Exemples de champs électrostatiques

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Exemples de champs électrostatiques
A. Exemples simples
A.1. Charge ponctuelle unique
Le champ électrique et le potentiel absolu en un point M induits par une charge ponctuelle q
placée en O sont :
q
q
r =
E
u
et
Vr
=
4 π ε0 r 2
4 π ε0 r
où r représente le vecteur OM et u est le vecteur unitaire porté par OM.
Ce champ possède une symétrie sphérique autour de O. Les équipotentielles sont des sphères
et les lignes de champs des droites issues de O.
Fig. 1 : Charge ponctuelle en O.
A.2. Champ uniforme
Un champ électrique uniforme est tel qu’il est identique en tout point de l’espace :
∀ r
r = a u
E
où a est une constante et u un vecteur unitaire fixe. Les lignes de champ sont donc des droites
parallèles à u et les équipotentielles des plans perpendiculaires à u. Un champ uniforme peut
donc être réalisé par un condensateur plan infini (cf. chapitre 4).
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
III - 1
Fig. 2 : Champ uniforme.
Pour calculer le potentiel nous pouvons choisir un repère cartésien Oxyz avec l’axe Ox
parallèle à u. Dans ce repère nous avons :
x, y, z
M Ex x, y, z = −
E
=
x
x, y, z
Ey x, y, z = −
=0
y
x, y, z
Ez x, y, z = −
=0
z
Le potentiel ne dépend donc que de la variable x et nous pouvons écrire :
dVx
= −a
dx
⇔
Vx = −a x + V0
La constante V0 représente le potentiel dans le plan x = 01.
Dans un condensateur plan défini par deux armatures infinies, maintenues aux potentiels V0 et
V1 séparées d’une distance e, le champ électrique est :
=
E
V0 − V1
u
e
le vecteur unitaire u étant dirigé de V0 vers V1.
Si dans une région de l’espace dépourvue de charges les lignes de champ sont parallèles, le
champ électrique est uniforme. Pour le montrer choisissons un repère Oxyz avec l’axe Ox
parallèle aux lignes de champ. Dans ce repère nous avons :
1
Le potentiel absolu ne peut être utilisé : il y a des charges à l’infini dans un condensateur plan infini.
III - 2
x, y, z
M Ex x, y, z = −
E
x
x, y, z
Ey x, y, z = −
=0
y
x, y, z
Ez x, y, z = −
=0
z
Le potentiel ne dépend donc que de la variable x et il en est de même du champ électrique.
D’autre part, en l’absence de charge la loi de Poisson nous permet d’écrire :
Ce qui nous donne ici :
div E =
div E = 0
dEx
=0
dx
⇒
Ex = cste
Le champ électrostatique est uniforme.
B. Champ créé par une couche plane circulaire
Nous considérons une couche plane circulaire uniformément électrisée de rayon R et de
densité surfacique σ. Nous cherchons à calculer le champ et le potentiel en un point situé sur
l’axe perpendiculaire au disque et passant par son centre O.
Fig. 3 : Champ électrique induit par un disque uniformément chargé.
L’axe Ox est axe de symétrie de la distribution de charge. En tout point de cet axe le champ
est donc porté par celui-ci. La situation présentée sur la figure précédente permet de le
vérifier. Nous y considérons la résultante du champ induit par deux éléments de surface de
même aire dS et diamétralement opposés.
Calculons l’intensité de la composante axiale du champ créé en un point M, de coordonnée x,
sur l’axe par un élément de surface dS du disque :
III - 3
dEx =
σ dS
cos α
4 π ε0 a2
où a représente la distance du point M à l’élément de surface et α l’angle formé par le vecteur
et l’axe (Fig. 4). Cette distance et cet angle sont identiques pour tous les éléments de
dE
surface situés dans une couronne de rayon r et de largeur dr. Nous pouvons donc sommer les
contributions d’une telle couronne. Il vient :
δE =
σ 2π rdr
σ rdr
cos α =
cos α
2
4 π ε0 a
2 ε0 a2
Fig. 4 : Calcul direct du champ électrique induit par un disque chargé.
