F. Moraux, C. Villa - Institut des Actuaires

ESTIMATION DE LA PRIME DE RISQUE ET DE LA DYNAMIQUE
DU MODELE DE COX, INGERSOLL ET ROSS
Franck MORAUX
Christophe VILLA
CREREG, Institut de Gestion de Rennes
RESUME
Cet article se propose d’étudier l’estimation de la dynamique du taux d’intérêt
instantané de Cox, Ingersoll et Ross [1985] intervenant dans l’étude de la structure par
terme des taux d’intérêt. Il ressort de cette étude que l’hypothèse utilisée par Cox, Ingersoll
et Ross [1985], selon laquelle la prime de risque est une fonction croissante du taux
d’intérêt spot, ne peut être validée par nos données.
ABSTRACT
This article presents a detailed estimation of the spot interest rate parameters. This
one is assumed to follow the « squared root » process introduced by Cox, Ingersoll and
Ross [1985]. Empirical investigations on three months Treasury bills rate are provided.
Cox, Ingersoll and Ross [1985] form of risk premium is not checked by the data.
INTRODUCTION
De nombreux processus modélisant le taux d’intérêt spot ont été introduits en
finance en univers continu. Avant d’en apporter la validation empirique, les paramètres de
la dynamique retenue doivent pouvoir être estimés correctement. Lesne [1995] souligne que
l’économétrie de la courbe des taux comporte naturellement deux dimensions : une
dimension temporelle ayant trait à la «dynamique » d’un ou plusieurs taux, et une
dimension «statique » liée à la forme de la courbe des taux à un instant donné1. De façon
plus précise, Frachot, Lesne et Renault [1996] distinguent, quant à eux, premièrement,
l’étude de la dimension «statique» des modèles de taux, deuxièmement, celle de la
«dynamique» de la courbe des taux, et troisièmement l’étude croisée de la dimension
«dynamique» et «statique » de la courbe des taux. En fait seule cette dernière permet
d’estimer de façon indépendante la prime de risque des paramètres de la dynamique du taux
spot. Le modèle étudié ici est celui de Cox, Ingersoll et Ross [1985] qui suppose que la
prime de risque est une fonction croissante du taux d’intérêt instantané. La série que nous
avons choisie afin de mettre en oeuvre l’estimation des paramètres du taux instantané est
celle du rendement annualisé (et continu) des bons du Trésor américain à trois mois - les
three months T-bills. Les données journalières couvrent la période du 17 Octobre 1994 au
17 Octobre 1997, soit 754 observations sur trois ans. Ne distribuant pas de coupon, ces
obligations permettent l’utilisation directe de formules de valorisation. La maturité nous
permet en outre d’illustrer la différence existante entre l’utilisation de ce proxy et de cette
dernière relation.
Cet article est organisé en deux sections. La première concerne l’étude distincte
des estimations «statique» et «dynamique» des paramètres du taux spot, et la seconde
aborde l’étude simultanée de ces deux dimensions.
1
Cette décomposition rejoint celle effectuée par Gourlaouen et de Severac [1997].
BULLETIN FRANÇAIS D'ACTUARIAT, Vol. 1, N° 2, 1997, pp. 55-64
F. MORAUX & Ch. VILLA
56
1.
L’ETUDE DISTINCTE
«DYNAMIQUE»
DES
DIMENSIONS
«STATIQUE»
ET
L’étude séparée de la dimension «statique » des modèles de taux est proche de
