Systèmes de coordonnées homogènes Les systèmes de

Systèmes de coordonnées homogènes
Les systèmes de coordonnées homogènes sont un
élément clé de :
• vision par ordinateur 3D
• synthèse d’images 3D
• modélisation des robots
• modélisation de processus dynamiques 3D
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Vision 3D : plan
• coordonnées homogènes
• modélisation de caméra : modèle pinhole
• calibrage (calibration) d’une caméra
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Systèmes de coordonnées homogènes
Les systèmes de coordonnées homogènes permettent de
définir une transformation entre deux référentiels avec une
simple multiplication matricielle :
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Systèmes de coordonnées homogènes
On doit être capable de :
• représenter les objetcs en 3D
• décrire la pose de l’objet 3D, c’est-à-dire :
• sa position et
• son orientation.
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Systèmes de coordonnées homogènes
On se restreint aux objets rigides, c’est-à-dire
non-déformables.
Un objet rigide dans l’espace est complètement
décrit par sa position et son orientation dans un
référentiel donné.
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Considérons Oxyz un référentiel orthonormal et X,Y,Z
ses axes :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• La position d’un point O’ dans Oxyz est donné par :
o’ = o’x X + o’y Y + o’z Z
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Quelle est la position et l’orientation d’un objet ?
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Considérons le référentiel O’x’y’z’ attaché à l’objet.
• La pose de l’objet sera décrit par la pose du référentiel
objet.
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Nécessité de déterminer la pose d’ O’x’y’z’ dans Oxyz.
• C’est-à-dire comment O’x’y’z’ est orienté (rotation) et
translater par rapport à Oxyz.
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Systèmes de coordonnées homogènes
• La translation correspond simplement au vecteur o’ :
o’ = O’ - O
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Cas 2D.
• Etant donné une paire d’axes (x,y), la rotation de ceuxci selon un angle θ peut être obtenu en écrivant :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• En 3D, pour une rotation autour de l’axe Z est obtenu
de manière similaire :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Cette équation peut s’écrire :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Pareillement pour l’axe Y :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• De même pour l’axe X :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Les rotations élémentaires sont les rotations autour
des axes du référentiel « courant ».
• En 3D, il y a 3 rotations élémentaires :
• Rx(θx) la rotation autour de l’axe X
• Ry(θy) la rotation autour de l’axe Y
• Rz(θz) la rotation autour de l’axe Z
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Inversion de matrice :
Matrice identité 3x3
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Considérons un point p dans Oxyz
• p = px X + py Y + pz Z
• En d’autres termes, cela peut s’écrire comme un
vecteur borné :
Le vecteur est dit borné parce
que son amplitude est fixe
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Considérons un point p dans Oxyz
• p = px X + py Y + pz Z
• En d’autres termes, cela peut s’écrire comme un
vecteur borné :
Le vecteur est dit borné parce
que sa norme est fixe.
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Introduisons un second référentiel O’x’y’z’ dont l’origine
coïncide avec O.
•Comment p est représenté dans O’x’y’z’ ?
La matrice de rotation décrit
l’orientation de O’x’y’z’ par
rapport à Oxyz
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Systèmes de coordonnées homogènes
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Systèmes de coordonnées homogènes
• angles RTL :
• Le Roulis (roll), le Tangage(pitch) et le Lacet(yaw) sont
des angles, décrivant la rotation selon le référentiel lié à
l’objet.
• De tel sorte que : R(θx, θy, θz) = Rz(θz) Ry( θy) Rx( θx)
• Rx(θx) la rotation autour de l’axe X
• Ry(θy) la rotation autour de l’axe Y
• Rz(θz) la rotation autour de l’axe Z
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Systèmes de coordonnées homogènes
• angles RTL :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• L’ordre est très important : repère lié à l’objet
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Systèmes de coordonnées homogènes
• L’ordre est très important : repère fixe
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Ces rotations permettent de définir des rotations autour
d’un axe quelconque. Par exemple, un axe défini par un
vecteur r :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Pour cela, plusieurs étapes :
• aligner r avec Z grâce à :
• une rotation de r autour de l’axe Z avec un angle -α
• une rotation de r’ autour de l’axe Y avec un angle -β
• puis, réaliser la rotation de θ
autour de l’axe Z
• Enfin, réaligner avec la direction de r.
• une rotation de r’’ autour
de l’axe Z avec un angle β
• une rotation de r’ autour
de l’axe Y avec un angle α
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Pour cela, plusieurs étapes :
• aligner r avec Z grâce à :
• une rotation de r autour de l’axe Z avec un angle -α
• une rotation de r’ autour de l’axe Y avec un angle -β
• puis, réaliser la rotation de θ
autour de l’axe Z
• Enfin, réaligner avec la direction de r.
