Construction explicite de l`indice de Maslov. Applications

CONSTRUCTION EXPLIClTE DE L'INDICE DE MASLOV. APPLICATIONS.
par Jean-Marie SOURIAU~
Abstract :
Le rev~tement universel de la grassmannienne lagrangienne est
plong~ dans un espace num~rique, ce qui permet de d ~ f i n i r l ' i n d i c e de MaslovArnold-Leray par une formule e x p l i c i t e .
Les propri~t~s cohomologiques de cet indice permettent de rendre
t r a n s i t i v e la transformation de Fourier ; on c o n s t r uit ainsi un espace de
H i l b e r t o0 agissent naturellement le groupe de Heisenberg-Weyl (representation
de Schr~dinger) et le groupe m~taplectique (representation de Shale-Weil).
Dans le cas d'un o s c i l l a t e u r harmonique, l'espace ainsi construit
coincide avec l'ensemble des solutions de l ' ~ q u a t i o n de Schr~dinger. Cette
~quation est donc explicitement int~gr~e ; on o b t i e n t un prolongement de la
formule de Feynman qui est valable pour des dur~es arbitrairement grandes.
OCTOBRE 1975
~Universit~ de Provence et Centre de Physique Th~orique, CNRS, Marseille
Adresse postale :
Centre de Physique Th~orique - CNRS
31, chemin Joseph Aiguier
F - 13274 MARSEILLE CEDEX 2 (France)
118
§1
PLANS LAGRANGIENS
-
Soit
0"-
une 2-forme d'un espace v e c t o r i e l
E , c'est-~-dire
un t e n s e u r c o v a r i a n t a n t i s y m ~ t r i q u e d ' o r d r e 2 . Contract#e avec deux vecteurs
X,Y G
E , on o b t i e n t un nombre que nous noterons
O-(X,Y)
ou encore
(T(X)(Y)
ce qui a l ' a v a n t a g e de m e t t r e en ~vidence l a 1-forme
Q-(X)
e t de p r e s e n t e r
:
~-X ~
comme une a p p l i c a t i o n
dit
que
structure
~--
Y i--> o - ( X ) ( Y )
~-(X)
de
E
dans son dual
e s t une forme s y m p l e c t i q u e ,
d'espace v e c t o r i e l
ou que
est bijective,
donne ~
E
on
une
symplectique, la relation
6-(X)(Y) = 0
e n t r e deux vecteurs
X
sym~trique ; si
e s t un sous-espace v e c t o r i e l
E'
orthogonaux ~ t o u s l e s
noterons
Q-
symplectique.
Dans un espace v e c t o r i e l
(1.1)
E~ . Si e l l e
orth(E')
(1.2)
E' sera d i t
et
Y
s'appelle
vecteurs de
E
orthogonalit6
de
; c ' e s t une r e l a t i o n
E , l ' e n s e m b l e des
e s t un sous-espace v e c t o r i e l ,
X
que nous
; on a l a r e l a t i o n
dim(E') + dim(orth(E'))
= dim(E) .
i s o t r o p e si
(1.3)
E'
c'est-~-dire
si
cas pour t o u s l e s
C
orth(E')
les ~l~ments de
E'
sont deux ~ deux orthogonaux ; c ' e s t l e
espaces de dimension I , ~ cause de l ' a n t i s y m ~ t r i e
de O- .
On a p p e l l e plan l a g r a n g i e n t o u t sous-espace i s o t r o p e maximal (pour l a r e l a tion d'inclusion)
; il
est clair
que t o u t sous-espace i s o t r o p e e s t i n c l u s
119
dans un plan lagrangien ; que tout plan lagrangien
(1.4)
I~
X
v~rifie
-)!
= °;-~hiz~
et~r~ce a (1.2)) que t o u s l e s plans lagrangiens ont la m~me dimension
~gale ~ la moiti6 de celle de
n ,
E ; i l n'existe donc que des espaces symplec-
tiques de dimension paire.
Deux plans lagrangiens
(1.5)
'
#
NA et
~
sont dits transverses si
:Ioi
ce qui s ' ~ c r i t aussi (~ cause des dimensions de
E:
Si
~
et
~
#
E , ~ , }~
y
®
sont lagrangiens transverses, nous noterons
~\/~
1 'appli
cation
(1.7)
i ~-~r(X)(Y)
J
= ~- (X)(Y)
V
5-~t" est une bijection l i n ~ a i r e de
Soient
~ ,
]~
~
V
%
sur
t r o i s plans lagrangiens deux a deux
, V
transverses ; alors l ' a p p l i c a t i o n
-i
(1.8)
z
envoie
~
d'ordre
2 de
dans son dual
est sym6trique,
}x
}x
;
g ×~
, visiblement i n j e c t i f
donc q u ' i l munit
~
est donc un tenseur covariant
; on v 6 r i f i e facilement que
noterons
(1.9)
sgn( NA , ~ , ~
la signature de
g A~v
gx#v
d'une structure euclidienne ; nous
)I
, c ' e s t - ~ - d i r e la trace de la matrice
120
II
1
""-i/
""I _ i
repr~sentant g1~v
(1.10)
si
2n
dans une base orthonormale, II est clair que
sgn( ~ , ~
,y
est la dimension de
)~
~ -n , -n+2 . . . . . . . . . .
E ; on peut c h o i s i r
n-2, n~
~ , ~
, V
pour que
toutes ces valeurs soient effectivement a t t e i n t e s .
Nous verrons au §4 que sgn( ~, ~ , 9 )
sym~trique de ses t r o i s arguments, et que l ' o n a
(i.ii)
si
sgn(~
~
est une fonction a n t i -
, ~ , V ) =sgn( C , ~ , v ) + s g n ( ~ , C , v ) + s g n ( ~ , ~ , [ ! _ l
est un plan lagrangien transverse a
~, ~ ,v (Leray,~l~);la
logie qui transpara~t dans ces formules sera exploit~e au
§8
cohomo-
ci-dessous.
§2 - ACTION DU GROUPE SYMPLECTIQUE
Soit
E un espace v e c t o r i e l symplectique de dimension
plan lagrangien de
~
; si
E . On peut construire un plan lagrangien
(S 1S 2 . . . Sn)
t i f i e (grace ~ la d u a l i t ~
est c l a i r que
(2.1)
(S 1 ..
est une base de
Sn
est une base de
[~-x~ )
~
~ une base
, la base duale de
(T I T2 . . . Tn)
de
(2.2)
"" - I
J
0"-
un
transverse
S s'iden.