l’analyse des méthodes de calibrage utilisées par les praticiens (voir Brown et Dybvig
[1986]).
L’utilisation de cette technique est aujourd’hui classique. Elle consiste à partir du
prix théorique des obligations sans coupon issu du modèle, à minimiser une distance entre
ces prix théoriques et les prix effectivement observés. Gourlaouen et de Séverac [1997]
soulignent les difficultés de cette approche en ce sens qu’il n’existe pas d’obligation sans
coupon pour toutes les maturités. Ainsi, la confrontation entre les prix théoriques et les prix
observés n’est pas réalisable pour certaines maturités. Le manque de liquidité des marchés
des obligations sans coupon effectivement cotées vient aggraver la difficulté. De plus,
ignorant les propriétés temporelles des modèles de taux court, ces méthodes estiment tous
les paramètres de la structure par terme observée à un moment donné. La répétition de cette
procédure permet de générer de nombreux paramètres qui devraient, en théorie, être
identiques, mais qui, en pratique, varient dans le temps2. Il est possible que les erreurs de
mesure sur le prix des titres puissent engendrer des variations de valeur des paramètres
estimés, alors que les paramètres réels sont constants. En effet, sur le plan théorique Lesne
[1995] précise que la critique majeure de ces approches, certes utiles en pratique, est
d’autoriser les paramètres du modèle à varier au cours du temps souvent de manière
indépendante entre dates, et de traiter le facteur stochastique comme un simple paramètre
négligeant ainsi le fait qu’il s’agisse d’observations d’un même processus.
L’étude de la seule «dynamique» de la courbe des taux consiste à estimer les
paramètres d’une équation différentielle stochastique qui décrit l’évolution temporelle d’un
taux d’intérêt. Cette approche n’estime que la dynamique d’un taux particulier dont la
maturité est souvent prise suffisamment petite pour pouvoir le considérer comme un proxy
du taux spot (Chan, Karoly, Longstaff et Sanders [1992]). Par exemple, dans le cas du
modèle de Cox, Ingersoll et Ross [1985], nous avons :
drt = κ(ϑ − rt )dt + σ rt dz t
avec Θ = (κ, ϑ, σ ) . Une discrétisation d’Euler3 conduit à considérer l’équation suivante :
ri +1 = ri + κ(ϑ − ri )∆ i + ε i +1
où ∆ i est l’intervalle de temps séparant t i et t i +1 et
E[ε i +1 ] = 0
(1)
E ε i2+1 = σ 2 ri ∆ i
(2)
[ ]
On reconnaît là, la même méthode que celle consistant à extraire du prix des options cotées par
la formule de Black et Scholes une série de volatilités implicites, alors que le modèle suppose le respect
d’une volatilité constante.
2
3
Comme le soulignent Gourlaouen et de Séverac [1997], le travail empirique de Chan, Karoly,
Longstaff et Sanders [1992] s’expose ainsi à des biais de discrétisation qui peuvent être importants.
ESTIMATION DE LA PRIME DE RISQUE
57
Le modèle ainsi discrétisé a été estimé par Chan, Karoly, Longstaff et Sanders
[1992] par la méthode des moments généralisés après définition d’un vecteur d’erreur à
deux éléments : ri +1 − ri − κ(ϑ − ri )∆ i et
vecteur f i +1 (Θ ) défini par
[ri +1 − ri − κ(ϑ − ri )∆ i ]2 − σ 2 ri ∆ i .
Soit le
ε i +1




