C Suites arithmétiques

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C
Suites arithmétiques
1) Définition
Définition 3 : Une suite ( un )n∈` est dite arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel r (appelé
un +1 = un + r
raison) tel que, pour tout n de ` , on ait :
Exemples de suites arithmétiques
•
2 5 8 11 14 17 20 ... suite arithmétque croissante de raison r = 3
La différence de deux termes consécutifs est toujours égale à 3
•
4
7
2
3
5
2
2
3
2
1
1
2
0
−
1
2
... suite arithmétique décroissante
1
2
de raison r = − , car la différence de deux termes consécutifs quelconques
1
2
vaut r = − .
2) Expression de un
Exercice :
un = un−1 − 3

u0 = 31
Déterminez les 11 premiers termes de la suite.
Détectez une formule générale permettant de calculer directement u10
Soit la suite u définie par :
u0
Résolution :
u0 = 31
r = −3
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
u10
31 28 25 22 19 16 13 10
7
4
1
−3 −3 −3 −3 −3 −3 −3 −3 −3 −3
On constate que le résultat diminue à chaque fois de 3, donc on a : u10 = u0 + 10 ⋅ (−3)
En général : En généralisant ce procédé, on obtient facilement la formule générale :
un = u0 + n ⋅ r
Remarque :
Pour contrôler si une suite est arithmétique, on vérifie si la différence de deux termes
consécutifs est toujours constante.
5
7
9
; 3 ; ; 4 ; ; ... est une suite arithmétique ?
2
2
2
Est-ce que cette suite est croissante ou décroissante ? Motivez votre réponse.
Réponse : La suite est une suite arithmétique, car la différence de deux termes consécutifs est
1
toujours r = . La suite est croissante puisque la raison est positive.
2
Exemple : Est-ce que la suite u donnée par : 2 ;
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Exercices à faire:
1-4 de la feuille
3) Somme de termes d’une suite numérique : la série
Enigme 1:
La punition de Gauss à l’âge de 7 ans
Carl-Friedrich Gauss était un élève très doué en mathématiques qui s'ennuyait un peu
au cours de mathématiques en première année scolaire. Un jour, lorsqu'il dérangeait
trop le cours, le maître lui donna comme punition de calculer la somme des 100
premiers nombres. Gauss y réfléchit un court instant et répondit 5050. Le maître le
regardait tout étonné, se mit à vérifier le calcul et resta bouche bé.
"Mais comment as-tu fait pour trouver ce résultat aussi vite ?" lui demanda-t-il après
un moment.
Saurais-tu expliquer au maître la manière de raisonner de Gauss ?
Somme des n premiers nombres naturels non nuls
Désignons par n le nombre de cases remplies de l'échiquer et par S la somme des grains de blé mis
sur les cases remplies.
pour : n = 1 ; S1 = 1
n=2
S2 = 1 + 2 = 3
n=3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
n=4
S 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
6+1
...
Pour établir une formule qui nous permette de calculer la somme des
n premiers entiers naturels non-nuls, nous utilisons un procédé qui
nous ramène le problème de calcul à un problème géométrique, c.-àd. la détermination de l'aire d'un rectangle.
1 2 3 4 5 6
Nous constatons ainsi que nous pouvons calculer "ces aires" de la manière suivante:
pour : n = 1 ; S1 = 1
n=2
S2 = 1 + 2 = 3
n=3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
n=4
S 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
1
⋅ 1 ⋅ (1 + 1)
2
1
= ⋅ 2 ⋅ (2 + 1)
2
1
= ⋅ 3 ⋅ (3 + 1)
2
1
= ⋅ 4 ⋅ (4 + 1)
2
=
En généralisant, on trouve:
Somme des n premiers nombres naturels non nuls:
Remarque:
Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
1
⋅ n ⋅ ( n + 1)
2
L'idée de cette explication est la base de la démonstration utilisée dans le livre (et par
Gauss)
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Somme des n premiers nombres naturels impairs
En analysant le graphique ci-joint, nous
constatons le lien entre la somme des n
premiers nombres naturels impairs et l'aire du
carré de longueur de côté n.
Or, tout nombre naturel impair peut s'écrire
sous la forme 2n − 1 ou 2n + 1 où n (n ≥ 1)
est la position du nombre impair dans la
suite des nombres naturels impairs.
1
3
5
7
Il s'ensuit:
9
Somme des n premiers nombres naturels impairs:
Si = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2
Somme des n premiers nombres naturels pairs non nuls
Comme chaque terme de cette somme est le double de chaque terme de la somme des n premiers
nombres naturels non nuls, on trouve facilement:
Somme des n premiers nombres naturels pairs non nuls:
S p = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ⋅ ( n + 1)
S p = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + 2 ⋅ n
Démonstration:
=
par mise en
évidence du
facteur commun 2


