Peut-on marcher sur l`eau ?

Anne-Laure Delaye
Aude Latrive
Astrid Verpeaux
Olympiades de physique 2006-2007
Peut-on marcher
sur l’eau ?
Lycée Hoche, Versailles
Professeurs : Mme Larasse
M. Brasselet
C’est dans le cadre d’un atelier de sciences expérimentales que
nous avons commencé en première S ce projet. Notre but était de
participer aux Olympiades de Physique 2006-2007, mais nous avons
également présenté le concours Faites de la science en juin dernier ;
nous avons donc continué cette année en Terminale scientifique.
Nous nous sommes d’abord orientées vers tout ce qui concerne
l’eau, la capillarité, la tension superficielle, ce qui nous a conduites à
nous intéresser aux araignées d’eau capables de marcher sur l’eau.
Après plusieurs recherches sur ce domaine, nous avons découvert
l’existence du lézard Basilic, qui est devenu le centre de notre projet.
Afin de nous aider dans nos expériences, nous nous sommes
rendues à l’ESPCI et avons rencontré après plusieurs échanges de
mails Etienne Reyssat, étudiant en dernière année de thèse et
spécialisé dans la mécanique des fluides.
2
Sommaire
I. Le lézard basilic : présentation (page 4)
II. Modélisation du lézard (page 5)
1. Expérience des plaques
2. Le coureur motorisé
a. Dispositif expérimental
b. Tableau de valeurs et exploitation
c. Analyse de graphique et explications éventuelles
3. Expérience du « ski-nautique »
III. Bernoulli : la bonne solution ? (page 14)
1. Utilisation des données de l’article
a. Données
b. Calculs
2. Application à l’homme
3. Tension superficielle
3
Peut-on marcher sur l’eau ?
Introduction:
Peut-on marcher sur l'eau? Une question qui nous intéressait beaucoup, c’est pour cela
qu’après quelques tentatives infructueuses à la piscine, nous avons décidé d’approcher
le sujet de manière aussi expérimentale, mais plus construite. Nous avons découvert
l’existence d’un lézard, nommé le « basilic » qui arrive à se déplacer sur l'eau en
courant. Il enfonce sa patte dans l'eau lorsqu'il court ce qui montre l'existence d'une
force qui lui permet de prendre appui pour ressortir sa patte de l'eau et ainsi avancer.
D'où vient cette force qui le porte? Est-ce que l'Homme peut l'imiter ? Cette force peutelle s'appliquer à son cas? C'est donc cette force exercée par l'eau que nous allons nous
attacher à étudier.
I. Le lézard basilic : présentation
Le lézard basilic, ou « jesus lizard », pèse entre 2 et 200 grammes. Il vit en Afrique
centrale et en Amérique du Sud.
Il mesure environ 5 cm sans sa queue et 10 avec, et possède des pattes arrière
légèrement palmées.
La particularité de ce lézard basilic est qu’il peut courir sur l’eau, à la vitesse de 1.5m/s
environ. Nous avons regardé une vidéo qui le montre lorsqu’il court sur l’eau, et avons
observé que :
o il court sur l’eau en se servant uniquement de ses deux pattes arrière. Sa queue
l’aide à se stabiliser.
o
son mouvement se décompose en trois parties (et des recherches déjà
effectuées sur le sujet le confirment) :
la frappe : le lézard frappe verticalement l’eau.
Sens du lézard
Interface
eau/air
« Pied « du
lézard
4
le « coup de rame » : la force reçue en réaction à sa frappe lui
permettant de rester à la surface, il rame vers l’arrière pour avancer
(mouvement horizontal)
Sens du lézard
Interface
eau/air
le rétablissement : il sort sa patte de l’eau et la ramène vers l’avant
pour effectuer un nouveau mouvement.
o
Il court sur l’eau, et c’est manifestement sa vitesse, donc la vitesse avec
laquelle il frappe l’eau qui lui permet de se maintenir à la surface.