~
T 1 . . . Tn)
E ,dans laquelle la matrice du tenseur
1
2n , ~
~x
s'~crit
; il
121
on d i t que
Si
E'
(2.1)
est une base canonique de
E .
est un autre espace v e c t o r i e l symplectique de m#me dimension, l ' a p p l i -
cation l i n ~ a i r e
a
qui envoie les vecteurs d'une base canonique de
ceux d'une base canonique de
E'
E sur
est ~videmment un isomorphisme de la s t r u c c
ture symplectique :
(2.3)
a ~
l'ensemble des
L(E,E')
a
i l est c l a i r que
,
a
v~rifiant
Sp(E)
bijectif
(2.3)
sera not~
si
E'= E) ;
GL(E) , d o n c un 9roupe de Lie ;
(2.1)
a g i t t r a n s i t i v e m e n t sur l'ensemble
E ; on constate que le s t a b i l i s a t e u r
de Sp(E) , dont la dimension est
rentiablement ; cette v a r i ~ t ~
n(2n+l).
des bases canoniques que
A~(E)
des plans lagrangiens de
d'un plan est un sous-groupe ferm~
n(3n+1)/2 ; ce qui conf~re ~ J~(E)
s t r u c t u r e de v a r i ~ t 6 de dimension
gienne de
, (Sp(E)
~X,Y
un groupe semi-simple classique ; sa dimension est
I I r ~ s u l t e de la c o n s t r u c t i o n
Sp(E)
Sp(E,E')
cr(X,Y)
est un 9roupe, appel~ groupe symplectique ; c ' e s t
un sous-groupe ferm~ du groupe l i n ~ a i r e
c'est d'ailleurs
, o-(a(X),a(Y))=
n(n+l)/2
~(E)
sur l a q u e l l e
Sp(E)
une
agit diff~-
s ' a p p e l l e la grassmannienne l a g r a n -
E .
La c o n s t r u c t i o n des bases canoniques
(2.1)
montre aussi que la f i g u r e
c o n s t i t u t e par deux plans lagrangiens transverses est unique en g~om~trie
symplectique. Mais des t r i p l e t s
gurations
; en e f f e t ,
si
transverses dans
E
(resp.
(2.4)
a
~
II existe
a(
'V
)
lagrangiens peuvent pr#senter
~ , ~ ,V
~' ,
Sp(E,E')
~'
,
t e l que
V'
dans
a(~)
E' )
confi-
=~>
la c o n d i t i o n
, a(~
=~'
entraine ~videmment la c o n d i t i o n
(2.5) [
n+l
sont des plans lagrangiens deux ~ deux
sgn( ~, ~ , v ) = s g n ( k ' , ~ ' , V '
)
le calcul montre que cette c o n d i t i o n est en f a i t
suffisante.
=h / ,
122
~3 , REVETEMENTDE LA GRASSMANNIENNELAGRANGIENNE
Consid~rons l'espace vectoriel complexe
(~
, muni de la struc-
ture hermitienne d@finie par la forme sesquilin@aire p o s i t i v e
(3.1)
<x,y>
: X~ yZ+ x~ y2 + . . . + x n y n
(x j , y j = coordonn@es de
x,y ) ;
si l ' o n s@pare la partie r~e]le et la p a r t i e imaginaire de ~ x , y > :
(3.2)
~x,y> =
g(x,y) - i ~ ( x , y )
on constate que
~
munit
~n
d'une structure d'espace v e c t o r i e l symplec.
tique r6el de dimension 2n ; on peut le prendre comme module pour un tel
espace ; son groupe symplectique sera nots
Le ~roupe u n i t a i r e
(3.31
tout
I
Sp(n) .
est d@fini comme l'ensemble des
GL(n, ) j ai l,
a ~ U(n)
(3.4)
U(n)
Vx,
respecte @videmment la forme
U(n) C
Sp(n)
C°I
0-~ ; d o n c
;
on peut v # r i f i e r que tout @l@ment du groupe symplectique
Sp(n)
s'@crit,
d'une seule fagon, sous la forme
(3.5)
a o exp(b ~ C )
a ~U(n) , b
@tant une matrice complexe sym@trique,
complexe de ~ n
. Ceci montre que
Sp(n)
d'homotopie est le m~me que celui de
s ' a g i t de ~
la conjugaison
est connexe et que son groupe
U(n)
(nous allons constater q u ' i l
).
(3.6)
La grassmannienne
lagrangienne de
une base
~
([~n
(a 1, a2 . . . .
sera notre f ~ ( n )
an)
de
~
euclidienne d ~ f i n i e par le tenseur
; si
~eA(n)
, on peut c h o i s i r
qui s o i t orthonormale pour la structure
g
(3.2) ; on a donc,
V j,k
123
g(aj, ak) : ~ j k
'
G-(aj, a k) : 0
ce qui s ' 6 c r i t simplement
~'aj, a k > :
~jk
;
cette relation exprime que la matrice form~e avec les colonnes
aj
a = (a I a2... an)
est unitaire :
(3.7)
I ~
A(n~
I
~=--~
I
II existe
a ~U(n)
,
~A= a ( ~ n) ]
(3.8)
Ainsi, dans l ' a c t i o n de Sp(n) sur la grassmannienne lagrangienne
/~(n) , J~(n) est orbite du sous-groupe compact connexe U(n) ,donc e l l e m6me une vari~t6 compacte connexe ; le s t a b i l i s a t e u r de F~ n dans U(n)
est par d ~ f i n i t i o n le ~roupe orthogonal 0(n) ; U(n) est donc diff~omorphe
a la vari~t~ quotient U(n)/0(n) (Arnold, [ I I ] ) .
(3.9) De m6me, l'ensemble des plans lagrang.iens orient6s est diff~omorphe
U(n)/S0(n) ; c'est un rev6tement connexe ~ deux f e u i l l e t s de ~ ( n ) , la
projection sur J~(n) consistant ~ "oublier" l ' o r i e n t a t i o n .
Au lieu de consid~rer ~ ( n )
comme un quotient de U(n) , on
peut aussi l a plon~er dans U ( n ) ( [ I I ~ )
; en e f f e t , si a et a' sont
deux 61~ments de U(n) , i l est c l a i r que
[a(T~n) = al (~n)l~___~ I a C(a-1)= a, C(a ~ - i ) ]
C = conju-
gaison
complexe) ,
donc que l'on peut i d e n t i f i e r
(3.10)
a F-~ ~ :
/~(n)
~ l'image de U(n)
par l ' a p p l i c a t i o n
a C(a -1)
image qui est l'ensemble des matrices unitaires sym~triques ; l ' i d e n t i f i c a t i o n
124
d'un plan lagrangien
C(x)
/~
et d'une matrice
est donn~e par la r~gle
~tant la colonne conjugu~e d'une colonne X E
([]n
; on en d#duit
les r~gles
(3.12)
I ~
et
)~'
oQ a d~signe l ' a c t i o n
D~signons par
U(n)
(3.14)
transverses]
[ >~-%'
I
V a e U(n) , V% E A(n)
(3.8)
d'un ~l~ment
a de
U(n)
inversible I
sur
J~(n).
l'ensemble des couples
(
1
a E U(n) ,
y~
v ~ r i f i a n t l'~quation
(3.15)
det(a) = e i ~
;
A
si l ' o n munit
(a, ~ )
(3.16)
A
U(n)
U(n)
de la l o i de composition
x ( a ' , c{') = (aa , ~o+~
devient un groupe de Lie ; ( a , ~
×
:
)
A
U(n)
I--> a est un morphisme de
sur
U(n) , dont le noyau est ]e sous-groupe d i s c r e t des ( I , 2knT) , k e ~ ;
est donc un rev~tement de
U(n) .
