TS Chimie Le lancer de poids aux championnats du monde

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Le lancer de poids
aux championnats du monde
TS Chimie
Exercice résolu
Enoncé
Lors des championnats du monde d'athlétisme qui eurent lieu à Paris
en août 2003, le vainqueur de l'épreuve du lancer du poids, le
bélarusse Andrey Mikhnevich, a réussi un jet à une distance D = 21,69
m.
L'entraîneur de l'un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer en
travaillant sur le mouvement du centre d’inertie G du boulet (nom
courant donné au poids). Pour cela, il dispose de la valeur v0 (mesurée
avec un cinémomètre) du vecteur vitesse initiale de G et de l’altitude
H du même point à la date t = 0 : v0 = 13,7 m.s-1 et H = 2,62 m.
Un logiciel informatique lui permet de réaliser une simulation de ce
lancer et de déterminer la valeur de l'angle  du vecteur vitesse
initiale avec l'horizontale :  = 43,0°.
y
G
H
j
L’étude est réalisée dans le repère (O, i , j ) représenté sur le schéma
O
ci-contre.
x
i
L’entraîneur obtient trois graphes (pour lesquels les dates correspondant à deux points
successifs sont séparées par le même intervalle de temps) :
- en annexe n°1, le graphe de la trajectoire du point G représentatif de la fonction x  y(x),
- ci-dessous (figures 1 et 2), les graphes représentatifs des fonctions t  vx(t) et t  vy(t) où vx
et vy sont les coordonnées du vecteur vitesse vG du point G.
Figure 1
Figure 1
Lancer de poids
Figure 2
Figure 2
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A. Première partie : étude des résultats de la simulation
1. Étude de la projection horizontale du mouvement du boulet
En utilisant la figure 1, déterminer :
a) La composante v0x du vecteur vitesse du point G à l'instant de date t = 0 s.
b) La nature du mouvement de la projection du point G du boulet sur l'axe (Ox).
c) La composante vSx vecteur vitesse du point G lorsque le boulet est au sommet S de sa
trajectoire.
2. Étude des conditions initiales du lancer
a) En utilisant la figure 2, déterminer la composante v0y du vecteur vitesse à l'instant de
date t = 0 s.
b) À partir des résultats précédents, vérifier que la valeur v0 du vecteur vitesse initiale du point
G et l'angle de tir  sont compatibles avec les valeurs données dans le texte.
3. Étude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet
a) Déterminer toutes les caractéristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au
sommet de la trajectoire.
b) Sur le graphe donné en annexe n°1, tracer le vecteur vitesse v 0 du centre d'inertie du boulet à
l'instant du lancer et le vecteur vitesse vS du centre d'inertie du boulet au sommet S de la
trajectoire (aucune échelle n’est exigée).
B. Deuxième partie : étude théorique du mouvement du centre d’inertie du boulet
Données :
- le boulet est une sphère de volume V et de masse volumique  = 7,10  10
- la masse volumique de l'air est ’ = 1,29 kg.m –3
- la valeur du vecteur champ de pesanteur est g = 9,80 N.kg -1
3
kg.m –3
1. a) Exprimer littéralement la valeur PA de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le
boulet ainsi que la valeur P de son poids.
b) Montrer que PA est négligeable devant P.
2. En appliquant la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer
l’expression du vecteur accélération aG du centre d'inertie du boulet lors du mouvement (on
supposera que, compte tenu des faibles vitesses atteintes, les frottements dus à l'air au cours
du jet sont négligeables).
3. a) Établir les équations horaires du mouvement du centre d’inertie du boulet.
b) En déduire l’équation de la trajectoire du point G.
4. a) Calculer la portée théorique D’ du lancer.
b) Arrondies à l’entier le plus proche, les valeurs de D et D’ sont-elles en cohérence ?
5. a) Calculer l’altitude maximale théorique h atteinte par le point G.
b) Le résultat obtenu est-il en accord avec le graphe en annexe n°1 ?
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C. Troisième partie : comment améliorer la performance d’un lanceur ?