Commençons par raisonner avec x > 0. Les trois variables x, a et α sont reliées par deux
équations :
x
a=
et r = x tan α
cos α
Ainsi, à une largueur dr correspond une ouverture dα telle que :
dr = x
dα
cos0 α
Ce qui nous donne pour le champ électrostatique créé par une couronne élémentaire :
δE =
σ
sin α dα
2 ε0
Notons θ le demi-angle au sommet du cône défini par le point M et le disque (Fig. 5). Pour
calculer le champ induit par l’ensemble du disque nous devons donc sommer sur α entre 0 et
θ. Ce qui nous donne :
Soit :
E=1
θ
3
σ
σ
4cos α5θ3
sin α dα =
2 ε0
2 ε0
III - 4
E=
σ
1 − cos θ
2 ε0
Fig. 5 : Cône de sommet M et ayant pour base le disque.
Nous pouvons exprimer cos θ en fonction de x et de R :
Ce qui nous donne pour le champ :
Ex =
cos θ =
x
√x 2 + R2
σ
x
81 −
9
2 ε0
√x 2 + R2
pour x > 0
Sur la figure 4 nous avons raisonné avec x positif. Pour x négatif le champ serait de même
intensité mais de sens opposé. Ce que nous pouvons écrire :
Soit encore :
Ou :
Ex = signx
Ex =
|x|
σ
=1 −
?
2 ε0
√x 2 + R2
|x|
σ x
=1 −
?
2 ε0 √x 2
√x 2 + R2
Ex =
σ
x
x
8
−
9
2 ε0 √x 2 √x 2 + R2
La figure 6 présente l’allure de E(x) pour σ > 0, avec E0 = 2 ε . Remarquons qu’il y a une
σ
discontinuité du champ électrique à la traversé du disque chargé.
0
Calculons le potentiel électrostatique en M. Celui-ci ne dépend que de la variable x (y = z = 0)
nous pouvons donc écrire :
Soit :
Ex = −
dVx
dx
⇔
Vx = − 1 Ex dx
III - 5
Vx =
σ
x
x
18
−
9 dx
2 ε0
√x 2 + R2 √x 2
Ce qui nous donne pour le potentiel absolu :
Vx =
σ
@Ax 2 + R2 − Ax 2 B
2 ε0
Fig. 6 : Intensité du champ créé par un disque uniformément chargé positivement.
La figure suivante illustre l’allure du potentiel pour σ > 0 et V0 = 2 ε . Il n’y a pas de
σR
0
discontinuité du potentiel.
Fig. 7 : Potentiel induit par un disque uniformément chargé positivement.
C. Dipôle électrique
Un dipôle électrique est un ensemble de deux charges ponctuelles de signes opposés séparées
d’une distance d. Nous allons étudier le potentiel et le champ électrostatiques créés par un
dipôle en un point M situé à une grande distance (r >> d).
Considérons un dipôle électrique constitué d’une charge –q placée en un point A et une
charge q placée en B. Nous définissons son moment dipolaire p par :
p = q AB
III - 6
Dans le système international l’unité est C⋅m. On utilise également une unité, adaptée à
l’échelle moléculaire, le debye (symbole : D) avec :
1D=
10F0G
C∙m
3
C.1. Potentiel électrique
Calculons le potentiel électrostatique créé par un dipôle en un point M.
Fig. 8 : Etude d’un dipôle électrique.
Explicitons nos notations. L’origine O est choisie au milieu du segment AB. u est le vecteur
L
unitaire orienté de O vers M, il forme avec le vecteur AB un angle θ : θ = @AB
, uB. Nous
supposons que la distance OM, notée r, est très grande devant la longueur a du segment AB.