On remarque que l ' a p p l i c a t i o n
(3.17)
(b,y)I-->
(beiY,n~)
est un isomorphisme du produit d i r e c t
que
U(n)
b E SU(n) ,
SU(n) x TK
est simplement connexe : U(n)
~oQTP~
sur le groupe
U(n) ,donc
est donc rev~tement universel de
U(n).
(3.18)
Grace ~ la d~composition
(3.5) , U(n)
pourra s ' i d e n t i f i e r
~ la
125
p a r t i e du rev~tement
Sp(n)
Sp(n) ; en p a r t i c u l i e r ,
s'identifie
U(n)
K du groupe d'homotopie de
de
Sp(n)
a l'~l#ment
(3.19)
de
situ~e au-dessus du sous-groupe
le g6n~rateur
K : (I , 2 ~ )
A
U(n).
A
De m~me, si on consid~re la vari~t6
le groupe d i s c r e t des
(3.21)
A(n)
des
Lk :
L( ~ ,(~ ) = ( ~ ,
E)+ 2~T)
,
k#
et la projection
(3.22)
(~,Q)
font de
~(n)
i , ~A
un rev#tement de
A(n)
se rel~ve par l ' a c t i o n de
(3.23)
(a,cr) ( x , 9 )
A(n)
; l'action
(3.13)
U(n)
sur
:
= (a)k
~(n)
de
U(n)
sur
C(a -1) , 2~o + ~ )
qui est encore t r a n s i t i v e ; on constate que le s t a b i l i s a t e u r de l'~16ment
( I , 0 ) de
~n) e s t l 'ensemble des (a,O) , a v ~ r i f i a n t i a e U(n) ,
a = C(a) , d e t ( a ) = 1 ) , c ' e s t - ~ - d i r e
a ~ S0(n
~(n)
e s t donc difffiomorphe au q u o t i e n t du groupe simplement connexe
S0(n) , d o n c simplement connexe ;
(3.24)A(n)
; le groupe fondamental
A(n)
(3.21)
de
U(n)
par le groupe connexe
e s t donc le rev~tement u n i v e r s e l de
A(n)
e s t isomorphe fi ~_~ ( A r n o l d , ~ I ] )
126
§4-
INDICE DE MASLOV [ I ]
Si
A
est une matrice c a r r i e , nous d ~ f i n i r o n s le l ogarithme de
par la formule
O
~4.1~
Log~A~: I I[s~A 1-I- ~sl-~1 -I I ~s
qui s ' a p p l i q u e chaque f o i s que
ou n u l l e ;
Log
(4.2)
[
A
ne. poss~de pas de.valeur propre.n~gative
est une a p p l i c a t i o n
exp(Log(A)) = A
C~
]
qui v 6 r i f i e
si
Log(A)
existe ;
d'oQ d~coule
(4.3)
~eTr(L°g(A))
= det(A)~
on notera que
I°.,l
I
:-
Nous d ~ f i n i r o n s l ' i n d i c e
i
de Maslov
u= (~,0)
,
m(u,u')
de deux points
u';
(k',~')
-O
+ i Tr
A
de
.A(n)
(4.5)
m(u,u')
par la formule
m(u,u') =
e x i s t e si la matrice
ou n u l l e . Comme i l
~ et
~
En u t i l i s a n t
e
-i
, c'est-a-dire
que
s o i e n t transverses
(4.3)
2 i ~ m(u,u')
ce qui montre que
n'a pas de valeur propre n~gative
s ' a g i t d'une matrice u n i t a i r e ,
pas la valeur propre
donc que
_~,-i
og -
=e
, on trouve
in~
il suffit
I - ~J1
(3.12).
qu'elle n'ait
soit inversible ;
127
m(u,u') ~ ~
si
n pair
m(u,u')~
si
n
(4.6)
~ + ½.
impair
toutes les valeurs permises par cette r~gle sont effectivement a t t e i n t e s ,
car
L ~tant le g~n6rateur
(3.21)
Le groupe symplectique
Sp(n)
du groupe d'homotopie de w~(n).
agit sur J~(n)
en conservant la transversalit6
des couples de plans lagrangiens ; comme Sp(n)
est connexe, cette action se
rel~ve en une action de son rev6tement universel
A(n) . Donnons-nous un couple de points
existe, donc que
u et
u'
Sp(n)
u,u'C-
sur le rev6tement
A(~
tels que
m(u,u')
se projettent en des points transverses de
A(n)
si a E Sp(n) , a(u) et a ( u ' ) se projetteront aussi en des points transverses de
A(n) ; par suite, l ' a p p l i c a t i o n aft> m(~(u), ~ ( u ' ) ) envoie
la vari~t~ connexe Sp(n)
dans ~
ou " ~ + 1/2 ~ comme e l l e est continue,
e l l e est constante :
(4.8)
m(a(u) , a ( u ' ) l : m(u, u')
A I
~ a E Sp(E)
l ' i n d i c e de Maslov est donc i n v a r i a n t par l ' a c t i o n de
(4.5)
Sp(E) ; sa d ~ f i n i t i o n
ne d~pend qu'en apparence de la structure hermitienne par laquelle
nous avons compl~t~ la structure symplectique de
C n ; (4.5)
est en f a i t
une formule pratique de calcul.
La formule
(4.9)
m(u,u') + m(u',u) = 0
est ~vidente sur
(4.10)
(4.5) ( u t i l i s e r (4.4)) ; quant ~ la formule de Leray
m(u,u')
+ m(u',u") + m(u",u) = ½ sgn(~A' h i ' ~" ) I
J
,
sont les projections de
u, u ' , u"
sur
A~(n) , e l l e se
;
128
v ~ r i f i e facilement en u t i l i s a n t un choix p a r t i c u l i e r de ~ ,
~I , ~,
corres-
pondant a chaque signature ; e l l e s'~tend ensuite au cas g~n6ral par l'action
du groupe symplectique (3.13)
(4.9) et (4.10)
et de son rev6tement universel
impliquent imm~diatement l'antisym~trie de
(3.23).
"sgn" et la
formule cohomologique (1.11) : la demi-signature apparait comme le cobord
de l ' i n d i c e de Maslov.
