Polycopié - Vincent Choqueuse

IUT
Brest
Morlaix
2014
Mathématique
www.iut-brest.fr
Cours / TD / TP
Enseignant : Vincent Choqueuse
contact : [email protected]
IUT GEII Brest
2
Automne 2014
Liste des TDs
1 Formulaire de Mathématique
1
2
3
4
5
Relations Trigonométriques
Dérivées . . . . . . . . . . .
Intégrales . . . . . . . . . .
Nombres complexes . . . . .
Exercices . . . . . . . . . .
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2 Décomposition en Série de Fourier
1
2
3
5
5
6
6
8
11
Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Signaux Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Transformée de Fourier
1
2
3
4
5
6
5
Dénition . . . . . . . . .
Propriétés . . . . . . . . .
Signaux Particuliers . . .
Le produit de convolution
Exercices . . . . . . . . .
Travaux Pratiques . . . .
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3
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15
15
15
16
17
18
21
LISTE DES TDS
IUT GEII Brest
4
Automne 2014
Chapitre 1: Formulaire de Mathématique
1 Relations Trigonométriques
Rappel.
Rappel.
Les relations entre le cosinus (resp. sinus) de θ et de −θ sont :
cos(θ) = cos(−θ)
(1.1)
− sin(θ) = sin(−θ)
(1.2)
Les formules d'Euler sont données par les relations suivantes (j 2 = −1) :
ejθ = cos(θ) + j sin(θ)
1 jθ
cos(θ) =
e + e−jθ
2
1 jθ
sin(θ) =
e − e−jθ
2j
(1.3)
(1.4)
(1.5)
2 Dérivées
Rappel.
Soit k un scalaire, nous obtenons les dérivées suivantes
dk
dt
dt
dt
det
dt
dtk
dt
d sin(t)
dt
d cos(t)
dt
Rappel.
= 0
(1.6)
= 1
(1.7)
= et
(1.8)
= ktk−1
(1.9)
= cos(t)
(1.10)
= − sin(t)
(1.11)
Soit x(t) et y(t) deux fonctions et k un scalaire. En notant 0 la dérivée par rapport
5
CHAPITRE 1.
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE
à t, nous obtenons les relations suivantes :
(x(t) + y(t))0 = x0 (t) + y 0 (t)
0
(kx(t))
0
(x(t)y(t))
x(t) 0
y(t)
0
xk (t)
0
ex(t)
(1.12)
0
(1.13)
= kx (t)
0
0
= x (t)y(t) + x(t)y (t)
=
x0 (t)y(t)
x(t)y 0 (t)
−
y 2 (t)
(1.14)
(1.15)
= kx(k−1) (t)x0 (t)
(1.16)
= ex(t) x0 (t)
(1.17)
3 Intégrales
Rappel. Soit x(t) et y(t) deux fonctions et k un scalaire, nous obtenons les relations suivantes :
Z a
x(t)dt = −
x(t)dt
a
b
Z b
Z b
kx(t)dt = k
x(t)dt
a
a
Z c
Z c
Z b
x(t)dt +
x(t)dt =
x(t)dt
b
a
a
Z b
Z b
Z b
y(t)dt
x(t)dt +
(x(t) + y(t))dt =
Z
b
(1.19)
(1.20)
(1.21)
a
a
a
(1.18)
Rappel.
Soit x(t) et y(t) deux fonctions. En notant 0 la dérivée par rapport à t, la formule
de l'intégration par partie (IPP) donne la relation :
Z
a
b
x(t)y 0 (t)dt = [x(t)y(t)]ba −
Z
b
x0 (t)y(t)dt
(1.22)
a
4 Nombres complexes
Rappel.
Le nombre imaginaire j satisfait la relation
j 2 = −1
Rappel.
(1.23)
Un nombre complexe z (z ∈ C) peut se décomposer sous la forme :
z = a + jb
(1.24)
où a = <e(z) (a ∈ R) correspond à la partie réelle de z et où b = =m(z) (b ∈ R) correspond
à sa partie imaginaire.
Rappel.
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + jb, noté z ∗ , s'exprime en fonction de a
et b sous la forme
z ∗ = a − jb
(1.25)
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6
Automne 2014
CHAPITRE 1.
Rappel.
Rappel.
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE
Le conjugué de l'exponentielle complexe est égal à :
∗
ejθ = e−jθ
(1.26)
Un nombre complexe z (z ∈ C) peut se décomposer sous la forme polaire suivante :
(1.27)
z = ρejθ
où ρ = |z| (ρ ∈ R+ ) correspond au module de z et où θ = φ(z) (θ ∈ R) correspond à sa phase
(également appelée argument). Module et phase peuvent s'obtenir via les relations :
p
√
ρ = |z| = zz ∗ = a2 + b2
(1.28)
b
θ = φ(z) = atan
(attention valeur à π près 1 )
(1.29)
a
=m(z)
z
b
ρ
θ
a
<e(z)
Figure 1.1 Représentation dans le plan complexe
Rappel.
Soit z1 et z2 deux nombres complexes, nous obtenons les égalités suivantes :
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |
z1 = |z1 | (z2 6= 0)
z2 |z2 |
φ(z1 z2 ) = φ(z1 ) + φ(z2 )
z1
φ
= φ(z1 ) − φ(z2 ) (z2 6= 0)
z2
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7
(1.30)
(1.31)
(1.32)
(1.33)
Automne 2014
CHAPITRE 1.