II. Modélisation du lézard
o Protocole
Dans un premier temps, nous avons essayé de reproduire le mouvement
vertical de la patte du lézard sur l’eau, pour pouvoir mesurer une relation
entre la vitesse de la patte et la force que l’eau oppose en retour.
5
Au lieu de pousser une plaque de haut en bas contre l’eau, ce qui entraînait
beaucoup de difficultés du point de vue de la stabilité du dispositif, nous
avons effectué le mouvement opposé :
Tirer une plaque de bas en haut (la plaque étant totalement immergée, la
force mesurée est équivalente quel que soit le sens du mouvement de la
plaque)
Dynamomètre
Eau
Plaque
Nous avons fait varier le paramètre de la taille de la plaque tirée.
•
Plaque de 56 cm²
Force (N)
Vitesse (m/s)
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
0,057
0,060
0,086
0,074
0,12
0,083
0,095
0,13
0,16
0,15
Nous avons mesuré la durée d’une « remontée » de plaque lorsqu’on la tirait avec le
dynamomètre, et ce pour différentes valeurs de forces indiquées sur le dynamomètre.
Vitesse (m/s) Force (N)
0,020
0,018
0,022
0,055
0,049
0,054
0,053
0,070
0,069
0,073
0,079
6
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
0,3
0,10
0,4
0,093
0,098
0,084
0,093
0,16
0,15
0,22
0,21
0,4
0,4
0,4
0,5
0,8
0,8
0,8
0,8
F=F(V), plaque de dimension 56 cm²
0,35
0,3
0,25
(N)
F=F(V)
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
V (m/s)
Nous obtenons un nuage de points très dispersés : avec nos instruments et dans les
conditions de réalisation de l’expérience, les mesures sont très peu précises. En utilisant
une plaque de plus grande dimension, nous avons stabilisé le système, et obtenu des
mesures un peu plus exactes.
Plaque de 136 cm²
F=f(V), plaque de dimensions 136 cm²
1
F (N)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
V(m/s)
o Interprétation :
Sur les graphiques, on peut remarquer la forme des nuages de points :
Il semble que la force soit proportionnelle à la vitesse au carré.
7
Voici un graphe représentant la force en fonction de la vitesse au carré :
F(N)
F=f(v²), petite plaque
0,4
0,3
Série1
0,2
0,1
0
0
0,01
0,02
0,03
V² (m²/s²)
force (N)
F=f(v²), grande plaque
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Série1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
vitesse ² (m²/s²)
La courbe représentant la force en fonction de la vitesse au carré a la forme d’une
droite qui ne passe pas par l’origine : pour v=0, la force indiquée sur le
dynamomètre correspond à la résultante du poids et de la poussée d’Archimède
(la plaque coule naturellement).
Il nous a donc semblé que la loi de Bernoulli pouvait être utilisée pour
rendre compte du phénomène
P+
μv²
2
= cte
On se place dans le référentiel de la plaque
A
A
B
B
8
En appliquant la loi de Bernoulli en A et en B, on obtient :
PA +
μvA ²
= PB +
2
μvB ²
2
Or la vitesse en B est nulle
PB − PA =
F=S
μv A ²
μv A ²
2
2
, avec S surface de la plaque en m²
En prenant les vitesses mesurées, nous avons pu calculer les forces
correspondantes en théorie :
Dans les calculs, μ: masse volumique de l’eau :1000kg.m-3
Les forces calculées sont obtenues à partir de la vitesse mesurée :
On utilise la formule donnée par la loi de Bernoulli.