L'entraîneur veut ensuite savoir sur quel(s) paramètre(s) il peut travailler pour améliorer la
performance de l'athlète. Celui-ci est plus petit que le champion du monde : sa taille est telle que
l'altitude initiale de ses lancers n'est au maximum que de H' = 2,45 m. L'entraîneur décide donc
d'étudier l'influence de la valeur v0 de la vitesse initiale du lancer et de l'angle de tir .
Pour cela, il réalise des séries de simulations rassemblées dans les réseaux de courbes ci-dessous
(figures 3 et 4) :
- sur la figure 3, l'angle de tir est maintenu constant, soit  = 41,0°
- sur la figure 4, la vitesse est maintenue constante, soit v0 = 13,8 m.s–1
Figure 3
Figure 4
1. À partir des figures 3 et 4, entourer, dans le tableau en annexe n°2, la proposition correcte
donnant l'évolution de la portée du lancer pour :
a) l'angle  fixé,
b) la valeur v0 fixée.
2. Confronter les figures 3 et 4 pour déterminer les combinaisons qui permettent :
a) d’égaler le record du monde,
b) de battre le record du monde.
Lancer de poids
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Annexe
Annexe n°1
Annexe n°2
 fixé
Quand v0 augmente,
la portée D du lancer
:
Lancer de poids
augmente
diminue
reste la même
augmente, passe par
un maximum puis
diminue
diminue, passe par un
minimum puis
augmente
v0 fixée
Quand  augmente,
la portée D du
lancer :
augmente
diminue
reste la même
augmente, passe par un
maximum puis diminue
diminue, passe par un
minimum puis augmente
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Corrigé
A. Première partie : étude des résultats de la simulation
1. Étude de la projection horizontale du mouvement du boulet
En utilisant la figure 1, déterminer :
a) La composante v0x du vecteur vitesse du point G à l'instant de date t = 0 s.
Par lecture graphique : v0x = 10,0 m.s-1
b) La nature du mouvement de la projection du point G du boulet sur l'axe (Ox).
La composante vx est constante : le mouvement de la projection de G sur (Ox) est uniforme.
c) La composante vSx vecteur vitesse du point G lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire.
Par lecture graphique : vSx = v0x = 10,0 m.s-1
2. Étude des conditions initiales du lancer
a) En utilisant la figure 2, déterminer la composante v0y du vecteur vitesse à l'instant de date t = 0 s.
Par lecture graphique : v0y = 9,0 m.s-1
b) À partir des résultats précédents, vérifier que la valeur v 0 du vecteur vitesse initiale du point G et l'angle de
tir  sont compatibles avec les valeurs données dans le texte.
v 0 x  v0 y
v0 =
2
2
2
10, 0  9, 0 = 14 m.s-1 (compatible avec la donnée du texte
soit : v0 =
2
arrondie à l’entier le plus proche).
cos =
v0 x
soit : cos =
v0
10, 0
14
= 0,71 et  = 45° (compatible avec la donnée du texte à moins
de 5% près).
3. Étude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet
a) Déterminer toutes les caractéristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au sommet de la
trajectoire.
Origine : le point S
Direction : horizontale
Sens : vers la droite
2
10, 0  0 = 10 m.s-1
vSx  vSy =
Valeur : vS =
2
2
b) Sur le graphe donné en annexe n°1, tracer le vecteur vitesse v du centre d'inertie du boulet à l'instant du
0
lancer et le vecteur vitesse v
exigée).
S
du centre d'inertie du boulet au sommet S de la trajectoire (aucune échelle n’est
Pour v 0 , on trace un vecteur tangent à la trajectoire à la date t =0.
Pour vS , on trace un vecteur tangent à la trajectoire au point S (attention : vS < v0).
B. Deuxième partie : étude théorique du mouvement du centre d’inertie du boulet
1. a) Exprimer littéralement la valeur PA de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le boulet ainsi que la
valeur P de son poids.
PA = ’.V.g et P = m.g
b) Montrer que PA est négligeable devant P.
P
PA
=
m..g
'.V.g
=>
P
PA
=

'
soit :
P
PA
=
7,10  10
1,29
3
= 5,50 x 103
P >> PA : la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids.
