MAT-2200 : Algèbre linéaire avancée - Pixel

MAT-2200 : Algèbre linéaire avancée
NRC 11143
Hiver 2014
Mode d'enseignement : Présentiel
Temps consacré : 3-1-5
Crédit(s) : 3
Préalables : MAT 1210 OU MAT 1200
Espaces vectoriels. Sous-espaces, sommes directes, bases. Applications
linéaires, théorème du rang, trace, valeurs et espaces propres.
Diagonalisation, Théorème de Jordan. Espaces euclidiens: produit scalaire,
dual et adjoint, orthogonalité, opérateurs symétriques et normaux, procédé
de Gram-Schmidt et factorisation QR. Normes matricielles. Espaces
hermitiens: opérateurs normaux et unitaires, théorème spectral. Formes
quadratiques. Applications.
Plage horaire :
Cours en classe
mardi
08h30 à 10h20 VCH-3624
vendredi 10h30 à 12h20 VCH-3870
Du 13 janv. 2014 au 25 avr. 2014
Du 13 janv. 2014 au 25 avr. 2014
Il se peut que l'horaire du cours ait été modifié depuis la dernière
synchronisation avec Capsule. Vérifier l'horaire dans Capsule
Site de cours :
https://www.portaildescours.ulaval.ca/ena/site/accueil?idSite=52503
Coordonnées et disponibilités
Erwan Biland
Enseignant
VCH-2209
http://erwanbiland.fr
[email protected]
Disponibilités :
À préciser (sur rendez-vous pour l'instant)
Marie-Ailan Beaulieu
Auxiliaire
[email protected]
Soutien technique :
Équipe TacTic (FSG)
Pavillon Adrien-Pouliot, Local 3718
http://tactic.fsg.ulaval.ca
[email protected]
418-656-2131 poste 8747
Toutes sessions (du 1 janvier au 31 décembre)
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
© Université Laval
09h00 à 16h00
09h00 à 16h00
09h00 à 16h00
09h00 à 16h00
09h00 à 16h00
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 1 de 9
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 2 de 9
Sommaire
Description du cours ......................................................................................................................... 4
Objectifs ....................................................................................................................................... 4
Objectifs spécifiques ....................................................................................................................... 4
Fonctionnement du cours ................................................................................................................ 4
Contenu du cours ........................................................................................................................... 5
Site du cours ................................................................................................................................. 6
Contenu et activités .......................................................................................................................... 6
Évaluations et résultats .................................................................................................................... 6
Consignes sur les examens .............................................................................................................. 6
Modalités d'évaluation ..................................................................................................................... 6
Informations détaillées sur les évaluations sommatives ....................................................................... 6
Examen partiel .......................................................................................................................... 7
Examen final ............................................................................................................................. 7
Tests ....................................................................................................................................... 7
Détails sur les modalités d'évaluation ................................................................................................ 7
Politique sur les examens ................................................................................................................ 7
Échelle des cotes ............................................................................................................................ 7
Politique sur l'utilisation d'appareils électroniques ............................................................................... 7
Politique sur le plagiat et la fraude académique .................................................................................. 8
Étudiants ayant un handicap, un trouble d’apprentissage ou un trouble mental ....................................... 8
Matériel didactique ........................................................................................................................... 8
Matériel obligatoire ......................................................................................................................... 8
Bibliographie ................................................................................................................................. 8
Médiagraphie et annexes .................................................................................................................. 8
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 3 de 9
Description du cours
Objectifs
Approfondir la compréhension des notions d'espace vectoriel et d'application linéaire, et de leur représentation
à l'aide de matrices.
Objectifs spécifiques
À la fin de ce cours, l'étudiant devrait être capable...
de définir un espace vectoriel, un sous-espace vectoriel, une application linéaire ;
d'expliquer la notion de sous-espaces supplémentaires et de somme directe, de définir et de reconnaître
un projecteur, une symétrie ;
d'expliquer la notion de base d'une espace vectoriel de dimension finie ;
de calculer la matrice d'une application linéaire dans deux bases données, de choisir des bases adaptées
pour que cette matrice soit aussi simple que possible, de prouver le théorème du rang ;
de définir et calculer la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire ;
de définir et calculer les valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, sous-espaces
caractéristiques d'un endomorphisme linéaire ;
de choisir une base adaptée pour que la matrice d'un endomorphisme linéaire soit aussi simple que
possible, dans le cas d'un endomorphisme diagonalisable, ou bien nilpotent, ou bien trigonalisable (forme
de Jordan) ;
d'énoncer le théorème de Cayley-Hamilton et de comprendre sa démonstration ;
d'expliquer la notion de produit scalaire, de norme euclidienne et leur principales propriétés, pour un
espace vectoriel sur le corps des réels ou des complexes ;
de définir le dual d'un espace vectoriel, d'expliquer comment un espace euclidien ou hermitien est
isomorphe à son dual ;
d'utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour construire des familles orthonormales ;
d'énoncer le théorème spectral et de comprendre sa démonstration ;
de diagonaliser un opérateur auto-adjoint ou une forme quadratique.
