Quel est le volume d`une sphère en 4D?
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Quel est le volume d`une sphère en 4D?
Quel est le volume d’une sphère en 4D? Bogdan Pechounov Nous avons appris que les formules pour la de la fonction f, l'axe des abscisses et les surface d’un disque en 2D et le volume d’une droites d'abscisses a et b. sphère en 3D sont comme suit: Dans notre cas, est la fonction suivante: Toutefois, d’où viennent ces formules? Fig3. Cercle en 2D Alors, la surface indiquée en bleu (Fig.3) Fig1. Cercle en 2D correspondra à: L’équation du cercle est: Pour obtenir la surface du disque au complet, il Nous allons exprimer en fonction de . Nous savons que l’intégral sert à calculer l’aire. faut multiplier par 4. Pour trouver la valeur de cet intégral, nous allons faire une substitution qui ne change pas la valeur de l’intégral, mais qui rend les calculs plus faciles: Fig2.Interprétation de l’intégral [1] est interprétée comme l’aire du domaine délimité par la courbe représentative 1 Quel est le volume d’une sphère en 4D? Bogdan Pechounov Nous allons choisir un disque avec une hauteur infiniment petite: . La somme des volumes de tous ces disques va nous donner le volume de la sphère. Fig 4. Sphère en 3D L’intervalle dans lequel varie Ici on a utilisé l’identité trigonométrique: est : Le volume du disque que nous venons de dessiner est: La révolution est effectuée par rapport à l’axe des . Ainsi, le rayon de ce disque est: Donc, nous obtenons la formule pour la surface du disque: . Maintenant, pour trouver le volume d’une Par exemple, à et à . , le rayon du disque est , le rayon du disque est . Alors, la surface du disque est: sphère en 3D, nous allons utiliser une méthode similaire. 2 Quel est le volume d’une sphère en 4D? Bogdan Pechounov Quand n=4, l’équation de l’hypersphère est De plus, le volume du disque est donnée par: donnée par: = La somme de tous ces disques le long de l’axe des nous permettra d’obtenir le volume de Nous allons choisir un “disque” sur l’axe avec une hauteur infiniment petite: toute la sphère : . La somme des volumes de tous ces “disques”, qui varie le long de l’axe , va nous donner le volume de l’hypersphère (en 4D). L’intersection de ce “disque” avec l’hypersphère donne une sphère ordinaire (en 3D) avec un rayon : . Tantôt, le volume du disque était donné par l’aire d’un cercle, multiplié par une hauteur infinitésimale: . En 4D, le volume du “disque” est donné par le volume d’une sphère en 3D, multiplié par une hauteur infinitésimale : = Maintenant, nous pouvons calculer le volume d’une sphère dans une espace de 4 dimensions (4D). Les sphères dans une espace de n dimensions ( ) sont aussi => appelées des hypersphères. Précédemment, nous avons obtenu: 3 Quel est le volume d’une sphère en 4D? Bogdan Pechounov 1) Pouvez-vous obtenir la formule pour le volume d’une hypersphère dans un espace à dimensions? Vous pouvez utiliser l’induction mathématique. 2) Prouvez que le volume d'une hypersphère dans un espace à dimensions de rayon tend vers zéro lorsque Voici les formules tend vers l'infini. du volume lorsque le rayon est pour [2][3]. Nous avons obtenu la formule du volume d’une hypersphère en 4D. 4 Quel est le volume d’une sphère en 4D? Nous remarquons que quand tend vers l'infini, le volume de n-sphère tend vers zéro. Bogdan Pechounov Sources: [1] https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégration_(mathématiques) [2] http://spacemath.gsfc.nasa.gov/universe/6Page89.pdf [3] https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball Fig 5. Le volume d'une hypersphère en fonction de n [2]. Réponse à la question 1) [3]: La formule recursive est [2]: 5