = 20 000, ν=0.
Le composant 2 suit une loi de weibull avec β = 2, θ = 13 500,
ν=0.
a) Déterminez la fiabilité minimale des composants 3 et 4 du
système si la fiabilité du système est supérieure à 0.5
après 10 000 heures d’utilisation et que les composants 3
et 4 sont identiques et suivent une loi exponentielle.
Réponse: 99%
b) Déterminez le taux de défaillance du système complet.
Réponse: 6.93 * 10^-5 déf./hre
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Système parallèle
Dans un système monté en parallèle, le
système faillit lorsque toutes les
composantes tombent en panne.
Si les défaillances sont indépendantes
entre elles, la fiabilité du système est
égale à:
n
R système = 1 − ∏ Fi
i =1
R1
R2
ou Fi = 1 − Ri
Ri
Fi : Fonction de défaillance cumulée du composant i.
La fiabilité du système est plus grande
que la plus grande des fiabilités des
composants.
l'étude de l'agencement des systèmes
permet d'améliorer leur fiabilité.
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Rn
Rsys
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Exercice 10.9 – Amélioration de la fiabilité
• Déterminez la fiabilité d’un système parallèle composés de 3 composants
au bout de 1000 h d’utilisation. Le système 1 suit une loi de Weibull avec
β = 2, θ = 4 000, ν=0. Le système 2 suit une loi de Weibull avec β = 0.5,
θ = 30 000, ν=0. Le système 3 est dans sa période de maturité avec un
temps de bon fonctionnement de 20 000 h.
Réponse: 99.95%
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Méthodologie pour l’élaboration des diagrammes de fiabilité
• Pour analyser les diagrammes de fiabilité où on retrouve des sous-systèmes
avec des configurations en série et en parallèle, on doit suivre une
méthodologie adéquate afin d’évaluer la fiabilité du système au complet à partir
de la fiabilité des sous-systèmes et des composantes.
a1
b1
a2
c
a3
b2
a4
•
Les composantes a1, a2, a3 et a4 ont une fiabilité Ra et les composantes b1 et
b2 ont une fiabilité Rb. On suppose comme hypothèse de base que les pannes
des différentes composantes sont indépendantes.
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Système en file d’attente
Un seul élément fonctionne, les autres sont en attente.
A l'avantage de supprimer le vieillissement des éléments qui ne travaillent pas.
A l'inconvénient de nécessiter un organe de détection de panne et de
commutation.
Le taux de défaillance de chaque composant doit être connu.
Ractif
R2
Rn
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Système en file d’attente
Si un système a « r » composants identiques indépendants dont la distribution de
vie est exponentielle, alors la fiabilité du système (R(t)) se définit comme suit:
R sys (t ) = e
− λt
r −1
∑
j = 0
(λ t )
j
j!
La fiabilité R(t) se calcule selon une loi de poisson de moyenne λt . Elle est égale
à la probabilité que tous les systèmes défaillent sauf un.
La moyenne de la loi de poisson λt est égale au nombre moyen de défaillants au
temps t.
R
R
R
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Exercice 10.10 – Amélioration de la fiabilité
• 3 pompes identiques qui suivent une loi
exponentielle ont une fiabilité de 0.8 après 25 000 h
et sont connectées en mode d’attente. Déterminez la
fiabilité du système.
Réponse: 99.84%
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Système r/n (défaillance partielle ou redondance majoritaire)
Système à n composants identiques, montés en parallèle,
dont au moins r d'entre eux doivent fonctionner
r > (n+1)/2.
La fiabilité du système Rr/n se calcule selon une loi
binomiale ayant pour fonction de probabilité la fiabilité du
composant, qui donne la probabilité que r ou plus
composants tirés des n composants fonctionnent.
La fiabilité de chaque élément doit être supérieure à 0.5
pour obtenir un gain de fiabilité.
R1
R2
r/n
Rr
Rn
 n!

Rr = ∑
R j (1− R)n− j 
n
j =r  j !( n − j ) !

n
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Exercice 10.11 – Amélioration de la fiabilité
• Un train est tiré par 5 locomotives et 3 d’entre elles
au moins doivent fonctionner. Les moteurs de
locomotives suivent une loi de Weibull avec β = 5, θ
= 30 000, ν=5000). Quelle est la probabilité pour que
le train fonctionne après 20 000 h d’opération.
Réponse : 99.97%
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Systèmes liés
On parle de système lié lorsqu’un sous-système est commun à plusieurs autres.
En pratique, un système est lié lorsqu’un de ses composants a plusieurs entrées.
La fiabilité Rsys se calcule par le théorème des probabilités totales.
Rsys = P ( syst. fonct./ Comp. liée fonct.) × Rliée + P ( syst. fonct./ Comp. liée ne fonct. pas ) × Fliée
La méthode de résolution consiste à :
Trouver la composante de liaison sur le parcours,
Déterminer la fiabilité conditionnelle du système avec la composante de
liaison en fonction (court-circuit),
Déterminer la fiabilité conditionnelle du système sans la composante de
liaison en fonction (circuit ouvert).
R1
R3
R5
R2
R4
R6
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Amélioration de la fiabilité par les redondances
Systèmes liés
Déterminer la fiabilité conditionnelle (P1) du système avec la composante de
liaison en fonction (court-circuit):
R1
R5
R2
R6
P1 = P ( syst. fonct. / Comp. liée fonct.)
Déterminer la fiabilité conditionnelle (P2) du système sans la composante de
liaison en fonction (circuit ouvert):
R1
R5
P2 = P ( syst. fonct./ Comp. liée ne fonct. pas )
R2
R4
R6
Fiabilité totale du système:
Rsys = P1 × R3 + P2 × (1 − R3 )
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Exercice 10.12 – Amélioration de la fiabilité
Système complexe
Combinaison de systèmes montés en série et en parallèle.
A
0.8
D
0.7
G
0.9
B
0.7
E
0.9
H
0.8
C
0.9
F
0.8
I
0.7
A
0.9
B
0.95
C
0.7
D
0.8
E
0.9
F
0.9
Réponse: 87.80%
Réponse: 90.17%
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Exercice 10.13 – Amélioration de la fiabilité
Exercice: Dans un processus de production, on doit effectuer dans
l'ordre les opérations suivantes:
M1 tournage (RM1=0.85)
T1 transport par chariot (RT1 = 0.8)
M2 fraisage (RM2= 0.79)
T2 Transport par convoyeur (RT2 =0.99)
M3 Traitement thermique (RM3= 0.99)
T3 Transport par convoyeur ( RT3=0.99)
M4 Rectifieuse (RM4=0.89)
M5 Contrôle (RM5=0.99)
L'objectif de fiabilité du processus est de 0.90. Proposez un
agencement de sous-systèmes pour atteindre cet objectif.
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