Fonctionnement du cours
Les séances du cours sont détaillées dans le tableau ci-dessous, dont voici la légende.
Une case vide signifie une séance de cours avec l'enseignant. Le cours sera donné au tableau. Il est
important de prendre le cours en notes et de travailler ces notes d'une séance à l'autre pour profiter au
mieux des explications de l'enseignant.
La mention "Dépannage" signifie une séance de correction d'exercices avec l'auxiliaire. Les exercices
seront disponibles à l'avance sur le site du cours (voir plus bas), et devraient avoir été préparés pour
profiter au mieux des explications de l'auxiliaire.
La mention "Test" signfie un test de 50 minutes portant sur la matière des semaines précédentes, et
composé de questions à choix de réponses ou à réponse courte. Les calculatrices ne sont pas autorisées
lors des tests.
La mention "Examen" signifie un examen de 1h50 portant sur toute la matière étudiée depuis le début du
cours. Les locaux des examens seront précisés en temps utile. Les calculatrices ne sont pas autorisées
lors des examens.
8h30 à 9h20
VCH-3624
9h30-10h20
VCH-3624
10h30 - 11h20
VCH-3870
11h30 - 12h20
VCH-3870
Mardi 14
janvier
Vendredi 17 janvier
Mardi 21
Dépannage
Vendredi 24 janvier
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 4 de 9
janvier
Mardi 28
janvier
Test 1
Vendredi 31 janvier
Mardi 4
février
Dépannage
Vendredi 7 février
Mardi 11
février
Test 2
Vendredi 14 février
Mardi 18
février
Dépannage
Vendredi 21 février
Mardi 25
février
Dépannage
Vendredi 28 février
Examen partiel (local à préciser)
Mardi 4
mars
Semaine de lecture
Vendredi 7 mars
Semaine de lecture
Mardi 11
mars
Vendredi 14 mars
Mardi 18
mars
Dépannage
Vendredi 21 mars
Mardi 25
mars
Test 3
Vendredi 28 mars
Mardi 1
avril
Dépannage
Vendredi 4 avril
Mardi 8
avril
Test 4
Vendredi 11 avril
Mardi 15
avril
Dépannage
Vendredi 18 avril
Congé de Pâques
Mardi 22
avril
Vendredi 25 avril
Mardi 29
avril
Examen final (local à préciser)
Dépannage
Contenu du cours
Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices
Corps, espace vectoriel sur un corps quelconque, sous-espace vectoriel. Application linéaire, forme linéaire,
espace dual. Dimension finie, bases d'une espace vectoriel. Noyau, image, rang d'une application linéaire.
Trace, déterminant.
Sous-espaces supplémentaires, sommes directes
Sous-espaces supplémentaires, somme directe généralisée. Projecteurs, symétries et leurs caractérisations.
Dimension de deux supplémentaires, théorème du rang. Base adaptée à une somme directe, bases adaptées à
la représentation d'une application linéaire. Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme linéaire,
matrice dans une base adaptée.
Réduction des endomorphismes
Endomorphisme nilpotent, matrice dans une base adaptée. Endomorphisme cyclique. Polynôme caractéristique
d'un endomorphisme linéaire, théorème de Cayley-Hamilton. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces
propres, sous-espaces caractéristiques. Endomorphisme diagonalisable. Endomorphisme trigonalisable, forme
de Jordan.
Espaces euclidiens et hermitiens, formes quadratiques
Produit scalaire, norme euclidienne sur le corps R ou C. Inégalité de Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire.
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 5 de 9
Projection orthogonale, procédé de Gram-Schmidt. Isomorphisme entre un espace euclidien/hermitien et son
dual, adjoint d'un endomorphisme linéaire. Endomorphisme auto-adjoint, endomorphisme orthogonal/unitaire.
Théorème spectral. Forme quadratique, diagonalisation.
Site du cours
Les listes d'exercices et les examens-types figureront sur le site du cours, à l'adresse
http://erwanbiland.fr/index.php?page=mat2200
Contenu et activités
Le tableau ci-dessous présente les semaines d'activités prévues dans le cadre du cours.
Titre
Date
Informations et documents relatifs au cours
Note : Veuillez vous référer à la section Contenu et activités de votre site de cours pour de plus amples détails.
Évaluations et résultats
Consignes sur les examens
Les calculatrices et autres appareils électroniques sont interdits durant les tests et examens, ainsi que
toute documentation. La matière sur laquelle porte le test ou l'examen sera affichée une semaine à
l'avance sur le site du cours.
Modalités d'évaluation
Sommatives
Titre
Date
Mode de travail
Pondération
Examen partiel
Le 28 févr. 2014 de 10h30 à 12h20
Individuel
40 %
Examen final
Le 29 avr. 2014 de 08h30 à 10h20
Individuel
40 %
Tests
À déterminer
Individuel
20 %
L'évaluation sera basée sur deux examens et quatre tests, selon le calendrier détaillé à la sous-section
"Fonctionnement du cours" de la section "Description du cours".
Pour réussir le cours, un étudiant doit obtenir une note finale d'au moins 50% (une note de 49,99%
entraîne l'échec). La note finale est calculée de la façon suivante.