Surface (m²)
0,014
0,014
0,014
0,014
0,014
0,0056
0,0056
0,0056
Force
(Vmesurée)²
mesurée Force
(N)
(m²/s²)
calculée (N)
0,00043
0,10
0,0059
0,0029
0,20
0,039
0,0055
0,30
0,075
0,0084
0,40
0,11
0,044
0,80
0,60
0,0047
0,0084
0,020
0,10
0,20
0,30
0,013
0,024
0,0055
Ces résultats nous ont paru satisfaisant dans la mesure où les forces calculées grâce à la
loi de Bernoulli étaient à peu près du même ordre de grandeur que les forces mesurées avec le
dynamomètre.
Toutefois les forces mesurées sont systématiquement plus grandes que les forces calculées.
Ceci peut s’expliquer par plusieurs hypothèses :
- La loi de Bernoulli s’applique sur des fluides parfaits, elle néglige la viscosité.
-les mesures de forces au dynamomètre étaient assez approximatives
-les plaques oscillaient quand nous les tirions
- enfin, un des inconvénients de notre dispositif était la difficulté de mettre en
place un régime stationnaire : la force mesurée par le dynamomètre traduisait en partie
l’accélération, ce qui pourrait expliquer une mesure plus grande que la force calculée.
9
Nous nous sommes donc demandé si nous pouvions établir un autre montage
permettant de pallier les trois derniers inconvénients.
2.Le coureur motorisé
a. Dispositif expérimental
A l'aide de mécanos, de boutons de portes et de pales en métal, nous avons
essayé de construire un dispositif qui pourrait nous servir à observer le mouvement des
pattes du lézard. Les pales, accrochées sur un bouton de porte sont enfoncées dans
l'eau et sont reliées par une tige en métal qui tourne à l'aide d'un moteur.
Lorsque l'on met le dispositif en marche grâce à un générateur, les pales se mettent à
tourner dans l'eau et on observe le dispositif expérimental se soulever pour et former
un angle en avant de la verticale. Cela valide donc notre idée de départ: les pales
« s'appuient » sur l'eau et rencontrent une force qui leur permet de soulever le
dispositif. Cela correspond donc à une partie de la force exercée par l'eau sur la patte
du lézard et lui permettant d'avancer.
Nous avons ensuite cherché à savoir quels étaient les paramètres qui influaient
sur la valeur de cette force, et donc sur la valeur de l'angle du dispositif avec la
verticale. Pour cela nous avons effectué des mesures à différentes hauteurs
d'enfoncement du modèle dans l'eau, ce qui permet de faire varier la surface des pales
en contact avec l'eau.
D'une part nous avons déterminé l'angle formé par le modèle avec la verticale à
l'aide d'un rapporteur pour différentes vitesses de rotation, que l'on pouvait régler à
l'aide d'un générateur.
10
D'autre part nous avons cherché à déterminer la vitesse de rotation des pales.
Pour cela nous avons utilisé un stroboscope donnant une fréquence. Lorsque
l'immobilité apparente est observée, nous savons qu'une pale fait ¼ de tour entre deux
éclairs successifs. On peut ainsi en déduire la vitesse angulaire, puisque ¼ de tour
équivaut à un angle de π/2 et un tour équivaut à un angle de 2π. On obtient cette
vitesse par la relation: ω=2π* fréquence
Puis à partir de la vitesse angulaire on peut déterminer la vitesse grâce à la relation
v=ωR
avec R le rayon du cercle formé par les pales que nous avons mesuré à 7cm.
Nous obtenons ainsi la force que nous avons cherchée à mesurer par le calcul.
Ensuite nous nous sommes demandées à quelle force correspondait un angle donné.