Le potentiel créé en M par les deux charges s’écrit :
VM =
q
1
1
q rA − rB
8 − 9=
4 π ε0 rB rA
4 π ε0 rA rB
En première approximation nous avons rA ≈ rB ≈ r. Ce n’est cependant pas suffisant, il nous
faut évaluer la différence entre les distances aux deux charges. Pour cela partons de la relation
vectorielle suivante :
− = AM
BM
AB
Ce qui nous donne :
0 − 2 BM 0 = AM
AM. AB + AB0
Avec nos notations :
. AM
AB = rA a cos θ
Soit :
rB 2 = rA 2 − 2 a rA cos θ + a2
III - 7
Au premier ordre nous pouvons négliger le terme en a2 :
rB 2 ≈ rA 2 − 2 a rA cos θ
Donc :
D’autre part en développant :
il vient :
Ce qui nous donne :
rA 2 − rB 2 ≈ 2 a rA cos θ
rA 2 − rB 2 = rA + rB rA − rB rA 2 − rB 2 ≈ 2 r rA − rB ≈ 2 a r cos θ
rA − rB ≈ a cos θ
Le potentiel électrostatique créé par un dipôle en un point éloigné a donc pour expression :
VM =
q a cos θ
4 π ε0 r 2
Nous reconnaissons le moment dipolaire au numérateur :
VM =
Soit encore sous forme vectorielle :
Vr =
C.2. Champ électrique
p cos θ
4 π ε0 r 2
p u
p r
=
4 π ε0 r 2 4 π ε0 r 3
Nous allons étudier le champ électrique créé par un dipôle en utilisant des coordonnées
sphériques. Nous choisissons un repère orthonormé direct O, ex , ey , ez avec le vecteur
unitaire ez parallèle au moment dipolaire :
p = p ez
En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) le gradient a pour expression :
grad V V
r
1 V
r θ
1 V
r sin θ φ
Ce qui nous donne pour le champ électrostatique :
III - 8
E Er
Eθ
Eφ
V
p cos θ
=2
r
4 π ε0 r 3
1 V
p sin θ
=−
=
r θ
4 π ε0 r 3
1 V
=−
=0
r PQR θ φ
=−
Comme la composante Eϕ est nulle le champ est toujours dans le plan défini par le moment
dipolaire p et le point M. Dans ce plan nous pouvons nous limiter aux coordonnées polaires :
p
cos θ
Er =
E
2 π ε0 r 3
p
Eθ =
sin θ
4 π ε0 r 3
Calculons l’intensité du champ électrique :
Soit :
0
p
4 cos0 θ + sin0 θ
E 2 = Er 2 + Eθ 2 = 8
9
4 π ε0 r 3
E=
C.3. Positions principales de Gauss
p
A1 + 3 cos0 θ
4 π ε0 r 3
Les positions principales de Gauss correspondent à θ = 0, π/2, π et 3π/2. Nous avons alors :
θ = 0 Er = 2E0
E
S
Eθ = 0
avec :
θ = π/2 Er = 0
E
S
Eθ = E0
E3 =
et
et
Eθ = π Er = −2E0
S
Eθ = 0
Eθ = 3π/2 Er = 0
S
Eθ = −E0
p
4 π ε0 r 3
La figure 9 représente le champ électrique pour ces positions principales dans un plan
contenant le moment dipolaire.
Revenons au repère (Oxyz) avec l’axe Oz défini par p et le plan Oxz contenant le point M.
Exprimons les coordonnées du champ électrostatique dans ce repère, nous avons :
Ce qui donne :
Ex = Er sin θ +Eθ cos θ
E
U Ey = 0
Ez = Er cos θ − Eθ sin θ
III - 9
Ex =
p
3p
2 cos θ sin θ + sin θ cos θ =
sin θ cos θ
3
4 π ε0 r
4 π ε0 r 3
Ez =
p
p
2 cos0 θ − sin0 θ =
3 cos0 θ − 1
3
4 π ε0 r
4 π ε0 r 3
Nous pouvons identifier une contribution parallèle à u et une autre à l’axe Oz :
Soit encore :
E =
p cos θ = p u
1
3 p cos θ u − p
4 π ε0 r 3
=
E
⇒
1
43 p
u u − p5
4 π ε0 r 3
Fig. 9 : Positions principales de Gauss pour un dipôle.
C.4. Surfaces équipotentielles et lignes de champ
Les surfaces équipotentielles sont définies par :
Vr =
Ce qui nous donne une équation du type :
p cos θ
= V0
4 π ε0 r 2
r 2 = a cos θ
Pour a > 0 nous avons -π/2 ≤ θ ≤ π/2 et pour a < 0 nous avons π/2 ≤ θ ≤ 3π/2.
III - 10
L’intersection avec un plan contenant le moment dipolaire est illustrée sur la figure 10. Les
deux courbes en bleu correspondent à deux potentiels opposés. En supposant le moment
dipolaire orienté selon l’axe Oz, les potentiels positifs se situent à droite et les potentiels
négatifs à gauche.