• une rotation de r’’ autour
de l’axe Y avec un angle β
• une rotation de r’ autour
de l’axe Z avec un angle α
En terme de matrice :
Rr(θ) = Rz(α)Ry(β)Rz(θ)Ry(-β)Rz(-α)
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Transformation des coordonnées 3D :
coordonnées du point
dans Oxyz
Matrice de rotation décrivant
l’orientation de O’x’y’z’ dans
Oxyz
coordonnées du point
dans O’x’y’z’
coordonnées de
l’origine de O’x’y’z’
(dans Oxyz)
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Transformation des coordonnées 3D :
coordonnées du point
dans Oxyz
Matrice de rotation décrivant
l’orientation de O’x’y’z’ dans
Oxyz
coordonnées du point
dans O’x’y’z’
coordonnées de
l’origine de O’x’y’z’
(dans Oxyz)
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Coordonnées homogènes :
• Donc, on peut écrire la transformation entre 2 référentiels :
p = t + R p’
• Ceci peut être exprimé comme une simple matrice avec les
coordonnées homogènes :
p = T p’
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Coordonnées homogènes :
• Utiliser des coordonnées homogènes revient à ajouter un
élément à la fin du vecteur de coordonnées, et ayant
toujours la valeur 1.
• Un point 3D s’écrira alors :
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Cela permet d’écrire la transformation :
comme
Représentation
non-homogène
Représentation
homogène
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Systèmes de coordonnées homogènes
• Quelles sont les différentes parties dans la matrice homogène
de transformation ?
matrice
de rotation
vecteur de
translation
1 vecteur nul, de dimension 1x3
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Systèmes de coordonnées homogènes
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Systèmes de coordonnées homogènes
Vecteurs bornés :
• Pour décrire un point 3D, il nous
faut un vecteur borné.
• Avec les coordonnées homogènes, les
vecteurs sont bien bornés, bien que le
facteur d’échelle est fixé du fait du 4ième
élément à 1.
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Systèmes de coordonnées homogènes
Les points à l’infini :
• Normalement, cela n’a pas de sens
de parler de point à l’infini.
• Avec les coordonnées homogènes, c’est possible.
• On peut même dire dans quelle direction tends le point.
Le zéro implique
que le point se
trouve à une
distance infini
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Systèmes de coordonnées homogènes
Transformation 3D en coordonnées homogènes :
Coordonnées du point
dans Oxyz
Coordonnées du point
dans O’x’y’z’
Matrice homogène
de transformation
de O’x’y’z’ vers O’x’y’z’
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Modélisation de caméra
Le modèle Pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Comment les points de l’espace 3D sont projetés dans
l’image (espace 2D) ?
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Comment les points de l’espace 3D sont projetés dans
l’image (espace 2D) ?
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Le point 3D P situé à une profondeur Z et à une distance
X de l’axe optique sera projeté en un point p tel que :
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Cette relation est simplement
obtenue avec le théorème de
Thalès.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Cette relation est simplement
obtenue avec le théorème de
Thalès.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
En 3D :
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
En 3D, le point (X,Y,Z) est projeté dans le plan image tel
que :
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Cette projection peut s’exprimer en utilisant les
coordonnées homogènes, de telle sorte à avoir une
expression telle que :
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Considérons le cas 1D :
• normalement, dans un système non-homogène de
coordonnées, pour le point P une seule dim. : x=3.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Considérons le cas 1D :
• normalement, dans un système non-homogène de
coordonnées, pour le point P une seule dim. : x=3.
• dans un système homogène, un point 1D est
représenté par un vecteur de dimension 2, définissant
un rayon :
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Considérons le cas 1D :
• normalement, dans un système non-homogène de
coordonnées, pour le point P une seule dim. : x=3.
• dans un système homogène, un point 1D est
représenté par un vecteur de dimension 2, définissant
un rayon :
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Extension au 2D :
• dans un système non-homogène de coordonnées, le
vecteur coord. du point P a 2 dimensions.
• dans un système homogène, le vecteur coord. du
point P a 3 dimensions.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Extension au 2D :
• dans un système non-homogène de coordonnées, le
vecteur coord. du point P a 2 dimensions.
• dans un système homogène, le vecteur coord. du
point P a 3 dimensions.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
Extension au 2D :
• dans un système non-homogène de coordonnées, le
vecteur coord. du point P a 2 dimensions.
• dans un système homogène, le vecteur coord. du
point P a 3 dimensions.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
• C’est similaire au modèle pinhole de la caméra !
• Seulement, le 3ième composant a la valeur de la
focale f.
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Modélisation de caméra : le modèle pinhole
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Calibrage (calibration) d’une caméra
Calibration
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Calibrage (calibration) d’une caméra
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Calibrage (calibration) d’une caméra
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Calibrage (calibration) d’une caméra
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Calibrage (calibration) d’une caméra
La calibration est obtenue en considérant une mire
contenant des amers visuels de géométrie 3D connue,
pour résoudre les équations avec les 11 termes (=11
inconnues).
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