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE
5 Exercices
Exercice 1.
Intégration
Déterminez les intégrales suivantes :
Z
2
I1 =
(t + 1)(t − 2)dt
(1.34)
(3 + t)e−t dt
(1.35)
t2 e−t dt
(1.36)
0
Z
0
I2 =
−3
Z 2
I3 =
0
Solution.
La valeur de I1 s'obtient directement
Z 2
(t + 1)(t − 2)dt
I1 =
0
Z 2
=
(t2 − t − 2)dt
(1.37)
(1.38)
0
2
t3 t2
=
− − 2t
3
2
0
10
8
−2−4 =−
=
3
3
(1.39)
(1.40)
Le calcul de I2 nécessite l'utilisation d'une intégration par partie avec :
x(t) = 3 + t ⇒ x0 (t) = 1
0
y (t) = e
−t
(1.41)
⇒ y(t) = −e
−t
(1.42)
(1.43)
Nous obtenons alors :
I2 =
−(3 +
0
t)e−t −3
Z
0
e−t dt
+
(1.44)
−3
0
= −3 − e−t −3
(1.45)
= −3 − (1 − e3 ) = −4 + e3
(1.46)
Le calcul de I3 nécessite une double intégration par partie. Posons tout d'abord :
x(t) = t2 ⇒ x0 (t) = 2t
0
−t
y (t) = e
(1.47)
−t
⇒ y(t) = −e
(1.48)
(1.49)
En utilisant une IPP, nous obtenons :
I3
2
= − t2 e−t 0 + 2
Z
2
te−t dt
(1.50)
0
Z 2
2
= − t2 e−t 0 + 2
te−t dt
0
Z 2
= −4e−2 + 2
te−t dt
(1.51)
(1.52)
0
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8
Automne 2014
CHAPITRE 1.
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE
Posons ensuite
u(t) = t ⇒ u0 (t) = 1
0
−t
v (t) = e
⇒ v(t) = −e
(1.53)
−t
(1.54)
(1.55)
En utilisant une IPP, nous obtenons :
Z 2
2
e−t dt
I3 = −4e−2 + 2 − te−t 0 +
0
−t 2 −2
−2
= −4e + 2 −2e − e 0
= −4e−2 + 2 −2e−2 − e−2 − 1
= −10e
Exercice 2.
−2
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
+2
Calcul du module et de la phase.
Déterminez le module et la phase des nombres complexes suivants :
z1 = 15 + 10j
(1.60)
z2 = −1 + 10j
2
z3 =
1 + 3j
(1.61)
(1.62)
(1.63)
Exercice 3.
Gain et phase d'un système de premier ordre.
En automatique linéaire, le comportement d'un système est souvent décrit par sa réponse
harmonique. Pour les systèmes de premier ordre, la réponse harmonique du système est déni
par la relation :
K
H(jω) =
(1.64)
1 + jωτ
où K correspond au gain statique et τ correspond à la constante de temps du système. Déterminez respectivement :
1. Le module |H(jω)| en fonction de ω , tout d'abord en valeur naturelle puis en dB.
2. La phase φ(ω) en fonction de ω , tout d'abord en radian puis en degré.
Le couple (|H(jω)|, φ(ω)) donne la réponse harmonique du système. Ce couple est souvant
representé par un diagramme de Bode (electronique) ou de Black-Nichols (automatique).
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9
Automne 2014
CHAPITRE 1.
IUT GEII Brest
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE
10
Automne 2014
Chapitre 2: Décomposition en Série de Fourier
Contexte. Les signaux liés aux systèmes physiques, électriques, acoustiques, ... peuvent présenter des comportements oscillatoires localement périodiques.
Objectif.
lations.
Développer un outil "mathématique" permettant d'analyser ecacement ces oscil-
1 Dénition
Rappel.
Un signal périodique, s(t), de période T0 satisfait la relation :
(2.1)
s(t) = s(t + αT0 )
où α ∈ Z et où f0 =
1
T0
est apppelé fréquence fondamentale du signal (en Hz).
Dénition.
Soit s(t) un signal périodique de période T0 = f10 . Sous certaines conditions (que
nous supposerons vériées), le signal s(t) peut se décomposer sous la forme :
X
s(t) =
cn e2jπnf0 t
(2.2)
n∈Z
où les coecients cn ∈ C, sont donnés par :
2jπnf0 t
cn = hs(t), e
Exemple 1.
1
i=
T0
Z
s(t)e−2jπnf0 t dt
(2.3)
(T0 )
Soit s(t), un signal périodique de période T0 = 2 déni sur [−1, 1] par :
∀t ∈ [−1, 1], s(t) = 1 − |t|
En utilisant l'expression (2.2), nous pouvons montrer que :
1/2
si n = 0
cn =
1−(−1)n
si n ∈ Z∗
π 2 n2
(2.4)
(2.5)
Propriété 2.1.
En utilisant la dénition 1 et l'équation (1.3), nous pouvons montrer que s(t)
se décompose également sous la forme suivante :
s(t) =
∞
∞
n=1
n=1
X
a0 X
+
an cos(2πnf0 t) +
bn sin(2πnf0 )
2
(2.6)
où les coecients an et bn sont donnés respectivement par :
an = cn + c−n
(2.7)
bn = j(cn − c−n )
(2.8)
11
CHAPITRE 2.
