Résolution de problèmes mathématiques en maternelle

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RÉSOLUTION DE PROBLÈMES MATHÉMATIQUES EN MATERNELLE
Présentation (AC)
3 affiches (10 min)
Difficultés rencontrées pour la mise en œuvre.
Situation « non problème » : est-ce une situation problème + justification.
Quelques exemples de situations pb mises en œuvre.
Exploitation (15 min)
Programmes 2008 (Ph)
Lecture des programmes
L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne
numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et
comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de
repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets.
Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les
conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. L’accompagnement qu’assure
l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots
justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. Progressivement, les enfants acquièrent la suite
des nombres au moins jusqu’à 30 et apprennent à l’utiliser pour dénombrer.
Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen
le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de
comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage.
La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes
que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun.
À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du
calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et
les techniques.
La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par
exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent
une première correspondance entre la désignation orale et l’écriture chiffrée ; leurs performances restent
variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. L’apprentissage du tracé des chiffres
se fait avec la même rigueur que celui des lettres.
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
…
- comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ;
- mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ;
- dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ;
- associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;
…
Remarques :
1. Il n’existe pas de REPÈRES POUR ORGANISER LA PROGRESSIVITÉ DES APPRENTISSAGES
MATHÉMATIQUES À L’ÉCOLE MATERNELLE.
2. Les mathématiques font partie de LA DÉCOUVERTE DU MONDE.
b. Court compte-rendu des évaluations comparées 1987-2007 : baisse significative des résultats, surtout de 87 à
97, puis stabilisation.
Calcul
Le graphique 2 et le tableau 3 font apparaître une baisse importante des scores obtenus en calcul
entre 1987 et 1999 (le score moyen diminue d’environ deux tiers d’écart-type).
Cette baisse touche tous les niveaux de compétences et s’accompagne d’un accroissement de la
dispersion des scores (augmentation de l’écart-type de 1 à 1,2 entre 1987 et 1999).
De 1999 à 2007, il s’opère un « tassement » des résultats : le score moyen est en légère baisse,
mais de manière peu significative, au regard des marges d’incertitude inhérentes aux enquêtes sur
échantillons.
Parallèlement, la dispersion se stabilise avec une légère baisse, là encore peu significative. Ce
redressement est peut-être à mettre au compte de la remise à l’ordre du jour du calcul dans les
programmes de 2002 avec, en particulier, l’accent mis sur le calcul mental et l’apprentissage des
techniques opératoires.
5. Retour sur les affiches
a. Quelles sont les situations numériques parmi celles relevées ?
b. Pour préciser le Sudoku : est-ce un problème numérique ?
c. Une addition posée : est-ce un problème numérique ?
d. Une situation de calcul mental : quand peut-elle être situation problème ?
Conclusion : problème numérique mise en abstraction, estompage du réel.
6. Pourquoi notre choix de résolution de problèmes numériques.
a. Il nous a semblé, au vu des résultats des évaluations comparées 87-07, qu’il était souhaitable de ne traiter
que ce qui relevait de la recherche numérique.
b. Une séquence d’une seule séance ne nous aurait pas permis d’aborder les autres situations problèmes de
manière satisfaisante. Nous en toucherons un mot, mais rapide, au cours de cette matinée.
c. Nous précisons également qu’il n’y a pas de lien direct entre l’acquisition des connaissances logiques et des
compétences numériques.
7. La situation proposée et l’activité de résolution doivent respecter ce qui suit :
i. Savoir compter est une compétence différente de la compétence de dénombrement.
ii. Les situations doivent être concrètes.
iii. Les procédures travaillées au cycle 1 seront des procédures débrouillardes et personnelles. On évitera
d’introduire des procédures expertes standardisées.
iv. Quant aux signes conventionnels autres que les chiffres (opérateurs par exemple), nous pensons qu’il
est possible, après la résolution d’un problème numérique, de les utiliser pour écrire la phrase
mathématique correspondant à la résolution du problème sans trop s’y appesantir.
v. Faire des mathématiques, c’est entrer dans des opérations mentales. Il faut donc faire en sorte
d’estomper le réel (distanciation spatiale par exemple) : ce n’est qu’à cette condition qu’une
situation d’apprentissage sera efficiente.
vi. La procédure à utiliser pour résoudre la tâche ne doit pas être donnée.
vii. On doit pouvoir vérifier la solution donnée.
viii. Les moments « crayon/papier », rares, devront toujours être une schématisation d’une situation
concrète vécue.
ix. Il faudra savoir faire comprendre que le nombre sert :
1. à mémoriser…
2. à comparer…
3. à agir sur…
des quantités sans la présence explicite de celles-ci.