Fig. 10 : Une ligne de champ (en vert) et deux équipotentielles (en rouge : V > 0 et
en bleu V<0) dans un plan contenant le dipôle (porté par l’axe Oz).
un déplacement
Les lignes de champ sont tangentes au champ électrique. Si nous notons dM
élémentaire le long de la ligne de champ passant par un point M nous avons :
En coordonnées polaires nous avons :
= k E
W
dM
dr
dM
Xr dθ
r sin θ dφ
et
E Er
UE θ
Eφ
Nous avons donc dϕ = 0 le long d’une ligne de champ. Chaque ligne de champ se situe dans
un plan contenant le moment dipolaire. De plus nous avons :
dr = k Er
Y
r dθ = k Eθ
⇒
Ce qui nous conduit à l’équation différentielle :
dr
Er
cos θ
=
=2
r dθ Eθ
sin θ
dr
cos θ dθ
=2
r
sin θ
III - 11
Ce qui nous donne :
Soit :
ln r = 2 lnsin θ + cste
ln r = lnb sin0 θ
avec
Les lignes de champ ont donc pour équation polaire :
b>0
r = b sin 2 θ
La figure 10 montre l’allure d’une telle ligne de champ (courbe verte en forme de 8) dans un
plan contenant le moment dipolaire (porté par l’axe Oz). Rappelons cependant que ces
résultats ne sont valables que suffisamment loin du dipôle.
D. Distributions de charges à symétrie sphérique
D.1. Couche sphérique uniformément électrisée
Considérons une sphère de centre O et de rayon R uniformément chargée en surface avec une
densité σ. De part la symétrie de révolution de la charge nous pouvons affirmer qu’en tout
point M le champ électrostatique est porté par OM. De même le module de ce champ est
identique en tout point d’une sphère de centre O. Le champ se limite à sa composante radiale
qui ne dépend que de r.
Pour étudier le champ électrostatique nous pouvons appliquer le théorème de Gauss à toute
sphère de centre O et de rayon r. Le champ étant normal à la surface de la sphère, flux sortant
est facile à calculer :
Φ(r ) = 4 π r 2 E(r )
Considérons un point à l’intérieur de la sphère (r < R). Comme il n’y a pas de charge à
l’intérieur de la sphère de rayon r, le flux sortant est nul. Donc :
E ( r ) = 0 pour r < R
Pour un point à l’extérieur de la sphère (r > R) le théorème de Gauss nous permet d’écrire :
Q 4πR2 σ
Φ=
=
ε0
ε0
Ce qui nous donne :
E(r ) =
Φ
Q
=
2
4πr
4 π r 2 ε0
Le champ électrostatique à l’extérieur de la sphère chargée est identique à celui par créé par
une charge ponctuelle Q placée en O. Nous avons également :
E(r ) =
σ R2
ε0 r 2
pour r > R
III - 12
Fig. 11 : Champ et potentiel pour une sphère uniformément chargée en surface.
Etudions maintenant le potentiel électrostatique. Compte tenu de la symétrie sphérique celuici ne dépend que de r. A l’intérieur de la sphère chargée nous avons :
E(r ) = −
d V (r )
=0
dr
Le potentiel est constant. Plaçons nous au centre O. Toutes les charges sont à une distance R.
Donc si nous choisissons le potentiel absolu créé par cette distribution sphérique nous avons :
V0 = V(0) =
σR
Q
=
4 π ε0 R
ε0
Pour un point à l’extérieur l’équation différentielle devient :
d V(r )
Q
= −E(r ) = −
dr
4 π ε0 r 2
Ce qui nous donne pour le potentiel absolu :
V(r ) =
σR2
Q
=
4 πε0 r
ε0 r
Nous pouvons constater qu’il y a continuité du potentiel à la traversée de la couche électrisée.
La figure 11 illustre l’allure du champ et du potentiel pour σ > 0, avec :
E0 =
σR
σ
et V0 =
.
ε0
ε0
III - 13
D.2. Sphère uniformément chargée en volume
Considérons une sphère de centre O et de rayon R uniformément chargée en volume avec une
densité ρ. Comme dans l’exemple précédent, la symétrie de révolution de la charge nous
permet d’affirmer qu’en tout point M le champ électrostatique est radial et de même module
en tout point d’une sphère de centre O.