DÉCOMPOSITION EN SÉRIE DE FOURIER
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.5
φ(cn)
abs(cn)
s(t)
1
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
−5
−3
−1
1
temps (sec)
3
0
−0.1
−10
5
−5
0
n
5
−0.1
−10
10
−5
0
n
5
10
Figure 2.1 Espace tempo- Figure 2.2 Espace fréquen- Figure 2.3 Espace fréquenrel
tiel (|cn |)
tiel (φ(cn ))
2 Signaux Particuliers
2.1
Signal sinusoïdal
Dénition.
Le signal sinusoïdal, x(t), de fréquence f0 =
1
T0
est déni par :
(2.9)
x(t) = sin(2πf0 t)
Propriété 2.2.
2.2
La décomposition en série de Fourier du signal x(t) donne :
e2jπf0 t − e−2jπf0 t
x(t) =
2j
Signal carré
Dénition.
période par :
Le signal carré, x(t), de fréquence f0 =
x(t) =
Propriété 2.3.
1
T0
et de moyenne nulle est déni sur une
−1 ∀t ∈ [−T0 /2, 0[
1
∀t ∈ [0, T0 /2[
(2.11)
La décomposition en série de Fourier du signal x(t) donne :
∞
1
2j X
x(t) = −
e2jπ(2q+1)f0 t
π q=−∞ (2q + 1)
2.3
(2.10)
(2.12)
Dent de scie
Dénition.
Le signal dent de scie, x(t), de fréquence f0 = T10 et de moyenne nulle est déni
sur une période par :
2
∀t ∈ [−T0 /2, T0 /2[, x(t) =
t
(2.13)
T0
Propriété 2.4.
La décomposition en série de Fourier du signal x(t) donne :
s(t) =
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j
π
∞
X
n=−∞,n6=0
12
(−1)n 2jπnf0 t
e
n
(2.14)
Automne 2014
CHAPITRE 2.
DÉCOMPOSITION EN SÉRIE DE FOURIER
3 Exercices
Exercice 4.
Peigne de Dirac.
Considérons un signal rectangulaire, s(t), de largeur d'impulsion l, d'amplitude E = 1l et
de période T0 , déni par :
1
si − 2l ≤ t < 2l
l
s(t) =
(2.15)
0
ailleurs
1. Représentez le signal s(t) puis déterminez son aire dans l'intervalle [− T20
T0
2 [.
2. Déterminez la moyenne de s(t) sur une période en utilisant la formule :
Z
1
M=
s(t)dt
T0 [T0 ]
(2.16)
3. Déterminez les coecients cn de la décomposition en série de Fourier.
4. Calculez la moyenne du signal M en utilisant cn et la propriété suivante :
lim
x→0
5. Posez l =
T0
2
sin(x)
=1
x
(2.17)
et déterminez les coecients an et bn de s(t).
6. Faites tendre l vers 0 puis déterminez les coecients de la décomposition en série de
Fourier cn . Le signal obtenu est appelé peigne de Dirac, un signal très utilisé en traitement du signal puisque qu'il permet de faire le lien entre un signal analogique et sa
version "numérisée".
Exercice 5 (Matlab).
Reconstruction d'un signal à partir des séries de Fourier.
Le but de cet exercice est de reconstruire, sur ordinateur, diérents signaux à partir d'une
somme de sinusoïdes. A titre d'exemple, le code correspondant à la reconstruction d'un signal
carré de fréquence f0 à partir de 5 harmoniques est le suivant :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
t =[0:0.001:3];
% creation base temporelle
signal = zeros (1 , length (t ));
% creation d ' un signal nul
Nharm =10;
% creation + initialisation
f0 =1;
% creation + initialisation
for q = -( Nharm -1): Nharm -1
% creation d ' une boucle
c =1/(2* q +1)
signal = signal + c* exp (2* j* pi *(2* q +1)* f0 *t );
end
signal =(( -2* j )/ pi )* signal ;
plot (t , signal );
% affichage
Programme 2.1 Reconstruction d'un signal carré
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13
Automne 2014
CHAPITRE 2.
DÉCOMPOSITION EN SÉRIE DE FOURIER
1. Programmez puis exécutez le script d'exemple.
2. En utilisant les résultats de l'exercice 4 et en adaptant le script précédent, reconstruisez
sous Matlab un peigne de Dirac avec T0 = 1s et l = 2.
Exercice 6 (Matlab).
Reconstruction d'un signal en dent de scie.
Considérons un signal dent de scie, x(t), de fréquence f0 =
∀t ∈ [−T0 /2, T0 /2[, x(t) =
1
T0
déni sur une période par :
2
t
T0
(2.18)
1. Déterminez la valeur de x(t) pour t = −T0 /2 et t = T0 /2.
2. Représentez le signal x(t) sur une période, puis sur plusieurs périodes.
3. Retrouvez les coecients cn de la décomposition en série de Fourier donnés dans l'équation (2.14).
4. En utilisant l'exercice précédent, reconstruisez le signal en dent de scie sous Matlab avec
T0 = 1s.
Exercice 7.
Signaux avec symétrie de glissement (symétrie d'alternance).