Pour cela nous avons noté l'angle que notre machine faisait par rapport à la verticale à
une tension et une intensité donnée, puis nous tirions la machine avec le dynamomètre
horizontalement jusqu'à l'angle désiré. Nous avons ainsi obtenu le tableau suivant:
Force mes (N)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Angle(°)
5
7,3
9,5
12,5
14,5
16,5
18,5
Mais la force que nous avons mesurée par ce moyen est horizontale or la force qu'on
cherche à étudier a aussi une composante verticale. Cette force mesurée n'est alors
qu'une composante de la force exercée réellement par l'eau sur les pales. Ces valeurs
sont donc approximatives.
b. Tableau de valeurs et exploitation
Nous avons pu élaborer des graphiques représentant la force en fonction de la
vitesse angulaire pour différentes hauteurs d'enfoncement du dispositif dan l'eau.
h bassine
9cm
10cm
11cm
11
Nb flash/min
510
535
660
820
500
560
635
760
430
480
530
575
Angle(°)
5,50
7,00
9,00
10,0
10,0
11,0
12,5
14,0
8,50
10,0
11,4
12,5
U(V)
3,50
4,00
4,50
5,00
4,50
5,00
5,50
6,00
4,50
5,00
5,50
6,00
I(A)
0,26
0,30
0,33
0,36
0,36
0,40
0,42
0,46
0,38
0,41
0,44
0,48
Fmes(N)
0,12
0,19
0,28
0,33
0,28
0,33
0,40
0,47
0,25
0,33
0,35
0,40
Fcalc(N)
0,98
1,22
1,23
1,20
1,75
1,98
2,42
1,64
2,17
2,26
2,38
2,73
ω(rad/s)
13,4
14,0
17,3
21,5
13,2
14,5
16,3
20,1
11,3
12,6
14,5
15,1
v(m/s)
0,93
0,98
1,21
1,50
0,92
1,01
1,14
1,41
0,79
0,88
0,02
0,06
Puis nous avons tracé les trois courbes suivantes pour les trois hauteurs d'enfoncement
du dispositif dans l'eau:
F=f(ω)
F(
N)
0,47
0,45
0,42
0,4
0,37
0,35
0,32
0,3
0,27
0,25
0,22
0,2
0,17
0,15
0,12
0,1
10
F(N)
12,
15
17,
ω(rad.s-1)
20
22,
c. Analyse du graphique et explications éventuelles
Nous avons dans un premier temps obtenu satisfaction avec ces trois courbes
puisque l'on peut remarquer que plus la vitesse angulaire augmente plus la force
mesurée est grande: c'est ce que l'on cherchait à obtenir.
Ensuite, on voit que pour une même vitesse angulaire, plus le dispositif est enfoncé
dans l'eau, plus la force mesurée est grande, ce qui est aussi logique.
Par contre, on s'attendait à avoir une courbe proportionnelle à la vitesse
angulaire au carré, d'après ce que l'on a vu précédemment sur la loi de Bernoulli
(proportionnalité en vitesse carré), or on a une courbe dont l'apparence est celle d'une
courbe proportionnelle plutôt à la racine carrée de la vitesse angulaire.
Nous allons donc essayer d'expliquer ce phénomène:
o Comme l’inclinaison du dispositif augmente, la surface des pales en contact
avec l’eau diminue. D’après la loi de Bernoulli, la force est proportionnelle à la
surface, cela peut expliquer que la force augmente moins vite pour des angles
plus grands.
12
o D'autre part, lorsque les pales sont animées d'une grande vitesse, cela crée des
remous dans l'eau autour d'elles, donc la surface en contact avec l'eau diminue
encore plus, ce qui peut aussi expliquer la forme des courbes, puisque l'on a pu
observer que plus la surface des pales en contact avec l'eau est grande, plus la
force augmente.
Ensuite nous avons voulu testé la fiabilité de notre modèle en calculant de deux
manières différentes la puissance :
-
On a mesuré la tension aux bornes du générateur et l'intensité mesurée pour
pouvoir calculer la puissance délivrée par le générateur :
P =U . I
On a pris la définition de la puissance d’un point de vue du lézard :
P = W = F × L = F ×V ×t = F ×V
t
t
t
U .I
D'où la formule : U . I = F . V <=> F = V
U .I
<=> F = ωR
U .I
<=> F = 2π × fR
On constate que la force ainsi calculée est très supérieure à la force déterminée.