Pour étudier le champ électrostatique nous pouvons appliquer le théorème de Gauss à toute
sphère de centre O et de rayon r. A l’extérieur de la sphère nous avons encore :
Q
4 π r 2 ε0
E(r ) =
et V(r ) =
Q
4 π ε0 r
avec :
Q=
4
πR3 ρ
3
Ce qui nous donne :
E(r ) =
R3 ρ
3ε0 r 2
R3 ρ
et V(r ) =
3ε0 r
pour r > R
Plaçons nous à l’intérieur de la sphère. Le flux sortant est proportionnel à la charge à
l’intérieur de la sphère de rayon r, soit :
Φ(r ) =
q(r ) 4 π r 3 ρ
=
ε0
3ε0
Nous en déduisons l’expression du champ :
E(r ) =
ρr
3ε0
L’équation différentielle permettant de calculer le potentiel s’écrit :
d V(r )
ρr
= −E(r ) = −
dr
3ε0
Ce qui nous donne :
V (r ) = −
ρr2
+ cste
6 ε0
Pour déterminer la constante nous pouvons calculer le potentiel créé en O par l’ensemble des
charges. Pour cela considérons une couche sphérique de rayon r et d’épaisseur dr. Toutes les
charges de cette couche étant à une distance r, celle-ci contribue au potentiel en O pour :
dV =
ρ dτ
4 π ε0 r
avec dτ = 4 π r 2 dr
Soit :
III - 14
dV =
ρ
r dr
ε0
Nous avons donc pour le potentiel en O créé par l’ensemble de la sphère :
V(0) =
∫
R
0
ρ
ρ
r dr =
R2
ε0
2 ε0
En reportant dans l’expression du potentiel il vient :
ρr2
ρ
ρ
2
V(r ) =
R −
=
(3 R 2 − r 2 )
2 ε0
6 ε0 6 ε0
Fig. 12 : Champ et potentiel pour une sphère uniformément chargée en volume.
Nous pouvons constater qu’il n’y a aucune discontinuité du potentiel ni du champ à la surface
de la sphère chargée. En effet pour r = R nous avons :
ρR
E0 =
3ε0
et
ρR2
E0 =
3ε0
La figure précédente illustre l’allure de la variation du champ et du potentiel en fonction du
rayon pour une densité de charge positive.
E. Distributions de charge à symétrie cylindrique
E.1. Fil rectiligne infini uniformément électrisé
Considérons un fil rectiligne infini portant une charge linéique λ. Calculons le champ et le
potentiel électrostatiques en un point M situé à une distance r du fil.
Compte tenu de la symétrie cylindrique du problème nous pouvons dire que le champ est
radial et que son module ne dépend que de la distance au fil. En effet tout plan contenant le fil
est plan de symétrie et contient donc le champ électrique. De même tout plan normal au fil est
III - 15
plan de symétrie. En un point M le champ électrique se trouve donc sur l’intersection du plan
passant par M contenant le fil et du plan normal au fil passant par M. Le champ est donc
radial. D’autre part les invariances par rapport à toute translation parallèle au fil et à toute
rotation autour du fil font que le champ est indépendant de ϕ et de z.
Fig. 13 : Fil infini uniformément chargé.
Pour calculer ce champ nous pouvons appliquer le théorème de Gauss à un cylindre de
révolution autour du fil de rayon r et de hauteur h (Fig. 13). Le champ étant parallèle aux deux
disques formant les bases de ce cylindre le flux sortant par ces deux faces est nul. Nous avons
donc pour le flux sortant du cylindre :
Φ(r ) = E (r ) 2 π r h
Ce flux est proportionnel à la charge contenue dans le cylindre :
Φ=
Q λh
=
ε0
ε0
Nous avons donc pour le champ :
E(r ) =
λ
2 π ε0 r
Nous pouvons écrire l’équation différentielle permettant de calculer le potentiel :
d V(r )
λ
= −E(r ) = −
dr
2 π ε0 r
Soit après intégration :
V(r ) = −
λ
ln r + cste
2 π ε0
III - 16
La présence de charges à l’infini interdit le choix du potentiel absolu. On choisit alors
arbitrairement le potentiel en un point. Pour la différence de potentiel entre deux points nous
avons :
r
λ
V(M1 ) − V(M 2 ) = V(r1 ) − V(r2 ) =
ln 2
2 π ε 0 r1
Elle ne dépend que des distances des points au fil.