ε i +1ri


f i +1 (Θ ) =  ε 2 − σ 2 r 2 γ ∆ 
i
i
 i +1

 ε 2 − σ 2 r 2 γ ∆ i ri 
i
 i +1
 
où ε i +1 = ri +1 − ri − κ(ϑ − ri )∆ i .
Si le vrai modèle statistique est fourni par les équations (1) et (2), alors on devrait
obtenir la condition d’orthogonalité, E[f i (Θ )] = 0 . Il est alors naturel d’estimer E[f i (Θ )]
par sa moyenne empirique g T (Θ ) qui possède la forme suivante :
g T (Θ ) =
1 T
∑ f i (Θ )
T i =1
Les estimations sont trouvées en résolvant le problème de minimisation
quadratique suivant :
min J T (Θ ) = g T (Θ )′ WT (Θ )g T (Θ )
Θ
où WT (Θ ) est une matrice définie positive.
Cependant, le désavantage de la méthode des moments généralisés consiste en ce
que la densité de probabilité conditionnelle est ignorée dans l’estimation des paramètres du
processus de diffusion du taux court. Comme le souligne Honoré [1997] « The disavantage
with the GMM restrictions adopted in the Chan, Karoly, Longstaff et Sanders [1992]
literature is that the transition density is ignored ». En effet, une méthode fondée sur le
maximum de vraisemblance est sans doute préférable, il suffit pour cela de se rappeler
qu’une fonction de densité n’est autre qu’une somme infinie de moments. Contrairement à
l’approche adoptée par Chan, Karoly, Longstaff et Sanders [1992], le modèle précédent a
été estimé par de Winne [1992] à l’aide méthode du (pseudo-)maximum de vraisemblance.
Si la densité de probabilité conditionnelle f (ri ri −1 ) est connue, il est possible d’utiliser la
fonction de vraisemblance l(r0 , L , rT ; Θ ) afin de trouver les estimations la maximisant
pour le vecteur de paramètres : Θ = (κ, ϑ, σ ) . La fonction de log-vraisemblance est alors de
la forme :
T
l(r0 , L , rT ; Θ ) = ln ∏ f (ri ri −1 ) =
i =1
T
∑ ln f (ri ri −1 )
i =1
F. MORAUX & Ch. VILLA
58
Dans le cas du modèle de Cox, Ingersoll et Ross [1985] la densité de transition est
un χ 2 décentré. Il est important de noter que dans le cas général, il n’est pas toujours
possible de trouver une expression analytique de la densité de transition. La méthode du
pseudo-maximum de vraisemblance est alors souvent employée. Cette approche se fonde
sur une discrétisation d’Euler du processus en temps continu du taux court, ou de façon
implicite, sur l’hypothèse forte que la densité de transition du taux court est normale4. En
effet, dans le cas d’un processus « racine carrée », la solution de ce processus est donnée
par :
t
ri +1 = ϑ1 − e− κ∆i  + rie κ∆i + σe− κt i ∫t i +1 ru e κu dz u .


i
[
Dans le cas de la discrétisation simple d’Euler précédente, nous avons
[
]
]
E ri +1 ri = κϑ∆ i + (1 − κ∆ i )ri et Var ri +1 ri = σ 2 ri ∆ i , alors que la forme exacte est
donnée par :
[
]
E ri +1 ri = ϑ1 − e − κ∆i  + e κ∆i ri et


[
]
Var ri +1 ri = ri
σ 2  − κ∆i
σ 2ϑ 
− e −2 κ∆i  +
e
1 − e − κ∆i
 2κ 
κ 
2
 .