Lancer de poids
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2. En appliquant la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer l’expression du
vecteur accélération a du centre d'inertie du boulet lors du mouvement (on supposera que, compte tenu des
faibles vitesses atteintes, les frottements dus à l'air au cours du jet sont négligeables).
G
Système : le boulet de masse m et de centre d’inertie G.
Référentiel : terrestre, supposé galiléen.
Bilan des forces : P , poids du boulet.
2ème loi de Newton : P = m. aG => m. aG = m. g => aG = g
3. a) Établir les équations horaires du mouvement du centre d’inertie du boulet.
Dans le repère (O, i, j) , les coordonnées du vecteur accélération aG sont : ax = 0 et ay = - g
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. Les coordonnées
du vecteur vitesse sont donc des primitives des coordonnées du vecteur accélération :
vx = cte et vy = - g.t + cte. Or, à t = 0, v0x = v0.cos  et v0y = v0.sin  => vx = v0.cos  et vy = - g.t +
v0.sin 
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Les coordonnées du
vecteur position (équations horaires du mouvement) sont donc des primitives des coordonnées du
1
vecteur vitesse : x = (v0.cos ).t + cte et y = .g.t2 + (v0.sin ).t + cte
2
1
Or, à t = 0, x0 = 0 et y0 = H => x = (v0.cos ).t (1) et y = - .g.t2 + (v0.sin ).t + H (2)
2
b) En déduire l’équation de la trajectoire du point G.
(1) => t =
=> y = -
1
2
x
v0 . cos 
.
=> (2) : y = -
g
2
2
v0 . cos

1
2
.g.(
x
v0 . cos 
)2 + (v0.sin ).(
x
v0 . cos 
)+H
.x2 + (tan ).x + H
4. a) Calculer la portée théorique D’ du lancer.
La portée D’ du lancer est la valeur de x pour y = 0 => => - 0,0488.x2 + 0,933.x + 2,62 = 0
= (- 0,933)2 – ‘[4 x (-0,0488) x 2,62] = 1,382
x=
0, 933 
1,382
2  0, 0488
1
2
.
g
2
2
v0 . cos

.x2 + (tan ).x + H = 0
= - 2,48 m et 21,6 m
La valeur négative est à exclure et on obtient : D’ = 21,6 m
b) Arrondies à l’entier le plus proche, les valeurs de D et D’ sont-elles en cohérence ?
Les valeurs D et D’ sont en cohérence car, si on les arrondit à l’entier supérieur, on obtient :
D = D’ = 22 m
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5. a) Calculer l’altitude maximale théorique h atteinte par le point G.
Au point S, à la date tS, le vecteur vitesse vS est horizontale et vSy = 0 => - g.tS + v0.sin  = 0
v . sin 
1
et tS = 0
=> h = yS = - .g.tS2 + (v0.sin ).tS + H
2
g
et : h = -
1
2
.g. (
v0 . sin 
g
2
) + (v0.sin ).
1 (v0 . sin )
.
+H
2
g
soit : h =
2
1 (v . sin ) 2 (v0 . sin )
+ H => h = - . 0
) +
2
g
g
g
2
Finalement : h =
2
v0 . sin 
1
2
x
2
(13, 7  sin 43, 0)
9, 80
+H
+ 2,62 = 7,07 m
b) Le résultat obtenu est-il en accord avec le graphe en annexe n°1 ?
Sur le graphe, l’ordonnée du point S est sensiblement égale à 7,1 m : les résultats sont cohérents.
C. Troisième partie : comment améliorer la performance d’un lanceur ?
1. À partir des figures 3 et 4, entourer, dans le tableau en annexe n°2, la proposition correcte donnant
l'évolution de la portée du lancer pour :
a) l'angle  fixé : augmente
b) la valeur v0 fixée : augmente, passe par un maximum puis diminue.
2. Confronter les figures 3 et 4 pour déterminer les combinaisons qui permettent :
-1
a) d’égaler le record du monde : v0 = 13,8 m.s
et  = 41°
b) de battre le record du monde : v0 = 14,0 m.s et  = 41°
Lancer de poids
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