E.2. Cylindre de révolution uniformément chargé en volume
Considérons un cylindre de révolution autour d’un axe (D) de longueur infinie, de rayon R
uniformément chargé en volume de charge volumique ρ. Calculons le champ et le potentiel
électrostatiques en un point M situé à une distance r du fil.
Compte tenu de la symétrie cylindrique du problème nous pouvons à nouveau dire que le
champ est radial et que son module ne dépend que de la distance au fil. Pour calculer ce
champ nous pouvons appliquer le théorème de Gauss à un cylindre de révolution autour de
l’axe du cylindre de rayon r et de hauteur h. Le champ étant parallèle aux deux disques
formant les bases de ce cylindre le flux sortant par ces deux faces est nul. Nous avons donc
pour le flux sortant du cylindre :
Φ(r ) = E (r ) 2 π r h
Ce flux est proportionnel à la charge contenue dans le cylindre :
Φ=
Q
ε0
Si le point M est situé à l’extérieur du cylindre nous avons :
Q = π R 2 h ρ pour r > R
Ce qui nous donne pour le champ électrique :
E(r ) 2 π r h =
πR2 hρ
ε0
⇒ E(r ) =
ρR2
2 ε0 r
pour r > R
Si le point M est à l’intérieur du cylindre nous avons :
Q( r ) = π r 2 h ρ pour r < R
Soit :
E(r ) 2 π r h =
πr2 hρ
ρr
⇒ E(r ) =
ε0
2 ε0
pour r < R
Remarquons que le champ est continu en r = R.
III - 17
Calculons maintenant le potentiel. Commençons à l’extérieur du cylindre. Nous avons :
ρR2
dV
= −E(r ) = −
dr
2 ε0 r
ρR2
⇒ V(r ) = −
ln(r ) + A
2 ε0
La présence de charges à l’infini nous interdit de choisir un potentiel nul à l’infini. Par contre
nous pouvons choisir le potentiel en un point particulier de l’espace. Choisissons le potentiel
nul à la surface du cylindre : V(R) = 0. Nous avons alors :
V(r ) = −
ρR2  r 
ln  pour r > R
2 ε0  R 
A l’intérieur du cylindre nous avons :
ρr
dV
= −E(r ) = −
dr
2 ε0
ρr2
⇒ V (r ) = −
+B
4 ε0
Utilisons la même condition pour choisir la constante B, il vient :
V(r ) =
ρ
( R 2 − r 2 ) pour r < R
4 ε0
F. Moments multipolaires
Dans ce paragraphe nous revenons au cas de distributions discrètes de charges. Considérons
une distribution de charges ponctuelles {qi}i=1,…,n que nous étudions à grande distance.
Par rapport à une origine O nous repérons par un vecteur ri , de module ri, la position de
chaque charge qi. De même nous notons r la position du point M d’observation. Nous
choisissons l’origine O dans le volume contenant les charges de telle sorte que :
où r représente le module du vecteur r.
∀i ri << r
Nous pouvons écrire le potentiel électrostatique induit par la distribution de charges au point
M:
V(M) =
1
4 π ε0
n
∑
i =1
qi
di
où di représente la distance séparant le point M de la charge qi. Calculons cette distance :
di = ‖r − ri ‖ = Ar − ri 2
di = ]r 2 − 2 r ri + ri
2
III - 18
Si nous notons θi l’angle ^r_
, ri ` nous pouvons écrire :
di = r 2 − 2 r ri cos θi + ri 0 a/0
ri
ri 2
di = r =1 − 2 cos θi + 2 ?
r
r
a/0
Comme les distances ri sont petites devant la distance d’observation r nous pouvons écrire :
ri
ri 2
di = r =1 − 2 cos θi + 2 ?