En pratique, la plupart des signaux électriques rencontrés possède une symétrie de glissement. Cette symétrie de glissement impose la contrainte s(t) = −s(t + T0 /2). Cette contrainte
est illustrée dans la gure 2.4.
s(t)
T0
t
T0
2
Figure 2.4 Signal avec symétrie de glissement
1. Démontrez que les signaux avec symétrie de glissement ne possèdent que des harmoniques
de rang impaire (c2n = 0).
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14
Automne 2014
Chapitre 3: Transformée de Fourier
Contexte. La décomposition en série de Fourier présuppose que le signal soit périodique.
Toutefois, les signaux "naturels" sont rarement périodiques.
Objectif.
Étendre la notion de série de Fourier aux signaux apériodiques.
1 Dénition
Dénition.
Soit s(t) un signal respectant les trois conditions suivantes :
s(t)
est
R ∞ 2 borné (pas de valeurs innies).
−∞ s (t)dt est nie.
Les discontinuités de x(t) sont en nombre ni.
Sous ces conditions, la transformée de Fourier de s(t), S(f ), est dénie par :
Z ∞
S(f ) = F(s(t)) =
s(t)e−2jπf t dt
(3.1)
−∞
Dénition.
Soit s(t) un signal dont la transformée de Fourier S(f ) = F(s(t)) existe, le signal
s(t) s'obtient en calculant la transformée de Fourier inverse de S(f ) :
Z ∞
s(t) = F −1 [S(f )] =
S(f )e2jπf t df
(3.2)
−∞
Exemple 2.
Soit s(t) = Πl (t) le signal porte de largeur l déni par :
1 si − 2l ≤ t < 2l
s(t) = Πl (t) =
0
ailleurs
(3.3)
En utilisant (3.1), s(t) a pour transformée de Fourier :
S(f ) = F [Πl (t)] =
sin (πf l)
πf
(3.4)
2 Propriétés
Propriété 3.1.
Soit x(t) et y(t) deux signaux de transformée de Fourier respectives X(f ) et
Y (f ) et α et β deux constantes. La transformée de Fourier de αx(t) + βy(t) est donnée par
l'équation :
F (αx(t) + βy(t)) = αF(x(t)) + βF(y(t))
(3.5)
Propriété 3.2.
Soit x(t) un signal dans le domaine temporel de transformée de Fourier
X(f ) = F(x(t)). Le signal temporel d ?équation X(t) a pour transformée de Fourier x(−f ).
15
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
2
40
1.8
1
30
1.6
20
1.4
10
0
φ(S(f))
|S(f)|
1.2
1
0.8
0
−10
0.6
−20
0.4
−1
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
−40
−10
10
−5
0
f
5
10
Figure 3.1 Espace tempo- Figure 3.2 Espace fréquen- Figure 3.3 Espace fréquenrel
tiel (|S(f )|)
tiel (φ(S(f )))
3 Signaux Particuliers
3.1
Impulsion de Dirac
Dénition.
L'impulsion de Dirac, δ(t), est une distribution ayant pour propriétés :
Rδ(t) = 0 pour tout t 6= 0.
∞
−∞ x(t)δ(t)dt = x(0)
Propriété 3.3.
La transformée de Fourier de δ(t) est égale à :
F (δ(t)) = 1
3.2
(3.6)
Constante
Dénition.
Le signal constante, x(t), est déni par l'equation :
x(t) = 1
Propriété 3.4.
La transformée de Fourier de x(t) est égale à :
Z ∞
X(f ) = F (1) =
e−2jπf t dt = δ(f )
(3.7)
(3.8)
−∞
3.3
Exponentiel complexe
Dénition.
Le signal exponentiel complexe, x(t), de fréquence f0 est déni par l'équation :
x(t) = e2jπf0 t
Propriété 3.5.
3.4
La transformée de Fourier de x(t) est égale à :
X(f ) = F e2jπf0 t = δ(f − f0 )
(3.9)
(3.10)
Signal sinusoïdal
Dénition.
Le signal sinusoïdal, x(t), de fréquence f0 est déni par :
x(t) = sin(2πf0 t)
Propriété 3.6.
La transformée de Fourier de x(t) est égale à :
F (sin(2πf0 t)) =
IUT GEII Brest
(3.11)
j
(δ(f + f0 ) − δ(f − f0 ))
2
16
(3.12)
Automne 2014
CHAPITRE 3.
3.5
TRANSFORMÉE DE FOURIER
Signal périodique
Dénition.
Sous reserve que la décomposition en série de Fourier d'un signal périodique x(t)
de période T0 = f10 existe, x(t) peut s'exprimer sous la forme :
∞
X
x(t) =
cn e−2jπnf0 t
(3.13)
n=−∞
Propriété 3.7.
La transformée de Fourier de x(t) est égale à :
∞
X
F (x(t)) =
cn δ(f − nf0 )
(3.14)
n=−∞
4 Le produit de convolution
Dénition.
par :
Le produit de convolution de deux signaux x(t) et y(t), noté x ? y(t), est déni
Z
∞
x(τ )y(t − τ )dτ
x ? y(t) =
(3.15)
−∞
4.1
Propriétés
Propriété 3.8.
tatif c-a-d
Soit deux signaux notés x(t) et y(t), leur produit de convolution est commu-
x ? y(t) = y ? x(t)
Propriété 3.9.
est égal à :
(3.16)
La convolution d'un signal x(t) avec un dirac décalé en temps de t0 , δ(t − t0 ),
x ? δ(t − t0 ) = x(t − t0 )
(3.17)
Propriété 3.10.