La d~finition propos6e ici pour l ' i n d i c e de Maslov diff~re d'une
constante de celle de Leray
(
]~][
). Indiquons comment e l l e se rattache
la d ~ f i n i t i o n o r i g i n a l e de Maslov
Une v a r i ~ t ~
(
~
).
V , plong~e dans un espace v e c t o r i e l symplectique
E ,
est d i t e lagrangienne si son plan tangent est lagrangien en t o u t p o i n t ; on
d ~ f i n i t ainsi une a p p l i c a t i o n
privil~gie
x C V
T
de
V dans
A
(E) ( f i g u r e
une d i r e c t i o n lagrangienne p a r t i c u l i ~ r e
t e l s que
apparent de
ne s o i t pas transverse ~
F
un arc de courbe trac~ sur
s'appelle
contour
V , dont les extr~mit~s
n ' a p p a r t i e n n e n t pas au contour apparent.
a p p l i c a t i o n de [ 0 , 1 ]
dans
Si l ' o n c h o i s i t un rel~vement
(4.11)
~o
i ). Maslov
; l'ensemble des
V .
Soit
F(O) e t F(1)
T(x)
~o
k; m( o, ,o
~(E),
T o F
qui poss~de un rel~vement
o
de
~o
est une
ToF
~ ./\(E).
, le nombre
m(Xo, To O))
est un entier qui ne d~pend ni du choix du rel~vement de T ~ F , ni de celui
de ~o (voir
(4.7)) ; c'est l ' i n d i c e de Maslov proprement d i t de l ' a r c
F .
II est nul si l ' a r c ne rencontre pas le contour apparent (parce qu'alors
t ~m
, T~F(t)
est une fonction continue a valeurs enti~res).
Si la courbe est un facet (F(1) = F(O))
la formule (4.7) montre
k .~-"
que To F(1) = L (ToF(O)) , L ~tant le g~n~rateur (3.21) du groupe d'homotopie de
A(E) ,
k
l ' i n d i c e du lacet. Par consequent k
rep~re la classe
d'homotopie de To F , et ne d~pend pas de ~o ; un lacet dont l ' i n d i c e de
Maslov n'est pas nul rencontre donc les contours apparents attaches a toutes
les directions lagrangiennes.
Si
tion
V est orientable, l'application T se relive par une applica-
T+ a la vari~t~ des plans lagrangiens orientables, qui est un rev6tement
connexe ~ deux f e u i l l e t s de J~(E) (3.9)
,donc i d e n t i f i a b l e au quotient de
129
A
A (E)
par
L2 . Alors l ' i n d i c e de t o u t f a c e t trac# sur
V e s t un nombre
ap~
o
t
4
/
....
,
x(E)/L~
A CE)
- Figure i
-
§5 - DENSITES
Soit
~
un nombre p o s i t i f ,
E
un espace v e c t o r i e l
n . Appelons rep~re t o u t e a p p l i c a t i o n lin@aire
- d e n s i t ~ de E
(5.1)
toute fonction
f
f(SM) = f(S) Idet(M)# ~
S
de
F?xn
r~el de dimension
dans
E ;
d@finie sur les rep~res a t v @ r i f i a n t
pour t o u t e m a t r i c e
M .
130
Les
(X-densit~s r~el]es forment un espace v e c t o r i e l ordonn~ de dimension 1 ;
le produit d'une
la puissance
C~-densit~ et d'une
(5
d'une
~ - d e n s i t ~ est une
~ - d e n s i t ~ p o s i t i v e est une
(~+~)-densit~
(~)-densit6
;
posi-
tive.
On appellera
~ - d e n s i t ~ d'une vari6t~
V tout champ continu de
~-densit~s de l'espace tangent ; les diff~omorphismes de
airement sur les
On s a i t d ~ f i n i r l ' i n t ~ g r a l e sur
(5.2)
I~
d'une 1-densit6
V agissent l i n ~ -
CX-densit~s.
~
V
~
a support compact ; cette i n t 6 g r a l e est i n v a r i a n t e par
diff~omorphisme.
L'espace
Hv
des
I/2-densit~s complexes ~ support compact de
V
est muni d'une structure pr~hilbertienne si l ' o n pose
(5.3)
V
(5.4)
par
Si
a
a est un diff6omorphisme de
d'un ~l~ment de
V sur une vari~t~
HV est un ~l~ment de
est u n i t a i r e ; e l l e passe ~videmment aux compl~t~s
c u l i e r , le groupe des diff~omorphismes de
ment sur
HV et
Si
rep~re
~V
V et
S de
x
S ~
i l existe une
~v'
V
~V'
" En p a r t i -
se repr~sente u n i t a i r e .
sont deux vari~t~s de dimension
et un rep~re
S'
rellement un rep~re du produit cart~sien
le noterons
V sur
"
V'
V en
V' , l'image
HV, , et cette application
S' ; si
L~ et
CK-densit~ de
d/j
de
V'
V x V'
en
x'
au point
n
et
(x , x ' )
sont des ~-densit6s de
V x V' , que nous noterons
n' , un
d~finissent natu; nous
V et
L~J(~L~j
V' ,
, telle
que
(5.5)
[L~)(~L~J](~')--L~IS~
nous l'appellerons produit tensoriel de
bi-lin~aire.
~biCS'~ en tout point de
L~
et
L~))
V x V' ;
; ce produit est
131
§6 - REPRESENTATIONDE SCHRODINGER.
D~signons par
r~
complexes de module 1 ).
le t o r e (groupe m u l t i p l i c a t i f
sion 2n , consid~rons la v a r i ~ t ~
(6.1)
Y
des hombres
E ~tant un espace v e c t o r i e l symplectique de dimenY = E xrl]"
~ = (x,z)
Ix
~
parcourue par l a v a r i a b l e
E , z ~ l
peut a t r e consid~r~e comme un f i b r ~ p r i n c i p a l au-dessus de
E , par la
projection
(6.2)
~ i--> x ,
et l ' a c t i o n du tore
(6.3)
Munissons
z(x,z) : (x,zz)
Y de l a 1-forme
(6.4)
~
{~I~
[ v z ~ '~
~C~
--
(6.2)
v (x,z)~ Y ]
d ~ f i n i e par
+
I I est imm~diat que la d6riv~e e x t 6 r i e u r e de
par la p r o j e c t i o n
,
de la forn~e
0--
"~
de
est l'image r~ciproque,
E , que le g~n6rateur
I(~)
du tore est le vecteur v e r t i c a l t e l que
Soit
Quant(Y)
le groupe des diff6omorphismes de
Y qui respectent
la forme -£;3- ("quantomorphismes") ; t o u t quantomorphisme respecte la f i b r a t i o n ,
et commute avec le tore ; i l
qui respecte
CI"
se p r o j e t t e donc sur
E selon un diff~omorphisme
("symplectomorphisme") ; on d ~ f i n i t
ainsi un morphisme de
groupe
(6.6)
Quant(Y)
ce morphisme est s u r j e c t i f
Quant(Y)
~
Sympl(E)
; son noyau est le t o r e , centre de
est donc une extension c e n t r a l e de Sympl(E) .