2 ⋅ 1
+ 2 + 3 + ... +
n 


sn


1
= 2 ⋅ n ⋅ ( n + 1) = n ⋅ ( n + 1)
2
Une affaire de notation
Pour noter une telle somme de n termes, on utilise très souvent le symbole de notation Σ :
n
∑ i 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2
somme des n premiers carrés non nuls
i =1
u1 + u2 + u3 + u4 =
4
∑ ui
i =1
Utilisation de la V200 pour trouver ces sommes
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4) Démonstrations par récurrence
Les formules énoncées plus haut peuvent toutes se démontrer en utilisant la démonstration par
récurrence, démonstrations réservées aux classes B, C et D.
Hypothèse de récurrence
Cas élémentaire
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Exercices portant sur les suites arithmétiques
1) Dans chacun des exercices suivants, la suite ( u n ) est une suite arithmétique de raison r:
•
•
•
•
u0 = 2
r = −3
Calculer u10 , u 20 , u150
u5 = 7
r=2
Calculer u1 , u 25 , u100
u 3 = 12
7
u7 =
2
u8 = 8
13
u13 =
2
Calculer r , u 0 , u18
Calculer u 0
2) Dans chacun des exercices suivants, la suite ( u n ) est une suite arithmétique de raison r:
•
u 0 = 16
•
•
u1 = 3
1
2
r = −2
u3 = 2
3
u7 =
2
u 7 = 18
4
u10 =
9
•
r=
Calculer u 4 , u 8 , u14
Calculer u 4 , u 8 , u12
Calculer u 0 , u15 , u 20
Calculer u1 et r
3) Une suite arithmétique est telle que: u 2 + u 3 + u 4 = 15 et u 6 = 20 Calculer u 0 et la raison r.
4) Démontrer que les nombres −5, 8 et 21 sont trois termes consécutifs d'une suite
arithmétique. Calculer le 20me terme, si le 5me est -5.
5) Une suite arithmétique ( u n ) de raison 5 est telle que u 0 = 2 et, n étant un nombre entier,
n
∑ ui = 6456 . Calculer le nombre n.
i =3
6) Cinq termes consécutifs d'une suite arithmétique ont une somme égale à 35, le quatrième
terme étant 12. Calculer ces cinq termes.
7) Une suite arithmétique a pour raison -3. La somme de neuf termes consécutifs est
9
.
2
Calculer ces neuf termes.
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Résolution de l'exercice 146 du livre
a)
Dressons d'abord un tableau :
rangée
1 2 3 4
Nombre d'allumettes 3 7 11 15
On remarque qu'il s'agit d'une suite arithmétique de
raison 4 et de terme initial u1 = 3 . Soit donc n , n ≥ 1 le numéro de la rangée.
Formule de récurrence:
un = un−1 + 4
Formule générale:
un = u1 + 4 ⋅ (n − 1) , n ≥ 1
Comme position, rangée et indice causent souvent des embrouilles, il est important de contrôler
cette formule sur un exemple qu'il est facile de calculer à la main.
pour n = 4 : u4 = 3 + 4 ⋅ (4 − 1) = 3 + 4 ⋅ 3 = 3 + 12 = 15 ce qui vérifie notre formule.