Soit x(t) et y(t) deux signaux dont les transformées de Fourier respectives
sont X(f ) et Y (f ), nous pouvons montrer que :
IUT GEII Brest
F (x ? y(t)) = X(f )Y (f )
(3.18)
F (x(t)y(t)) = X ? Y (f )
(3.19)
17
Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
5 Exercices
Exercice 8.
Inuence de la troncature en temps.
1
1
0
0
−1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
t
0.5
1
1.5
−1
−2
2
Figure 3.4 Signal original : s(t).
−1.5
−1
−0.5
0
t
0.5
1
1.5
2
Figure 3.5 Signal enregistré : y(t).
Considérons un signal s(t) enregistré au moyen d'un dispositif d'acquisition. En pratique, la
durée de l'enregistrement n'est jamais innie. Nous parlons alors de troncature en temps (voir
les gures 3.4 et 3.5). Le signal tronqué, noté y(t), peut alors être vu comme la multiplication
du signal réel s(t) avec un signal porte Πl (t) de longueur l. Cela s'exprime mathématiquement
sous la forme
s(t) si − 2l < t < 2l
(3.20)
y(t) =
0
ailleurs
= s(t)Πl (t)
(3.21)
Dans cet exercice, nous allons étudier l'inuence de la longueur l sur le spectre de y(t).
Analyse du signal porte Πl (t)
1. Soit un signal porte Πl (t) de largeur l. Tracez l'allure du signal en fonction du t.
2. Retrouvez, par le calcul, la transformée de Fourier de Πl (t) (nous noterons P (f ) =
F(Πl (t)))
Nous allons maintenant déterminer graphiquement l'allure de la transformée de Fourier de
la porte.
1. Calculez la valeur de P (0).
2. Montrez que la fonction est paire c-a-d P (f ) = P (−f )
3. Déterminez les fréquences f0 pour lesquelles P (f0 ) = 0.
4. Calculez la dérivée de P (f ).
5. Montrez que la dérivée s'annule pour les fréquences fex respectant la condition tan(πfex l) =
πfex l.
6. En utilisant le fait que les valeurs x = (2q+1)π
(q ∈ Z) sont les solutions (approchées) de
2
l'équation tan(x) = x, déterminez les valeurs de fex qui annule la dérivée de P (f ).
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
7. Déterminez les valeurs de P (fex ).
8. Tracez la courbe P (f ).
9. Quelle va être l'inuence de l sur l'allure de la fonction (position et amplitude des
extrema) ?
Allure du spectre de y(t)
1. Soit y(t) = s(t)Πl (t) le signal obtenu en enregistrant le signal s(t) pendant une durée l,
déterminez la transformée de Fourier de y(t), notée Y (f ), en fonction de la transformée
de Fourier de s(t), notée S(f ).
2. On considère le cas du signal s(t) = cos(2πf0 t). Déterminez Y (f ) puis tracez Y (f ) en
fonction de f . On utilisera pour cela la propriété de convolution par une impulsion de
Dirac.
Exercice 9.
Théorème de l'échantillonnage et Filtre de reconstruction.
La conversion analogique-numérique permet de convertir un signal continu en un signal
discret (suite d'échantillons). La numérisation est réalisée en prélevant à une période Te , la
valeur du signal analogique. Le signal discret est alors contenu par la suite d'échantillons
(3.22)
x(nTe ) (n ∈ Z)
Nous pouvons alors se poser naturellement les deux questions suivantes :
Est ce que la version numérisée du signal contient toute l'information contenue dans le
signal analogique ?
A quelle période d'échantillonnage, Te , est-il souhaitable d'échantillonner le signal ?
Nous allons tenter de répondre à ces questions dans cet exercice.
Soit s(t) un signal continu dont le support fréquentiel est borné entre [−fmax fmax ] (voir
gure 3.6).
X(f )
−fmax
fmax
f
Figure 3.6 Représentation grossière du spectre du signal continu s(t)
Soit un signal continu y(t) déni à partir de la suite d'échantillons x(nTe ) sous la forme :
y(t) =
∞
X
x(nTe )δ(t − nTe )
(3.23)
n=−∞
1. Déterminez la transformée de Fourier Y (f ) = F(y(t)).
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
2. Représentez l'allure du spectre Y (f ).
3. Lorsque la fréquence d'échantillonnage est trop faible, les diérentes recopies du spectre
peuvent se superposer. Ces superpositions déforment le signal (problème appelé aliasing).
Déterminez la valeur minimum de Fe = 1/Te qui permet d'éviter toutes les superpositions du spectre.
4. Soit Xr (f ) le spectre obtenu à partir de la relation suivante
1
Xr (f ) =
ΠF (f ) Y (f )
Fe e
(3.24)
Montrez que lorsque Fe ≥ 2fmax , Xr (f ) = X(f ).
5. En appliquant la transformée de Fourier inverse dans l'équation (3.24), montrez que le
signal temporel reconstruit xr (t) = F −1 (Xr (t)) est égal à :
xr (t) =
∞
X
x(nTe )sinc (π(Fe t − n))
(3.25)
n=−∞
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
6 Travaux Pratiques
Ce TP sera réalisé sous le logiciel Matlab de Mathworks. Ce premier TP s'organise autour de
3 objectifs :
1. génération d'un signal élémentaire,
2. introduction à l'analyse spectrale par Transformée de Fourier Discrète (TFD),
3. analyse spectrale de signaux synthétiques.