Ces deux moments ne sont équivalents que si ∆ i → 0 .
La comparaison entre ces deux méthodes d’estimation (la méthode des moments
généralisés et celle du pseudo-maximum de vraisemblance) a été effectuée par
Honoré [1997] sur une diffusion de ce type à l’aide de simulations. Comme il le souligne :
« Finally, it should be noticed that GMM gives more biased estimates than PMV in most
situations ». A ce sujet Jacquier, Polson et Rossi [1994] notent que « for example, although
feasible, GMM methods are rarely used to estimate ARCH models because the likelihood
function is simple to evaluate ». Cependant, même si la méthode du pseudo-maximum de
vraisemblance donne de meilleurs résultats que la méthode des moments généralisés, elle
souffre d’un biais de discrétisation qu’il convient de corriger. L’utilisation de l’inférence
indirecte suggérée par Gouriéroux, Monfort et Renault [1993] est alors fortement
recommandée afin de corriger le biais de discrétisation surtout si l’intervalle de temps entre
deux observations est égal à un mois voir à une semaine. Cependant, et comme le souligne
par exemple Honoré [1997], cette erreur est minime dés lors que l’intervalle de temps entre
deux observations est faible, i.e. quotidien. La série que nous avons choisie afin de mettre
en oeuvre l’estimation des paramètres du taux instantané est celle du rendement annualisé
(et continu) des obligations du Trésor américain à trois mois - les three months T-bills. Les
données journalières couvrent la période du 17 Octobre 1994 au 17 Octobre 1997, soit trois
ans ou 754 observations. Ne distribuant pas de coupon, ces obligations admettent
l’utilisation directe des formules introduites précédemment. Le tableau 1 présente les
résultats annualisés de l’estimation des paramètres du taux instantané identifié au
rendement de cette obligation observée quotidiennement sur cette période. Les estimations
Même dans le cas d’un processus d’Ornstein-Ulhenbeck (Vasiceck [1977]) qui présuppose que
la densité de transition est une loi normale, l schéma précédent implique un biais d’estimation dans les
paramètres.
4
ESTIMATION DE LA PRIME DE RISQUE
59
ont été effectuées à l’aide du logiciel TSP 4.2 en utilisant l’algorithme numérique de
Berndt, Hall, Hall, Haussman.
Tableau 1
Estimation des paramètres du processus de diffusion du taux instantané
par la méthode du Pseudo-Maximum de Vraisemblance ( ln L = 4842,52)
Estimation
t - stat
κϑ
0,146992
2,14528
κ
2,82185
2,14736
σ²
0,000739573
33,0710
En conclusion sur l’étude séparée de la « dynamique » de la courbe des taux, nous
pouvons noter que cette méthode suscite plusieurs critiques, et notamment que :
• deux proxies différents ne donnent certainement pas les mêmes estimations de
paramètres ;
• même si la maturité est faible, un taux au comptant n’est qu’une approximation
du taux d’intérêt instantané. On observe donc fondamentalement un biais
d’estimation du à la maturité, puisque le taux spot est en réalité un taux au
comptant de maturité nulle ;
• la prime de risque intervenant dans la formule de valorisation d’une obligation
sans coupon reste à estimer.
L’approche retenue lors de l’étude simultanée des dimensions « statique » et
« dynamique » permet, comme nous allons le découvrir, de résoudre, en partie, les deux
derniers problèmes.
2.
L’ETUDE SIMULTANEE
« DYNAMIQUE »
DES
DIMENSIONS
« STATIQUE »
ET
L’avantage de cette méthode préconisée par Duan [1994] par rapport aux deux
précédentes est qu’elle permet de prendre en compte à la fois la spécification de la
« dynamique » du taux d’intérêt instantané décrivant la courbe des taux toute entière, et la
dimension « statique » qui est liée à la forme de la courbe des taux à un instant donné. En
effet, bien que la loi de densité conditionnelle du taux spot soit parfaitement connue, elle ne
peut être mise à profit que si des observations de ce taux sont disponibles. Or, comme tel
n’est pas le cas, il est nécessaire de chercher celle d’un taux au comptant d’une obligation
sans coupon négociée sur le marché. Il est alors possible d’estimer les paramètres qui
interviennent dans sa loi de densité à partir d’une série de relevés de ce taux. En effet,
comme le précise Duan [1994] la densité du taux zéro coupon se déduit de celle du taux
spot. Duan [1994] considère le modèle de Vasicek [1997]. La variation du taux sans risque,
r, est donc formalisée par un processus d’Ornstein-Ulhenbeck sous la probabilité objective
P:
drt = κ(ϑ − r )dt + σdz t
où κ, ϑ, σ sont des constantes positives qui définissent les paramètres de la dynamique et
où z est un mouvement brownien standard. Le prix à l’instant t d’une obligation sans
F. MORAUX & Ch. VILLA
60
coupon est noté B(r, t , T ) . C’est le prix d’un titre d’une valeur nominale d’un franc
remboursable à la date T. Un tel processus d’évolution du taux court engendre une équation
fondamentale de valorisation du type :
1 2
σ B rr + [κ(ϑ − r ) − λσ]B r − B τ − rB = 0
2
où λ (supposé constante) est appelé prix de marché du risque lié à l’incertitude sur r. En
soumettant le prix de l’obligation à la condition aux bornes : B(r, T, T ) = 1 , on obtient
l’expression du prix des obligations sans coupon lorsque le seul facteur aléatoire est le taux
sans risque, et qu’il suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck :
)
(
(
1
σ2
B(r, t , T ) = exp  1 − e − κ(T − t ) (R (∞ ) − r ) − (T − t )R (∞ ) −
1 − e − κ(T − t )
3
 κ
4κ
où R (∞ ) = ϑ −
)2 

