corrigé

Mathématique
ECS 1
23 Sept. 2016
Devoir libre 2.
Exercice 1. Jack, un malfrat, a été assassiné sur une route déserte à la sortie de Baltimore, vers 3 heures du matin. C’était
le 7 août dernier. Une semaine plus tard, cinq suspects ont été arrêtés et interrogés : Shorty Malone, Tony Almeda, Joey
Goldman, Elliot Smith et Sam Johnson. Lors des interrogatoires, chacun d’eux a donné quatre informations parmi lesquelles
trois seulement sont absolument vraies et une seule est fausse.
Shorty : «
— J’étais à Chicago quand Jack a été tué.
— Je n’ai jamais tué personne.
— Le coupable est Sam.
— Joey et moi avons déjà été associés. »
Elliot : «
— Je n’ai pas tué Jack.
— Je n’ai jamais possédé de revolver de ma vie.
— Sam me connait.
— J’étais à Washington la nuit du 7 août. »
Tony : «
— Elliot ment quand il affirme n’avoir jamais possédé de pistolet.
— Le meutre a été commis vers 3 heures du matin.
— Shorty était à Chicago au moment du crime.
— Le coupable est l’un d’entre nous. »
Joey : «
— Je n’ai pas tué Jack.
— Sam n’a jamais mis les pieds à Baltimore.
— Je n’avais jamais rencontré Shorty avant aujourd’hui.
— Elliot et moi étions à Washington la nuit du 7 août. »
Sam : «
— Je n’ai pas tué Jack.
— Je ne suis jamais allé à Baltimore.
— Je n’avais jamais rencontré Elliot avant aujourd’hui.
— Shorty ment quand il affirme que je suis coupable. »
Les enquêteurs ont la certitude que l’assassin est l’un des cinq. Qui est ce ? (Votre réponse ne devra pas excéder vingt
lignes.)
Sam dit « Je n’ai pas tué Jack » et « Shorty ment quand il affirme que je suis coupable » : si la première est vraie, la
deuxième est vraie aussi et si la première est fausse alors la deuxième aussi est fausse. Donc elles sont ou bien toutes deux
vraies ou bien toutes deux fausses. Comme il ne peut y avoir qu’une information fausse, ces deux informations sont vraies.
Sam est donc innocent.
Shorty dit « Le coupable est Sam ». On a établi que cette information est fausse donc les trois autres informations données
par Shorty sont vraies. En particulier, Shorty est innocent et Joey le connait bien donc la troisième information de Joey est
fausse et c’est donc la seule fausse. Par conséquent, Joey est innocent et il dit vrai quand il affirme que Sam n’a jamais été
à Baltimore. La deuxième information donnée par Sam est donc vraie. L’information fausse de Sam porte donc sur les liens
entre lui et Elliot : ainsi Sam et Elliot se connaissent ce qui rend vraie la troisième information donnée par Elliot. Joey dit
vrai aussi à propos de la présence à Washington d’Elliot ce qui implique que la troisième information donnée par Elliot est
vrai aussi.
Les trois dernières informations données par Tony sont vraies donc la première est fausse : Tony ment quand il affirme
qu’Elliot a menti. La seconde information d’Elliot est donc vraie.
Les trois dernières informations données par Eliott sont donc vraies. La première est donc fausse : Elliot a tué Jack !
Exercice 2. Un cycliste parcourt un trajet AB qui comporte des montées, des paliers et des descentes. Les vitesses moyennes
sont de 10 km/h en montée, 20 km/h en plaine et 30 km/h en descente.
Dans le sens de A vers B, il met 6 heures et 50 minutes. Dans le sens inverse, il met 7 heures et 30 minutes. Le trajet
total est de 120 km. Quelle est la longueur des montées, des paliers et des descentes lors du trajet AB ?
Soit m la longueur en km des montées, p celle des paliers et d celles des descentes lors du trajet de A vers B. D’après les
données :
— le trajet total est de 120 kms, donc d + m + p = 120 ;
41
d
p
m
41
— il met 6h et 50 minutes soit
heures pour aller de A vers B ce qui amène l’équation :
+
+
=
;
6
30 20 10
6
1
15
— il met 7h et 30 minutes soit
heures pour aller de B vers A
2
On obtient alors le système :

d+p+m

2d + 3p + 6m
(S) :