6.1
Génération d'un signal sinusoïdal
Une sinusoïde est une fonction dénie par l'équation suivante :
(3.26)
x(t) = a sin(2πf1 t)
où :
a correspond à l'amplitude (crête) de la sinusoïde (sans unité),
f1 correspond à la fréquence de la sinusoïde (en Hz),
t correspond à la base temps (en seconde).
Lorsque nous manipulons des signaux numériques, la base temps t est discrétisée à une fréquence d'échantillonnage Fe c-a-d que le signal x(t) est évalué aux instants t = n/Fe où n ∈ Z.
Sous forme numérique, la sinusoïde x(t) est alors représentée par une suite d'échantillons x[n]
(n = 0, 1, 2, · · · ). A titre d'illustration, la gure 3.7 présente l'allure d'une sinusoïde à temps
continu ainsi que son équivalent à temps discret.
x(t)
1
x(t)
x[n]
0
1/Fe
−1
−1.2
−1
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figure
3.7 Sinusoïde à temps continu, x(t), et son équivalent à temps discret, x[n]. La
discrétisation s'obtient en prélevant le signal x(t) tous les 1/Fe s.
Sous Matlab, nous allons créer une sinusoïde à temps discret d'amplitude a = 1.5 et de
fréquence f = 51 Hz. Cette sinusoïde sera générée pour t allant de 0 à 0.5s. La fréquence
d'échantillonnage sera xée à Fe = 1 kHz.
Manipulation 1.
>>
>>
>>
>>
Dans la fenêtre de commande Matlab, lancez les instructions suivantes :
a =1.5;
f1 =51;
Fe =1000;
t =[0:1/ Fe :0.5];
IUT GEII Brest
%
%
%
%
21
amplitude de la sinusoide
frequence la sinusoide
fréquence d ' échantillonnage
base temps discretisee
Automne 2014
CHAPITRE 3.
>>
>>
>>
>>
TRANSFORMÉE DE FOURIER
x=a * sin (2* pi * f1 *t );
plot (t ,x );
xlabel ( ' t e m p s ( s ) ' );
ylabel ( ' a m p l i t u d e ' );
% sinusoide à temps discret
% affichage de la courbe x(t )
La fenêtre de commande de Matlab est un outils très pratique pour mettre en place des
algorithmes. Lorsque ces algorithmes fonctionnent, il est cependant plus intéressant de regrouper l'ensemble des instructions dans un même chier appelé script. Pour créer un script, il
sut d'aller dans l'onglet Home de Matlab et d'appuyer sur l'icône New Script.
Manipulation 2. Créez un nouveau script contenant le programme de la manipulation 1. Sauvegardez ce script dans le répertoire access_prof/Math/TP1 et nommez le ma_sinusoide.m.
Une fois le script sauvegardé, il sut d'appuyez sur l'icône Run pour l'exécuter
Dans certaines situations, la représentation temporelle n'est pas la plus pertinente pour
analyser le contenu d'un signal. Dans la section suivante, nous allons voir comment obtenir
une autre représentation : la représentation fréquentielle.
6.2
Utilisation de la Transformée de Fourier Discrète
La transformée de Fourier d'un signal x(t) est dénie par l'équation :
Z ∞
X(f ) =
x(t)e−2jπf t dt
(3.27)
−∞
Cette transformée permet de passer de la représentation temporelle (fonction de t) à la représentation fréquentielle (fonction de f ). Nous ne ne pouvons pas évaluer la transformée de
Fourier "telle quelle" sur des signaux numériques car cette transformée nécessite la connaissance du signal continu x(t) et non de son équivalent discret x[n]. De plus, la transformée de
Fourier nécessite une intégration de −∞ à +∞ alors qu'en pratique les signaux sont disponibles sur un support temporel t ni. Il est néanmoins possible d'approcher cette transformée
en utilisant sa version discrétisée et tronquée :
X[f ] =
N
−1
X
x[n]e−2jπf n/Fe
(3.28)
x=0
Cette fonction peut se calculer rapidement au moyen d'algorithmes rapides nommés par l'acronyme anglais FFT (Fast Fourier Transform). Les algorithmes FFT sont disponibles dans la
plupart des langages de programmation...et Matlab n'échappe pas à la règle !
Manipulation 3.
tions suivantes :
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
Reprenez votre script ma_sinusoide. En n de script, ajoutez les instruc-
TFD = fft (x );
% Calcul FFT
figure
% Ajout d ' une nouvelle figure
TFD_module = abs ( TFD ).^2;
% Calcul du module au carré
f= linspace (0 , Fe , length ( TFD ));
% base fréquentielle
plot (f , TFD_module );
% Affichage du module
xlabel ( ' F r é q u e n c e ( Hz ) ' );
ylabel ( ' | X ( f ) | ^ 2 ' );
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
Exécutez alors votre nouveau script.
La deuxième courbe représente le spectre (estimé) du signal. Théoriquement, le spectre
d'un signal sinusoïdal à temps continu contient deux impulsions de Dirac, localisées respectivement en −f1 et f1 Hz. Pour les signaux numériques, il est possible de démontrer que le
spectre est périodique de période Fe . Par conséquent, le spectre d'un signal sinusoïdal à temps
discret contient une multitude d'impulsions localisées en −f1 + kFe et f1 + kFe Hz (k ∈ Z).