λσ σ 2
.
−
κ 2κ 2
Le rendement d’une obligation sans coupon est noté R (r, t , T ) . Il correspond au
rendement d’un investissement initial B(r, t , T ) à l’instant t, à intérêts continûment
composés pendant toute la durée du placement, et qui rembourse une unité monétaire en T.
Nous pouvons donc déduire de l’expression de B(r, t , T ) toute la gamme de taux au
comptant, R (r, t , T ) :
R (r, t , T ) = −
=
log B(r, t , T )
T−t
(
)
(
)
2
1
σ2
1 − e − κ(T − t ) (r − R (∞ )) + R (∞ ) +
1 − e − κ(T − t )
κ(T − t )
4κ 3 (T − t )
Les paramètres de la statique (c’est à dire ceux entrant dans la formule d’un taux
au comptant) sont différents de ceux associés à la dynamique du taux spot, puisqu’ils sont
au nombre de quatre : κ, ϑ, σ mais aussi la prime de risque λ.
Afin d’estimer les paramètres, il est supposé que nous observons une série
temporelle d’un taux au comptant aux dates t 0 < t1 <L< t N . Par simplicité, nous
définissons R i = R (ri , t i , T ) . Si la densité de probabilité conditionnelle f (R i R i −1 ) est
connue , il est possible d’utiliser la fonction de vraisemblance l(R 0 , L , R N ; Θ ) afin de
trouver les estimations maximisant la vraisemblance pour le vecteur de paramètres,
Θ = (α, β ) où α = (κ, ϑ, σ ) représente les paramètres de la dynamique du taux spot et où
β = (κ, ϑ, σ, λ ) symbolise ceux de la statique. La fonction de log-vraisemblance est alors de
la forme :
N
N
i =1
i =1
l(R 0 , L , R N ; Θ ) = ln ∏ f (R i R i −1 ) = ∑ ln f (R i R i −1 )
ESTIMATION DE LA PRIME DE RISQUE
61
Sachant qu’il existe une relation bijective entre le taux instantané et le taux au
comptant, telle que R = h (r ) , la densité de probabilité conditionnelle f (ri ri −1 ) peut être
trouvée. La fonction de vraisemblance est donc de la forme :
N
(
(
l(R 0 , L , R N ; Θ ) = ∑ − ln ( J i ) + ln f r̂i r̂i −1
i =1
où J i =
))
∂h (ri )
et où r̂ représente le taux spot implicite donné par la relation R = h (r̂ ) .
∂ri
Dans le cadre du modèle de Vasicek [1977], la densité du taux spot est connue
avec certitude : il s’agit d’une loi normale de moyenne E ri +1 ri = ϑ1 − e − κ∆i  + e κ∆i ri