Quant(Y) ;
132
Le groupe
(E,+)
des t r a n s l a t i o n s de
son image r~ciproque par le morphisme
il
(6.6)
a g i t t r a n s i t i v e m e n t e t l i b r e m e n t sur
Y
E e s t i n c l u s dans
, si bien q u ' i l
en c h o i s i s s a n t a r b i t r a i r e m e n t son ~l~ment neutre
(6.7)
(6.8)
Y
~"
=
(x
+ x ' , zz' e ~
e s t encore le centre de
En c h o i s i s s a n t une base canonique de
Y
-~
(x,1)
•
Y
E , on constate que l ' a l g ~ b r e de Lie
L i e des
Y~
Notons
Y/X
E ; l'ensemble des
~_xE~I
e s t un sous-groupe ab~lien de
Y , que nous noterons
YX
; les alg6bres de
sont les sous-alg6bres maximales i n c l u s e s dans
l a v a r i 6 t ~ q u o t i e n t de
de dimension
n+l
sur l a q u e l l e a g i t
Y
par
Y~
; Y/~
Y , e t en p a r t i c u l i e r
ker('CT ) .
e s t une v a r i ~ t ~
~
; l'action
des
L~ ~
est libre.
Puisque
qui v ~ r i f i e n t
(6.1o)
IxlIx I
par Hermann Weylo
un plan lagrangien de
(6.9)
~r
Y
e s t c e l l e des " r e l a t i o n s de commutation" de Heisenberg ; le groupe
lui-m~me a ~t~ i n t r o d u i t
de
~
l a l o i de groupe
(x,z) x (x',z'l
le t o r e
Soit
s'identifie
e ; nous prendrons
e = (0,1)
ce qui f o u r n i t sur
de
Sympl(E) ;
sera appel~ groupe de Heisenber 9 ;
!
r~,
e s t le centre de
H
Hy/~i5,3)
l a " c o n d i t i o n de c i r c u l a t i o n "
z(d2)
= z x 4,
e s t i n v a r i a n t par l ' a c t i o n
tion unitaire
Y , l'espace
de
1
Y : i l c o n s t i t u e donc un espace de r e p r e s e n t a -
du groupe de Heisenberg : c ' e s t
nous a l l o n s c h e r c h e r si
l ' o n peut i d e n t i f i e r
a s s o c i ~ e s aux d i v e r s plans l a g r a n g i e n s
la r e p r e s e n t a t i o n de Schr~dinger ;
]es r e p r e s e n t a t i o n s
~ E.A.(E)
•
de Schr~dinger
133
§7 - PAIRING
Soient
~/~EA(E)
de Y , d~signons par
Z
,
et ~
(figure 2)
1 'application
cart~sien ~r =[Y/~I x~Y/~]
~ et ~t
transverses. ~ ~tant un point
ses projections sur
Y/~ et Y / ~
~F-~)=(~
~)
de Y dans le produit
est un plongement (parce que ~ et ~
sont
transverses).
(7.1)
Soit I le g~n~rateur infinitesimal du tore agissant sur chacune
des vari~t#s Y , Y/% , Y/# , V ; I(C ) = ( I ( ~ ) , l(m)) est l'image de I(~ )
par le plongement ~ - ~
; par contre le vecteur I ' ( ~ ) = ½(I(~ ), -l(m))
est transversal ~ l'image de
Soient
Y .
~oE H ~ , d2~
;
c~¢~d2
(5.5)
est une semi-
densit~ a support compact de V , invariante par l ' a c t i o n du tore (parce que
~(> et ~ v ~ r i f i e n t chacune la condition de circulation
(6.10)) ; si S
est un rep~re de Y en ~ , l ' a p p l i c a t i o n
,~
.
est une semi-densit6 de Y , elle aussi invariante par
I(~)
/
i \
'six x
"
- Figure 2
-
",u
134
Par ailleurs le groupe de Lie Y possede une semi-densit~ positive invariante
b3 o ;
CO OOQ est une l-densit~ ; posons (cf.(5.2))
on definit ainsi une forme sesqui-lineaire entre HX et H#~ , appelee
"pairing" de H~ et H~ ; bien qu'elle ne fasse pas intervenir la structure symplecti~,~e, cette definition est equivalente ~ la definition originale de KostanUt~et Sternberg. Notons que :
Le pairing poss~de la symetrie hermitienne, en ce sens que
i l est invariant par l'action du groupe de Heisenberg :
(7.5)
[ <~(~),
~(~)>~
=~L~
..... d / > ~
si
a ~
Y1
a ~-~ a designant la representation
- de S c h r ~ d i n g e r ( ~ )
Theoreme :
(7.6)
Soient ~)~ et ~l~j¢ les hilbertiens completes de Hx et HF
i l existe une application unitaire
i]~l,
de ~
sur ~ r
caracterisee
par
Ce theoreme suppose une normalisation convenable de la demi-forme invariante
OJ~, a savoir
:
1 -'v'- g
etant la densite de Liouville de E ,
~L la densite de Haar de ~T~
;
135
i l se v ~ r i f i e
~,
~
en choisissant une base canonique de
( v o i r ( 2 , 1 ) ) , ce qui permet d ' i d e n t i f i e r
E associ~e au couple
chacun des espaces
L2(~?~n ) ; on constate alors que
m
donc que
et
~
-Tx~
est simplement une transformation de F o u r i e r entre
~A
; on peut donc consid~rer le p a i r i n g comme une "g~om~trisation" de
la transform~e de Fourier.
L'unitarit~
de
~i~
et la formule
(7.4)
impliquent la formule
(7.9)
Une question se pose alors naturellement : le p a i r i n g e s t - i l
a-t-on
~__ v =~'~v
.^~
Dans le cas p a r t i c u l i e r
si
~
~,v
transitif
?
sont transverses deux ~ deux ?
#
le plus simple
(n = 1, s g n ( X , ~ , ~
) = 1)
,
on constate, en choisissant naturellement les coordonn~es, que cette
question devient :
la f o n c t i o n n e l le
-~<~
v~rifie-t-elle
F3 = 1 ?