r
r
a/0
avec :
= r 1 + εa/0
ri
ri 2
ε = −2 cos θ i + 2 << 1
r
r
Avec cette notation nous avons :
1 1
= (1 + ε) −1 / 2
di r
Effectuons un développement limité au deuxième ordre en utilisant :
1
3
(1 + ε) −1 / 2 = 1 − ε + ε 2 + o(ε 2 )
2
8
2
(1 + ε)
−1 / 2
2
2
r2 
r
r  3
r
r 
1
= 1 −  − 2 i cos θ i + i2  +  − 2 i cos θ i + i2  + o i2 
r 
2 
r
r
r  8 
r 
 
Ce qui nous donne en ne gardant que les termes en 1/r et 1/r2 :
(1 + ε) −1 / 2 = 1 +
2
2
r2 
ri
1r
3r
cos θ i − i2 + i 2 cos 2 θ i + o i 2 
r 
r
2r
2r
 
Soit :
(1 + ε)
−1 / 2
(
)
2
 ri 2 
ri
1 ri
2
= 1 + cos θ i +
3 cos θ i − 1 + o 2 
r 
r
2 r2
 
Nous avons donc pour le potentiel en M :
1
V(M) =
4 π ε0
1

 r
n
∑
i =1
1
qi + 2
r
n
∑
i =1
1
q i ri cos θ i + 3
2r
n
∑
i =1

2
q i ri 3 cos 2 θ i − 1 

(
)
Le potentiel apparaît comme la somme de trois termes. Si nous notons Q la somme des
charges de la distribution nous avons pour le premier terme :
III - 19
n
Q=
∑q
⇒ V1 (M) =
i
i =1
Q
4 π ε0 r
Considérons le deuxième terme :
V2 (M) =
4 π ε0 r 2
Notons u le vecteur unitaire porté par OM :
Nous avons alors :
n
n
1
n
u =
∑ q r cos θ
i i
r
r
b q i ri cos θi = u b q i ri = u P
i=1
i
i =1
i=1
avec
n
= b q i ri
P
i=1
Le vecteur P représente le moment dipolaire de l’ensemble des charges. Avec ces notations
nous avons pour le deuxième terme du potentiel :
V2 M =
P u
P r
=
4 π ε0 r 2 4 π ε0 r 3
Intéressons nous maintenant au troisième terme. Considérons tout d’abord le terme :
ri 0 3 cos0 θi − 1 = 3 ri 0 cos 0 θi − ri 0 = 3u
ri 0 − ri 0
Il est possible d’exprimer cette quantité en fonction des coordonnées spatiales des vecteurs.
Par exemple :
3
Et :
u ri = b ua ri a
3
a=1
3
3
3
u
ri 2 = b ua ri a b ub ri b = b bri a ri b ua ub
a=1
a=1 b=1
b=1
D’autre part nous pouvons écrire :
3
3
3
u = b ua = b b δab ua ub
2
a=1
où δab est le symbole de Kronecker :
2
a=1 b=1
0 si a ≠ b
δ ab = 
1 si a = b
III - 20
En reportant ces deux expressions il vient :
(
) ∑∑ (r )
3
3
ri 3 cos θ i − 1 = 3
2
2
3
i a
(ri ) b u a u b − ri
2
a =1 b =1
3
∑∑ δ
ab
ua ub
a =1 b =1
Soit :
(
) ∑∑ [3 (r )
3
2
]
3
ri 3 cos θ i − 1 =
2
i a
(ri ) b − ri 2 δ ab u a u b
a =1 b =1
En sommant sur toutes les charges de la distribution, nous pouvons donc écrire le troisième
terme sous la forme :
1
1
V3 (M) =
4 π ε0 2 r 3
3
3
∑∑ Q
ab
ua ub
a =1 b =1
où {ua}a=1,…,3 représentent les trois composantes du vecteur unitaire dirigé de l’origine O vers
le point d’observation M et Qab les 9 composantes du moment quadrupolaire de la distribution
de charges définies par :
∑ q [3 (r )
n
Q ab =
i
i a
(ri ) b − ri δ ab
2
]
i =1
Il est facile de vérifier que le moment quadrupolaire est un tenseur symétrique et de trace
nulle :
3
Q ba = Q ab
et
∑Q
aa
=0
a =1
Il ne possède donc que 5 composantes indépendantes.
Avec ces notations nous avons pour le potentiel créé par une distribution de charges en un
point éloigné :
Q
1
V(M) =
+
4 π ε0 r 4 π ε0 r 2
3
∑
a =1
1
1
Pa u a +
4 π ε0 2 r3
3
3
∑∑ Q
ab
ua ub
a =1 b =1
Ce résultat se généralise aux distributions continues de charges, avec par exemple pour les
moments dipolaire et quadripolaire :
= d ρ r dτ
P
g
Qab = d ρ 43ri a ri b − ri 2 δab 5 dτ
g
III - 21

Exemples de champs électrostatiques

Transcription

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