Nombre d'allumettes dans la 20me rangée:
u20 = 3 + 4 ⋅ (20 − 1) = 3 + 4 ⋅ 19 = 79 allumettes
Somme des allumettes déposées dans les 20 premières rangées:
19
19
20
20
i
=0
i =0 i =1
i =1
∑ (3 + 4i) = 3 ⋅ 20 + 4 ⋅ ∑ i = ∑ (3 + 4(i − 1)) = 3 ⋅ 20 + 4 ⋅ ∑ i = 3 ⋅ 20 + 4 ⋅
19 ⋅ 20
= 60 + 760 = 820 allumettes
2
mauvaise méthode si on commence
avec la rangée n =1
Avec 293 allumettes, on obtient:
n −1
∑ (3 + 4i) = 3 ⋅ n + 4 ⋅
i =0
⇔
il s'agit de résoudre l'équation:
(n − 1) ⋅ n
= 2n 2 + n = 293
2
2n 2 + n − 293 = 0 avec n ≥ 1
∆ = 2345
n=
−1 − 2345
−1 + 2345
(à rejeter) ou n =
≈ 11,8563
4
4
même remarque que plus haut !
On peut donc construire 11 rangées complètes avec 293 allumettes en utilisant ce schéma.
Pour contrôler si on ne s'est pas trompé, on peut utiliser la 4me rangée:
3 + 7 + 11 + 15 = 36 et 2n 2 + n = 2 ⋅ 42 + 4 = 36 , donc la formule semble être correcte.
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La
Exercice plus poussé:
pyramide
en Lego
On aimerait construire une pyramide avec des cubes "Duplo" en
suivant le schéma ci-indiqué. Combien de cubes à lego nous
faut-il pour construire une pyramide à 15 étages, à 100 étages?
Résolution:
Pour mieux voir comment se composent ces pyramides, il convient de faire un tableau:
Nombre d ' étages
n
Nombres de cubes
un
1
2
3
4
5
1
4 =1+ 3
10 = 4 + 6
20 = 10 + 10
35 = 20 + 15
Or en analysant plus en détail les photos de la progression
de cette pyramide à 5 étages, on arrive à constater que le
nombre de cubes qui s'ajoute d'un étage à l'autre n'est rien
d'autre que la somme des nombres entiers non-nuls jusqu'au
nombre n (= nombre d'étages)
Pour n = 5 , on a: u5 = 20 + ( 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 20 + Sn =5
= 10 + ( 4 + 3 + 2 + 1) = 10 + Sn = 4
Or déjà le 20 se compose de: 20
= ( 4 + ( 3 + 2 + 1) ) + Sn =4 = 4 + Sn =3 + S n= 4 = ..
= Sn=1 + S n= 2 + Sn =3 + Sn = 4
=
1
2
3
4
i =1
i =1
i =1
i =1
∑i + ∑i + ∑i + ∑i
Par conséquent, en allant jusqu'à 15 étages, on trouve le nombre de cubes par le calcul suivant:
u15 =
1
2
∑ ∑
i =1
u100 =
i+
i + ... +
i =1
100  k
14
15
 k  V 200
 i  = 680 cubes
k =1  i =1 
15
∑ ∑ ∑∑
i =1
i+
i =1
i=
 V 200
= 171.700 cubes

∑  ∑ i 
k =1  i =1
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Contrôle de la formule obtenue:
 k  V 200
 i  = 4 cubes
k =1  i =1 
4  k  V 200
u4 =  i  = 20 cubes


k =1  i =1 
u2 =
2
∑∑
∑∑
 k  V 200
 i  = 10 cubes
k =1  i =1 
5  k  V 200
u5 =  i  = 35 cubes


k =1  i =1 
u3 =
3
∑∑
∑∑
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