[
]
σ2 
1 − e − 2κ∆i  . En outre, du fait de la linéarité de R en r le

2κ 
passage d’un taux spot inobservable à celui d’un taux au comptant observé est immédiat.
La maximisation de la vraisemblance peut alors être effectuée à l’aide d’une procédure
d’optimisation classique.
[
]
et de variance Var ri +1 ri =
Dans le cas du modèle de Cox, Ingersoll et Ross [1985], rappelons que sous P la
probabilité historique, le taux d’intérêt d’un tel processus suit un mouvement de la forme :
drt = κ(ϑ − rt )dt + σ rt dWt
nous supposons la condition habituelle de non négativité 2κϑ ≥ σ 2 . Sous la probabilité Q,
en choisissant comme Cox, Ingersoll et Ross [1985] une prime de risque égale à
λ rt
λ ( t , rt ) =
, nous obtenons :
σ
~
drt = (κϑ − (κ + λ )rt )dt + σ rt dWt
~
où dWt = dWt + λ(t , rt )dt . Cox, Ingersoll et Ross [1985] en déduisent :
B(Θ, λ; r, T ) = e C(Θ,λ;T )−D(Θ,λ;T )r
où
C(Θ, λ, T ) =
 1 (κ + λ )T −1

ln  γe 2
E (Θ, λ, T )
2


σ
2 κϑ
D(Θ, λ, T ) = sinh (γT )E −1 (Θ, λ, T )
avec :
E(Θ, λ, T ) = γ cosh (γT ) +
1
(κ + λ )sinh (γT ) et γ 2 = (κ + λ )2 + 2σ 2 .
2
Nous pouvons aisément constater que la relation liant tout rendement d’obligation
avec le taux instantané sans risque est, dans ce contexte, affine et bijective :
F. MORAUX & Ch. VILLA
62
R=−
C(Θ, λ, T ) D(Θ, λ, T )
+
r
T
T
Dans ce cas, la fonction à maximiser est égale à :
T  D(Θ, λ, τ ) 
T
 + ∑ ln f r̂i r̂i −1
ln L(R 1 , L , R T ; Θ ) = − ∑ ln
τ
 i=2
i=2 
(
)
où r̂i représente le taux spot implicite et f indique la densité conditionnelle de r. En outre,
on suppose que les accroissements de r sont normalement distribués avec :
E ri ri −1  = ϑ +  ri −1 − ϑ e − κ∆ ,