La r~ponse est non ; c ' e s t seulement
l'identit~
F24
qui est ~gal
; un calcul ~l~mentaire montre en e f f e t que
de la conjugu~e de
F
(~gale ~
F- I
)
par l ' i n t ~ g r a l e
F2
est le p r o d u i t
de Fresnel
136
1
2F-2,T
dont la valeur est
I
eiy2/2 dy
eiTT/4
; on a donc
p o
~ = e
v ;
le cas g~n~ral se ram~ne ~ celui-ci en choisissant une base de l'espace ~t~
qui s o i t orthonormale pour la m~trique
canoniquement dans
g~n~rale
!
(7.10)
sgn
g~v
(resp. dans Y
,%~XM
(1.8)
et en la compl~tant
) ; ce qui conduit ~ la formule
=
V
hv
~tant la fonction d~finie en
(1.9).
Quel parti peut-on t i r e r de cette formule ? On peut songer ~ se
d~barrasser du terme g6nant en d~phasant la d ~ f i n i t i o n du pairing ; ce qui
revient a r~soudre le probl~me cohomologique implicitement pos6 par la
formule
(1.11) , c'est-~-dire ~ consid~rer le cocycle "sgn" comme un
cobord : nous savons que ce n'est globalement possible qu'en passant au
rev~tement, et que la solution est fournie par l ' i n d i c e de Maslov.
§8 - ESPACE DE SCHRODINGER
Soit donc
lagrangienne
A(E)
le rev@tement universel de la grassmannienne
A(E) , P la projection de
A(E)
sur
A(E)
( v o i r le
§3).
A tout E ~
/',, (E) '..~on°us associerons l'espace de Hilbert
nous pourrons noter
O~L~_ ; l'ensemble des couples
~.p~,.)
, que
137
peut ~tre consid~r~ comme un f i b r ~ h i l b e r t i e n de base
Nous dirons que
lagrangiens
u et
P(u) et P(v)
v
f~(E) ( f i g u r e 3).
sont transverses si les plans
le sont ; nous poserons alors
_ iITm(%,)
(8.1)
Fuv = e
2
~ - P ( u ) , P(v)
m ~tant l ' i n d i c e de Maslov
d~finie en
(4.5)
,
la "transformation de Fourier"
(7.6).
I I est c l a i r alors que
t
(8.2)
Fuv
Fuv
F
UV
est une application u n i t a i r e de
-I
:F
V
sur
U
= Fvu
VW
=F
UW
s._~i u, v, w sont deux ~ deux transverses ; la d ~ f i n i t i o n
(8.1)
a 6t~
choisie pour assurer la derni~re de ces i d e n t i t ~ s , grace ~ la formule de
Leray (4.10).
Th~or~me :
(8.3)
de
A
On peut prolonger l ' a p p l i c a t i o n
(u,v) l - ~ F u v
A(E) (transverses ou non) de faqon que les formules
tousles
(8.2)
couples
restent
valables : ce prolongement est unique.
Etablissons d'abord deux lemmes :
i
I I e x i s t e une p a r t i e
(~
de
de
Deux ~16ments d i s t i n c t s
t, t'
Pour toute p a r t i e f i n i e
(u I , u2 . . . . .
~(E)
(~)
t e l l e que
sont transverses ;
(8.4)
A
E (~)
qui est transverse ~ ~1' U2 . . . . .
II suffit
~)
de
A(E) , i l e x i s t e
OlD "
~videmment de c h o i s i r une t e l l e p a r t i e dans
de r e l e v e r a r b i t r a i r e m e n t chacun de ses ~l~ments. En supposant que
A(E)
et
E est
138
1 espace C" , on choisira l'ensemble des matrices z I ,LzGql ~ I
(avec
l'identification
(3.11) des plans lagrangiens ~ des matrices ). Les propri6t~s (8.4) r~sultent imm~diatement de (3.12) , qui implique
[ >~ transverse a z l I ~ Z ~
I~
n'admet pas la valeur propre
z].
C.Q.F.D.
|r
(8.5)
Pour tout couple u,v
.A
A(E) , i l existe une application
~b
t e l l e que
~)uv = Fu~ o
II s u f f i t de montrer, si
et v , que
F~e o
F~
t
et
I
Vt~),
t ' e C) , t
Ft:~ = F ~ , ~
t
et
t'
transverse ~ u et
~tant transverses ~
u
F~,
ceci r~sulte des formules
valable$en raison de
(8.2)
parce que
t
et
sont transverses (8.4).
C.Q.F.D.
II est alors ~l~mentaire de v ~ r i f i e r que C~u v est le prolongement unique
cherch~ de Fuv ; exemple : quels que soient u, v, w, i l existe t E ~
transverse ~ u, v, w (8.4) ; on a alors
<~uv °C~ vw = Fut° FtvOFvtOFtw
ce qui v6rifie la derni~re des formules
t'
= F Lt
Ftw
= C~,w
(8.2).
C.Q.F.D.
Th#or~me :
(8.6)
I
v]
139
L
~tant le g~n@rateur
II suffit
de c h o i s i r
(3.21)
t
du groupe d'homotopie de
transverse ~
u
, d'~crire
A(E).
Fuu = F ~
(8.1)
FL(u) u = FL(u) t o Ftu
, d ' u t i l i s e r la d ~ f i n i t i o n
formule (7.9) et les propri~t~s
( 4 . 9 ) , (4.7) de l ' i n d i c e
:
F~
,
de
F , la
de Maslov.
C.Q.F.D.
(8.8)
La formule
donc q u ' i l
(8.7)
montre que
Fk4k(u) , L4k,(u )
n ' e s t pas n~cessaire d ' u t i l i s e r
pour p a r v e n i r au r 6 s u l t a t
plans lagrangiens o r i e n t , s )
de la grassmannienne
effet
(7.13)
ces r 6 s u l t a t s pour t r i v i a l i s e r
de la f i g u r e 3 , en i d e n t i f i a n t
'
et
de la v a r i ~ t ~ des
; mais ce n ' e s t pas indispensable.
- Nous pouvons maintenant u t i l i s e r
~E
toutes ses f i b r e s ~ une
que nous appellerons "espace de Schr6dinger" ; en
(7.16)
montrent que la r e l a t i o n
~a
:
est une ~quivalence, et que la s t r u c t u r e h i l b e r t i e n n e du q u o t i e n t
d ~ f i n i e par l ' u n i t a r i t ~
(8.10)
L~--~
est ind~pendante de
~E
de l ' a p p l i c a t i o n
classe (u , L~ )
u .