Dans notre cas, le script ache le spectre dans la bande [0, Fe ] Hz. Nous visualisons donc deux
impulsions approximativement localisées en f1 Hz et −f1 + Fe Hz.
Pour analyser le signal, il est plus pertinent d'acher le spectre dans une bande fréquentielle centrée en 0 c-a-d dans la bande [−Fe /2, Fe /2]. Sous Matlab, cette bande fréquentielle
s'obtient en utilisant l'instruction fftshift().
Manipulation 4.
Modiez votre script ma_sinusoide en remplaçant le calcul de la FFT par
>> TFD = fftshift ( fft (x ));
% Calcul FFT
et la création de la base fréquentielle par
>> f= linspace (- Fe /2 , Fe /2 , length ( TFD ));
% base fréquentielle
Exécutez alors votre nouveau script et interprétez les courbes.
Remarquons que le spectre est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cette symétrie
est respectée pour l'ensemble des signaux réels (x[n] ∈ R). Pour cette raison, les analyseurs
de spectre se limitent le plus souvent à l'achage du spectre dans la bande [0, Fe /2].
6.3
Limitations de la Transformée de Fourier Discrète
La section précédente laisse apparaitre certaines limitations de la transformée de Fourier
(localisation fréquentielle des impulsions, allure des pics, etc). Ces limitations sont détaillées
dans cette section.
Manipulation 5.
Le script analyse_spectrale_sinus, disponible dans votre répertoire réseau access_prof/Math/TP1, reprend votre script ma_sinusoide et y intègre de nouvelles
fonctionnalités. Exécutez ce script et déterminez précisément la fréquence des deux impulsions.
Précision spectrale
La discrétisation de la base fréquentielle ne nous permet pas d'estimer précisément les
fréquences de notre signal. Cette limitation est liée à la précision spectrale. Pour obtenir une
représentation fréquentielle précise, il est nécessaire d'interpoler le spectre. Cette interpolation
s'obtient facilement via une technique appelée "zero padding". Le "zero padding" consiste à
ajouter un grand nombre de zéros à la suite du signal x[n]. Cela à pour but d'augmenter le
nombre de fréquences où la Transformée de Fourier Discrète est évaluée.
Manipulation 6.
Dans le script analyse_spectrale_sinus, modiez le contenu de la variable zero_padding. Plus précisément, exécutez votre script avec zero_padding=0, puis
zero_padding=10000 et enn zero_padding=100000. Complétez alors le tableau suivant :
Par la suite, nous limiterons le "zero-padding" à 10000 échantillons pour éviter de trop
solliciter le processeur de votre machine.
IUT GEII Brest
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
zero_padding
fb0 (Hz)
0
10000
100000
Table 3.1 Précision spectrale.
Résolution spectrale
Le spectre obtenu dans la sous-section précédente contient deux impulsions. Ces impulsions
ne correspondent pas stricto sensu à des impulsions de Dirac. L'allure des impulsions est liée
à la troncature en temps du signal x(t). En eet, la signal analysé peut être vu comme la
multiplication d'une sinusoïde x(t) par une fenêtre rectangulaire w(t).
Notons y(t) = x(t) × w(t) le signal analysé. La transformée de Fourier du signal y(t)
s'exprime sous la forme
Y (f ) = X(f ) ∗ W (f )
(3.29)
où X(f ) correspond à la transformée de Fourier du signal à analyser, W (f ) correspond à
la transformée de Fourier de la fenêtre w(t) et ∗ désigne le produit de convolution. Dans
notre cas, nous obtenons la convolution de deux impulsions de Dirac localisées en −f1 et f1
Hz (transformée de Fourier d'une sinusoïde) avec un sinus cardinal (transformée de Fourier
d'une fenêtre rectangulaire). Le spectre est donc composé de deux sinus cardinaux centrés
respectivement en −f1 et f1 Hz.
La fonction sinus cardinal est représentée sur la gure 3.8. Cette fonction est composée d'un
lobe principal et de plusieurs lobes secondaires. Le lobe principal peut nuire à interprétation du
spectre car il peut masquer des composantes proches en fréquence. Cette limitation est désignée
par le terme résolution spectrale. La résolution spectrale est caractérisée par la largeur du
lobe principal ∆f à -3dB. Un lobe principal étroit permet d'obtenir une meilleure résolution
spectrale. Pour une fenêtre rectangulaire, la largeur du lobe principale est approximativement
égale à ∆f ≈ 1/T , où T correspond à la durée du signal x(t) en seconde.
Lobes secondaires
Lobe principal
∆f
M
Amplitude en dB
0
−20
−40
−12 −10
−8
−6
−4
−2
0
f
2
4
6
8
10
12
Figure 3.8 Fonction sinus cardinal
Manipulation 7.
Dans le script analyse_spectrale_sinus, modiez le contenu de la variable duree. Plus précisément, exécutez votre script avec duree=0.1s, puis duree=0.5s et
enn duree=5s. Complétez alors le tableau suivant :
IUT GEII Brest
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
durée
∆f théorique (Hz)
∆f mesurée (Hz)
0.1s
0.5s
5s
Table 3.2 Résolution spectrale.
Par la suite, nous xerons la durée du signal à 0.5 seconde.