σ 2  e − κ∆i − e − 2 κ∆i



Var ri ri −1  = ri −1
κ




2
σ 2 ϑ1− e − κ∆i 


+
.
2κ
Il est important de préciser que dans le cas de l’estimation des paramètres du taux
spot par la méthode suggérée par Duan [1994], il ne nous a pas été possible d’estimer
conjointement les paramètres de la dynamique et la prime de risque sur les données
considérées. Nous avons donc utilisé une autre spécification de la prime de risque qui nous
a permis de mener à bien l’estimation des paramètres de la dynamique du taux instantané.
λ rt
λ
Ainsi en remplaçant λ(r, t ) =
par λ(r, t ) = −
. Nous obtenons sous Q,
σ
σ r
~
dr = ((κϑ + λ ) − κr )dt + σ r dW . Les résultats obtenus à l’aide de cette transformation sont
présentés dans le tableau 2.
Tableau 2
Estimation des paramètres du processus de diffusion du taux instantané
par la méthode de Duan [1994].( ln L = 4843,82 )
Estimation
t - stat
κϑ
0,085544
1,59748
κ
3,00154
2,16955
σ²
0,00275107
2,92710
λ
0,238686
2,98544
A la lecture des tableaux 1 et 2, nous pouvons remarquer que la première méthode
conduit, sur la série considérée, à une estimation erronée des paramètres. En effet tous les
paramètres de la dynamique du taux spot sont différents d’un tableau à l’autre. L’erreur la
plus importante est celle effectuée sur le paramètre σ : la valeur étant environ deux fois
plus petite qu’attendue. Il convient malgré tout de relativiser l’attrait de cette méthode
d’estimation puisque l’utilisation d’un modèle de taux qui ne conduirait pas à une solution
analytique du taux au comptant mènerait à une maximisation de la vraisemblance qui serait
ESTIMATION DE LA PRIME DE RISQUE
63
plus difficile à mettre en oeuvre. De plus, dans le cas d’une certaine forme de prime de
risque (celle dérivée par Cox, Ingersoll et Ross [1985]), il ne nous a pas été possible de
l’estimer.
CONCLUSION
Cet article a étudié l’estimation de la dynamique du taux d’intérêt instantané de
Cox, Ingersoll et Ross [1985] intervenant dans l’étude de la structure par terme des taux
d’intérêt. Nous montrons que l’hypothèse utilisée par Chan, Karolyii, Longstaff et
Sanders [1992] considérant le rendement d’une obligation sans coupon d’échéance courte
comme proxy du taux spot, conduit à une estimation erronée des paramètres. De plus, il
ressort de cette étude que l’hypothèse utilisée par Cox, Ingersoll et Ross [1985], selon
laquelle la prime de risque est une fonction croissante du taux d’intérêt spot, ne peut être
validée sur nos données.
REFERENCES
BLACK F. et M.S. SCHOLES (1973) : « The Pricing of Options and Corporate Liabilities »,
Journal of Political Economy, 81, 637-654.
BROWN S et P. DYBVIG (1986) : “The empirical Implications of the Cox, Ingersoll, Ross
theory of the Term Structure of Interest Rates”, Journal of Finance, 41, 617-630.
CHAN K.C., G.A. KAROLYII, F.A. LONGSTAFF et A.B. SANDERS (1992) : « An Empirical
Comparaison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate », The Journal of
Finance, 47, 1209-1227.
COX J.C., J.E. INGERSOLL et S.A. ROSS (1985) : « An Intertemporal General Equilibrium
Model of Asset Prices », Econometrica, 53, 363-384.
DUAN J.C. (1994) : « Maximum Likelihood Estimation Using Price Data of the Derivative
Contract », Mathematical Finance, 4, 155-167.
FRACHOT A, LESNE J.P. ÖLLMER H. et E. RENAULT (1996) : « Indirect Inference Estimation
of Factors Models of the Term Structure of Interest Rates », Conférence Internationale
de Finance ; Association Française de Finance, Genève, Juin.
GOURIEROUX C, MONTFORT A et E. RENAULT (1993) : « Indirect Inference », Journal of
Applied Econometrics, 8, 85-118.
GOURLAOUEN J.P. et B. de SEVERAC (1997) : « Structure par terme des taux d’intérêt : les
nouvelles théories », Encyclopédie des marchés financiers, 1758-1818.
HONORE P. (1997) : « Maximum Likelihood Estimation of Non-Linear Continous-Time
Term-Structure Models », Conférence Internationale de Finance ; Association
Française de Finance, Grenoble, Juin.
JACQUIER E., N.G. POLSON et P.E. ROSSI (1994) : «Bayesian Analysis of Stochastic
Volatility Models (and the comments)», Journal of Business and Economic Statistics,
12, 371-417.
LESNE J.P. (1995) : Modèles factoriels de la structure par termes des taux d’intérêt :
théorie et applications économétriques, Thèse de Doctorat, Université des Sciences
Sociales de Toulouse I, 229 pages.
64
F. MORAUX & Ch. VILLA
PEDERSEN A (1996) : «A new Approach to Maximum Likelihood for Stochastic
Differential Equations based on Disrete Observations », Scandinavian Journal of
Statistic, 22, 55-71.
VASICECK O. (1977) : « An equilibrium Characterization of the Term Structure », Journal
of Financial Economics, vol. 5, 177-188.
De WINNE R (1995) : « Processes of the short-term interest rate and correction of the
discretization bias », Conférence Internationale de Finance ; Association Française de
Finance, 1995.
Franck MORAUX
CREREG, Institut de Gestion de Rennes
11 rue Jean Macé, BP 1997
35019 Rennes Cedex
E-mail : [email protected]
Christophe VILLA
CREREG, Institut de Gestion de Rennes
11 rue Jean Macé, BP 1997
35019 Rennes Cedex
E-mail : [email protected]