La r e l a t i o n
(7.5)
commutent avec les ~:-xr
peut directement d ~ f i n i r
indique que les "op~rateurs de Schr6dinger"
, d o n c avec les
Fuv
, ce qui montre que l ' o n
la representation de Schr~di.n~er sur l'espace
par la formule
(8.11)
A(E)
: on peut si l ' o n veut se contenter d ' u t i l i s e r
lagrangienne (et par consequent rev6tement ~ 2 f e u i l l e t s
fibre-type
,
le rev~tement universel de
la " v a r i 6 t ~ de Maslov" , rev~tement ~ 4 f e u i l l e t s
le f i b r 6 h i l b e r t i e n
= I ~,
a (classe (u,dH)) = classe (u , a(sb )
M E
140
J
L~J-
_
--
- >
- -
_
N
r-'-
/
w
-
- - >
--
_ _
"-~'0
J
t
i
A
&,
- Figure 3 -
§9 - REPRESENTATION METAPLECTIQUE
La v a r i ~ t ~
Y
a ~t~ munie, au §6 , d'une s t r u c t u r e de " v a r i ~ t ~
quantique" d ~ f i n i e par l a forme
de Lie
(6.8)
. II est facile
ces deux s t r u c t u r e s
a g i s s a n t sur
Y
(9.1)
a(x,z)
-
Si
a
ferm~ de
G/H
~
(6.4)
e t d'une s t r u c t u r e de groupe
de t r o u v e r les automorphismes simultan~s de
: ce sont les images du ~roupe symplectique
= ( a ( x ) , z)
[ 2LG SI~(~) , XG ~-~ = e ~ T ]
d~signe un automorphisme d'un groupe de Lie
G , il
Sp(E) ,
selon l a r ~ g l e
e s t c l a i r que
sur l a v a r i ~ t ~
G/a(H)
a
d~finit
par la formule
G , H
un sous-groupe
un diff~omorphisme de l a v a r i 6 t 6
141
(9.2)
a(classeH(x)) = classea(H)(a(x))
En appliquant ce proc~d~ au cas
(notations du
vari~[~
de
Y/X
H~x
§6), on v o i t que
sur la v a r i 6 t ~
sur
H ym(~
avec le tore
(6.6)
(5.4)
(9.2)
a
G
Sp(E)
un diff~omorphisme de la
, d o n c une a p p l i c a t i o n u n i t a i r e
~tant un quantomorphisme, commute
, si bien q u ' i l
par la condition de c i r c u l a t i o n
~
G = Y , H = Y~ , a ~
d6finit
Y/a(x)
;
Vx
applique ]e sous-espace
(6.10))
sur,.~l'espace
a p p l i c a t i o n u n i t a i r e passe aux compl~t~s
Hx
Ha( X )
(d~fini
; cette
~Y'Lx, ~ a ( ~
I I r ~ s u l t e de la c o n s t r u c t i o n du p a i r i n g que a
d~double foncto-
r i e l l e m e n t la f i g u r e 2 - d o n c que
ce qui se t r a d u i t
(Cf. (7.6)) en
-
(9.4)
Si donc nous choisissons un ~l~ment
de
Sp(E)
par
o
b
qui a g i t sur le rev~tement
~(b)
sa p r o j e c t i o n sur
(9.5)
Fb(u) b(v) =
o
du groupe
A(E)
de
Sp(E) , rev~tement universel
A(E)
Sp(E) , nous aurons
, et si nous d~signons
(Cf. ( 8 . 1 ) )
TT(b) ~ Fuv , Tf(b) - I
A
ce qui montre que
Sp(E)
ag.it u n i t a i r e m e n t sur l'espace de Schr~dinger
selon la formule
(9.16)
b(classe ( u , ~ ) )
= classe ( b ( u ) , 3 - ~ ) { % b ) ) )
c ' e s t la representation de Shale-Weil ([~v']~.
Cette representation n ' e s t pas f i d d l e
K = (I, 2~)
son action sur
du g/~.~upe d'homotopie de
A(n)
; consid~rons en e f f e t le g~n~rateur
Sp(n)
(3.19)
, donn~e par la formule
(3.23)
;
, est
E
142
e l l e coincide donc avec c e l l e de
L2 (3.21) . I I r ~ s u l t e alors de
(8.7)
que
(9.7)
K(@) = -
donc que
K2
a p p a r t i e n t au noyau de la r e p r 6 s e n t a t i o n . ~ ] ~ r e p r 6 s e n t a t i o n
de Shale-Weil est donc une r e p r e s e n t a t i o n u n i t a i r e de
d i r e du rev~tement a deux f e u i l l e t s
(d'o~
-
de
Sp(E)/K 2 , c ' e s t - ~ -
Sp(E) , appel~ groupe m~taplectique
son nom de r e p r e s e n t a t i o n m~taplectique).
On remarquera que le groupe m~taplectique e t le groupe de Heisenberg
engendrent un p r o d u i t s e m i - d i r e c t , extension p a r L ~ / ~ l ~ T
des symplectomorphismes a f f i n e s de
1 'espace de Schr~dinger ~
~
du groupe
E , e t que c e l u i - c i se repr~sente sur
; cette " r e p r e s e n t a t i o n de Weil-Weyl" c o n t i e n t
les deux pr~c~dentes.
§10 - APPLICATION A L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
On appelle o s c i l l a t e u r harmonique a
mobile dans un espace e u c l i d i e n de dimension
n
dimensions un p o i n t
q
n , les ~quations du mouvement
d 6 r i v a n t du lagrangien
~i
(10.1)
mI dd-~IIqt 2 -v(q)
oO l ' ~ n e r ~ i e p o t e n ~ e l l e
v
est une forme quadratique p o s i t i v e .
On peut c h o i s i r une base orthogonale oO cette forme est d~compos~e en carr~s :
n
(i02)
j=Z
ce qui f o u r n i t
respectives
n
3
qj2
"mouvements propres" de ] ' o s c i l l a t e u r ,
2 IT / cJ . .
J
> o
de p~riodes
143
La l i n ~ a r i t ~ des ~quations du mouvement et le calcul des crochets de
Lagrange montrent que l'ensemble
E des mouvements poss~de une s t r u c t u r e
d'espace v e c t o r i e l symplectique ; e l l e s ' i d e n t i f i e
(10.3)
masse
~ c e l l e de
(~n
(§3) si
1° ) on a choisi des unit~s de longueur, masse, temps t e l l e s que la
m s o i t ~gale
2 ° ) on d~signe par
i
pj
et la constante de Planck a
les variables
dtdqj
2n~- ;
et on pose
)
?~_ ~;ga-~, q, \
(10.4)
~=
les valeurs des
pj
et
qJ
~tant prises a la date
t = 0 .
Nous nous proposons de c o n s t r u i r e et d ' i n t e r p r ~ t e r
Schr~dinger associ~
~
l'espace de
(§8).
Faisons quelques remarques pr~alables :
(10.5) Si on d~signe par
aT
l ' o p ~ r a t i o n qui consiste ~ r e t a r d e r un
mouvement d'une dur~e a r b i t r a i r e
E
,
dans le groupe symplectique
est un morphisme du groupe a d d i t i f
ici,
dans le groupe u n i t a i r e ,
Sp(E) ;
car
Q
~
..