8. Activités ritualisées (AC)
9. Situations de recherche
a. Grille, jetons et nombres
i. Faire observer :
2
3
1
1 2 3
Faire comprendre le fonctionnement de cette grille.
ii. Proposer plusieurs grilles à compléter sur le même modèle que celle donnée ci-dessous (ici, il n’y a
pas de situation problème, mais une situation de dénombrement uniquement qui renforce la
compréhension du fonctionnement de la grille) :
iii. Situation problème :
2
2
2
1
3
2
Placer les jetons.
b. Boîtes et jetons
i. Une boîte rouge, une boîte bleue, 12 jetons
ii. Distribuer les jetons de manière équitable dans les boîtes.
ou
iii. Placer les jetons dans les boîtes de telle sorte qu’une boîte contiendra X jetons de plus que l’autre.
1. Exemple : 6 jetons de plus (9 et 3)
2. Autre exemple (impossible à réaliser) : 1 jeton de plus
c. Boîte compartimentée, jetons rouges et bleus
i. Compléter tous les compartiments : il doit y avoir 2 jetons rouges de plus que de jetons bleus.
ii. Exemple : 12 compartiments 7 rouges et 5 bleus
d. Voitures à compléter
i. 4 voitures « 3 passagers », 4 voitures « 2 passagers », 9 jetons
ii. Placer les 9 passagers dans les voitures : une voiture ne peut être que vide ou complète.
iii. Complexification
On doit utiliser exactement 4 voitures.
iv. Variables :
nombre de voitures à compléter
nombre de passagers
e. Chemins quadrillés (André Jacquart, IUFM de Douai)
Les réglettes peuvent, dans un second temps, éloignées des chemins à recouvrir.
On peut également utiliser un message : « J’ai besoin de la réglette X ». Un autre élève apporte la réglette
demandée.
f. Grilles, jetons et nombres (2) DIFFICILE
i. Observation et analyse
1
3
5
3
4
2
ii. Idem situation a (dénombrement)
iii. Placer les jetons (pas plus de 3 jetons par case)
3
3
3
4
2
3
g. Distribution
i. X bonbons, crayons… à distribuer à Y enfants.
ii. Les objets sont éloignés des enfants.
iii. Un enfant (non compté dans les Y) doit, en un seul voyage, apporter le nombre d’objets nécessaires
pour une distribution équitable.
h. Relation d’équipotence
i. X objets sur une table A. X+N objets sur une table B.
ii. Allez chercher autant d’objets sur la table B qu’il y en a sur la table A.
On acceptera toute démarche pertinente : correspondance terme à terme, groupements…
Veiller à ce que l’élève formalise la procédure utilisée.
i.
Addition
i. 2 verres opaques A, B contenant respectivement, par exemple, 3 et 5 jetons. Un verre C est vide.
ii. Le verre A est retourné : on donne le nombre de jetons, puis on remet les jetons dans le verre C.
iii. Même procédure avec le verre B.
iv. Combien y a-t-il de jetons dans le verre C ?
v. Vérification.
j. …
10. Ressources
a. BIBLIOGRAPHIE
i. Activités numériques à l’école maternelle (Hachette Education – Pédagogie pratique – Descaves Vignaud)
ii. Résolution de problèmes en maternelle (Editions Jocatop – Thibault – Vidal – Mica) Problèmes en
images.
b. SITES
i. http://www.poissonrouge.com/
ii. http://pagesperso-orange.fr/jeux.lulu/
iii. http://www.momes.net/comptines/comptines-numeriques.html (comptines)
c. LOGICIELS
i. Je compte ça compte
ii. A nous les nombres