6d + 3p + 2m

 d+p+m
p + 4m
(S) ⇐⇒

−3p − 4m

 d+p+m
p + 4m
⇐⇒

−2p

 d = 40
m = 30
⇐⇒

p = 50
=
=
=
ce qui amène l’équation :
=
=
=
d
p
m
15
+
+
=
.
10 20 30
2
120
410
450
120
170 L2 − 2L1
−270 L3 − 6L1
= 120
= 170
= −100 L3 + L2
Exercice 3. Déterminer des réels a, b, c, d tels que
∀x ∈ R\{1},
En déduire une primitive de la fonction x 7→
On trouve a =
cx + d
x2
a
b
+ 2
=
+
(x − 1)2 (x2 + 1)
x − 1 (x − 1)2
x +1
x2
.
(x − 1)2 (x2 + 1)
1
1
1
, b = , c = − et d = 0 :
2
2
2
∀x ∈ R\{1},
x2
1
1
x
=
+
−
(x − 1)2 (x2 + 1)
2(x − 1) 2(x − 1)2
2(x2 + 1)
Une primitive de f sur R\{1} est donc définie par :
F (x) =
1
1
1
ln |x − 1| −
− ln(x2 + 1)
2
2(x − 1) 4
Z
x
t ln t
dt.
− 1)2
2
(1) Déterminer des réels a, b et c tels que pour tout x > 2,
Exercice 4. Pour tout x > 2, on pose f (x) =
(t2
1
b
c
a
= +
+
x(x2 − 1)
x x−1 x+1
La méthode est classique. On procède par identification des coefficients des polynômes au numérateur de chaque
membre de l’égalité après réduction du second membre au même dénominateur.
On peut aussi remarquer que pour tout réel x,
1=
1
1
x(x − 1) + x(x + 1) − (x2 − 1)
2
2
ce qui donne immédiatement,
1
1
1
−1
2
2
=
+
+
x(x2 − 1)
x
x−1 x+1
(2) A l’aide d’une intégration par parties, calculer f (x) pour tout x > 2.
On pose pour tout réel t > 2,
v(t) = −
u(t) = ln t,
1
2(t2 − 1)
Les fonctions u et v sont de classe C 1 sur [2, +∞[ et
v 0 (t) =
t
,
(t2 − 1)2
2
u0 (t) =
1
.
t
D’après la formule d’intégration par parties,
Z x
f (x) =
u(t)v 0 (t)dt
2
h
ix Z
= u(t)v(t) −
x
u0 t)v(t)dt
Z x
ln x
ln 2
1
=−
+
+
dt
2 − 1)
2(x2 − 1) 2(22 − 1)
2t(t
2
2
2
D’après la question (1), une primitive de la fonction t 7→
Z
1
sur [2, +∞[ est
t(t2 − 1)
1
1
1
dt = − ln t + ln |t − 1| + ln |t + 1| = ln
t(t2 − 1)
2
2
√
t2 − 1
t
!
donc
√
!
t2 − 1 i x
t
2
!
!!
√
√
x2 − 1
22 − 1
ln x
ln 2
1
=−
+
+
ln
− ln
2(x2 − 1) 2(22 − 1) 2
x
2
!
r
ln x
1
1
ln 2 1
1
=−
1 − 2 − ln 3 + ln 2
+
+ ln
2
2(x − 1)
6
2
x
4
2
ln x
ln 2
1h
f (x) = −
ln
+
+
2(x2 − 1) 2(22 − 1) 2
(3) Etudier lim f (x).
x→+∞
Pour tout réel x > 2,
1
f (x) = −
2(1 −
D’après les limites classiques, lim
ln x
= 0 et comme
x2
r
1
1− 2
x
!
+
ln 2 1
1
− ln 3 + ln 2
6
4
2
1
= 1, on a par somme, produit et composition
x2
!
r
1
1
ln x 1
1− 2 =0
lim −
+ ln
x→+∞
2
x
2(1 − x12 ) x2
x→+∞
de limites,
ln x 1
+ ln
1
x2
2
)
2
x
lim 1 −
x→+∞
ce qui donne
lim f (x) = +
x→+∞
1
2
1
8 ln 2 − 3 ln 3
ln 2 1
− ln 3 + ln 2 = ln 2 − ln 3 =
.
6
4
2
3
4
12
3