Activité – Balistique – Correction – 2015

Activité - Balistique
1. Contexte historique
En 1685 François Blondel, ingénieur du Roi, est le premier à décrire la bonne trajectoire d’un
boulet de canon dans son livre « Art de jeter les bombes ».
Blondel interprète la trajectoire : « il y distingue trois mouvements, dont le premier qu’il appelle
violent est en ligne droite, le second qu’il appelle mixte est en ligne courbe, et le troisième qu’il
appelle pur ou naturel est aussi en ligne droite ».
2. Résolution du problème
Le boulet de canon de 12 livre, de masse 𝑚 = 5,8 k𝑔, est assimilé à un point matériel 𝑀 se
trouvant à l’origine du repère à l’instant 𝑡 = 0. La boulet est lancé avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗
𝑣0
de valeur 𝑣0 = 450 𝑚/𝑠 en formant un angle 𝛼 de 45° avec l’horizontale. L’origine des dates
correspond au départ du boulet.
Cas sans frottements
 Déterminer la trajectoire du boulet de canon en fonction de 𝛼, 𝑣0 et 𝑔.
On résout le problème en appliquant le principe fondamental de la dynamique. On trouve :
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥0 = cos(𝛼)𝑣0
𝑎 =0
{𝑎 𝑥= −𝑔 impliquent {
𝑣
=
−𝑔𝑡
+ 𝑣𝑧0 = −𝑔𝑡 + sin(𝛼)𝑣0
𝑦
𝑦
𝑥 = cos(𝛼) 𝑣0 𝑡
2
−𝑔
𝑥
Donc {
et alors 𝑦(𝑥) = 2 (cos(𝛼)𝑣 ) + tan(𝛼) 𝑥
−𝑔𝑡²
0
𝑦 = 2 + sin(𝛼) 𝑣0 𝑡 + 𝑦𝐴

Tracer cette trajectoire.
PCSI – Lycée Brizeux
Sébastien Gruat
Activité
Cas avec frottement fluide pour des faibles vitesses

Quel est l’expression de la force de frottement fluide pour des faibles vitesses.
On a 𝑓 = −ℎ𝑣
 Montrer que la trajectoire du boulet de canon est de la forme suivante :
𝑔𝜏
𝑥
𝑦(𝑥) = (tan(𝛼) +
) 𝑥 + 𝑔𝜏²ln(1 −
)
𝑣0 cos(𝛼)
𝑣0 cos(𝛼) 𝜏
On résout le problème en appliquant le principe fondamental de la dynamique. On trouve :
𝑚𝑥̈ = −ℎ𝑥̇
{
𝑚𝑦̈ = −ℎ𝑦̇ − 𝑚𝑔
𝑑𝑣
ℎ
On résout l’équation suivant 𝑥 : 𝑑𝑡𝑥 + 𝑚 𝑣𝑥 = 0 et 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 cos(𝛼)exp(−𝑡/𝜏)
𝑡
Alors 𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos(𝛼)𝜏(1 − exp (− 𝜏)) puisque 𝑥(0) = 0.
On résout l’équation suivant 𝑦 :
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
+
ℎ
𝑣
𝑚 𝑦
+ 𝑔 = 0 et 𝑣𝑦 (𝑡) = −𝑔𝜏 + 𝐵exp(−𝑡/𝜏)
𝑡
On a 𝑣𝑦 (0) = 𝑣0 sin(𝛼) alors 𝑣𝑦 (𝑡) = (𝑔𝜏 + 𝑣0 sin(𝛼)) exp (− 𝜏) − 𝑔𝜏 Alors 𝑦(𝑡) =
𝑡
(𝑣0 𝜏 sin(𝛼) + 𝑔𝜏 2 ) (1 − exp (− )) − 𝑔𝜏𝑡 puisque 𝑦(0) = 0.
𝜏
𝑥
On trouve alors la trajectoire avec 𝑡 = −𝜏ln(1 − 𝑣
Donc 𝑦(𝑥) = (tan(𝛼) + 𝑣
𝑔𝜏
0 cos(𝛼)
0 cos(𝛼)𝜏
𝑥
) 𝑥 + 𝑔𝜏²ln(1 − 𝑣
).
0 cos(𝛼)𝜏
)
3. Calcul de la constante de frottement
On cherche à calculer la constante ℎ. Un boulet de canon modélisé par un point matériel 𝑀 de
masse 𝑚 = 5,8 k𝑔 est lâché sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme. L’air
exerce sur lui une force de frottement opposée à la vitesse 𝑓 = −ℎ𝑣 avec ℎ > 0. On constate
que le boulet atteint au bout d’un certain temps une vitesse limite constante 𝑣𝑙𝑖𝑚 = 500 𝑚. 𝑠 −1 .
 Calculer ℎ (on précisera bien son unité).
⃗ . Donc
Le PFD donne 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − ℎ𝑣. Lorsque le boulet atteint la vitesse limite alors 𝑎 = 0
𝑣𝑙𝑖𝑚 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚𝑔⃗
ℎ
. On trouve donc ℎ = 0,113 𝑁. 𝑠/𝑚.
4. Comparaison des 2 cas