Inuence des lobes secondaires
En plus du lobe principal, la fonction sinus cardinal contient des lobes secondaires. Ces
lobes secondaires peuvent également nuire à l'interprétation du signal si leur amplitude est trop
élevée. Pour diminuer l'importance des lobes secondaires, il est possible d'appliquer une fenêtre
de pondération w(t) autre que la fenêtre rectangulaire. Il existe cependant un compromis entre
la largeur du lobe principale et l'amplitude maximale des lobes secondaires. Ainsi, il n'est pas
possible de réduire à la fois la largeur du lobe principal et l'amplitude maximale des lobes
secondaires. Nous allons illustrer ce compromis sous Matlab en utilisant trois fenêtres de
pondération couramment utilisées.
Manipulation 8.
Dans le script analyse_spectrale_sinus, modiez le contenu de la variable type_fenetre. Plus précisément, exécutez votre script avec une fenêtre rectangulaire
(none), puis une fenêtre de Hanning et une fenêtre de Blackman. Complétez alors le tableau
suivant :
Fenêtre
∆f mesurée (Hz)
M (dB)
Rectangulaire
Hanning
Blackman
Table 3.3 Inuence de la fenêtre de pondération. La grandeur M correspond à l'amplitude
maximale des lobes secondaires (cf gure 3.8).
6.4
Analyse spectrale de signaux synthétiques
Dans cette section, nous allons analyser plusieurs signaux expérimentaux. Ces signaux sont
sauvegardés dans des chiers au format Matlab (.mat). Le script analyse_spectrale_mat permet de charger un chier particulier et d'acher son contenu à la fois dans le domaine temporel
et fréquentiel. Pour spécier le signal à charger, il sut de modier le contenu de la variable
fichier. Vous êtes libre de choisir les paramètres d'analyse (zero padding, fenêtre).
6.5
Analyse de signaux périodiques
Dans un premier temps, nous allons analyser 4 signaux périodiques. Pour chaque signal,
il faudra déterminer :
1. la fréquence fondamentale f1 (pic le plus élevé),
2. l'amplitude a1 du fondamental,
3. l'amplitude ak des harmoniques, où ak correspond à l'amplitude à la fréquence kf1 Hz.
IUT GEII Brest
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Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
Manipulation 9.
Complétez le tableau suivant :
Fichier
signal_sinusoidal
signal_carre
signal_triangulaire
signal_dent_de_scie
f1
a1
a2
a3
a4
Table 3.4 Signaux Périodiques.
Identication de signaux périodiques bruités
Un signal bruité est un signal comportant une composante aléatoire (bruit). Dans le domaine temporel, l'ajout d'un bruit blanc peut rendre l'allure d'un signal périodique méconnaissable. A l'opposé, l'ajout d'un bruit blanc dégrade peu la représentation fréquentielle.
En eet, l'énergie du bruit est répartie uniformément sur l'ensemble des fréquences alors que
l'énergie d'un signal périodique est très localisée dans le plan fréquentiel.
Dans cette sous-section, nous allons analyser trois signaux périodiques bruités nommés
signal_bruit_1, signal_bruit_2 et signal_bruit_3. Le but du jeu est d'identier la forme
d'onde du signal non bruité à partir du spectre du signal bruité.
Manipulation 10.
En vous aidant des résultats de la manipulation 9, identiez la forme
d'onde du signal non bruité pour chaque chier.
signal_bruit_1
signal_bruit_2
signal_bruit_3
Sinusoïde
Carré
Dent de scie
Analyse de signaux modulés
Dans cette section, nous allons analyser des signaux modulés en fréquence (FM) et en
amplitude (AM). Pour chaque signal, le signal porteur est une sinusoïde de fréquence fp =
50 Hz et le signal modulant est une sinusoïde de fréquence fm = 7 Hz. L'objectif de l'analyse
sera d'identier les composantes fréquentielles présentes dans le signal modulé.
Manipulation 11.
Fichier
signal_FM
signal_AM
signal_AM2
Complétez le tableau suivant :
durée
1s
1s
0.1s
f1 (Hz)
f2 (Hz)
f3 (Hz)
f4 (Hz)
f5 (Hz)
f6 (Hz)
f7 (Hz)
Table 3.5 Composantes fréquentielles des signaux modulés.
Les deux signaux AM diérent uniquement par leur durée ; leur contenu fréquentiel est donc
théoriquement similaire. Notez toutefois que l'analyse spectrale ne permet pas d'identier les
composantes fréquentielles lorsque la durée du signal est trop faible. Ce problème est liée à la
IUT GEII Brest
26
Automne 2014
CHAPITRE 3.
TRANSFORMÉE DE FOURIER
résolution spectrale. Lorsque que la durée du signal est trop faible, il est possible d'utiliser des
techniques d'analyse spectrale plus performantes. De part leur propriété, ces techniques sont
appelées techniques "haute-résolution" (algorithme MUSIC ou ESPRIT).
6.6
Analyse spectrale de signaux réels
Dans cette sous section, nous allons analyser des signaux électriques réels.
1. Allez sur le site http://expertmonitoring.com/doelibrary/
2. Téléchargez un signal particulier ("event") au format csv.
3. Sous Matlab, allez dans File>import data pour récupérer les données au format csv.
4. Représentez le spectre du signal pour une phase donnée.
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Automne 2014