Chaque examen compte pour 40% de la note finale.
La moyenne des trois meilleurs tests compte pour 20% de la note finale. Étant donné qu'on ne
compte que les meilleurs tests, il n'y a pas de reprise pour une seule absence.
Informations détaillées sur les évaluations sommatives
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 6 de 9
Examen partiel
Date :
Mode de travail :
Pondération :
Le 28 févr. 2014 de 10h30 à 12h20
Individuel
40 %
Examen final
Date :
Mode de travail :
Pondération :
Le 29 avr. 2014 de 08h30 à 10h20
Individuel
40 %
Tests
Date :
Mode de travail :
Pondération :
À déterminer
Individuel
20 %
Directives de l'évaluation :
Moyenne des trois meilleurs tests.
Détails sur les modalités d'évaluation
Voir la sous-section "Fonctionnement du cours" dans la section "Description du cours".
Politique sur les examens
Pour toute demande de reprise, veuillez-vous référer à la Politique de reprise d'une évaluation disponible
dans les Règlements et documents officiels du Département de mathématiques et de statistique, suivre la
démarche qui y est indiquée et remplir le formulaire approprié.
Échelle des cotes
Cote
% minimum
% maximum
Cote
% minimum
% maximum
A+
90
100
C+
67
69,99
A
85
89,99
C
63
66,99
A-
80
84,99
C-
60
62,99
B+
77
79,99
D+
55
59,99
B
73
76,99
D
50
54,99
B-
70
72,99
E
0
49,99
Politique sur l'utilisation d'appareils électroniques
L'utilisation d'appareils électroniques (cellulaire ou autre appareil téléphonique sans fil, pagette, baladeur,
agenda électronique, etc.) est interdite au cours d'une séance d'évaluation et de toute autre activité durant
laquelle l'enseignant l'interdit.
De plus, lorsque l'usage de la calculatrice est permis, alors seuls certains modèles de calculatrices sont
autorisés durant les séances d'évaluation.
Les modèles suivants sont autorisés :
Hewlett Packard
HP 20S, HP 30S, HP 32S2, HP 33S, HP 35S
Texas Instrument
TI-30Xa, TI-30XIIB, TI-30XIIS, TI-36X, BA35
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 7 de 9
Sharp
EL-531*, EL-546*, EL-520*
Casio
FX-260, FX-300 MS, FX-300W Plus, FX-991MS, FX-991ES, FX-991W,
FX-991ES Plus C
* Calculatrices Sharp: sans considération pour les lettres qui suivent le numéro
Dans tous ces cas, la calculatrice doit être validée par une vignette autocollante émise par la COOP étudiante
ZONE.
Politique sur le plagiat et la fraude académique
Règles disciplinaires
Tout étudiant qui commet une infraction au Règlement disciplinaire à l'intention des étudiants de l'Université
Laval dans le cadre du présent cours, notamment en matière de plagiat, est passible des sanctions qui sont
prévues dans ce règlement. Il est très important pour tout étudiant de prendre connaissance des articles 28 à
32 du Règlement disciplinaire. Celui-ci peut être consulté à l'adresse suivante:
http://www.ulaval.ca/sg/reg/Reglements/Reglement_disciplinaire.pdf
Plagiat
Tout étudiant est tenu de respecter les règles relatives au plagiat. Constitue notamment du plagiat le fait de:
i. copier textuellement un ou plusieurs passages provenant d'un ouvrage sous format papier ou
électronique sans mettre ces passages entre guillemets et sans en mentionner la source;
ii. résumer l'idée originale d'un auteur en l'exprimant dans ses propres mots (paraphraser) sans en
mentionner la source;
iii. traduire partiellement ou totalement un texte sans en mentionner la provenance;
iv. remettre un travail copié d'un autre étudiant (avec ou sans l'accord de cet autre étudiant);
v. remettre un travail téléchargé d'un site d'achat ou d'échange de travaux scolaires.
L'Université Laval étant abonnée à un service de détection de plagiat, il est possible que l'enseignant soumette
vos travaux pour analyse.
Étudiants ayant un handicap, un trouble d’apprentissage ou un trouble mental
Les étudiants qui ont une lettre d'Attestation d'accommodations scolaires obtenue auprès d'un conseiller du
secteur Accueil et soutien aux étudiants en situation de handicap (ACSESH) doivent impérativement se
conformer à la politique d'Accommodations scolaires aux examens de la Faculté des sciences et de génie qui
peut être consultée à l'adresse : http://www.fsg.ulaval.ca/fileadmin/fsg/documents/PDF/Politique-Facultaire-Accommodements.pdf
Matériel didactique
Matériel obligatoire
Algèbre linéaire et bilinéaire
Auteur : Cottet-Emard, François
Éditeur : De Boeck & Larcier s.a(Bruxelles, 2006)
ISBN : 2804149064
Bibliographie
Cette sous-section n'a pas encore été complétée par votre enseignant.
Médiagraphie et annexes Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
© Université Laval
Page 8 de 9
Médiagraphie et annexes
Cette section ne contient aucune information.
© Université Laval
Mis à jour le 14 janv. 2014 11:25
Page 9 de 9