-
_ £Lon~
e
l
144
(10,6) - t ~tant une date a r b i t r a i r e ,
passe a l ' o r i g i n e
a l'instant
les mouvements dans lesquels le point
t
forment un plan lagrangien
~t
q
' et l'on a
- -
comme on a visiblement
~ o = ~P~" , on a donc
avec l ' i d e n t i f i c a t i o n
matricielle
(3.10)
~k t = a t
~(at-1)
~t
= at(~
n) ; d'oO
= a2t
I
(10.7) - Les applications
-C~-~a~.~, t r-~1..~ t se rel~vent respectivement aux
rev~tements universels Sp(E) , A(E) par
de sorte que
b o b
= bc
; u
= b
(ut)
;
on pourra choisir
I
(10.8) - L ' i n d i c e de Maslov
m(u t , u~r+t )
m(u t , u ~ + t ) = m ( b t ( u o ) , b t ( ~ T ) )
d~finition
(4.5) donne alors
ne d~pend que de
= m(uo ' u ~ )
m(ut, u T + t) = - 2 ~ [ 2 ( ~ J ~ + . , , + ~ n ) ' t - +
en u t i l i s a n t
; en e f f e t
; la
i Tr(Log(-a_2~)) ]
;
le r ~ s u l t a t a u x i l i a i r e
Log(-e ie~ ) : i[~<- TT -211" Ent(~X/21T)I
oQ Ent
"~"
(formule (4.8))
d~signe la p a r t i e e n t i ~ r e ,
i l vient
V~.E
~R~-~__
145
n
Ent(~3
m(ut , u _ c + t ) = ~ +
T/.)
j=l
on v o i t en p a r t i c u l i e r que
ut
et
uE+t
sont transverses si "C
n'est
pas demi-p~riode d'un mouvement propre.
(10.9) La vari~t~
Yl~,t
peut se rep~rer par les variables
¢ ~ ra-%
q l ' q2' . . . . qn '
les valeurs des
l'espace ~A
qj
et
pj
~ = z e~
6tant prises ~ l ' i n s t a n t
t ; un ~l~ment de
s'~crit
t
~tant une~emi-densit~ invariante sur ]F~~ x ~
sommable.
, q ) ~ t a n t ~ carr~
Alors un ~l~ment de l'espace de Schr~dinger
consid~r~ comme une classe d'~quivalence de couples
relation
~J
~
pourra ~tre
(x t , q ) t )
pour la
(8.9) ; en effectuant le calcul du pairing (Figure 2)
en u t i l i s a n t l ' i n d i c e de Maslov
s'~crit
et
(10.8), on constate que cette r e l a t i o n
;11
(10.10
)
L
p~
p
chaque fois que
ut
et
u~+t
sont transverses, c ' e s t - ~ - d i r e quand
I
146
n ' e s t pas une demi-p~riode.
Nous savons donc que
~
est l'ensemble des fonctions
des variables t , q l ' . . . . qn ' qui sont ~ carr~ sommable en q l ' . . . . qn
pour chaque valeur de t , e t qui v ~ r i f i e n t cette ~quation (10.10) ;
nous savons d ' a i l l e u r s q u ' e l l e s constituent un espace de H i l b e r t , le carr~
de leur norme ~tant
(10.11)
I ~ n l ~f~ ( q l , . • . , qn)l 2
qui est ind~pendante de
t
dq I . . . dq n
.
- En effectuant quelques d~rivations sous le signe
, le l e c t e u r se
convaincra sans trop de peine ( v o i r B6renguier ~LVII]" ), que les solutions de
(10.10) v 6 r i f i e n t l'6quation de Schr~dinger
(10.12)
~
qui se trouve donc e x p l i c i t e m e n t i n t ~ r ~ e
(10.10).
Cette formule est d ' a i l l e u r s un prolongement de celle de Feynman
-
( [Vl]
)
qui s'applique seulement au cas oO l ~ i
est i n f ~ r i e u r ~ la plus p e t i t e
,
des demi-p~riodes (alors 1 indice de Maslov se s i m p l i f i e en n sgn('C-)).
On peut i n t e r p r 6 t e r
(i0.I0)
sur une fonction d'onde
L~
-
l'61~ment de
Sp(E)
de la faGon suivante : un retard de
la transforme en
calcul6 en
la representation m6taplectique
(10.7) , b,~
b
(~)
agissant sur
b~
"C
~tant
<~.¢
par
(9.6) .
U t i l i s o n s cette remarque pour c a l c u l e r
L~.~.~
dans un cas non
transverse : t r a i t o n s le cas d'un o s c i l l a t e u r isotrope (toutes les fr~quences
T
~,
propres ~tant ~gales) ; prenons pour ~
la demi-p6riode ~ = " ~ . On'
trouve facilement (en u t i l i s a n t
(10.13)
aT/2 = - I
(10.5), (10.7), (3.21))
, bT/2 = ( - I , - n ~ )
d'ofi, par application de
, Ut+T/2 : bT/2(ut) = L-n(ut )
(9.6) , ( 8 . 9 ) , (8.7)
147
(~t-T/2 = i'n L~o~-I~
ce qui peut encore s'~crire
(10.14)
L~t+T/Z(q
I .....
qn) : i n L~t(-ql,-q 2. . . . .
-qn )
Cette propri~t~ des solutions de l'~quation de Schf6dinger (10.12) peut
se v~rifier directement sur chaque solution stationnaire (la v~rification
fait intervenir l'~nergie du point 0 et la parit~ des polyn6mes d'Hermite).
Elle entra~ne ~videmment
(10.15)
L~t+T = ~_1~n L~
;
lorsque la dimension n est impaire, les solutions de l'~quation de
Schr~dinger ont une p~riode double de celle des mouvements classiques.
148
- REFERENCES -
Ill
V.P. MASLOV
Th~orie des Perturbations et M~thodes Asymptotiques,
Dunod (1972)
V. ARNOLD
Journal d'Analyse Fonctionnelle, n ° l , p. I . Traduction fran~aise :
Suppl~ment a la traduction fran~aise du l i v r e de Maslov.
Jill]
J. LERAY
Communication Colloque de Rome, Janvier 1973,
Acta Matematica, vol. XIV.
[IV]
B. KOSTANT
Communication Colloque de Rome, Janvier 1973
Acta Matematica, vol. XIV.
Iv]
A. WEIL
Sur certains groupes d'op~rateurs u n i t a i r e s ,
Acta Matematica (1964), p. 143-211.
[Vl]
R.P. FEYNMAN
Quantum Mechanics and Path I n t e g r a l s ,
Mc Graw H i l l (1965).
[viii
G. BERENGUIER
G~om~trie et Quantog~om~trie de l ' O s c i l l a t e u r Harmonique,
Th~se de 3e cycle, Universit~ de Provence, Mars 1975.