Identifier les deux cas sur le graphe suivant :
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Sébastien Gruat
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Lorsque l’on ne considère pas les frottements fluides la trajectoire est une parabole. Par contre
si on considère les forces de frottements alors les trajectoires ressemblent à celle décrite par
François Blondel.
5. Coup franc
Le 08 décembre 2009 Cristiano Ronaldo marque un coup franc de 33 𝑚 face à Marseille. Le
ballon passe au-dessus du mur pour aller se retrouver dans la lucarne. Pour piéger le gardien de
but, le coup franc doit être tiré de sorte à avoir une grande vitesse horizontale.
 Evaluer la vitesse du ballon tiré par Cristiano Ronaldo ?
−𝑔
𝑥
La balle a la trajectoire : 𝑧 = 2 (cos(𝛼)𝑣 )² + tan(𝛼) 𝑥
0
Pour avoir une vitesse horizontale maximale il faut que 𝛼 soit petit car 𝑣𝑥 = cos(𝛼) 𝑣0 .
Le ballon (de rayon 11𝑐𝑚) doit donc passer juste au-dessus du mur situé à 9𝑚15 (de
1𝑚80 + 11𝑐𝑚) et aller sous la barre transversale (2𝑚44 – 11𝑐𝑚). Il doit donc passer par
les points (0 ; 0), (9,15 ; 1,91) et (33 ; 2,33).
On a donc :
1,91 =
−𝑔
2
et 2,33 =
2
9,15
(cos(𝛼)𝑣 ) + tan(𝛼) ∗ 9,15
0
−𝑔
2
2
33
(cos(𝛼)𝑣 ) + tan(𝛼) ∗ 33
0
On trouve donc 𝛼 = 14,7° et 𝑣0 = 107𝑘𝑚/ℎ
 En vous aidant de l’annexe, vérifier votre réponse en réalisant un programme Python
qui trace la trajectoire, qui représente le mur par un trait et la barre transversale par un
point.
PCSI – Lycée Brizeux
Sébastien Gruat
Activité
Annexe : Programme pour tracer les deux trajectoires
# On
from
from
from
importe les bibliothèques
matplotlib.pyplot import *
numpy import *
math import *
#Constantes
g=9.81 #Accélération de la pesanteur
v0=45 #Vitesse initiale
alpha=45*pi/180 #Angle initial
m=5.8 #masse
cosalpha=cos(alpha)
tanalpha=tan(alpha)
h=0.113 #Constante de frottement
t=m/h
# On définit la première trajectoire sans frottements
def sans_frottements(x):
return -g/2*(x/(v0*cosalpha))*(x/(v0*cosalpha))+tanalpha*x
# On définit la deuxième trajectoire avec frottements
def avec_frottements(x):
return (tanalpha+g*t/(v0*cosalpha))*x+g*t*t*log(1-x/(v0*cosalpha*t))
# On définit l’ensemble des points d’abscisses pour lesquels on veut calculer
et tracer la fonction.
x=linspace(0,250,100)
#On demande de tracer les deux fonctions sur un même graphique
plot(x,sans_frottements(x),label="Sans frottements")
plot(x,avec_frottements(x),label="Avec frottements")
#On écrit une légende qui reprend les labels des plots
legend()
#On trace une grille
grid(True)
#On montre le graphique
show()
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Sébastien Gruat
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