Cela s'explique sûrement par la perte de puissance fournie par le générateur sous forme
d'effet Joule. Cette perte est alors très importante et seule une petite partie de la
puissance fournie par le générateur est réellement utilisée.
13
3. Expérience du « ski nautique »
3
Moteur
Tiges de
mécano
Plaque de
Plexiglas
Dispositif
permettant de
fixer des poids
sur la plaque
Poubelle
coupée en
deux
Dispositif au repos
14
Sens du
mouvement
Plaque
inclinée à
partir d’une
certaine
vitesse
Dispositif en mouvement
Grâce à ce dispositif, qui a permis d’obtenir un régime plus stable que les
précédents, et qui permettait de simuler facilement différentes forces, nous avons
pu mesurer la relation entre la force (le poids chargé sur la plaque) et la vitesse
nécessaire pour soulever la plaque ainsi chargée.
Temps pour un
tour(s)
Masse(g)
15
Vitesse
angulaire(rad/s)
Vitesse
Tension
P=m*g
0
1,2
5,2
0,84
2,4
0
15
1,0
6,3
1,0
3,1
0,15
30
0,92
6,8
1,1
4,3
0,30
45
0,79
7,9
1,3
8,5
0,45
60
0,75
8,3
1,3
9,7
0,60
Sur ce graphique, on observe que la force semble varier en fonction de la vitesse au
carré.
Voici un graphique représentant la force en fonction de la vitesse au carré.
F(N)
F=f(v²)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Série1
0
0,5
1
1,5
2
v²(m²/s²)
A nouveau, en prenant les vitesses mesurées, nous avons calculé les forces correspondantes
grâce à la loi de Bernoulli :
SURFACE
PLAQUE(m²)
µ EAU(kg/m¨3)
VITESSE
²(m²/s²)
Force
calculée(N)
Force
mesurée(N)
0.004
1000
0.70
1.4
00
0.004
1000
1.0
2.0
0.15
0.004
1000
1.2
2.4
0.30
0.004
1000
1.6
3.2
0.45
0.004
1000
1.8
3.6
0.60
On observe que les forces calculées sont en l’occurrence plus grandes que les forces
mesurées, un résultat que l’on pouvait attendre : en effet, la limite de l’utilisation de la loi de
Bernoulli dans le cas de ce dispositif, tient à ce que le fluide « fuit » largement sur les côtés de
la plaque en rotation, alors que la Loi de Bernoulli suppose que sur toute la surface rencontrée
par le fluide, celui-ci est stoppé.
16
III. Bernoulli : la bonne solution ?
1. Utilisation des données de l’article :
Dans un premier temps, pour interpréter notre expérience, nous avons utilisé la
loi de Bernoulli, qui se base sur le principe de conservation de l’énergie.
Mais, comme nous l’avons mentionné ci-dessus, nous ne sommes pas encore sûres que
cette interprétation est la bonne :
Nous avons repris certaines données parmi les recherches déjà effectuées sur le basilic,
pour calculer, en utilisant la loi de Bernoulli, la vitesse que le lézard devrait avoir pour
marcher sur l’eau. Si nous obtenons environ la même vitesse que dans l’article, nous
pourrons avoir la confirmation que la loi de Bernoulli décrit bien le même phénomène
physique que celui qui intervient lors de la course du lézard.
a. Données
masse du lézard: m = 100 g
distance d'enfoncement : d = 1 cm
distance d'un pas : d' = 3 cm
Temps d'enfoncement de la patte dans l'eau : 30% du temps total d'un pas.
Nous utilisons donc cette formule qui provient de la loi de Bernoulli :
P=
μv²
2
Nous avons ainsi d'abord calculé le temps d'enfoncement d'un pas, dont nous avons
besoin pour trouver le résultat final.
b. Calcul
Pour ce calcul, on nommera :
la pression : p
la vitesse d'enfoncement : v
la vitesse du lézard : v'
la distance d'enfoncement : d
la distance d'un pas : d'
17
Temps d'enfoncement
d
t=
v
<=>
t= d
2P
μ
t=
<=>
d
2mg
μS
AN : t = 2,3 s
−
Vitesse du lézard
d'
v' =
t'
<=>
v' =
d'
30
×t
100
AN : v' = 3,9 m.s-1 = 14 km.h-1
Cette vitesse est du même ordre de grandeur que celle mentionnée dans
l’article :1.5m/s
Nous avons donc la confirmation que la loi de Bernoulli permet de rendre compte du
phénomène physique responsable de la force que l’eau exerce sur les pattes du lézard
pour lui permettre de marcher sur l’eau.
2 .Application à l’homme
Nous avons donc pu utiliser la loi de Bernoulli pour trouver la vitesse que l’homme
devrait acquérir pour marcher sur l’eau.
Nous avons donc évalué la longueur d'un pas pour l'homme de 1 mètre, la longueur du
pied de 0,2 m et nous avons effectué les mêmes calculs adaptés à un homme de 50kg.
On trouve finalement :
t = 0,04 s = 40 s
v' = 7,5 m.s-1 = 27 km.h-1
Dans un autre article, nous avons lu que des recherches déjà effectuées ont fixé
la vitesse nécessaire à l’homme pour marcher sur l’eau à 100km/h. La différence entre
les deux vitesses provient peut-être du fait que nous avons pris des valeurs différentes
pour les paramètres. De plus, l’étude effectuée se fonde peut-être sur plus de
paramètres que ceux que nous avons pris.
18
Mais même si cette vitesse correspond à la vitesse nécessaire pour supporter un
homme, des questions se posent alors : est-ce possible pour un homme de courir à une
telle vitesse sur un support mou, ne serait-ce qu'à cette vitesse assez minimale que
nous avons trouvée ? Est-ce que sa musculature est assez puissante pour le lui
permettre ?
Il est probable que le support, sur lequel on court, offre moins de résistance en
réaction à la pression des pieds s'il est plus mou, car on s'enfonce plus. Courir sur du
sable requiert déjà beaucoup plus d'effort que sur la terre ferme, alors sur de l'eau, ce
serait très difficile !
3. Tension superficielle
Pour compléter notre approche, nous nous sommes intéressées à un autre phénomène
physique : celui de la tension superficielle.
Est-ce que ce phénomène joue aussi un rôle dans la force qui s’exerce sur le lézard ?
F=γl
l : longueur de la patte du lézard en contact avec l’eau : 4*la longueur de la patte du lézard
γ=70mNm−1 : coefficient de tension superficielle de l’eau
F = 70.10-3.4.1.10-2=2,8.10-4 N
On obtient une force de l’ordre de 10-4 N, ce qui est très peu par rapport au poids du lézard
et donc à la force qui lui est nécessaire pour se maintenir à la surface.
Donc, la tension superficielle représente une toute petite partie de l’origine de la force qui
agit sur le lézard.
19
Conclusion :
Nous avons donc tenté d’effectuer une modélisation du lézard par différents
moyens, ce qui nous a permis de trouver le phénomène physique qui intervient quand
le lézard basilic marche sur l’eau. Après avoir tenté d’appliquer ce phénomène à
l’homme, nous sommes parvenues à la conclusion suivante : marcher sur l’eau ?non,
mais courir ? Peut-être. Rien ne s’oppose donc théoriquement à ce que nous puissions
courir sur l’eau.
La vitesse que nous avons définie et qui pourrait nous permettre de marcher sur
l’eau amène un nouveau problème : peut-on l’atteindre ?
La prochaine étape sera alors peut-être la mise en pratique des résultats obtenus ;
on pourrait par exemple modifier la surface de nos pieds, pour réduire la vitesse à
atteindre :
20